Le cours

Résumé en cinq points

Pour $f$ positive décroissante, l'encadrement de $f(k)$ par deux intégrales donne la nature de la série, un équivalent de la somme partielle si elle diverge, un équivalent du reste si elle converge.
$n! \sim \left(\frac{n}{\e}\right)^n\sqrt{2\pi n}$ est l'outil réflexe dès qu'une factorielle apparaît.
La règle de d'Alembert conclut si la limite du rapport des modules est différente de $1$ , et ne dit rien sinon. Elle est adaptée aux factorielles et aux puissances $n$ -ièmes.
Pour une série alternée dont la valeur absolue du terme décroît vers $0$ , la série converge, le reste est du signe de son premier terme et majoré en valeur absolue par ce premier terme.
Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge absolument, et sa somme est le produit des sommes.

Pourquoi ce chapitre

Le chapitre ajoute quatre outils aux acquis de première année, puis le produit de Cauchy.

La comparaison série-intégrale sert à prouver une convergence, à estimer une somme partielle ou un reste.
La formule de Stirling est indispensable dès qu'une factorielle apparaît.
La règle de d'Alembert donnera plus tard le rayon de convergence d'une série entière.
Le théorème spécial des séries alternées fournit la convergence et un encadrement du reste.
Le produit de Cauchy servira pour les séries entières et pour les fonctions génératrices en probabilités.

Aux concours, ces outils apparaissent comme étape technique dans presque tous les problèmes d'analyse.

1Rappels de première année

Définition 1.1Série et reste

Étant donnée une suite $(u_n)$ , la série de terme général $u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = u_0 + \dots + u_n$ . La série converge si $(S_n)$ converge, et sa somme $S$ est alors la limite. Le reste d'ordre $n$ est $R_n = S - S_n$ , il tend vers $0$ .

Propriété 1.2Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$ .

Attention

La réciproque est fausse, la série harmonique en est le contre-exemple. Quand $u_n$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement.

Séries de référence :

la série géométrique de raison $q$ converge si et seulement si $\abs{q} < 1$ , de somme $\frac{1}{1-q}$ en partant de $n = 0$ ;
la série de Riemann de terme général $\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ;
la série exponentielle de terme général $\frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x$ .

Propriété 1.3Séries à termes positifs

Une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. On dispose des théorèmes de comparaison par inégalité, par domination et par équivalence.

Propriété 1.4Convergence absolue

Si $\sum \abs{u_n}$ converge, alors $\sum u_n$ converge. La réciproque est fausse.

La convergence absolue est le régime de travail standard en PC.

2Comparaison série-intégrale

2.1L'encadrement de base

Propriété 2.1Encadrement de base

Hypothèses

$f$ est continue par morceaux, positive et décroissante sur $[n_0, +\infty[$ ;
$k$ est un entier avec $k > n_0$ .

Alors, en intégrant $f(k) \leqslant f(t) \leqslant f(k-1)$ sur $[k-1, k]$ : $\int_k^{k+1} f(t)\,\dd t \leqslant f(k) \leqslant \int_{k-1}^{k} f(t)\,\dd t.$

Tout le reste s'en déduit en sommant.

2.2Nature de la série

Théorème 2.2Comparaison série-intégrale

Avec les hypothèses de l'encadrement de base, la série de terme général $f(n)$ et l'intégrale de $f$ sur $[n_0, +\infty[$ sont de même nature.

Démonstration

En sommant l'encadrement pour $k$ allant de $n_0 + 1$ à $n$ , on encadre la somme partielle par deux intégrales. Si l'intégrale converge, les sommes partielles sont majorées et la série converge, car ses termes sont positifs. Si l'intégrale diverge, les sommes partielles ne sont pas majorées.

Exemple 2.3Critère de Riemann

On retrouve le critère de Riemann en appliquant le théorème à $f(t) = \frac{1}{t^\alpha}$ sur $[1, +\infty[$ .

Exemple 2.4Série de terme général $\frac{1}{n \ln n}$

La série de terme général $\frac{1}{n\ln n}$ , pour $n \geqslant 2$ , diverge. En effet, une primitive de $\frac{1}{t \ln t}$ est $\ln(\ln t)$ , qui tend vers l'infini.

2.3Estimation de sommes partielles et de restes

C'est l'usage le plus fréquent, et une capacité explicitement attendue.

