Le cours

Résumé en cinq points

Les solutions de l'équation complète sont une solution particulière plus toutes les solutions de l'équation homogène, au premier comme au second ordre.
Au premier ordre, l'homogène a pour solutions les $C\,\e^{-A(x)}$ où $A$ est une primitive de $a$ , et la variation de la constante donne toujours une solution particulière.
Le théorème de Cauchy assure existence et unicité sur tout l'intervalle, avec une condition au premier ordre et deux au second.
Au second ordre à coefficients constants, tout se lit sur l'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ , avec la forme $\e^{\alpha x}\big(\lambda\cos\beta x + \mu\sin\beta x\big)$ quand le discriminant est négatif.
Pour un second membre $A\e^{\lambda x}$ , on cherche $C\e^{\lambda x}$ , ou $Cx\,\e^{\lambda x}$ si $\lambda$ est racine simple, ou $Cx^2\e^{\lambda x}$ si $\lambda$ est racine double, et l'on superpose pour les seconds membres composés.

Pourquoi ce chapitre

Une équation différentielle relie une fonction inconnue et ses dérivées. C'est le langage de la modélisation :

circuit RC, RL ou RLC ;
oscillateur mécanique amorti ;
désintégration radioactive ;
refroidissement d'un corps ;
cinétique chimique.

Le programme se limite à deux familles que l'on sait résoudre entièrement par des formules explicites. Le point de vue est pratique, mais la structure du résultat est à comprendre une fois pour toutes : l'ensemble des solutions est une solution particulière à laquelle on ajoute toutes les solutions de l'équation homogène. Cette structure se retrouvera à l'identique en algèbre linéaire, pour les systèmes linéaires. Aux concours, les méthodes sont mécaniques.

1Primitives, l'outil de base

1.1Définition et structure

Définition 1.1Primitive

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles ou complexes. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$ .

Propriété 1.2Ensemble des primitives

Hypothèses

$I$ est un intervalle ;
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ .

Alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est exactement l'ensemble des $F + C$ , où $C$ est une constante.

La démonstration repose sur le fait qu'une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante.

Attention

L'hypothèse « sur un intervalle » est indispensable : sans elle, la constante peut changer d'un morceau à l'autre du domaine.

Remarque

Résultat admis à ce stade : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

1.2Primitives à connaître

Sur un intervalle où les expressions ont un sens :

Fonction	Primitive
$x^\alpha$ , $\alpha \in \R \setminus \{-1\}$	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\abs{x}$
$\e^{\lambda x}$ , $\lambda \neq 0$ (complexe permis)	$\dfrac{\e^{\lambda x}}{\lambda}$
$\cos$	$\sin$
$\sin$	$-\cos$
$\operatorname{sh}$	$\operatorname{ch}$
$\operatorname{ch}$	$\operatorname{sh}$
$\tan$	$-\ln\abs{\cos x}$
$\ln$	$x\ln x - x$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\operatorname{Arctan} x$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sur $\intoo{-1}{1}$	$\operatorname{Arcsin} x$

MéthodePrimitiver $\e^{ax}\cos(bx)$ ou $\e^{ax}\sin(bx)$

Écrire la fonction comme partie réelle ou imaginaire de $\e^{(a+\ii b)x}$ .
Primitiver en une ligne cette exponentielle complexe.
Revenir au réel en prenant la partie réelle ou imaginaire.

Cela évite une double intégration par parties.

1.3Reconnaître une dérivée de fonction composée

C'est le premier réflexe devant une primitive à calculer. Pour $u$ dérivable sur $I$ :

$u'u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ si $n$ est un entier différent de $-1$ ;
$\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln\abs{u}$ là où $u$ ne s'annule pas ;
$u'\e^u$ a pour primitive $\e^u$ ;
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u}$ là où $u$ est strictement positive ;
$\dfrac{u'}{1+u^2}$ a pour primitive $\operatorname{Arctan} u$ .

Exemple 1.3

$\dfrac{x}{1+x^2}$ a pour primitive $\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)$ .
$\cos x\,\e^{\sin x}$ a pour primitive $\e^{\sin x}$ .

1.4Primitives de $1/(ax^2+bx+c)$

Ce calcul est exigible. On discute selon le discriminant $\Delta$ du trinôme, sur un intervalle où celui-ci ne s'annule pas.

MéthodePrimitiver $\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$

Si $\Delta > 0$ , le trinôme se factorise en $a(x-r_1)(x-r_2)$ . On décompose $\dfrac{1}{(x-r_1)(x-r_2)}$ en somme de deux fractions simples : on obtient une combinaison de $\ln\abs{x-r_1}$ et de $\ln\abs{x-r_2}$ .
Si $\Delta = 0$ , le trinôme vaut $a(x-r)^2$ et une primitive est $-\dfrac{1}{a(x-r)}$ .
Si $\Delta < 0$ , on met le trinôme sous forme canonique $a\big((x+p)^2+q^2\big)$ avec $q > 0$ : une primitive est $\dfrac{1}{aq}\operatorname{Arctan}\dfrac{x+p}{q}$ .

