Mathématiques 1

Partie A : autour du principe d'incertitude d'Heisenberg

• $\mathrm{Id}$ désigne l'application identité de $E$.
• Un complexe $\lambda$ est valeur propre de $\varphi$ lorsque $\operatorname{Ker}(\varphi - \lambda\,\mathrm{Id}) \ne \{0\}$. On note $\mathrm{VP}(\varphi)$ l'ensemble de ces valeurs propres.
• Pour $\lambda \in \mathrm{VP}(\varphi)$, on note $E_\lambda(\varphi) = \operatorname{Ker}(\varphi - \lambda\,\mathrm{Id})$. C'est un sous-espace vectoriel de $E$.

• $\mathcal M_N(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices carrées réelles de taille $N$, et $I_N$ sa matrice identité.
• $\operatorname{diag}(\alpha_1, \dots, \alpha_N)$ est la matrice diagonale de coefficients diagonaux $\alpha_1, \dots, \alpha_N$.
• Pour $A \in \mathcal M_N(\mathbb{R})$, $\operatorname{Sp}(A)$ est l'ensemble des valeurs propres de $A$.
• $\mathcal S_N(\mathbb{R})$ désigne l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille $N$. Parmi elles, $\mathcal S_N^+(\mathbb{R})$ regroupe les positives et $\mathcal S_N^{++}(\mathbb{R})$ les définies positives.

I : valeurs propres de l'opérateur dérivée seconde

Q1.