Le cours

Résumé en cinq points

La dérivabilité équivaut à un développement limité à l'ordre 1. Elle entraîne la continuité, la réciproque est fausse.
Rolle découle du théorème des bornes atteintes, et l'égalité des accroissements finis découle de Rolle par une fonction auxiliaire affine.
L'inégalité des accroissements finis donne le caractère lipschitzien et contrôle la vitesse de convergence des suites récurrentes.
Le théorème de la limite de la dérivée est une condition suffisante de dérivabilité, jamais nécessaire.
Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si $f'' \geqslant 0$ . Son graphe est alors sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes, ce qui fournit la plupart des inégalités classiques.

Pourquoi ce chapitre

Au début du semestre, la dérivation avait été admise et utilisée comme outil de calcul. Ici on démontre.

Le résultat central est le théorème des accroissements finis, qui relie une information locale, la dérivée, à une information globale, la variation de la fonction. Il justifie la caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée, admise jusque-là.
L'inégalité des accroissements finis introduit les fonctions lipschitziennes et permet de contrôler la vitesse de convergence des suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ . Le programme signale aussi la méthode de Newton et la méthode d'Euler comme occasions d'illustrer la discrétisation, sans en faire des exigibles théoriques.
La convexité est un outil d'inégalités très utilisé en physique et en probabilités.

1Nombre dérivé et fonction dérivée

1.1Définition

Définition 1.1Dérivabilité en un point

Soit $a$ un point de l'intervalle $I$ . La fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $a$ . Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ . En posant $x = a + h$ , c'est la limite de $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ .

Propriété 1.2Caractérisation par un développement limité à l'ordre 1 (exigible)

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si on peut écrire $f(a + h) = f(a) + f'(a)\,h + h\,\varepsilon(h),$ où $\varepsilon(h) \to 0$ quand $h \to 0$ .

Cette écriture est souvent plus maniable que le quotient, notamment pour démontrer la dérivée d'un produit ou d'une composée.

Interprétations :

Géométrique : $f'(a)$ est la pente de la tangente au graphe au point d'abscisse $a$ , d'équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ .
Cinématique : si $f$ est une position, $f'(a)$ est la vitesse instantanée.

1.2Dérivabilité et continuité

Propriété 1.3Dérivabilité et continuité

La dérivabilité en $a$ entraîne la continuité en $a$ .

Démonstration

Avec le développement limité, $f(a + h)$ tend vers $f(a)$ quand $h$ tend vers $0$ .

La réciproque est fausse.

Exemple 1.4Contre-exemples

La valeur absolue est continue en $0$ et n'y est pas dérivable : son taux d'accroissement vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche.
La racine carrée est continue en $0$ et son taux d'accroissement tend vers $+\infty$ . Elle n'est pas dérivable en $0$ , et son graphe y a une tangente verticale.

Définition 1.5Dérivabilité à gauche et à droite

On définit les dérivées unilatérales comme les limites unilatérales du taux d'accroissement.

Propriété 1.6Dérivabilité en un point intérieur

La fonction $f$ est dérivable en un point $a$ intérieur à $I$ si et seulement si les deux dérivées unilatérales existent et sont égales.

1.3Opérations

Propriété 1.7Opérations sur les fonctions dérivables

Hypothèses

$f$ et $g$ sont dérivables sur $I$ .

Alors sont dérivables :

la combinaison linéaire ;
le produit, avec $(fg)' = f'g + fg'$ ;
le quotient, là où le dénominateur ne s'annule pas ;
la composée, avec $(g \circ f)' = f' \times g' \circ f$ .

Théorème 1.8Dérivée d'une réciproque

Hypothèses

$f$ est une bijection dérivable de $I$ sur $J$ ;
$b = f(a)$ ;
$f'(a) \neq 0$ .

Alors la réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $b$ , et $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}.$

Attention

Si $f'(a) = 0$ , la réciproque n'est pas dérivable en $b$ : son graphe y présente une tangente verticale. C'est ce qui se passe pour $\operatorname{Arcsin}$ en $1$ et en $-1$ .

2Extremum local et point critique

Définition 2.1Extremum local

La fonction $f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un voisinage de $a$ sur lequel $f(x) \leqslant f(a)$ . Le minimum local se définit de façon analogue.

Théorème 2.2Condition nécessaire d'extremum local

Hypothèses

$f$ est dérivable en $a$ ;
$a$ est intérieur à $I$ ;
$f$ admet un extremum local en $a$ .

Alors $f'(a) = 0$ .

Un zéro de la dérivée s'appelle un point critique.

Démonstration

Cas d'un maximum. Pour $h > 0$ petit, le taux $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ est négatif, donc sa limite $f'(a)$ est négative. Pour $h < 0$ , le taux est positif, donc $f'(a)$ est positive. D'où $f'(a) = 0$ .

