Le cours

Résumé en cinq points

La différentielle en $a$ est l'unique application linéaire qui approche $f$ à l'ordre 1. Elle donne toutes les dérivées directionnelles par $\mathrm{d}f(a)\cdot v$ .
Différentiable entraîne continue et dérivable selon tout vecteur, mais aucune réciproque n'est vraie. Le critère pratique est la continuité des dérivées partielles.
La règle de la chaîne et la dérivée le long d'un arc ramènent l'étude à une variable, ce qui est le réflexe géométrique du chapitre.
Un extremum local en un point intérieur est un point critique. Sous une contrainte régulière, les gradients de $f$ et de la contrainte sont colinéaires. Ces conditions sont nécessaires, pas suffisantes.
Au second ordre, la hessienne décide. Définie positive donne un minimum local strict, et en dimension 2 le signe de $rt - s^2$ sépare les cas.

Pourquoi ce chapitre

En première année, on a rencontré les dérivées partielles d'une fonction de deux variables, sans cadre général. Ce chapitre construit la bonne notion, la différentielle, application linéaire approchant la fonction au premier ordre. Tout le reste en découle :

la règle de la chaîne ;
le gradient ;
les conditions d'extremum.

Le fil conducteur est géométrique :

une différentielle est une application linéaire tangente ;
un gradient donne la direction de plus forte pente ;
un vecteur tangent est la vitesse d'un arc tracé sur une partie.

Le chapitre débouche sur l'optimisation, libre ou sous contrainte, source d'exercices de concours. Il s'articule avec la topologie : le théorème des bornes atteintes garantit l'existence d'extremums globaux sur un compact.

1Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles

Définition 1.1Dérivée selon un vecteur

Soit $\Omega$ un ouvert de $E$ , $f : \Omega \to F$ , $a \in \Omega$ et $v \in E$ . Comme $\Omega$ est ouvert, $f(a + tv)$ est définie pour $t$ assez petit. On dit que $f$ admet une dérivée en $a$ selon le vecteur $v$ si le rapport $\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ admet une limite quand $t \to 0$ . Cette limite se note $D_v f(a)$ .

Définition 1.2Dérivées partielles

Si on fixe une base de $E$ , la dérivée selon le $i$ -ième vecteur de base est la $i$ -ième dérivée partielle de $f$ en $a$ . On la note $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ ou $\partial_i f(a)$ .

Une base étant fixée, on identifie $f(x)$ et $f(x_1, \ldots, x_n)$ . Concrètement, on dérive par rapport à la $i$ -ième variable en figeant les autres.

2Différentielle

2.1Définition et unicité

Définition 2.1Différentielle

$f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $L : E \to F$ telle que $f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\norm{h})$ quand $h \to 0$ . Cette application linéaire est alors unique : c'est la différentielle de $f$ en $a$ , ou application linéaire tangente à $f$ en $a$ , notée $\mathrm{d}f(a)$ .

C'est le développement limité à l'ordre 1.

Propriété 2.2Fonction à valeurs dans un produit

Si $f = (f_1, \ldots, f_p)$ , alors $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si chaque $f_i$ l'est.

2.2Premières propriétés

Propriété 2.3Différentiable implique continue et dérivable selon tout vecteur

Hypothèse

$f$ est différentiable en $a$ .

Alors $f$ est continue en $a$ et admet en $a$ une dérivée selon tout vecteur $v$ , avec $\mathrm{d}f(a)\cdot v = D_v f(a).$

Attention

Les réciproques sont fausses. Une fonction peut admettre toutes ses dérivées directionnelles en un point sans y être différentiable, et même sans y être continue.

Propriété 2.4Cas particuliers

Une application constante est différentiable, de différentielle nulle.
Une application linéaire $u$ est différentiable en tout point, avec $\mathrm{d}u(a) = u$ .

À retenir

La différentielle d'une application linéaire est cette application elle-même, en tout point.

$f$ est différentiable sur l'ouvert $\Omega$ si elle l'est en chaque point. L'application $\mathrm{d}f$ est alors définie sur $\Omega$ , à valeurs dans $\mathcal{L}(E, F)$ .

2.3Lien avec les dérivées partielles

Propriété 2.5Différentielle et dérivées partielles

Hypothèses

$f$ est différentiable en $a$ ;
$(e_1, \ldots, e_n)$ est une base de $E$ ;
$h$ a pour coordonnées $h_1, \ldots, h_n$ .

Alors $\mathrm{d}f(a)\cdot h = \sum_{i=1}^{n} h_i\,\partial_i f(a).$

La différentielle est donc entièrement décrite par les dérivées partielles. Mais l'existence des dérivées partielles en $a$ n'entraîne pas la différentiabilité en $a$ .

Définition 2.6Matrice jacobienne

Si $\Omega$ est un ouvert de $\R^n$ et $f$ est à valeurs dans $\R^m$ , la matrice de $\mathrm{d}f(a)$ dans les bases canoniques est la matrice jacobienne de $f$ en $a$ . Sa ligne $i$ et sa colonne $j$ portent $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$ .

Propriété 2.7Cas d'une variable

Si $\Omega$ est un intervalle ouvert de $\R$ , la différentiabilité de $f$ en $a$ équivaut à la dérivabilité, avec $f'(a) = \mathrm{d}f(a)\cdot 1$ .

