Le cours

Résumé en cinq points

Somme vide nulle, produit vide égal à 1, indice muet. Le télescopage et le changement d'indice règlent la plupart des sommes.
Binôme, Pascal, symétrie. $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ vaut $2^n$ , la somme alternée vaut 0 pour $n \geqslant 1$ .
Le pivot repose sur trois opérations élémentaires qui conservent l'ensemble des solutions, avec $\lambda \neq 0$ pour la dilatation.
Une inégalité ne se multiplie jamais par une quantité de signe inconnu. $\abs{x - a} \leqslant b$ se lit comme un encadrement.
Toute la trigonométrie se retrouve depuis le cercle et les formules d'addition. Retenir les symétries, pas des listes.

Pourquoi ce chapitre

Le programme appelle cette section une boîte à outils. Elle ne contient presque aucun théorème profond, mais tout ce qui va servir dans chaque copie de l'année. Une somme télescopique mal traitée, un changement d'indice raté, une inégalité divisée par une quantité négative sans changer le sens, et le reste du problème s'effondre.

Le préambule du programme insiste sur un point : la maîtrise rapide des techniques de calcul est un impératif, notamment pour la physique. Ce chapitre est à travailler en vitesse d'exécution, pas seulement en compréhension.

Les sommes doubles et le binôme reviennent en dénombrement, en probabilités, en matrices et en séries.
La trigonométrie revient dans les complexes, les équations différentielles et toute la physique des oscillateurs.

1Sommes et produits

1.1Notations

Définition 1.1Somme et produit d'une famille finie

Pour une famille finie $(a_i)_{i \in I}$ indexée par un ensemble fini $I$ , on note $\sum_{i \in I} a_i$ la somme et $\prod_{i \in I} a_i$ le produit. Quand $I$ est un intervalle d'entiers, on écrit par exemple $\sum_{k=1}^{n} a_k$ .

Propriété 1.2Conventions

Une somme sur l'ensemble vide vaut 0.
Un produit sur l'ensemble vide vaut 1.

C'est ce qui rend les formules valides aux cas limites, par exemple $\sum_{k=1}^{0} a_k = 0$ .

Attention

L'indice de sommation est muet : $\sum a_k$ et $\sum a_j$ désignent la même chose. Il ne doit jamais apparaître hors de la somme.

1.2Sommes usuelles

Propriété 1.3Sommes à connaître par cœur

Pour $n \geqslant 1$ : $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} k &= \frac{n(n+1)}{2},\\ \sum_{k=1}^{n} k^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \end{aligned}$ Pour $x$ réel : $\sum_{k=0}^{n} x^k = \begin{cases} \dfrac{1 - x^{n+1}}{1 - x} & \text{si } x \neq 1,\\[2mm] n + 1 & \text{si } x = 1. \end{cases}$

La dernière se démontre par télescopage, en développant $(1 - x)\sum_{k=0}^{n} x^k$ .

Attention

Le cas $x = 1$ doit toujours être traité à part : c'est un piège récurrent.

1.3Télescopage et changement d'indice

Propriété 1.4Somme télescopique

$\sum_{k=0}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_0.$

C'est la technique numéro un pour calculer une somme dont on devine la structure.

Exemple 1.5Somme de $\frac{1}{k(k+1)}$

On écrit $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ , et $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$

Changement d'indice : poser $j = k + 1$ ou $j = n - k$ décale ou retourne la somme. Il faut recalculer les bornes avec soin.

Exemple 1.6Changement d'indice $j = n - k$

$\sum_{k=0}^{n} (n - k) = \sum_{j=0}^{n} j = \frac{n(n+1)}{2}.$

Propriété 1.7Factorisation de $a^n - b^n$

$a^n - b^n = (a - b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}.$ Elle se vérifie par télescopage.

1.4Sommes doubles

Propriété 1.8Interversion

Tant que l'ensemble d'indices est fini, on peut intervertir les sommes : $\sum_{i} \sum_{j} a_{ij} = \sum_{j} \sum_{i} a_{ij}.$

Propriété 1.9Produit de deux sommes finies

$\Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_j b_j\Big) = \sum_{i,j} a_i b_j.$

Attention

Ce n'est pas la somme des $a_i b_i$ . Il faut donc des noms d'indices différents.

Sommes triangulaires : quand le domaine est décrit par $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ , on peut sommer d'abord sur $i$ entre 1 et $j$ , ou d'abord sur $j$ entre $i$ et $n$ .

Exemple 1.10Somme triangulaire

$\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} i = \sum_{j=1}^{n} \frac{j(j+1)}{2}.$

1.5Factorielle, coefficients binomiaux, binôme

Définition 1.11Factorielle et coefficient binomial

$n!$ est le produit des entiers de 1 à $n$ , avec $0! = 1$ . Le coefficient binomial vaut $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$ . Par convention, il vaut 0 si $k < 0$ ou $k > n$ .

