Le cours

Résumé en cinq points

Convergence simple, uniforme et normale, dans cet ordre de force croissante. La convergence normale entraîne l'uniforme, qui entraîne la simple, et aucune réciproque n'est vraie.
La convergence uniforme se mesure par $\norm{f_n - f}_\infty$ pour une suite, et par le sup du reste pour une série. La convergence normale se prouve par une majoration uniforme du terme général.
Une limite uniforme de fonctions continues est continue. La contraposée est l'outil de réfutation le plus rapide.
On intègre terme à terme sur un segment sous convergence uniforme, jamais sur un intervalle non borné sans hypothèse supplémentaire.
Pour dériver terme à terme, la convergence uniforme doit porter sur la série des dérivées, la convergence simple suffisant pour la série de départ.

Pourquoi ce chapitre

Une suite de fonctions peut converger point par point vers une fonction beaucoup moins régulière que ses termes. C'est le problème central du chapitre.

Attention

La convergence simple ne transmet rien : ni la continuité, ni l'intégrale, ni la dérivée.

Il faut une convergence plus forte, la convergence uniforme, pour que ces propriétés passent à la limite. Le chapitre définit donc trois modes de convergence, simple, uniforme et normale, puis énonce les quatre théorèmes de transfert :

la continuité ;
la double limite ;
l'intégration sur un segment ;
la dérivation.

Il sert directement aux séries entières, aux intégrales à paramètre et aux fonctions génératrices. Aux concours, la question « étudier la régularité de la somme » revient chaque année.

1Modes de convergence d'une suite de fonctions

1.1Convergence simple

Définition 1.1Convergence simple

La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si, pour tout $x \in I$ , la suite numérique $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$ . La fonction limite $f$ est alors unique.

C'est une convergence « à $x$ figé ». Le rang à partir duquel on est proche de la limite dépend de $x$ .

1.2Convergence uniforme

Définition 1.2Convergence uniforme

La suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si le réel $\sup_{x \in I} \abs{f_n(x) - f(x)}$ existe à partir d'un certain rang et tend vers 0.

Autrement dit, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un rang $N$ , le même pour tous les $x$ , tel que $n \geqslant N$ entraîne $\abs{f_n(x) - f(x)} \leqslant \varepsilon$ pour tout $x \in I$ . C'est la place du quantificateur « il existe $N$ » avant « pour tout $x$ » qui fait la différence avec la convergence simple.

Définition 1.3Norme de la convergence uniforme

Sur l'espace des fonctions bornées de $I$ dans $\K$ , l'application $f \mapsto \norm{f}_\infty = \sup_{x \in I} \abs{f(x)}$ est une norme, dite norme de la convergence uniforme. La convergence uniforme est la convergence pour cette norme.

Propriété 1.4

La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque est fausse.

1.3Méthode et exemples

MéthodeÉtudier la convergence uniforme d'une suite

Déterminer la limite simple $f$ , en figeant $x$ .
Étudier la fonction $x \mapsto \abs{f_n(x) - f(x)}$ sur $I$ .
Chercher son maximum, par dérivation ou par majoration directe.

Exemple 1.5 $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$

La limite simple vaut 0 sur $[0, 1[$ et 1 en 1. La limite n'est pas continue alors que chaque $f_n$ l'est, donc la convergence n'est pas uniforme sur $[0, 1]$ . On le voit aussi directement : le sup de $\abs{f_n - f}$ sur $[0, 1[$ vaut 1 pour tout $n$ .

En revanche, sur $[0, a]$ avec $0 < a < 1$ , on a $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ : la convergence est uniforme.

Exemple 1.6 $f_n(x) = n x\e^{-nx}$ sur $[0, +\infty[$

La limite simple est la fonction nulle. Une étude de fonction montre que le maximum est atteint en $x = 1/n$ et vaut $\e^{-1}$ . Ce maximum ne tend pas vers 0, donc la convergence n'est pas uniforme sur $[0, +\infty[$ . Elle l'est sur tout intervalle $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ .

À retenir

Pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme, il suffit d'exhiber une suite $(x_n)$ de points de $I$ telle que $f_n(x_n) - f(x_n)$ ne tende pas vers 0 (ici $x_n = 1/n$ ).

2Modes de convergence d'une série de fonctions

Soit $\sum f_n$ une série de fonctions sur $I$ , de sommes partielles $S_n$ .

Définition 2.1Convergence simple, uniforme, normale

La série converge simplement si $(S_n)$ converge simplement, c'est-à-dire si pour tout $x$ la série numérique $\sum f_n(x)$ converge.
La série converge uniformément si $(S_n)$ converge uniformément. En cas de convergence simple, cela revient à dire que $\norm{S - S_n}_\infty$ , le sup du reste, tend vers 0.
La série converge normalement sur $I$ si chaque $f_n$ est bornée sur $I$ et si la série numérique $\sum \norm{f_n}_\infty$ converge.