Exemple 2.5Somme partielle d'une série divergente

En sommant l'encadrement pour $f(t) = \frac{1}{t}$ , on obtient $\ln(n+1) \leqslant 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \leqslant 1 + \ln n.$ On en déduit que la somme partielle harmonique $H_n$ est équivalente à $\ln n$ .

Propriété 2.6Reste d'une série convergente

Hypothèses

$f$ est positive, décroissante et intégrable.

Alors le reste $\sum_{k>n} f(k)$ vérifie $\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\dd t \leqslant \sum_{k>n} f(k) \leqslant \int_{n}^{+\infty} f(t)\,\dd t.$

Exemple 2.7Reste de $\sum \frac{1}{k^2}$

Pour $f(t) = \frac{1}{t^2}$ , le reste $\sum_{k>n}\frac{1}{k^2}$ est compris entre $\frac{1}{n+1}$ et $\frac{1}{n}$ , il est donc équivalent à $\frac{1}{n}$ .

Attention

La décroissance est indispensable : sans elle l'encadrement n'a plus de sens. Si la fonction n'est décroissante qu'à partir d'un certain rang, on applique le théorème à partir de ce rang, ce qui suffit puisque la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes.

3Formule de Stirling

Théorème 3.1Formule de Stirling

$n! \sim \left(\frac{n}{\e}\right)^n \sqrt{2\pi n} \quad (n \to +\infty).$ La démonstration n'est pas exigible.

Dès qu'une factorielle intervient dans un équivalent ou dans un rayon de convergence, on applique Stirling.

Exemple 3.2Coefficient binomial central

Le coefficient $\frac{(2n)!}{(n!)^2}$ est équivalent à $\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ . On le vérifie en remplaçant chaque factorielle par son équivalent et en simplifiant.

Exemple 3.3Série de terme général $\frac{n!}{n^n}$

La série de terme général $\frac{n!}{n^n}$ converge. En effet, par Stirling ce terme est équivalent à $\sqrt{2\pi n}\,\e^{-n}$ , qui est négligeable devant $\frac{1}{n^2}$ par croissance comparée.

Attention

Stirling est un équivalent, pas une égalité. On ne l'écrit jamais avec un signe égal, et on ne l'utilise pas directement à l'intérieur d'une somme ou d'une exponentielle sans précaution.

4Règle de d'Alembert

Théorème 4.1Règle de d'Alembert

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite de termes non nuls ;
$\dfrac{\abs{u_{n+1}}}{\abs{u_n}}$ tend vers $L \in [0, +\infty]$ .

Alors :

si $L < 1$ , la série $\sum u_n$ converge absolument ;
si $L > 1$ , le terme général ne tend pas vers $0$ , la série diverge grossièrement ;
si $L = 1$ , on ne peut rien conclure.

Démonstration

Premier cas. Soit $q$ strictement compris entre $L$ et $1$ . À partir d'un certain rang $N$ , on a $\abs{u_{n+1}} \leqslant q\abs{u_n}$ , donc par récurrence $\abs{u_n} \leqslant \abs{u_N}\,q^{n-N}$ . On compare à une série géométrique convergente.

Exemple 4.2Deux applications

Pour $u_n = \frac{x^n}{n!}$ avec $x$ non nul, le rapport vaut $\frac{\abs{x}}{n+1}$ , qui tend vers $0$ . La série converge pour tout $x$ .
Pour $u_n = n!\,x^n$ avec $x$ non nul, le rapport vaut $(n+1)\abs{x}$ , qui tend vers l'infini. La série diverge.

Attention

Le cas $L = 1$ est réellement indécis : les séries de terme général $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n^2}$ ont toutes deux un rapport de limite $1$ , et l'une diverge alors que l'autre converge.
Le rapport peut ne pas avoir de limite : la règle est alors inapplicable.
Pour une fraction rationnelle en $n$ , la règle donne toujours $1$ et ne sert à rien. On utilise alors un équivalent et le critère de Riemann.

La règle de d'Alembert est faite pour les termes contenant des factorielles ou des puissances $n$ -ièmes.

5Théorème spécial des séries alternées

Théorème 5.1Théorème spécial des séries alternées

Hypothèses

$(a_n)$ est une suite de réels positifs ;
$(a_n)$ est décroissante ;
$a_n \to 0$ .

Alors la série $\sum (-1)^n a_n$ converge. De plus, pour tout $n$ , le reste $R_n = \sum_{k>n}(-1)^k a_k$ vérifie :

il est du signe de son premier terme, c'est-à-dire de $(-1)^{n+1}$ ;
sa valeur absolue est majorée par $a_{n+1}$ .