2.4Gradient

Définition 2.8Gradient

Hypothèses

$E$ est euclidien ;
$f$ est à valeurs réelles, différentiable en $a$ .

Alors la forme linéaire $\mathrm{d}f(a)$ se représente de manière unique par un vecteur $\nabla f(a)$ tel que $\mathrm{d}f(a)\cdot h = \langle \nabla f(a), h\rangle.$ C'est le gradient de $f$ en $a$ . Dans une base orthonormée, ses coordonnées sont les dérivées partielles de $f$ en $a$ .

Propriété 2.9Interprétation géométrique

Hypothèse

$\nabla f(a) \neq 0$ .

Alors, parmi les vecteurs unitaires $v$ , celui qui maximise $D_v f(a)$ est le vecteur unitaire positivement colinéaire à $\nabla f(a)$ .

Démonstration

Par Cauchy-Schwarz, pour $\norm{v} = 1$ , $D_v f(a) = \langle \nabla f(a), v\rangle \leqslant \norm{\nabla f(a)}.$ L'égalité a lieu si et seulement si $v$ est positivement colinéaire à $\nabla f(a)$ .

Le gradient indique la direction de plus forte croissance, et sa norme donne le taux de croissance dans cette direction.

3Opérations sur les applications différentiables

Propriété 3.1Linéarité

Une combinaison linéaire d'applications différentiables est différentiable, et la différentielle est la combinaison linéaire correspondante.

Propriété 3.2Applications multilinéaires (Leibniz généralisée)

Hypothèses

$M$ est multilinéaire ;
$f_1, \ldots, f_p$ sont différentiables en $a$ .

Alors $x \mapsto M(f_1(x), \ldots, f_p(x))$ est différentiable en $a$ , et sa différentielle appliquée à $h$ est $\sum_{i=1}^{p} M\big(f_1(a), \ldots, \mathrm{d}f_i(a)\cdot h, \ldots, f_p(a)\big).$

Cas particulier : le produit de deux fonctions numériques.

Théorème 3.3Règle de la chaîne

Hypothèses

$f$ est différentiable en $a$ ;
$g$ est différentiable en $f(a)$ .

Alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et $\mathrm{d}(g\circ f)(a) = \mathrm{d}g(f(a)) \circ \mathrm{d}f(a).$

En termes matriciels, les jacobiennes se multiplient.

Propriété 3.4Dérivée le long d'un arc

Hypothèses

$\gamma$ est définie sur un intervalle $I$ de $\R$ , à valeurs dans $\Omega$ , dérivable en $t$ ;
$f$ est différentiable en $\gamma(t)$ .

Alors $f \circ \gamma$ est dérivable en $t$ et $(f\circ\gamma)'(t) = \mathrm{d}f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).$

Cas fondamental : $\gamma(t) = x + tv$ , qui redonne la dérivée selon un vecteur.

Propriété 3.5Dérivées partielles d'une composée

La règle de la chaîne, appliquée coordonnée par coordonnée, donne la dérivée partielle par rapport à $u_j$ de $(u_1, \ldots, u_m) \mapsto f(x_1(u), \ldots, x_n(u))$ : $\frac{\partial}{\partial u_j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{\partial x_i}{\partial u_j}.$

C'est la formule utilisée pour tout changement de variables, par exemple le passage en coordonnées polaires.

4Applications de classe KXF126FXK

4.1Définition et critère

Définition 4.1Classe $\mathcal{C}^1$

$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $\Omega$ si elle y est différentiable et si $\mathrm{d}f$ est continue de $\Omega$ dans $\mathcal{L}(E, F)$ .

Théorème 4.2Critère fondamental

$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ si et seulement si les dérivées partielles relativement à une base de $E$ existent en tout point de $\Omega$ et sont continues sur $\Omega$ .

Démonstration non exigible. En pratique, on calcule les dérivées partielles, on vérifie leur continuité, et on conclut à la différentiabilité, qu'il serait pénible d'établir directement.

Propriété 4.3Opérations

La somme, le produit par un scalaire, le produit, le quotient à dénominateur non nul et la composition préservent la classe $\mathcal{C}^1$ .

4.2Accroissements le long d'un arc

Théorème 4.4Accroissements le long d'un arc

Hypothèses

$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ de $\Omega$ dans $F$ ;
$\gamma$ est de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0, 1]$ dans $\Omega$ , avec $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$ .

Alors $f(b) - f(a) = \int_0^1 \mathrm{d}f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,\dd t.$

Cas particulier : $\gamma(t) = a + tv$ , avec le segment inclus dans $\Omega$ .

Propriété 4.5Fonctions constantes

Hypothèses

$\Omega$ est un ouvert connexe par arcs ;
$f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ .

Alors $f$ est constante sur $\Omega$ si et seulement si $\mathrm{d}f$ est nulle sur $\Omega$ .

Démonstration

Dans le cas où $\Omega$ est convexe (démonstration demandée) : on relie deux points par un segment et on applique la formule des accroissements.

Attention

L'hypothèse de connexité est nécessaire. Sur un ouvert formé de deux boules disjointes, une fonction de différentielle nulle est constante sur chaque morceau, pas globalement.

5Vecteurs tangents à une partie

Définition 5.1Vecteur tangent

Soit $X$ une partie de $E$ et $x \in X$ . Un vecteur $v$ de $E$ est tangent à $X$ en $x$ s'il existe $\varepsilon > 0$ et un arc $\gamma$ défini sur $]-\varepsilon, \varepsilon[$ , à valeurs dans $X$ , dérivable en 0, tel que $\gamma(0) = x$ et $\gamma'(0) = v$ . On note $T_x X$ l'ensemble de ces vecteurs.

