Le cours

Résumé en cinq points

Convergence simple : le rang dépend du point. Convergence uniforme : le rang est le même partout, ce qui se traduit par la borne supérieure de l'écart qui tend vers $0$ .
Continuité, double limite, intégration sur un segment et dérivation se transmettent à la limite sous convergence uniforme, la dérivation demandant la convergence uniforme des dérivées et seulement la convergence simple des fonctions.
Pour les séries, convergence normale implique convergence uniforme implique convergence simple, et aucune réciproque n'est vraie.
La convergence uniforme sur tout segment suffit pour toutes les propriétés locales, et c'est presque toujours ce qu'on démontre en pratique.
Sur un intervalle non borné, la convergence uniforme ne permet pas de passer à la limite sous l'intégrale. Il faut la domination.

Pourquoi ce chapitre

Une grande partie des fonctions intéressantes ne se définit pas par une formule close, mais comme limite d'une suite de fonctions ou comme somme d'une série de fonctions.

La fonction zêta entre dans ce cadre.
Les solutions d'équations différentielles construites par approximations successives aussi.
Les fonctions génératrices en probabilités aussi.

La question centrale est la suivante. Les propriétés des termes (continuité, dérivabilité, valeur de l'intégrale) passent-elles à la limite ? La réponse est non pour la convergence simple, et oui sous convergence uniforme.

Ce chapitre installe trois modes de convergence et quatre théorèmes de transfert. Aux concours il sert d'outil au service d'une étude de fonction. Le réflexe attendu est de choisir le bon intervalle sur lequel vérifier la convergence uniforme, ce qui reste possible même quand elle échoue globalement.

DéfinitionCadre

Les fonctions sont définies sur une partie $A$ d'un espace normé de dimension finie et à valeurs dans un espace normé $F$ de dimension finie. En pratique, $A$ est le plus souvent une partie de $\R$ et $F$ vaut $\R$ ou $\C$ .

1Convergence simple, convergence uniforme

1.1Les deux définitions

Définition 1.1Convergence simple

La suite $(u_n)$ converge simplement vers $u$ sur $A$ si, pour tout $x \in A$ , la suite numérique $(u_n(x))$ converge vers $u(x)$ . En quantificateurs : pour tout $x \in A$ et tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N$ , $\norm{u_n(x) - u(x)} \leqslant \varepsilon.$ Le rang $N$ dépend de $x$ .

Définition 1.2Convergence uniforme

La suite $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N$ et pour tout $x \in A$ , $\norm{u_n(x) - u(x)} \leqslant \varepsilon.$ Ici le rang $N$ est le même pour tous les points de $A$ .

Toute la différence est dans l'ordre des quantificateurs. La convergence uniforme entraîne la convergence simple, la réciproque est fausse.

1.2Traduction par la borne supérieure

Propriété 1.3Caractérisation par la borne supérieure

Posons $M_n = \sup_{x \in A} \norm{u_n(x) - u(x)},$ valeur éventuellement infinie. Alors $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ si et seulement si $M_n \to 0$ . Pour des fonctions bornées, $M_n$ est la norme de la convergence uniforme de $u_n - u$ .

MéthodeÉtudier la convergence uniforme d'une suite

Calculer la limite simple $u$ , qui donne le candidat.
Étudier la fonction écart $x \mapsto \norm{u_n(x) - u(x)}$ .
Pour réfuter la convergence uniforme, exhiber une suite $(x_n)$ de points de $A$ telle que $\norm{u_n(x_n) - u(x_n)}$ ne tende pas vers $0$ .

1.3Exemple de référence

Exemple 1.4La suite $x^n$ sur $[0, 1]$

Soit $u_n(x) = x^n$ sur $\intff{0}{1}$ . La limite simple $u$ vaut $0$ sur $\intfo{0}{1}$ et $1$ en $1$ . Elle est discontinue, alors que chaque $u_n$ est continue : il n'y a pas convergence uniforme sur $\intff{0}{1}$ .

On le voit aussi avec $x_n = 1 - 1/n$ : $u_n(x_n) \to \e^{-1}$ , alors que $u(x_n) = 0$ .

Sur $\intff{0}{a}$ avec $0 < a < 1$ , la borne supérieure de $\abs{x^n}$ vaut $a^n \to 0$ . Il y a convergence uniforme sur tout segment de $\intfo{0}{1}$ .

La convergence uniforme est locale, pas globale, et cela suffit pour la plupart des théorèmes.

2Continuité et théorème de la double limite

2.1Continuité

Théorème 2.1Continuité de la limite uniforme

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$ ;
chaque $u_n$ est continue en un point $a$ de $A$ .

Alors $u$ est continue en $a$ . En particulier, une limite uniforme de fonctions continues sur $A$ est continue sur $A$ .