Exemple 1.4

$\dfrac{1}{x^2+2x+5} = \dfrac{1}{(x+1)^2+4}$ a pour primitive $\dfrac{1}{2}\operatorname{Arctan}\dfrac{x+1}{2}$ sur $\R$ .

1.5Intégration par parties et changement de variable

Théorème 1.5Intégration par parties

Hypothèses

$u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment $[a, b]$ .

Alors $\int_a^b u v' = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u' v.$

Elle sert quand le produit comporte un facteur qui se simplifie en dérivant : polynôme, logarithme, Arctan.

Exemple 1.6

Pour primitiver $\ln$ , on écrit $\ln x = 1 \times \ln x$ et on dérive le logarithme.

Théorème 1.7Changement de variable

Hypothèses

$\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[\alpha, \beta]$ ;
$f$ est continue.

Alors $\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\dd t = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\,\dd x.$

En pratique on pose $x = \varphi(t)$ , on remplace $\dd x$ par $\varphi'(t)\,\dd t$ et on change les bornes. Dans les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

2Vocabulaire et structure

Définition 2.1Équation linéaire du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre s'écrit, sous forme normalisée, $y' + a(x)\,y = b(x),$ où $a$ et $b$ sont continues sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles ou complexes. Une solution est une fonction $y$ dérivable sur $I$ qui vérifie l'égalité en tout point de $I$ .

Résoudre l'équation, c'est décrire toutes les solutions, sur un intervalle précisé.

Définition 2.2Équation homogène associée

L'équation homogène associée est $y' + a(x)\,y = 0$ , obtenue en remplaçant le second membre par $0$ .

Propriété 2.3Structure de l'ensemble des solutions

Hypothèses

$y_p$ est une solution particulière de l'équation complète.

Alors les solutions de l'équation complète sont exactement les $y_p + y_h$ , où $y_h$ parcourt les solutions de l'équation homogène.

La vérification est immédiate par linéarité : la différence de deux solutions de l'équation complète est solution de l'équation homogène.

Propriété 2.4Principe de superposition

Si $y_1$ est solution de l'équation de second membre $b_1$ et $y_2$ solution de celle de second membre $b_2$ , alors $\lambda y_1 + \mu y_2$ est solution de l'équation de second membre $\lambda b_1 + \mu b_2$ .

On l'utilise pour découper un second membre compliqué en morceaux simples.

Attention

Si l'énoncé donne $\alpha(x)\,y' + \beta(x)\,y = \gamma(x)$ avec $\alpha$ qui s'annule, on ne peut pas normaliser sur tout le domaine. On résout sur chaque intervalle où $\alpha$ ne s'annule pas, puis on étudie séparément le raccordement au point où $\alpha$ s'annule, en imposant la continuité et la dérivabilité. C'est un exercice classique.

3Premier ordre

3.1Équation homogène

Théorème 3.1Solutions de l'équation homogène

Hypothèses

$a$ est continue sur l'intervalle $I$ ;
$A$ est une primitive de $a$ sur $I$ .

Alors les solutions de $y' + a(x)\,y = 0$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto C\,\e^{-A(x)}$ , où $C$ est une constante, réelle ou complexe selon le cadre.

Démonstration

Si $y$ est solution, on pose $z(x) = y(x)\,\e^{A(x)}$ . Alors $z$ est dérivable et $z'(x) = \big(y'(x) + a(x)\,y(x)\big)\e^{A(x)} = 0,$ donc $z$ est constante sur l'intervalle $I$ . Réciproquement, ces fonctions conviennent par calcul direct.

Une solution de l'équation homogène qui s'annule en un point est identiquement nulle, puisque l'exponentielle ne s'annule jamais.

Si $a$ est constante égale à $\alpha$ , les solutions sont les $C\,\e^{-\alpha x}$ .

Exemple 3.2

$y' - 2xy = 0$ sur $\R$ . Ici $a(x) = -2x$ et $A(x) = -x^2$ , les solutions sont les $C\,\e^{x^2}$ .

3.2Solution particulière et variation de la constante

MéthodeVariation de la constante

Chercher une solution sous la forme $y(x) = C(x)\,\e^{-A(x)}$ , où $C$ est une fonction dérivable inconnue.
Reporter dans l'équation : les termes en $C(x)$ se simplifient, il reste $C'(x)\,\e^{-A(x)} = b(x)$ , soit $C'(x) = b(x)\,\e^{A(x)}$ .
Primitiver $C'$ .

Que les termes en $C$ se simplifient est un contrôle de calcul : s'il reste un terme en $C(x)$ , il y a une erreur.

Exemple 3.3

$y' + y = x$ sur $\R$ . L'homogène donne $C\,\e^{-x}$ . On pose $y = C(x)\,\e^{-x}$ , d'où $C'(x) = x\,\e^{x}$ , puis par intégration par parties $C(x) = (x-1)\e^{x} + K$ . Les solutions sont $y(x) = x - 1 + K\e^{-x}$ . On peut vérifier directement que $x - 1$ est solution particulière.