Propriété 1.12Propriétés des coefficients binomiaux

Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
Formule de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ . Elle donne le triangle de Pascal.
Formule du pion : $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$ .

Théorème 1.13Formule du binôme dans $\R$

Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier naturel $n$ : $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.$

Démonstration

Récurrence sur $n$ . L'hérédité utilise la formule de Pascal après un changement d'indice.

Exemple 1.14Deux sommes de binomiaux

Avec $a = b = 1$ : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ .
Avec $a = -1$ et $b = 1$ : $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k} = 0$ pour $n \geqslant 1$ .

2Résolution de petits systèmes linéaires

Le programme se limite à deux ou trois équations à deux ou trois inconnues, à coefficients réels.

Définition 2.1Opérations élémentaires sur les lignes

Échange : $L_i \leftrightarrow L_j$ .
Dilatation : $L_i \leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \neq 0$ .
Transvection : $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ avec $i \neq j$ .

Chacune transforme le système en un système équivalent, c'est-à-dire de même ensemble de solutions.

Attention

La condition $\lambda \neq 0$ pour la dilatation est essentielle : multiplier une ligne par 0 perd de l'information.

MéthodeAlgorithme du pivot

Choisir un coefficient non nul, le pivot.
L'utiliser pour éliminer l'inconnue correspondante dans les autres lignes.
Recommencer sur le sous-système restant.
Résoudre en remontant le système échelonné obtenu.

Trois situations sont possibles :

solution unique ;
aucune solution : une ligne devient $0 = c$ avec $c$ non nul ;
une infinité de solutions, décrite avec un ou plusieurs paramètres.

Interprétation géométrique demandée par le programme :

dans $\R^2$ , chaque équation est une droite, et résoudre c'est intersecter des droites ;
dans $\R^3$ , chaque équation est un plan, et l'intersection est un point, une droite, un plan ou l'ensemble vide.

Exemple 2.2Système $3 \times 3$

On résout $\begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + 2z = 5\\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ Avec $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ , on obtient $-2y + z = -1$ et $-y - 3z = -11$ . Puis $L_3 \leftarrow 2L_3 - L_2$ donne $-7z = -21$ , donc $z = 3$ , puis $y = 2$ et $x = 1$ .

3Inégalités dans R

3.1Relation d'ordre et compatibilité

Propriété 3.1Compatibilité de l'ordre

L'ordre sur $\R$ est total.

Il est compatible avec l'addition : si $a \leqslant b$ alors $a + c \leqslant b + c$ pour tout $c$ .
Il est compatible avec la multiplication par un réel positif : si $a \leqslant b$ et $c \geqslant 0$ alors $ac \leqslant bc$ .
Si $c < 0$ , le sens s'inverse.

Attention

Piège numéro un de l'année : multiplier ou diviser une inégalité par une expression dont on n'a pas déterminé le signe. Le passage à l'inverse renverse le sens uniquement pour des quantités de même signe : si $0 < a \leqslant b$ alors $\frac{1}{b} \leqslant \frac{1}{a}$ .

MéthodeRésoudre une inéquation

Tout ramener d'un côté.
Factoriser.
Faire un tableau de signes.

On ne fait pas de produit en croix sans discuter le signe du dénominateur.

3.2Intervalles

Définition 3.2Intervalle

Les intervalles de $\R$ sont les parties $I$ telles que, pour tous $a$ , $b$ de $I$ avec $a \leqslant b$ , le segment $\intff{a}{b}$ est inclus dans $I$ .

On les classe en segments, intervalles ouverts, semi-ouverts, demi-droites, $\R$ lui-même, ainsi que l'ensemble vide et les singletons.

3.3Valeur absolue

Définition 3.3Valeur absolue

$\abs{x}$ vaut $x$ si $x \geqslant 0$ et $-x$ sinon. On a $\abs{xy} = \abs{x}\abs{y}$ et $\abs{x}^2 = x^2$ .

Théorème 3.4Inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\abs{x + y} \leqslant \abs{x} + \abs{y},$ avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont de même signe au sens large, c'est-à-dire $xy \geqslant 0$ .

Démonstration

On élève au carré : $(\abs{x} + \abs{y})^2 - (x + y)^2 = 2(\abs{xy} - xy) \geqslant 0.$

Propriété 3.5Seconde inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\big|\,\abs{x} - \abs{y}\,\big| \leqslant \abs{x - y}.$

Propriété 3.6Interprétation sur la droite réelle

Pour $b \geqslant 0$ , $\abs{x - a} \leqslant b$ équivaut à $x \in \intff{a - b}{a + b}$ .

C'est la lecture à connaître : $\abs{x - a}$ est la distance de $x$ à $a$ .

3.4Majorants, bornes, partie entière

Définition 3.7Parties majorées, minorées, bornées

Une partie $X$ de $\R$ est majorée s'il existe $M$ avec $x \leqslant M$ pour tout $x$ de $X$ , minorée de façon analogue, bornée si les deux. Un maximum est un majorant appartenant à $X$ .

