Ton programme de MP2I : ce chapitre est traité par Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes (PCSI).

Au programme de MP2I en plus, traité dans un complément à venir :

Fonction tangente hyperbolique th

Le cours

Résumé en cinq points

Parité et périodicité réduisent le domaine d'étude : c'est le premier réflexe avant toute dérivation.
Les règles de dérivation d'un produit, d'un quotient et d'une composée doivent être automatiques. La caractérisation de la monotonie par le signe de $f'$ n'est valable que sur un intervalle.
Le corpus usuel s'étend aux puissances, aux réciproques circulaires et aux hyperboliques. Les croissances comparées lèvent l'essentiel des indéterminations.
Arcsin, Arccos, Arctan ne se simplifient qu'après avoir localisé l'argument dans l'intervalle de référence.
Pour une fonction à valeurs complexes, on dérive partie réelle et partie imaginaire. La dérivée de $\exp(\varphi)$ reste $\varphi'\exp(\varphi)$ .

Pourquoi ce chapitre

Le programme annonce le point de vue : il est pratique. On prend appui sur les acquis du lycée pour mettre en œuvre les techniques de base. La mise en place rigoureuse, définition de la limite, théorème des accroissements finis, vient plus tard dans l'année. Ici on calcule.

Les objectifs sont les suivants :

introduire une fonction pour établir une inégalité ou résoudre un problème d'optimisation ;
étendre le corpus des fonctions classiques ;
savoir dériver vite et juste.

La physique peut ainsi démarrer sans attendre. À ce stade, plusieurs résultats sont explicitement admis, notamment la caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée et la formule de la dérivée d'une réciproque.

1Généralités sur les fonctions

1.1Domaine et graphe

Définition 1.1Ensemble de définition et graphe

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des réels où l'expression a un sens. Le graphe d'une fonction $f$ à valeurs réelles est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$ .

Le domaine se détermine avant toute étude, en surveillant les dénominateurs, les racines carrées et les logarithmes.

Propriété 1.2Transformations simples du graphe

Capacité explicitement demandée :

$x \mapsto f(x) + c$ translate le graphe verticalement de $c$ ;
$x \mapsto f(x + a)$ translate horizontalement de $-a$ , donc vers la gauche si $a > 0$ ;
$x \mapsto f(ax)$ avec $a > 0$ contracte horizontalement d'un facteur $a$ ;
$x \mapsto -f(x)$ est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, $x \mapsto f(-x)$ celle par rapport à l'axe des ordonnées.

1.2Parité, imparité, périodicité

Définition 1.3Parité, imparité

$f$ est paire si son domaine est symétrique par rapport à $0$ et si $f(-x) = f(x)$ . Le graphe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ ; le graphe est symétrique par rapport à l'origine.

Définition 1.4Périodicité

$f$ est $T$ -périodique si son domaine est stable par translation de $T$ et si $f(x + T) = f(x)$ .

Usage : la réduction du domaine d'étude.

Exemple 1.5Réduction du domaine

Pour une fonction paire et $2\pi$ -périodique, on étudie sur $[0, \pi]$ et on complète par symétrie puis par translations.

1.3Opérations et monotonie

Somme, produit, quotient et composée se définissent point par point, sur l'intersection des domaines, avec la condition de non-annulation du dénominateur pour le quotient, et la condition d'emboîtement des ensembles pour la composée.

Définition 1.6Monotonie

$f$ est croissante sur $I$ si $x \leqslant y$ entraîne $f(x) \leqslant f(y)$ , strictement croissante si $x < y$ entraîne $f(x) < f(y)$ . La décroissance se définit de même.

Propriété 1.7Règles de composition

La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante.
La composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Attention

La somme de deux fonctions monotones de sens contraires n'a pas de monotonie prévisible, et le produit non plus, sauf hypothèses de signe.

1.4Fonctions bornées

Définition 1.8Fonctions majorées, minorées, bornées

$f$ est majorée s'il existe $M$ avec $f(x) \leqslant M$ pour tout $x$ du domaine, minorée de façon analogue, bornée si les deux.

Propriété 1.9Caractérisation

$f$ est bornée si et seulement si $\abs{f}$ est majorée, c'est-à-dire s'il existe $M \geqslant 0$ avec $\abs{f(x)} \leqslant M$ partout.

2Dérivation

2.1Définition et tangente

Définition 2.1Nombre dérivé

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $a$ . Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ . On note aussi $\dfrac{\dd f(x)}{\dd x}$ .

Propriété 2.2Tangente

La tangente au graphe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a).$ Le nombre dérivé est la pente de cette tangente.

Interprétation cinématique : si $f$ donne la position, $f'(a)$ est la vitesse instantanée.