3.3Problème de Cauchy

Définition 3.4Problème de Cauchy

Un problème de Cauchy est la donnée de l'équation et d'une condition initiale $y(x_0) = y_0$ , avec $x_0 \in I$ .

Théorème 3.5Cauchy au premier ordre

Hypothèses

$a$ et $b$ sont continues sur $I$ ;
$x_0 \in I$ et $y_0$ est un scalaire.

Alors le problème de Cauchy admet une unique solution sur $I$ tout entier.

La condition initiale fixe la constante $C$ . Interprétation : par chaque point du domaine passe une et une seule courbe intégrale, et deux courbes intégrales distinctes ne se coupent jamais.

4Second ordre à coefficients constants

4.1L'équation homogène

On considère $y'' + a\,y' + b\,y = f(x),$ où $a$ et $b$ sont des scalaires constants et $f$ est continue sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles ou complexes.

Définition 4.1Équation caractéristique

L'équation caractéristique associée est $r^2 + ar + b = 0$ . Elle s'obtient en cherchant des solutions de la forme $\e^{rx}$ .

Théorème 4.2Cas complexe

Hypothèses

$a$ et $b$ sont des complexes ;
$\Delta = a^2 - 4b$ .

Alors, pour l'équation homogène :

si $\Delta \neq 0$ , l'équation caractéristique a deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$ , et les solutions sont les $x \mapsto \lambda\e^{r_1 x} + \mu\e^{r_2 x}$ , avec $\lambda$ et $\mu$ complexes ;
si $\Delta = 0$ , il y a une racine double $r$ , et les solutions sont les $x \mapsto (\lambda x + \mu)\e^{rx}$ .

Théorème 4.3Cas réel, solutions réelles

Hypothèses

$a$ et $b$ sont réels ;
on cherche les solutions réelles ;
$\Delta = a^2 - 4b$ .

Alors, pour l'équation homogène :

si $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ , solutions $\lambda\e^{r_1 x} + \mu\e^{r_2 x}$ avec $\lambda$ et $\mu$ réels ;
si $\Delta = 0$ : racine double réelle $r$ , solutions $(\lambda x + \mu)\e^{rx}$ ;
si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $\alpha \pm \ii\beta$ avec $\beta \neq 0$ , et les solutions réelles sont les $x \mapsto \e^{\alpha x}\big(\lambda\cos(\beta x) + \mu\sin(\beta x)\big)$ .

On peut aussi écrire ces dernières $\e^{\alpha x} A\cos(\beta x - \varphi)$ , ce qui fait apparaître une amplitude et une phase, forme utile en physique. Dans tous les cas, la solution générale de l'équation homogène dépend de deux constantes arbitraires.

Exemple 4.4Oscillateur harmonique

$y'' + \omega^2 y = 0$ avec $\omega > 0$ . L'équation caractéristique $r^2 + \omega^2 = 0$ donne $r = \pm\ii\omega$ , donc les solutions réelles sont $\lambda\cos(\omega x) + \mu\sin(\omega x)$ .

Exemple 4.5

$y'' - 3y' + 2y = 0$ . Racines $1$ et $2$ , solutions $\lambda\e^{x} + \mu\e^{2x}$ .

Exemple 4.6Régime critique

$y'' + 2y' + y = 0$ . Racine double $-1$ , solutions $(\lambda x + \mu)\e^{-x}$ .

4.2Solution particulière, second membre exponentiel

Pour un second membre $f(x) = A\e^{\lambda x}$ , avec $A$ et $\lambda$ complexes, on cherche une solution particulière selon la place de $\lambda$ par rapport aux racines de l'équation caractéristique.

MéthodeSecond membre $A\e^{\lambda x}$

Si $\lambda$ n'est pas racine, chercher $y_p = C\e^{\lambda x}$ .
Si $\lambda$ est racine simple, chercher $y_p = Cx\,\e^{\lambda x}$ .
Si $\lambda$ est racine double, chercher $y_p = Cx^2\e^{\lambda x}$ .
Reporter dans l'équation et identifier $C$ .

Le cas $\lambda = 0$ correspond à un second membre constant, et redonne la règle : une constante convient si $b \neq 0$ .

Le phénomène de montée en degré quand $\lambda$ est racine est ce qu'on appelle en physique la résonance.

4.3Second membre trigonométrique

MéthodeSecond membre $B\cos(\omega x)$ ou $B\sin(\omega x)$

Hypothèses : $B$ et $\omega$ réels, $a$ et $b$ réels.

Résoudre l'équation de second membre $B\e^{\ii\omega x}$ , ce qui relève du cas précédent.
Prendre la partie réelle de la solution obtenue pour le cosinus, la partie imaginaire pour le sinus.

Ce passage est licite parce que les coefficients $a$ et $b$ sont réels.

