Le cours

Résumé en cinq points

Trois relations locales : dominé par, négligeable devant, équivalent à. L'équivalence se réécrit $f = g + o(g)$ , forme la plus maniable.
Les équivalents se multiplient, se divisent, s'élèvent à une puissance. Ils ne s'additionnent pas et ne se composent pas.
Un développement limité a des coefficients uniques. Taylor-Young le fournit pour une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ , et il y a une dizaine de développements usuels à savoir par cœur.
On primitive un développement limité en gagnant un ordre, on ne le dérive pas.
Les développements limités donnent les limites, les équivalents, la position par rapport à la tangente et aux asymptotes, et la nature des extremums.

Pourquoi ce chapitre

Le programme recommande de traiter cette section en début de second semestre, pour disposer rapidement d'outils efficaces. C'est le chapitre qui débloque le calcul de limites. Jusqu'ici, on ne levait une indétermination que par factorisation ou par croissances comparées. Avec les développements limités, on la lève par calcul systématique.

L'idée centrale est de remplacer une fonction compliquée, au voisinage d'un point, par un polynôme suivi d'un terme d'erreur contrôlé. On gagne deux choses :

une méthode de calcul ;
un langage pour décrire des comportements, celui des symboles $o$ , $O$ et de l'équivalence.

Le programme donne la priorité à la pratique plutôt qu'à la vérification de propriétés élémentaires, et précise que les calculs relevant de la pure technicité seront traités avec des outils logiciels. Il faut viser la rapidité et la fiabilité sur des calculs de taille raisonnable.

Les fonctions et les suites sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel dominant. On traite d'abord les fonctions, puis on adapte aux suites.

1Relations de comparaison pour les fonctions

Soit $a$ un point de $\R$ ou $a = \pm\infty$ . Les relations suivantes sont locales : elles décrivent le comportement au voisinage de $a$ .

1.1Les trois relations

Définition 1.1Domination

$f(x) = O(g(x))$ au voisinage de $a$ signifie que le quotient $f/g$ est borné au voisinage de $a$ . On dit que $f$ est dominée par $g$ .

Définition 1.2Négligeabilité

$f(x) = o(g(x))$ signifie que le quotient $f/g$ tend vers $0$ en $a$ . On dit que $f$ est négligeable devant $g$ .

Définition 1.3Équivalence

$f(x) \sim g(x)$ signifie que le quotient $f/g$ tend vers $1$ en $a$ . On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes.

Le programme définit ces relations à partir du quotient, sous l'hypothèse que $g$ ne s'annule pas localement, sauf éventuellement en $a$ .

Propriété 1.4Deux formes de l'équivalence

Les écritures $f/g \to 1$ et $f(x) = g(x) + o(g(x))$ disent la même chose. La seconde est la plus utile dans les calculs, car elle s'additionne et se compose avec les autres relations.

Propriété 1.5Liens entre les relations

Si $f = o(g)$ alors $f = O(g)$ .
Si $f \sim g$ alors $f = O(g)$ et $g = O(f)$ .
L'équivalence est une relation réflexive, symétrique et transitive.

1.2Règles de manipulation

Propriété 1.6Ce qui marche pour les équivalents

Produit, quotient, puissance : si $f \sim g$ et $u \sim v$ , alors $fu \sim gv$ et $f/u \sim g/v$ . Et $f^\alpha \sim g^\alpha$ quand cela a un sens.
Passage à la limite : si $f \sim g$ et si $g$ a une limite, alors $f$ a la même limite.
Signe : deux fonctions équivalentes ont le même signe au voisinage de $a$ , sauf éventuellement en $a$ .

AttentionCe qui ne marche pas

On n'additionne pas les équivalents. En $+\infty$ , $x + 1 \sim x$ et $-x \sim -x$ . En additionnant membre à membre on obtiendrait $1 \sim 0$ , ce qui n'a aucun sens : les termes principaux se compensent.
On ne compose pas un équivalent par une fonction quelconque. En $+\infty$ , $x + 1 \sim x$ , mais $\e^{x+1}$ n'est pas équivalent à $\e^x$ , le quotient vaut $\e$ .
On ne prend pas le logarithme d'un équivalent sans précaution.
Un équivalent ne s'ajoute pas à un développement limité sans vérifier les ordres.

En cas de doute, revenir à l'écriture avec un $o$ , qui est toujours manipulable, ou à un développement limité.

Propriété 1.7Équivalent par encadrement (exigible)

Hypothèses

$f \leqslant g \leqslant h$ au voisinage de $a$ ;
$f \sim h$ .

Alors $g \sim f$ .

Démonstration

On divise par $f$ en supposant $f$ positive près de $a$ . On obtient un encadrement de $g/f$ entre $1$ et un quotient tendant vers $1$ .