Démonstration

C'est l'argument en trois epsilon. On écrit $\begin{aligned} \norm{u(x) - u(a)} &\leqslant \norm{u(x) - u_n(x)}\\ &+ \norm{u_n(x) - u_n(a)}\\ &+ \norm{u_n(a) - u(a)}. \end{aligned}$ On choisit $n$ assez grand pour que les deux termes extrêmes soient petits, uniformément en $x$ . On utilise ensuite la continuité de ce $u_n$ fixé pour contrôler le terme du milieu.

Remarque

La continuité est une propriété locale. Il suffit d'avoir la convergence uniforme au voisinage de $a$ , ou sur tout segment quand $A$ est un intervalle de $\R$ . C'est ce que le programme appelle vérifier la convergence uniforme sur des intervalles adaptés à la situation.

2.2Théorème de la double limite

Théorème 2.2Double limite

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$ ;
$a$ est un point adhérent à $A$ ;
pour tout $n$ , $u_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$ .

Alors la suite $(\ell_n)$ converge vers une limite $\ell$ , et $u(x) \to \ell$ quand $x \to a$ .

Remarque

La démonstration est hors programme.

Sous convergence uniforme, on peut intervertir les deux limites : la limite en $n$ de la limite en $a$ de $u_n$ est égale à la limite en $a$ de la limite des $u_n$ .

Le résultat s'adapte au cas où $A$ est une partie de $\R$ non majorée et $a = +\infty$ , et de même en $-\infty$ . C'est la version la plus utilisée, par exemple pour la limite en $+\infty$ de la somme d'une série de fonctions.

3Intégration sur un segment

Théorème 3.1Intégration et convergence uniforme

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite de fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\R$ , à valeurs dans $F$ ;
$a$ est un point de $I$ ;
$(u_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $u$ .

On pose $U_n(x) = \int_a^x u_n$ et $U(x) = \int_a^x u$ . Alors $(U_n)$ converge uniformément vers $U$ sur tout segment de $I$ .

Propriété 3.2Cas particulier

Si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur le segment $\intff{a}{b}$ , alors $\int_a^b u_n \to \int_a^b u.$ La différence des intégrales est majorée en norme par $(b-a)\sup_{\intff{a}{b}} \norm{u_n - u}$ .

AttentionConvergence simple insuffisante

Exemple des bosses glissantes. Sur $\intff{0}{1}$ , soit $u_n$ la fonction affine par morceaux valant $0$ en $0$ , $n$ en $\frac{1}{2n}$ , $0$ en $\frac{1}{n}$ , puis nulle sur $\intff{1/n}{1}$ . Chaque $u_n$ est continue et la suite converge simplement vers la fonction nulle. Mais $\int_0^1 u_n = \frac{1}{2}$ pour tout $n$ : la limite des intégrales n'est pas l'intégrale de la limite.

AttentionIntervalle non borné

Soit $u_n$ valant $\frac{1}{n}$ sur $\intff{0}{n}$ et $0$ ailleurs. La borne supérieure de $\abs{u_n}$ vaut $\frac{1}{n}$ , donc la convergence vers $0$ est uniforme sur $\R$ , mais l'intégrale vaut $1$ pour tout $n$ . Le théorème ne parle que de segments. Sur un intervalle quelconque, l'outil est le théorème de convergence dominée.

4Dérivation

Théorème 4.1Dérivation d'une suite de fonctions

Hypothèses

$(u_n)$ est une suite de fonctions de classe $C^1$ sur un intervalle $I$ de $\R$ , à valeurs dans $F$ ;
$(u_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $u$ ;
$(u_n')$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $v$ .

Alors $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur tout segment de $I$ , $u$ est de classe $C^1$ sur $I$ , et $u' = v$ .

L'hypothèse forte porte sur les dérivées, pas sur les fonctions : pour les fonctions elles-mêmes, la convergence simple suffit. Inverser les deux hypothèses est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Théorème 4.2Extension aux classes $C^k$

Hypothèses

les $u_n$ sont de classe $C^k$ ;
pour $0 \leqslant j \leqslant k-1$ , la suite $(u_n^{(j)})$ converge simplement ;
$(u_n^{(k)})$ converge uniformément sur tout segment.

Alors la limite $u$ est de classe $C^k$ et, pour chaque $j$ , $u^{(j)}$ est la limite de $u_n^{(j)}$ .

Exemple 4.3Contre-exemple sur les dérivées

La suite $u_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n}$ converge uniformément vers $0$ sur $\R$ , puisque la borne supérieure vaut $\frac{1}{n}$ . Mais $u_n'(x) = \cos(nx)$ ne converge même pas simplement. La convergence uniforme des fonctions ne donne rien sur les dérivées.

5Séries de fonctions

5.1Les trois modes de convergence

Définition 5.1Convergence d'une série de fonctions

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ , et $S_n = f_0 + \dots + f_n$ la somme partielle.

