Le cours

Résumé en cinq points

Le lemme d'Abel donne l'existence du rayon $R$ . Il y a convergence absolue strictement à l'intérieur, divergence grossière strictement à l'extérieur, et rien de général sur le bord.
On calcule $R$ par d'Alembert, par comparaison des coefficients, ou par le caractère borné de $(a_n r^n)$ .
La convergence est normale sur tout segment de $\intoo{-R}{R}$ , mais rarement sur l'intervalle entier. Cela suffit pour la continuité et la dérivabilité.
Sur $\intoo{-R}{R}$ la somme est $C^\infty$ , on dérive et on primitive terme à terme sans changer le rayon, et les coefficients valent $f^{(n)}(0)/n!$ .
Le développement en série entière, quand il existe, est unique et coïncide avec la série de Taylor. Les développements usuels doivent être connus par cœur, et la méthode par équation différentielle sert pour les autres.

Pourquoi ce chapitre

Une série entière est une série de fonctions d'une forme très particulière, $\sum a_n z^n$ . Cette forme rigide a une contrepartie agréable : le domaine de convergence est presque entièrement déterminé par un seul nombre, le rayon de convergence.

Sur l'intervalle ouvert de convergence, la somme est indéfiniment dérivable : on peut dériver et primitiver terme à terme sans précaution.

Les séries entières servent à :

résoudre des équations différentielles ;
calculer des sommes ;
obtenir des développements asymptotiques ;
fournir le cadre des fonctions génératrices en probabilités.

L'étude du comportement au bord de l'intervalle de convergence n'est pas un objectif du programme de PC.

1Rayon de convergence

1.1Lemme d'Abel

Lemme 1.1Lemme d'Abel

Hypothèses

$z_0$ est un nombre complexe ;
la suite $(a_n z_0^n)$ est bornée.

Alors pour tout nombre complexe $z$ tel que $\abs{z} < \abs{z_0}$ , la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.

Démonstration

Soit $M$ un majorant de $\abs{a_n z_0^n}$ . Posons $q = \abs{z}/\abs{z_0}$ , qui est strictement inférieur à 1. Alors $\abs{a_n z^n} = \abs{a_n z_0^n}\,q^n \leqslant M q^n.$ On conclut par comparaison avec une série géométrique convergente.

Ce lemme explique pourquoi le domaine de convergence est un disque.

1.2Définition du rayon

Définition 1.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ est la borne supérieure, dans $[0, +\infty]$ , de l'ensemble des réels positifs $r$ tels que la suite $(a_n r^n)$ soit bornée.

Théorème 1.3Convergence selon la position de $z$

Hypothèse : $R$ est le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ .

Alors :

si $\abs{z} < R$ , la série $\sum a_n z^n$ converge absolument ;
si $\abs{z} > R$ , la série diverge grossièrement, car $(a_n z^n)$ n'est même pas bornée ;
si $\abs{z} = R$ , on ne peut rien dire en général.

Définition 1.4Intervalle et disque de convergence

Dans le cas réel, $\intoo{-R}{R}$ est l'intervalle ouvert de convergence. Dans le cas complexe, le disque ouvert de centre 0 et de rayon $R$ est le disque ouvert de convergence.

Exemple 1.5Trois rayons

$\sum z^n$ a pour rayon $1$ .
$\sum z^n/n!$ a pour rayon $+\infty$ .
$\sum n!\,z^n$ a pour rayon $0$ .

Attention

Le rayon ne dit rien du bord. Sur le cercle de rayon $R$ , tous les comportements sont possibles :

$\sum z^n$ diverge en tout point du cercle unité ;
$\sum z^n/n^2$ converge absolument en tout point ;
$\sum z^n/n$ converge en certains points et pas en $z = 1$ .

1.3Comparaison des coefficients

Notons $R_a$ et $R_b$ les rayons de $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ .

Propriété 1.6Comparaison des rayons

Si $a_n = O(b_n)$ , alors $R_a \geqslant R_b$ . C'est vrai en particulier si $a_n = o(b_n)$ .
Si $a_n \sim b_n$ , alors $R_a = R_b$ .

Démonstration

Idée pour le premier point : si $r < R_b$ , la suite $(b_n r^n)$ est bornée, et la domination des coefficients entraîne que $(a_n r^n)$ l'est aussi.

Propriété 1.7Résultat de référence

Pour tout réel $\alpha$ , la série $\sum n^\alpha x^n$ a pour rayon $1$ .

C'est immédiat par comparaison avec $\sum x^n$ dans les deux sens.

