Le cours

Résumé en cinq points

Le degré gouverne tout : le degré d'un produit est la somme des degrés, $\K[X]$ est intègre, et les inversibles sont les constantes non nulles.
La division euclidienne existe et est unique dès que le diviseur est non nul. Le reste par $X - a$ vaut $P(a)$ .
Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines, donc un polynôme à une infinité de racines est nul. C'est l'outil d'identification.
La multiplicité d'une racine se lit sur les dérivées successives, via la formule de Taylor polynomiale, qui est une identité exacte.
Sur $\C$ tout est scindé, sur $\R$ les irréductibles sont les degrés 1 et les degrés 2 de discriminant négatif. La décomposition en éléments simples transforme une fraction en somme de termes intégrables.

Pourquoi ce chapitre

Les polynômes servent de trois façons.

Comme objets algébriques. Ils fournissent le premier exemple sérieux d'anneau où l'on divise avec reste, comme dans $\Z$ . Cette analogie structure tout le chapitre.
Comme outil. L'objectif de la décomposition en éléments simples est de mener à bien des calculs d'intégration, de dérivation, de somme. Une primitive de fraction rationnelle, une dérivée $n$ -ième, une somme télescopique passent par là.
Pour préparer l'algèbre linéaire. $\K[X]$ et $\K_n[X]$ seront des espaces vectoriels de référence, et la seconde année utilisera les polynômes annulateurs pour réduire les endomorphismes.

La construction de $\K[X]$ est hors programme. On admet l'existence de cet ensemble et de ses opérations.

1L'ensemble K[X]

1.1Polynômes et opérations

Définition 1.1Polynôme

Un polynôme à une indéterminée à coefficients dans $\K$ s'écrit $P = a_0 + a_1X + \dots + a_nX^n.$

Propriété 1.2Identification des coefficients

Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients coïncident tous.

L'identification des coefficients est un outil de démonstration permanent.

On additionne coefficient par coefficient, on multiplie par distributivité. Le coefficient d'indice $k$ du produit $PQ$ est $\sum_{i+j=k} a_i b_j.$ La formule du binôme est valable dans $\K[X]$ .

1.2Degré

Définition 1.3Degré

Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand indice d'un coefficient non nul. Par convention, le degré du polynôme nul vaut $-\infty$ .

Le coefficient dominant est celui du terme de plus haut degré.
Un polynôme est unitaire si son coefficient dominant vaut 1.
$\K_n[X]$ est l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ , polynôme nul compris.

Propriété 1.4Règles de degré

Pour tous polynômes $P$ et $Q$ :

$\deg(P+Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ , avec égalité si les degrés diffèrent ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ .

Propriété 1.5Intégrité de $\K[X]$

Le produit de deux polynômes non nuls est non nul.

Démonstration

Le coefficient dominant du produit est le produit des coefficients dominants, non nul dans $\K$ .

On dit que $\K[X]$ est intègre. On peut donc simplifier une égalité de polynômes par un polynôme non nul.

Propriété 1.6Polynômes inversibles

Les seuls polynômes inversibles pour la multiplication sont les constantes non nulles, car le degré du produit doit être nul.

1.3Composition

Définition 1.7Composée

La composée $P \circ Q$ s'obtient en remplaçant $X$ par $Q$ dans $P$ . Son degré est le produit des degrés quand $Q$ n'est pas constant.

2Divisibilité et division euclidienne

2.1Divisibilité

Définition 2.1Divisibilité

$A$ divise $B$ dans $\K[X]$ s'il existe $Q \in \K[X]$ avec $B = AQ$ . On dit que $A$ est un diviseur de $B$ et $B$ un multiple de $A$ .

Propriété 2.2Degrés et associés

Si $A$ divise $B$ et $B$ est non nul, alors $\deg A \leqslant \deg B$ .
Si $A$ et $B$ se divisent mutuellement et sont non nuls, ils sont associés, c'est-à-dire proportionnels par une constante non nulle.

2.2Division euclidienne

Théorème 2.3Division euclidienne

Hypothèses

$A$ et $B$ sont dans $\K[X]$ ;
$B$ est non nul.

Alors il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que $A = BQ + R$ et $\deg R < \deg B$ .

Démonstration

Existence par récurrence forte sur le degré de $A$ . Si $\deg A < \deg B$ , on prend $Q = 0$ et $R = A$ .

Sinon, notons $a$ et $b$ les coefficients dominants, $n$ et $m$ les degrés de $A$ et $B$ , et posons $A_1 = A - \frac{a}{b}X^{n-m}B.$ Ce polynôme est de degré strictement inférieur à $n$ , et l'hypothèse de récurrence s'applique.