2.2Règles de calcul

Ces règles sont rappelées à ce stade et non démontrées, le programme le dit.

Propriété 2.3Règles de dérivation

Hypothèses

$f$ et $g$ sont dérivables ;
pour les quotients, $g$ ne s'annule pas.

Alors :

$(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'$ ;
$(fg)' = f'g + fg'$ ;
$(1/g)' = -g'/g^2$ et $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ ;
$(g \circ f)' = f' \times g' \circ f$ .

Exemple 2.4Dérivées de composées

La dérivée de $x \mapsto \exp(u(x))$ est $u'(x)\exp(u(x))$ .
Celle de $x \mapsto \ln(u(x))$ est $u'/u$ là où $u > 0$ .
Celle de $x \mapsto u(x)^n$ est $n u' u^{n-1}$ .

La dérivée d'une composée est la règle à rendre automatique.

Le programme demande aussi des exemples simples de calculs de dérivées partielles : dériver une expression à deux variables par rapport à l'une en traitant l'autre comme une constante.

Exemple 2.5Dérivée partielle

Pour $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ , la dérivée partielle par rapport à $x$ vaut $2xy + y\cos(xy)$ .

2.3Monotonie et étude de fonction

Propriété 2.6Monotonie et signe de la dérivée (admis)

Résultats admis à ce stade.

Hypothèses

$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ .

Alors :

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'$ est nulle sur $I$ ;
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f' \geqslant 0$ sur $I$ ;
si $f' > 0$ sur $I$ sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .

Attention

L'hypothèse « intervalle » est indispensable. Sur $\R$ privé de $0$ , la fonction $x \mapsto 1/x$ a une dérivée strictement négative mais n'est pas décroissante sur son domaine, puisque $-1 < 1$ et $f(-1) < f(1)$ .

MéthodePlan d'étude pratique

Déterminer le domaine.
Réduire par parité ou périodicité.
Calculer la dérivée et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations avec les limites aux bornes.
Relever les valeurs remarquables.
Tracer.

Applications demandées : recherche d'extremums et démonstration d'inégalités, en étudiant la différence des deux membres.

Exemple 2.7Inégalité $\e^x \geqslant 1 + x$ sur $\R$

On pose $g(x) = \e^x - 1 - x$ , de dérivée $\e^x - 1$ , négative avant $0$ et positive après. Donc $g$ atteint son minimum en $0$ , où elle vaut $0$ .

2.4Fonction réciproque

Propriété 2.8Graphe de la réciproque

Si $f$ est une bijection dérivable d'un intervalle sur un intervalle, le graphe de sa réciproque est le symétrique du graphe de $f$ par rapport à la première bissectrice.

Propriété 2.9Dérivée de la réciproque (admis)

Le programme admet à ce stade la formule de la dérivée : en un point $b = f(a)$ où $f'(a)$ est non nul, la dérivée de la réciproque vaut $1/f'(a)$ .

Interprétation géométrique : la symétrie échange les tangentes, donc transforme une pente $p$ non nulle en pente $1/p$ .

2.5Classe C¹ et dérivées d'ordre supérieur

Définition 2.10Classe $C^1$

$f$ est de classe $C^1$ sur $I$ si elle est dérivable sur $I$ et si $f'$ est continue sur $I$ .

On définit par récurrence les dérivées successives : $f''$ est la dérivée de $f'$ , et $f^{(n)}$ celle de $f^{(n-1)}$ .

3Fonctions usuelles

3.1Exponentielle et logarithme

Propriété 3.1Exponentielle

L'exponentielle est définie sur $\R$ , strictement positive, strictement croissante, égale à sa dérivée, et vérifie $\e^{x+y} = \e^x\e^y$ . Ses limites sont $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ .

Propriété 3.2Logarithme népérien

Le logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle, défini sur $\R_+^*$ , strictement croissant, de dérivée $1/x$ , vérifiant $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ . Ses limites sont $-\infty$ en $0$ à droite et $+\infty$ en $+\infty$ .

Définition 3.3Logarithmes décimal et en base 2

Le logarithme décimal est $\ln x / \ln 10$ , le logarithme en base 2 est $\ln x / \ln 2$ .

Propriété 3.4Inégalités exigibles

Pour tout réel $x$ , $\exp(x) \geqslant 1 + x$ .
Pour tout $x > -1$ , $\ln(1 + x) \leqslant x$ .

Il y a égalité en $x = 0$ dans les deux.

Les deux inégalités : exp au-dessus de sa tangente en 0, ln(1 + x) en dessous

La seconde se déduit de la première en l'appliquant à $\ln(1 + x)$ , ou par étude directe de $x - \ln(1 + x)$ .