4.4Second membre polynomial

MéthodeSecond membre polynôme de degré $n$

Si $b \neq 0$ , chercher une solution particulière polynomiale de degré $n$ .
Si $b = 0$ et $a \neq 0$ , la chercher de degré $n+1$ .
Si $a$ et $b$ sont tous deux nuls, l'équation se réduit à $y'' = f$ : primitiver deux fois.
Identifier les coefficients.

4.5Superposition

Pour un second membre somme de plusieurs termes de ces types, on traite chaque terme séparément et on additionne les solutions particulières obtenues.

Exemple 4.7

Pour $y'' + y = x + \e^{x}$ , une solution particulière pour $x$ est $x$ lui-même, pour $\e^{x}$ c'est $\e^{x}/2$ , et la somme $x + \e^{x}/2$ convient.

4.6Problème de Cauchy

Théorème 4.8Cauchy au second ordre

Hypothèses

$x_0 \in I$ ;
$y_0$ et $y_1$ sont deux scalaires.

Alors il existe une unique solution $y$ sur $I$ vérifiant $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$ .

La démonstration de ce résultat est hors programme. Deux conditions sont nécessaires, car il y a deux constantes à déterminer, et elles portent sur la fonction et sur sa dérivée au même point.

Remarque

En physique, ces deux conditions sont typiquement la position et la vitesse initiales, ou la charge et l'intensité initiales.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Annoncer l'intervalle de résolution avant de commencer.
Mettre l'équation sous forme normalisée, en vérifiant que le coefficient de la dérivée d'ordre le plus élevé ne s'annule pas sur l'intervalle choisi.
Résoudre l'homogène d'abord, chercher une solution particulière ensuite, additionner enfin. Ne jamais additionner les constantes avant d'avoir la solution particulière.
Au premier ordre, tenter de deviner une solution particulière évidente, constante ou affine, avant de lancer la variation de la constante.
Au second ordre, écrire l'équation caractéristique, discuter le discriminant, puis choisir la forme de la solution particulière selon que $\lambda$ est racine ou non.
Vérifier la solution trouvée en la reportant dans l'équation : le calcul est court et élimine la plupart des erreurs de signe.
Ne fixer les constantes avec les conditions initiales qu'à la toute fin, sur la solution générale complète.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante, et dire où sert l'hypothèse d'intervalle.
Résoudre $y' + a(x)\,y = 0$ en justifiant la méthode du facteur $\e^{A(x)}$ .
Appliquer la variation de la constante sur un exemple, en expliquant pourquoi les termes en $C(x)$ se simplifient.
Énoncer le théorème de Cauchy au premier ordre et l'utiliser pour dire que deux courbes intégrales ne se croisent pas.
Résoudre une équation homogène du second ordre dans les trois cas de discriminant, et donner la forme réelle quand $\Delta < 0$ .
Trouver une solution particulière pour un second membre $A\e^{\lambda x}$ , y compris quand $\lambda$ est racine simple ou double.
Traiter un second membre en $\cos(\omega x)$ par passage au complexe, en justifiant le passage à la partie réelle.
Résoudre un problème de Cauchy du second ordre complet, avec second membre.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle I diffèrent d'une constante : exigible avec démonstration, l'hypothèse « intervalle » est indispensable.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives : admis à ce stade.
Intégration par parties pour u et v de classe C¹ sur un segment : exigible avec démonstration, c'est la dérivée d'un produit.
Changement de variable, φ de classe C¹ sur I et f continue sur φ(I) : exigible, c'est la dérivée d'une composée.
Primitives de 1/(ax² + bx + c) selon le signe du discriminant, sur un intervalle où le trinôme ne s'annule pas : calcul exigible.
Solutions de y' + a(x)y = 0 sur I : ce sont les C e^−A(x) où A est une primitive de a sur I, C constante réelle ou complexe. Exigible avec démonstration.
Structure des solutions de l'équation complète : une solution particulière plus la solution générale de l'homogène. Exigible avec démonstration.
Principe de superposition : exigible avec démonstration, c'est la linéarité.
Méthode de variation de la constante : exigible, elle fournit toujours une solution particulière au premier ordre.
Problème de Cauchy au premier ordre, a et b continues sur I, x₀ ∈ I : existence et unicité d'une solution sur I tout entier. Exigible avec démonstration.
Second ordre homogène y'' + ay' + by = 0, a et b complexes : si Δ ≠ 0, solutions λe^r₁x + μe^r₂x, si Δ = 0, solutions (λx + μ)e^rx. Exigible avec démonstration.
Cas réel, a et b réels, solutions réelles : trois cas, dont e^αx(λ cos βx + μ sin βx) quand les racines sont α ± iβ avec β ≠ 0. Exigible.
Solution particulière pour un second membre Ae^λx, avec montée en degré si λ est racine simple ou double, et pour B cos(ωx), B sin(ωx) par passage au complexe : exigible.
Problème de Cauchy au second ordre, y(x₀) = y₀ et y'(x₀) = y₁ : existence et unicité sur I. Exigible sans démonstration, la preuve est hors programme.
Hors programme signalé : équations non linéaires, équations à variables séparables, wronskien, variation des constantes au second ordre, équations d'Euler, systèmes différentiels. Un énoncé qui en a besoin doit guider.