Théorème 2.2Convergence normale

La convergence normale entraîne la convergence uniforme, et elle entraîne la convergence absolue en tout point.

Démonstration

En chaque point, $\abs{f_n(x)} \leqslant \norm{f_n}_\infty$ , donc la série converge absolument par comparaison. Le reste vérifie $\abs{S(x) - S_n(x)} \leqslant \sum_{k > n} \norm{f_k}_\infty,$ majoration indépendante de $x$ , qui tend vers 0 comme reste d'une série convergente.

MéthodeÉtablir la convergence normale

Chercher une majoration uniforme $\abs{f_n(x)} \leqslant a_n$ valable pour tout $x \in I$ .
Vérifier que $\sum a_n$ converge.

Il n'est pas nécessaire de calculer le sup exact.

Exemple 2.3

La série de terme général $f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement sur $\R$ , car $\abs{f_n(x)} \leqslant \dfrac{1}{n^2}$ .

Attention

La convergence uniforme n'entraîne pas la convergence normale. Exemple : $f_n(x) = \dfrac{(-1)^n}{n + x^2}$ sur $\R$ , pour $n \geqslant 1$ . On a $\norm{f_n}_\infty = 1/n$ , donc pas de convergence normale. Pourtant, à $x$ fixé, le théorème spécial des séries alternées majore le reste par $\dfrac{1}{n + 1 + x^2}$ , donc par $\dfrac{1}{n+1}$ , indépendamment de $x$ . La convergence est uniforme.

Attention

Il faut toujours préciser sur quel ensemble on a convergence normale ou uniforme. Une série peut converger normalement sur tout segment de $I$ sans converger normalement sur $I$ entier. C'est le cas le plus fréquent en pratique.

3Régularité de la limite d'une suite de fonctions

3.1Continuité

Théorème 3.1Continuité de la limite uniforme

Hypothèses

$(f_n)$ est une suite de fonctions continues sur $I$ ;
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ .

Alors $f$ est continue sur $I$ .

Démonstration

Soit $a \in I$ et $\varepsilon > 0$ . On choisit $n$ tel que $\norm{f_n - f}_\infty \leqslant \varepsilon/3$ . Par continuité de $f_n$ en $a$ , on trouve $\delta$ tel que $\abs{x - a} \leqslant \delta$ entraîne $\abs{f_n(x) - f_n(a)} \leqslant \varepsilon/3$ . Alors $\begin{aligned} \abs{f(x) - f(a)} &\leqslant \abs{f(x) - f_n(x)}\\ &\quad + \abs{f_n(x) - f_n(a)}\\ &\quad + \abs{f_n(a) - f(a)}\\ &\leqslant \varepsilon. \end{aligned}$

La continuité est une propriété locale. Il suffit d'avoir la convergence uniforme sur tout segment de $I$ , ou sur des intervalles adaptés recouvrant $I$ , pour conclure à la continuité sur $I$ . C'est ce que l'on fait presque toujours.

À retenir

Si les $f_n$ sont continues et si la limite simple ne l'est pas, alors la convergence n'est pas uniforme : c'est la contraposée, façon rapide de réfuter une convergence uniforme.

3.2Intégration sur un segment

Théorème 3.2Intégration sur un segment

Hypothèses

$(f_n)$ est une suite de fonctions continues sur $[a, b]$ ;
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ .

Alors $\int_a^b f_n(t)\,\dd t \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_a^b f(t)\,\dd t.$

Démonstration

$f$ est continue par le théorème précédent, donc intégrable. La différence des intégrales est majorée en module par $(b - a)\norm{f_n - f}_\infty$ , qui tend vers 0.

Attention

Le segment est indispensable. Sur un intervalle non borné, la convergence uniforme ne suffit pas. Exemple : $f_n$ vaut $1/n$ sur $[0, n]$ et 0 ailleurs. On a $\norm{f_n}_\infty = 1/n$ , donc convergence uniforme vers la fonction nulle sur $\R$ . Pourtant l'intégrale de $f_n$ sur $\R$ vaut 1 pour tout $n$ , et ne tend pas vers 0. Pour les intervalles quelconques, c'est le théorème de convergence dominée du chapitre d'intégration qu'il faut invoquer.

3.3Dérivabilité

Théorème 3.3Dérivabilité de la limite

Hypothèses

$(f_n)$ est une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I$ ;
$(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers $f$ ;
$(f_n')$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction $g$ .

Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et $f' = g$ .

Noter la dissymétrie des hypothèses. La convergence uniforme porte sur les dérivées, pas sur les fonctions. Pour les fonctions, la convergence simple suffit. En pratique, la convergence uniforme des dérivées sur tout segment de $I$ suffit.

Théorème 3.4Extension à la classe $\mathcal{C}^k$

Hypothèses

les $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^k$ ;
pour $0 \leqslant j < k$ , la suite des dérivées d'ordre $j$ converge simplement ;
la suite des dérivées d'ordre $k$ converge uniformément.