La série converge simplement sur $A$ si $(S_n)$ converge simplement.
Elle converge uniformément sur $A$ si $(S_n)$ converge uniformément.
Elle converge normalement sur $A$ s'il existe une suite de réels positifs $(a_n)$ telle que $\sup_A \norm{f_n} \leqslant a_n$ pour tout $n$ , avec $\sum a_n$ convergente. De façon équivalente, la série de terme général $\sup_A \norm{f_n}$ converge.

Propriété 5.2Caractérisation par les restes

La série converge uniformément si et seulement si elle converge simplement et si la suite des restes $R_n = S - S_n$ converge uniformément vers $0$ sur $A$ .

Propriété 5.3Implications

La convergence normale entraîne la convergence uniforme, et la convergence absolue en tout point.
La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Aucune des réciproques n'est vraie.

5.2Comment on s'en sert

La convergence normale est la plus facile à établir, car elle ramène tout à une série numérique. Le premier réflexe est de majorer $\norm{f_n(x)}$ par un terme $a_n$ indépendant de $x$ et d'étudier $\sum a_n$ .

Exemple 5.4Convergence uniforme sans convergence normale

Sur $\R$ , prenons $f_n(x) = \dfrac{(-1)^n}{n + x^2}$ pour $n \geqslant 1$ . En chaque point, c'est une série alternée dont le terme général décroît vers $0$ en valeur absolue. Le reste est majoré par $\frac{1}{n+1+x^2}$ , donc par $\frac{1}{n+1}$ , indépendamment de $x$ : la convergence est uniforme.

Mais $\sup \abs{f_n} = \frac{1}{n}$ , dont la série diverge.

Propriété 5.5Test de rejet

Si la série converge uniformément sur $A$ , alors $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $A$ , puisque $f_n = S_n - S_{n-1}$ . La contraposée sert à montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme.

5.3Transfert des théorèmes

Tous les énoncés précédents s'adaptent aux séries de fonctions, en les appliquant à la suite des sommes partielles.

Théorème 5.6Continuité

Hypothèses

les $f_n$ sont continues sur $A$ ;
la série converge uniformément sur $A$ , ou uniformément au voisinage de chaque point.

Alors la somme $S$ est continue sur $A$ .

Théorème 5.7Double limite

Hypothèses

la série converge uniformément sur $A$ ;
chaque $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en $a$ .

Alors la série $\sum \ell_n$ converge et $\lim_{x \to a} S(x) = \sum_{n} \ell_n$ . On intervertit limite et somme.

Théorème 5.8Intégration terme à terme sur un segment

Hypothèses

les $f_n$ sont continues sur $\intff{a}{b}$ ;
la série converge uniformément sur $\intff{a}{b}$ .

Alors l'intégrale de la somme est la somme des intégrales.

Théorème 5.9Dérivation terme à terme

Hypothèses

les $f_n$ sont de classe $C^1$ sur l'intervalle $I$ ;
la série $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ ;
la série $\sum f_n'$ converge uniformément sur tout segment de $I$ .

Alors $S$ est de classe $C^1$ et $S'$ est la somme de la série $\sum f_n'$ .

5.4Exemple d'étude complète

La fonction zêta est définie pour $x > 1$ par $\zeta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^x}.$

Exemple 5.10Convergence

Pour $x > 1$ la série converge, c'est une série de Riemann. Sur $\intof{a}{+\infty}$ avec $a > 1$ , on a $\frac{1}{n^x} \leqslant \frac{1}{n^a}$ , donc la convergence est normale. Elle ne l'est pas sur $\intoo{1}{+\infty}$ tout entier, puisque $\sup \frac{1}{n^x} = \frac{1}{n}$ y vaut.

Exemple 5.11Régularité

La dérivée $k$ -ième du terme général est, au signe près, $\frac{(\ln n)^k}{n^x}$ . Sur $\intof{a}{+\infty}$ elle est majorée par $\frac{(\ln n)^k}{n^a}$ , terme général d'une série convergente par comparaison à une série de Riemann d'exposant intermédiaire entre $1$ et $a$ . Chaque série dérivée converge donc normalement sur tout $\intof{a}{+\infty}$ , et $\zeta$ est de classe $C^\infty$ sur $\intoo{1}{+\infty}$ .

Exemple 5.12Limite en $+\infty$

La convergence normale sur $\intof{2}{+\infty}$ permet le théorème de la double limite. Chaque terme tend vers $0$ sauf celui d'indice $1$ , qui vaut $1$ . Donc $\zeta(x) \to 1$ .

Exemple 5.13Comportement en $1^+$

Par comparaison série-intégrale, pour $x > 1$ , la somme est encadrée par des quantités équivalentes à $\frac{1}{x-1}$ . On obtient $\zeta(x) \to +\infty$ et $\zeta(x) \sim \frac{1}{x - 1} \quad (x \to 1^+).$ Ce type d'étude asymptotique d'une somme de série est explicitement au programme.