Démonstration

On pose $S_n$ la somme partielle. Les suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ sont adjacentes : l'une décroît, l'autre croît, et leur différence $a_{2n+1}$ tend vers $0$ . Elles convergent donc vers une limite commune, qui est la somme. La somme est alors toujours comprise entre deux sommes partielles consécutives, ce qui donne à la fois le signe et la majoration du reste.

Exemple 5.2Séries semi-convergentes

La série de terme général $\frac{(-1)^n}{n}$ converge, alors qu'elle ne converge pas absolument. Même chose pour $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ et pour $\frac{(-1)^n}{\ln n}$ à partir de $n = 2$ .

La majoration du reste donne une valeur approchée de la somme avec une erreur contrôlée. Pour $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ à partir de $n = 1$ , tronquer à $n = 1000$ donne une erreur inférieure à $\frac{1}{1001}$ .

Attention

Les trois hypothèses sont nécessaires. La décroissance ne peut pas être remplacée par la seule convergence vers $0$ . Contre-exemple : $a_n = \frac{1}{n}$ si $n$ est pair et $a_n = \frac{1}{n^2}$ si $n$ est impair. Alors $a_n \to 0$ , la suite n'est pas décroissante, et la série de terme général $(-1)^n a_n$ diverge, car elle est la différence d'une série divergente et d'une série convergente.

Une série dont les signes alternent de façon irrégulière n'est pas une série alternée. La transformation d'Abel est hors programme en PC.

6Produit de Cauchy

Définition 6.1Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy des séries de terme général $a_n$ et $b_n$ est la série de terme général $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}.$

Théorème 6.2Produit de Cauchy

Hypothèses

$\sum a_n$ converge absolument ;
$\sum b_n$ converge absolument.

Alors $\sum c_n$ converge absolument et sa somme est le produit des sommes. La démonstration n'est pas exigible.

Exemple 6.3Relation fonctionnelle de l'exponentielle

Avec $a_n = \frac{z^n}{n!}$ et $b_n = \frac{w^n}{n!}$ , le terme $c_n$ vaut, après reconnaissance de la formule du binôme, $\frac{(z+w)^n}{n!}$ . On retrouve $\exp(z)\exp(w) = \exp(z+w)$ .

Exemple 6.4Carré de la série géométrique

Le produit de Cauchy de $\sum x^n$ par elle-même, pour $\abs{x} < 1$ , a pour terme général $(n+1)x^n$ . On obtient donc $\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2}.$

Attention

L'hypothèse de convergence absolue ne peut pas être affaiblie en simple convergence. Il existe des séries convergentes non absolument convergentes dont le produit de Cauchy diverge, par exemple celles de terme général $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ .

Méthodes

MéthodeSérie à termes positifs

Chercher un équivalent simple du terme général.
Conclure par comparaison avec Riemann ou avec une géométrique.

MéthodeFactorielles ou puissances $n$ -ièmes

Penser à la règle de d'Alembert.
Utiliser Stirling si l'on veut un équivalent.

MéthodeTerme général $f(n)$ avec $f$ positive décroissante

Penser à la comparaison série-intégrale.
L'utiliser pour la nature, pour un équivalent de la somme partielle ou pour un équivalent du reste.

MéthodeSérie alternée

Vérifier les trois hypothèses du théorème spécial.
Utiliser la majoration du reste pour toute question de valeur approchée ou d'équivalent du reste.

MéthodeProduit de deux sommes de séries

Vérifier la convergence absolue des deux séries.
Appliquer le produit de Cauchy.

MéthodeEstimer un reste de série convergente

Trois techniques :