Alors la limite est de classe $\mathcal{C}^k$ et ses dérivées sont les limites des dérivées.

Attention

La convergence uniforme des $f_n$ ne dit rien sur les dérivées. Exemple : $f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n}$ converge uniformément vers 0 sur $\R$ , car $\norm{f_n}_\infty = 1/n$ . Mais $f_n'(x) = \cos(nx)$ ne converge même pas simplement, par exemple en $x = \pi$ .

4Régularité de la somme d'une série de fonctions

Les quatre énoncés suivants sont les traductions des précédents pour les séries. On les applique à la suite des sommes partielles.

4.1Continuité

Théorème 4.1Continuité de la somme

Hypothèses

$\sum f_n$ est une série de fonctions continues sur $I$ ;
elle converge uniformément sur $I$ .

Alors sa somme est continue sur $I$ .

En pratique on vérifie la convergence uniforme, ou normale, sur tout segment de $I$ .

Exemple 4.2Somme de $1/n^x$

La fonction $x \mapsto \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^x}$ est continue sur $]1, +\infty[$ . Sur tout segment $[a, b]$ inclus dans $]1, +\infty[$ , on a $\dfrac{1}{n^x} \leqslant \dfrac{1}{n^a}$ et $\sum \dfrac{1}{n^a}$ converge puisque $a > 1$ . La convergence est normale sur ce segment.

4.2Théorème de la double limite

Théorème 4.3Double limite

Hypothèses

$\sum f_n$ est une série de fonctions définies sur $I$ , qui converge uniformément sur $I$ ;
$a$ est une borne de $I$ , éventuellement infinie ;
chaque $f_n$ admet une limite finie $\ell_n$ en $a$ .

Alors la série $\sum \ell_n$ converge, la somme de la série admet une limite en $a$ , et $\lim_{x \to a} \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \ell_n.$

Autrement dit, sous convergence uniforme, on peut intervertir la limite en $a$ et la somme infinie. Résultat dont la démonstration est hors programme.

Exemple 4.4Limite en $+\infty$ de la somme de $1/n^x$

Chaque terme $1/n^x$ tend vers 0 si $n \geqslant 2$ et vers 1 si $n = 1$ . La convergence est uniforme sur $[2, +\infty[$ , car $\dfrac{1}{n^x} \leqslant \dfrac{1}{n^2}$ sur cet intervalle. Le théorème de la double limite donne que la somme tend vers 1 quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Attention

L'hypothèse de convergence uniforme est essentielle. Sans elle, l'interversion est fausse en général.

4.3Intégration sur un segment

Théorème 4.5Intégration terme à terme

Hypothèses

$\sum f_n$ est une série de fonctions continues ;
elle converge uniformément sur $[a, b]$ .

Alors la série des intégrales converge et $\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\dd t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(t)\,\dd t.$

On dit que l'on intègre terme à terme. Même piège que pour les suites : le segment est indispensable. Sur un intervalle quelconque, c'est le théorème d'intégration terme à terme du chapitre d'intégration qui s'applique, avec des hypothèses différentes.

4.4Dérivation

Théorème 4.6Dérivation terme à terme

Hypothèses

$\sum f_n$ est une série de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ ;
elle converge simplement sur $I$ ;
la série des dérivées $\sum f_n'$ converge uniformément sur $I$ .

Alors la somme est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ et sa dérivée est $\sum_{n=0}^{+\infty} f_n'$ .

En pratique on vérifie la convergence uniforme des dérivées sur tout segment. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ sous une hypothèse analogue à celle du cas des suites.