Exemple 3.8Pas toujours de maximum

L'intervalle $\intoo{0}{1}$ est majoré sans maximum. La borne supérieure est étudiée dans le chapitre sur les réels.

Définition 3.9Partie entière

Pour tout réel $x$ , il existe un unique entier $n$ tel que $n \leqslant x < n + 1$ . On le note $\lfloor x \rfloor$ : c'est la partie entière de $x$ .

Encadrement à connaître : $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$ , donc $x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x$ .

Attention

$\lfloor -1{,}5 \rfloor = -2$ , pas $-1$ .

4Trigonométrie

4.1Cercle trigonométrique et congruences

Définition 4.1Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1 orienté dans le sens direct. À un réel $t$ on associe le point de coordonnées $(\cos t, \sin t)$ . On a $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

Définition 4.2Congruence modulo $2\pi$

Deux réels $a$ et $b$ sont congrus modulo $2\pi$ , noté $a \equiv b\ [2\pi]$ , si leur différence est un multiple entier de $2\pi$ .

Cosinus et sinus sont $2\pi$ -périodiques, donc ne dépendent que de la classe de congruence.

4.2Symétries et valeurs usuelles

Propriété 4.3Symétries

À retrouver sur le cercle, jamais à apprendre en liste.

$\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$ .
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$ .
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ .
$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ et $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ .
$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$ et $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$ .

Exemple 4.4Valeurs usuelles

Aux angles $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{2}$ , les cosinus valent $1,\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{1}{2},\ 0,$ et les sinus dans l'ordre inverse.

MéthodeÉquations trigonométriques

Pour $\cos x = \cos a$ : $x \equiv a\ [2\pi]$ ou $x \equiv -a\ [2\pi]$ .
Pour $\sin x = \sin a$ : $x \equiv a\ [2\pi]$ ou $x \equiv \pi - a\ [2\pi]$ .

Attention

Oublier la deuxième famille est l'erreur classique.

4.3Formules d'addition et de duplication

Propriété 4.5Formules d'addition

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\begin{aligned} \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b,\\ \cos(a - b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b,\\ \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b,\\ \sin(a - b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b. \end{aligned}$

Le programme demande une justification géométrique d'au moins l'une d'elles. On peut la lire sur le cercle en calculant de deux façons le produit scalaire des vecteurs d'angles $a$ et $b$ , ce qui donne $\cos(a - b)$ .

Propriété 4.6Duplication et linéarisation

$\begin{aligned} \cos(2a) &= \cos^2 a - \sin^2 a\\ &= 2\cos^2 a - 1\\ &= 1 - 2\sin^2 a,\\ \sin(2a) &= 2\sin a \cos a. \end{aligned}$ Les deux dernières formes de $\cos(2a)$ donnent $\begin{aligned} \cos^2 a &= \frac{1 + \cos 2a}{2},\\ \sin^2 a &= \frac{1 - \cos 2a}{2}. \end{aligned}$

Propriété 4.7Produits vers sommes

$\begin{aligned} \cos a \cos b &= \tfrac{1}{2}\big(\cos(a-b) + \cos(a+b)\big),\\ \sin a \sin b &= \tfrac{1}{2}\big(\cos(a-b) - \cos(a+b)\big),\\ \sin a \cos b &= \tfrac{1}{2}\big(\sin(a+b) + \sin(a-b)\big). \end{aligned}$ On les obtient en additionnant ou soustrayant deux formules d'addition.

4.4Fonctions circulaires

Propriété 4.8Cosinus et sinus

Cosinus et sinus sont définies sur $\R$ , $2\pi$ -périodiques, bornées par 1 en valeur absolue. On a $\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$ .

Graphes de cosinus et sinus : periodicité et derivées

Le programme demande de justifier ces dérivées : elles reposent sur la limite de $\frac{\sin h}{h}$ en 0, qui vaut 1.

Propriété 4.9Inégalité exigible

Pour tout réel $x$ , $\abs{\sin x} \leqslant \abs{x}$ .

Démonstration

On étudie $x \mapsto x - \sin x$ sur $\R_+$ , de dérivée $1 - \cos x \geqslant 0$ , puis on conclut par imparité.

Définition 4.10Tangente

Pour $x \not\equiv \frac{\pi}{2}\ [\pi]$ , $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ .

Propriété 4.11Propriétés de la tangente

La fonction $\tan$ est impaire et $\pi$ -périodique. Sa dérivée vaut $\tan' x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.$ Donc $\tan$ est strictement croissante sur chaque intervalle $\intoo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}$ , où elle décrit $\R$ .

$\tan(\pi + x) = \tan x$ et $\tan(-x) = -\tan x$ .
Valeurs usuelles : $\tan 0 = 0$ , $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ , $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ .
Sur le cercle, $\tan x$ se lit sur la tangente verticale au point d'abscisse 1.