la comparaison série-intégrale ;
la majoration géométrique ;
le théorème spécial des séries alternées.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire l'encadrement de base de la comparaison série-intégrale et justifier la décroissance utilisée.
Retrouver la nature des séries de Riemann par comparaison série-intégrale.
Démontrer que la somme partielle harmonique est équivalente à $\ln n$ .
Donner un équivalent du reste de la série de terme général $\frac{1}{n^2}$ .
Énoncer Stirling et en déduire un équivalent du coefficient binomial central.
Appliquer la règle de d'Alembert et expliquer pourquoi elle est inutile sur une fraction rationnelle en $n$ .
Démontrer le théorème spécial des séries alternées par suites adjacentes, et majorer le reste.
Définir le produit de Cauchy et retrouver la relation fonctionnelle de l'exponentielle.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le terme général d'une série convergente tend vers 0, divergence grossière sinon. Rappel de première année, exigible avec démonstration.
Lien suite-série : (a_n) converge si et seulement si Σ(a_n+1 − a_n) converge. Rappel de première année, exigible avec démonstration.
Séries à termes positifs : convergence si et seulement si les sommes partielles sont majorées, comparaison par inégalité, par domination et par équivalence. Rappels, exigibles.
Séries géométriques, de Riemann, exponentielle. Rappels, exigibles.
Une série absolument convergente converge, et si u_n = O(v_n) avec v_n ≥ 0 et Σv_n convergente, alors Σu_n converge absolument. Rappels, exigibles avec démonstration.
Comparaison série-intégrale : si f est continue par morceaux, positive et monotone sur [n₀, +∞[, la série de terme général f(n) et l'intégrale de f sur [n₀, +∞[ sont de même nature, avec encadrement des sommes partielles et des restes. Exigible avec démonstration.
Formule de Stirling : n! ~ (n/e)ⁿ √(2πn). Exigible, démonstration non exigible.
Règle de d'Alembert : si u_n ≠ 0 et |u_n+1|/|u_n| tend vers L, convergence absolue si L < 1, divergence grossière si L > 1, aucune conclusion si L = 1. Exigible avec démonstration.
Théorème spécial des séries alternées : si (a_n) est positive, décroissante, de limite nulle, alors Σ(−1)ⁿ a_n converge, le reste R_n est du signe de (−1)ⁿ⁺¹ et |R_n| ≤ a_n+1. Exigible avec démonstration.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes : convergence absolue et somme égale au produit des sommes. Exigible, démonstration non exigible.
Hors programme en PC : transformation d'Abel, critère de Cauchy, sommation des relations de comparaison, théorème de Cesàro, règle de Raabe-Duhamel, étude systématique de la semi-convergence. Les familles sommables sont réservées au contexte probabiliste.

Clés de démonstration

Absolue convergence entraîne convergence. Cas réel : u_n = u_n⁺ − u_n⁻ avec u_n⁺ = max(u_n, 0) et u_n⁻ = max(−u_n, 0), toutes deux positives et majorées par |u_n|. Les deux séries convergent par comparaison, donc Σu_n converge par linéarité. Cas complexe : parties réelle et imaginaire, majorées en valeur absolue par |u_n|. Astuce : découper en morceaux positifs que l'on sait comparer.

Comparaison série-intégrale, cas décroissant. Pour k ≥ n₀ + 1, f(k) ≤ f(t) ≤ f(k − 1) sur [k − 1, k], donc l'intégrale de f sur [k, k + 1] ≤ f(k) ≤ l'intégrale de f sur [k − 1, k]. On somme de n₀ + 1 à n : les sommes partielles sont encadrées par deux intégrales. Si l'intégrale converge, les sommes partielles sont majorées et la série à termes positifs converge. Sinon, elles ne sont pas majorées. Astuce : un seul encadrement, dessiné avec des rectangles, puis on somme. Pour f croissante, les deux inégalités s'inversent.

Règle de d'Alembert. Si L < 1, on choisit q avec L < q < 1. À partir d'un rang N, |u_n+1| ≤ q|u_n|, donc |u_n| ≤ |u_N| q^n−N, et Σ|u_n| converge par comparaison à une géométrique. Si L > 1, |u_n+1| ≥ |u_n| à partir d'un rang, donc |u_n| est croissante et ne tend pas vers 0. Astuce : la limite fournit une inégalité pour n grand, que l'on itère.

Théorème spécial des séries alternées. On note S_n la somme partielle. S_2n+2 − S_2n = a_2n+2 − a_2n+1 ≤ 0 et S_2n+3 − S_2n+1 = a_2n+2 − a_2n+3 ≥ 0, donc (S_2n) décroît, (S_2n+1) croît, et S_2n+1 − S_2n = −a_2n+1 tend vers 0. Les deux suites sont adjacentes et convergent vers une même limite S. Pour tout n, S est compris entre S_n et S_n+1, donc R_n = S − S_n a le signe de S_n+1 − S_n = (−1)ⁿ⁺¹ a_n+1 et |R_n| ≤ a_n+1. Astuce : les sommes partielles paires et impaires sont adjacentes, et la somme est coincée entre deux sommes partielles consécutives.

Séries de Riemann. Avec f(t) = 1/t^α, positive et décroissante sur [1, +∞[ pour α > 0, l'intégrale de f sur [1, X] vaut (X^1−α − 1)/(1 − α) si α ≠ 1 et ln X si α = 1. Elle a une limite finie si et seulement si α > 1. Pour α ≤ 0 la série diverge grossièrement. Astuce : la comparaison série-intégrale fait tout le travail.

