Le cours

Résumé en cinq points

Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base, que l'on peut choisir librement.
Noyau et image sont des sous-espaces. Injectivité équivaut à noyau nul, surjectivité à image pleine.
Théorème du rang : $\dim E = \dim \operatorname{Ker} u + \rg u$ , avec la dimension de l'espace de départ.
En dimension finie égale, injectif, surjectif et bijectif sont équivalents, ce qui est faux en dimension infinie.
Projecteurs et symétries se reconnaissent à $p \circ p = p$ et $s \circ s = \mathrm{id}$ , et les solutions d'une équation linéaire forment $x_0 + \operatorname{Ker} u$ .

Pourquoi ce chapitre

Une application linéaire est une application qui respecte la structure d'espace vectoriel. C'est le bon objet pour transporter les problèmes d'un espace vers un autre.

Deux sous-espaces la résument : le noyau, qui mesure ce qui est écrasé, et l'image, qui mesure ce qui est atteint.
Le théorème du rang relie leurs dimensions, en algèbre comme en analyse.
Les endomorphismes remarquables, projecteurs et symétries, se caractérisent par $p \circ p = p$ et $s \circ s = \mathrm{id}$ .
La structure d'une équation linéaire, solution particulière plus solutions de l'équation homogène, unifie les systèmes linéaires, les équations différentielles et les suites récurrentes.

Le chapitre suivant traduira tout cela en matrices.

1Généralités

1.1Définition

Définition 1.1Application linéaire

Une application $u$ de $E$ dans $F$ est linéaire si, pour tous vecteurs $x$ et $y$ de $E$ et tout scalaire $\lambda$ de $\K$ : $\begin{aligned} u(x + y) &= u(x) + u(y),\\ u(\lambda x) &= \lambda u(x). \end{aligned}$ De façon équivalente, $u(\lambda x + y) = \lambda u(x) + u(y)$ pour tous $x$ , $y$ et tout $\lambda$ . On note $\mathcal{L}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ .

Conséquence immédiate : $u(0) = 0$ .

Attention

Une application qui n'envoie pas $0$ sur $0$ n'est pas linéaire. La réciproque est fausse : $x \mapsto x^2$ vérifie $u(0) = 0$ sans être linéaire.

Exemple 1.2Exemples et contre-exemples

La dérivation de $\K[X]$ dans $\K[X]$ .
L'application qui à un polynôme associe sa valeur en $2$ .
L'application de $\mathcal{C}^0([0,1], \R)$ dans $\R$ qui à $f$ associe son intégrale sur $\intff{0}{1}$ .
L'application de $\R^3$ dans $\R^2$ donnée par $(x, y, z) \mapsto (x - z, 2y)$ .
Contre-exemples : $x \mapsto x^2$ et $x \mapsto x + 1$ de $\R$ dans $\R$ .

1.2Opérations

Propriété 1.3Espace des applications linéaires

$\mathcal{L}(E, F)$ est un $\K$ -espace vectoriel pour l'addition et la multiplication par un scalaire. La composée de deux applications linéaires est linéaire.

Propriété 1.4Bilinéarité de la composition

Hypothèses

$\lambda \in \K$ ;
$u, v \in \mathcal{L}(F, G)$ et $w \in \mathcal{L}(E, F)$ pour la première égalité ;
$u, v \in \mathcal{L}(F, G)$ et $w \in \mathcal{L}(G, H)$ pour la seconde.

Alors : $\begin{aligned} (\lambda u + v) \circ w &= \lambda (u \circ w) + v \circ w,\\ w \circ (\lambda u + v) &= \lambda (w \circ u) + w \circ v. \end{aligned}$

La composition est donc linéaire en chacune de ses deux variables.

Attention

La composition n'est pas commutative. Sur $\K[X]$ , dériver puis multiplier par $X$ ne donne pas la même chose que multiplier par $X$ puis dériver : la différence vaut l'identité.

1.3Isomorphismes

Définition 1.5Isomorphisme

Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Deux espaces sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un sur l'autre.

Propriété 1.6Réciproque d'un isomorphisme

La réciproque d'un isomorphisme est linéaire.

Démonstration

Soit $u : E \to F$ un isomorphisme, $y, y' \in F$ et $\lambda \in \K$ . Alors $u\big(\lambda u^{-1}(y) + u^{-1}(y')\big) = \lambda y + y'.$ Comme $u$ est injective, $u^{-1}(\lambda y + y') = \lambda u^{-1}(y) + u^{-1}(y')$ .

1.4Image et noyau

Propriété 1.7Images directe et réciproque

Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$ .

L'image directe d'un sous-espace de $E$ par $u$ est un sous-espace de $F$ .
L'image réciproque d'un sous-espace de $F$ par $u$ est un sous-espace de $E$ .

Définition 1.8Image et noyau

L'image de $u$ est $\operatorname{Im} u = u(E)$ , sous-espace de $F$ . Le noyau de $u$ est $\operatorname{Ker} u = \{x \in E,\ u(x) = 0\}$ , sous-espace de $E$ .