Exemple 4.7Classe $\mathcal{C}^\infty$ de la somme de $1/n^x$

La somme est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]1, +\infty[$ . La dérivée $k$ -ième du terme général est $\dfrac{(-\ln n)^k}{n^x}$ . Sur tout segment $[a, b]$ inclus dans $]1, +\infty[$ , ce terme est majoré en valeur absolue par $\dfrac{(\ln n)^k}{n^a}$ , terme général d'une série convergente par croissance comparée, puisque $a > 1$ . On applique le théorème de dérivation autant de fois qu'on veut.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Commencer par la convergence simple, à $x$ figé. On obtient la fonction limite, dont tout le reste dépend.
Pour la convergence uniforme d'une suite, étudier $x \mapsto \abs{f_n(x) - f(x)}$ et chercher son maximum. Pour la réfuter, chercher une suite $(x_n)$ bien choisie.
Pour une série, tenter d'abord la convergence normale par une majoration uniforme du terme général. Si elle échoue sur $I$ entier, la chercher sur tout segment.
Si la convergence normale échoue partout, tenter la convergence uniforme directement sur le reste, souvent grâce au théorème spécial des séries alternées.
Pour la continuité et la dérivabilité de la somme, travailler toujours sur tout segment : ces propriétés sont locales.
Pour la dérivation, la convergence uniforme doit porter sur la série des dérivées, et la convergence simple suffit pour la série initiale.
Pour intervertir une limite et une somme infinie, citer le théorème de la double limite et vérifier la convergence uniforme sur un voisinage de la borne considérée.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Étudier les modes de convergence de la suite $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ puis sur $[0, a]$ avec $a < 1$ .
Étudier ceux de la suite $f_n(x) = n x\e^{-nx}$ sur $[0, +\infty[$ , en exhibant le point où le maximum est atteint.
Démontrer que la convergence normale entraîne la convergence uniforme.
Donner un exemple de série qui converge uniformément sans converger normalement.
Démontrer le théorème de continuité de la limite uniforme, par l'argument des trois epsilon.
Donner un contre-exemple montrant que la convergence uniforme sur un intervalle non borné ne permet pas de passer à la limite dans l'intégrale.
Énoncer avec précision le théorème de dérivation, et expliquer la dissymétrie de ses hypothèses par l'exemple de $\sin(nx)/n$ .
Étudier la continuité, la limite en $+\infty$ et le caractère $\mathcal{C}^\infty$ de la somme des $1/n^x$ sur $]1, +\infty[$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Unicité de la limite simple. Immédiat.
L'application f ↦ ‖f‖∞ est une norme sur l'espace des fonctions bornées de I dans R ou C. Démonstration exigible.
La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Démonstration exigible.
Une série simplement convergente converge uniformément si et seulement si son reste tend uniformément vers 0. Conséquence directe de la définition.
Si Σf_n converge uniformément sur I, alors (f_n) tend uniformément vers 0 sur I, car f_n = S_n − S_n−1. Démonstration exigible. C'est une condition nécessaire, pas suffisante.
La convergence normale entraîne la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point. Démonstration exigible.
Théorème spécial des séries alternées, avec la majoration et le signe du reste. Rappel de la partie A, énoncé exigible.
Continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues. Démonstration exigible.
Intégration sur un segment : fonctions continues et convergence uniforme sur [a, b]. Démonstration exigible.
Dérivation : f_n de classe C¹, convergence simple de (f_n), convergence uniforme de (f'_n). Démonstration exigible, par le théorème fondamental de l'analyse.
Extension à la classe C^k. Par récurrence sur k.
Versions « séries » des théorèmes de continuité, d'intégration sur un segment et de dérivation. Obtenues en appliquant la version « suites » aux sommes partielles.
Théorème de la double limite pour une série uniformément convergente. Démonstration hors programme. Le programme ne l'énonce que pour les séries.
Absents du programme de PC : théorème de Dini, théorème d'approximation de Weierstrass, critère de Cauchy uniforme, transformation d'Abel.

Clés de démonstration

Norme de la convergence uniforme. Pour tout x, |f(x) + g(x)| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞. Le membre de droite majore donc toutes les valeurs de |f + g|, et la borne supérieure est le plus petit des majorants. Astuce : on majore point par point, puis on passe à la borne supérieure.

Normale entraîne uniforme. En chaque x, |f_n(x)| ≤ ‖f_n‖∞ donne la convergence absolue par comparaison. Le reste est majoré par Σ_k>n ‖f_k‖∞, qui ne dépend pas de x. Astuce : le reste d'une série numérique convergente tend vers 0.

Continuité de la limite. On intercale f_n(x) et f_n(a) entre f(x) et f(a). Un seul n suffit, fixé grâce à la convergence uniforme. Astuce : l'inégalité triangulaire à trois termes, avec ε/3 partout.

Intégration sur un segment. La limite est continue, donc intégrable sur [a, b]. L'écart des intégrales est majoré par (b − a) ‖f_n − f‖∞. Astuce : c'est la longueur finie du segment qui fait tout.

Dérivation. On fixe a dans I et on écrit f_n(x) = f_n(a) + ∫_a^x f'_n(t) dt. La limite g des f'_n est continue, et l'intégrale de f'_n sur le segment d'extrémités a et x tend vers celle de g, par le théorème précédent. On obtient f(x) = f(a) + ∫_a^x g(t) dt, donc f est C¹ et f' = g. Astuce : on ramène la dérivation à l'intégration sur un segment.

Classe C^k. On applique le cas C¹ à f_n^(k−1), puis on remonte. Astuce : récurrence sur k.

Réduction à « tout segment ». Pour montrer la continuité ou la dérivabilité en x₀ de I, il suffit de l'avoir sur un segment de I voisin de x₀. Astuce : continuité et dérivabilité sont des propriétés locales.

