Mathématiques

Notations et définitions.

Dans tout l'exercice, l'entier $n \in \mathbb{N}^*$ est fixé.

À chaque matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ on associe l'application

$O_n$ désigne la matrice nulle et $I_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

Ainsi $\varphi_{O_n}$ est l'application nulle et $\varphi_{I_n}$ l'application identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

Montrons que, pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, l'application $\varphi_A$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

Pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, le produit $AM$ est défini et $AM \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

L'application $\varphi_A$ va donc de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

Soient $(M, N) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})^2$ et $\lambda \in \mathbb{C}$.

Le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition et compatible avec la multiplication par un scalaire.

On a donc :

Donc $\varphi_A$ est linéaire de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans lui-même : $\varphi_A$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.