Ton programme de MPSI : ce chapitre est traité par Espaces préhilbertiens réels (PCSI).

Au programme de MPSI en plus, traité dans un complément à venir :

Produit scalaire canonique sur Mn,p(R) : expression tr(AᵀB)
Projeté orthogonal sur l'hyperplan orthogonal à un vecteur u et distance à cet hyperplan

Le cours

Résumé en cinq points

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive, et le caractère défini est le seul point à vérifier soigneusement.
Cauchy-Schwarz avec cas d'égalité se démontre par le discriminant d'un trinôme, et donne l'inégalité triangulaire.
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre, et Gram-Schmidt fabrique des bases orthonormées.
Dans une base orthonormée, coordonnées, produit scalaire et norme se calculent comme dans $\R^n$ canonique.
Un sous-espace de dimension finie admet un supplémentaire orthogonal, et le projeté orthogonal est l'unique point du sous-espace le plus proche.

Pourquoi ce chapitre

Le produit scalaire apporte à un espace vectoriel une longueur et un angle. Des notions géométriques deviennent disponibles dans des espaces abstraits, en particulier dans des espaces de fonctions ou de polynômes.

L'orthogonalité devient un outil de calcul : dans une base orthonormée, les coordonnées se lisent par de simples produits scalaires, sans résoudre de système.
Le point d'arrivée est la projection orthogonale, qui résout le problème d'approximation au sens des moindres carrés : trouver l'élément d'un sous-espace le plus proche d'un vecteur donné.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz, avec ses cas d'égalité, sert aussi bien sur des sommes que sur des intégrales.

1Produit scalaire

1.1Définition

Définition 1.1Produit scalaire

Soit $E$ un $\R$ -espace vectoriel. Un produit scalaire sur $E$ est une application qui à un couple $(x, y)$ de vecteurs associe un réel noté $\langle x, y\rangle$ , vérifiant quatre propriétés :

elle est bilinéaire : linéaire en chaque variable, l'autre étant fixée ;
elle est symétrique : $\langle x, y\rangle = \langle y, x\rangle$ ;
elle est positive : $\langle x, x\rangle \geqslant 0$ pour tout $x$ ;
elle est définie : $\langle x, x\rangle = 0$ entraîne $x = 0$ .

On dit qu'un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive. Grâce à la symétrie, il suffit de vérifier la linéarité par rapport à une seule variable.

Définition 1.2Espaces préhilbertien et euclidien

Un espace préhilbertien réel est un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire. Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.

Autres notations rencontrées : $(x|y)$ et $x \cdot y$ .

1.2Exemples fondamentaux

Exemple 1.3Produit scalaire canonique sur $\R^n$

$\langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i.$ En écriture matricielle, si $X$ et $Y$ sont les colonnes de coordonnées, $\langle x, y\rangle = X^\top Y$ .

Exemple 1.4Produit scalaire intégral

Sur l'espace des fonctions continues de $\intff{a}{b}$ dans $\R$ , avec $a < b$ : $\langle f, g\rangle = \int_a^b f(t)\,g(t)\,\dd t.$ La bilinéarité, la symétrie et la positivité sont immédiates. Le caractère défini vient du théorème sur les fonctions continues positives d'intégrale nulle, vu au chapitre d'intégration. C'est le seul point qui demande un argument, et il faut savoir le citer.

Exemple 1.5Produits scalaires sur $\R[X]$

$\displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,\dd t$ ;
$\displaystyle\sum_{i=0}^{n} P(a_i)\,Q(a_i)$ pour $n + 1$ réels distincts $a_0, \dots, a_n$ , sur $\R_n[X]$ .

Dans ce dernier cas, le caractère défini vient de ce qu'un polynôme de degré au plus $n$ ayant $n + 1$ racines est nul. C'est une vérification classique.

Attention

Sur $\R[X]$ tout entier, $\sum_i P(a_i)Q(a_i)$ pour un nombre fini de points n'est pas un produit scalaire : un polynôme non nul peut s'annuler en tous ces points. Le caractère défini est toujours le point à vérifier avec soin.

2Norme associée

2.1Définition

Définition 2.1Norme et distance

La norme de $x$ est $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ . La distance de $x$ à $y$ est $\norm{x - y}$ .

Propriété 2.2Propriétés de la norme

$\norm{x} \geqslant 0$ , avec $\norm{x} = 0$ si et seulement si $x = 0$ ;
$\norm{\lambda x} = \abs{\lambda}\,\norm{x}$ pour tout réel $\lambda$ .

