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Centrale-Supélec · MP · session 2025

Mathématiques 2

corrigé question par question

  • Mathématiques
  • 44 questions
  • Sujet entier, Q1 à Q44

Aperçu : Q1

Partie A : étude du spectre de la matrice d'interaction

Notations et définitions.

Dans tout le problème, nn est un entier tel que n≥2n \ge 2 et β\beta est un réel strictement positif, qui représente l'inverse de la température.

Le modèle décrit nn particules, chacune orientée +1+1 ou −1-1.

  • Pour (n,p)∈(N∗)2(n,p) \in (\mathbb{N}^*)^2, Mn,p(R)\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) est l'ensemble des matrices réelles de taille n×pn \times p et Mn(R)=Mn,n(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{R}). On note InI_n l'identité de Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
  • On pose Λn={−1,1}n\Lambda_n = \{-1,1\}^n.
  • Si E1,…,EnE_1, \dots, E_n sont des ensembles finis, une somme indexée par (x1,…,xn)∈E1×⋯×En(x_1,\dots,x_n) \in E_1 \times \dots \times E_n désigne la somme itérée sur x1∈E1x_1 \in E_1, puis x2∈E2x_2 \in E_2, jusqu'à xn∈Enx_n \in E_n.
  • Formule de transfert : soient X1,…,XnX_1, \dots, X_n des variables aléatoires réelles finies sur un univers Ω\Omega, et ff une fonction réelle définie sur X1(Ω)×⋯×Xn(Ω)X_1(\Omega) \times \dots \times X_n(\Omega). Alors E(f(X1,…,Xn))\mathbb{E}\big(f(X_1,\dots,X_n)\big) est la somme, sur les (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) de cet ensemble, des termes f(x1,…,xn) P(X1=x1,…,Xn=xn)f(x_1,\dots,x_n)\,\mathbb{P}(X_1 = x_1, \dots, X_n = x_n).
  • La matrice d'interaction Jn=(Jn(i,j))1≤i,j≤n∈Mn(R)J_n = (J_n(i,j))_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) est symétrique. Pour (i,j)∈[ ⁣[1,n] ⁣]2(i,j) \in [\![1, n]\!]^2, Jn(i,j)J_n(i,j) mesure l'interaction entre les particules ii et jj.

Pour h∈R+h \in \mathbb{R}_+ et x=(x1,…,xn)∈Λnx = (x_1,\dots,x_n) \in \Lambda_n, l'énergie de la configuration xx dans un champ extérieur d'intensité hh est

Hn(h,x)=−β2∑1≤i,j≤nJn(i,j) xixj−h∑i=1nxi.\begin{aligned} H_n(h,x) &= -\frac{\beta}{2}\sum_{1 \le i,j \le n} J_n(i,j)\,x_ix_j \\ &\quad - h\sum_{i=1}^n x_i. \end{aligned}

À hh fixé, la loi du nn-uplet de variables aléatoires (Xn,1,…,Xn,n)(X_{n,1},\dots,X_{n,n}) est donnée, pour tout x∈Λnx \in \Lambda_n, par

P(Xn,1=x1,…,Xn,n=xn)=e−Hn(h,x)Zn(h),\begin{aligned} &\mathbb{P}(X_{n,1} = x_1, \dots, X_{n,n} = x_n) \\ &= \frac{\mathrm{e}^{-H_n(h,x)}}{Z_n(h)}, \end{aligned}

la constante de normalisation étant

Zn(h)=∑y∈Λne−Hn(h,y).Z_n(h) = \sum_{y \in \Lambda_n} \mathrm{e}^{-H_n(h,y)}.

On pose Mn,h=1n∑i=1nXn,iM_{n,h} = \frac1n\sum_{i=1}^n X_{n,i}.

Pour h∈R+h \in \mathbb{R}_+, on pose aussi mn(h)=E(Mn,h)m_n(h) = \mathbb{E}(M_{n,h}) et ψn(h)=1nln⁡(Zn(h))\psi_n(h) = \frac1n\ln\big(Z_n(h)\big).

Lorsqu'elles existent, on note mm et ψ\psi les limites simples des suites (mn)n≥1(m_n)_{n \ge 1} et (ψn)n≥1(\psi_n)_{n \ge 1} : mm est la magnétisation et ψ\psi la pression.

Dans la partie A, le réel h∈R+h \in \mathbb{R}_+ est fixé.

I. Quelques inégalités générales

Q1.

Justifions que la matrice JnJ_n est diagonalisable.

La matrice JnJ_n est symétrique et à coefficients réels.

D'après le théorème spectral (toute matrice symétrique réelle est diagonalisable au moyen d'une matrice de passage orthogonale), il existe P∈On(R)P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) et D=diag⁡(λ1,…,λn)D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) à coefficients réels telles que Jn=PDP⊤J_n = P D P^{\top}.

Donc JnJ_n est diagonalisable sur R\mathbb{R}.

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