Propriété 4.12Formule d'addition de la tangente

Hypothèses

$\tan a$ , $\tan b$ et $\tan(a + b)$ existent ;
le dénominateur $1 - \tan a \tan b$ est non nul.

Alors $\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}.$

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour une somme inconnue, tester le télescopage, la décomposition en éléments simples de la fraction, ou la dérivation d'une somme géométrique.
Pour une somme double, dessiner le domaine d'indices avant d'intervertir.
Pour une somme avec des binomiaux, penser au binôme, à Pascal, à la formule du pion.
Pour une inéquation, tout ramener d'un côté, factoriser, faire un tableau de signes.
Pour une majoration, majorer chaque terme puis sommer, en surveillant les signes.
Pour une équation trigonométrique, se ramener à $\cos x = \cos a$ ou $\sin x = \sin a$ , et donner les deux familles de solutions.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Calculer la somme des $k$ , des $k^2$ , d'une somme géométrique, en traitant le cas $x = 1$ .
Calculer une somme télescopique après décomposition, par exemple $\sum \frac{1}{k(k+1)}$ .
Démontrer la formule du binôme par récurrence en utilisant la formule de Pascal.
Intervertir une somme triangulaire et conclure.
Résoudre un système $3 \times 3$ par le pivot en écrivant les opérations élémentaires.
Démontrer l'inégalité triangulaire et donner son cas d'égalité.
Retrouver $\cos(a + b)$ puis en déduire la linéarisation de $\cos^2 a$ et les formules produit-somme.
Résoudre une équation du type $\cos(2x) = \sin x$ en n'oubliant aucune famille de solutions.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Somme des k de 1 à n égale n(n + 1)/2, somme des k² de 1 à n égale n(n + 1)(2n + 1)/6. Exigibles avec démonstration, par récurrence ou par télescopage.
Somme géométrique, Σ x^k pour k de 0 à n vaut (1 − xⁿ⁺¹)/(1 − x) si x ≠ 1, et n + 1 si x = 1. Exigible avec démonstration par télescopage.
Somme télescopique, Σ (a_k+1 − a_k) pour k de 0 à n vaut a_n+1 − a₀. Exigible, c'est une définition déguisée, il faut savoir l'écrire sans hésiter.
Factorisation, aⁿ − bⁿ = (a − b) Σ a^k b^n−1−k pour k de 0 à n − 1, valable pour n ≥ 1. Exigible avec démonstration par télescopage.
Interversion d'une somme double finie, et produit de deux sommes finies égal à une somme double. Exigibles, on justifie par le caractère fini de l'ensemble d'indices.
Formule de Pascal, « k parmi n » plus « k + 1 parmi n » égale « k + 1 parmi n + 1 ». Exigible avec démonstration par calcul de factorielles ou par argument combinatoire.
Formule du binôme dans R. Exigible avec démonstration par récurrence utilisant Pascal.
Une opération élémentaire sur les lignes conserve l'ensemble des solutions d'un système, la dilatation exigeant λ ≠ 0. Exigible avec démonstration, chaque opération est réversible.
Compatibilité de l'ordre avec l'addition, et avec la multiplication par un réel positif. Admis comme propriété de R, à savoir manipuler.
Inégalité triangulaire dans R, |x + y| ≤ |x| + |y|, avec égalité si et seulement si xy ≥ 0. Exigible avec démonstration.
Inégalité triangulaire renversée, la valeur absolue de |x| − |y| est majorée par |x − y|. Exigible avec démonstration à partir de la précédente.
Caractérisation de la partie entière, n = ⌊x⌋ si et seulement si n est entier et n ≤ x < n + 1. Exigible.
Formules d'addition du cosinus et du sinus. Exigibles, le programme demande une justification géométrique d'au moins l'une d'elles.
Formules de duplication, de linéarisation de cos² et sin², et formules produit-somme. Exigibles, à savoir retrouver depuis les formules d'addition.
Dérivées de sinus et cosinus. Exigibles avec justification à partir de la limite de sin(h)/h en 0.
Inégalité |sin x| ≤ |x| pour tout réel x. Exigible avec démonstration.
Fonction tangente, dérivée 1 + tan², variations, formule d'addition tan(a + b). Exigibles.
Hors programme en PCSI, à signaler si un exercice les demande, les fonctions circulaires réciproques à ce stade du chapitre, les sommes de Riemann, et tout usage de la notion de limite de suite avant la section correspondante.

Clés de démonstration

Somme géométrique. On calcule (1 − x) fois la somme, chaque terme x^k − x^k+1 se télescope, il reste 1 − xⁿ⁺¹. Astuce, ne diviser par 1 − x qu'après avoir exclu x = 1, et donner la valeur n + 1 dans ce cas.

Factorisation de aⁿ − bⁿ. On développe (a − b) Σ a^k b^n−1−k, ce qui donne Σ a^k+1 b^n−1−k moins Σ a^k b^n−k. Après changement d'indice dans la première, tout se télescope. Astuce, écrire les deux sommes avec le même indice puis comparer terme à terme.

