Corrigé Centrale-Supélec 2025 PSI, Mathématiques 1

Aperçu : Q1

Partie A : construction d'une norme sur les matrices carrées

Notations et définitions.

On fixe un entier $n \in \mathbb{N}^*$ .

$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est l'ensemble des matrices carrées réelles de taille $n$ , $\mathcal{D}_n(\mathbb{R})$ le sous-espace des matrices diagonales et $M^\top$ la transposée de $M$ .
Les vecteurs de $\mathbb{R}^n$ sont identifiés aux matrices colonnes de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ . On note $\mathcal{B} = (E_1, \dots, E_n)$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ .
$\mathbb{R}^n$ est muni du produit scalaire canonique, $\langle X, Y\rangle = X^\top Y$ , et de la norme euclidienne associée : pour $x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ ,

\left\lVert x \right\rVert = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.

Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , le rayon spectral de $M$ est le réel

\rho(M) = \max_{\lambda \in \mathrm{Sp}_{\mathbb{C}}(M)} \left\lvert \lambda \right\rvert.

$\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ désignent respectivement les ensembles des matrices symétriques positives et symétriques définies positives de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Dans la partie A, on note $N$ l'application définie sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par

N(A) = \sup_{\left\lVert X \right\rVert=1} \left\lVert AX \right\rVert.

Il s'agit d'établir que $N$ est une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , puis d'en étudier des propriétés.

I. Étude de l'application N

Notations et définitions.

Dans cette sous-partie, $A$ est une matrice quelconque de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

On note $L_1, \dots, L_n$ ses lignes et $C_1, \dots, C_n$ ses colonnes.

Lignes et colonnes peuvent être vues comme des vecteurs de $\mathbb{R}^n$ .

Q1.

Montrons que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ tel que $\left\lVert X \right\rVert = 1$ , on a $\left\lVert AX \right\rVert \le M\sqrt{n}$ , où $M = \max_{1 \le i \le n} \left\lVert L_i \right\rVert$ .

Soit $X = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $\left\lVert X \right\rVert = 1$ .

On note $a_{i,j}$ les coefficients de $A$ .

Soit $i \in [\![1, n]\!]$ .

On identifie la ligne $L_i = (a_{i,1}, \dots, a_{i,n})$ à un vecteur de $\mathbb{R}^n$ .

La $i$ -ième coordonnée de $AX$ s'écrit alors

(AX)_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j = \langle L_i, X\rangle.

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$ ,

\left\lvert (AX)_i \right\rvert \le \left\lVert L_i \right\rVert\,\left\lVert X \right\rVert = \left\lVert L_i \right\rVert \le M.

Les deux membres sont positifs.

On élève donc au carré, puis on somme sur $i$ :

\left\lVert AX \right\rVert^2 = \sum_{i=1}^n (AX)_i^2 \le nM^2.

La racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$ .

Donc $\left\lVert AX \right\rVert \le M\sqrt{n}$ .

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Le sujet, question par question

Q1Majoration par Cauchy-Schwarz de la norme d'un produit matrice-vecteurChapitre : Espaces préhilbertiens réels (PSI) Libre

Q2 et Q3Norme subordonnée définie par une borne supérieureChapitre : Espaces vectoriels normés (PSI)

Q4Rayon spectral non normeChapitre : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PSI)

Q5Norme d'une matrice diagonaleChapitre : Espaces vectoriels normés (PSI)

Q6 à Q10Propriétés de la norme subordonnée, compacité et borne atteinteChapitre : Espaces vectoriels normés (PSI)

Q11 à Q13Invariance de la norme par matrices orthogonalesChapitre : Endomorphismes des espaces euclidiens (PSI), Espaces vectoriels normés (PSI)

Q14 et Q15Norme d'une matrice symétrique et rayon spectral, théorème spectralChapitre : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PSI), Endomorphismes des espaces euclidiens (PSI)

Q16 à Q19Propriétés du conditionnementChapitre : Espaces vectoriels normés (PSI), Endomorphismes des espaces euclidiens (PSI)

Q20 à Q22Minoration du conditionnement d'une matrice triangulaireChapitre : Espaces vectoriels normés (PSI), Calcul matriciel et systèmes linéaires (PCSI)

Q23 à Q28Conditionnement via valeurs propres de A transposée A, matrices symétriques positivesChapitre : Endomorphismes des espaces euclidiens (PSI), Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PSI)

Q29 à Q32Spectre et conditionnement d'une matrice tridiagonaleChapitre : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PSI)

Q33 et Q34Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire associé à AChapitre : Espaces préhilbertiens réels (PSI), Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PSI)

Q35 à Q38Inégalité de Kantorovich par diagonalisationChapitre : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (PSI)

Q39 à Q43Inégalité de Kantorovich par espérance d'une variable aléatoireChapitre : Espérance et variance (PSI), Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles (PSI)

Mathématiques 1

Aperçu : Q1

Partie A : construction d'une norme sur les matrices carrées

I. Étude de l'application N

Q1.

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