1.3Croissances comparées avec le symbole o

Propriété 1.8Croissances comparées

Pour $\alpha > 0$ , $\beta$ réel et $\gamma > 0$ , en $+\infty$ : $(\ln x)^\beta = o(x^\alpha), \qquad x^\alpha = o(\e^{\gamma x}).$ En $0$ à droite, $(\ln x)^\beta = o(x^{-\alpha})$ , ce qui se lit aussi : $x^\alpha (\ln x)^\beta$ tend vers $0$ .

MéthodeÉtude locale en un point $a$ non nul

Poser $x = a + h$ .
Étudier la fonction quand $h$ tend vers $0$ .

Tous les développements usuels sont donnés en $0$ : il faut toujours s'y ramener.

2Développements limités

2.1Définition et unicité

Définition 2.1Développement limité

$f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ s'il existe des scalaires $c_0, \dots, c_n$ tels que, au voisinage de $0$ : $f(x) = c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n + o(x^n).$

Propriété 2.2Unicité des coefficients

Si $f$ admet deux développements limités à l'ordre $n$ en $0$ , leurs coefficients coïncident.

Démonstration

On soustrait : on obtient un polynôme égal à un $o(x^n)$ . S'il n'est pas nul, on regarde son terme de plus bas degré $c_k x^k$ . En divisant par $x^k$ , on trouve que $c_k$ tend vers $0$ , donc $c_k = 0$ . On recommence.

Cette unicité autorise à identifier les coefficients.

Propriété 2.3Troncature

Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ , elle en admet un à tout ordre inférieur, obtenu en tronquant.

Propriété 2.4Parité

Le développement limité en $0$ d'une fonction paire ne contient que des puissances paires, celui d'une fonction impaire que des puissances impaires. Cela vient de l'unicité appliquée à $f(-x)$ .

Pour un développement en un point $a$ , on étudie $h \mapsto f(a + h)$ en $0$ .

2.2Lien avec la dérivabilité

Propriété 2.5Dérivabilité et ordre 1 (exigible)

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre $1$ en $a$ . Alors $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + o(h).$

Attention

Cela ne se généralise pas : l'existence d'un développement limité à l'ordre $2$ n'entraîne pas que $f$ soit deux fois dérivable. Le développement limité est une information locale plus faible que la régularité.

Le signe de $f$ au voisinage de $a$ se lit sur le premier terme non nul du développement.

2.3Formule de Taylor-Young

Théorème 2.6Formule de Taylor-Young

Hypothèses

$f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur un intervalle contenant $a$ .

Alors $h \mapsto f(a + h)$ admet en $0$ un développement limité à l'ordre $n$ : $f(a + h) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,h^k + o(h^n).$

Courbe et développement limité d'ordre 3 en 0 : fonction et approximation polynomiale

C'est le théorème d'existence des développements limités. Il est purement local, contrairement aux formules de Taylor avec reste intégral qui viendront plus tard.

2.4Développements usuels en 0

Propriété 2.7Développements à connaître par cœur, à tout ordre

$\begin{aligned} \e^x &= 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \dots + \tfrac{x^n}{n!} + o(x^n),\\ \ln(1+x) &= x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \dots\\ &\quad + (-1)^{n-1}\tfrac{x^n}{n} + o(x^n),\\ \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \dots\\ &\quad + x^n + o(x^n). \end{aligned}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ : signes alternés, puissances impaires.
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ : puissances paires.
$\operatorname{sh} x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$ : mêmes termes que le sinus, sans alternance.
$\operatorname{ch} x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$\frac{1}{1+x}$ s'obtient en changeant $x$ en $-x$ .
$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots$ : le coefficient de $x^j$ est le produit des $\alpha - k$ pour $k$ de $0$ à $j-1$ , divisé par $j!$ .
$\operatorname{Arctan} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots$

Un seul développement partiel est exigible : $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ , et même $o(x^4)$ par imparité.

RemarqueRepère mnémotechnique

Les développements de sinus, cosinus, sh, ch se déduisent de celui de l'exponentielle. Ceux de $\ln(1+x)$ et $\operatorname{Arctan} x$ s'obtiennent en primitivant respectivement $\frac{1}{1+x}$ et $\frac{1}{1+x^2}$ .

2.5Opérations

Propriété 2.8Combinaison linéaire, produit, quotient

Combinaison linéaire : on additionne les développements, à l'ordre le plus petit des deux.
Produit : on multiplie les parties polynomiales et on tronque à l'ordre voulu. Les termes de degré supérieur partent dans le $o$ .
Quotient : on se ramène au développement de $\frac{1}{1-u}$ après avoir factorisé par le terme constant du dénominateur, s'il est non nul. Ou on effectue une division suivant les puissances croissantes.