Propriété 1.9Caractérisations

Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$ .

$u$ est surjective si et seulement si $\operatorname{Im} u = F$ .
$u$ est injective si et seulement si $\operatorname{Ker} u = \{0\}$ .

Démonstration

Si $u$ est injective et $u(x) = 0 = u(0)$ , alors $x = 0$ . Réciproquement, si le noyau est nul et $u(x) = u(y)$ , alors $u(x - y) = 0$ , donc $x = y$ .

Propriété 1.10Image et famille génératrice

Si $(x_i)$ est une famille génératrice finie de $E$ , alors $\operatorname{Im} u = \operatorname{Vect}\big(u(x_i)\big)$ .

L'image est engendrée par les images des vecteurs d'une famille génératrice, en particulier d'une base. C'est ainsi qu'on calcule une image en pratique.

Exemple 1.11Image et noyau dans $\R^3$

Soit $u(x, y, z) = (x + y, y + z)$ .

Les images de la base canonique sont $(1, 0)$ , $(1, 1)$ , $(0, 1)$ . Elles engendrent $\R^2$ , donc $u$ est surjective.
Le noyau est l'ensemble des $(x, y, z)$ avec $x = -y$ et $z = -y$ : c'est la droite engendrée par $(1, -1, 1)$ .

1.5Rang

Définition 1.12Rang

Si $\operatorname{Im} u$ est de dimension finie, $u$ est dite de rang fini et $\rg(u) = \dim \operatorname{Im} u$ .

Propriété 1.13Rang d'une composée

Pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ et $v \in \mathcal{L}(F, G)$ : $\rg(v \circ u) \leqslant \min\big(\rg u,\ \rg v\big).$ Le rang est invariant par composition par un isomorphisme, à gauche comme à droite.

Démonstration

$\operatorname{Im}(v \circ u)$ est inclus dans $\operatorname{Im} v$ . C'est aussi l'image par $v$ du sous-espace $\operatorname{Im} u$ , dont la dimension est au plus $\rg u$ . Composer par une bijection linéaire ne change pas la dimension des images.

2Endomorphismes

2.1Définitions

Définition 2.1Endomorphisme

Un endomorphisme de $E$ est une application linéaire de $E$ dans $E$ . On note $\mathcal{L}(E)$ leur ensemble. L'identité est notée $\mathrm{id}_E$ . Une homothétie de rapport $\lambda$ est l'application $x \mapsto \lambda x$ .

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et $k \in \N$ , $u^k$ est la composée de $u$ avec lui-même $k$ fois, avec $u^0 = \mathrm{id}$ .

$\mathcal{L}(E)$ est stable par composition. Deux endomorphismes $u$ et $v$ commutent quand $u \circ v = v \circ u$ .

Attention

La formule du binôme pour $(u + v)^n$ n'est valable que si $u$ et $v$ commutent.

2.2Projecteurs

Définition 2.2Projection

Si $E = F \oplus G$ , la projection sur $F$ parallèlement à $G$ est l'application $p$ qui à $x = f + g$ , avec $f \in F$ et $g \in G$ , associe $f$ . Elle est linéaire grâce à l'unicité de la décomposition.

Propriété 2.3Propriétés d'une projection

$\operatorname{Im} p = F$ et $\operatorname{Ker} p = G$ ;
$p \circ p = p$ ;
$F$ est l'ensemble des vecteurs invariants par $p$ .

Propriété 2.4Caractérisation des projecteurs

Hypothèses

$p \in \mathcal{L}(E)$ ;
$p \circ p = p$ .

Alors $E = \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Ker} p$ et $p$ est la projection sur $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\operatorname{Ker} p$ . On dit que $p$ est un projecteur.

Démonstration

Pour tout $x$ , on écrit $x = p(x) + (x - p(x))$ . Le premier terme est dans $\operatorname{Im} p$ . Le second est dans $\operatorname{Ker} p$ , car $p\big(x - p(x)\big) = p(x) - p(p(x)) = 0.$ La somme est directe : si $y$ est dans l'intersection, $y = p(z)$ donne $p(y) = p(p(z)) = p(z) = y,$ et $y \in \operatorname{Ker} p$ donne $p(y) = 0$ , d'où $y = 0$ .

Attention

Un projecteur n'est pas déterminé par son image seule : il faut aussi son noyau. Deux projections sur la même droite, parallèlement à deux droites différentes, sont deux applications différentes.

2.3Symétries

Définition 2.5Symétrie

Si $E = F \oplus G$ , la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est l'application $s$ qui à $x = f + g$ associe $f - g$ . Elle vérifie $s \circ s = \mathrm{id}$ : c'est un automorphisme, égal à sa propre réciproque.

Propriété 2.6Caractérisation des symétries

Hypothèses

$s \in \mathcal{L}(E)$ ;
$s \circ s = \mathrm{id}$ .

Alors $s$ est la symétrie par rapport à $\operatorname{Ker}(s - \mathrm{id})$ parallèlement à $\operatorname{Ker}(s + \mathrm{id})$ .