Exemples et contre-exemples à connaître

f_n(x) = xⁿ sur [0, 1[ tend simplement vers 0, limite continue, mais sans convergence uniforme car le sup vaut 1. Une limite continue ne prouve rien.
f_n(x) = n²x e^−nx sur [0, 1] tend simplement vers 0 alors que son intégrale tend vers 1 (exercice 2). La convergence simple ne permet pas d'intégrer, même sur un segment.
f_n(x) = √(x² + 1/n²) converge uniformément vers |x| sur R, car l'écart vaut (1/n²)/(√(x² + 1/n²) + |x|) ≤ 1/n. Une limite uniforme de fonctions C^∞ peut ne pas être dérivable.
f_n(x) = x/n tend vers 0 uniformément sur tout segment, mais pas sur R. « Sur tout segment » n'est pas « sur I ».
Σ xⁿ(1 − x) sur [0, 1] a pour somme 1 sur [0, 1[ et 0 en 1. Somme discontinue, donc pas de convergence uniforme (exercice 1).
Σ_n≥0 x e^−nx sur [0, +∞[ vaut x/(1 − e^−x) pour x > 0 et 0 en 0. La somme est discontinue en 0 alors que le terme général tend uniformément vers 0, avec un sup égal à 1/(ne).
Σ (−1)ⁿ xⁿ/n sur [0, 1] converge uniformément par les séries alternées, sans convergence normale, car le sup du terme vaut 1/n.
Σ x/(n² + x²) : chaque terme tend vers 0 en +∞, mais la somme tend vers π/2 (exercice 6). Sans convergence uniforme, la double limite échoue.

Techniques du chapitre

Technique 1 : limite simple par disjonction de cas, puis contraposée de la continuité. Mini-exercice : f_n(x) = nx/(1 + nx) sur [0, +∞[. La limite vaut 1 si x > 0 et 0 en 0. Elle est discontinue, donc la convergence n'est pas uniforme. Sur [a, +∞[ avec a > 0, |f_n − 1| = 1/(1 + nx) ≤ 1/(1 + na), qui tend vers 0.

Technique 2 : calculer le sup par une étude de fonction. Mini-exercice : f_n(x) = x/(1 + nx²) sur R. La dérivée vaut (1 − nx²)/(1 + nx²)². Elle s'annule en 1/√n et f_n est impaire, donc ‖f_n‖∞ = 1/(2√n), qui tend vers 0. Convergence uniforme sur R.

Technique 3 : réfuter la convergence uniforme par une suite (x_n). Mini-exercice : f_n(x) = sin(x/n) tend vers 0 sur R. Avec x_n = nπ/2, f_n(x_n) = 1, donc pas de convergence uniforme sur R. Sur [−A, A], |f_n(x)| ≤ A/n : convergence uniforme.

Technique 4 : convergence normale sur [a, +∞[ quand elle échoue près de 0. Mini-exercice : Σ e^−nx sur ]0, +∞[. Le sup de e^−nx vaut 1, donc pas de convergence normale. Sur [a, +∞[, e^−nx ≤ e^−na, série géométrique convergente. La somme est continue sur ]0, +∞[.

Technique 5 : convergence uniforme par le reste d'une série alternée. Mini-exercice : Σ_n≥1 (−1)ⁿ xⁿ/n sur [0, 1]. Pour x fixé, xⁿ/n décroît vers 0. Le reste vérifie |R_n(x)| ≤ xⁿ⁺¹/(n + 1) ≤ 1/(n + 1), majoration indépendante de x.

Technique 6 : réfuter par le terme général. Mini-exercice : Σ xⁿ sur ]−1, 1[. Le sup de |xⁿ| vaut 1 et ne tend pas vers 0. La série ne converge donc pas uniformément sur ]−1, 1[. Elle converge pourtant normalement sur tout [−a, a] avec a < 1.

Technique 7 : limite en une borne par double limite. Mini-exercice : S(x) = Σ_n≥0 e^−nx/(1 + n²) sur [0, +∞[. Majoration par 1/(1 + n²) : convergence normale. Le terme d'indice 0 vaut 1, les autres tendent vers 0 en +∞. Donc S(x) tend vers 1.

Technique 8 : dériver terme à terme en dominant les dérivées. Mini-exercice : S(x) = Σ_n≥1 sin(nx)/n³. La série converge simplement. Les dérivées cos(nx)/n² sont majorées par 1/n², d'où la convergence normale sur R. S est C¹ et S'(x) = Σ cos(nx)/n².

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Suite uniforme, série non uniforme

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f_n(x) = xⁿ(1 − x) sur [0, 1]. Étudier la convergence uniforme de (f_n), puis celle de Σ_n≥0 f_n. Même question pour la suite g_n = n f_n.

Technique étude de fonction pour le sup, contraposée de la continuité pour la série.