Attention

Deux réserves :

la condition n'est pas suffisante : $x \mapsto x^3$ a un point critique en $0$ sans extremum ;
l'hypothèse « $a$ intérieur » est indispensable : sur $[0, 1]$ , la fonction identité atteint ses extremums aux bords, où la dérivée vaut $1$ .

3Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

3.1Théorème de Rolle

Théorème 3.1Théorème de Rolle

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, b]$ , avec $a < b$ ;
$f$ est dérivable sur $]a, b[$ ;
$f(a) = f(b)$ .

Alors il existe $c \in\, ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$ .

Démonstration

$f$ est continue sur un segment, donc elle est bornée et atteint ses bornes. Si le maximum et le minimum sont tous deux atteints aux extrémités, alors $f$ est constante, puisque $f(a) = f(b)$ , et n'importe quel $c$ convient. Sinon, l'un des deux extremums est atteint en un point $c$ intérieur, où $f$ est dérivable, donc $f'(c) = 0$ par la condition nécessaire d'extremum. Cette démonstration est à savoir refaire.

Attention

La continuité doit porter sur le segment fermé, la dérivabilité seulement sur l'ouvert. Le théorème est faux pour une fonction à valeurs complexes : $t \mapsto \e^{\ii t}$ sur $[0, 2\pi]$ prend la même valeur aux bornes, mais sa dérivée $\ii\,\e^{\ii t}$ ne s'annule jamais.

3.2Égalité des accroissements finis

Théorème 3.2Égalité des accroissements finis

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, b]$ ;
$f$ est dérivable sur $]a, b[$ .

Alors il existe $c \in\, ]a, b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).$

Démonstration

On applique Rolle à la fonction $g$ définie par $g(x) = f(x) - f(a) - (x - a)\,\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$ Elle est continue sur $[a, b]$ , dérivable sur $]a, b[$ , et vérifie $g(a) = g(b) = 0$ .

Interprétations :

Géométrique : il existe un point où la tangente est parallèle à la corde.
Cinématique : la vitesse moyenne est atteinte à un instant au moins.

3.3Inégalité des accroissements finis

Théorème 3.3Inégalité des accroissements finis

Hypothèses

$f$ est dérivable sur $I$ ;
$\abs{f'}$ est majorée par $K$ sur $I$ .

Alors pour tous $x$ et $y$ de $I$ , $\abs{f(x) - f(y)} \leqslant K\,\abs{x - y}.$ On dit que $f$ est $K$ -lipschitzienne.

Une fonction lipschitzienne est en particulier continue. La réciproque est fausse : la racine carrée sur $[0, 1]$ est continue et non lipschitzienne, sa dérivée n'est pas bornée près de $0$ .

Propriété 3.4Suites $u_{n+1} = f(u_n)$

Hypothèses

$l$ est un point fixe de $f$ ;
$\abs{f'} \leqslant K < 1$ sur un intervalle stable contenant $l$ ;
les $u_n$ restent dans cet intervalle.

Alors $\abs{u_n - l} \leqslant K^n\,\abs{u_0 - l}$ , et la suite converge vers $l$ .

Démonstration

$\abs{u_{n+1} - l} = \abs{f(u_n) - f(l)} \leqslant K\,\abs{u_n - l}$ , puis récurrence.

La convergence est au moins géométrique de raison $K$ . C'est un résultat quantitatif : il donne le nombre d'itérations nécessaires pour une précision donnée.

3.4Caractérisation de la monotonie

Les résultats admis au début du semestre se démontrent maintenant.

Théorème 3.5Monotonie et signe de la dérivée

Hypothèses

$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ .

Alors :

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'$ est nulle sur $I$ ;
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \geqslant 0$ sur $I$ ;
si $f' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Plus finement, $f$ est strictement croissante si et seulement si $f' \geqslant 0$ et si $f'$ ne s'annule sur aucun intervalle d'intérieur non vide.

Démonstration

Sens direct pour la croissance. Pour $x < y$ dans $I$ , l'égalité des accroissements finis donne $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geqslant 0$ . Le sens réciproque vient du signe du taux d'accroissement.

Attention

L'hypothèse « intervalle » est indispensable : $x \mapsto 1/x$ a une dérivée strictement négative sur $\R$ privé de $0$ sans être décroissante sur cet ensemble.

Remarque

La stricte croissance n'exige pas $f' > 0$ partout : $x \mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\R$ avec une dérivée nulle en $0$ .

3.5Théorème de la limite de la dérivée

Théorème 3.6Théorème de la limite de la dérivée

Hypothèses

$f$ est continue sur $I$ ;
$f$ est dérivable sur $I$ privé de $a$ ;
$f'(x)$ tend vers un réel $l$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x \neq a$ .