MéthodeComposée

Le programme demande de savoir le faire sur des exemples simples, mais aucun résultat général n'est exigible. Pour $f \circ g$ avec $g(0) = 0$ :

Substituer le développement de $g$ dans celui de $f$ .
Tronquer à l'ordre voulu.

Propriété 2.9Primitivation (exigible)

Hypothèses

$f$ est dérivable ;
$f'$ admet le développement $c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n + o(x^n)$ .

Alors $f$ admet le développement $f(0) + c_0 x + \tfrac{c_1 x^2}{2} + \dots + \tfrac{c_n x^{n+1}}{n+1} + o(x^{n+1}).$ On gagne un ordre.

Attention

La réciproque est fausse : on ne dérive pas un développement limité.

MéthodePrévoir l'ordre du développement

Factoriser par le terme prépondérant.
Avant de calculer, estimer le degré auquel les simplifications vont se produire.
Sinon, recommencer avec un ordre plus grand.

2.6Applications à l'étude locale

MéthodeLimites et équivalents

Un équivalent de $f$ en $0$ est son premier terme non nul.

Exemple 2.10

$\sin x - x \sim -\dfrac{x^3}{6}$ .

MéthodePosition d'une courbe par rapport à sa tangente

Écrire $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + c\,h^k + o(h^k)$ avec $c \neq 0$ et $k \geqslant 2$ .
Lire le signe de $c\,h^k$ .
Si $k$ est pair, la courbe reste du même côté. Si $k$ est impair, elle traverse : c'est un point d'inflexion.

MéthodeAsymptote en $+\infty$

Écrire $f(x) = ax + b + \frac{c}{x} + o\!\left(\frac{1}{x}\right)$ , souvent en posant $x = 1/t$ et en développant en $0$ .
La droite $y = ax + b$ est asymptote.
Le signe de $c/x$ donne la position de la courbe par rapport à elle.

Propriété 2.11Extremum local

Hypothèses

$a$ est un point intérieur de l'intervalle de définition ;
$f$ est dérivable en $a$ et admet un extremum local en $a$ .

Alors $f'(a) = 0$ (condition nécessaire).

Réciproquement, si $f'(a) = 0$ :

si $f''(a) > 0$ , $f$ admet un minimum local strict en $a$ ;
si $f''(a) < 0$ , $f$ admet un maximum local strict en $a$ ;
si $f''(a) = 0$ , il faut aller à l'ordre suivant.

3Relations de comparaison pour les suites

Définition 3.1Relations pour les suites

On remplace le voisinage de $a$ par les grands indices :

$u_n = O(v_n)$ si le quotient est borné à partir d'un certain rang ;
$u_n = o(v_n)$ si le quotient tend vers $0$ ;
$u_n \sim v_n$ si le quotient tend vers $1$ .

Le programme parle d'une adaptation rapide. Les mêmes règles s'appliquent, et surtout les mêmes interdits : on n'additionne pas les équivalents, on ne compose pas par une exponentielle ou un logarithme.

Propriété 3.2Pont entre suites et fonctions

Si $f(x) \sim g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ , alors $f(n) \sim g(n)$ .

Cela permet d'utiliser les développements limités pour les suites, en posant $h = 1/n$ qui tend vers $0$ .

Exemple 3.3

Un équivalent de $\ln(1 + 1/n)$ est $1/n$ , puisque $\ln(1+h) \sim h$ en $0$ . Plus précisément : $\ln\!\left(1 + \tfrac{1}{n}\right) = \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{2n^2} + o\!\left(\tfrac{1}{n^2}\right).$

Propriété 3.4Comparaisons usuelles pour les suites

Pour $\alpha > 0$ , $\beta$ réel, $q > 1$ : $(\ln n)^\beta = o(n^\alpha), \qquad n^\alpha = o(q^n),$ $q^n = o(n!), \qquad n! = o(n^n).$

4Problèmes d'analyse asymptotique

Le programme demande des exemples de développements asymptotiques dans quatre situations. La notion d'échelle de comparaison est hors programme : on se contente d'écrire des sommes de termes de plus en plus négligeables.

MéthodeFonctions réciproques

On cherche un développement de la réciproque connaissant celui de $f$ .

Poser $y = f(x)$ .
Inverser terme à terme, par ordres croissants.
Injecter à chaque étape le résultat obtenu.

MéthodeÉquations à paramètre

On étudie la solution $x_n$ d'une équation dépendant de $n$ .