Voir le corrigé

f_n(1) = 0 et xⁿ tend vers 0 sur [0, 1[, donc (f_n) tend simplement vers 0.
f'_n(x) = xⁿ⁻¹(n − (n + 1)x). Le maximum de f_n ≥ 0 est atteint en n/(n + 1) et vaut (n/(n + 1))ⁿ/(n + 1) ≤ 1/(n + 1). Convergence uniforme sur [0, 1].
La somme partielle vaut 1 − x^N+1 par télescopage. La somme vaut donc 1 sur [0, 1[ et 0 en 1. Elle est discontinue, les f_n sont continues : pas de convergence uniforme de la série.
Sur [0, a] avec a < 1, |f_n| ≤ aⁿ : convergence normale.
‖g_n‖∞ = (n/(n + 1))ⁿ⁺¹ = (1 + 1/n)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾, qui tend vers 1/e. Pas de convergence uniforme de (g_n).

piège : Croire que la série converge uniformément parce que son terme général tend uniformément vers 0.

Exercice 2. La bosse qui s'écrase

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f_n(x) = n²x e^−nx sur [0, 1]. Déterminer la limite simple, la limite de ∫₀¹ f_n, et les intervalles de convergence uniforme.

Technique contraposée du théorème d'intégration sur un segment.

Voir le corrigé

f_n(0) = 0. Pour x > 0, n²e^−nx tend vers 0 par croissances comparées. La limite simple est nulle.
Avec u = nx, ∫₀¹ f_n = ∫₀ⁿ u e^−u du = 1 − (n + 1)e⁻ⁿ, qui tend vers 1.
Les f_n sont continues sur un segment. Une convergence uniforme donnerait une limite des intégrales égale à 0. Il n'y a donc pas convergence uniforme sur [0, 1]. Directement, f_n(1/n) = n/e.
Soit a ∈ ]0, 1]. f'_n(x) = n²e^−nx(1 − nx) ≤ 0 pour x ≥ 1/n. Pour n ≥ 1/a, le sup sur [a, 1] vaut n²a e^−na, qui tend vers 0. Convergence uniforme sur [a, 1].

piège : Intervertir limite et intégrale « parce qu'on est sur un segment », en oubliant la convergence uniforme.

Exercice 3. L'exponentielle comme limite

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f_n(x) = (1 + x/n)ⁿ sur [0, +∞[. Montrer la convergence uniforme vers eˣ sur tout [0, A], mais pas sur [0, +∞[.

Technique encadrement du logarithme, puis suite (x_n).

Voir le corrigé

Pour u ≥ 0, u − u²/2 ≤ ln(1 + u) ≤ u. La différence ln(1 + u) − u + u²/2 a pour dérivée u²/(1 + u) ≥ 0 et s'annule en 0.
Avec u = x/n : x − x²/(2n) ≤ n ln(1 + x/n) ≤ x. D'où 0 ≤ eˣ − f_n(x) ≤ eˣ(1 − e^−x²/(2n)).
Comme 1 − e^−y ≤ y, on obtient 0 ≤ eˣ − f_n(x) ≤ e^A A²/(2n) sur [0, A]. Convergence uniforme.
Avec x_n = n, eⁿ − 2ⁿ tend vers +∞. Pas de convergence uniforme sur [0, +∞[.

piège : Majorer seulement par eˣx²/(2n) et conclure sur [0, +∞[, alors que cette borne n'est pas uniforme.

Exercice 4. Une série alternée de classe C¹

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f(x) = Σ_n≥1 (−1)ⁿ/√(n + x) sur [0, +∞[. Montrer que f est définie, continue, de classe C¹, négative, et de limite nulle en +∞.

Technique séries alternées pour la série, convergence normale pour les dérivées.

Voir le corrigé

À x fixé, 1/√(n + x) décroît vers 0. La série converge et |R_n(x)| ≤ 1/√(n + 1 + x) ≤ 1/√(n + 1). Convergence uniforme sur [0, +∞[, donc f est continue.
Il n'y a pas convergence normale, car le sup du terme vaut 1/√n.
La dérivée du terme vaut (−1)ⁿ⁺¹/(2(n + x)^3/2), majorée en module par 1/(2n^3/2). Convergence normale sur [0, +∞[.
Par le théorème de dérivation, f est C¹ et f'(x) = Σ (−1)ⁿ⁺¹/(2(n + x)^3/2).
Le reste d'indice 0 est f elle-même : f(x) a le signe du premier terme −1/√(1 + x) et |f(x)| ≤ 1/√(1 + x). Donc f ≤ 0 et f tend vers 0 en +∞.

piège : Chercher la convergence normale de la série de départ. Pour dériver, la convergence simple de cette série suffit.

Exercice 5. Étude complète d'une somme

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Pour x > 0, on pose S(x) = Σ_n≥1 1/(n + n²x). Montrer que S est continue et décroissante, puis trouver un équivalent en +∞ et la limite en 0⁺.

Technique convergence normale sur [a, +∞[, double limite sur x S(x).