1.4Règle de d'Alembert

Propriété 1.8Règle de d'Alembert

Hypothèses

les $a_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang ;
$\abs{a_{n+1}}/\abs{a_n}$ tend vers $L \in [0, +\infty]$ .

Alors $R = 1/L$ , avec les conventions $R = +\infty$ si $L = 0$ et $R = 0$ si $L = +\infty$ .

Démonstration

À $z$ fixé non nul, le rapport des modules des termes consécutifs de la série numérique vaut $\abs{a_{n+1}}\abs{z}/\abs{a_n}$ , qui tend vers $L\abs{z}$ . La règle de d'Alembert pour les séries numériques donne la convergence absolue si $L\abs{z} < 1$ et la divergence si $L\abs{z} > 1$ .

Attention

Cette règle ne s'applique pas quand une infinité de coefficients sont nuls, par exemple pour $\sum z^{2n}$ . Dans ce cas on pose $u = z^2$ et on se ramène à une série entière en $u$ , ou on applique directement la règle de d'Alembert à la série numérique.

1.5Somme et produit

Propriété 1.9Somme et produit de Cauchy

Le rayon de la série somme est au moins $\min(R_a, R_b)$ , avec égalité si $R_a \neq R_b$ .
Le rayon du produit de Cauchy est également au moins $\min(R_a, R_b)$ .
Sur le disque commun, la somme du produit est le produit des sommes.

Attention

Quand $R_a = R_b$ , le rayon de la somme peut être strictement plus grand. Les séries de coefficients $a_n = 1$ et $b_n = -1$ ont chacune un rayon égal à $1$ , et leur somme est la série nulle, de rayon infini.

2Régularité de la somme d'une série entière de la variable réelle

2.1Convergence normale sur tout segment

Théorème 2.1Convergence normale sur tout segment

Hypothèse : $\sum a_n x^n$ est une série entière de rayon $R > 0$ .

Alors elle converge normalement sur tout segment inclus dans $\intoo{-R}{R}$ .

Démonstration

Soit $\intff{-r}{r}$ avec $0 < r < R$ . Pour tout $x$ de ce segment, $\abs{a_n x^n} \leqslant \abs{a_n} r^n$ , et $\sum \abs{a_n} r^n$ converge puisque $r < R$ . La majoration est uniforme, la convergence est normale.

Attention

La convergence n'est en général pas normale sur $\intoo{-R}{R}$ tout entier. Pour $\sum x^n$ sur $\intoo{-1}{1}$ , le sup de $\abs{x^n}$ vaut $1$ et la série $\sum 1$ diverge. On travaille donc systématiquement sur les segments.

2.2Continuité

Propriété 2.2Continuité de la somme

La somme d'une série entière de rayon $R > 0$ est continue sur $\intoo{-R}{R}$ .

Cela découle du théorème de continuité des séries de fonctions, appliqué sur tout segment, la continuité étant une propriété locale.

2.3Primitivation et dérivation terme à terme

Propriété 2.3Même rayon

Les séries $\sum a_n x^n$ , $\sum n a_n x^{n-1}$ et $\sum \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1}$ ont toutes le même rayon de convergence $R$ .

Cela se déduit de la comparaison des coefficients et du fait que le rayon de $\sum n^\alpha x^n$ vaut $1$ .

Théorème 2.4Dérivation terme à terme

Hypothèses

$f$ est la somme d'une série entière $\sum a_n x^n$ de rayon $R > 0$ .

Alors $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\intoo{-R}{R}$ , et toutes ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme. En particulier $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}.$

De même, la primitive de $f$ qui s'annule en $0$ est $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1}$ .

Propriété 2.5Coefficients par les dérivées

Avec les mêmes hypothèses, en évaluant en $0$ la dérivée d'ordre $n$ , on obtient $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$

Attention

Ces résultats valent sur l'intervalle ouvert de convergence, jamais au bord.

3Développement en série entière au voisinage de 0

3.1Définitions

Définition 3.1Fonction développable en série entière

Une fonction $f$ définie sur un intervalle contenant $0$ est développable en série entière sur $\intoo{-r}{r}$ s'il existe une série entière de rayon au moins $r$ dont la somme coïncide avec $f$ sur $\intoo{-r}{r}$ .

Définition 3.2Série de Taylor

Si $f$ est de classe $C^\infty$ au voisinage de $0$ , sa série de Taylor en $0$ est la série entière de coefficients $f^{(n)}(0)/n!$ .

Propriété 3.3Unicité du développement

Si $f$ est développable en série entière sur $\intoo{-r}{r}$ , le développement est unique et c'est nécessairement la série de Taylor de $f$ en $0$ .