Établir l'existence et l'unicité de $x_n$ , souvent par le théorème de la bijection.
Déterminer la limite $\ell$ de $x_n$ , en encadrant ou en passant à la limite dans l'équation.
Affiner : poser $x_n = \ell + \varepsilon_n$ et développer l'équation pour obtenir un équivalent de $\varepsilon_n$ . On peut répéter l'opération.

MéthodeSuites récurrentes

Une fois la convergence acquise vers un point fixe $\ell$ :

Poser $\varepsilon_n = u_n - \ell$ .
Développer $f(\ell + \varepsilon_n)$ à l'ordre utile.

Si $f'(\ell)$ est non nul et de module strictement inférieur à $1$ , alors $\varepsilon_{n+1} \sim f'(\ell)\,\varepsilon_n$ : la convergence est géométrique.
Si $f'(\ell) = 0$ et $f''(\ell) \neq 0$ , alors $\varepsilon_{n+1} \sim \frac{f''(\ell)}{2}\,\varepsilon_n^2$ : la convergence est quadratique. C'est le comportement de la méthode de Newton.

MéthodeSuites d'intégrales

On étudie une suite du type intégrale de $f_n$ sur un segment. Selon le cas :

encadrer l'intégrande ;
découper le domaine en une zone où l'intégrande est négligeable et une zone principale ;
intégrer par parties pour gagner un ordre.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Toujours se ramener en $0$ , par $x = a + h$ ou par $x = 1/t$ pour l'infini.
Avant de calculer, factoriser par le terme prépondérant pour anticiper l'ordre nécessaire.
En cas de simplification inattendue qui fait tout disparaître, recommencer à un ordre supérieur.
Ne jamais additionner ni composer des équivalents. Repasser aux développements limités avec des $o$ .
Pour une limite indéterminée, écrire un développement limité du numérateur et du dénominateur au même ordre.
Pour une asymptote oblique, développer $f(x) - ax - b$ : l'ordre suivant donne la position.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les définitions de $O$ , $o$ et de l'équivalence, et les liens entre elles.
Donner deux contre-exemples, l'un pour la somme d'équivalents, l'autre pour la composition par l'exponentielle.
Démontrer l'unicité des coefficients d'un développement limité.
Énoncer la formule de Taylor-Young et écrire les développements usuels à l'ordre $4$ sans hésiter.
Retrouver le développement de $\ln(1+x)$ et celui de $\operatorname{Arctan} x$ par primitivation.
Calculer une limite indéterminée du type $\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$ par développements limités.
Déterminer une asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à elle.
Mener un développement asymptotique d'une suite définie par une équation à paramètre : existence, limite, puis équivalent de l'erreur.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

f = o(g) ⇒ f = O(g), et f ∼ g ⇔ f − g = o(g). Exigible avec démonstration, par réécriture du quotient.
Règles sur o et O : o(g) + o(g) = o(g), O(g) × o(h) = o(gh), et si f = o(g) et g = O(h), alors f = o(h). Exigibles, preuve par les quotients.
Les équivalents se multiplient, se divisent et s'élèvent à une puissance fixe. Exigible. L'addition et la composition à gauche sont interdites.
Substitution. Si f ∼ g en b et si φ(t) tend vers b quand t tend vers c, alors f(φ(t)) ∼ g(φ(t)) en c. Exigible, par composition des limites. C'est la seule composition permise.
Conservation du signe et de la limite par équivalence. Exigible avec démonstration.
Équivalent par encadrement : pour f, g, h réelles, si f ≤ g ≤ h et f ∼ h, alors g ∼ f. Exigible avec démonstration.
Croissances comparées écrites avec o, en +∞ et en 0. Exigibles.
Unicité des coefficients d'un développement limité (DL) et troncature. Exigible avec démonstration.
DL en 0 d'une fonction paire ou impaire. Exigible avec démonstration.
f est dérivable en a si et seulement si elle admet un DL à l'ordre 1 en a. Exigible avec démonstration.
Combinaison linéaire, produit et quotient de DL. Exigibles comme techniques de calcul.
Composée : aucun énoncé général exigible. On calcule sur des exemples simples, avec une fonction intérieure qui tend vers 0.
Primitivation d'un DL, pour f dérivable sur un intervalle contenant 0. Exigible avec démonstration.
Formule de Taylor-Young pour f de classe Cⁿ. Énoncé exigible, preuve par récurrence et primitivation à savoir expliquer.
DL à tout ordre en 0 de exp, sin, cos, sh, ch, ln(1 + x), 1/(1 − x), (1 + x)^α et Arctan, et DL de tan à l'ordre 3. Par cœur.
Extremum en un point intérieur a, pour f de classe C². Condition nécessaire d'un minimum : f'(a) = 0 et f''(a) ≥ 0. Condition suffisante : f'(a) = 0 et f''(a) > 0 donnent un minimum local strict. Exigible avec démonstration.
Adaptation rapide aux suites de tout ce qui précède. Exigible.
Hors programme en PCSI : échelle de comparaison, formule de Stirling, sommation des relations de comparaison pour les séries, lemme de Cesàro comme résultat de cours (il se redémontre en exercice).