Exemple 5.2Exemples

Pour un sous-espace affine, l'ensemble des vecteurs tangents en tout point est sa direction.
Pour la sphère unité d'un espace euclidien, le plan tangent en $x$ est l'orthogonal de $x$ : on dérive en 0 la relation constante $\norm{\gamma(t)}^2 = 1$ .
Pour le graphe d'une fonction numérique de classe $\mathcal{C}^1$ définie sur un ouvert de $\R^2$ , le tangent en un point est un plan vectoriel de $\R^3$ .

Théorème 5.3Tangent à un ensemble de zéros

Hypothèses

$g$ est une fonction numérique de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $\Omega$ de $E$ ;
$X$ est l'ensemble des zéros de $g$ ;
$x \in X$ et $\mathrm{d}g(x) \neq 0$ .

Alors $T_x X = \Ker \mathrm{d}g(x)$ .

La démonstration de cet énoncé, ainsi que le théorème des fonctions implicites, sont hors programme.

En termes de gradient dans le cas euclidien, $T_x X$ est l'orthogonal de $\nabla g(x)$ . Application : le plan tangent en un point régulier à une surface de $\R^3$ d'équation $g(x, y, z) = 0$ est le plan passant par ce point et orthogonal au gradient.

6Optimisation, étude au premier ordre

Définition 6.1Point critique

Un point $a$ de $\Omega$ est un point critique de $f$ , différentiable, si $\mathrm{d}f(a)$ est l'application nulle. Dans le cas euclidien et pour $f$ numérique, cela équivaut à $\nabla f(a) = 0$ .

Théorème 6.2Condition nécessaire d'extremum local

Hypothèses

$f$ est numérique, définie sur l'ouvert $\Omega$ ;
$f$ est différentiable en $a \in \Omega$ ;
$f$ admet un extremum local en $a$ .

Alors $a$ est un point critique de $f$ .

Attention

La réciproque est fausse : un point critique peut n'être ni un maximum ni un minimum. Exemple : $(x, y) \mapsto x^2 - y^2$ à l'origine.

Théorème 6.3Extremum sur une partie

Hypothèses

$f$ est numérique sur l'ouvert $\Omega$ , et $X \subset \Omega$ ;
la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x$ ;
$f$ est différentiable en $x$ .

Alors $\mathrm{d}f(x)$ s'annule en tout vecteur tangent à $X$ en $x$ .

Théorème 6.4Optimisation sous une contrainte

Hypothèses

$f$ et $g$ sont numériques de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $\Omega$ ;
$X$ est l'ensemble des zéros de $g$ ;
$x \in X$ avec $\mathrm{d}g(x) \neq 0$ ;
la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x$ .

Alors $\mathrm{d}f(x)$ est colinéaire à $\mathrm{d}g(x)$ . Comme $\mathrm{d}g(x) \neq 0$ , cela équivaut à l'existence d'un réel $\lambda$ tel que $\mathrm{d}f(x) = \lambda\,\mathrm{d}g(x)$ . Dans le cas euclidien : $\nabla f(x) = \lambda\,\nabla g(x).$

Attention

La condition est nécessaire, pas suffisante.
Elle exige que la contrainte soit régulière au point considéré : $\mathrm{d}g(x) \neq 0$ .

Pour l'existence d'un extremum global, l'argument vient de la topologie : une fonction continue sur une partie compacte non vide atteint ses bornes. Si la partie n'est pas compacte, on cherche à s'y ramener, par exemple en montrant que $f$ tend vers $+\infty$ à l'infini.

7Applications de classe KXF242FXK et théorème de Schwarz

Définition 7.1Dérivées partielles d'ordre $k$

Pour une fonction définie sur un ouvert de $\R^n$ , on définit par récurrence les dérivées partielles d'ordre $k \geqslant 1$ : $\partial_{j_k}\big(\partial_{j_{k-1}}\cdots\partial_{j_1} f\big),$ quand elles existent. On les note aussi $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots\partial x_{j_1}}$ ou $\partial_{j_1,\ldots,j_k} f$ .

Définition 7.2Classe $\mathcal{C}^k$

Une application est de classe $\mathcal{C}^k$ sur un ouvert de $\R^n$ si ses dérivées partielles d'ordre $k$ existent et sont continues.

La notion de différentielle seconde est hors programme.

Théorème 7.3Théorème de Schwarz

Hypothèse

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\R^n$ .

Alors, en tout point de l'ouvert et pour tous indices $i$ et $j$ : $\partial_i\partial_j f = \partial_j\partial_i f.$

Démonstration non exigible. L'ordre de dérivation n'importe pas dès qu'on est de classe $\mathcal{C}^2$ .

Les opérations algébriques et la composition préservent la classe $\mathcal{C}^k$ . Ces démonstrations ne sont pas exigibles.

Exemple 7.4Équations aux dérivées partielles

On change de variables, on utilise la dérivation d'une composée, et Schwarz pour regrouper les termes croisés. L'équation de d'Alembert $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ se ramène par le changement de variables $u = x + t$ , $v = x - t$ à une équation dont la dérivée croisée est nulle.