Formule du binôme. Hérédité, on multiplie (a + b)ⁿ par a + b, on obtient deux sommes, on décale l'indice de l'une pour aligner les puissances a^kb^n+1−k, puis Pascal regroupe les deux coefficients. Astuce, sortir le terme k = 0 d'une somme et le terme k = n + 1 de l'autre avant de regrouper.

Inégalité triangulaire. On compare les carrés, (|x| + |y|)² − (x + y)² = 2(|xy| − xy) ≥ 0, et deux réels positifs sont dans le même ordre que leurs carrés. Cas d'égalité, |xy| = xy signifie xy ≥ 0. Pour la version renversée, on écrit x = (x − y) + y et on applique la première, puis on échange les rôles.

Inégalité |sin x| ≤ |x|. On pose g(x) = x − sin x sur R+, g' = 1 − cos ≥ 0, donc g croissante et g(0) = 0, ce qui donne sin x ≤ x pour x ≥ 0. De même h(x) = x + sin x a pour dérivée 1 + cos ≥ 0 et s'annule en 0, donc −x ≤ sin x pour x ≥ 0. On obtient |sin x| ≤ x sur R+. Imparité pour conclure. Astuce, la parité des deux membres ramène toujours au cas x ≥ 0.

Formule d'addition cos(a − b). On calcule le produit scalaire des vecteurs (cos a, sin a) et (cos b, sin b) de deux façons, par coordonnées et par le produit des normes fois le cosinus de l'angle a − b. Les autres formules s'en déduisent en remplaçant b par −b puis par π/2 − b.

Dérivée du sinus. Le taux d'accroissement (sin(x + h) − sin x)/h se développe par la formule d'addition en sin x (cos h − 1)/h + cos x sin(h)/h. Les deux limites en 0 valent 0 et 1. Astuce, (cos h − 1)/h s'écrit −2 sin²(h/2)/h, produit d'une quantité bornée par h/2 en valeur absolue.

Exemples et contre-exemples à connaître

Σ x^k avec x = 1. La formule (1 − xⁿ⁺¹)/(1 − x) n'a pas de sens, la somme vaut n + 1. Le cas à part est systématiquement demandé.
Σ des a_i b_i n'est pas le produit (Σ a_i)(Σ b_i). Avec a = b = (1, 1), la première vaut 2, la seconde 4. Il faut deux indices différents pour un produit de sommes.
Une somme sur un ensemble vide vaut 0, un produit vide vaut 1. Cela rend la formule de la somme géométrique vraie pour n = 0 et 0! = 1 cohérent avec la formule de Pascal.
« k parmi n » vaut 0 si k > n. Cette convention permet d'écrire le binôme et Pascal sans découper les bornes.
L'inéquation 1/x ≤ 1 n'a pas pour solutions x ≥ 1 seulement, mais aussi tous les x < 0. Multiplier par x sans discuter son signe est l'erreur de l'année.
|x − 2| ≤ 3 se lit comme l'encadrement −1 ≤ x ≤ 5. Une valeur absolue majorée est un intervalle centré.
⌊−1,5⌋ = −2, et non −1. La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal, pas la troncature.
cos x = 1/2 a deux familles de solutions, π/3 + 2kπ et −π/3 + 2kπ. Une seule famille, c'est la moitié des solutions.
sin x = sin a a pour solutions x ≡ a et x ≡ π − a modulo 2π, pas x ≡ −a. Confondre les symétries du cosinus et du sinus coûte cher.
tan(a + b) n'est pas définie dès que l'un des angles vaut π/2 modulo π, même si la formule semble donner une valeur. Le domaine se vérifie avant le calcul.

Techniques du chapitre

Télescoper après décomposition. Mini-exercice, calculer Σ 1/(k(k + 2)) pour k de 1 à n. On écrit 1/(k(k + 2)) = (1/2)(1/k − 1/(k + 2)). La somme des 1/k − 1/(k + 2) vaut 1 + 1/2 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2), car les termes de rang 3 à n s'annulent deux à deux. Résultat, (3/4) − (2n + 3)/(2(n + 1)(n + 2)).

Changer d'indice pour retourner une somme. Mini-exercice, montrer que Σ k « k parmi n » pour k de 0 à n vaut n 2ⁿ⁻¹. Par la formule du pion, k « k parmi n » = n « k − 1 parmi n − 1 » pour k ≥ 1. La somme devient n Σ « j parmi n − 1 » pour j de 0 à n − 1, soit n 2ⁿ⁻¹. Variante, dériver (1 + x)ⁿ puis évaluer en 1, mais la dérivation d'une somme relève de la section suivante.