Voir le corrigé

Sur [a, +∞[, 0 ≤ 1/(n + n²x) ≤ 1/(n²a). Convergence normale, S est continue sur ]0, +∞[.
Chaque terme décroît en x, donc S décroît.
On écrit x S(x) = Σ 1/(n/x + n²). Sur [1, +∞[, chaque terme est majoré par 1/n² : convergence normale.
Chaque terme tend vers 1/n² en +∞. Par double limite, x S(x) tend vers Σ 1/n² = π²/6. Donc S(x) ~ π²/(6x).
Pour tout N, S(x) ≥ Σ_n=1^N 1/(n + n²x), qui tend vers H_N = Σ_n=1^N 1/n quand x tend vers 0. Comme S est décroissante, elle a une limite en 0⁺, supérieure à tous les H_N. Cette limite vaut +∞.

piège : Écrire « S tend vers 0, donc S ~ 0 ». Un équivalent n'est jamais 0, il faut multiplier par x.

Exercice 6. Quand la double limite échoue

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Soit S(x) = Σ_n≥1 x/(n² + x²). Montrer que S est continue sur R, calculer sa limite en +∞ et en déduire que la convergence n'est pas uniforme sur [0, +∞[.

Technique comparaison série-intégrale.

Voir le corrigé

Sur [−A, A], |x/(n² + x²)| ≤ A/n² : convergence normale, S est continue sur R. Elle est impaire.
Pour x > 0, φ(t) = x/(t² + x²) décroît sur [0, +∞[. Pour n ≥ 1, ∫_nⁿ⁺¹ φ ≤ φ(n) ≤ ∫_n−1ⁿ φ.
En sommant, ∫_1^+∞ φ ≤ S(x) ≤ ∫_0^+∞ φ = π/2. Or ∫_1^+∞ φ = π/2 − arctan(1/x).
Par encadrement, S(x) tend vers π/2 en +∞.
Chaque terme tend vers 0 en +∞. Une convergence uniforme sur [0, +∞[ donnerait une limite nulle par double limite. Elle n'a donc pas lieu, ni sur aucun [A, +∞[.

piège : Sommer les limites terme à terme sans vérifier l'hypothèse de convergence uniforme.

Exercice 7. La somme de la série harmonique alternée

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Montrer que −ln(1 − x) = Σ_n≥0 xⁿ⁺¹/(n + 1) pour x ∈ ]−1, 1[, puis que Σ_k≥1 (−1)^k−1/k = ln 2.

Technique intégration sur un segment, puis continuité par convergence uniforme au bord.

Voir le corrigé

Soit x ∈ ]−1, 1[ et a = |x|. Sur [−a, a], |tⁿ| ≤ aⁿ : Σ tⁿ converge normalement vers 1/(1 − t).
On intègre terme à terme sur le segment d'extrémités 0 et x : −ln(1 − x) = Σ xⁿ⁺¹/(n + 1).
Sur [−1, 0], le terme xⁿ⁺¹/(n + 1) est alterné et son module |x|ⁿ⁺¹/(n + 1) décroît vers 0. Le reste est majoré par 1/(n + 2) : convergence uniforme sur [−1, 0].
La somme est donc continue sur [−1, 0]. Elle coïncide avec −ln(1 − x) sur ]−1, 0], donc aussi en −1 par continuité : Σ (−1)ⁿ⁺¹/(n + 1) = −ln 2.
On change le signe et l'indice : Σ_k≥1 (−1)^k−1/k = ln 2.

piège : Intégrer sur ]−1, 1[ tout entier, où la convergence n'est pas uniforme, ou poser x = −1 dans l'égalité sans argument de continuité.

Exercice 8. Le « rêve du taupin »

Approfondissement · Type oral Mines

Montrer que ∫₀¹ x^−x dx = Σ_n≥1 n⁻ⁿ.

Technique développer une exponentielle, intégrer terme à terme sur un segment.

Voir le corrigé

φ(x) = −x ln x, prolongée par 0 en 0, est continue sur [0, 1] et vérifie 0 ≤ φ ≤ 1/e, maximum atteint en 1/e.
x^−x = e^φ(x) = Σ_k≥0 φ(x)^k/k!, et chaque terme est majoré par e^−k/k!. Convergence normale sur [0, 1] de fonctions continues.
On intègre terme à terme : ∫₀¹ x^−x dx = Σ_k I_k/k!, avec I_k = ∫₀¹ x^k (−ln x)^k dx.
Le changement de variable x = e^−t, puis s = (k + 1)t, donne I_k = ∫₀^+∞ t^k e^−(k+1)t dt = k!/(k + 1)^k+1. On utilise ∫₀^+∞ s^k e^−s ds = k!, obtenu par intégrations par parties (voir le chapitre d'intégration).
Donc ∫₀¹ x^−x dx = Σ_k≥0 1/(k + 1)^k+1 = Σ_n≥1 n⁻ⁿ.

piège : Oublier le prolongement par continuité en 0. Le théorème exige des fonctions continues sur le segment.

Exercice 9. Une série thêta

Approfondissement · Type écrit Mines ou Centrale

Soit θ(x) = Σ_n≥1 e^−n²x. Donner l'ensemble de définition, montrer que θ est C^∞, puis trouver des équivalents en +∞ et en 0⁺. On admet ∫₀^+∞ e^−u² du = √π/2.