Alors $f$ est dérivable en $a$ , $f'(a) = l$ , et $f'$ est continue en $a$ .

Démonstration

Pour $x$ proche de $a$ , l'égalité des accroissements finis entre $a$ et $x$ donne $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(c_x),$ avec $c_x$ strictement compris entre $a$ et $x$ . Quand $x$ tend vers $a$ , $c_x$ aussi, donc $f'(c_x)$ tend vers $l$ . Le taux d'accroissement tend donc vers $l$ .

Remarque

Extension au cas où $l = \pm\infty$ : alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ , et le graphe admet une tangente verticale en $a$ .

Attention

C'est une condition suffisante, pas nécessaire. Si $f'$ n'a pas de limite en $a$ , on ne peut rien conclure : $f$ peut malgré tout être dérivable en $a$ . Exemple classique : $x \mapsto x^2 \sin(1/x)$ prolongée par $0$ est dérivable en $0$ , avec une dérivée qui n'a pas de limite en $0$ .

4Fonctions de classe C^k

Définition 4.1Classe $C^k$

Pour $k$ entier, $f$ est de classe $C^k$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable sur $I$ et si $f^{(k)}$ est continue sur $I$ . Elle est de classe $C^\infty$ si elle est de classe $C^k$ pour tout $k$ .

Propriété 4.2Opérations sur les fonctions de classe $C^k$

La combinaison linéaire, le produit, le quotient à dénominateur ne s'annulant pas, la composée et la réciproque d'applications de classe $C^k$ sont de classe $C^k$ .

Le programme précise que les démonstrations relatives à la composition et à la réciproque ne sont pas exigibles.

Théorème 4.3Formule de Leibniz

Hypothèses

$f$ et $g$ sont $k$ fois dérivables.

Alors $(fg)^{(k)} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} f^{(j)}\,g^{(k-j)}.$

Démonstration

Récurrence sur $k$ , avec la formule de Pascal, exactement comme pour le binôme.

Exemple 4.4Dérivée $n$ -ième de $x \mapsto x^2 \e^x$

Seuls trois termes survivent, car les dérivées de $x^2$ au-delà de l'ordre $2$ sont nulles. On obtient $\e^x\left(x^2 + 2nx + n(n-1)\right).$

5Fonctions convexes

5.1Définition

Définition 5.1Fonction convexe

La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $I$ si, pour tous $x$ et $y$ de $I$ et tout $\lambda \in [0, 1]$ , $f\big((1-\lambda)x + \lambda y\big) \leqslant (1-\lambda) f(x) + \lambda f(y).$ Elle est concave si l'inégalité inverse est vérifiée, c'est-à-dire si $-f$ est convexe.

Interprétation géométrique : entre deux points du graphe, le graphe est en dessous de la corde.

Le programme précise que l'inégalité de Jensen et les développements généraux sur les barycentres sont hors programme.

5.2Position par rapport aux sécantes et aux tangentes

Propriété 5.2Position par rapport aux sécantes

C'est la définition, reformulée. Hypothèses :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$x < z < y$ sont dans $I$ .

Alors on a l'inégalité des trois pentes : la pente entre $x$ et $z$ est inférieure à la pente entre $x$ et $y$ , elle-même inférieure à la pente entre $z$ et $y$ .

Propriété 5.3Position par rapport aux tangentes

Hypothèses

$f$ est convexe et dérivable sur $I$ .

Alors le graphe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes : $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tous $a$ et $x$ de $I$ .

Ces deux propriétés sont les moteurs des inégalités de convexité.

5.3Caractérisation par les dérivées

Propriété 5.4Caractérisation par la dérivée

Si $f$ est dérivable sur $I$ , $f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante sur $I$ .

Propriété 5.5Caractérisation par la dérivée seconde

Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , $f$ est convexe si et seulement si $f'' \geqslant 0$ sur $I$ .

C'est la caractérisation utilisée en pratique.

Exemple 5.6Inégalités de convexité

L'exponentielle est convexe sur $\R$ , sa dérivée seconde est elle-même, positive. La tangente en $0$ donne $\e^x \geqslant 1 + x$ .
Le logarithme est concave sur $\R_+^*$ , de dérivée seconde $-1/x^2$ . La tangente en $1$ donne $\ln x \leqslant x - 1$ , donc $\ln(1 + u) \leqslant u$ .
La concavité du sinus sur $[0, \pi]$ donne, en comparant à la corde, $\sin x \geqslant 2x/\pi$ sur $[0, \pi/2]$ .