Intervertir une somme triangulaire. Mini-exercice, calculer S = Σ pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n de 1/j. En sommant d'abord sur i, pour j fixé il y a j valeurs de i, donc la somme intérieure vaut j fois 1/j, soit 1. Il reste Σ 1 pour j de 1 à n, donc S = n. Dessiner le triangle d'indices avant d'intervertir évite toute erreur de bornes.

Pivot avec discussion. Mini-exercice, résoudre x + y = 1, x + ay = b selon a et b. L₂ ← L₂ − L₁ donne (a − 1)y = b − 1. Si a ≠ 1, solution unique y = (b − 1)/(a − 1), x = 1 − y. Si a = 1 et b = 1, une droite de solutions, x = 1 − y. Si a = 1 et b ≠ 1, aucune solution. Géométriquement, deux droites sécantes, confondues ou parallèles.

Inéquation par tableau de signes. Mini-exercice, résoudre (x − 1)/(x + 2) ≥ 2. On ramène tout à gauche, (x − 1 − 2x − 4)/(x + 2) ≥ 0, soit (−x − 5)/(x + 2) ≥ 0. Numérateur positif pour x ≤ −5, dénominateur positif pour x > −2. Tableau de signes, solutions −5 ≤ x < −2. Le produit en croix aurait donné une réponse fausse.

Majorer une somme terme à terme. Mini-exercice, montrer que Σ 1/k² pour k de 1 à n est majorée par 2. Pour k ≥ 2, 1/k² ≤ 1/(k(k − 1)) = 1/(k − 1) − 1/k. On somme de 2 à n, ce qui télescope en 1 − 1/n. Avec le terme k = 1, la somme est majorée par 2 − 1/n < 2.

Résoudre une équation trigonométrique par transformation. Mini-exercice, résoudre cos x + √3 sin x = √2. On factorise par 2, ce qui donne 2 cos(x − π/3) = √2 car cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. Donc cos(x − π/3) = cos(π/4), soit x ≡ π/3 + π/4 ou x ≡ π/3 − π/4 modulo 2π. Solutions 7π/12 + 2kπ et π/12 + 2kπ.

Linéariser par duplication. Mini-exercice, exprimer cos⁴ x sans puissance. cos² x = (1 + cos 2x)/2, donc cos⁴ x = (1 + 2 cos 2x + cos² 2x)/4, puis cos² 2x = (1 + cos 4x)/2. Résultat, cos⁴ x = (3 + 4 cos 2x + cos 4x)/8. Vérification, en x = 0 on trouve bien 1.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Somme des cubes

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que Σ k³ pour k de 1 à n vaut (n(n + 1)/2)².

Technique récurrence, ou télescopage de (k + 1)⁴ − k⁴.

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Par récurrence, initialisation 1 = 1. 2. Hérédité, on ajoute (n + 1)³ à (n(n + 1)/2)², ce qui donne (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4 = ((n + 1)(n + 2)/2)². 3. Conclusion pour tout n ≥ 1. 4. Autre voie, on somme (k + 1)⁴ − k⁴ = 4k³ + 6k² + 4k + 1 de 1 à n, le membre de gauche télescope en (n + 1)⁴ − 1, et on isole Σ k³ à l'aide des sommes des k² et des k.

piège : Oublier le carré dans la formule finale, ou confondre avec la somme des k².

Exercice 2. Somme des « 2k parmi n »

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer Σ « k parmi n » pour k pair entre 0 et n, avec n ≥ 1.

Technique combiner (1 + 1)ⁿ et (1 − 1)ⁿ.

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Le binôme donne 2ⁿ = Σ « k parmi n » et 0 = Σ (−1)^k « k parmi n ». 2. En ajoutant, les termes impairs s'annulent, les pairs doublent, donc 2 Σ_{k pair} « k parmi n » = 2ⁿ. 3. La somme sur les k pairs vaut 2ⁿ⁻¹, et donc aussi celle sur les k impairs.

piège : Écrire (1 − 1)ⁿ = 0 pour n = 0 aussi, alors que 0⁰ vaut 1 dans le binôme.

Exercice 3. Une somme double

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer S = Σ pour 1 ≤ i < j ≤ n de i j.

Technique compléter en un carré de somme.

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Le produit (Σ i)(Σ j) est la somme sur tous les couples (i, j), soit 2S plus les termes diagonaux Σ i². 2. Donc 2S = (n(n + 1)/2)² − n(n + 1)(2n + 1)/6. 3. On factorise par n(n + 1)/12, S = n(n + 1)(3n(n + 1) − 2(2n + 1))/24 = n(n + 1)(3n² − n − 2)/24 = (n − 1)n(n + 1)(3n + 2)/24. 4. Vérification, n = 2 donne 1 × 2 = 2, et la formule donne 1 × 2 × 3 × 8/24 = 2.

piège : Oublier que le domaine i < j est la moitié du carré privé de la diagonale, pas la moitié du carré.

Exercice 4. Formule de Pascal itérée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que pour p ≤ n, Σ « p parmi k » pour k de p à n vaut « p + 1 parmi n + 1 ».