Le lien avec les projecteurs est direct : $s = 2p - \mathrm{id}, \qquad p = \frac{s + \mathrm{id}}{2},$ où $p$ est la projection associée.

Exemple 2.7Parité

Sur les fonctions de $\R$ dans $\R$ , l'application $f \mapsto (x \mapsto f(-x))$ est une symétrie. Ses sous-espaces caractéristiques sont les fonctions paires et les fonctions impaires, qui sont donc supplémentaires.

2.4Automorphismes et groupe linéaire

Définition 2.8Groupe linéaire

Un automorphisme de $E$ est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes est noté $GL(E)$ . Il est stable par composition, contient l'identité, et tout élément y a un inverse : c'est une structure de groupe. Pour $u \in GL(E)$ et $k \in \Z$ , $u^k$ a un sens.

La définition axiomatique des groupes est hors programme à ce stade.

3Détermination d'une application linéaire en dimension finie

3.1Théorème fondamental

Théorème 3.1Détermination par l'image d'une base

Hypothèses

$E$ est de dimension finie et $(e_i)$ est une base de $E$ ;
$(f_i)$ est une famille quelconque de vecteurs de $F$ , indexée par le même ensemble.

Alors il existe une unique application linéaire $u \in \mathcal{L}(E, F)$ telle que $u(e_i) = f_i$ pour tout $i$ .

Une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base, et on peut imposer ces images librement. L'unicité vient de la linéarité, l'existence de la définition sur les coordonnées.

Propriété 3.2Caractérisations

Avec les notations du théorème :

$u$ est injective si et seulement si $(f_i)$ est libre ;
$u$ est surjective si et seulement si $(f_i)$ est génératrice de $F$ ;
$u$ est bijective si et seulement si $(f_i)$ est une base de $F$ .

3.2Espaces isomorphes

Propriété 3.3Isomorphisme et dimension

Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension. En particulier, tout espace de dimension $n$ est isomorphe à $\K^n$ , par l'application coordonnées dans une base fixée.

Propriété 3.4Dimension de $\mathcal{L}(E, F)$

Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, $\dim \mathcal{L}(E, F) = \dim E \times \dim F$ .

La démonstration passe par les matrices : elle peut être vue au chapitre suivant.

3.3Le théorème des trois équivalences

Théorème 3.5Injectif, surjectif, bijectif

Hypothèses

$E$ et $F$ sont de même dimension finie ;
$u \in \mathcal{L}(E, F)$ .

Alors $u$ est injective si et seulement si $u$ est surjective, si et seulement si $u$ est bijective.

Une seule des deux propriétés est à vérifier.

Attention

L'hypothèse de dimension finie et d'égalité des dimensions est indispensable. Sur $\K[X]$ , la dérivation est surjective et non injective, la multiplication par $X$ est injective et non surjective.

Propriété 3.6Inverse à gauche ou à droite

Un endomorphisme d'un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible, et son inverse à gauche coïncide avec son inverse à droite.

Démonstration

Si $v \circ u = \mathrm{id}$ , alors $u$ est injective, donc bijective. En composant par $u^{-1}$ , on obtient $v = u^{-1}$ .

3.4Recollement

Propriété 3.7Recollement

Hypothèses

$E = E_1 \oplus E_2$ ;
$u_1 \in \mathcal{L}(E_1, F)$ et $u_2 \in \mathcal{L}(E_2, F)$ .

Alors il existe une unique application linéaire $u \in \mathcal{L}(E, F)$ qui coïncide avec $u_1$ sur $E_1$ et avec $u_2$ sur $E_2$ . Elle est définie par $u(x_1 + x_2) = u_1(x_1) + u_2(x_2)$ , ce qui a un sens grâce à l'unicité de la décomposition.

4Théorème du rang

4.1Forme géométrique

Théorème 4.1Forme géométrique du théorème du rang

Hypothèses

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ ;
$S$ est un supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ dans $E$ .

Alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\operatorname{Im} u$ .

Démonstration

La restriction de $u$ à $S$ est linéaire à valeurs dans $\operatorname{Im} u$ . Elle est injective, car son noyau est $S \cap \operatorname{Ker} u = \{0\}$ . Elle est surjective sur $\operatorname{Im} u$ : tout élément de $\operatorname{Im} u$ s'écrit $u(x)$ avec $x = k + s$ , $k \in \operatorname{Ker} u$ et $s \in S$ , et $u(x) = u(s)$ .

4.2Forme dimensionnelle

Théorème 4.2Théorème du rang

Hypothèses

$E$ est de dimension finie $n$ ;
$u \in \mathcal{L}(E, F)$ .

Alors $n = \dim \operatorname{Ker} u + \rg(u)$ .

Démonstration

Avec $S$ supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ , la forme géométrique donne $\dim S = n - \dim \operatorname{Ker} u = \dim \operatorname{Im} u$ .

Attention

C'est la dimension de l'espace de départ qui intervient, pas celle de l'arrivée. $F$ n'a pas besoin d'être de dimension finie.