6Fonctions complexes

Propriété 6.1Dérivabilité d'une fonction complexe

Pour $f = u + \ii v$ à valeurs complexes, $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $u$ et $v$ le sont, et $f' = u' + \ii v'$ . Les règles de calcul sur la combinaison linéaire, le produit et le quotient restent valables.

Ce qui tombe :

Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux, comme on l'a vu avec $t \mapsto \e^{\ii t}$ .
Il n'y a pas de caractérisation de la monotonie, la notion n'ayant pas de sens.

Théorème 6.2Inégalité des accroissements finis complexe

Hypothèses

$f$ est à valeurs complexes, de classe $C^1$ sur $I$ ;
$\abs{f'} \leqslant K$ sur $I$ .

Alors $\abs{f(x) - f(y)} \leqslant K\,\abs{x - y}$ pour tous $x$ et $y$ de $I$ .

Le programme mentionne que cette inégalité résulte d'une simple majoration d'intégrale, justifiée plus tard dans la section « Intégration ». On l'utilise donc, en signalant d'où elle vient.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour une dérivabilité en un point délicat, revenir au taux d'accroissement. Ne pas dériver la formule et regarder si elle a un sens.
Pour prouver l'existence d'un zéro de la dérivée, penser à Rolle, souvent après avoir fabriqué une fonction auxiliaire qui prend deux fois la même valeur.
Pour comparer $f(b) - f(a)$ et $b - a$ , appliquer l'égalité ou l'inégalité des accroissements finis.
Pour une inégalité entre deux fonctions, soit étudier la différence, soit invoquer une convexité et comparer à une tangente ou à une corde.
Pour une vitesse de convergence d'une suite récurrente, majorer $\abs{f'}$ près du point fixe et itérer l'inégalité des accroissements finis.
Pour une dérivée $n$ -ième, chercher une récurrence, une formule de Leibniz ou une décomposition en éléments simples.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Montrer que la dérivabilité entraîne la continuité et donner un contre-exemple à la réciproque.
Démontrer la condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur.
Démontrer le théorème de Rolle à partir du théorème des bornes atteintes.
Déduire l'égalité des accroissements finis de Rolle en introduisant la bonne fonction auxiliaire.
Démontrer la caractérisation des fonctions croissantes par le signe de la dérivée, en précisant pourquoi $I$ doit être un intervalle.
Énoncer et démontrer le théorème de la limite de la dérivée, et dire pourquoi sa réciproque est fausse.
Appliquer la formule de Leibniz au calcul d'une dérivée $n$ -ième.
Démontrer $\e^x \geqslant 1 + x$ et $\ln(1 + x) \leqslant x$ par convexité, en comparant à la tangente.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Exigible avec démonstration. La réciproque est fausse.
f est dérivable en a si et seulement si f admet un développement limité à l'ordre 1 en a. Exigible avec démonstration. Pour h ≠ 0, on pose ε(h) égal au taux d'accroissement moins f'(a), et on pose ε(0) = 0.
Pour a intérieur à I, f est dérivable en a si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en a, avec le même nombre dérivé. Exigible.
Combinaison linéaire, produit, quotient (dénominateur non nul en a) et composée de fonctions dérivables sont dérivables. Exigible, preuves par le développement limité.
Réciproque. Soit f continue et strictement monotone sur un intervalle I, dérivable en a, avec f'(a) ≠ 0. Alors f⁻¹ est dérivable en f(a), de dérivée 1/f'(a). Exigible. Si f'(a) = 0, f⁻¹ n'est pas dérivable en f(a).
Condition nécessaire d'extremum. Si a est intérieur à I, si f est dérivable en a et y admet un extremum local, alors f'(a) = 0. Exigible avec démonstration.
Rolle, pour f réelle continue sur [a, b] (a < b), dérivable sur ]a, b[, avec f(a) = f(b). Exigible avec démonstration. Il repose sur le théorème des bornes atteintes, admis.
Égalité des accroissements finis, pour f réelle continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Exigible avec démonstration.
Inégalité des accroissements finis. Si f est réelle et dérivable sur un intervalle I avec |f'| ≤ K, alors f est K-lipschitzienne. Exigible. Variante : si m ≤ f' ≤ M sur I, alors m(y − x) ≤ f(y) − f(x) ≤ M(y − x) pour x ≤ y dans I.
Monotonie, pour f dérivable sur un intervalle. f est constante si et seulement si f' = 0. f est croissante si et seulement si f' ≥ 0. f est strictement croissante si et seulement si f' ≥ 0 et si les zéros de f' ne contiennent aucun intervalle non trivial. Exigible avec démonstration.
Théorème de la limite de la dérivée, avec l'extension au cas l = ±∞ (pas de dérivabilité, tangente verticale). Exigible avec démonstration.
Opérations sur les fonctions de classe C^k. Preuves exigibles pour la combinaison linéaire, le produit et le quotient. Non exigibles pour la composée et la réciproque.
Formule de Leibniz. Exigible avec démonstration par récurrence.
Convexité. Inégalité des trois pentes. Graphe au-dessus des tangentes si f est dérivable. Pour f dérivable, f convexe si et seulement si f' croissante. Pour f deux fois dérivable, f convexe si et seulement si f'' ≥ 0. Exigibles.
Inégalité des accroissements finis pour f complexe de classe C¹. Énoncée ici, prouvée au chapitre Intégration par majoration d'intégrale.
Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux pour les fonctions à valeurs complexes.
Hors programme : l'inégalité de Jensen et les barycentres, le théorème de Darboux (traité ici en exercice avec les seuls outils du programme), la théorie des méthodes de Newton et d'Euler. Les formules de Taylor viennent dans des chapitres ultérieurs.