Technique télescopage par Pascal.

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Pascal s'écrit « p parmi k » = « p + 1 parmi k + 1 » − « p + 1 parmi k ». 2. On somme de k = p à n, le membre de droite télescope en « p + 1 parmi n + 1 » − « p + 1 parmi p ». 3. Le dernier terme est nul par convention, ce qui conclut.

piège : Ne pas voir que Pascal peut se lire comme une différence, donc comme un télescopage.

Exercice 5. Système avec paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre selon le réel m le système x + y + z = 1, x + my + z = m, x + y + mz = m².

Technique pivot puis discussion sur le paramètre.

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L₂ ← L₂ − L₁ et L₃ ← L₃ − L₁ donnent (m − 1)y = m − 1 et (m − 1)z = m² − 1 = (m − 1)(m + 1). 2. Si m ≠ 1, y = 1, z = m + 1, puis x = 1 − 1 − (m + 1) = −m − 1. Solution unique. 3. Si m = 1, les trois équations sont x + y + z = 1, l'ensemble des solutions est un plan, décrit par x = 1 − y − z avec y et z libres.

piège : Diviser par m − 1 sans avoir traité m = 1 avant.

Exercice 6. Encadrement par valeur absolue

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que pour tous réels x et y, la valeur absolue de |x| − |y| est majorée par |x − y|, puis résoudre |x − 1| + |x + 1| = 4.

Technique inégalité triangulaire appliquée à une décomposition, puis disjonction selon les zones.

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x = (x − y) + y donne |x| ≤ |x − y| + |y|, donc |x| − |y| ≤ |x − y|. 2. En échangeant x et y, |y| − |x| ≤ |x − y|. Les deux inégalités donnent la valeur absolue. 3. Pour l'équation, si x ≥ 1 la somme vaut 2x, donc x = 2. Si −1 ≤ x ≤ 1 la somme vaut 2, jamais 4. Si x ≤ −1 la somme vaut −2x, donc x = −2. 4. Solutions −2 et 2, lecture géométrique, les points à distance totale 4 des points 1 et −1.

piège : Oublier de vérifier que la solution trouvée dans une zone appartient bien à cette zone.

Exercice 7. Partie entière

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que pour tout réel x, ⌊x⌋ + ⌊x + 1/2⌋ = ⌊2x⌋.

Technique poser n = ⌊x⌋ et discuter selon la position de x − n par rapport à 1/2.

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Soit n = ⌊x⌋ et r = x − n dans [0, 1[. 2. Si r < 1/2, alors x + 1/2 est dans [n + 1/2, n + 1[, donc ⌊x + 1/2⌋ = n, et 2x est dans [2n, 2n + 1[, donc ⌊2x⌋ = 2n. Égalité 2n = 2n. 3. Si r ≥ 1/2, alors x + 1/2 est dans [n + 1, n + 3/2[, donc ⌊x + 1/2⌋ = n + 1, et 2x est dans [2n + 1, 2n + 2[, donc ⌊2x⌋ = 2n + 1. Égalité 2n + 1 = 2n + 1.

piège : Croire que ⌊2x⌋ = 2⌊x⌋, ce qui est faux pour x = 1/2.

Exercice 8. Une somme trigonométrique par produit-somme

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Pour x non multiple de 2π, calculer S = Σ sin(kx) pour k de 1 à n, sans utiliser les nombres complexes.

Technique multiplier par 2 sin(x/2) pour faire apparaître un télescopage.

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La formule produit-somme donne 2 sin(kx) sin(x/2) = cos((k − 1/2)x) − cos((k + 1/2)x). 2. En sommant de 1 à n, le membre de droite télescope en cos(x/2) − cos((n + 1/2)x). 3. Comme sin(x/2) ≠ 0, S = (cos(x/2) − cos((n + 1/2)x))/(2 sin(x/2)). 4. Avec cos p − cos q = −2 sin((p + q)/2) sin((p − q)/2), on obtient S = sin((n + 1)x/2) sin(nx/2)/sin(x/2).

piège : Ne pas justifier sin(x/2) ≠ 0, ce qui exige x non multiple de 2π.

Exercice 9. Équation trigonométrique à deux familles

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Résoudre dans R l'équation cos(3x) = sin(2x).

Technique ramener le sinus à un cosinus par π/2 − x, puis cos a = cos b.

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sin(2x) = cos(π/2 − 2x). 2. L'équation cos(3x) = cos(π/2 − 2x) donne 3x ≡ π/2 − 2x ou 3x ≡ −π/2 + 2x modulo 2π. 3. Première famille, 5x ≡ π/2 [2π], soit x = π/10 + 2kπ/5. Seconde famille, x ≡ −π/2 [2π]. 4. On vérifie sur une valeur, x = π/10 donne cos(3π/10) = sin(π/5) car 3π/10 = π/2 − π/5.

piège : Diviser la congruence 5x ≡ π/2 [2π] en x ≡ π/10 [2π], alors que le modulo se divise aussi.