Exemple 4.3Applications du théorème du rang

Soit $u : \R^4 \to \R^3$ dont le noyau contient un plan. Alors $\rg(u) \leqslant 2$ et $u$ n'est pas surjective.
L'application $P \mapsto P'$ de $\R_n[X]$ dans $\R_n[X]$ a pour noyau les constantes : son rang vaut $n$ .

5Équations linéaires

Définition 5.1Équation linéaire

Une équation linéaire est une équation de la forme $u(x) = a$ , où $u \in \mathcal{L}(E, F)$ et $a$ est un vecteur donné de $F$ . L'équation homogène associée est $u(x) = 0$ : son ensemble de solutions est $\operatorname{Ker} u$ .

Propriété 5.2Structure des solutions

Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$ et $a \in F$ .

Si $a \notin \operatorname{Im} u$ , l'ensemble des solutions de $u(x) = a$ est vide.
Sinon, si $x_0$ est une solution particulière, l'ensemble des solutions est $x_0 + \operatorname{Ker} u$ , c'est-à-dire l'ensemble des $x_0 + h$ avec $h \in \operatorname{Ker} u$ .

Démonstration

$u(x) = a$ équivaut à $u(x - x_0) = 0$ .

Les solutions d'une équation linéaire forment $x_0 + \operatorname{Ker} u$ . Cette structure s'applique à :

un système linéaire $AX = B$ : une solution particulière plus le noyau de $A$ ;
une équation différentielle linéaire d'ordre 1 ou 2 : une solution particulière plus la solution générale de l'équation homogène ;
une suite arithmético-géométrique : on cherche un point fixe comme solution particulière.

6Formes linéaires et hyperplans en dimension finie

Définition 6.1Forme linéaire et hyperplan

Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire de $E$ dans $\K$ . Un hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

Propriété 6.2Dimension d'un hyperplan

En dimension finie $n$ , un hyperplan est exactement un sous-espace de dimension $n - 1$ .

Démonstration

Sens direct : une forme linéaire non nulle a pour image $\K$ , donc un rang égal à $1$ , et son noyau est de dimension $n - 1$ par le théorème du rang.

Propriété 6.3Équation d'un hyperplan

Dans une base fixée, un hyperplan est l'ensemble des vecteurs dont les coordonnées vérifient une équation $a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = 0$ avec les $a_i$ non tous nuls. Deux formes linéaires non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles : l'équation est donc unique à un facteur non nul près.

Théorème 6.4Hyperplan et droite

Hypothèses

$H$ est un hyperplan de $E$ ;
$D$ est une droite non contenue dans $H$ .

Alors $E = H \oplus D$ .

Démonstration

L'intersection $H \cap D$ est un sous-espace de $D$ différent de $D$ , donc nul. Les dimensions s'ajoutent alors à $n$ .

Exemple 6.5Plan de $\R^3$

Le plan d'équation $x + y + z = 0$ est un hyperplan de $\R^3$ . La droite engendrée par $(1, 0, 0)$ , qui n'est pas dans ce plan, en est un supplémentaire.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une application est linéaire ou non

Pour montrer qu'elle l'est, vérifier $u(\lambda x + y) = \lambda u(x) + u(y)$ en une seule ligne.
Pour montrer qu'elle ne l'est pas, tester $u(0)$ ou un contre-exemple numérique.

MéthodeDéterminer un noyau et une image

Noyau : résoudre $u(x) = 0$ et donner une base du sous-espace des solutions.
Image : calculer les images des vecteurs d'une base, puis extraire une base de leur espace engendré.

MéthodeTrouver un rang

Choisir le côté le plus simple : l'image directement, ou le noyau.
Dans le second cas, conclure par le théorème du rang.

MéthodeIdentifier un projecteur ou une symétrie

Calculer $p \circ p$ ou $s \circ s$ .
Décrire les sous-espaces $\operatorname{Im} p$ et $\operatorname{Ker} p$ , ou $\operatorname{Ker}(s - \mathrm{id})$ et $\operatorname{Ker}(s + \mathrm{id})$ .

MéthodeMontrer qu'un endomorphisme est bijectif

Pour un endomorphisme d'un espace de dimension finie, ou une application entre espaces de même dimension finie, prouver seulement l'injectivité, c'est-à-dire que le noyau est nul.

MéthodeRésoudre une équation linéaire

Séparer solution particulière et équation homogène.
Conclure par $x_0 + \operatorname{Ker} u$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que $u$ est injective si et seulement si son noyau est nul.
Démontrer que si $p \circ p = p$ , alors $E = \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Ker} p$ et $p$ est la projection associée.
Faire le lien entre projecteur et symétrie par $s = 2p - \mathrm{id}$ .
Énoncer et démontrer la forme géométrique du théorème du rang, puis en déduire la formule des dimensions.
Justifier qu'en dimension finie égale, injectif équivaut à surjectif, et donner deux contre-exemples en dimension infinie.
Déterminer noyau, image et rang d'une application linéaire explicite de $\R^4$ dans $\R^3$ .
Montrer qu'un hyperplan et une droite non incluse dedans sont supplémentaires.
Décrire l'ensemble des solutions de $u(x) = a$ et citer trois situations où cette structure s'applique.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