Clés de démonstration

Dérivable entraîne continue. On écrit f(a + h) − f(a) = h(f'(a) + ε(h)). Le facteur entre parenthèses est borné près de 0, donc le produit tend vers 0. Astuce : factoriser par h.

Composée. On pose k(h) = f(a + h) − f(a), qui tend vers 0, et on écrit g(f(a) + k) = g(f(a)) + g'(f(a))k + kη(k), avec η(0) = 0. On remplace k par h(f'(a) + ε(h)) et on regroupe. Astuce : ce prolongement de η évite de diviser par k(h) quand il s'annule.

Réciproque. Pour y ≠ b = f(a), on pose x = f⁻¹(y). Le taux de f⁻¹ en b est l'inverse du taux de f en a. Quand y tend vers b, x tend vers a par continuité de f⁻¹, avec x ≠ a par injectivité.

Extremum. On regarde le signe du taux de chaque côté de a, puis on passe à la limite dans des inégalités larges. Astuce : le point doit être intérieur pour disposer des deux côtés.

Rolle. Si maximum et minimum sont atteints aux bornes, f est constante. Sinon, l'un est atteint à l'intérieur, où la dérivée s'annule.

Accroissements finis. On applique Rolle à f moins la fonction affine qui coïncide avec f en a et en b. Astuce : retirer la corde.

Monotonie. Sens direct par l'égalité des accroissements finis entre x et y. Pour la stricte croissance : si f est croissante avec f(x) = f(y) et x < y, alors f est constante sur [x, y] et f' y est nulle. Astuce : un défaut de stricte monotonie produit un palier.

Limite de la dérivée. On travaille d'un côté de a à la fois. Les accroissements finis sur [a, x] donnent c_x strictement entre a et x, qui tend vers a par encadrement. On compose la limite de f' avec c_x, qui est différent de a.

Leibniz. On dérive chaque terme au rang n, on réindexe une des deux sommes, puis on regroupe avec la formule de Pascal. Le calcul est celui du binôme.

Convexité. Si f' est croissante et x < z < y, les accroissements finis donnent les pentes f'(c₁) et f'(c₂) avec c₁ < c₂, d'où l'inégalité des pentes. Pour les tangentes, on fait tendre t vers a dans les trois pentes entre a, t et x. De f'' ≥ 0 à f' croissante, c'est la caractérisation de la monotonie.

Exemples et contre-exemples à connaître

x ↦ |x| en 0. Elle est 1-lipschitzienne et convexe, mais non dérivable en 0. Ni la lipschitzianité ni la convexité n'impliquent la dérivabilité.
x ↦ √x en 0. Le taux vaut 1/√x et tend vers +∞. C'est le modèle de la tangente verticale.
x ↦ x²sin(1/x), prolongée par 0. Le taux x sin(1/x) tend vers 0, donc f'(0) = 0. Mais 2x sin(1/x) − cos(1/x) n'a pas de limite en 0. La fonction est dérivable sans être C¹.
x ↦ x + 2x²sin(1/x), prolongée par 0. On a f'(0) = 1, mais f'(1/(2nπ)) = −1 en des points qui s'accumulent en 0. f n'est croissante sur aucun voisinage de 0.
x ↦ x|x|. Sa dérivée est 2|x|. Elle est C¹ mais pas deux fois dérivable en 0.
x ↦ x³. Point critique sans extremum, et fonction strictement croissante dont la dérivée s'annule.
x ↦ x⁴. Strictement convexe avec f''(0) = 0. La condition f'' > 0 n'est pas nécessaire.
t ↦ e^it sur [0, 2π]. Même valeur aux bornes, dérivée jamais nulle. Rolle tombe pour les fonctions complexes.
Arctan x + Arctan(1/x) sur R*. Dérivée nulle, mais la fonction vaut π/2 sur ]0, +∞[ et −π/2 sur ]−∞, 0[. L'hypothèse d'intervalle est indispensable.