Exercice 12. Tangente et angle double

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit t = tan(x/2) avec x non congru à π modulo 2π. Exprimer cos x, sin x et tan x en fonction de t.

Technique diviser par cos²(x/2) après duplication.

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cos x = cos²(x/2) − sin²(x/2) = cos²(x/2)(1 − t²), et 1 = cos²(x/2)(1 + t²), donc cos x = (1 − t²)/(1 + t²). 2. sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2) = cos²(x/2) × 2t, donc sin x = 2t/(1 + t²). 3. tan x = 2t/(1 − t²) si t² ≠ 1, c'est-à-dire si x n'est pas congru à π/2 modulo π.

piège : Oublier que cos(x/2) ≠ 0 est nécessaire pour définir t, d'où l'hypothèse sur x.

Exercice 10. Inégalité de Cauchy-Schwarz discrète

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soient a₁, …, a_n et b₁, …, b_n des réels. Montrer que (Σ a_k b_k)² ≤ (Σ a_k²)(Σ b_k²). Ce résultat est démontré ici avec les seuls outils du chapitre, il sera revu dans le cadre préhilbertien.

Technique polynôme du second degré positif en la variable t.

Voir le corrigé

Pour t réel, on pose P(t) = Σ (a_k + t b_k)², qui est positif ou nul. 2. En développant, P(t) = A + 2Bt + Ct² avec A = Σ a_k², B = Σ a_k b_k, C = Σ b_k². 3. Si C = 0, tous les b_k sont nuls et l'inégalité est 0 ≤ 0. 4. Si C > 0, un trinôme de signe constant a un discriminant négatif ou nul, 4B² − 4AC ≤ 0, ce qui est l'inégalité. 5. Cas d'égalité, le discriminant est nul, P admet une racine t₀, donc a_k = −t₀ b_k pour tout k, les deux familles sont proportionnelles.

piège : Oublier le cas C = 0, où l'argument du discriminant ne s'applique pas.

Exercice 11. Produit de cosinus

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Pour x non multiple de π et n ≥ 1, calculer P = Π cos(x/2^k) pour k de 1 à n.

Technique duplication du sinus en cascade.

Voir le corrigé

sin(x/2^k−1) = 2 sin(x/2^k) cos(x/2^k), donc cos(x/2^k) = sin(x/2^k−1)/(2 sin(x/2^k)), chaque sinus étant non nul car x/2^k n'est pas multiple de π. 2. Le produit télescope, P = sin x /(2ⁿ sin(x/2ⁿ)). 3. Vérification, n = 1 donne sin x/(2 sin(x/2)) = cos(x/2).

piège : Ne pas justifier que les dénominateurs sont non nuls.

Erreurs fréquentes

Multiplier ou diviser une inégalité par une expression dont le signe n'a pas été discuté, en particulier un produit en croix dans une inéquation.
Oublier le cas x = 1 dans une somme géométrique, ou diviser par sin(x/2) sans exclure les multiples de 2π.
Garder la même lettre pour les deux indices d'un produit de sommes, ce qui transforme (Σ a_i)(Σ b_j) en Σ a_i b_i.
Donner une seule famille de solutions pour cos x = cos a ou sin x = sin a, ou mal diviser une congruence, 5x ≡ π/2 [2π] donne x ≡ π/10 [2π/5].
Rater les bornes dans un changement d'indice ou dans une interversion de somme triangulaire, faute d'avoir dessiné le domaine.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), section « Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie » du premier semestre. Elle couvre les sommes et produits, la formule du binôme, la méthode du pivot sur de petits systèmes, les inégalités dans $\R$ , et la trigonométrie.

Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie

Résumé en cinq points

1Sommes et produits

1.1Notations

1.2Sommes usuelles

1.3Télescopage et changement d'indice

1.4Sommes doubles

1.5Factorielle, coefficients binomiaux, binôme

2Résolution de petits systèmes linéaires

3Inégalités dans R

3.1Relation d'ordre et compatibilité

3.2Intervalles

3.3Valeur absolue

3.4Majorants, bornes, partie entière

4Trigonométrie

4.1Cercle trigonométrique et congruences

4.2Symétries et valeurs usuelles

4.3Formules d'addition et de duplication

4.4Fonctions circulaires

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Somme des cubes

Exercice 2. Somme des « 2k parmi n »

Exercice 3. Une somme double

Exercice 4. Formule de Pascal itérée

Exercice 5. Système avec paramètre

Exercice 6. Encadrement par valeur absolue

Exercice 7. Partie entière

Exercice 8. Une somme trigonométrique par produit-somme

Exercice 9. Équation trigonométrique à deux familles

Exercice 12. Tangente et angle double

Exercice 10. Inégalité de Cauchy-Schwarz discrète

Exercice 11. Produit de cosinus

Erreurs fréquentes

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