Produit de Cauchy, idée de la preuve non exigible. Cas de termes positifs d'abord : la somme partielle de Σc_n jusqu'au rang n est comprise entre le produit des sommes partielles de rang n/2 environ et le produit des sommes partielles de rang n, car elle correspond à un triangle coincé entre deux carrés dans le tableau des a_k b_l. Le cas général se ramène au cas positif par absolue convergence.

Exemples et contre-exemples à connaître

Σ(−1)ⁿ/n converge par le théorème spécial et ne converge pas absolument. La convergence absolue est suffisante, pas nécessaire.
Σ1/n et Σ1/n² ont un rapport de limite 1 et des natures différentes. Le cas L = 1 de d'Alembert est réellement indécis.
Σ1/(n ln n) diverge et Σ1/(n (ln n)²) converge, par comparaison série-intégrale avec les primitives ln(ln t) et −1/ln t.
u_n = (−1)ⁿ/(√n + (−1)ⁿ) est équivalent à (−1)ⁿ/√n, dont la série converge, et pourtant Σu_n diverge. En effet u_n = (−1)ⁿ √n/(n − 1) − 1/(n − 1), différence d'une série alternée convergente et de la série harmonique décalée. Un équivalent ne transmet la nature qu'entre termes positifs.
Le produit de Cauchy de Σ(−1)ⁿ/√(n + 1) par elle-même diverge grossièrement, son terme général est de module au moins 1. La convergence simple des facteurs ne suffit pas.
u_n = nⁿ/(n! eⁿ) vérifie u_n+1/u_n → 1, d'Alembert ne dit rien, mais Stirling donne u_n ~ 1/√(2πn), donc la série diverge.
f(t) = sin²(πt)/t est positive, continue, non intégrable sur [1, +∞[, alors que f(n) = 0 pour tout entier n. Sans monotonie, la comparaison série-intégrale est fausse.
Le coefficient binomial central (2n)!/(n!)² est équivalent à 4ⁿ/√(πn). C'est l'application de Stirling que tous les sujets utilisent.

Techniques du chapitre

Technique 1 : équivalent puis Riemann. Mini-exercice : u_n = 1 − cos(1/n). Le développement cos x = 1 − x²/2 + o(x²) donne u_n ~ 1/(2n²) > 0, donc Σu_n converge.

Technique 2 : somme partielle divergente par encadrement intégral, fonction croissante. Mini-exercice : S_n = Σ_k=1ⁿ √k. La racine est croissante, donc l'intégrale de √t sur [k − 1, k] ≤ √k ≤ l'intégrale sur [k, k + 1]. En sommant, (2/3) n^3/2 ≤ S_n ≤ (2/3)((n + 1)^3/2 − 1), donc S_n ~ (2/3) n^3/2.

Technique 3 : reste convergent par encadrement intégral. Mini-exercice : R_n = Σ_k>n 1/k³. Pour t ↦ 1/t³ décroissante, l'intégrale de n + 1 à +∞ ≤ R_n ≤ l'intégrale de n à +∞, soit 1/(2(n + 1)²) ≤ R_n ≤ 1/(2n²), donc R_n ~ 1/(2n²).

Technique 4 : Stirling pour un équivalent logarithmique. Mini-exercice : montrer que (n!)^1/n ~ n/e. Stirling donne ln(n!) = n ln n − n + (1/2) ln(2πn) + o(1), donc (1/n) ln(n!) − ln n + 1 tend vers 0, et (n!)^1/n e/n = exp de cette quantité tend vers 1.

Technique 5 : d'Alembert devant des factorielles. Mini-exercice : u_n = (n!)²/(2n)!. Le rapport u_n+1/u_n = (n + 1)²/((2n + 1)(2n + 2)) = (n + 1)/(2(2n + 1)) tend vers 1/4 < 1. La série converge.

Technique 6 : valeur approchée par le théorème spécial. Mini-exercice : approcher 1/e = Σ(−1)ⁿ/n! à 10⁻³ près. La suite 1/n! décroît vers 0, donc |R_n| ≤ 1/(n + 1)!. Il suffit que (n + 1)! ≥ 1000, soit n + 1 = 7. La somme partielle de rang 6 convient, et l'erreur est de signe connu, celui de (−1)⁷, donc négative.