2.2Identités remarquables

Propriété 2.3Développement du carré

$\begin{aligned} \norm{x+y}^2 &= \norm{x}^2 + \norm{y}^2\\ &\quad + 2\langle x, y\rangle,\\ \norm{x-y}^2 &= \norm{x}^2 + \norm{y}^2\\ &\quad - 2\langle x, y\rangle. \end{aligned}$

Propriété 2.4Identités de polarisation

$\begin{aligned} \langle x, y\rangle &= \tfrac{1}{2}\big(\norm{x+y}^2\\ &\quad - \norm{x}^2 - \norm{y}^2\big)\\ &= \tfrac{1}{4}\big(\norm{x+y}^2\\ &\quad - \norm{x-y}^2\big). \end{aligned}$

Le produit scalaire est donc entièrement déterminé par la norme. C'est utile pour montrer qu'une application conserve le produit scalaire dès qu'elle conserve la norme.

2.3Inégalité de Cauchy-Schwarz

Théorème 2.5Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ : $\abs{\langle x, y\rangle} \leqslant \norm{x}\,\norm{y}.$ Il y a égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée, c'est-à-dire si l'un des deux vecteurs est multiple de l'autre.

Démonstration

Considérons le polynôme en $t$ défini par $P(t) = \norm{x + ty}^2$ : $P(t) = \norm{y}^2 t^2 + 2\langle x, y\rangle t + \norm{x}^2.$ Ce trinôme est positif pour tout $t$ réel. Si $y \neq 0$ , le coefficient dominant est strictement positif et le discriminant est négatif ou nul, ce qui donne exactement l'inégalité au carré. Le cas $y = 0$ est trivial.

Cas d'égalité : le discriminant est nul si et seulement si le trinôme a une racine double $t_0$ . Alors $\norm{x + t_0 y} = 0$ , donc $x = -t_0 y$ et la famille est liée. Réciproquement, si la famille est liée, le calcul direct donne l'égalité.

Exemple 2.6Exemples d'usage

Pour des sommes finies : $\Big|\sum a_i b_i\Big| \leqslant \sqrt{\sum a_i^2}\,\sqrt{\sum b_i^2}.$
Avec tous les $b_i$ égaux à 1 : $\Big(\sum_{i=1}^{n} a_i\Big)^2 \leqslant n \sum_{i=1}^{n} a_i^2.$
Pour des intégrales : $\Big|\int fg\Big| \leqslant \sqrt{\int f^2}\,\sqrt{\int g^2}.$

2.4Inégalité triangulaire

Théorème 2.7Inégalité triangulaire

Pour tous vecteurs $x$ et $y$ : $\norm{x + y} \leqslant \norm{x} + \norm{y}.$ Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont positivement liés : l'un est nul, ou l'autre en est un multiple par un réel positif.

Démonstration

On développe $\norm{x+y}^2$ et on majore le double produit par Cauchy-Schwarz, ce qui donne $(\norm{x} + \norm{y})^2$ . Le cas d'égalité impose l'égalité dans Cauchy-Schwarz et un produit scalaire positif.

Propriété 2.8Inégalité triangulaire renversée

$\big|\,\norm{x} - \norm{y}\,\big| \leqslant \norm{x - y}.$

3Orthogonalité

3.1Vecteurs et familles orthogonaux

Définition 3.1Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si $\langle x, y\rangle = 0$ . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Une famille est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux. Elle est orthonormée, ou orthonormale, si de plus chaque vecteur est de norme 1.

Théorème 3.2Famille orthogonale

Toute famille orthogonale de vecteurs tous non nuls est libre.

Démonstration

On part d'une combinaison linéaire nulle $\sum \lambda_j x_j = 0$ et on en fait le produit scalaire avec $x_i$ . Tous les termes disparaissent sauf un, et il reste $\lambda_i \norm{x_i}^2 = 0$ , donc $\lambda_i = 0$ puisque $x_i$ est non nul.

À retenir

Dans un espace euclidien de dimension $n$ , une famille orthonormée de $n$ vecteurs est une base.

3.2Orthogonal d'une partie

Définition 3.3Orthogonal d'une partie

Pour une partie $A$ de $E$ , l'orthogonal de $A$ , noté $A^\perp$ , est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de $A$ .

C'est toujours un sous-espace vectoriel de $E$ , même si $A$ n'en est pas un, ce qui se vérifie par bilinéarité.

L'orthogonal de $A$ est aussi l'orthogonal du sous-espace engendré par $A$ . On ne teste donc l'orthogonalité que sur une famille génératrice, donc sur une base, ce qui ramène le calcul à un système linéaire.

3.3Théorème de Pythagore

Théorème 3.4Pythagore

Deux vecteurs $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\norm{x+y}^2 = \norm{x}^2 + \norm{y}^2.$

C'est une équivalence, contrairement au cas des triangles du collège. Elle découle directement du développement du carré.