En effet les coefficients sont imposés par $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ .

La formule de Taylor avec reste intégral permet de majorer la différence entre $f$ et la somme partielle d'ordre $n$ de sa série de Taylor, et de montrer que ce reste tend vers $0$ .

Attention

Pour la culture : une fonction de classe $C^\infty$ n'est pas forcément développable en série entière. La série de Taylor peut converger vers autre chose que la fonction. L'exemple standard est la fonction qui vaut $\e^{-1/x^2}$ pour $x \neq 0$ et $0$ en $0$ , dont toutes les dérivées en $0$ sont nulles. Cet exemple est hors programme en PC : l'existence du développement est une vraie propriété, pas une conséquence de la régularité.

3.2Développements usuels à connaître

Propriété 3.4Rayon infini

Pour tout $x$ réel : $\begin{aligned} \exp(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!},\\ \cos(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\\ \sin(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \operatorname{ch}(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!},\\ \operatorname{sh}(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \end{aligned}$ Tous ces développements ont un rayon infini.

Propriété 3.5Rayon 1

Pour $\abs{x} < 1$ : $\begin{aligned} \frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{+\infty} x^n,\\ \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n},\\ \arctan(x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}. \end{aligned}$ Ces trois développements ont un rayon $1$ .

Propriété 3.6Développement de $(1+x)^\alpha$

Pour $\abs{x} < 1$ et $\alpha$ réel : $(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n.$ Le rayon vaut $1$ si $\alpha$ n'est pas un entier naturel, et $+\infty$ sinon, puisque le développement est alors polynomial.

Les développements de $\ln(1+x)$ et de $\arctan$ s'obtiennent commodément par primitivation terme à terme, à partir de $1/(1+x)$ et de $1/(1+x^2)$ .

3.3Développement par équation différentielle

C'est une capacité explicitement attendue.

MéthodeDévelopper par une équation différentielle

Analyse : on suppose que $f$ est somme d'une série entière de rayon $R > 0$ , on injecte le développement dans l'équation différentielle linéaire vérifiée par $f$ , et on identifie les coefficients. On obtient une relation de récurrence sur les $a_n$ .
Résolution : on résout la récurrence et on calcule le rayon de convergence de la série obtenue.
Synthèse : on vérifie que la somme obtenue est bien solution de l'équation différentielle avec les mêmes conditions initiales que $f$ , et on conclut par unicité de la solution du problème de Cauchy. Cette unicité est explicitement admise.

Exemple 3.7Développement de $(1+x)^\alpha$

On part de l'équation $(1+x)f'(x) = \alpha f(x)$ avec $f(0) = 1$ . En posant $f(x) = \sum a_n x^n$ , l'identification donne $(n+1)a_{n+1} + n a_n = \alpha a_n,$ soit $a_{n+1} = a_n\,\frac{\alpha - n}{n+1}.$ Avec $a_0 = 1$ , on retrouve le développement annoncé.

4Séries géométrique et exponentielle de la variable complexe

Théorème 4.1Continuité dans le cas complexe

La somme d'une série entière de la variable complexe est continue sur le disque ouvert de convergence.

La démonstration est hors programme. Dans le cas complexe, le programme se limite à cette propriété de régularité.

Deux développements sont au programme.

Propriété 4.2Série géométrique complexe

Pour $\abs{z} < 1$ : $\sum_{n=0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}.$

Cela résulte directement de la formule de la somme d'une suite géométrique et du fait que $z^n$ tend vers $0$ .

Définition 4.3Exponentielle complexe

Pour tout $z$ de $\C$ , on note $\exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^n}{n!}$ .

Le rayon est infini par la règle de d'Alembert. Le produit de Cauchy, applicable car il y a convergence absolue, donne $\exp(z)\exp(w) = \exp(z+w).$ En particulier, pour $\theta$ réel, $\exp(\ii\theta) = \cos\theta + \ii\sin\theta$ , ce qui se lit en séparant les termes de rang pair et impair.

Méthodes

MéthodeCalculer un rayon de convergence

Utiliser la règle de d'Alembert si le rapport des coefficients est simple.
Sinon, comparer à $\sum n^\alpha x^n$ .
Sinon, revenir à la définition en cherchant pour quels $r$ la suite $(a_n r^n)$ est bornée.
Si les coefficients sont nuls un terme sur deux, poser $u = x^2$ ou traiter la série numérique directement.

MéthodeCalculer la somme d'une série entière

Partir des développements usuels.
Utiliser dérivation, primitivation, décomposition en éléments simples ou changement d'indice.