Technique 7 : produit de Cauchy pour calculer une somme. Mini-exercice : pour |x| < 1, le produit de Cauchy de Σxⁿ par Σxⁿ/n!, toutes deux absolument convergentes, a pour terme général c_n = xⁿ Σ_k=0ⁿ 1/k!. Donc Σ_n≥0 xⁿ (Σ_k=0ⁿ 1/k!) = e^x/(1 − x).

Technique 8 : lien suite-série pour prouver l'existence d'une limite. Mini-exercice : w_n = H_n − ln n où H_n = Σ_k=1ⁿ 1/k. On a w_n+1 − w_n = 1/(n + 1) − ln(1 + 1/n) = O(1/n²) par développement limité, donc la série des écarts converge absolument et (w_n) converge vers un réel γ, la constante d'Euler.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Séries de Bertrand

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient α et β réels. Déterminer la nature de la série de terme général u_n = 1/(n^α (ln n)^β), n ≥ 2.

Technique comparaison à Riemann si α ≠ 1, comparaison série-intégrale si α = 1.

Voir le corrigé

Si α > 1, on choisit γ avec 1 < γ < α. Alors n^γ u_n = (ln n)^−β/n^α−γ tend vers 0 par croissances comparées, donc u_n ≤ 1/n^γ à partir d'un rang, et la série converge.
Si α < 1, n u_n = n^1−α (ln n)^−β tend vers +∞, donc u_n ≥ 1/n à partir d'un rang, et la série diverge.
Si α = 1, f(t) = 1/(t (ln t)^β) est positive et décroissante à partir d'un certain rang, ce qui suffit. Le changement de variable u = ln t transforme l'intégrale de f sur [2, X] en l'intégrale de 1/u^β sur [ln 2, ln X], qui a une limite finie quand X tend vers +∞ si et seulement si β > 1.
Bilan : convergence si et seulement si α > 1, ou α = 1 et β > 1.

piège : Oublier de justifier la décroissance de f pour β < 0, ou croire que le logarithme compte quand α ≠ 1.

Exercice 2. Terme général d'une série convergente à termes décroissants

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit (u_n) positive, décroissante, avec Σu_n convergente. Montrer que n u_n tend vers 0.

Technique minorer un bloc de n termes consécutifs par le dernier.

Voir le corrigé

Pour n ≥ 1, la décroissance donne Σ_k=n+1²ⁿ u_k ≥ n u_2n. Le membre de gauche vaut R_n − R_2n, différence de deux restes, et tend vers 0. Donc 2n u_2n tend vers 0.
Pour les rangs impairs, (2n + 1) u_2n+1 ≤ (2n + 1) u_2n = (2n u_2n)(2n + 1)/(2n), qui tend vers 0.
Les sous-suites paire et impaire tendent vers 0, donc n u_n tend vers 0.

piège : Croire que la décroissance est superflue. La suite valant 1/n si n est un carré parfait et 0 sinon a une série convergente, et n u_n = 1 pour une infinité de n.

Exercice 3. Une série alternée cachée

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Étudier la convergence et l'absolue convergence de la série de terme général u_n = sin(π√(n² + 1)).

Technique faire apparaître (−1)ⁿ en retranchant nπ, puis appliquer le théorème spécial.

Voir le corrigé

√(n² + 1) − n = 1/(√(n² + 1) + n), quantité notée ε_n, positive, décroissante, de limite 0.
u_n = sin(nπ + πε_n) = (−1)ⁿ sin(πε_n). Pour n ≥ 1, πε_n ∈ ]0, π/2], et le sinus y est croissant, donc a_n = sin(πε_n) est positive, décroissante et tend vers 0.
Le théorème spécial s'applique : Σu_n converge.
|u_n| = sin(πε_n) ~ πε_n ~ π/(2n), terme positif d'une série divergente. Σu_n ne converge pas absolument.

piège : Écrire u_n ~ (−1)ⁿ π/(2n) et conclure par équivalence. L'équivalent est vrai mais ne donne rien pour une série de signe non constant.

Exercice 4. Constante d'Euler avec vitesse

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que H_n = ln n + γ + O(1/n).

Technique encadrer l'écart de w_n = H_n − ln n, puis majorer un reste par comparaison série-intégrale.