Clés de démonstration

Encadrement. On soustrait f : 0 ≤ g − f ≤ h − f. Comme h − f = o(f), l'inégalité |g − f| ≤ |h − f| donne g − f = o(f). Astuce : soustraire au lieu de diviser évite toute hypothèse de signe sur f.

Signe et limite. On écrit f = g(1 + ε) avec ε de limite nulle. Près de a, 1 + ε > 1/2, donc f et g ont même signe. La limite s'obtient par produit. Astuce : la forme f = g + o(g) ramène tout à des limites.

Unicité des coefficients. Soit k le plus petit indice où deux DL diffèrent. On soustrait, on divise par x^k, on fait tendre x vers 0 : c_k − c'_k = 0, contradiction. Astuce : raisonner sur le premier indice de désaccord.

Parité. Si f est paire, changer x en −x dans son DL donne un DL de f(−x) = f(x). Par unicité, c_k = (−1)^k c_k, donc les coefficients impairs sont nuls. Astuce : deux écritures d'une même fonction.

Dérivabilité et DL à l'ordre 1. Sens direct : le taux d'accroissement tend vers f'(a), donc f(a + h) − f(a) − f'(a)h = o(h). Réciproque : si f(a + h) = c₀ + c₁h + o(h), la limite donne c₀ = f(a), puis le taux vaut c₁ + o(1). Astuce : diviser par h fait passer de o(h) à o(1).

Primitivation. Cas réel. On pose φ(x) = f(x) − f(0) − Σ c_k x^k+1/(k + 1), donc φ(0) = 0 et φ'(x) = o(xⁿ). Pour ε > 0, il existe δ > 0 tel que |φ'(t)| ≤ ε|t|ⁿ pour |t| ≤ δ. L'inégalité des accroissements finis donne |φ(x)| ≤ ε|x|ⁿ⁺¹ pour |x| ≤ δ. Astuce : les accroissements finis transfèrent l'information de la dérivée à la fonction.

Taylor-Young. Récurrence sur n. Pour n = 0, c'est la continuité en a. Au rang n, on applique l'hypothèse à f', de classe Cⁿ⁻¹, puis on primitive, et f^(k+1)(a)/k! devient f^(k+1)(a)/(k + 1)!. Astuce : primitiver fait gagner l'ordre qui manque.

Extremum. Si f'(a) = 0, Taylor-Young donne f(a + h) − f(a) = h²(f''(a)/2 + o(1)). Si f''(a) > 0, la parenthèse est strictement positive près de 0, d'où un minimum strict. Si a est un minimum local, la parenthèse est positive ou nulle pour h ≠ 0 petit, et à la limite f''(a) ≥ 0. Astuce : factoriser par h² pour lire un signe.

Exemples et contre-exemples à connaître

En 0, 1 + x ∼ 1, mais ln(1 + x) n'est pas équivalent à ln 1 = 0. On ne compose pas par ln, et rien n'est équivalent à la fonction nulle.
Bonne version du passage au logarithme : si f ∼ g avec f, g > 0 et si g tend vers l dans [0, +∞] avec l ≠ 1, alors ln f ∼ ln g. En effet ln f = ln g + ln(f/g), où ln(f/g) tend vers 0 et pas ln g.
1 + 1/n ∼ 1, mais (1 + 1/n)ⁿ tend vers e. On n'élève pas un équivalent à une puissance qui dépend de n.
x ↦ x³ sin(1/x), prolongée par 0, a le DL 0 + o(x²) en 0, mais f'(x)/x = 3x sin(1/x) − cos(1/x) n'a pas de limite, donc f n'est pas deux fois dérivable en 0.
x ↦ e^−1/x², prolongée par 0, a le DL 0 + o(xⁿ) à tout ordre sans être nulle. Le DL ne caractérise pas la fonction.
|x| admet un DL à l'ordre 0 en 0 mais pas à l'ordre 1, faute de dérivabilité.
En 0, x sin(1/x) = O(x), mais n'est équivalente à cx pour aucun c. Dominer n'est pas être équivalent.
En 0, tan x ∼ sin x ∼ x, mais tan x − sin x ∼ x³/2. Une différence se calcule par DL.
Substitutions permises : sin(1/n) ∼ 1/n, et ln(cos x) ∼ cos x − 1 ∼ −x²/2 en 0. On compose à droite, jamais à gauche.