Clés de démonstration

Primitives et constante. Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors (F − G)' = 0 sur l'intervalle I, donc F − G est constante. L'astuce : tout repose sur « dérivée nulle sur un intervalle implique constante », faux sur une réunion d'intervalles disjoints.

Équation homogène du premier ordre. Pour y dérivable sur I, on pose z = y e^A. Alors z' = (y' + ay)e^A, donc y est solution si et seulement si z' = 0, c'est à dire z constante. L'astuce : l'exponentielle ne s'annule pas, on peut multiplier et diviser sans perdre de solutions.

Structure et superposition. Si y et y_p sont deux solutions de l'équation complète, y − y_p vérifie l'équation homogène par linéarité. Réciproquement y_p + y_h est solution. L'astuce : soustraire deux solutions fait disparaître le second membre.

Variation de la constante. On cherche y = C(x)e^−A(x) avec C dérivable. Alors y' + ay = C'e^−A − aCe^−A + aCe^−A = C'e^−A. Les termes en C se compensent parce que e^−A est solution de l'homogène. Il reste C' = b e^A, qui est continue, donc admet des primitives. L'astuce : le calcul est toujours le même, et un terme en C qui survit signale une erreur.

Cauchy au premier ordre. La solution générale est y = (C + P(x))e^−A(x) où P est une primitive de b e^A. La condition y(x₀) = y₀ s'écrit C = y₀ e^A(x₀) − P(x₀), qui détermine C de façon unique. L'astuce : l'existence et l'unicité se lisent sur la formule explicite.

Second ordre homogène. Soit r₁ une racine de r² + ar + b. On pose y = z e^r₁x. Un calcul donne z'' + (2r₁ + a)z' = 0, et 2r₁ + a = r₁ − r₂ puisque r₁ + r₂ = −a. Donc z' est solution d'une équation du premier ordre : z' = K e^{(r₂ − r₁)x}. Si r₁ ≠ r₂, on primitive et z = μe^{(r₂ − r₁)x} + λ. Si r₁ = r₂, z'' = 0 donc z = λx + μ. L'astuce : le facteur e^r₁x abaisse l'ordre de un.

Forme réelle quand Δ < 0. Les solutions complexes sont λe^{(α + iβ)x} + μe^{(α − iβ)x}. Une telle fonction est à valeurs réelles si et seulement si μ est le conjugué de λ, et elle vaut alors 2 Re(λ e^{(α + iβ)x}) = e^αx(A cos βx + B sin βx). L'astuce : partie réelle d'une exponentielle complexe.

Exemples et contre-exemples à connaître

y' = y² n'est pas linéaire : la fonction x ↦ 1/(1 − x) est solution sur ]−∞, 1[ et explose en 1. L'existence globale du théorème de Cauchy est propre au cas linéaire.
xy' = 2y sur R. Sur chaque demi-droite les solutions sont Cx². Le raccordement en 0 autorise C₁ à gauche et C₂ à droite, car les deux morceaux ont une dérivée nulle en 0. L'espace des solutions sur R est de dimension 2, alors que l'équation est du premier ordre : l'équation n'est pas normalisée en 0.
xy' + y = 0 sur R. Les solutions sur chaque demi-droite sont C/x, et seule la fonction nulle est continue en 0. Une équation non normalisée peut aussi avoir trop peu de solutions.
Une solution de l'homogène qui s'annule en un point est nulle partout, puisque Ce^−A ne s'annule que si C = 0. Deux courbes intégrales distinctes ne se coupent jamais.
y'' + y = cos x. Comme i est racine de r² + 1, la solution particulière est (x/2) sin x, non bornée. C'est la résonance, et chercher C cos x + D sin x échoue.
y'' − y = e^x donne y_p = (x/2)e^x, alors que y'' − y = e^2x donne y_p = e^2x/3. Regarder si λ est racine avant de choisir la forme.
y'' + 2y' + y = e^−x : −1 est racine double, il faut y_p = Cx²e^−x, et C = 1/2.
Sur R*, les primitives de 1/x sont ln|x| + C₁ sur ]−∞, 0[ et ln|x| + C₂ sur ]0, +∞[, avec deux constantes indépendantes. C'est l'exemple qui justifie l'hypothèse « intervalle ».
y'' + ω²y = 0 a pour solutions réelles λ cos(ωx) + μ sin(ωx), toutes bornées, alors que y'' − ω²y = 0 a pour solutions λ ch(ωx) + μ sh(ωx), non bornées sauf la solution nulle. Le signe change tout.