6Approximation uniforme

Deux théorèmes d'approximation, reliés à la notion de densité vue en topologie.

Théorème 6.1Approximation par des fonctions en escalier

Toute fonction continue par morceaux sur un segment et à valeurs dans $\K$ est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions en escalier.

Théorème 6.2Théorème de Weierstrass

Toute fonction continue sur un segment $S$ et à valeurs dans $\K$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite de fonctions polynomiales à coefficients dans $\K$ .

Remarque

La démonstration n'est pas exigible.

Usage typique : on établit une propriété pour les polynômes, puis on passe à la limite uniforme, à condition que la propriété soit stable par convergence uniforme.

Exemple 6.3Fonction orthogonale aux monômes

Si $f$ est continue sur $\intff{0}{1}$ et si $\int_0^1 f(t)\,t^n\,\dd t = 0$ pour tout entier $n$ , alors $\int_0^1 fP = 0$ pour tout polynôme $P$ . Par passage à la limite uniforme, $\int_0^1 f^2 = 0$ , donc $f$ est nulle.

Attention

La convergence est uniforme sur un segment, et seulement sur un segment. Il n'y a pas de théorème analogue sur $\R$ tout entier.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Commencer par la convergence simple, qui donne le domaine d'étude et la fonction limite. Sans candidat limite, la convergence uniforme n'a pas de sens.
Pour la convergence uniforme d'une suite, étudier les variations de $u_n - u$ et calculer la borne supérieure, ou majorer directement.
Pour une série, tenter la convergence normale en premier. Si elle échoue globalement, la chercher sur des segments ou sur des intervalles du type $\intof{a}{+\infty}$ .
Si elle échoue partout, penser au critère spécial des séries alternées, qui majore uniformément le reste.
Pour réfuter une convergence uniforme, utiliser une suite de points bien choisie, ou invoquer la discontinuité de la limite.
Pour une limite en un bord du domaine, penser au théorème de la double limite plutôt qu'à un calcul direct.
Sur un intervalle non borné, ne jamais intégrer terme à terme avec la seule convergence uniforme. Renvoyer au théorème de convergence dominée ou au théorème d'intégration terme à terme du chapitre d'intégration.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire avec les quantificateurs la convergence simple et la convergence uniforme, et dire où est la différence.
Étudier la suite $x \mapsto x^n$ sur $\intff{0}{1}$ , conclure sur la convergence uniforme, et sur $\intff{0}{a}$ avec $a < 1$ .
Démontrer le théorème de continuité de la limite uniforme par l'argument en trois epsilon.
Donner l'exemple des bosses glissantes et celui de la fonction plate d'aire $1$ sur $\intff{0}{n}$ , et dire précisément quelle hypothèse manque dans chaque cas.
Énoncer sans faute le théorème de dérivation d'une suite de fonctions, en précisant quelle convergence porte sur quoi.
Donner un exemple de série de fonctions uniformément convergente mais non normalement convergente.
Mener l'étude complète de $\zeta$ sur $\intoo{1}{+\infty}$ : régularité, limite en $+\infty$ , équivalent en $1$ .
Énoncer le théorème de Weierstrass et l'utiliser pour montrer qu'une fonction continue orthogonale à tous les monômes est nulle.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

La convergence uniforme sur A entraîne la convergence simple sur A. Exigible, immédiat.
Pour des fonctions bornées, la convergence uniforme équivaut à ‖u_n − u‖∞ → 0. Exigible.
Si les u_n sont continues en a et si (u_n) converge uniformément vers u sur A, alors u est continue en a. La convergence uniforme sur un voisinage de a suffit. Exigible avec démonstration.
Double limite : si (u_n) converge uniformément vers u sur A, si a est adhérent à A et si chaque u_n admet une limite ℓ_n en a, alors (ℓ_n) converge vers un ℓ et u(x) tend vers ℓ quand x tend vers a. Adaptation à a = ±∞ si A ⊂ R. Démonstration hors programme.
Intégration : si les u_n sont continues sur l'intervalle I et convergent uniformément sur tout segment de I vers u, les primitives s'annulant en a ∈ I convergent uniformément sur tout segment. Exigible avec démonstration.
Dérivation : si les u_n sont C¹ sur l'intervalle I, si (u_n) converge simplement sur I vers u et si (u_n′) converge uniformément sur tout segment de I vers v, alors la convergence de (u_n) est uniforme sur tout segment, u est C¹ et u′ = v. Exigible avec démonstration. Extension C^k : convergence simple des dérivées d'ordre 0 à k − 1, convergence uniforme sur tout segment de la dérivée k-ième.
Une série de fonctions converge uniformément si et seulement si elle converge simplement et ses restes convergent uniformément vers 0. Exigible.
Adaptation aux séries des théorèmes de continuité, de double limite, d'intégration sur un segment et de dérivation. Exigible.
La convergence normale implique la convergence uniforme et la convergence absolue en tout point. Exigible avec démonstration.
Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme de fonctions en escalier. Exigible.
Théorème de Weierstrass sur un segment. Démonstration non exigible.
Hors programme : critère de Cauchy uniforme, théorèmes de Dini, théorème de Stone-Weierstrass. La convergence dominée relève du chapitre d'intégration.