8Optimisation, étude au second ordre

Définition 8.1Matrice hessienne

Soit $f$ numérique de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\R^n$ . La matrice hessienne de $f$ en $x$ , notée $H_f(x)$ , est la matrice dont le coefficient d'indices $i, j$ est la dérivée partielle seconde par rapport à $x_i$ et $x_j$ .

Elle est symétrique, ce qui est exactement le théorème de Schwarz.

Théorème 8.2Formule de Taylor-Young à l'ordre 2

Hypothèse

$f$ est numérique de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\R^n$ .

Alors, quand $h \to 0$ : $\begin{aligned} f(x+h) &= f(x) + \langle\nabla f(x), h\rangle\\ &\quad + \tfrac12\langle H_f(x)h, h\rangle\\ &\quad + o(\norm{h}^2). \end{aligned}$ Sous forme matricielle : $\begin{aligned} f(x+h) &= f(x) + \nabla f(x)^{\top}h\\ &\quad + \tfrac12 h^{\top}H_f(x)h\\ &\quad + o(\norm{h}^2). \end{aligned}$

La démonstration n'est pas exigible.

Théorème 8.3Condition nécessaire

Hypothèses

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\R^n$ ;
$f$ admet un minimum local en $x$ .

Alors $x$ est un point critique et $H_f(x)$ est symétrique positive.

Pour un maximum local, la hessienne est symétrique négative.

Théorème 8.4Condition suffisante

Hypothèses

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\R^n$ ;
$x$ est un point critique ;
$H_f(x)$ est symétrique définie positive.

Alors $f$ atteint en $x$ un minimum local strict.

Énoncé analogue pour un maximum avec une hessienne définie négative.

MéthodeCas $n = 2$

Notons $r$ , $s$ , $t$ les dérivées partielles secondes en un point critique : $r$ par rapport à $x$ deux fois, $t$ par rapport à $y$ deux fois, $s$ la croisée. Le déterminant de la hessienne vaut $rt - s^2$ .

Si $rt - s^2 > 0$ et $r > 0$ : minimum local strict.
Si $rt - s^2 > 0$ et $r < 0$ : maximum local strict.
Si $rt - s^2 < 0$ : ni maximum ni minimum, c'est un point col.
Si $rt - s^2 = 0$ : le critère ne conclut pas, il faut une étude directe.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$

Calculer les dérivées partielles.
Vérifier leur continuité.
Ne revenir à la définition de la différentiabilité que si le critère échoue, typiquement en un point isolé.

MéthodeÉtudier la différentiabilité en un point délicat

Écrire le taux d'accroissement.
Deviner la différentielle candidate.
Prouver que le reste est un $o(\norm{h})$ .

Passer en polaires aide souvent en dimension 2.

MéthodeMontrer qu'une fonction n'est pas différentiable

Regarder les dérivées directionnelles. Si l'application $v \mapsto D_v f(a)$ n'est pas linéaire, c'est terminé.

MéthodeChangement de variables

Poser proprement les nouvelles variables.
Écrire la composée.
Appliquer la règle de la chaîne sans sauter d'étape.

MéthodeRecherche d'extremum

Question d'existence par compacité.
Recherche des points critiques.
Étude au second ordre, ou étude directe.

MéthodeExtremum sous contrainte donnée par une équation

Écrire la colinéarité des gradients.
Résoudre le système formé de cette colinéarité et de la contrainte.
Comparer les valeurs de $f$ aux points obtenus.

MéthodeConclure qu'un extremum local est global

Chercher une convexité, une majoration explicite, ou un argument de compacité.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la définition de la différentiabilité et démontrer l'unicité de la différentielle.
Donner un exemple de fonction de deux variables admettant toutes ses dérivées directionnelles en 0 sans y être continue.
Calculer une matrice jacobienne et appliquer la règle de la chaîne à une composée explicite.
Écrire les dérivées partielles en coordonnées polaires et transformer une équation aux dérivées partielles.
Démontrer que le plan tangent à la sphère unité en un point est l'orthogonal de ce point.
Énoncer la condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur et donner un contre-exemple à la réciproque.
Mener une optimisation sous contrainte par colinéarité des gradients sur un exemple, par exemple extremum d'une forme quadratique sur la sphère unité.
Appliquer le critère $rt - s^2$ à une fonction de deux variables et traiter un cas douteux par étude directe.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Unicité de la différentielle en un point. Exigible avec démonstration.
f différentiable en a ⇒ f continue en a et dérivable selon tout vecteur v, avec df(a)·v = D_v f(a). Exigible avec démonstration. Les réciproques sont fausses.
f = (f₁, …, f_p) est différentiable en a si et seulement si chaque f_i l'est. Exigible.
Une application constante a une différentielle nulle. Une application linéaire u vérifie du(a) = u en tout point. Exigible.
df(a)·h = Σ h_i ∂_i f(a). La jacobienne est la matrice de df(a) dans les bases canoniques. Exigible.
Sur un intervalle ouvert de R, différentiable équivaut à dérivable, avec f′(a) = df(a)·1. Exigible.
Gradient d'une fonction numérique différentiable sur un espace euclidien, coordonnées en base orthonormée, direction de plus forte pente s'il est non nul. Exigible avec démonstration.
Différentielle d'une combinaison linéaire et de M(f₁, …, f_p) avec M multilinéaire. Exigible.
Règle de la chaîne. Exigible avec démonstration.
Dérivée le long d'un arc dérivable, dérivées partielles d'une composée. Exigibles.
Classe C¹ si et seulement si les dérivées partielles dans une base existent et sont continues. Exigible sans démonstration.
Stabilité de la classe C¹ par opérations algébriques et composition. Exigible.
f(b) − f(a) = ∫₀¹ df(γ(t))·γ′(t) dt, pour f et γ de classe C¹. Exigible avec démonstration.
Sur un ouvert connexe par arcs, f différentiable est constante si et seulement si df = 0. Démonstration exigible pour un ouvert convexe.
g numérique de classe C¹, X = {g = 0}, dg(x) ≠ 0 ⇒ T_x X = ker dg(x). Admis, démonstration hors programme.
Condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur. Exigible avec démonstration.
Si f restreinte à X a un extremum local en x et si f est différentiable en x, alors df(x) s'annule sur T_x X. Exigible avec démonstration.
Théorème d'optimisation sous une contrainte (f et g de classe C¹, dg(x) ≠ 0). Exigible, la preuve utilise le résultat admis sur T_x X.
Théorème de Schwarz pour une fonction de classe C². Exigible sans démonstration.
Opérations et composition en classe C^k, formule de Taylor-Young à l'ordre 2. Exigibles sans démonstration.
Minimum local ⇒ point critique et H_f(x) ∈ S_n⁺(R). Point critique et H_f(x) ∈ S_n⁺⁺(R) ⇒ minimum local strict. Exigibles avec démonstration, avec la traduction par trace et déterminant pour n = 2.
Hors programme : différentielle seconde, fonctions implicites, inversion locale, optimisation sous plusieurs contraintes. L'inégalité des accroissements finis n'est pas au programme. Si on s'en sert, on la redémontre par la formule intégrale.