Techniques du chapitre

Taux d'accroissement en un point de raccord. Mini-exercice : f(x) = x² ln|x| pour x ≠ 0, et f(0) = 0. Le taux en 0 vaut x ln|x|, qui tend vers 0 par croissances comparées. Donc f'(0) = 0.

Limite de la dérivée pour un prolongement. Mini-exercice : f(x) = e^−1/x pour x > 0, et f(x) = 0 pour x ≤ 0. f est continue en 0. Pour x > 0, f'(x) = e^−1/x/x², qui vaut u²e^−u avec u = 1/x et tend vers 0. À gauche, f' = 0. Donc f est dérivable en 0 avec f'(0) = 0, et f est de classe C¹.

Rolle entre des zéros consécutifs. Mini-exercice : P réel de degré n ≥ 2 à n racines réelles distinctes x₁ < … < x_n. Rolle sur chaque [x_i, x_i+1] donne n − 1 racines de P' dans des intervalles ouverts disjoints. Comme P' est de degré n − 1, ce sont toutes ses racines.

Encadrement par les accroissements finis. Mini-exercice : pour 0 < a < b, encadrer ln b − ln a. Il existe c dans ]a, b[ tel que ln b − ln a = (b − a)/c. Donc (b − a)/b < ln b − ln a < (b − a)/a.

Inégalité par corde ou tangente. Mini-exercice : pour x dans [0, 1], montrer 2^x ≤ 1 + x. La dérivée seconde (ln 2)² 2^x est positive, donc x ↦ 2^x est convexe. Sa corde entre (0, 1) et (1, 2) est y = 1 + x, et le graphe est sous la corde.

Suite contractante. Mini-exercice : u₀ dans [0, 1] et u_n+1 = cos u_n. Le cosinus envoie [0, 1] dans [cos 1, 1], contenu dans [0, 1]. Les valeurs intermédiaires donnent un point fixe l. Sur [0, 1], |sin| ≤ sin 1 < 1, donc |u_n − l| ≤ (sin 1)ⁿ.

Leibniz avec un facteur polynomial. Mini-exercice : dérivée n-ième de (x² + 1)e^−x. Seuls j = 0, 1, 2 contribuent. On trouve (−1)ⁿ e^−x(x² − 2nx + n² − n + 1). Pour n = 1, on retrouve −e^−x(x − 1)².

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Régularité selon un paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit α > 0 et f définie sur [0, +∞[ par f(0) = 0 et f(x) = x^α sin(1/x) pour x > 0. Étudier la continuité, la dérivabilité et le caractère C¹ de f en 0.

Technique Revenir au taux, puis tester f' sur deux suites.

Voir le corrigé

|f(x)| ≤ x^α, qui tend vers 0. Donc f est continue en 0.
Le taux vaut x^α−1 sin(1/x). Si α > 1, il est majoré en valeur absolue par x^α−1, qui tend vers 0. Donc f'(0) = 0.
Si α ≤ 1, le taux vaut 0 en y_n = 1/(nπ) et vaut z_n^α−1 ≥ 1 en z_n = 1/(2nπ + π/2). Pas de limite, donc pas de dérivabilité.
Pour α > 1 et x > 0, f'(x) = αx^α−1 sin(1/x) − x^α−2 cos(1/x). Si α > 2, les deux termes tendent vers 0 et f' est continue en 0.
Si 1 < α ≤ 2, f'(1/(2nπ)) = −(2nπ)^2−α ne tend pas vers 0, alors que f'(z_n) tend vers 0. f' n'est pas continue en 0.

Conclusion. f est dérivable en 0 si et seulement si α > 1, et C¹ si et seulement si α > 2.

piège : Conclure à la non-dérivabilité parce que f' n'a pas de limite en 0.

Exercice 2. Une équation résolue par Rolle

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient a, b, c réels. Montrer que 4ax³ + 3bx² + 2cx = a + b + c admet une solution dans ]0, 1[.

Technique Reconnaître une dérivée.

Voir le corrigé

On pose g(x) = ax⁴ + bx³ + cx² − (a + b + c)x, polynôme donc dérivable sur R.
On a g(0) = g(1) = 0.
Rolle donne c₀ dans ]0, 1[ avec g'(c₀) = 0, c'est l'équation demandée.

piège : Étudier directement le signe du polynôme de degré 3.

Exercice 3. Encadrement du logarithme

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que x/(1 + x) < ln(1 + x) < x pour x > 0. En déduire la limite de (1 + 1/n)ⁿ.

Technique Égalité des accroissements finis.