Clés de démonstration

Continuité de la limite uniforme. On découpe ‖u(x) − u(a)‖ en trois morceaux en passant par u_n(x) et u_n(a). On fixe d'abord n tel que ‖u_n − u‖ ≤ ε sur le voisinage où la convergence est uniforme, puis on utilise la continuité de ce seul u_n en a. Astuce : l'ordre des choix, n d'abord, le voisinage ensuite.

Intégration sur un segment. Pour x dans un segment J, ‖U_n(x) − U(x)‖ ≤ |x − a| fois la borne supérieure de ‖u_n − u‖ entre a et x. On travaille sur le plus petit segment K contenant J et a. Astuce : faire entrer a dans le segment, sinon l'hypothèse ne s'applique pas.

Dérivation. On écrit u_n(x) = u_n(a) + ∫ de a à x de u_n′. Le théorème d'intégration donne u(x) = u(a) + ∫ de a à x de v, uniformément sur tout segment. Comme v est continue, limite uniforme sur tout segment de fonctions continues, le théorème fondamental de l'analyse donne u de classe C¹ et u′ = v. Astuce : ramener la dérivation à l'intégration.

Convergence normale implique convergence uniforme. Si ‖f_n(x)‖ ≤ a_n avec Σ a_n convergente, la série converge absolument en chaque point, donc converge, car F est de dimension finie. Le reste vérifie ‖R_n(x)‖ ≤ Σ pour k > n des a_k, reste d'une série numérique convergente. Astuce : cette borne ne dépend pas de x.

Approximation par des fonctions en escalier. Pour f continue sur [a, b], le théorème de Heine donne η tel que |x − y| ≤ η entraîne ‖f(x) − f(y)‖ ≤ ε. Sur une subdivision de pas inférieur à η, on remplace f par sa valeur en un point de chaque morceau. Astuce : dans le cas continu par morceaux, on raisonne sur les prolongements continus de chaque restriction.

Exemples et contre-exemples à connaître

u_n(x) = n x e^−nx sur R+. Limite simple nulle, borne supérieure 1/e atteinte en 1/n. Pas de convergence uniforme sur R+, mais convergence uniforme sur tout [a, +∞[ avec a > 0. Le défaut se concentre près de 0.
u_n(x) = xⁿ(1 − x) sur [0, 1]. La borne supérieure vaut (n/(n+1))ⁿ/(n+1) ≤ 1/(n+1) : convergence uniforme, alors que (xⁿ) ne converge pas uniformément. Le facteur 1 − x écrase le défaut en 1.
u_n(x) = n x(1 − x²)ⁿ sur [0, 1]. Convergence simple vers 0, mais l'intégrale vaut n/(2(n+1)), qui tend vers 1/2. Variante régulière des bosses glissantes.
u_n(x) = √(x² + 1/n) sur R. On a 0 ≤ u_n(x) − |x| ≤ 1/√n : convergence uniforme vers |x|. Chaque u_n est C^∞, la limite n'est pas dérivable en 0.
u_n(x) = arctan(n x) sur ]0, +∞[. La limite simple vaut π/2. En 0, la limite de u_n est 0 pour tout n, celle de u est π/2. Les limites ne commutent pas, faute de convergence uniforme près de 0.
La série Σ xⁿ(1 − x) sur [0, 1], pour n ≥ 0, a pour somme 1 sur [0, 1[ et 0 en 1. La somme est discontinue, donc pas de convergence uniforme, alors que le terme général converge uniformément vers 0 (exemple 2). Le test de rejet par le terme général n'est qu'une condition nécessaire.
La série Σ sin(nx)/n², pour n ≥ 1, converge normalement sur R, mais la série dérivée Σ cos(nx)/n diverge en 0. La convergence normale ne dit rien de la dérivabilité.
Convergence uniforme sans convergence normale : Σ (−1)ⁿ xⁿ/n sur [0, 1], pour n ≥ 1, traitée en section 4.

Techniques du chapitre

Technique 1 : borne supérieure par une étude de variations. Mini-exercice : u_n(x) = x/(1 + n x²) sur R. La fonction est impaire. Sur R+, sa dérivée est du signe de 1 − n x², le maximum vaut 1/(2√n), atteint en 1/√n. Donc ‖u_n‖∞ = 1/(2√n) → 0 : convergence uniforme sur R.

Technique 3 : réfuter par une suite de points. Mini-exercice : la même suite sur R. En x_n = nπ/2, |u_n(x_n) − x_n| = n(π/2 − 1) ne tend pas vers 0. Pas de convergence uniforme sur R.