MéthodeDévelopper une fonction en série entière

Chercher d'abord à la ramener aux développements usuels par opérations.
Si cela échoue, passer par une équation différentielle.

MéthodeJustifier une interversion

Pour une interversion somme-dérivée ou somme-intégrale à l'intérieur de l'intervalle de convergence, il suffit de citer la convergence normale sur tout segment.

MéthodeCalculer la somme d'une série numérique

Reconnaître la série comme valeur en un point d'une série entière.
Calculer la somme de cette série entière.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer le lemme d'Abel et en déduire la définition du rayon de convergence.
Calculer les rayons de $\sum z^n/n!$ , $\sum n!\,z^n$ , $\sum n^\alpha z^n$ et $\sum z^{2n}/n$ .
Démontrer qu'une série entière converge normalement sur tout segment de l'intervalle ouvert de convergence, et expliquer pourquoi pas sur l'intervalle entier.
Justifier que la somme est de classe $C^\infty$ et exprimer $a_n$ à l'aide des dérivées en $0$ .
Écrire de mémoire les développements de $\exp$ , $\cos$ , $\sin$ , $\operatorname{ch}$ , $\operatorname{sh}$ , $\ln(1+x)$ , $\arctan$ et $(1+x)^\alpha$ , avec leurs rayons.
Retrouver le développement de $\arctan$ par primitivation de $1/(1+x^2)$ .
Développer une fonction en série entière par la méthode de l'équation différentielle, en distinguant analyse et synthèse.
Calculer la somme des $n x^n$ et des $n^2 x^n$ pour $\abs{x} < 1$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Lemme d'Abel : si (a_n z₀ⁿ) est bornée, Σ a_n zⁿ converge absolument pour |z| < |z₀|. Démonstration exigible.
Définition de R comme borne supérieure dans [0, +∞] des r ≥ 0 tels que (a_n rⁿ) soit bornée. Convergence absolue si |z| < R, divergence grossière si |z| > R. Démonstration exigible.
Comparaison : a_n = O(b_n) entraîne R_a ≥ R_b. a_n équivalent à b_n entraîne R_a = R_b. Démonstration exigible.
Pour tout réel α, Σ n^α xⁿ a pour rayon 1. Démonstration exigible.
Règle de d'Alembert : si a_n ≠ 0 à partir d'un certain rang et |a_n+1/a_n| tend vers L dans [0, +∞], alors R = 1/L. Démonstration exigible, par la règle des séries numériques.
Rayon de la somme au moins min(R_a, R_b), avec égalité si R_a ≠ R_b. Rayon du produit de Cauchy au moins min(R_a, R_b), et la somme du produit est le produit des sommes. Exigible, via le produit de Cauchy de séries absolument convergentes.
Convergence normale sur tout segment de ]−R, R[. Démonstration exigible.
Continuité de la somme sur ]−R, R[ (variable réelle). Exigible, conséquence du précédent.
Σ a_n xⁿ et Σ n a_n xⁿ ont le même rayon. Primitivation terme à terme sur ]−R, R[. Démonstration exigible.
La somme est C^∞ sur ]−R, R[, dérivées obtenues terme à terme, et a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n!. Démonstration exigible.
Unicité du développement en série entière sur ]−r, r[, avec r > 0. Démonstration exigible.
Formule de Taylor avec reste intégral, outil pour prouver un développement. Exigible.
Développements de exp, cos, sin, ch, sh, arctan, ln(1 + x), (1 + x)^α avec leurs rayons. À connaître par cœur.
Développement par équation différentielle linéaire. Savoir-faire exigible. L'unicité de la solution du problème de Cauchy est admise.
Continuité de la somme d'une série entière complexe sur le disque ouvert de convergence. Démonstration hors programme.
Σ zⁿ = 1/(1 − z) pour |z| < 1 et exp(z) = Σ zⁿ/n! sur C. Exigible.
Hors programme en PC : formule d'Hadamard avec limite supérieure, théorème d'Abel radial, comportement au bord, dérivation par rapport à la variable complexe.

Clés de démonstration

Existence du rayon. Si |z| < R, par définition de la borne supérieure, il existe r avec |z| < r ≤ R et (a_n rⁿ) bornée. Le lemme d'Abel appliqué avec z₀ = r conclut. Si |z| > R, alors |z| n'est pas dans l'ensemble, donc (a_n zⁿ) n'est pas bornée, et ne tend pas vers 0. Astuce : caractérisation de la borne supérieure.