Propriété 3.5Extension

Pour une famille orthogonale de $p$ vecteurs, la norme au carré de la somme est la somme des normes au carré.

3.4Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Théorème 3.6Gram-Schmidt

Hypothèses

$(x_1, \dots, x_p)$ est une famille libre d'un espace préhilbertien.

Alors il existe une famille orthonormée $(e_1, \dots, e_p)$ telle que, pour tout $k$ , $\Vect(e_1, \dots, e_k) = \Vect(x_1, \dots, x_k)$ .

Cette condition d'échelonnement fait partie de l'énoncé et assure l'unicité à des signes près.

MéthodeConstruction de Gram-Schmidt

Poser $e_1 = x_1 / \norm{x_1}$ .
Par récurrence, retrancher à $x_k$ sa projection sur l'espace déjà construit : $y_k = x_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle x_k, e_i\rangle\, e_i.$
Le vecteur $y_k$ est non nul, sinon $x_k$ appartiendrait à l'espace engendré par les précédents, ce qui contredirait la liberté.
Poser $e_k = y_k / \norm{y_k}$ .

Exemple 3.7Dans $\R^3$

Avec le produit scalaire canonique, $x_1 = (1, 1, 0)$ et $x_2 = (1, 0, 1)$ .

On pose $e_1 = \dfrac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}}$ .
On a $\langle x_2, e_1\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
On retranche : $x_2 - \left(\tfrac12, \tfrac12, 0\right) = \left(\tfrac12, -\tfrac12, 1\right)$ .
En divisant par sa norme $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ , on obtient $e_2$ .

Exemple 3.8Polynômes de Legendre

Sur $\R_2[X]$ muni de $\int_{-1}^{1} PQ$ , l'orthonormalisation de $(1, X, X^2)$ fournit les premiers polynômes de Legendre normalisés. Les familles de polynômes orthogonaux sont l'illustration standard de ce chapitre.

4Bases orthonormées

4.1Existence

Théorème 4.1Existence

Tout espace euclidien non nul possède une base orthonormée.

Il suffit d'appliquer Gram-Schmidt à une base quelconque.

Théorème 4.2Base orthonormée incomplète

Toute famille orthonormée d'un espace euclidien peut être complétée en une base orthonormée.

On complète d'abord en une base quelconque, puis on applique Gram-Schmidt, qui ne modifie pas les premiers vecteurs puisqu'ils sont déjà orthonormés.

4.2Calculs dans une base orthonormée

Propriété 4.3Coordonnées, produit scalaire, norme

Hypothèses

$(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$ ;
$x$ a pour coordonnées $a_i$ et $y$ pour coordonnées $b_i$ .

Alors : $\begin{aligned} x &= \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i\rangle\, e_i,\\ \langle x, y\rangle &= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i,\\ \norm{x}^2 &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2. \end{aligned}$

Les coordonnées se lisent directement par produit scalaire, sans résoudre de système. Dans une base orthonormée, tout se calcule comme dans $\R^n$ muni du produit scalaire canonique.

5Projection orthogonale

5.1Supplémentaire orthogonal

Théorème 5.1Supplémentaire orthogonal

Hypothèses

$E$ est un espace préhilbertien ;
$F$ est un sous-espace de dimension finie de $E$ .

Alors $F$ et $F^\perp$ sont supplémentaires dans $E$ . On dit que $F^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ .

Démonstration

L'intersection est nulle, car un vecteur de $F$ orthogonal à lui-même est nul. Pour la somme, on prend une base orthonormée $(e_i)$ de $F$ , on pose $p(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i$ , et on vérifie que $x - p(x)$ est orthogonal à chaque $e_i$ , donc à $F$ .

Attention

Ce théorème exige que $F$ soit de dimension finie. $E$ , lui, peut être de dimension infinie.

En dimension finie :

$\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ ;
$(F^\perp)^\perp = F$ ;
un hyperplan est l'orthogonal d'une droite, engendrée par un vecteur dit vecteur normal à l'hyperplan.

5.2Projection orthogonale et expression

Définition 5.2Projection orthogonale

La projection orthogonale sur $F$ est la projection sur $F$ parallèlement à $F^\perp$ .

Propriété 5.3Expression du projeté

Hypothèses

$(e_1, \dots, e_p)$ est une base orthonormée de $F$ .

Alors le projeté orthogonal de $x$ sur $F$ est $p(x) = \sum_{i=1}^{p} \langle x, e_i\rangle\, e_i.$

Attention

La base doit être orthonormée. Avec une base seulement orthogonale, chaque terme doit être divisé par la norme au carré du vecteur correspondant.