Unicité : si $BQ + R = BQ' + R'$ , alors $B(Q - Q') = R' - R$ . Si $Q \neq Q'$ , le membre de gauche a un degré au moins égal à $\deg B$ et celui de droite un degré strictement inférieur, ce qui est absurde. Donc $Q = Q'$ puis $R = R'$ .

L'algorithme de division se pose comme la division des entiers, en éliminant à chaque étape le terme dominant.

Propriété 2.4Reste par $X - a$

Le reste de la division de $A$ par $X - a$ est une constante, et cette constante vaut $A(a)$ .

3Fonctions polynomiales et racines

3.1Racines

Définition 3.1Racine

À $P$ on associe la fonction polynomiale qui à $x \in \K$ associe $P(x)$ . Un élément $a \in \K$ est racine de $P$ si $P(a) = 0$ .

Propriété 3.2Caractérisation par la divisibilité

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $X - a$ divise $P$ .

Démonstration

On divise $P$ par $X - a$ : le reste est constant et vaut $P(a)$ .

Propriété 3.3Racines distinctes

Si $a_1, \dots, a_r$ sont des racines deux à deux distinctes de $P$ , alors le produit des $X - a_i$ divise $P$ .

MéthodeMéthode de Horner

Écrire $P$ sous forme emboîtée, par exemple $a_3X^3 + a_2X^2 + a_1X + a_0 = ((a_3X + a_2)X + a_1)X + a_0.$
Évaluer de l'intérieur vers l'extérieur : cela réduit le nombre de multiplications et fournit au passage le quotient par $X - a$ .

3.2Nombre de racines

Théorème 3.4Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines dans $\K$ , comptées sans multiplicité.

Démonstration

Si $P$ a $r$ racines distinctes, le produit des $X - a_i$ divise $P$ , donc $r \leqslant \deg P$ .

Propriété 3.5Infinité de racines (exigible)

Si un polynôme a une infinité de racines, il est nul. En particulier, si deux polynômes prennent les mêmes valeurs en une infinité de points de $\K$ , ils sont égaux.

Comme $\K$ vaut $\R$ ou $\C$ , donc est infini, un polynôme est entièrement déterminé par sa fonction polynomiale. On peut donc identifier polynôme et fonction polynomiale, ce qu'on fait couramment.

C'est aussi un outil de démonstration : pour prouver une identité polynomiale, il suffit de la vérifier en une infinité de points.

3.3Multiplicité

Définition 3.6Multiplicité

$a$ est racine de multiplicité $m$ de $P$ si $(X - a)^m$ divise $P$ et si $(X - a)^{m+1}$ ne divise pas $P$ . Autrement dit, $P = (X - a)^m Q$ avec $Q(a) \neq 0$ .

Une racine simple est de multiplicité 1, une racine double de multiplicité 2.

3.4Polynômes scindés et relations coefficients-racines

Définition 3.7Polynôme scindé

$P$ est scindé sur $\K$ s'il s'écrit comme produit de son coefficient dominant et de facteurs du type $X - a_i$ , autrement dit s'il a exactement $\deg P$ racines comptées avec multiplicité.

Propriété 3.8Relations coefficients-racines (exigibles)

Hypothèses

$P = a_nX^n + \dots + a_0$ est scindé ;
ses racines, comptées avec multiplicité, sont $x_1, \dots, x_n$ .

Alors $\begin{aligned} x_1 + \dots + x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n},\\ x_1 \cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n}. \end{aligned}$ On les obtient en développant la forme factorisée et en identifiant les coefficients.

Les fonctions symétriques élémentaires sont hors programme : seules la somme et le produit sont exigibles.

Exemple 3.9Trinôme du second degré

On retrouve une somme des racines égale à $-b/a$ et un produit égal à $c/a$ .

4Dérivation formelle

4.1Définition et opérations

Définition 4.1Dérivée formelle

La dérivée formelle de $P = a_0 + a_1X + \dots + a_nX^n$ est $P' = a_1 + 2a_2X + \dots + na_nX^{n-1}.$

C'est une définition purement algébrique, valable aussi sur $\C$ . Pour $\K = \R$ , elle coïncide avec la dérivée de la fonction polynomiale associée. Le degré de $P'$ vaut $\deg P - 1$ si $P$ est non constant.

Propriété 4.2Opérations et formule de Leibniz

La dérivation est linéaire.
$(PQ)' = P'Q + PQ'$ .
Pour tout entier $k$ : $(PQ)^{(k)} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} P^{(j)}Q^{(k-j)}.$

Démonstration

Par récurrence sur $k$ , avec la formule de Pascal.

4.2Formule de Taylor polynomiale

Théorème 4.3Formule de Taylor polynomiale

Hypothèses

$P \in \K_n[X]$ ;
$a \in \K$ .