Clés de démonstration

Unicité de la différentielle. Si L₁ et L₂ conviennent, (L₁ − L₂)(h) = o(‖h‖). Avec h = t v, le quotient (L₁ − L₂)(t v)/t = (L₁ − L₂)(v) est constant et tend vers 0, donc il est nul. Astuce : se placer sur une droite, où la linéarité fait sortir t.

Continuité et dérivées directionnelles. En dimension finie, df(a) est continue, donc f(a + h) tend vers f(a). Avec h = t v, on divise le développement par t et le reste o(‖t v‖)/t tend vers 0. Astuce : continuité automatique des applications linéaires en dimension finie.

Règle de la chaîne. On pose k = f(a + h) − f(a), qui est un O(‖h‖) car df(a) est bornée. On écrit g(b + k) = g(b) + dg(b)·k + ‖k‖ε(k) avec ε continue en 0 et ε(0) = 0, pour ne jamais diviser par ‖k‖, qui peut s'annuler. Astuce : dg(b), linéaire continue, transforme un o(‖h‖) en o(‖h‖).

Formule intégrale et fonctions constantes. φ = f ∘ γ a pour dérivée df(γ(t))·γ′(t), continue, et on applique le théorème fondamental de l'analyse. Si df = 0, f est C¹, et sur un convexe on relie a à b par γ(t) = a + t(b − a). Astuce : tout ramener à une variable réelle.

Plus forte pente. Pour v unitaire, D_v f(a) = ⟨grad f(a), v⟩ ≤ ‖grad f(a)‖, avec égalité si et seulement si v est positivement colinéaire au gradient. Astuce : le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz.

Condition nécessaire au premier ordre. φ(t) = f(a + t v) a un extremum local en 0 et y est dérivable, donc φ′(0) = df(a)·v = 0. Sous contrainte, on remplace la droite par un arc γ tracé dans X, continu en 0, et f ∘ γ a encore un extremum local en 0. Astuce : restreindre à une droite ou à un arc.

Optimisation sous une contrainte. Le point précédent et le résultat admis donnent ker dg(x) ⊂ ker df(x). On choisit e avec dg(x)·e = 1 et on pose λ = df(x)·e. Alors df(x) − λ dg(x) s'annule sur ker dg(x) et sur e, donc sur E = ker dg(x) ⊕ Re. Astuce : l'algèbre linéaire des hyperplans.

Second ordre. En un point critique, f(x + t v) − f(x) = (t²/2)⟨H v, v⟩ + o(t²). Pour un minimum, on divise par t² et on fait tendre t vers 0, d'où ⟨H v, v⟩ ≥ 0. Si H est définie positive de plus petite valeur propre α > 0, alors ⟨H h, h⟩ ≥ α‖h‖², donc f(x + h) − f(x) ≥ (α/2)‖h‖² + o(‖h‖²) > 0 pour h petit non nul. Astuce : minorer par la plus petite valeur propre.

Pour n = 2, rt − s² est le produit des valeurs propres et r + t leur somme. Si rt − s² > 0, alors rt > s² ≥ 0, donc r a le signe de la trace. Si rt − s² < 0, les valeurs propres sont de signes opposés, et le long de chaque vecteur propre f − f(x) prend des signes contraires.