Voir le corrigé

Pour x > 0, x/(1 + x) ≤ ln(1 + x) ≤ x. Avec x = 1/n, on obtient 1/(n + 1) ≤ ln(1 + 1/n) ≤ 1/n.
Donc 0 ≤ w_n − w_n+1 = ln(1 + 1/n) − 1/(n + 1) ≤ 1/n − 1/(n + 1) ≤ 1/n². La suite (w_n) est décroissante et la série des écarts converge par comparaison, donc (w_n) converge vers un réel γ.
Pour n ≥ 2, w_n − γ = Σ_k≥n (w_k − w_k+1) est compris entre 0 et Σ_k≥n 1/k², lui-même majoré par l'intégrale de 1/t² sur [n − 1, +∞[, qui vaut 1/(n − 1).
Ainsi 0 ≤ H_n − ln n − γ ≤ 1/(n − 1), soit H_n = ln n + γ + O(1/n).

piège : Écrire H_n ~ ln n puis « donc H_n − ln n tend vers 0 ». L'équivalent ne contrôle pas la différence, il faut la série des écarts.

Exercice 5. Une suite d'intégrales et sa série alternée

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Pour n ∈ N, on pose u_n = intégrale de xⁿ/(1 + x) sur [0, 1]. Montrer que Σ(−1)ⁿ u_n converge et calculer sa somme. Donner un équivalent de u_n.

Technique théorème spécial, puis calcul de la somme partielle par la somme géométrique sous l'intégrale.

Voir le corrigé

u_n ≥ 0, et xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ sur [0, 1] donne u_n+1 ≤ u_n. De plus u_n ≤ intégrale de xⁿ sur [0, 1] = 1/(n + 1), donc u_n tend vers 0. Le théorème spécial s'applique.
Pour x ∈ [0, 1], Σ_k=0ⁿ (−1)^k x^k = (1 − (−x)ⁿ⁺¹)/(1 + x). En intégrant, S_n = Σ_k=0ⁿ (−1)^k u_k = intégrale de 1/(1 + x)² sur [0, 1] − intégrale de (−x)ⁿ⁺¹/(1 + x)² sur [0, 1].
La seconde intégrale est majorée en valeur absolue par l'intégrale de xⁿ⁺¹ sur [0, 1] = 1/(n + 2), qui tend vers 0. La première vaut 1 − 1/2 = 1/2. Donc la somme est 1/2.
u_n + u_n+1 = intégrale de xⁿ sur [0, 1] = 1/(n + 1). Par décroissance, 2u_n+1 ≤ 1/(n + 1) ≤ 2u_n, d'où 1/(2(n + 1)) ≤ u_n ≤ 1/(2n) pour n ≥ 1, et u_n ~ 1/(2n).

piège : Intervertir la somme infinie et l'intégrale sans justification. Avec la somme partielle finie, tout est licite et l'erreur est contrôlée.

Exercice 6. Somme partielle de 1/√k

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit S_n = Σ_k=1ⁿ 1/√k. Montrer que S_n ~ 2√n, puis que S_n − 2√n converge.

Technique comparaison série-intégrale, puis série des écarts entre le terme et l'intégrale.

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f(t) = 1/√t est positive et décroissante sur [1, +∞[, de primitive 2√t. Pour k ≥ 2, l'intégrale de f sur [k, k + 1] ≤ f(k) ≤ l'intégrale sur [k − 1, k].
En sommant de 2 à n : 2√(n + 1) − 2√2 ≤ S_n − 1 ≤ 2√n − 2. Donc S_n ~ 2√n.
Posons w_n = f(n) − intégrale de f sur [n, n + 1]. L'encadrement donne 0 ≤ w_n ≤ f(n) − f(n + 1). La série des f(n) − f(n + 1) est télescopique et converge car f(n) tend vers 0. Donc Σw_n converge.
Σ_k=1ⁿ w_k = S_n − (2√(n + 1) − 2), donc S_n − 2√(n + 1) converge. Comme 2√(n + 1) − 2√n = 2/(√(n + 1) + √n) tend vers 0, S_n − 2√n converge.

piège : Croire que la limite de S_n − 2√n se déduit de l'encadrement de l'étape 2. Il ne donne qu'un encadrement, la convergence vient de la série des écarts.

Exercice 7. Un paramètre et un cas limite

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit a > 0. Déterminer la nature de la série de terme général u_n = aⁿ n!/nⁿ.

Technique règle de d'Alembert, puis Stirling pour le cas limite.