Alors $P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X - a)^k.$

Démonstration

On écrit $P$ dans la base des $(X - a)^k$ , ce qui est possible par division successive ou par la formule du binôme appliquée à $X = a + (X - a)$ . On dérive ensuite $k$ fois et on évalue en $a$ : tous les termes d'indice différent de $k$ disparaissent.

Contrairement à la formule de Taylor de l'analyse, il n'y a ici aucun reste : l'égalité est exacte. C'est une identité polynomiale.

4.3Multiplicité et dérivées

Propriété 4.4Multiplicité et dérivées (exigible)

Hypothèses

$P \in \K[X]$ et $a \in \K$ ;
$m$ est un entier non nul.

Alors $a$ est racine de multiplicité au moins $m$ de $P$ si et seulement si $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0.$ Et $a$ est racine de multiplicité exactement $m$ si de plus $P^{(m)}(a) \neq 0$ .

Démonstration

On utilise la formule de Taylor en $a$ : les premiers coefficients de l'écriture en puissances de $X - a$ sont précisément les dérivées successives divisées par les factorielles.

Exemple 4.5Racine double

Pour $P = X^3 - 3X + 2$ , on a $P(1) = 0$ et $P'(1) = 3 - 3 = 0$ , mais $P''(1) = 6$ . Donc 1 est racine double. En divisant, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ .

5Factorisation dans C[X] et R[X]

5.1Théorème de d'Alembert-Gauss

Théorème 5.1Théorème de d'Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant de $\C[X]$ admet au moins une racine dans $\C$ .

Le programme précise que la démonstration est hors programme.

Propriété 5.2Polynômes scindés sur $\C$

Tout polynôme non constant de $\C[X]$ est scindé sur $\C$ .

Démonstration

Par récurrence sur le degré : on extrait une racine, on factorise, on recommence.

5.2Irréductibles de C[X]

Théorème 5.3Décomposition dans $\C[X]$

Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont exactement les polynômes de degré 1. Tout polynôme non constant se décompose de façon unique, à l'ordre des facteurs près, comme produit de son coefficient dominant et de facteurs $(X - a_i)^{m_i}$ avec des $a_i$ deux à deux distincts.

Propriété 5.4Divisibilité dans $\C[X]$

Dans $\C[X]$ , $A$ divise $B$ si et seulement si toute racine de $A$ est racine de $B$ avec une multiplicité au moins égale.

Exemple 5.5Factorisation de $X^n - 1$

Ses racines sont les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité, toutes simples. Donc dans $\C[X]$ : $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}\big(X - \e^{2\ii k\pi/n}\big).$

5.3Irréductibles de R[X]

Propriété 5.6Racines conjuguées (exigible)

Hypothèses

$P$ est à coefficients réels ;
$z$ est racine de $P$ de multiplicité $m$ .

Alors $\overline{z}$ est aussi racine de $P$ , de multiplicité $m$ .

Démonstration

En conjuguant la relation $P(z) = 0$ et en utilisant que les coefficients sont réels, on obtient $P(\overline{z}) = 0$ . Le même raisonnement appliqué aux dérivées successives, elles aussi à coefficients réels, donne l'égalité des multiplicités.

Propriété 5.7Irréductibles de $\R[X]$

Les polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.

Théorème 5.8Décomposition dans $\R[X]$

Tout polynôme non constant de $\R[X]$ s'écrit comme produit de son coefficient dominant, de facteurs $(X - a_i)^{m_i}$ avec $a_i$ réels, et de facteurs $(X^2 + b_jX + c_j)^{n_j}$ de discriminants strictement négatifs. Cette écriture est unique à l'ordre près.

Démonstration

On factorise sur $\C$ , puis on regroupe deux à deux les racines complexes conjuguées. Le produit $(X - z)(X - \overline{z})$ vaut $X^2 - 2\operatorname{Re}(z)X + \abs{z}^2,$ qui est à coefficients réels et de discriminant strictement négatif.

Exemple 5.9Degré impair

Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

6Décomposition en éléments simples

Définition 6.1Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est un quotient $P/Q$ de polynômes avec $Q$ non nul. Les pôles sont les racines de $Q$ , après simplification de la fraction.

Théorème 6.2Pôles simples

Hypothèses

$F = P/Q$ avec $\deg P < \deg Q$ ;
$Q$ est scindé à racines simples $a_1, \dots, a_n$ .

Alors $F = \sum_{k=1}^{n} \frac{\lambda_k}{X - a_k}, \qquad \lambda_k = \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}.$

C'est le seul cas dont la forme est à connaître d'après le programme. La démonstration est hors programme.

Si $\deg P \geqslant \deg Q$ , on commence par effectuer la division euclidienne : on obtient une partie entière polynomiale plus une fraction à numérateur de degré strictement inférieur.