Voir le corrigé

Sur [0, x], ln(1 + x) = x/(1 + c) avec 0 < c < x.
Comme 1 < 1 + c < 1 + x, on obtient l'encadrement strict.
Avec x = 1/n, n/(n + 1) < n ln(1 + 1/n) < 1, donc n ln(1 + 1/n) tend vers 1.
Par continuité de l'exponentielle en 1, (1 + 1/n)ⁿ tend vers e.

piège : Écrire 1^∞ = 1.

Exercice 4. Rolle sur une demi-droite

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit f continue sur [a, +∞[, dérivable sur ]a, +∞[, telle que f(x) tende vers f(a) en +∞. Montrer que f' s'annule.

Technique Fabriquer deux points de même image par les valeurs intermédiaires.

Voir le corrigé

Si f est constante, tout point convient.
Sinon, il existe x₀ > a avec f(x₀) ≠ f(a). Supposons f(x₀) > f(a), l'autre cas est symétrique. On pose y = (f(a) + f(x₀))/2.
Les valeurs intermédiaires sur [a, x₀] donnent α dans ]a, x₀[ avec f(α) = y.
Comme f tend vers f(a) < y, il existe B > x₀ avec f(B) < y. Les valeurs intermédiaires sur [x₀, B] donnent β avec f(β) = y.
Rolle sur [α, β] conclut.

piège : Appliquer Rolle sur un intervalle non borné.

Exercice 5. Convergence vers le nombre d'or

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit u₀ = 1 et u_n+1 = 1 + 1/u_n. Montrer que la suite converge vers φ = (1 + √5)/2 et donner un rang garantissant une erreur inférieure à 10⁻⁶.

Technique Intervalle stable et inégalité des accroissements finis.

Voir le corrigé

f(x) = 1 + 1/x est décroissante sur [3/2, 2], avec f(3/2) = 5/3 et f(2) = 3/2. Cet intervalle est donc stable.
u₁ = 2, donc u_n est dans [3/2, 2] pour tout n ≥ 1. φ ≈ 1,618 est l'unique point fixe positif de f et appartient à cet intervalle.
Sur [3/2, 2], |f'(x)| = 1/x² ≤ 4/9. D'où |u_n+1 − φ| ≤ (4/9)|u_n − φ|.
Par récurrence, |u_n − φ| ≤ (4/9)ⁿ⁻¹|u₁ − φ| ≤ (4/9)ⁿ⁻¹/2.
Cette borne est inférieure à 10⁻⁶ dès que (n − 1) ln(9/4) ≥ ln(5·10⁵), soit n − 1 ≥ 17, c'est-à-dire n ≥ 18.

piège : Majorer |f'| sur ]0, +∞[, où la borne n'est pas inférieure à 1.

Exercice 6. Somme des carrés des coefficients binomiaux

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Calculer de deux façons la dérivée n-ième de x²ⁿ = xⁿ · xⁿ. En déduire la somme des (k parmi n)², pour k de 0 à n.

Technique Formule de Leibniz.

Voir le corrigé

Directement, la dérivée n-ième de x²ⁿ vaut (2n)!/n! · xⁿ.
Pour k ≤ n, la dérivée k-ième de xⁿ vaut n!/(n − k)! · x^n−k.
Leibniz donne la somme des (k parmi n) · n!/(n − k)! · n!/k! · xⁿ. Chaque terme vaut n! (k parmi n)² xⁿ.
En identifiant, la somme vaut (2n)!/(n!)², soit 2n parmi n.

piège : Se tromper dans la dérivée k-ième de xⁿ.

Exercice 7. Inégalité de Young

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soient p, q > 1 avec 1/p + 1/q = 1, et a, b > 0. Montrer que ab ≤ a^p/p + b^q/q.

Technique Définition de la concavité à deux points, sans Jensen général.

Voir le corrigé

Le logarithme est concave sur ]0, +∞[.
On prend λ = 1/q, donc 1 − λ = 1/p, et les points a^p et b^q.
La concavité donne ln(a^p/p + b^q/q) ≥ (1/p) ln a^p + (1/q) ln b^q = ln(ab).
L'exponentielle est croissante, ce qui conclut. Avec p = q = 2, on retrouve ab ≤ (a² + b²)/2.

piège : Placer les coefficients 1/p et 1/q du mauvais côté.

Exercice 8. Fonction convexe et majorée

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Montrer qu'une fonction convexe sur R et majorée est constante, sans supposer de dérivabilité.

Technique Inégalité des trois pentes.