Technique domination des dérivées sur [a, +∞[, double limite, comparaison série-intégrale.

Voir le corrigé

Si x ≤ 0, le terme ne tend pas vers 0. Si x > 0, e^−n²x ≤ e^−nx, série géométrique. θ est définie sur ]0, +∞[.
La dérivée k-ième du terme vaut (−n²)^k e^−n²x. Sur [a, +∞[, elle est majorée par n^2ke^−n²a = o(1/n²). Convergence normale de toutes les séries dérivées, donc θ est C^∞.
eˣθ(x) = 1 + Σ_n≥2 e^{−(n²−1)x}. Sur [1, +∞[, majoration par e^−(n²−1), et chaque terme tend vers 0. Par double limite, eˣθ(x) tend vers 1 : θ(x) ~ e^−x.
t ↦ e^−xt² décroît sur [0, +∞[, d'où ∫_1^+∞ e^−xt² dt ≤ θ(x) ≤ J(x) = ∫_0^+∞ e^−xt² dt.
Avec u = t√x, J(x) = √π/(2√x). Comme ∫_0¹ e^−xt² dt ≤ 1, on a J(x) − 1 ≤ θ(x) ≤ J(x). Donc θ(x) ~ √π/(2√x) en 0⁺.

piège : Chercher la convergence normale des dérivées sur ]0, +∞[ entier, où elle est fausse.

Exercice 10. Monotonie et convergence uniforme

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [a, b], croissante en n, qui converge simplement vers une fonction f continue. Montrer que la convergence est uniforme. Ce résultat, dit théorème de Dini, est hors programme : on le redémontre.

Technique raisonnement par l'absurde, bornes atteintes et Bolzano-Weierstrass sur un segment.

Voir le corrigé

On pose g_n = f − f_n, continue, positive, décroissante en n, qui tend simplement vers 0. La suite des ‖g_n‖∞ décroît.
Par l'absurde, ‖g_n‖∞ ≥ ε > 0 pour tout n. Par bornes atteintes, il existe x_n tel que g_n(x_n) = ‖g_n‖∞.
Par Bolzano-Weierstrass, une sous-suite x_φ(n) converge vers c ∈ [a, b].
Fixons m. Pour n ≥ m, φ(n) ≥ m, donc ε ≤ g_φ(n)(x_φ(n)) ≤ g_m(x_φ(n)). Quand n tend vers +∞, la continuité de g_m donne g_m(c) ≥ ε.
C'est vrai pour tout m, ce qui contredit g_m(c) → 0. Application : à l'exercice 3, (1 + x/n)ⁿ croît en n, donc la convergence uniforme sur [0, A] en découle.

piège : Utiliser la décroissance de (g_n) dans le mauvais sens à l'étape 4, ou l'appliquer sur un intervalle non fermé.

Erreurs fréquentes

Ne pas préciser l'ensemble. « Converge uniformément » ne veut rien dire sans intervalle, et la convergence uniforme sur tout segment n'est pas la convergence uniforme sur I.
Dériver terme à terme sous la seule convergence uniforme de la série. C'est la série des dérivées qui doit converger uniformément.
Intégrer terme à terme sur un intervalle non borné, ou sur un segment avec seulement la convergence simple.
Mal calculer un sup : oublier la valeur absolue, ou utiliser un point comme 1/n sans vérifier qu'il appartient à l'intervalle étudié, ce qui n'est vrai sur [a, +∞[ que pour n ≥ 1/a.
Conclure à la convergence uniforme parce que la limite est continue, ou parce que le terme général d'une série tend uniformément vers 0. Ce sont des conditions nécessaires, jamais suffisantes.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Suites et séries de fonctions », section B « Suites et séries de fonctions ». Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\R$ et à valeurs dans $\R$ ou $\C$ .

Suites et séries de fonctions

Résumé en cinq points

1Modes de convergence d'une suite de fonctions

1.1Convergence simple

1.2Convergence uniforme

1.3Méthode et exemples

2Modes de convergence d'une série de fonctions

3Régularité de la limite d'une suite de fonctions

3.1Continuité

3.2Intégration sur un segment

3.3Dérivabilité

4Régularité de la somme d'une série de fonctions

4.1Continuité

4.2Théorème de la double limite

4.3Intégration sur un segment

4.4Dérivation

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Suite uniforme, série non uniforme

Exercice 2. La bosse qui s'écrase

Exercice 3. L'exponentielle comme limite

Exercice 4. Une série alternée de classe C¹

Exercice 5. Étude complète d'une somme

Exercice 6. Quand la double limite échoue

Exercice 7. La somme de la série harmonique alternée

Exercice 8. Le « rêve du taupin »

Exercice 9. Une série thêta

Exercice 10. Monotonie et convergence uniforme

Erreurs fréquentes

Au concours