L(E, F) est un K-espace vectoriel, une composée d'applications linéaires est linéaire et la composition est bilinéaire. Exigible.
La réciproque d'un isomorphisme est linéaire. Exigible avec démonstration.
L'image directe et l'image réciproque d'un sous-espace sont des sous-espaces. Exigible avec démonstration.
u est injective si et seulement si Ker u = {0}. Exigible avec démonstration.
Si (x_i) est une famille finie génératrice de E, alors Im u = Vect(u(x_i)). Exigible avec démonstration.
rg(v ∘ u) ≤ min(rg u, rg v), et le rang est invariant par composition par un isomorphisme. Exigible avec démonstration.
GL(E) contient id et il est stable par composition et par passage à l'inverse. Exigible. La définition axiomatique d'un groupe est hors programme.
Si p ∘ p = p, alors p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p. Exigible avec démonstration.
Si s ∘ s = id, alors s est la symétrie par rapport à Ker(s − id) parallèlement à Ker(s + id). Exigible avec démonstration.
E de dimension finie, (e_i) base de E, (f_i) famille de F : il existe une unique u avec u(e_i) = f_i. De plus, u est injective, surjective ou bijective selon que (f_i) est libre, génératrice ou une base. Exigible avec démonstration.
Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension. Exigible avec démonstration.
Entre deux espaces de même dimension finie, injective ⇔ surjective ⇔ bijective. Exigible avec démonstration.
En dimension finie, un endomorphisme inversible à gauche ou à droite est inversible. Exigible avec démonstration.
dim L(E, F) = dim E × dim F. Exigible, avec une démonstration qui peut attendre le chapitre des matrices.
Recollement sur E = E₁ ⊕ E₂. Exigible avec démonstration.
Forme géométrique du théorème du rang, pour tout supplémentaire S de Ker u. Exigible avec démonstration, sans hypothèse de dimension.
Théorème du rang, avec E de dimension finie et F quelconque. Exigible avec démonstration.
Les solutions de u(x) = a forment l'ensemble vide ou x₀ + Ker u. Exigible avec démonstration.
En dimension finie n, les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension n − 1. Deux formes non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles. Exigible.
En dimension finie, si H est un hyperplan et D une droite non contenue dans H, alors E = H ⊕ D. Exigible avec démonstration.
Hors programme en PCSI : dual, lemme des noyaux, polynômes annulateurs, valeurs propres. La trace attend le chapitre des matrices.

Clés de démonstration

Réciproque linéaire. On veut u⁻¹(λa + b) = λu⁻¹(a) + u⁻¹(b). On applique u aux deux membres, et on trouve λa + b de chaque côté. Astuce : l'injectivité de u conclut sans calculer u⁻¹.

Image engendrée. Tout x s'écrit Σ λ_i x_i, donc u(x) = Σ λ_i u(x_i). Inversement, chaque u(x_i) appartient au sous-espace Im u. Astuce : on raisonne par double inclusion.

Rang d'une composée. Im(v ∘ u) = v(Im u) est incluse dans Im v. Elle est aussi engendrée par les images d'une base de Im u. Astuce : une famille génératrice de rg u vecteurs donne une dimension au plus rg u.

Symétrie. On écrit x = (x + s(x))/2 + (x − s(x))/2. Le premier terme est fixé par s et le second est changé en son opposé. Si y est dans l'intersection, alors y = −y, donc y = 0. Astuce : c'est la décomposition en parties paire et impaire.

Détermination par une base. Pour l'unicité, u(Σ x_i e_i) = Σ x_i f_i est imposée. Pour l'existence, on pose cette formule, bien définie par unicité des coordonnées, et elle est linéaire. Astuce : Σ x_i f_i = 0 équivaut à u(x) = 0, d'où les caractérisations.

Trois équivalences. Si u est injective, le théorème du rang donne rg u = dim E = dim F, donc Im u = F par le cas d'égalité des dimensions. Si u est surjective, alors dim Ker u = dim E − dim F = 0. Astuce : un sous-espace de même dimension finie que l'espace est l'espace entier.

Forme géométrique du rang. On restreint u à S. Le noyau de la restriction est S ∩ Ker u = {0}. Pour la surjectivité sur Im u, on décompose x selon Ker u ⊕ S. Astuce : la composante dans le noyau disparaît quand on applique u.

Hyperplans. On complète une base (e₁, …, e_n−1) d'un sous-espace de dimension n − 1 par e_n, puis on pose φ(e_i) = 0 pour i < n et φ(e_n) = 1. Ker φ contient le sous-espace et il a la même dimension, donc ils sont égaux. Si φ et ψ ont le même noyau H, on choisit a hors de H, et ψ − (ψ(a)/φ(a))φ s'annule sur H ⊕ Ka = E. Astuce : on se ramène à H ⊕ D.