Voir le corrigé

Par l'absurde, soit x < y avec f(x) ≠ f(y), et p la pente de x à y.
Si p > 0, pour z > y, (f(z) − f(y))/(z − y) ≥ p. Donc f(z) ≥ f(y) + p(z − y), qui tend vers +∞.
Si p < 0, pour z < x, (f(x) − f(z))/(x − z) ≤ p. Donc f(z) ≥ f(x) + |p|(x − z), qui tend vers +∞ quand z tend vers −∞.
Dans les deux cas, f n'est pas majorée. Contradiction.

piège : Supposer f dérivable pour utiliser les tangentes.

Exercice 9. Erreur d'interpolation linéaire

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit f continue sur [a, b], deux fois dérivable sur ]a, b[, avec f(a) = f(b) = 0 et |f''| ≤ M. Montrer que |f(x)| ≤ M(x − a)(b − x)/2 sur [a, b].

Technique Fonction auxiliaire s'annulant trois fois, puis Rolle deux fois.

Voir le corrigé

Aux bornes, c'est évident. On fixe x dans ]a, b[ et on choisit K pour que φ(t) = f(t) − K(t − a)(t − b) s'annule en x, ce qui est possible car (x − a)(x − b) ≠ 0.
φ s'annule en a, x et b. Rolle sur [a, x] et sur [x, b] donne deux zéros c₁ < c₂ de φ'.
φ' est dérivable sur ]a, b[, donc continue sur [c₁, c₂]. Rolle donne c avec φ''(c) = 0, soit f''(c) = 2K.
Donc f(x) = f''(c)(x − a)(x − b)/2, d'où la majoration.

piège : Fixer K avant de fixer x.

Exercice 10. Théorème de Darboux

Approfondissement · Type oral Mines

Soit f dérivable sur un intervalle I, et a < b dans I avec f'(a) < y < f'(b). Montrer qu'il existe c dans ]a, b[ tel que f'(c) = y. Résultat hors programme, preuve accessible.

Technique Extremum atteint en un point intérieur.

Voir le corrigé

On pose g(x) = f(x) − yx, de sorte que g'(a) < 0 < g'(b).
g est continue sur [a, b], donc atteint son minimum en un point c.
Comme g'(a) < 0, le taux de g en a est négatif pour x > a proche de a. Donc g(x) < g(a), et le minimum n'est pas en a.
De même, g'(b) > 0 donne g(x) < g(b) pour x < b proche de b.
Donc c est intérieur, g'(c) = 0 et f'(c) = y. Une dérivée n'a donc jamais de discontinuité de saut.

piège : Croire qu'il faut supposer f' continue.

Erreurs fréquentes

Dériver la formule au lieu de revenir au taux. On conclut alors à tort que x²sin(1/x) n'est pas dérivable en 0.
Oublier l'hypothèse d'intervalle. Sur R*, Arctan x + Arctan(1/x) a une dérivée nulle sans être constante.
Appliquer Rolle ou l'égalité des accroissements finis hors de leur cadre. Par exemple à une fonction complexe, ou sans continuité aux bornes du segment.
Étudier une suite récurrente sans intervalle stable ni borne K < 1 uniforme. |f'| < 1 point par point ne suffit pas : √(x² + 1) vérifie |f'| < 1 partout, n'a aucun point fixe, et ses itérés tendent vers +∞.
Mal utiliser la convexité. Le graphe est sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. La condition f'' > 0 n'est pas nécessaire, comme le montre x⁴. Jensen à n points est hors programme, on s'en tient à la définition à deux points.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), partie B de la section « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité » du premier semestre. Elle couvre le nombre dérivé, les extremums locaux, les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, les fonctions de classe $C^k$ , les fonctions convexes et l'extension aux fonctions complexes.

Dérivabilité

Résumé en cinq points

1Nombre dérivé et fonction dérivée

1.1Définition

1.2Dérivabilité et continuité

1.3Opérations

2Extremum local et point critique

3Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

3.1Théorème de Rolle

3.2Égalité des accroissements finis

3.3Inégalité des accroissements finis

3.4Caractérisation de la monotonie

3.5Théorème de la limite de la dérivée

4Fonctions de classe Ck

5Fonctions convexes

5.1Définition

5.2Position par rapport aux sécantes et aux tangentes

5.3Caractérisation par les dérivées

6Fonctions complexes

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Régularité selon un paramètre

Exercice 2. Une équation résolue par Rolle

Exercice 3. Encadrement du logarithme

Exercice 4. Rolle sur une demi-droite

Exercice 5. Convergence vers le nombre d'or

Exercice 6. Somme des carrés des coefficients binomiaux

Exercice 7. Inégalité de Young

Exercice 8. Fonction convexe et majorée

Exercice 9. Erreur d'interpolation linéaire

Exercice 10. Théorème de Darboux

Erreurs fréquentes

Au concours

4Fonctions de classe C^k