MéthodeCalculer les coefficients

Multiplier par $X - a_k$ puis évaluer en $a_k$ : c'est la méthode de base pour un pôle simple.
Utiliser la formule $\lambda_k = P(a_k)/Q'(a_k)$ , qui évite de factoriser $Q$ .
Multiplier par $X$ et faire tendre $X$ vers l'infini, ce qui donne une relation entre les coefficients.
Évaluer en un point simple, comme 0, pour obtenir une équation supplémentaire.
Exploiter une parité ou une symétrie de la fraction.

Exemple 6.3Primitive

$\frac{1}{X^2 - 1} = \frac12\cdot\frac{1}{X - 1} - \frac12\cdot\frac{1}{X + 1}.$ D'où une primitive : $\tfrac12\ln\abs{x - 1} - \tfrac12\ln\abs{x + 1}.$

Pour une racine multiple ou un facteur irréductible de degré 2, le programme indique que la forme cherchée doit être fournie par l'énoncé. On identifie ensuite les coefficients par les méthodes ci-dessus.

Applications demandées : calcul de primitives, calcul de dérivées $k$ -ièmes, et par ricochet calcul de sommes télescopiques.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour une identité polynomiale, identifier les coefficients, ou vérifier l'égalité en une infinité de points.
Pour montrer qu'un polynôme est nul, montrer qu'il a plus de racines que son degré ne l'autorise.
Pour une racine multiple, dériver : la multiplicité se lit sur l'annulation des dérivées successives.
Pour factoriser dans $\R[X]$ , factoriser d'abord dans $\C[X]$ puis regrouper les racines conjuguées.
Pour une somme ou un produit de racines, penser aux relations coefficients-racines plutôt qu'à un calcul explicite.
Pour intégrer une fraction rationnelle, faire la division euclidienne, puis la décomposition en éléments simples, puis chercher les primitives de $1/(x - a)$ et de $1/(ax^2 + bx + c)$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer le théorème de la division euclidienne dans $\K[X]$ , existence et unicité.
Démontrer que $a$ est racine de $P$ si et seulement si $X - a$ divise $P$ , puis qu'un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
Justifier l'identification entre polynôme et fonction polynomiale sur $\R$ ou $\C$ .
Démontrer la formule de Taylor polynomiale et en déduire la caractérisation de la multiplicité par les dérivées.
Établir les relations entre somme et produit des racines et les coefficients d'un polynôme scindé.
Démontrer que deux racines complexes conjuguées d'un polynôme réel ont même multiplicité.
Factoriser $X^n - 1$ dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$ , en distinguant $n$ pair et $n$ impair.
Décomposer en éléments simples une fraction à pôles simples et en déduire une primitive.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients coïncident. C'est une définition, à utiliser sans hésiter.
deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q), avec égalité si les degrés diffèrent. deg(PQ) = deg P + deg Q. Exigible avec démonstration, par le coefficient dominant.
Le produit de deux polynômes non nuls est non nul. Les inversibles de K[X] sont les constantes non nulles. Exigible.
Si P est non nul et Q non constant, deg(P ∘ Q) = deg P × deg Q. Exigible.
Division euclidienne. Pour B non nul, il existe un unique couple (Q, R) avec A = BQ + R et deg R < deg B. Exigible avec démonstration.
Le reste de la division de P par X − a est P(a). De plus, a est racine de P si et seulement si X − a divise P. Exigible avec démonstration.
Si a₁, …, a_r sont des racines deux à deux distinctes de P, alors Π(X − a_i) divise P. Exigible avec démonstration.
Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines. Un polynôme qui a une infinité de racines est nul. Exigible avec démonstration.
Un polynôme est déterminé par sa fonction polynomiale sur K. Exigible, conséquence directe du point précédent.
Pour un polynôme scindé de degré n, la somme des racines vaut −a_n−1/a_n et leur produit vaut (−1)ⁿ a₀/a_n. Exigible. Les fonctions symétriques élémentaires générales sont hors programme.
Formule de Leibniz pour (PQ)^k. Exigible avec démonstration.
Formule de Taylor polynomiale, pour P de degré au plus n et a dans K. Exigible avec démonstration.
a est racine de multiplicité exactement m (m ≥ 1) si et seulement si P(a) = … = P^m−1(a) = 0 et P^m(a) ≠ 0. Exigible avec démonstration.
Théorème de d'Alembert-Gauss. Admis, démonstration hors programme.
Irréductibles de C[X] et décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]. Existence exigible à partir de d'Alembert-Gauss.
Dans C[X], A divise B si et seulement si chaque racine de A est racine de B avec une multiplicité au moins égale. Exigible.
Factorisation de Xⁿ − 1 dans C[X]. Exigible.
Si P est réel, z et z̄ sont racines de même multiplicité. Exigible avec démonstration.
Irréductibles de R[X] et décomposition dans R[X]. Exigible.
Décomposition en éléments simples à pôles simples. Admise, démonstration hors programme. Pour un pôle multiple ou un facteur de degré 2 irréductible, l'énoncé fournit la forme cherchée.
Hors programme dans ce chapitre : le PGCD de polynômes, le théorème de Bézout et le lemme de Gauss dans K[X]. À signaler si un exercice les suppose.