Exemple 5.4Dans $\R^3$

La projection orthogonale sur la droite engendrée par $u \neq 0$ est $x \mapsto \frac{\langle x, u\rangle}{\norm{u}^2}\,u.$ Pour un plan d'équation $\langle x, n\rangle = 0$ , on projette plus vite en retranchant à $x$ sa projection sur la normale $n$ .

5.3Distance à un sous-espace

Théorème 5.5Meilleure approximation

Hypothèses

$F$ est un sous-espace de dimension finie de $E$ ;
$x \in E$ et $p(x)$ est son projeté orthogonal sur $F$ .

Alors $p(x)$ est l'unique élément de $F$ qui minimise la distance de $x$ aux éléments de $F$ . On note $d(x, F)$ cette distance minimale, et $d(x, F) = \norm{x - p(x)}$ .

Démonstration

Pour $y \in F$ , on écrit $x - y = (x - p(x)) + (p(x) - y)$ . Le premier terme est dans $F^\perp$ , le second dans $F$ , ils sont donc orthogonaux. Pythagore donne $\norm{x-y}^2 = \norm{x-p(x)}^2 + \norm{p(x)-y}^2,$ expression minimale exactement quand le second terme est nul, c'est-à-dire quand $y = p(x)$ .

On en déduit aussi $\norm{p(x)} \leqslant \norm{x}$ , autrement dit $\sum_i \langle x, e_i\rangle^2 \leqslant \norm{x}^2$ . Cet énoncé porte le nom d'inégalité de Bessel, hors programme, mais il est ici une simple conséquence de Pythagore.

Exemple 5.6Application type

Déterminer le minimum, sur les réels $a$ et $b$ , de $\int_0^1 (t^2 - at - b)^2\,\dd t.$ C'est le carré de la distance de $t \mapsto t^2$ au sous-espace des fonctions affines, pour le produit scalaire intégral. On orthonormalise $(1, t)$ , on projette, et le minimum est atteint pour les coefficients du projeté.

Méthodes

MéthodeVérifier qu'une application est un produit scalaire

Traiter rapidement la bilinéarité et la symétrie.
Vérifier la positivité.
Soigner le caractère défini, seul point non automatique.

MéthodeConstruire une base orthonormée

Appliquer Gram-Schmidt à une base.
Normaliser à chaque étape plutôt qu'à la fin, ce qui évite des erreurs.

MéthodeCalculer un projeté orthogonal

Se procurer une base orthonormée du sous-espace.
Appliquer la formule $p(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i$ .
Si le sous-espace est un hyperplan, projeter plutôt sur sa normale et retrancher : c'est beaucoup plus court.

MéthodeRésoudre une minimisation quadratique

Reconnaître une distance à un sous-espace.
Projeter.

MéthodeMontrer une inégalité avec Cauchy-Schwarz

Pour une inégalité entre une somme de produits et des sommes de carrés, ou entre des intégrales, penser à Cauchy-Schwarz, en choisissant soigneusement les deux vecteurs.

MéthodeMontrer qu'un vecteur est nul

Montrer qu'il est orthogonal à lui-même, ou orthogonal à tous les vecteurs d'une base.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Vérifier que l'intégrale du produit définit un produit scalaire sur les fonctions continues, en citant le théorème qui donne le caractère défini.
Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz par le discriminant, avec le cas d'égalité.
Démontrer l'inégalité triangulaire et son cas d'égalité.
Démontrer qu'une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Écrire et exécuter l'algorithme de Gram-Schmidt sur trois vecteurs de $\R^3$ , puis sur $(1, X, X^2)$ .
Démontrer que $F$ et son orthogonal sont supplémentaires quand $F$ est de dimension finie.
Établir que le projeté orthogonal réalise la distance à $F$ , en utilisant Pythagore.
Résoudre un problème de minimisation d'intégrale par projection orthogonale.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Espaces préhilbertiens réels ». Elle généralise le produit scalaire du lycée à un espace vectoriel réel quelconque. Tous les espaces considérés sont des $\R$ -espaces vectoriels. Chaque notion s'accompagne d'une figure en dimension 2 ou 3.

Espaces préhilbertiens réels

Résumé en cinq points

1Produit scalaire

1.1Définition

1.2Exemples fondamentaux

2Norme associée

2.1Définition

2.2Identités remarquables

2.3Inégalité de Cauchy-Schwarz

2.4Inégalité triangulaire

3Orthogonalité

3.1Vecteurs et familles orthogonaux

3.2Orthogonal d'une partie

3.3Théorème de Pythagore

3.4Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

4Bases orthonormées

4.1Existence

4.2Calculs dans une base orthonormée

5Projection orthogonale

5.1Supplémentaire orthogonal

5.2Projection orthogonale et expression

5.3Distance à un sous-espace

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

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