Techniques du chapitre

Technique 1, normaliser et annoncer l'intervalle. Mini-exercice : résoudre (1 + x²)y' + 2xy = 1 sur R. Le coefficient 1 + x² ne s'annule pas, on peut normaliser, mais on remarque mieux : le membre de gauche est la dérivée de (1 + x²)y. Donc (1 + x²)y = x + C et y = (x + C)/(1 + x²).

Technique 2, deviner une solution particulière avant de calculer. Mini-exercice : résoudre y' − 2xy = −2x sur R. L'homogène donne Ce^x². La constante y = 1 vérifie 0 − 2x = −2x. Solutions : 1 + Ce^x².

Technique 3, variation de la constante quand on ne devine rien. Mini-exercice : résoudre y' + y = 1/(1 + e^x) sur R. On pose y = C(x)e^−x, d'où C'(x) = e^x/(1 + e^x), primitive ln(1 + e^x). Solutions : e^−x(ln(1 + e^x) + K).

Technique 4, passer au complexe pour un second membre en cosinus ou sinus. Mini-exercice : trouver une solution particulière de y' + y = cos x. On résout z' + z = e^ix avec z = Ce^ix : C(i + 1) = 1, donc C = (1 − i)/2. Alors z = (1 − i)(cos x + i sin x)/2 et sa partie réelle est (cos x + sin x)/2. Vérification : la dérivée vaut (−sin x + cos x)/2, la somme redonne cos x.

Technique 5, identifier la constante avec la formule de report. Pour y = Cx e^λx, on a y'' + ay' + by = Ce^λx((λ² + aλ + b)x + 2λ + a). Si λ est racine simple, le premier terme disparaît et il reste C(2λ + a)e^λx. Mini-exercice : y'' − 3y' + 2y = e^x. Ici λ = 1 est racine simple, 2λ + a = 2 − 3 = −1, donc C = −1 et y_p = −xe^x.

Technique 6, superposer. Mini-exercice : solution particulière de y'' + y = x + e^x. Pour x, le polynôme x convient. Pour e^x, la constante 1 n'est pas racine, on trouve e^x/2. Somme : x + e^x/2.

Technique 7, fixer les constantes en dernier. Mini-exercice : y'' + y = 1 avec y(0) = 0 et y'(0) = 0. Solution générale 1 + λ cos x + μ sin x. En 0 : 1 + λ = 0 et μ = 0. Solution : 1 − cos x. Fixer λ et μ sur l'homogène seule, avant d'ajouter la particulière, donne un résultat faux.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Résoudre y' + 2xy = x sur R, puis trouver la solution vérifiant y(0) = 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique homogène, solution particulière évidente, condition initiale en dernier.

Voir le corrigé

a(x) = 2x a pour primitive x². L'homogène a pour solutions Ce^−x².
La constante 1/2 vérifie 0 + 2x × 1/2 = x. Solutions : 1/2 + Ce^−x².
y(0) = 1/2 + C = 1 donne C = 1/2. La solution du problème de Cauchy est (1 + e^−x²)/2.

piège : Lancer la variation de la constante alors qu'une constante convient, ou écrire e^−2x au lieu de e^−x² en oubliant de primitiver a.

Exercice 2. Résoudre xy' − 2y = x³ sur R

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique résolution sur chaque demi-droite, puis raccordement.

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Sur ]0, +∞[ et sur ]−∞, 0[, l'équation normalisée est y' − (2/x)y = x². L'homogène a pour solutions Cx² sur chaque demi-droite, car une primitive de −2/x est −2 ln|x| et e^{2 ln|x|} = x².
Variation de la constante : C'(x)x² = x², donc C(x) = x, et y_p = x³. Sur chaque demi-droite, solutions x³ + Cx².
Soit y solution sur R. Il existe C₁ et C₂ avec y = x³ + C₁x² pour x < 0 et y = x³ + C₂x² pour x > 0. La continuité en 0 impose y(0) = 0, ce qui est compatible. La dérivabilité en 0 : les deux morceaux ont une dérivée nulle en 0, donc y'(0) = 0 quels que soient C₁ et C₂. L'équation en 0 se lit 0 − 0 = 0.
Réciproquement ces fonctions sont solutions. Les solutions sur R forment une famille à deux paramètres.

piège : Diviser par x sur R tout entier, ou conclure que C₁ = C₂ sans avoir vérifié la dérivabilité en 0. Ici les deux constantes restent libres.

Exercice 3. Résoudre y'' − 2y' + 5y = 0 avec y(0) = 0 et y'(0) = 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique équation caractéristique à discriminant négatif, forme réelle.

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r² − 2r + 5 = 0 a pour discriminant −16, racines 1 ± 2i. Solutions réelles : e^x(λ cos 2x + μ sin 2x).
y(0) = λ = 0. Alors y = μ e^x sin 2x et y' = μ e^x(sin 2x + 2 cos 2x), d'où y'(0) = 2μ = 1.
Solution : (1/2)e^x sin 2x.

piège : Dériver e^x sin 2x en oubliant le facteur 2, ou donner les solutions sous forme complexe alors que l'énoncé demande les solutions réelles.