Clés de démonstration

Division euclidienne. Pour l'existence, on fait une récurrence forte sur le degré de A, en retranchant (a/b)X^n−mB pour tuer le terme dominant. Pour l'unicité, on compare les degrés dans B(Q − Q') = R' − R. L'astuce est qu'un multiple non nul de B a un degré au moins égal à deg B.

Racine et divisibilité. On divise P par X − a. Le reste est de degré strictement inférieur à 1, donc constant, et on l'évalue en a. L'astuce est d'évaluer l'égalité de division au bon point.

Racines distinctes. On procède par récurrence sur r. Si P = (X − a₁)…(X − a_r−1)S, on évalue en a_r. Le produit des (a_r − a_i) est non nul, donc S(a_r) = 0. L'astuce est l'intégrité de K, qui est la raison d'exiger des racines distinctes.

Nombre de racines. Si P non nul a r racines distinctes, un polynôme de degré r divise P, donc r ≤ deg P. L'astuce est de passer de la divisibilité au degré.

Leibniz. On raisonne par récurrence sur k, on dérive la somme au rang k, on réindexe l'une des deux sommes obtenues et on regroupe avec la formule de Pascal. L'astuce est la même que pour le binôme.

Taylor. On écrit P = Σ c_k (X − a)^k, ce qui est possible par la formule du binôme appliquée à X = a + (X − a). On remarque que la dérivée j-ième de (X − a)^k, évaluée en a, vaut k! si j = k et 0 sinon. L'astuce est donc de dériver j fois puis d'évaluer en a, ce qui isole c_j.

Multiplicité par les dérivées. Par Taylor, P = Σ_k<m P^k(a)/k! (X − a)^k + (X − a)^m S, avec S(a) = P^m(a)/m!. La divisibilité par (X − a)^m équivaut donc à l'annulation des m premiers coefficients. L'astuce est l'unicité de l'écriture dans la base des (X − a)^k.

Racines conjuguées. On conjugue P^k(z) = 0. Comme les coefficients de P^k sont réels, on obtient P^k(z̄) = 0. La caractérisation par les dérivées donne alors l'égalité des multiplicités.

Somme et produit des racines. On développe a_n Π(X − x_i). Le coefficient de Xⁿ⁻¹ vaut −a_n Σ x_i et le coefficient constant vaut a_n (−1)ⁿ Π x_i. L'astuce est d'identifier les coefficients.

Exemples et contre-exemples à connaître

(X² + X) + (−X² + 1) = X + 1. Le degré d'une somme peut chuter quand les degrés sont égaux.
X² + 1 est irréductible sur R et scindé sur C. L'irréductibilité dépend du corps de base.
X⁴ + 1 n'a aucune racine réelle mais n'est pas irréductible sur R, car X⁴ + 1 = (X² + √2X + 1)(X² − √2X + 1). « Pas de racine » ne signifie « irréductible » qu'en degré 2 ou 3.
La fonction sinus a une infinité de zéros sans être nulle. Ce n'est donc pas une fonction polynomiale.
Si P(n) = 0 pour tout entier n, alors P = 0. Une infinité de points suffit, et elle n'a pas besoin de remplir un intervalle.
(X − 1)³ vérifie P(1) = P'(1) = P''(1) = 0 et P'''(1) = 6. C'est le modèle de la lecture d'une multiplicité.
Tout polynôme réel de degré impair a une racine réelle, et X² + 1 montre que c'est faux en degré pair.
1/(X(X + 1)) = 1/X − 1/(X + 1). C'est la décomposition qui produit toutes les sommes télescopiques.
P = X² − 3X + 2 et Q = X − 1 : le reste de P par X − 1 vaut P(1) = 0, ce qui donne la factorisation sans poser la division.
La dérivée d'un polynôme constant est nulle, de degré −∞. La règle deg P' = deg P − 1 exige un polynôme non constant.

Techniques du chapitre

Reste par un diviseur scindé à racines simples. Mini-exercice : reste de Xⁿ par (X − 1)(X − 2). On écrit Xⁿ = (X − 1)(X − 2)Q + aX + b. En 1, a + b = 1. En 2, 2a + b = 2ⁿ. Donc a = 2ⁿ − 1 et b = 2 − 2ⁿ.

Imposer une racine multiple. Mini-exercice : trouver a et b tels que (X − 1)² divise X⁴ + aX + b. On pose P = X⁴ + aX + b et on impose P(1) = 1 + a + b = 0 et P'(1) = 4 + a = 0. On obtient a = −4 et b = 3.