Exemples et contre-exemples à connaître

f(x, y) = x²y/(x⁴ + y²), f(0) = 0. Pour v = (a, b) avec b ≠ 0, f(ta, tb)/t = a²b/(t²a⁴ + b²) tend vers a²/b, et D_v f(0) = 0 si b = 0. Pourtant f(x, x²) = 1/2 : toutes les dérivées directionnelles existent sans continuité.
f(x, y) = xy/(x² + y²), f(0) = 0. Dérivées partielles nulles en 0, mais f(t, t) = 1/2. Les dérivées partielles seules ne donnent même pas la continuité.
La norme euclidienne n'est pas différentiable en 0, car |t|‖v‖/t n'a pas de limite. Elle est C¹ ailleurs, de gradient x/‖x‖. Son carré a pour gradient 2x partout.
f(x, y) = (x² + y²) sin(1/√(x² + y²)), f(0) = 0. On a |f(h)| ≤ ‖h‖², donc df(0) = 0. Mais ∂_x f(t, 0) = 2t sin(1/|t|) − (t/|t|) cos(1/|t|) n'a pas de limite en 0. Différentiable n'entraîne pas C¹.
f(x, y) = xy(x² − y²)/(x² + y²), f(0) = 0, est C¹, avec ∂_x f(0, y) = −y et ∂_y f(x, 0) = x. Les dérivées croisées en 0 valent −1 et 1. Schwarz exige la classe C².
x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴ et x⁴ − y⁴ ont une hessienne nulle en 0 et présentent un minimum, un maximum et un col. Le cas rt − s² = 0 est réellement indécis.
x² + y³ en 0 : hessienne positive non définie, mais f(0, y) = y³ change de signe. La condition nécessaire d'ordre 2 n'est pas suffisante.
Minimiser x sur la courbe y² = x³. Sur la courbe x ≥ 0, donc le minimum est en (0, 0). Or grad x = (1, 0) et le gradient de y² − x³ y est nul : aucun λ ne convient. L'hypothèse dg(x) ≠ 0 est indispensable.

Techniques du chapitre

Technique 1 : majorer en polaires au point délicat. Mini-exercice : f(x, y) = xy³/(x² + y²), f(0) = 0. Avec r = ‖(x, y)‖, |f| ≤ r⁴/r² = r² = o(r). Donc f est différentiable en 0 de différentielle nulle.

Technique 2 : tester la linéarité de v ↦ D_v f(a). Mini-exercice : f(x, y) = x³/(x² + y²), f(0) = 0. On trouve D_(a,b) f(0) = a³/(a² + b²), qui vaut 1 en (1, 0), 0 en (0, 1) et 1/2 en (1, 1). Non linéaire, donc f n'est pas différentiable en 0, bien que continue.

Technique 3 : dériver le long d'un arc. Mini-exercice : si f ∘ γ est constante, alors 0 = df(γ(t))·γ′(t) = ⟨grad f(γ(t)), γ′(t)⟩. Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.

Technique 4 : dérivées en polaires. Mini-exercice : g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ) donne ∂_r g = cos θ ∂_x f + sin θ ∂_y f et ∂_θ g = −r sin θ ∂_x f + r cos θ ∂_y f. En sommant les carrés, ‖grad f‖² = (∂_r g)² + (∂_θ g)²/r².

Technique 5 : plan tangent par le gradient. Mini-exercice : surface x² + 2y² + 3z² = 6 en (1, 1, 1). Le gradient (2, 4, 6) est non nul. Le plan tangent est 2(x − 1) + 4(y − 1) + 6(z − 1) = 0, soit x + 2y + 3z = 6.

Technique 6 : points critiques puis rt − s². Mini-exercice : f(x, y) = x³ + y³ − 3xy. Les points critiques vérifient y = x² et x = y², d'où (0, 0) et (1, 1). En (0, 0), rt − s² = −9 : col. En (1, 1), rt − s² = 27 et r = 6 : minimum local strict, non global car f(x, 0) tend vers −∞.

Technique 7 : compacité puis colinéarité des gradients. Mini-exercice : extremums de x + y sur le cercle unité, compact, où le gradient de x² + y² − 1 est non nul. (1, 1) = λ(2x, 2y) donne x = y = ±1/√2. Maximum √2, minimum −√2.

Technique 8 : différentier sans coordonnées. Mini-exercice : f(M) = M² sur M_n(R). (M + H)² = M² + MH + HM + H², et ‖H²‖ ≤ ‖H‖² pour une norme sous-multiplicative. Donc df(M)·H = MH + HM.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Recollement en un point

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f(x, y) = x²y²/(x² + y²) hors de l'origine et f(0, 0) = 0. Montrer que f est de classe C¹ sur R².

Technique critère des dérivées partielles continues, calcul direct en 0.

Voir le corrigé

Hors de l'origine, f est un quotient de polynômes à dénominateur non nul, donc C¹.
f(t, 0) = f(0, t) = 0, donc les dérivées partielles en 0 sont nulles.
Hors de 0, ∂_x f = 2xy⁴/(x² + y²)². Avec r = √(x² + y²), |∂_x f| ≤ 2r, qui tend vers 0. Par symétrie de f, idem pour ∂_y f.
Les dérivées partielles existent et sont continues sur R², donc f est C¹.

piège : Évaluer en 0 la formule obtenue hors de l'origine au lieu de revenir au taux d'accroissement.

Exercice 2. Différentielle de l'inversion

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que GL_n(R) est ouvert, que M ↦ M⁻¹ y est différentiable, et calculer sa différentielle.

Technique développement direct avec une norme sous-multiplicative.

