Mathématiques 2

Notations et définitions.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière de $x$.

C'est le seul entier qui vérifie $x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x$.

Une fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}^+$ est dite à support compact dans $\mathbb{R}^+$ s'il existe $K \in \mathbb{R}_+$ tel que, pour tout $t \ge K$, $\varphi(t) = 0$.

Notations et définitions.

On note $f$ la fonction de la variable réelle $x$ donnée par

Déterminons l'ensemble de définition $D_f$ de $f$, puis calculons $f(x)$ pour tout $x \in D_f$.

Soit $x \in \mathbb{R}$.

La série $\sum \mathrm{e}^{-nx} = \sum (\mathrm{e}^{-x})^n$ est la série géométrique de raison $q = \mathrm{e}^{-x}$.

Elle converge si et seulement si $|q| < 1$ (critère des séries géométriques).

Comme $\mathrm{e}^{-x} > 0$, cette condition s'écrit $\mathrm{e}^{-x} < 1$, c'est-à-dire $x > 0$.

Pour $x \le 0$, on a $|q| \ge 1$ et la série diverge.

Donc $D_f = \left]0, +\infty\right[$ et, pour tout $x > 0$ (somme d'une série géométrique),