Somme et produit des racines. Mini-exercice : x₁ et x₂ sont les racines de X² − 3X + 1. On a s = 3 et p = 1, donc x₁² + x₂² = s² − 2p = 7 et 1/x₁ + 1/x₂ = s/p = 3.

Montrer qu'un polynôme est nul ou constant. Mini-exercice : si P(X + 1) = P(X), alors P est constant. Par récurrence, P(n) = P(0) pour tout entier n. Le polynôme P − P(0) a donc une infinité de racines, il est nul.

Factoriser dans R[X] par regroupement. Mini-exercice : X⁴ + 1 a pour racines e^iπ/4, e^3iπ/4 et leurs conjuguées. On calcule (X − e^iπ/4)(X − e^−iπ/4) = X² − √2X + 1, et de même avec e^3iπ/4, ce qui donne X² + √2X + 1.

Coefficients sans factoriser. Mini-exercice : décomposer 1/(X³ − X). Les pôles sont 0, 1 et −1, et Q' = 3X² − 1. La formule λ = 1/Q'(a) donne −1, 1/2 et 1/2. Donc 1/(X³ − X) = −1/X + (1/2)/(X − 1) + (1/2)/(X + 1).

Dérivée k-ième par éléments simples. Mini-exercice : pour f(x) = 1/(x² − 1), on a f = (1/2)(1/(x − 1) − 1/(x + 1)). Donc f^k(x) = ((−1)^k k!/2)((x − 1)^−k−1 − (x + 1)^−k−1).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Reste par un carré

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour n entier naturel, déterminer le reste de la division de Xⁿ par (X − 1)².

Technique évaluer puis dériver l'égalité de division.

Voir le corrigé

Le reste est de degré au plus 1, on écrit Xⁿ = (X − 1)²Q + aX + b. 2. En évaluant en 1, on obtient 1 = a + b. 3. On dérive : nXⁿ⁻¹ = 2(X − 1)Q + (X − 1)²Q' + a. En évaluant en 1, on obtient n = a. 4. Le reste vaut nX + 1 − n, ce qui convient aussi pour n = 0 et n = 1.

piège : Oublier que Q dépend de X et le traiter comme une constante en dérivant.

Exercice 2. Une racine triple

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour n ≥ 1, montrer que 1 est racine exactement triple de P = X²ⁿ⁺¹ − (2n+1)Xⁿ⁺¹ + (2n+1)Xⁿ − 1.

Technique caractérisation de la multiplicité par les dérivées.

Voir le corrigé

P(1) = 1 − (2n+1) + (2n+1) − 1 = 0. 2. P' = (2n+1)(X²ⁿ − (n+1)Xⁿ + nXⁿ⁻¹), donc P'(1) = (2n+1)(1 − n − 1 + n) = 0. 3. P'' = (2n+1)(2nX²ⁿ⁻¹ − n(n+1)Xⁿ⁻¹ + n(n−1)Xⁿ⁻²). Quand un exposant serait négatif, le coefficient devant est nul. On obtient P''(1) = (2n+1)n(2 − n − 1 + n − 1) = 0. 4. P'''(1) = (2n+1)n(2(2n−1) − (n+1)(n−1) + (n−1)(n−2)) = (2n+1)n(n+1), qui est non nul. 5. La multiplicité vaut exactement 3.

piège : S'arrêter à P''(1) = 0 et conclure « au moins triple » alors qu'on demande « exactement ».

Exercice 3. Xⁿ − 1 dans R[X]

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour n ≥ 2, factoriser Xⁿ − 1 dans R[X].

Technique regrouper les racines conjuguées.

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Les racines sont les ω_k = e^2ikπ/n pour 0 ≤ k ≤ n − 1, toutes simples. 2. Le conjugué de ω_k est ω_n−k. 3. Les racines réelles sont 1, et −1 si n est pair. 4. On a (X − ω_k)(X − ω_n−k) = X² − 2cos(2kπ/n)X + 1. 5. Si n = 2p + 1, alors Xⁿ − 1 = (X − 1) Π_k=1^p (X² − 2cos(2kπ/n)X + 1). 6. Si n = 2p, alors Xⁿ − 1 = (X − 1)(X + 1) Π_k=1^p−1 (X² − 2cos(kπ/p)X + 1).

piège : Faire varier k jusqu'à n − 1 dans le produit, ce qui compte chaque facteur deux fois.

Exercice 4. Divisibilité par les racines

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour quels entiers n ≥ 1 le polynôme X² + X + 1 divise-t-il X²ⁿ + Xⁿ + 1 ?

Technique caractérisation de la divisibilité dans C[X].