Technique 4 : convergence normale par la borne du terme général. Mini-exercice : Σ x/(n(1 + n x²)) sur R+, pour n ≥ 1. D'après la technique 1, le terme est majoré par 1/(2n^3/2), série de Riemann convergente. Convergence normale sur R+, somme continue.

Technique 5 : se replier sur [a, +∞[. Mini-exercice : Σ e^−nx sur ]0, +∞[, pour n ≥ 1. La borne supérieure vaut 1, pas de convergence normale. Sur [a, +∞[, e^−nx ≤ e^−na, série géométrique convergente. La somme est continue sur chaque [a, +∞[, donc sur ]0, +∞[, car la continuité est locale.

Technique 6 : majorer le reste par le critère des séries alternées. Mini-exercice : Σ (−1)ⁿ xⁿ/n sur [0, 1], pour n ≥ 1. Pour x fixé, xⁿ/n décroît vers 0, donc |R_n(x)| ≤ xⁿ⁺¹/(n+1) ≤ 1/(n+1). Convergence uniforme sur [0, 1], mais pas normale, car la borne supérieure vaut 1/n.

Technique 7 : limite au bord par double limite. Mini-exercice : f(x) = Σ e^−nx/(n² + 1) sur R+, pour n ≥ 0. Le terme est majoré par 1/(n² + 1) : convergence normale sur R+. Le terme d'indice 0 vaut 1, les autres tendent vers 0 en +∞. Donc f tend vers 1.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Pas de convergence uniforme, et pourtant les intégrales convergent

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f_n(x) = n xⁿ(1 − x) sur [0, 1]. Étudier la convergence simple, la convergence uniforme sur [0, 1] puis sur [0, a] avec 0 < a < 1, et la limite de l'intégrale de f_n sur [0, 1].

Technique borne supérieure par une étude de variations.

Voir le corrigé

Pour x ∈ [0, 1[, n xⁿ → 0 par croissances comparées, et f_n(1) = 0. La limite simple est nulle.
La dérivée de xⁿ(1 − x) est xⁿ⁻¹(n − (n+1)x). Le maximum est en n/(n+1) et ‖f_n‖∞ = (n/(n+1))ⁿ⁺¹ → 1/e. Pas de convergence uniforme sur [0, 1].
Dès que n/(n+1) > a, f_n croît sur [0, a], de borne supérieure n aⁿ(1 − a) → 0. Convergence uniforme sur [0, a].
L'intégrale vaut n(1/(n+1) − 1/(n+2)) = n/((n+1)(n+2)) → 0.

piège : Croire la convergence uniforme nécessaire pour intervertir limite et intégrale. Elle est seulement suffisante.

Exercice 2. Approximation de l'exponentielle

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u_n(x) = (1 + x/n)ⁿ pour x > −n. Montrer que (u_n) converge uniformément vers exp sur tout segment [−A, A], mais pas sur R+.

Technique majoration de Taylor, puis accroissements finis.

Voir le corrigé

Pour |t| ≤ 1/2, la dérivée seconde de ln(1 + t) est majorée par 4 en valeur absolue, donc Taylor-Lagrange donne |ln(1 + t) − t| ≤ 2t².
Pour |x| ≤ A et n ≥ 2A, on pose b_n(x) = n ln(1 + x/n). Alors |b_n(x) − x| ≤ 2x²/n ≤ 2A²/n.
Comme ln(1 + t) ≤ t, b_n(x) ≤ x ≤ A. Les accroissements finis donnent |u_n(x) − eˣ| ≤ e^A |b_n(x) − x| ≤ 2A² e^A/n. Convergence uniforme sur [−A, A].
En x = n, eⁿ − 2ⁿ tend vers +∞. Pas de convergence uniforme sur R+.

piège : Écrire |e^a − e^b| ≤ |a − b| sans le facteur e^{max(a, b)}.

Exercice 3. Une somme discontinue

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit S(x) = Σ x e^−nx sur R+, pour n ≥ 1. Calculer S, étudier la convergence normale sur R+ et sur [a, +∞[ avec a > 0, et la convergence uniforme sur R+.

Technique discontinuité de la somme pour réfuter la convergence uniforme.

Voir le corrigé

S(0) = 0. Pour x > 0, la série géométrique donne S(x) = x/(eˣ − 1).
La borne supérieure du terme sur R+ vaut 1/(e n), atteinte en 1/n. Sa série diverge : pas de convergence normale sur R+.
Pour n ≥ 1/a, le terme décroît sur [a, +∞[, de borne supérieure a e^−na, terme d'une série convergente. Convergence normale sur [a, +∞[.
S(x) → 1 quand x → 0⁺, alors que S(0) = 0. Somme discontinue de termes continus : pas de convergence uniforme sur R+.

piège : Invoquer le terme général : ici 1/(e n) tend vers 0, et le test de rejet ne conclut pas.