Exemples et contre-exemples à connaître

Sur K[X], la dérivation D est surjective et non injective, et la multiplication M par X est injective et non surjective. Ce sont les contre-exemples aux trois équivalences en dimension infinie.
D ∘ M − M ∘ D = id, car (XP)' − XP' = P. C'est le contre-exemple standard à la commutativité.
Sur R², u(x, y) = (y, 0) vérifie Ker u = Im u = Vect((1, 0)). Noyau et image ne sont donc pas toujours supplémentaires.
Avec u(x, y) = (x, 0) et v(x, y) = (y, 0), on a v ∘ u = 0 alors que les deux rangs valent 1. L'inégalité sur le rang d'une composée peut être stricte.
0 et id sont des projecteurs, id et −id sont des symétries. −id est la symétrie par rapport à {0} parallèlement à E, cas limite souvent oublié.
La rotation (x, y) ↦ (−y, x) de R² vérifie u ∘ u = −id. Elle n'est ni un projecteur ni une symétrie, et elle ne laisse aucune droite stable.
P ↦ P(X + 1) − P(X) sur R_n[X] a pour noyau les constantes et pour image R_n−1[X]. C'est l'exemple type d'image obtenue par le théorème du rang.
La conjugaison z ↦ z̄ est R-linéaire mais pas C-linéaire, car i a pour image −i au lieu de i · 1. Il faut toujours préciser le corps.

Techniques du chapitre

Noyau par un système, image par inclusion et dimension. Mini-exercice : u(x, y, z) = (x − y, y − z, z − x) sur R³. Le noyau est donné par x = y = z, c'est Vect((1, 1, 1)), donc rg u = 2. Toute image a une somme de coordonnées nulle, donc Im u est le plan a + b + c = 0, par égalité des dimensions.

Bijectivité par le noyau seul. Mini-exercice : φ(P) = P + P' sur R_n[X]. Si P ≠ 0, alors deg P' < deg P, donc P + P' a le degré de P et n'est pas nul. Le noyau est nul, donc φ est bijective, et P + P' = Q a une unique solution pour tout Q.

Reconnaître un projecteur. Mini-exercice : p(x, y, z) = (x, y, x + y). On trouve p(x, y, x + y) = (x, y, x + y), donc p ∘ p = p. Im p est le plan z = x + y et Ker p = Vect((0, 0, 1)).

Reconnaître une symétrie. Mini-exercice : s(x, y, z) = (y, x, z). On a s ∘ s = id. Ker(s − id) est le plan x = y et Ker(s + id) = Vect((1, −1, 0)).

Traduire une composée nulle. v ∘ u = 0 équivaut à Im u ⊂ Ker v. Mini-exercice : si u ∘ u = 0 sur R⁵, alors Im u ⊂ Ker u, donc rg u ≤ 5 − rg u, soit rg u ≤ 2.

Solution particulière plus noyau. Mini-exercice : résoudre P(X + 1) − P(X) = 1 dans R[X]. X convient. Le noyau est formé des constantes, car P − P(0) s'annule en tout entier naturel. Les solutions sont les X + c, avec c réel.

Définir par l'image d'une base. Mini-exercice : existe-t-il u sur R² avec u(1, 1) = (1, 0) et u(1, −1) = (0, 1) ? Oui, et elle est unique, car ces deux vecteurs forment une base. Par exemple u(1, 0) = (u(1, 1) + u(1, −1))/2 = (1/2, 1/2).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Noyau, image et rang

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u de R⁴ dans R³ définie par u(x, y, z, t) = (x + y + z + t, x − y + z − t, 2x + 2z). Donner une base du noyau, puis une base et une équation de l'image.

Technique système pour le noyau, théorème du rang pour l'image.

Voir le corrigé

La troisième coordonnée est la somme des deux premières, donc le système équivaut à x + z = 0 et y + t = 0. 2. Ker u = Vect((1, 0, −1, 0), (0, 1, 0, −1)), de dimension 2. 3. Donc rg u = 4 − 2 = 2. 4. Les images de la base canonique sont (1, 1, 2), (1, −1, 0), (1, 1, 2), (1, −1, 0). Les deux premières sont libres et forment une base de Im u. 5. Toute image vérifie c = a + b, et les dimensions sont égales, donc Im u est le plan c = a + b.

piège : Donner les quatre images comme base, sans extraire une famille libre.

Exercice 2. Endomorphisme de carré nul

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit E de dimension n et u dans L(E) avec u ∘ u = 0. Montrer que rg u ≤ n/2. Pour n = 4, construire un tel u de rang 2.

Technique composée nulle traduite en inclusion, puis théorème du rang.

Voir le corrigé

Pour tout x, u(u(x)) = 0, donc Im u ⊂ Ker u. 2. Ainsi rg u ≤ n − rg u, soit 2 rg u ≤ n. 3. Pour n = 4, dans une base (e₁, e₂, e₃, e₄), on définit u par u(e₁) = 0, u(e₂) = e₁, u(e₃) = 0, u(e₄) = e₃, ce qui est licite par détermination par une base. 4. u ∘ u s'annule sur chaque vecteur de la base, donc u ∘ u = 0 par linéarité. Im u = Vect(e₁, e₃) est de dimension 2.

piège : Vérifier u ∘ u = 0 sur quelques vecteurs au lieu de tous les vecteurs d'une base.