Techniques du chapitre

Factoriser et prévoir l'ordre. Limite en 0 de 1/sin²x − 1/x². On écrit (x² − sin²x)/(x² sin²x). Le dénominateur est équivalent à x⁴, il faut donc le numérateur à l'ordre 4. Comme sin²x = x² − x⁴/3 + o(x⁴), la limite est 1/3.

Se ramener en 0. Équivalent de x^x − x en 1. Avec x = 1 + h, (1 + h)ln(1 + h) = h + h²/2 + o(h²), donc x^x = 1 + h + h² + o(h²). D'où x^x − x ∼ (x − 1)².

Passer par l'exponentielle pour u^v. Limite en 0 de (cos x)^1/x² = exp(ln(cos x)/x²). Or ln(cos x) = −x²/2 + o(x²). La limite vaut e^−1/2.

Quotient par 1/(1 − u). DL de 1/cos x à l'ordre 4. On pose u = x²/2 − x⁴/24 + o(x⁴), qui tend vers 0, et u² = x⁴/4 + o(x⁴). Alors 1/(1 − u) = 1 + u + u² + o(u²) = 1 + x²/2 + 5x⁴/24 + o(x⁴).

Composée. DL de e^{sin x} à l'ordre 3. Avec u = x − x³/6 + o(x³), u² = x² + o(x³) et u³ = x³ + o(x³), d'où e^u = 1 + x + x²/2 + o(x³). Si la fonction intérieure ne tend pas vers 0, on factorise : e^{cos x} = e × e^{cos x − 1}.

Primitiver. DL de Arcsin à l'ordre 5. On a Arcsin'(x) = (1 − x²)^−1/2 = 1 + x²/2 + 3x⁴/8 + o(x⁴). Comme Arcsin 0 = 0, Arcsin x = x + x³/6 + 3x⁵/40 + o(x⁵).

Suites, poser h = 1/n. On a n ln(1 + 1/n) = 1 − 1/(2n) + o(1/n), donc (1 + 1/n)ⁿ = e × exp(−1/(2n) + o(1/n)) = e − e/(2n) + o(1/n).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Deux limites

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Limites en 0 de (x − sin x)/(x − tan x) et de ((1 + x)^1/x − e)/x.

Technique DL du numérateur et du dénominateur au même ordre.

Voir le corrigé

x − sin x = x³/6 + o(x³) et x − tan x = −x³/3 + o(x³). 2. Le quotient tend vers −1/2. 3. (1/x)ln(1 + x) = 1 − x/2 + o(x). 4. Donc (1 + x)^1/x = e × e^{−x/2 + o(x)} = e − ex/2 + o(x). 5. La limite vaut −e/2.

piège : Remplacer sin x et tan x par x, ce qui donne 0/0.

Exercice 2. DL de tan à l'ordre 5

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Retrouver tan x = x + x³/3 + o(x³), puis le DL à l'ordre 5 grâce à tan' = 1 + tan².

Technique quotient, parité, primitivation.

Voir le corrigé

sin x × 1/cos x = (x − x³/6)(1 + x²/2) + o(x³) = x + x³/3 + o(x³). 2. Par imparité, le reste est un o(x⁴). 3. Donc tan'(x) = 1 + x² + 2x⁴/3 + o(x⁴). 4. On primitive, avec tan 0 = 0 : tan x = x + x³/3 + 2x⁵/15 + o(x⁵).

piège : On primitive le DL de tan', on ne dérive pas celui de tan.

Exercice 3. Tangente et point critique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

(a) Position de la courbe de Arctan par rapport à sa tangente en 1. (b) Nature du point critique 0 de g(x) = 2cos x + x².

Technique premier terme non nul après la partie affine.

Voir le corrigé

Arctan'(1 + h) = 1/(2 + 2h + h²) = (1 − h)/2 + o(h). 2. En primitivant, Arctan(1 + h) = π/4 + h/2 − h²/4 + o(h²). 3. Le terme −h²/4 est pair et négatif : la courbe est sous sa tangente. 4. g'(0) = 0 et g''(0) = 0, l'ordre 2 ne conclut pas. 5. g(x) = 2 + x⁴/12 + o(x⁴), donc 0 est un minimum local strict.

piège : Conclure de g''(0) = 0 qu'il n'y a pas d'extremum.

Exercice 4. Asymptote oblique des deux côtés

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Étudier f(x) = (x + 1)e^1/x en +∞ et en −∞.

Technique poser t = 1/x.