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X² + X + 1 a pour racines simples j et j², avec j³ = 1. 2. Il divise P = X²ⁿ + Xⁿ + 1 si et seulement si P(j) = P(j²) = 0. Comme P est réel et que j² est le conjugué de j, il suffit que P(j) = 0. 3. Si n = 3q, alors P(j) = 3. 4. Si n = 3q + 1, alors P(j) = j² + j + 1 = 0. 5. Si n = 3q + 2, alors P(j) = j⁴ + j² + 1 = j + j² + 1 = 0. 6. La divisibilité a lieu si et seulement si n n'est pas multiple de 3.

piège : Oublier de justifier que j² est aussi racine.

Exercice 5. Équation polynomiale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Déterminer les P de R[X] tels que P(X²) = (X² + 1)P(X).

Technique raisonner sur le degré, puis identifier les coefficients.

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P = 0 convient. 2. Sinon, soit d = deg P. En comparant les degrés, 2d = d + 2, donc d = 2. 3. On pose P = aX² + bX + c. Le membre de gauche vaut aX⁴ + bX² + c. Le membre de droite vaut aX⁴ + bX³ + (a + c)X² + bX + c. 4. En identifiant, b = 0 puis a + c = b = 0. 5. Réciproquement, a(X⁴ − 1) = (X² + 1)a(X² − 1). Les solutions sont les a(X² − 1) avec a réel, a = 0 compris.

piège : Écrire la comparaison des degrés sans avoir écarté le polynôme nul.

Exercice 6. Produit de sinus

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Pour n ≥ 2, montrer que Π_k=1ⁿ⁻¹ (1 − ω_k) = n, avec ω_k = e^2ikπ/n. En déduire Π_k=1ⁿ⁻¹ sin(kπ/n).

Technique simplifier une factorisation puis évaluer.

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Xⁿ − 1 = (X − 1)(1 + X + … + Xⁿ⁻¹) = (X − 1) Π_k=1ⁿ⁻¹ (X − ω_k). 2. On simplifie par X − 1, ce qui est licite par intégrité de K[X] : Π_k=1ⁿ⁻¹ (X − ω_k) = 1 + X + … + Xⁿ⁻¹. 3. On évalue en 1 et on obtient n. 4. On a |1 − e^iθ| = 2|sin(θ/2)|, et sin(kπ/n) > 0 pour 1 ≤ k ≤ n − 1. 5. En passant au module, 2ⁿ⁻¹ Π sin(kπ/n) = n, d'où Π sin(kπ/n) = n/2ⁿ⁻¹.

piège : Évaluer en 1 avant la simplification, ce qui donne 0 = 0.

Exercice 7. Quand P' divise P

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit P dans C[X] de degré n ≥ 1 tel que P' divise P. Montrer que P = a(X − b)ⁿ.

Technique comparer les multiplicités des deux membres.

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On écrit P = P'Q. Comme deg Q = 1, en comparant les coefficients dominants on obtient nP = (X − b)P' pour un certain b. 2. Soit α une racine de P, de multiplicité m ≥ 1, qui existe par d'Alembert-Gauss. Par la caractérisation par les dérivées, α est racine de P' de multiplicité exactement m − 1. 3. Si α ≠ b, la multiplicité de α dans (X − b)P' vaut m − 1, alors qu'elle vaut m dans nP. C'est absurde, donc α = b. 4. P est scindé sur C et b est sa seule racine, donc P = a(X − b)ⁿ.

piège : Affirmer que la multiplicité dans P' vaut m − 1 sans la justifier par les dérivées successives.

Exercice 8. Somme télescopique

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Calculer S_n = Σ_k=1ⁿ 1/(k(k+1)(k+2)) et sa limite.

Technique éléments simples puis télescopage.

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En multipliant par le facteur puis en évaluant au pôle, on obtient 1/(X(X+1)(X+2)) = (1/2)/X − 1/(X+1) + (1/2)/(X+2). 2. On regroupe : le terme général vaut (1/2)(1/k − 1/(k+1)) − (1/2)(1/(k+1) − 1/(k+2)). 3. On télescope : S_n = (1/2)(1 − 1/(n+1)) − (1/2)(1/2 − 1/(n+2)). 4. Donc S_n = 1/4 − 1/(2(n+1)) + 1/(2(n+2)). On vérifie que S₁ = 1/6. 5. S_n tend vers 1/4.

piège : Télescoper sans regrouper, et perdre des termes aux bords.

Exercice 9. Primitive avec un facteur de degré 2

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On admet l'existence de réels a, b, c tels que 1/(x(x² + 1)) = a/x + (bx + c)/(x² + 1). Les déterminer et trouver une primitive sur ]0, +∞[.

Technique évaluation, limite en l'infini, parité.