Exercice 3. Noyau de u et noyau de u²

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u dans L(E). Montrer que Ker u ⊂ Ker u², puis que Ker u = Ker u² si et seulement si Ker u ∩ Im u = {0}. En dimension finie, en déduire que Ker u = Ker u² équivaut à E = Ker u ⊕ Im u.

Technique revenir aux éléments, puis appliquer le théorème du rang.

Voir le corrigé

Si u(x) = 0, alors u(u(x)) = 0. 2. Sens direct : soit y = u(x) dans Ker u ∩ Im u. Alors u²(x) = u(y) = 0, donc x ∈ Ker u, et y = 0. 3. Réciproque : si u²(x) = 0, alors u(x) est dans Im u et dans Ker u, donc u(x) = 0. 4. En dimension finie, dim Ker u + dim Im u = dim E. La somme est directe exactement quand l'intersection est nulle, et elle vaut alors E par égalité des dimensions.

piège : Oublier que le point 4 exige la dimension finie. Sur K[X], la multiplication M par X est injective, donc Ker M = Ker M² = {0}, mais Im M ne contient pas 1, et Ker M ⊕ Im M n'est pas K[X].

Exercice 4. Opérateur de différence

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Pour n ≥ 1, soit Δ(P) = P(X + 1) − P(X) sur R_n[X]. Déterminer Ker Δ et Im Δ. Pour n ≥ 3, en déduire l'existence de P tel que Δ(P) = X², puis calculer Σ k² pour k de 0 à m.

Technique inclusion de l'image, théorème du rang, télescopage.

Voir le corrigé

Si Δ(P) = 0, alors P(k) = P(0) pour tout entier naturel k. P − P(0) a une infinité de racines, donc il est nul. Ker Δ = R₀[X]. 2. Si P est de degré d ≥ 1 et de coefficient dominant a, Δ(P) est de degré d − 1 et de coefficient dominant ad. Donc Im Δ ⊂ R_n−1[X]. 3. rg Δ = (n + 1) − 1 = n = dim R_n−1[X], d'où Im Δ = R_n−1[X]. 4. On vérifie que P = X³/3 − X²/2 + X/6 convient. 5. On somme Δ(P)(k) = k² pour k de 0 à m. Par télescopage, Σ k² = P(m + 1) − P(0) = m(m + 1)(2m + 1)/6.

piège : Prendre n au lieu de n + 1 pour la dimension de R_n[X].

Exercice 5. Somme de deux projecteurs

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Soient p et q deux projecteurs de E. Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p ∘ q = q ∘ p = 0.

Technique développer sans commutativité, puis composer à gauche et à droite.

Voir le corrigé

(p + q)² = p + q + p ∘ q + q ∘ p, donc p + q est un projecteur si et seulement si p ∘ q + q ∘ p = 0. 2. La condition suffisante est immédiate. 3. Réciproquement, on compose cette égalité par p à gauche, ce qui donne p ∘ q + p ∘ q ∘ p = 0, puis par p à droite, ce qui donne p ∘ q ∘ p + q ∘ p = 0. 4. Par soustraction, p ∘ q = q ∘ p, donc 2 p ∘ q = 0. Comme K est R ou C, p ∘ q = 0 = q ∘ p.

piège : Écrire (p + q)² = p² + 2pq + q², ce qui suppose la commutativité.

Exercice 6. Projection et symétrie dans R³

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit H le plan x + y + z = 0 et D = Vect((1, 0, 0)). Justifier que R³ = H ⊕ D, puis exprimer la projection p sur H parallèlement à D et la symétrie s par rapport à H parallèlement à D.

Technique lire la composante sur D grâce à la forme qui définit H.

Voir le corrigé

(1, 0, 0) a une somme de coordonnées égale à 1, donc D n'est pas contenue dans H, et R³ = H ⊕ D. 2. On écrit v = (x, y, z) = h + λ(1, 0, 0) avec h dans H. La forme φ(x, y, z) = x + y + z s'annule sur H, donc λ = x + y + z. 3. p(v) = v − λ(1, 0, 0) = (−y − z, y, z). 4. s = 2p − id donne s(v) = (−x − 2y − 2z, y, z). 5. Contrôle : la première coordonnée de s(s(v)) vaut x + 2y + 2z − 2y − 2z = x.

piège : Confondre le plan sur lequel on projette et la direction de projection.

Exercice 7. Un hyperplan en dimension infinie

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit e3a

Soit E = C⁰([0, 1], R) et H l'ensemble des f d'intégrale nulle sur [0, 1]. Montrer que H est le noyau d'une forme linéaire non nulle, que E = H ⊕ C où C est la droite des constantes, et identifier la projection sur C parallèlement à H.

Technique décomposition explicite, car le théorème H ⊕ D n'est au programme qu'en dimension finie.