Comparaison des coefficients. Si r < R_b, (b_n rⁿ) est bornée, et |a_n| rⁿ ≤ C |b_n| rⁿ l'est aussi. Donc tout r < R_b vérifie r ≤ R_a. Pour l'équivalence, on a domination dans les deux sens. Astuce : ne travailler qu'avec des suites bornées.

Rayon de Σ n^α xⁿ. Pour r < 1, n^α rⁿ tend vers 0 par croissances comparées, donc R ≥ 1. Pour r > 1, n^α rⁿ tend vers +∞, donc R ≤ 1. Astuce : croissances comparées, pas de d'Alembert nécessaire.

Même rayon pour la dérivée. Comme |a_n| ≤ n|a_n| pour n ≥ 1, le rayon de Σ n a_n xⁿ est au plus R. Pour r < R, on choisit ρ entre r et R, et n|a_n| rⁿ = |a_n| ρⁿ × n (r/ρ)ⁿ est borné. Astuce : intercaler un ρ.

Convergence normale et régularité. Sur [−r, r] avec r < R, sup |a_n xⁿ| = |a_n| rⁿ, terme d'une série convergente. La série dérivée a le même rayon, donc converge normalement sur ce segment aussi. Le théorème de dérivation des séries de fonctions donne C¹, puis une récurrence donne C^∞. Astuce : tout se fait sur les segments, puis la régularité étant locale, s'étend à ]−R, R[.

Unicité du développement. La dérivée k-ième en 0 de Σ a_n xⁿ vaut k! a_k. Deux séries de même somme au voisinage de 0 ont donc mêmes coefficients. Astuce : évaluer en 0 après dérivation terme à terme.

Exponentielle complexe. Les séries Σ zⁿ/n! et Σ wⁿ/n! convergent absolument. Le terme général de leur produit de Cauchy est Σ_k z^k w^n−k/(k!(n−k)!) = (z + w)ⁿ/n!. Astuce : formule du binôme.

Exemples et contre-exemples à connaître

Σ zⁿ, Σ zⁿ/n et Σ zⁿ/n² ont toutes un rayon égal à 1, avec trois comportements différents au bord. Le rayon ne voit pas les puissances de n.
Σ n! zⁿ a un rayon nul : la somme n'existe qu'en 0. Σ zⁿ/n! a un rayon infini.
Σ z²ⁿ/n a pour rayon 1. D'Alembert sur les coefficients est inapplicable, il faut poser u = z².
Coefficients a_n = 2ⁿ pour n pair et 3ⁿ pour n impair : le rapport a_n+1/a_n n'a pas de limite, pourtant R = 1/3 par encadrement 2ⁿ ≤ a_n ≤ 3ⁿ et étude de la suite bornée. D'Alembert n'est pas une condition nécessaire.
Σ sin(n) xⁿ a pour rayon 1 : les coefficients sont bornés, d'où R ≥ 1, et sin n ne tend pas vers 0, d'où divergence grossière en x = 1.
Σ xⁿ converge normalement sur [−r, r] pour tout r < 1, mais pas sur ]−1, 1[. C'est l'exemple qui justifie de travailler sur les segments.
a_n = 1 et b_n = −1 : chaque rayon vaut 1, la somme est de rayon infini. L'égalité R = min(R_a, R_b) exige R_a ≠ R_b.
x ↦ 1/(1 + x²) est C^∞ sur R, mais son développement en 0 a un rayon 1. La régularité réelle ne fixe pas le rayon.
Σ (1 + 1/n)ⁿ xⁿ : les coefficients tendent vers e, équivalents à la constante e, donc R = 1.

Techniques du chapitre

Technique 1 : d'Alembert sur la série numérique quand des coefficients sont nuls. Mini-exercice : Σ 2ⁿ x³ⁿ. À x ≠ 0 fixé, le rapport des termes consécutifs vaut 2|x|³. Convergence si 2|x|³ < 1, divergence si 2|x|³ > 1, donc R = 2^−1/3.

Technique 2 : encadrer les coefficients. Mini-exercice : a_n est le nombre de diviseurs de n ≥ 1. On a 1 ≤ a_n ≤ n. Les séries Σ xⁿ et Σ n xⁿ ont pour rayon 1, donc R = 1.

Technique 3 : remplacer les coefficients par un équivalent. Mini-exercice : a_n = ln(1 + 1/n). Comme a_n est équivalent à 1/n et que Σ xⁿ/n a pour rayon 1, R = 1.

Technique 4 : dériver une série géométrique. Mini-exercice : pour |x| < 1, Σ n xⁿ⁻¹ = 1/(1 − x)² par dérivation terme à terme. En multipliant par x, Σ n xⁿ = x/(1 − x)².