Voir le corrigé

On multiplie par x et on évalue en 0 : a = 1. 2. On multiplie par x et on fait tendre x vers +∞ : 0 = a + b, donc b = −1. 3. La fonction est impaire. En comparant F(−x) et −F(x), on obtient c = −c, donc c = 0. 4. Une primitive est ln x − (1/2)ln(x² + 1).

piège : Chercher la forme soi-même, alors que le programme veut qu'elle soit fournie.

Exercice 10. Zéros d'une dérivée n-ième

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Soit f(x) = 1/(1 + x²). Montrer que fⁿ a exactement n zéros réels.

Technique éléments simples sur C et écriture trigonométrique.

Voir le corrigé

Pour x réel, 1/(x + i) est le conjugué de 1/(x − i), donc f(x) = Im(1/(x − i)). 2. En dérivant, fⁿ(x) = Im((−1)ⁿ n!/(x − i)ⁿ⁺¹). 3. On pose x = cotan θ avec θ dans ]0, π[, ce qui décrit R bijectivement. Alors x − i = e^−iθ/sin θ. 4. On obtient fⁿ(x) = (−1)ⁿ n! sinⁿ⁺¹θ sin((n+1)θ). 5. Cette expression s'annule si et seulement si θ = kπ/(n+1) avec 1 ≤ k ≤ n. Cela donne n valeurs distinctes de θ, donc n zéros réels distincts.

piège : Dériver Im(g) sans justifier que la dérivée de Im(g) est Im(g'), ce qui vaut pour une fonction à valeurs complexes.

Exercice 11. Polynômes positifs

Approfondissement · D'après un oral X-ENS

Soit P dans R[X] tel que P(x) ≥ 0 pour tout réel x. Montrer qu'il existe A et B dans R[X] tels que P = A² + B².

Technique factorisation sur C, puis écriture sous la forme Q Q̄.

Voir le corrigé

Si P = 0, on prend A = B = 0. Sinon, soit r une racine réelle de multiplicité m, et écrivons P = (X − r)^m S avec S(r) ≠ 0. Par continuité, S garde un signe constant près de r. Si m était impair, P changerait de signe en r, donc m est pair. 2. Le coefficient dominant c est strictement positif, sinon P tendrait vers −∞. 3. On écrit P = c Π(X − r_i)^2m_i Π((X − z_j)(X − z̄_j))^n_j. 4. On pose Q = √c Π(X − r_i)^m_i Π(X − z_j)^n_j, et on note Q̄ le polynôme de coefficients conjugués. Alors P = Q Q̄. 5. On écrit Q = A + iB avec A et B réels. Alors Q Q̄ = A² + B².

piège : Oublier le cas d'un P constant positif, ou la positivité du coefficient dominant.

Erreurs fréquentes

Conclure qu'un polynôme sans racine réelle est irréductible sur R, alors que c'est faux dès le degré 4 (voir X⁴ + 1).
Utiliser la formule du produit des racines avec un signe faux. Le produit vaut (−1)ⁿ a₀/a_n et ce signe dépend du degré.
Diviser par un polynôme sans vérifier qu'il est non nul, ou simplifier par X − 1 puis évaluer en 1 sans justification.
Confondre « multiplicité au moins m » et « exactement m » en oubliant de tester la dérivée m-ième.
Écrire deg(P + Q) = max(deg P, deg Q) sans condition, ou appliquer deg P' = deg P − 1 à une constante.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), section « Polynômes » du premier semestre. Elle couvre l'ensemble $\K[X]$ , la divisibilité et la division euclidienne, les racines et leur multiplicité, la dérivation formelle et la formule de Taylor, la factorisation dans $\C[X]$ et $\R[X]$ , et la décomposition en éléments simples. Dans tout le cours, $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ .

Polynômes

Résumé en cinq points

1L'ensemble K[X]

1.1Polynômes et opérations

1.2Degré

1.3Composition

2Divisibilité et division euclidienne

2.1Divisibilité

2.2Division euclidienne

3Fonctions polynomiales et racines

3.1Racines

3.2Nombre de racines

3.3Multiplicité

3.4Polynômes scindés et relations coefficients-racines

4Dérivation formelle

4.1Définition et opérations

4.2Formule de Taylor polynomiale

4.3Multiplicité et dérivées

5Factorisation dans C[X] et R[X]

5.1Théorème de d'Alembert-Gauss

5.2Irréductibles de C[X]

5.3Irréductibles de R[X]

6Décomposition en éléments simples

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Reste par un carré

Exercice 2. Une racine triple

Exercice 3. Xn − 1 dans R[X]

Exercice 4. Divisibilité par les racines

Exercice 5. Équation polynomiale

Exercice 6. Produit de sinus

Exercice 7. Quand P' divise P

Exercice 8. Somme télescopique

Exercice 9. Primitive avec un facteur de degré 2

Exercice 10. Zéros d'une dérivée n-ième

Exercice 11. Polynômes positifs

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 3. Xⁿ − 1 dans R[X]