Exercice 4. Étude complète d'une somme de série

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit f(x) = Σ 1/(n² + x²), pour n ≥ 1. Montrer que f est définie et C¹ sur R, déterminer sa limite en +∞ et un équivalent.

Technique convergence normale, double limite, comparaison série-intégrale.

Voir le corrigé

Le terme est majoré par 1/n² : convergence normale sur R, f est continue.
Le terme dérivé vaut −2x/(n² + x²)². Avec 2n|x| ≤ n² + x², sa valeur absolue est majorée par 1/(n(n² + x²)) ≤ 1/n³. La série dérivée converge normalement sur R, la série converge simplement, donc f est C¹.
Convergence normale sur R et chaque terme tend vers 0 en +∞. Par double limite, f tend vers 0.
Pour x > 0, t ↦ 1/(t² + x²) décroît sur R+. En encadrant chaque terme par les intégrales sur [n, n+1] et [n − 1, n] puis en sommant, f(x) est compris entre l'intégrale de 1 à +∞ et celle de 0 à +∞, égale à π/(2x).
L'intégrale de 1 à +∞ vaut (π/2 − arctan(1/x))/x. Les deux bornes sont équivalentes à π/(2x), donc f(x) ∼ π/(2x).

piège : Croire que la double limite donne un équivalent. Elle donne seulement la limite.

Exercice 5. Intégration terme à terme sur [0, 1]

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

On admet que Σ 1/n² = π²/6. Montrer que l'intégrale sur [0, 1] de ln(1 + x)/x, prolongée par 1 en 0, vaut π²/12.

Technique critère des séries alternées, puis intégration sur un segment.

Voir le corrigé

Pour x ∈ ]0, 1[, le développement de ln(1 + x) (chapitre des séries entières) donne g(x) = ln(1 + x)/x = Σ (−1)ⁿ xⁿ/(n+1), pour n ≥ 0. L'égalité vaut aussi en 0.
Sur [0, 1], la série est alternée, de terme décroissant vers 0 en valeur absolue. Le reste est majoré par 1/(n+2). Convergence uniforme sur [0, 1].
La somme est donc continue sur [0, 1] et coïncide avec g sur [0, 1[, donc aussi en 1.
On intègre terme à terme : l'intégrale vaut Σ (−1)^k−1/k², pour k ≥ 1.
Les termes pairs somment à π²/24, les impairs à π²/6 − π²/24 = π²/8. La différence vaut π²/12.

piège : Intégrer sur [0, 1] avec la seule convergence uniforme sur les segments de [0, 1[.

Exercice 6. Une fonction qui prolonge les nombres harmoniques

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit F(x) = Σ (1/n − 1/(n + x)), pour n ≥ 1 et x > −1. Montrer que F est C¹ et croissante, que F(x + 1) − F(x) = 1/(x + 1), que F(p) = 1 + 1/2 + … + 1/p, et que F tend vers +∞.

Technique convergence normale sur les segments, télescopage.

Voir le corrigé

Le terme vaut x/(n(n + x)). Sur un segment [α, β] de ]−1, +∞[, avec M = max(|α|, |β|), il est majoré par M/(n(n + α)), équivalent à M/n². Convergence normale sur ce segment.
Le terme dérivé vaut 1/(n + x)² ≤ 1/(n + α)² sur [α, +∞[. Donc F est C¹ et F′(x) = Σ 1/(n + x)² > 0.
F(x + 1) − F(x) = Σ (1/(n + x) − 1/(n + 1 + x)), série télescopique de somme 1/(1 + x), puisque 1/(n + x) tend vers 0.
F(0) = 0, puis par récurrence F(p) est la somme des 1/k pour k de 1 à p.
F est croissante et F(p) → +∞, donc F tend vers +∞.

piège : Chercher la convergence normale sur ]−1, +∞[ tout entier. Elle échoue près de −1, où le terme d'indice 1 explose.

Exercice 7. Lemme de Riemann-Lebesgue

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f continue par morceaux sur [a, b], à valeurs complexes. Montrer que l'intégrale de f(t) e^iλt sur [a, b] tend vers 0 quand le réel λ tend vers ±∞.

Technique approximation uniforme par des fonctions en escalier.

Voir le corrigé

Pour λ ≠ 0, l'intégrale de e^iλt sur [c, d] vaut (e^iλd − e^iλc)/(iλ), de module au plus 2/|λ|.
Pour φ en escalier, de valeurs c₁, …, c_m, le module de l'intégrale de φ(t)e^iλt est majoré par 2(|c₁| + … + |c_m|)/|λ|, qui tend vers 0.
Soit ε > 0. On choisit φ en escalier avec ‖f − φ‖∞ ≤ ε/(b − a). Le module cherché est majoré par ε plus celui de l'intégrale de φ(t)e^iλt.
Pour |λ| assez grand, ce dernier est inférieur à ε. Le tout est majoré par 2ε.

piège : Choisir φ en fonction de λ. On fixe φ grâce à ε seul, puis on fait tendre λ vers l'infini.