Technique 5 : décomposer en éléments simples. Mini-exercice : 1/((1 − x)(2 − x)) = 1/(1 − x) − 1/(2 − x). Or 1/(2 − x) = Σ xⁿ/2ⁿ⁺¹ pour |x| < 2. Donc a_n = 1 − 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ et R = 1, car les rayons 1 et 2 sont distincts.

Technique 6 : sommer une série numérique par une série entière. Mini-exercice : Σ n/2ⁿ est la valeur en x = 1/2 de Σ n xⁿ. Comme 1/2 < 1, elle vaut (1/2)/(1/4) = 2.

Technique 7 : produit de Cauchy. Mini-exercice : pour |x| < 1, −ln(1 − x) = Σ_k≥1 x^k/k. Le produit avec Σ xⁿ donne −ln(1 − x)/(1 − x) = Σ H_n xⁿ, avec H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n. Comme H_n est équivalent à ln n, le rayon vaut 1.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Quatre rayons

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer le rayon de Σ (nⁿ/n!) xⁿ, Σ C(2n, n) xⁿ, Σ (ln n) xⁿ et Σ x^n².

Technique choisir entre d'Alembert, comparaison et étude directe.

Voir le corrigé

Pour nⁿ/n!, le rapport vaut (n + 1)ⁿ⁺¹ n!/((n + 1)! nⁿ) = (1 + 1/n)ⁿ, qui tend vers e. Donc R = 1/e.
Pour C(2n, n), le rapport vaut (2n + 2)(2n + 1)/(n + 1)², qui tend vers 4. Donc R = 1/4.
Pour ln n, on a 1 ≤ ln n ≤ n pour n ≥ 3, d'où R = 1 par encadrement.
Pour Σ x^n², les coefficients valent 0 ou 1, donc sont bornés et R ≥ 1. En x = 1, le terme d'indice n² vaut 1, la série diverge grossièrement. Donc R = 1.

piège : Appliquer d'Alembert aux coefficients de Σ x^n², dont une infinité sont nuls.

Exercice 2. Somme de Σ n² xⁿ

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Calculer Σ n² xⁿ pour |x| < 1, puis Σ n²/2ⁿ.

Technique appliquer deux fois l'opérateur x d/dx.

Voir le corrigé

Le rayon vaut 1 par l'exemple de référence Σ n^α xⁿ.
On part de Σ n xⁿ = x/(1 − x)², obtenu en technique 4.
La dérivée de x(1 − x)⁻² vaut (1 − x)⁻² + 2x(1 − x)⁻³ = (1 + x)/(1 − x)³.
En multipliant par x, Σ n² xⁿ = x(1 + x)/(1 − x)³.
En x = 1/2, on obtient (3/4) × 8 = 6.

piège : Dériver Σ n xⁿ sans remultiplier par x, ce qui donne Σ n² xⁿ⁻¹.

Exercice 3. Développement de arcsin

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Développer (1 − x²)^−1/2 en série entière, puis arcsin.

Technique binôme généralisé, substitution, primitivation.

Voir le corrigé

Pour α = −1/2, le coefficient α(α − 1)…(α − n + 1)/n! vaut (−1)ⁿ × 1 × 3 × … × (2n − 1)/(2ⁿ n!), c'est-à-dire (−1)ⁿ C(2n, n)/4ⁿ.
Pour |u| < 1, (1 + u)^−1/2 = Σ (−1)ⁿ C(2n, n) uⁿ/4ⁿ. On pose u = −x², valable pour |x| < 1.
Donc (1 − x²)^−1/2 = Σ C(2n, n) x²ⁿ/4ⁿ, rayon 1.
arcsin est la primitive nulle en 0 de cette fonction sur ]−1, 1[. Par primitivation terme à terme, arcsin x = Σ C(2n, n) x²ⁿ⁺¹/(4ⁿ(2n + 1)).

piège : Écrire le produit 1 × 3 × … × (2n − 1) sans le convertir, ou oublier que le rayon reste 1 après primitivation.

Exercice 4. Série cosinus

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit θ réel. Pour |x| < 1, calculer C(x) = Σ_n≥0 cos(nθ) xⁿ, puis Σ_n≥1 cos(nθ) xⁿ/n.

Technique partie réelle d'une série géométrique complexe.