Voir le corrigé

GL_n(R) est l'image réciproque de R* par le déterminant continu, donc ouvert.
M⁻¹ = (1/det M) com(M)ᵀ est à coefficients rationnels en ceux de M, donc l'inversion est continue.
Pour H petit, X = (M + H)⁻¹ existe et M⁻¹ − X = M⁻¹HX.
Donc X − M⁻¹ + M⁻¹HM⁻¹ = −M⁻¹H(X − M⁻¹) = M⁻¹HM⁻¹HX, de norme au plus ‖M⁻¹‖²‖X‖‖H‖². Par continuité ‖X‖ reste borné, c'est un o(‖H‖).
La différentielle est H ↦ −M⁻¹HM⁻¹. Pour n = 1, on retrouve −h/m².

piège : Écrire −M⁻²H. Les matrices ne commutent pas.

Exercice 3. Différentielle du déterminant

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que det est C¹ sur M_n(R), que sa différentielle en I_n est la trace, et que d(det)(M)·H = det(M) tr(M⁻¹H) pour M inversible.

Technique isoler les termes de degré 1 d'un polynôme.

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det est polynomial, donc C¹.
Dans det(I + H) = Σ_σ ε(σ) Π_i (δ_{σ(i), i} + h_{σ(i), i}), une permutation autre que l'identité déplace au moins deux indices, son terme est de degré au moins 2 en H.
Le terme de l'identité vaut Π(1 + h_ii) = 1 + tr H + termes de degré au moins 2. Donc det(I + H) = 1 + tr H + O(‖H‖²).
Pour M inversible, det(M + H) = det M · det(I + M⁻¹H) = det M (1 + tr(M⁻¹H)) + O(‖H‖²).
En développant selon la ligne i, ∂det/∂m_ij est le cofacteur (i, j), d'où d(det)(M)·H = tr(com(M)ᵀH) pour toute M.

piège : Croire que det(M + H) ≈ det M + det H.

Exercice 4. Relation d'Euler

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f différentiable sur Rⁿ privé de 0 et α réel. Montrer que f(tx) = t^α f(x) pour tous t > 0 et x si et seulement si df(x)·x = α f(x) pour tout x.

Technique dérivée le long de l'arc t ↦ tx.

Voir le corrigé

Sens direct : on dérive en t, df(tx)·x = α t^α−1 f(x), puis t = 1.
Réciproque : φ(t) = t^−α f(tx) vérifie φ′(t) = t^−α−1(df(tx)·(tx) − α f(tx)) = 0.
φ est constante sur l'intervalle ]0, +∞[, donc φ(t) = φ(1) = f(x).

piège : Dériver par rapport à x au lieu de t, ou oublier que l'ouvert est stable par homothéties de rapport positif.

Exercice 5. Équation du premier ordre en polaires

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Sur U = {x > 0}, déterminer les f de classe C¹ telles que y ∂_x f − x ∂_y f = 0.

Technique changement de variables bijectif puis règle de la chaîne.

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P(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) est une bijection C¹ de V = ]0, +∞[ × ]−π/2, π/2[ sur U, de réciproque C¹ (x, y) ↦ (√(x² + y²), arctan(y/x)).
g = f ∘ P est C¹ sur V et ∂_θ g = −r sin θ ∂_x f + r cos θ ∂_y f = −(y ∂_x f − x ∂_y f), dérivées prises en P(r, θ).
f est solution si et seulement si ∂_θ g = 0 sur V. Comme θ décrit un intervalle, cela équivaut à g(r, θ) = h(r), avec h(r) = f(r, 0) de classe C¹.
Les solutions sont les f(x, y) = h(√(x² + y²)), h de classe C¹ sur ]0, +∞[, et toutes conviennent par équivalence.

piège : Ne pas vérifier la bijectivité et le caractère C¹ de la réciproque.

Exercice 6. Fonctions harmoniques radiales

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Déterminer les φ de classe C² sur ]0, +∞[ telles que f(x, y) = φ(√(x² + y²)) vérifie ∂²_x f + ∂²_y f = 0 hors de l'origine.

Technique dérivées d'une composée à l'ordre 2.

Voir le corrigé

Avec r = √(x² + y²), ∂_x r = x/r, donc ∂_x f = φ′(r) x/r.
∂²_x f = φ″(r) x²/r² + φ′(r)(1/r − x²/r³), et de même en y.
La somme vaut φ″(r) + φ′(r)/r.
r décrit ]0, +∞[, donc la condition équivaut à (rφ′)′ = 0, d'où rφ′ = a et φ(r) = a ln r + b.

piège : Oublier de dériver x/r, ce qui donne à tort φ″ = 0.

Exercice 7. Extremums de x⁴ + y⁴ − 2(x − y)²

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Déterminer les extremums locaux et globaux de f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 2(x − y)² sur R².

Technique points critiques, rt − s², étude directe du cas douteux, coercivité.

Voir le corrigé

Les équations sont x³ = x − y et y³ = −(x − y). En sommant, y = −x, puis x³ = 2x : points (0, 0), (√2, −√2), (−√2, √2).
r = 12x² − 4, t = 12y² − 4, s = 4. En (±√2, ∓√2), r = t = 20 et rt − s² = 384 > 0 : minimums locaux stricts de valeur −8.
En (0, 0), rt − s² = 0. Or f(x, x) = 2x⁴ > 0 et f(x, 0) = x⁴ − 2x² < 0 pour 0 < |x| < √2 : pas d'extremum.
Avec ρ² = x² + y², x⁴ + y⁴ ≥ ρ⁴/2 et (x − y)² ≤ 2ρ², donc f ≥ ρ⁴/2 − 4ρ², qui tend vers +∞. Hors d'une boule fermée de rayon R, f > 0. Sur cette boule compacte, f atteint un minimum au plus égal à f(0) = 0, qui est donc global, donc en un point critique.
Le minimum global vaut −8. Pas de maximum.

piège : Conclure en (0, 0) par le critère, ou affirmer le minimum global sans argument d'existence.