Exercice 4. Résoudre y'' + y = cos x sur R et montrer qu'aucune solution n'est bornée

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique passage au complexe, cas où λ est racine simple.

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Homogène : λ cos x + μ sin x.
On résout z'' + z = e^ix. Comme i est racine simple de r² + 1, on cherche z = Cxe^ix. La formule de report donne C(2i + 0) = 1, donc C = 1/(2i) = −i/2.
z = −(i/2)x(cos x + i sin x) = (x/2) sin x − (i/2)x cos x. Partie réelle : y_p = (x/2) sin x.
Solutions : λ cos x + μ sin x + (x/2) sin x. Aux points x_k = π/2 + 2kπ, la solution vaut μ + x_k/2, qui tend vers +∞. Aucune solution n'est bornée.

piège : Chercher C cos x + D sin x, qui donne 0 = cos x. Le cas résonant se repère avant tout calcul.

Exercice 5. Trouver les fonctions f dérivables sur R telles que f'(x) = f(−x) pour tout x

Classiques de khôlle et concours · Khôlle, type oral

Technique dériver l'équation pour se ramener à une équation linéaire, puis reporter dans l'équation initiale.

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Si f convient, f' est dérivable car x ↦ f(−x) l'est, et f''(x) = −f'(−x) = −f(x). Donc f'' + f = 0.
Il existe λ et μ avec f = λ cos + μ sin. Alors f'(x) = −λ sin x + μ cos x et f(−x) = λ cos x − μ sin x.
L'égalité pour tout x impose λ = μ, en évaluant en 0 puis en π/2. Réciproquement f = λ(cos + sin) convient.

piège : Oublier la réciproque. Dériver n'est pas une équivalence, l'étape 2 fournit des candidats, l'étape 3 les trie.

Exercice 6. Soit ω₀ > 0 et ω > 0. Résoudre y'' + ω₀²y = cos(ωt) sur R, en distinguant ω ≠ ω₀ et ω = ω₀

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type CCINP

Technique discussion selon que iω est racine ou non de r² + ω₀².

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Homogène : λ cos(ω₀t) + μ sin(ω₀t).
Si ω ≠ ω₀, iω n'est pas racine. On cherche z = Ce^iωt pour z'' + ω₀²z = e^iωt : C(ω₀² − ω²) = 1. Partie réelle : y_p = cos(ωt)/(ω₀² − ω²).
Si ω = ω₀, iω₀ est racine simple. On cherche z = Cte^iω₀t : C × 2iω₀ = 1, C = −i/(2ω₀). Partie réelle : y_p = t sin(ω₀t)/(2ω₀).
Interprétation : l'amplitude 1/|ω₀² − ω²| de la réponse forcée tend vers l'infini quand ω tend vers ω₀, et à la résonance exacte la réponse croît linéairement en temps.

piège : Appliquer la formule du cas 2 en ω = ω₀, ce qui divise par zéro. La discussion doit précéder le calcul.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type CCINP

Trouver les fonctions f dérivables sur R telles que f(x + y) = f(x)f(y) pour tous réels x et y.

Technique dériver par rapport à une variable, l'autre étant fixée, pour obtenir une équation linéaire.

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En x = y = 0, f(0) = f(0)², donc f(0) vaut 0 ou 1. Si f(0) = 0, alors f(x) = f(x)f(0) = 0 pour tout x : f est nulle, et elle convient.
Supposons f(0) = 1. On fixe x et l'on dérive par rapport à y : f'(x + y) = f(x)f'(y). En y = 0 : f'(x) = f'(0)f(x). On note a = f'(0).
f est solution de y' − ay = 0, donc f = Ce^ax, et f(0) = 1 donne C = 1.
Réciproquement e^{a(x + y)} = e^axe^ay. Les solutions sont la fonction nulle et les x ↦ e^ax, a réel.

piège : Dériver f(x + y) par rapport à y en oubliant que c'est une composée, ou omettre le cas f(0) = 0.

Exercice 8

Approfondissement · Écrit, type Mines ou Centrale

Soit f de classe C¹ sur R telle que f' + f tend vers 0 en +∞. Montrer que f tend vers 0 en +∞.

Technique voir f comme solution d'une équation dont on connaît le second membre, puis majorer l'intégrale en la coupant.

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On pose g = f' + f, continue sur R. La variation de la constante donne, pour tout x, f(x) = e^−x(f(0) + ∫₀ˣ g(t)e^t dt).
Soit ε > 0. Il existe T ≥ 0 tel que |g(t)| ≤ ε pour t ≥ T. Pour x ≥ T on coupe l'intégrale en T : f(x) = e^−x(f(0) + K_T) + e^−x∫_T^x g(t)e^t dt, où K_T = ∫₀^T g(t)e^t dt ne dépend pas de x.
Le second terme se majore en valeur absolue par e^−x × ε(e^x − e^T) ≤ ε. Le premier tend vers 0 quand x tend vers +∞.
Donc pour x assez grand, |f(x)| ≤ 2ε. C'est la définition de la limite nulle.

piège : Écrire « f' + f tend vers 0 donc f' et f tendent vers 0 », ce qui n'a aucun sens, ou majorer |∫₀ˣ g e^t| par ε ∫₀ˣ e^t alors que g n'est petite qu'à partir de T.