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u_n+1/u_n = a (n + 1) nⁿ/(n + 1)ⁿ⁺¹ = a (1 + 1/n)⁻ⁿ, qui tend vers a/e.
Si a < e, la série converge. Si a > e, elle diverge grossièrement.
Si a = e, Stirling donne u_n = eⁿ n!/nⁿ ~ √(2πn), qui tend vers +∞. La série diverge grossièrement.

piège : Écrire (1 + 1/n)⁻ⁿ → 1 au lieu de 1/e, ou abandonner dans le cas a = e alors que Stirling conclut.

Exercice 8. Racines et convergence

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit (u_n) positive avec Σu_n convergente. Montrer que Σ√(u_n)/n et Σ√(u_n u_n+1) convergent. La réciproque de la seconde implication est-elle vraie ?

Technique inégalité 2ab ≤ a² + b², puis contre-exemple.

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√(u_n)/n = √(u_n) × (1/n) ≤ (u_n + 1/n²)/2. La série majorante converge, donc Σ√(u_n)/n converge.
√(u_n u_n+1) ≤ (u_n + u_n+1)/2, et Σu_n+1 converge comme Σu_n. Donc Σ√(u_n u_n+1) converge.
Réciproque fausse : u_n = 1 si n est pair, 0 si n est impair. Alors u_n u_n+1 = 0 pour tout n, la série des racines converge, et Σu_n diverge.
Si (u_n) est décroissante, la réciproque devient vraie : √(u_n u_n+1) ≥ u_n+1, et Σu_n+1 converge par comparaison.

piège : Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur des sommes infinies sans passer par les sommes partielles. L'inégalité 2ab ≤ a² + b² terme à terme évite tout problème.

Exercice 9. Stirling à une constante près

Approfondissement · Type oral Mines

On pose v_n = ln(n!) − (n + 1/2) ln n + n. Montrer que (v_n) converge. En déduire qu'il existe C > 0 tel que n! ~ C nⁿ √n e⁻ⁿ.

Technique série des écarts et développement limité à l'ordre 3 du logarithme.

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v_n+1 − v_n = ln(n + 1) − (n + 3/2) ln(n + 1) + (n + 1/2) ln n + 1 = 1 − (n + 1/2) ln(1 + 1/n).
ln(1 + 1/n) = 1/n − 1/(2n²) + 1/(3n³) + O(1/n⁴). En multipliant par n + 1/2 : 1 − 1/(2n) + 1/(3n²) + 1/(2n) − 1/(4n²) + O(1/n³) = 1 + 1/(12n²) + O(1/n³).
Donc v_n+1 − v_n = −1/(12n²) + O(1/n³) = O(1/n²). La série des écarts converge absolument, et (v_n) converge vers un réel L.
Par définition de v_n, n!/(nⁿ √n e⁻ⁿ) = exp(v_n), qui tend vers C = e^L > 0. D'où l'équivalent. La formule de Stirling affirme que C = √(2π), ce que cet argument ne fournit pas.

piège : S'arrêter à l'ordre 2 dans le développement, ce qui laisse un terme en 1/n non contrôlé et empêche de conclure.

Erreurs fréquentes

Utiliser un équivalent pour une série dont le terme change de signe. L'équivalence ne transmet la nature qu'entre termes positifs.
Appliquer la comparaison série-intégrale sans monotonie, ou avec un encadrement dans le mauvais sens pour une fonction croissante.
Appliquer le théorème spécial en vérifiant seulement que le terme tend vers 0, sans la décroissance de sa valeur absolue.
Écrire Stirling avec un signe égal, ou l'utiliser dans une somme ou une différence sans précaution.
Faire un produit de Cauchy avec des séries seulement convergentes, ou déduire de u_n → 0 la convergence de la série.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Suites et séries de fonctions », section A « Compléments sur les séries numériques ». Les termes sont réels ou complexes. L'étude de la semi-convergence n'est pas un objectif du programme de PC.

Compléments sur les séries numériques

Résumé en cinq points

1Rappels de première année

2Comparaison série-intégrale

2.1L'encadrement de base

2.2Nature de la série

2.3Estimation de sommes partielles et de restes

3Formule de Stirling

4Règle de d'Alembert

5Théorème spécial des séries alternées

6Produit de Cauchy

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Séries de Bertrand

Exercice 2. Terme général d'une série convergente à termes décroissants

Exercice 3. Une série alternée cachée

Exercice 4. Constante d'Euler avec vitesse

Exercice 5. Une suite d'intégrales et sa série alternée

Exercice 6. Somme partielle de 1/√k

Exercice 7. Un paramètre et un cas limite

Exercice 8. Racines et convergence

Exercice 9. Stirling à une constante près

Erreurs fréquentes

Au concours