Exercice 8. Forme quadratique sur la sphère

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit A ∈ S_n(R) et q(x) = ⟨Ax, x⟩. Montrer que le maximum de q sur la sphère unité est la plus grande valeur propre de A.

Technique compacité puis optimisation sous une contrainte.

Voir le corrigé

q(x + h) = q(x) + 2⟨Ax, h⟩ + ⟨Ah, h⟩ par symétrie, et |⟨Ah, h⟩| ≤ ‖A‖‖h‖². Donc grad q(x) = 2Ax.
La sphère est compacte, q y atteint son maximum en x₀. La contrainte ‖x‖² − 1 a pour gradient 2x, non nul sur la sphère.
La colinéarité donne Ax₀ = λx₀ et q(x₀) = λ, valeur propre.
Pour toute valeur propre μ de vecteur propre unitaire e, μ = q(e) ≤ λ.

piège : Écrire grad q(x) = Ax. Le facteur 2 est absorbé par λ ici, mais la formule est fausse.

Exercice 9. Inégalité arithmético-géométrique

Approfondissement · Type oral Mines

Montrer que pour des réels a₁, …, a_n positifs, a₁⋯a_n ≤ ((a₁ + ⋯ + a_n)/n)ⁿ.

Technique existence par compacité, puis contrainte sur un ouvert.

Voir le corrigé

K = {x ∈ Rⁿ, x_i ≥ 0, Σx_i = n} est compact. Le produit f(x) = x₁⋯x_n y atteint un maximum M ≥ f(1, …, 1) = 1.
Comme M > 0, le point de maximum x₀ est dans l'ouvert (R₊*)ⁿ, où la contrainte Σx_i − n a une différentielle non nulle.
La colinéarité des gradients donne f(x₀)/x_i = λ pour tout i. Les coordonnées sont égales, donc valent 1, et M = 1.
Si la moyenne m des a_i est non nulle, on applique ce résultat aux a_i/m. Si m = 0, tout est nul.

piège : Appliquer le théorème sur K, qui n'est pas ouvert.

Exercice 10. Surjectivité du gradient

Approfondissement · D'après un oral X-ENS

Soit f de classe C¹ sur Rⁿ telle que f(x)/‖x‖ tende vers +∞ quand ‖x‖ tend vers +∞. Montrer que tout a de Rⁿ est un gradient de f.

Technique minimiser une fonction auxiliaire coercive.

Voir le corrigé

On pose g(x) = f(x) − ⟨a, x⟩. Par Cauchy-Schwarz, g(x) ≥ ‖x‖(f(x)/‖x‖ − ‖a‖), qui tend vers +∞.
On choisit R tel que g(x) > g(0) pour ‖x‖ ≥ R. Sur la boule fermée de rayon R, compacte, g atteint un minimum au plus égal à g(0), donc global, en un point x₀.
Rⁿ est ouvert, donc grad f(x₀) − a = 0.

piège : Minimiser f au lieu de g, ou affirmer l'existence d'un minimum sur Rⁿ sans compacité.

Erreurs fréquentes

Déduire la différentiabilité de la seule existence des dérivées partielles, ou de toutes les dérivées directionnelles.
Utiliser Schwarz, la hessienne ou le critère rt − s² sans la classe C², ou conclure quand rt − s² = 0.
Appliquer la condition de point critique sur le bord d'un domaine non ouvert, au lieu d'étudier le bord à part.
Mener un calcul de Lagrange sans vérifier dg(x) ≠ 0 ni l'existence de l'extremum, puis présenter un candidat comme un extremum.
Faire commuter des matrices dans une différentielle, ou changer de variables sans vérifier que le changement est une bijection C¹ de réciproque C¹.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP (arrêté du 5 janvier 2021), section « Calcul différentiel et optimisation ». Les fonctions considérées sont définies sur un ouvert d'un $\R$ -espace vectoriel normé $E$ de dimension finie et à valeurs dans un $\R$ -espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.

Calcul différentiel

Résumé en cinq points

1Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles

2Différentielle

2.1Définition et unicité

2.2Premières propriétés

2.3Lien avec les dérivées partielles

2.4Gradient

3Opérations sur les applications différentiables

4Applications de classe KXF126FXK

4.1Définition et critère

4.2Accroissements le long d'un arc

5Vecteurs tangents à une partie

6Optimisation, étude au premier ordre

7Applications de classe KXF242FXK et théorème de Schwarz

8Optimisation, étude au second ordre

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Recollement en un point

Exercice 2. Différentielle de l'inversion

Exercice 3. Différentielle du déterminant

Exercice 4. Relation d'Euler

Exercice 5. Équation du premier ordre en polaires

Exercice 6. Fonctions harmoniques radiales

Exercice 7. Extremums de x⁴ + y⁴ − 2(x − y)²

Exercice 8. Forme quadratique sur la sphère

Exercice 9. Inégalité arithmético-géométrique

Exercice 10. Surjectivité du gradient

Erreurs fréquentes

Au concours