Voir le corrigé

f = (1/t + 1)(1 + t + t²/2 + o(t²)) = 1/t + 2 + 3t/2 + o(t). 2. Donc f(x) = x + 2 + 3/(2x) + o(1/x), valable pour t tendant vers 0 d'un côté comme de l'autre. 3. La droite y = x + 2 est asymptote en ±∞, la courbe étant au-dessus en +∞ et en dessous en −∞.

piège : S'arrêter au terme constant, alors que la position se lit sur le suivant.

Exercice 5. Équivalents de suites

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Équivalents de √(n + 1) − √n, de n^1/n − 1 et de sin(π√(n² + 1)).

Technique quantité conjuguée, substitution, réduction modulo π.

Voir le corrigé

√(n + 1) − √n = 1/(√(n + 1) + √n) ∼ 1/(2√n). 2. n^1/n − 1 = e^{ln n/n} − 1 ∼ ln n/n, car ln n/n tend vers 0. 3. √(n² + 1) = n + 1/(2n) + O(1/n³). 4. Donc sin(π√(n² + 1)) = (−1)ⁿ sin(π/(2n) + O(1/n³)) ∼ (−1)ⁿ π/(2n).

piège : Écrire π√(n² + 1) ∼ πn puis composer par sin, ce qui donnerait 0.

Exercice 6. Les solutions de tan x = x

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Pour n ≥ 1, montrer que tan x = x a une unique solution x_n dans ]nπ − π/2, nπ + π/2[, puis que x_n = nπ + π/2 − 1/(nπ) + o(1/n).

Technique bijection, puis écriture exacte de l'écart.

Voir le corrigé

φ(x) = tan x − x a pour dérivée tan²x, qui ne s'annule qu'en nπ, donc φ est strictement croissante, de limites −∞ et +∞ aux bornes. 2. tan x_n = x_n > 0, donc x_n est dans ]nπ, nπ + π/2[ et x_n ∼ nπ. 3. On pose ε_n = nπ + π/2 − x_n, dans ]0, π/2[. Alors tan x_n = 1/tan ε_n, donc ε_n = Arctan(1/x_n) exactement. 4. Comme 1/x_n tend vers 0, ε_n ∼ 1/x_n ∼ 1/(nπ).

piège : Développer tan au voisinage de π/2, où elle n'est pas définie.

Exercice 7. Réciproque de x ↦ xe^x

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Montrer que f(x) = xe^x réalise une bijection de ]−1, +∞[ sur ]−1/e, +∞[, puis donner le DL à l'ordre 3 en 0 de sa réciproque g.

Technique justifier l'existence du DL, puis identifier.

Voir le corrigé

f'(x) = (1 + x)e^x > 0, et les limites aux bornes sont −1/e et +∞. 2. Comme f' ne s'annule pas, g est de classe C^∞ (dérivation de la réciproque, de proche en proche), et Taylor-Young donne g(y) = ay + by² + cy³ + o(y³). 3. On écrit f(g(y)) = y avec f(x) = x + x² + x³/2 + o(x³). 4. Identification : a = 1, b + a² = 0, c + 2ab + a³/2 = 0. 5. g(y) = y − y² + 3y³/2 + o(y³).

piège : Identifier sans avoir établi l'existence du DL de g.

Exercice 8. La suite u_n+1 = sin u_n

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit u₀ dans ]0, π/2] et u_n+1 = sin u_n. Montrer que u_n tend vers 0, puis que u_n ∼ √(3/n).

Technique trouver une puissance de u_n dont les accroissements ont une limite, puis Cesàro.

Voir le corrigé

]0, π/2] est stable par sin, et sin x < x pour x > 0 : la suite décroît, est minorée par 0, et sa limite l vérifie sin l = l, donc l = 0. 2. u_n+1 = u_n(1 − u_n²/6 + o(u_n²)). 3. Donc 1/u_n+1² = (1/u_n²)(1 + u_n²/3 + o(u_n²)), et a_n = 1/u_n+1² − 1/u_n² tend vers 1/3. 4. Cesàro, redémontré : soit ε > 0 et N tel que |a_k − 1/3| ≤ ε pour k ≥ N. L'écart entre (1/n)Σ_k<n a_k et 1/3 est au plus (1/n)Σ_k<N |a_k − 1/3| + ε, donc inférieur à 2ε pour n grand. 5. Par télescopage, 1/u_n² − 1/u₀² = Σ_k<n a_k, donc 1/u_n² ∼ n/3, et u_n ∼ √(3/n) car u_n > 0.

piège : Étudier u_n+1 − u_n ∼ −u_n³/6, qui ne mène à rien.

Exercice 9. Une suite d'intégrales

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Soit I_n = ∫₀¹ xⁿ/(1 + x) dx. Montrer que I_n ∼ 1/(2n), puis que I_n = 1/(2n) − 1/(4n²) + O(1/n³).