Exercice 8. Pas de Weierstrass sur R

Approfondissement · Type oral Mines

Soit (P_n) une suite de polynômes réels convergeant uniformément sur R vers f. Montrer que f est polynomiale. En déduire que exp n'est pas limite uniforme sur R de polynômes.

Technique un polynôme borné sur R est constant.

Voir le corrigé

Il existe N tel que, pour n ≥ N, |P_n(x) − f(x)| ≤ 1 pour tout réel x.
Pour n ≥ N, |P_n − P_N| ≤ 2 sur R. Un polynôme borné sur R est constant, donc P_n = P_N + c_n.
Comme c_n = P_n(0) − P_N(0), la suite (c_n) converge vers un réel c.
En passant à la limite en chaque point, f = P_N + c est polynomiale. Or exp n'est pas polynomiale, car aucune de ses dérivées n'est nulle.

piège : Écrire que P_n − f est borné pour tout n. Ce n'est vrai qu'à partir d'un certain rang.

Exercice 9. Approcher la racine carrée par des polynômes explicites

Approfondissement · Type oral Centrale

On pose P₀ = 0 et P_n+1(x) = P_n(x) + (x − P_n(x)²)/2. Montrer que (P_n) converge uniformément vers la racine carrée sur [0, 1]. En déduire une suite explicite de polynômes convergeant uniformément vers la valeur absolue sur [−1, 1].

Technique factorisation de l'écart, puis borne supérieure d'une fonction d'une variable.

Voir le corrigé

On vérifie que √x − P_n+1(x) = (√x − P_n(x))(1 − (√x + P_n(x))/2).
Par récurrence, 0 ≤ P_n(x) ≤ √x. Si c'est vrai au rang n, le dernier facteur est compris entre 1 − √x ≥ 0 et 1, donc √x − P_n+1(x) ≥ 0. De plus x − P_n² ≥ 0 donne P_n+1 ≥ P_n ≥ 0.
Comme P_n ≥ 0, le facteur est majoré par 1 − √x/2, d'où 0 ≤ √x − P_n(x) ≤ √x(1 − √x/2)ⁿ.
Avec t = √x ∈ [0, 1], la fonction t(1 − t/2)ⁿ atteint son maximum en 2/(n+1), où elle vaut au plus 2/(n+1). Convergence uniforme.
Pour x ∈ [−1, 1], |x| = √(x²), donc 0 ≤ |x| − P_n(x²) ≤ 2/(n+1). Les polynômes P_n(X²) conviennent.

piège : Oublier que la récurrence doit porter à la fois sur la positivité et sur la majoration par √x. Les deux contrôlent le facteur de l'étape 1.

Erreurs fréquentes

Majorer |u_n(x) − u(x)| par une quantité qui dépend encore de x, comme x²/n, puis conclure à la convergence uniforme sur un ensemble non borné.
Inverser les hypothèses du théorème de dérivation : exiger la convergence uniforme des fonctions et oublier celle des dérivées. Ou omettre la convergence simple de la série des f_n.
Déduire l'absence de convergence uniforme de l'absence de convergence normale. Le critère des séries alternées donne souvent l'une sans l'autre.
Appliquer la double limite en un point sans convergence uniforme sur un voisinage, par exemple en 0 avec une convergence uniforme seulement sur les [a, +∞[.
Intégrer terme à terme sur un intervalle non borné, ou sur un segment qui déborde ceux où la convergence est uniforme.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie A de la section « Suites et séries de fonctions, séries entières ». Les séries entières font l'objet d'une fiche séparée.

Suites et séries de fonctions

Résumé en cinq points

1Convergence simple, convergence uniforme

1.1Les deux définitions

1.2Traduction par la borne supérieure

1.3Exemple de référence

2Continuité et théorème de la double limite

2.1Continuité

2.2Théorème de la double limite

3Intégration sur un segment

4Dérivation

5Séries de fonctions

5.1Les trois modes de convergence

5.2Comment on s'en sert

5.3Transfert des théorèmes

5.4Exemple d'étude complète

6Approximation uniforme

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Pas de convergence uniforme, et pourtant les intégrales convergent

Exercice 2. Approximation de l'exponentielle

Exercice 3. Une somme discontinue

Exercice 4. Étude complète d'une somme de série

Exercice 5. Intégration terme à terme sur [0, 1]

Exercice 6. Une fonction qui prolonge les nombres harmoniques

Exercice 7. Lemme de Riemann-Lebesgue

Exercice 8. Pas de Weierstrass sur R

Exercice 9. Approcher la racine carrée par des polynômes explicites

Erreurs fréquentes

Au concours