Voir le corrigé

Comme |cos(nθ) xⁿ| ≤ |x|ⁿ, le rayon est au moins 1.
Pour |x| < 1, |x e^iθ| < 1, donc Σ (x e^iθ)ⁿ = 1/(1 − x e^iθ).
On multiplie par le conjugué : C(x) = (1 − x cos θ)/D(x), avec D(x) = 1 − 2x cos θ + x² = |1 − x e^iθ|², strictement positif.
C(x) − 1 = (x cos θ − x²)/D(x). Donc Σ_n≥1 cos(nθ) xⁿ⁻¹ = (cos θ − x)/D(x).
Une primitive est −(1/2) ln D(x), nulle en 0. Par primitivation terme à terme, Σ cos(nθ) xⁿ/n = −(1/2) ln(1 − 2x cos θ + x²).

piège : Prendre la partie réelle du dénominateur au lieu de multiplier par le conjugué.

Exercice 5. Un logarithme déguisé

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Développer f(x) = ln(1 + x + x²) en série entière et donner le rayon.

Technique factorisation, puis développements usuels.

Voir le corrigé

Pour x ≠ 1, 1 + x + x² = (1 − x³)/(1 − x). Pour |x| < 1, les deux facteurs sont strictement positifs.
Donc f(x) = ln(1 − x³) − ln(1 − x) = −Σ_k≥1 x^3k/k + Σ_n≥1 xⁿ/n.
Le coefficient a_n vaut 1/n si 3 ne divise pas n, et 1/n − 3/n = −2/n sinon.
Comme 1/n ≤ |a_n| ≤ 2/n, le rayon vaut 1.

piège : Croire que le rayon est infini parce que f est définie sur R. Les racines complexes de 1 + x + x² sont de module 1.

Exercice 6. Sommer par décomposition

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Calculer S(x) = Σ_n≥1 xⁿ/(n(n + 1)) pour |x| < 1.

Technique éléments simples, puis reconnaissance de ln.

Voir le corrigé

Le coefficient est équivalent à 1/n², donc R = 1.
S(0) = 0. Pour x non nul, 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1), et les deux séries obtenues convergent.
Σ_n≥1 xⁿ/n = −ln(1 − x).
Σ_n≥1 xⁿ/(n + 1) = (1/x) Σ_m≥2 x^m/m = (1/x)(−ln(1 − x) − x).
Donc S(x) = 1 + (1 − x) ln(1 − x)/x pour x ≠ 0.

piège : Diviser par x sans traiter x = 0 à part, ou séparer deux séries sans vérifier que chacune converge.

Exercice 7. Développement par équation différentielle

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Soit f(x) = arcsin(x)/√(1 − x²) sur ]−1, 1[. Montrer que (1 − x²) f'(x) − x f(x) = 1, puis en déduire le développement de f.

Technique analyse, résolution de la récurrence, rayon, synthèse.

Voir le corrigé

En dérivant, f'(x) = 1/(1 − x²) + x arcsin(x)(1 − x²)^−3/2. En multipliant par 1 − x², on obtient 1 + x f(x). De plus f(0) = 0.
Analyse. Si f = Σ a_n xⁿ avec un rayon non nul, l'équation donne a₁ = 1 pour la constante, puis, pour n ≥ 1, (n + 1) a_n+1 − (n − 1) a_n−1 − a_n−1 = 0, soit (n + 1) a_n+1 = n a_n−1.
Résolution. a₀ = 0 annule tous les coefficients pairs. Pour les impairs, a_2p+1 = (2p/(2p + 1)) a_2p−1, d'où a_2p+1 = 4ᵖ (p!)²/(2p + 1)!.
Rayon. À x ≠ 0 fixé, le rapport des termes consécutifs non nuls vaut (2p/(2p + 1)) x², qui tend vers x². Donc R = 1.
Synthèse. La somme g vérifie la même équation sur ]−1, 1[, avec g(0) = 0. Sur cet intervalle, 1 − x² ne s'annule pas. L'unicité, admise, de la solution du problème de Cauchy donne f = g.

piège : Omettre la synthèse. L'analyse ne prouve rien tant qu'on n'a pas montré que f est développable.

Exercice 8. Suite de Fibonacci

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

u₀ = 0, u₁ = 1, u_n+2 = u_n+1 + u_n. Montrer que Σ u_n xⁿ a un rayon au moins 1/2, calculer sa somme et en déduire u_n.

Technique fonction génératrice, puis unicité des coefficients.