Exercice 9

Approfondissement

Sur I = ]0, +∞[, résoudre xy'' − (2 + 2x)y' + 4y = 0. Poser y = e^2xz. Changement fourni, résolu avec les outils du premier ordre.

Technique ramener l'équation au premier ordre.

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Pour φ = e^2x, φ' = 2e^2x, φ'' = 4e^2x. Le membre gauche vaut e^2x(4x − 4 − 4x + 4) = 0.
Pour y de classe C², écrire y = e^2xz. Deux dérivations donnent xz'' + (2x − 2)z' = 0.
Avec w = z', on obtient w' + (2 − 2/x)w = 0. La primitive 2x − 2 ln x donne w = Cx²e^−2x.
Une primitive de x²e^−2x est −(2x² + 2x + 1)e^−2x/4. Ainsi y = Ae^2x + B(2x² + 2x + 1), A et B réels. Par équivalence, toutes conviennent.

piège : Utiliser une équation caractéristique à coefficients variables, ou diviser par w et perdre w = 0.

Exercice 10

Approfondissement

Pour a > 0, T > 0 et g continue et T-périodique sur R, montrer que y' + ay = g possède une unique solution T-périodique et déterminer y(0). Prérequis : intégration.

Technique utiliser l'unicité du problème de Cauchy.

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La solution de valeur initiale c est y(x) = e^−ax(c + ∫₀ˣ e^atg(t) dt), sur R.
La condition y(T) = y(0) impose c = (∫₀ᵀ e^atg(t) dt)/(e^aT − 1). Dénominateur non nul : aT > 0.
Alors y et x ↦ y(x + T) satisfont la même équation, car g est périodique, et la même condition initiale. L'unicité de Cauchy donne leur égalité sur R, donc la périodicité.
Deux solutions périodiques diffèrent de Ce^−ax. Périodicité : C = Ce^−aT, donc C = 0.

piège : Croire que y(T) = y(0) prouve seule la périodicité. L'unicité de Cauchy est essentielle.

Erreurs fréquentes

Oublier l'intervalle. Une solution est définie sur un intervalle, et une constante d'intégration n'est constante que sur un intervalle. Sur R* il y a deux constantes.
Additionner deux fois les constantes. On fixe λ et μ avec les conditions initiales sur la solution générale complète, jamais sur l'homogène seule.
Se tromper de forme pour la solution particulière. Toujours comparer λ aux racines de l'équation caractéristique avant de choisir entre Ce^λx, Cxe^λx et Cx²e^λx.
Prendre la partie réelle d'un produit en multipliant les parties réelles. Re(Ce^ix) n'est pas Re(C) cos x, il faut développer C(cos x + i sin x).
Diviser par le coefficient de y' sans regarder s'il s'annule. Le raccordement est un exercice à part entière, avec continuité, dérivabilité et vérification de l'équation au point de jonction.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral », section B « Primitives et équations différentielles linéaires ». Sont traités le calcul de primitives, les équations linéaires du premier ordre et celles du second ordre à coefficients constants. La construction de l'intégrale est reportée au chapitre « Intégration ».

Primitives et équations différentielles linéaires

Résumé en cinq points

1Primitives, l'outil de base

1.1Définition et structure

1.2Primitives à connaître

1.3Reconnaître une dérivée de fonction composée

1.4Primitives de 1/(ax2+bx+c)1/(ax^2+bx+c)1/(ax2+bx+c)

1.5Intégration par parties et changement de variable

2Vocabulaire et structure

3Premier ordre

3.1Équation homogène

3.2Solution particulière et variation de la constante

3.3Problème de Cauchy

4Second ordre à coefficients constants

4.1L'équation homogène

4.2Solution particulière, second membre exponentiel

4.3Second membre trigonométrique

4.4Second membre polynomial

4.5Superposition

4.6Problème de Cauchy

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Résoudre y' + 2xy = x sur R, puis trouver la solution vérifiant y(0) = 1

Exercice 2. Résoudre xy' − 2y = x³ sur R

Exercice 3. Résoudre y'' − 2y' + 5y = 0 avec y(0) = 0 et y'(0) = 1

Exercice 4. Résoudre y'' + y = cos x sur R et montrer qu'aucune solution n'est bornée

Exercice 5. Trouver les fonctions f dérivables sur R telles que f'(x) = f(−x) pour tout x

Exercice 6. Soit ω₀ > 0 et ω > 0. Résoudre y'' + ω₀²y = cos(ωt) sur R, en distinguant ω ≠ ω₀ et ω = ω₀

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Erreurs fréquentes

Au concours

1.4Primitives de $1/(ax^2+bx+c)$