Mathématiques 1

Soit $f : \left]-1, 1\right[ \to \mathbb{R}^2$ une application de classe $\mathcal C^1$.

Justifions que $f'(\left]-1, 1\right[)$ est une partie connexe par arcs de $\mathbb{R}^2$.

Notons $I = \left]-1, 1\right[$.

Comme $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $I$, l'application $f' : I \to \mathbb{R}^2$ est continue.

$I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, donc connexe par arcs.

D'après le théorème de l'image continue d'une partie connexe par arcs, $f'(I)$ est connexe par arcs.