Voir le corrigé

I : f ↦ ∫ f est une forme linéaire, non nulle car I(1) = 1, et H = Ker I. 2. Une constante c d'intégrale nulle vérifie c = 0, donc H ∩ C = {0}. 3. f = (f − I(f)) + I(f), où f − I(f) est d'intégrale nulle. 4. La projection sur C parallèlement à H associe à f la constante I(f).

piège : Invoquer un argument de dimension dans un espace de dimension infinie.

Exercice 8. Inégalité de Sylvester

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Soient u dans L(E, F) et v dans L(F, G), avec F de dimension finie n. Montrer que rg u + rg v − n ≤ rg(v ∘ u).

Technique théorème du rang appliqué à la restriction de v à Im u.

Voir le corrigé

Soit w la restriction de v à Im u. Son image est v(Im u) = Im(v ∘ u), donc rg w = rg(v ∘ u). 2. Ker w = Ker v ∩ Im u, de dimension au plus n − rg v. 3. Im u est de dimension finie rg u, et le théorème du rang donne rg(v ∘ u) = rg u − dim(Ker v ∩ Im u) ≥ rg u + rg v − n.

piège : Appliquer le théorème du rang à v ∘ u sur E, qui n'est pas forcément de dimension finie.

Exercice 9. Indice de nilpotence

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soit E de dimension n et u dans L(E). On suppose u^p = 0 et u^p−1 ≠ 0 pour un entier p ≥ 1. Montrer que p ≤ n.

Technique exhiber une famille libre de p vecteurs.

Voir le corrigé

On choisit x tel que u^p−1(x) ≠ 0. 2. On suppose Σ λ_k u^k(x) = 0 pour k de 0 à p − 1, avec des λ_k non tous nuls, et on note j le plus petit indice tel que λ_j ≠ 0. 3. On applique u^p−1−j. Les termes d'indice k > j donnent un exposant au moins p, donc ils sont nuls. Il reste λ_j u^p−1(x) = 0. 4. Donc λ_j = 0, ce qui est absurde. La famille (x, u(x), …, u^p−1(x)) est libre, donc p ≤ n, et en particulier uⁿ = 0.

piège : Appliquer u^p−1 d'emblée, ce qui ne traite que λ₀.

Exercice 10. Endomorphisme qui conserve toutes les droites

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit E ≠ {0} et u dans L(E) tel que (x, u(x)) est liée pour tout x. Montrer que u est une homothétie.

Technique identifier les coefficients sur une famille libre.

Voir le corrigé

Pour x ≠ 0, il existe un unique scalaire λ_x tel que u(x) = λ_x x. 2. Si x et y sont libres, u(x + y) s'écrit λ_x+y(x + y) et λ_x x + λ_y y. Par liberté, λ_x = λ_x+y = λ_y. 3. Si y = μx avec μ ≠ 0, alors u(y) = μλ_x x = λ_x y, donc λ_y = λ_x. 4. λ_x est donc une constante λ, et u = λ id, ce qui reste vrai en 0.

piège : Oublier le cas de deux vecteurs colinéaires, seul cas présent en dimension 1.

Erreurs fréquentes

Écrire le théorème du rang avec la dimension de l'espace d'arrivée, ou en déduire que E = Ker u ⊕ Im u, ce que dément u(x, y) = (y, 0).
Utiliser injective ⇔ surjective en dimension infinie, ou entre deux espaces de dimensions différentes.
Décrire un projecteur par sa seule image, sans donner sa direction Ker p.
Croire que u(0) = 0 prouve la linéarité. Ce test est nécessaire mais pas suffisant, comme le montre x ↦ x².
Développer (u + v)² ou (u + v)ⁿ par le binôme sans vérifier que u et v commutent.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Espaces vectoriels et applications linéaires », paragraphe C « Applications linéaires ». Elle suppose connus les espaces vectoriels (paragraphe A) et la dimension (paragraphe B). $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ , et $E$ , $F$ , $G$ désignent des $\K$ -espaces vectoriels.

Applications linéaires

Résumé en cinq points

1Généralités

1.1Définition

1.2Opérations

1.3Isomorphismes

1.4Image et noyau

1.5Rang

2Endomorphismes

2.1Définitions

2.2Projecteurs

2.3Symétries

2.4Automorphismes et groupe linéaire

3Détermination d'une application linéaire en dimension finie

3.1Théorème fondamental

3.2Espaces isomorphes

3.3Le théorème des trois équivalences

3.4Recollement

4Théorème du rang

4.1Forme géométrique

4.2Forme dimensionnelle

5Équations linéaires

6Formes linéaires et hyperplans en dimension finie

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Noyau, image et rang

Exercice 2. Endomorphisme de carré nul

Exercice 3. Noyau de u et noyau de u²

Exercice 4. Opérateur de différence

Exercice 5. Somme de deux projecteurs

Exercice 6. Projection et symétrie dans R³

Exercice 7. Un hyperplan en dimension infinie

Exercice 8. Inégalité de Sylvester

Exercice 9. Indice de nilpotence

Exercice 10. Endomorphisme qui conserve toutes les droites

Erreurs fréquentes

Au concours