Voir le corrigé

Par récurrence forte, 0 ≤ u_n ≤ 2ⁿ. Donc R ≥ 1/2.
Pour |x| < 1/2, on multiplie la relation par xⁿ⁺² et on somme : F(x) − x = x F(x) + x² F(x). Donc F(x) = x/(1 − x − x²).
Avec φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2, on a φ + ψ = 1 et φψ = −1, donc 1 − x − x² = (1 − φx)(1 − ψx).
Par éléments simples, F(x) = (1/√5)(1/(1 − φx) − 1/(1 − ψx)), développable pour |x| < 1/φ.
Par unicité des coefficients au voisinage de 0, u_n = (φⁿ − ψⁿ)/√5. Le rayon vaut exactement 1/φ.

piège : Manipuler F sans avoir d'abord établi un rayon strictement positif.

Exercice 9. Rayon de Σ a_n² zⁿ

Approfondissement · Type oral Mines

Σ a_n zⁿ a pour rayon R. Montrer que Σ a_n² zⁿ a pour rayon R², avec les conventions 0² = 0 et (+∞)² = +∞.

Technique revenir à la définition par les suites bornées.

Voir le corrigé

Soit R' le rayon cherché. On note que |a_n²| = |a_n|².
Si 0 ≤ r < R, (a_n rⁿ) est bornée, donc (a_n² (r²)ⁿ) aussi. Donc r² ≤ R' pour tout r < R, d'où R² ≤ R'.
Si 0 ≤ s < R', (a_n² sⁿ) est bornée par M. Alors |a_n| (√s)ⁿ ≤ √M, donc √s ≤ R, soit s ≤ R². D'où R' ≤ R².
Les cas R = 0 et R = +∞ sont couverts par ces inégalités.

piège : Supposer que |a_n+1/a_n| a une limite. C'est inutile, et faux en général.

Exercice 10. Dérangements

Approfondissement · Type oral Centrale

On admet que le nombre D_n de permutations de {1, …, n} sans point fixe vérifie Σ_k=0ⁿ C(n, k) D_k = n!, avec D₀ = 1. On pose D(x) = Σ D_n xⁿ/n!. Calculer D et en déduire D_n.

Technique série génératrice exponentielle et produit de Cauchy.

Voir le corrigé

0 ≤ D_n ≤ n!, donc les coefficients sont dans [0, 1] et R ≥ 1.
Pour |x| < 1, le produit de Cauchy de e^x et D(x) a pour coefficient Σ_k D_k/(k!(n − k)!) = n!/n! = 1.
Donc e^x D(x) = 1/(1 − x), soit D(x) = e^−x/(1 − x).
Le produit de Cauchy de e^−x et de Σ xⁿ donne le coefficient Σ_k=0ⁿ (−1)^k/k!.
Par unicité, D_n = n! Σ_k=0ⁿ (−1)^k/k!. En particulier D_n/n! tend vers 1/e.

piège : Oublier la factorielle : le coefficient de xⁿ est D_n/n!, pas D_n.

Erreurs fréquentes

Appliquer d'Alembert aux coefficients alors qu'une infinité d'entre eux sont nuls, ou croire que R n'existe pas quand le rapport n'a pas de limite.
Déduire une convergence au bord à partir du rayon, ou dériver et primitiver terme à terme en x = ±R.
Invoquer la convergence normale sur ]−R, R[ tout entier au lieu de travailler sur un segment [−r, r] avec r < R.
Conclure un développement par équation différentielle sans synthèse, ou sans citer l'unicité de la solution du problème de Cauchy.
Écrire que le rayon d'une somme est le minimum des rayons sans vérifier que ces rayons sont distincts, ou décaler les indices d'une somme sans ajuster les premiers termes.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Suites et séries de fonctions », section C « Séries entières ». Les coefficients $a_n$ sont réels ou complexes, la variable est notée $x$ quand elle est réelle et $z$ quand elle est complexe.

Séries entières

Résumé en cinq points

1Rayon de convergence

1.1Lemme d'Abel

1.2Définition du rayon

1.3Comparaison des coefficients

1.4Règle de d'Alembert

1.5Somme et produit

2Régularité de la somme d'une série entière de la variable réelle

2.1Convergence normale sur tout segment

2.2Continuité

2.3Primitivation et dérivation terme à terme

3Développement en série entière au voisinage de 0

3.1Définitions

3.2Développements usuels à connaître

3.3Développement par équation différentielle

4Séries géométrique et exponentielle de la variable complexe

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Quatre rayons

Exercice 2. Somme de Σ n² xⁿ

Exercice 3. Développement de arcsin

Exercice 4. Série cosinus

Exercice 5. Un logarithme déguisé

Exercice 6. Sommer par décomposition

Exercice 7. Développement par équation différentielle

Exercice 8. Suite de Fibonacci

Exercice 9. Rayon de Σ a_n² zⁿ

Exercice 10. Dérangements

Erreurs fréquentes

Au concours