Technique encadrement, puis intégrations par parties.

Voir le corrigé

I_n + I_n+1 = ∫₀¹ xⁿ dx = 1/(n + 1), et (I_n) décroît. 2. Donc 2I_n+1 ≤ 1/(n + 1) ≤ 2I_n, d'où 1/(2(n + 1)) ≤ I_n ≤ 1/(2n) et I_n ∼ 1/(2n). 3. Par parties, I_n = 1/(2(n + 1)) + J_n/(n + 1), avec J_n = ∫₀¹ xⁿ⁺¹/(1 + x)² dx. 4. Une seconde intégration par parties donne J_n = 1/(4(n + 2)) + K_n, avec 0 ≤ K_n ≤ 2/((n + 2)(n + 3)), donc J_n = 1/(4n) + O(1/n²). 5. Avec 1/(2(n + 1)) = 1/(2n) − 1/(2n²) + O(1/n³), on obtient I_n = 1/(2n) − 1/(4n²) + O(1/n³). 6. Contrôle : la relation du point 1 est vérifiée jusqu'à l'ordre 2.

piège : Le signe, car la dérivée de 1/(1 + x) est −1/(1 + x)².

Exercice 10. Racine de xⁿ + x − 1

Approfondissement · Type oral Centrale

Montrer que xⁿ + x − 1 = 0 a une unique racine x_n dans ]0, 1[, que x_n tend vers 1, et que 1 − x_n ∼ ln n/n.

Technique monotonie de la suite des racines, puis logarithme d'équivalents.

Voir le corrigé

f_n(x) = xⁿ + x − 1 est strictement croissante sur [0, 1], avec f_n(0) = −1 et f_n(1) = 1. 2. f_n+1(x_n) = x_nⁿ⁺¹ − x_nⁿ < 0, donc x_n+1 > x_n, et la suite converge vers l ≤ 1. 3. Si l < 1, alors 1 − x_n = x_nⁿ ≤ lⁿ tend vers 0, contradiction. Donc l = 1. 4. Avec ε_n = 1 − x_n, l'équation s'écrit n ln(1 − ε_n) = ln ε_n, d'où nε_n ∼ ln(1/ε_n), qui tend vers +∞. 5. Par l'exemple 2 de la section 3, ln n + ln ε_n ∼ ln ln(1/ε_n) = o(ln(1/ε_n)). 6. Donc ln(1/ε_n) ∼ ln n, puis nε_n ∼ ln n, soit ε_n ∼ ln n/n.

piège : Prendre le logarithme d'un équivalent sans vérifier que la limite diffère de 1.

Erreurs fréquentes

Additionner des équivalents, composer un équivalent à gauche par exp ou ln, ou écrire f ∼ 0. On repasse à l'écriture avec des o.
Choisir un ordre trop bas, ou oublier qu'une division par x^k fait perdre k ordres. Pour (sin x − x)/x³, un DL de sin à l'ordre 2 donne o(x²)/x³, qui n'apprend rien.
Substituer dans un DL en 0 une fonction intérieure qui ne tend pas vers 0, comme cos x dans e^u. On écrit d'abord e^{cos x} = e × e^{cos x − 1}.
Dériver un DL, ou déduire d'un DL à l'ordre 2 que la fonction est deux fois dérivable. On primitive un DL, on ne le dérive pas.
Élever un équivalent à une puissance qui dépend de n, ou identifier les coefficients d'un développement dont l'existence n'a pas été justifiée.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), section « Analyse asymptotique » du deuxième semestre. Elle couvre les relations de comparaison pour les fonctions, les développements limités, l'adaptation aux suites et les problèmes de développement asymptotique.

Analyse asymptotique

Résumé en cinq points

1Relations de comparaison pour les fonctions

1.1Les trois relations

1.2Règles de manipulation

1.3Croissances comparées avec le symbole o

2Développements limités

2.1Définition et unicité

2.2Lien avec la dérivabilité

2.3Formule de Taylor-Young

2.4Développements usuels en 0

2.5Opérations

2.6Applications à l'étude locale

3Relations de comparaison pour les suites

4Problèmes d'analyse asymptotique

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Deux limites

Exercice 2. DL de tan à l'ordre 5

Exercice 3. Tangente et point critique

Exercice 4. Asymptote oblique des deux côtés

Exercice 5. Équivalents de suites

Exercice 6. Les solutions de tan x = x

Exercice 7. Réciproque de x ↦ xex

Exercice 8. La suite un+1 = sin un

Exercice 9. Une suite d'intégrales

Exercice 10. Racine de xⁿ + x − 1

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 7. Réciproque de x ↦ xe^x

Exercice 8. La suite u_n+1 = sin u_n