3.2Fonctions puissances

Définition 3.5Fonction puissance

Pour $\alpha$ réel, $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ est définie sur $\R_+^*$ . Sa dérivée vaut $\alpha x^{\alpha - 1}$ .

On prolonge en $0$ le cas échéant, par $0$ si $\alpha > 0$ . Seules les puissances entières sont en outre définies sur les réels strictement négatifs.

Propriété 3.6Relations sur les puissances

$\begin{aligned} (xy)^\alpha &= x^\alpha y^\alpha,\\ x^{\alpha+\beta} &= x^\alpha x^\beta,\\ (x^\alpha)^\beta &= x^{\alpha\beta}. \end{aligned}$ Elles se démontrent toutes en repassant par exponentielle et logarithme.

Propriété 3.7Monotonie

$x \mapsto x^\alpha$ est strictement croissante sur $\R_+^*$ si $\alpha > 0$ , strictement décroissante si $\alpha < 0$ .

3.3Croissances comparées

Théorème 3.8Croissances comparées

En $+\infty$ , l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur toute puissance du logarithme. Précisément, pour $\alpha > 0$ et $\beta$ quelconque : $\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \to 0.$ Pour $\gamma > 0$ : $\frac{x^\alpha}{\e^{\gamma x}} \to 0.$ En $0$ à droite, $x^\alpha (\ln x)^\beta \to 0$ pour $\alpha > 0$ .

À retenir

Toute forme indéterminée mélangeant exponentielle, puissance et logarithme se traite par croissances comparées, après factorisation par le terme dominant.

3.4Fonctions circulaires réciproques

Définition 3.9Arcsin

Le sinus restreint à $[-\pi/2, \pi/2]$ est une bijection strictement croissante sur $[-1, 1]$ . Sa réciproque Arcsin est définie sur $[-1, 1]$ .

Propriété 3.10Propriétés d'Arcsin

Arcsin est impaire, strictement croissante, de dérivée $1/\sqrt{1 - x^2}$ sur $]-1, 1[$ . Les tangentes sont verticales en $-1$ et $1$ .

Définition 3.11Arccos

Le cosinus restreint à $[0, \pi]$ est une bijection strictement décroissante sur $[-1, 1]$ . Sa réciproque Arccos est définie sur $[-1, 1]$ .

Propriété 3.12Propriétés d'Arccos

Arccos est strictement décroissante, de dérivée $-1/\sqrt{1 - x^2}$ sur $]-1, 1[$ .

Propriété 3.13Relation entre Arcsin et Arccos

Pour tout $x \in [-1, 1]$ : $\operatorname{Arcsin} x + \operatorname{Arccos} x = \frac{\pi}{2}.$

On la prouve en dérivant la somme, qui est donc constante, puis en évaluant en $0$ .

Définition 3.14Arctan

La tangente restreinte à $]-\pi/2, \pi/2[$ est une bijection strictement croissante sur $\R$ . Sa réciproque Arctan est définie sur $\R$ .

Propriété 3.15Propriétés d'Arctan

Arctan est impaire, strictement croissante, bornée, de dérivée $1/(1 + x^2)$ . Ses limites sont $-\pi/2$ en $-\infty$ et $\pi/2$ en $+\infty$ , ce qui donne deux asymptotes horizontales.

Attention

$\sin(\operatorname{Arcsin} x) = x$ pour $x \in [-1, 1]$ , mais $\operatorname{Arcsin}(\sin x) = x$ seulement si $x \in [-\pi/2, \pi/2]$ . Par exemple $\operatorname{Arcsin}(\sin(3\pi/4)) = \pi/4$ . De même $\operatorname{Arctan}(\tan x) = x$ seulement sur $]-\pi/2, \pi/2[$ . Il faut toujours ramener l'argument dans l'intervalle de référence.

Propriété 3.16Cosinus d'un Arcsin

Pour $x \in [-1, 1]$ , $\cos(\operatorname{Arcsin} x) = \sqrt{1 - x^2}$ , car le cosinus est positif sur $[-\pi/2, \pi/2]$ .

3.5Fonctions hyperboliques

Définition 3.17Cosinus et sinus hyperboliques

$\operatorname{ch} x = \frac{\e^x + \e^{-x}}{2}, \qquad \operatorname{sh} x = \frac{\e^x - \e^{-x}}{2}.$

Propriété 3.18Propriétés de ch et sh

ch est paire, minorée par $1$ , atteint en $0$ .
sh est impaire, strictement croissante sur $\R$ , de limites $-\infty$ et $+\infty$ .
La dérivée de sh est ch et celle de ch est sh.

Attention

Il n'y a pas de signe moins dans la dérivée de ch, contrairement au cas circulaire.

Propriété 3.19Formule exigible

$\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1.$ Elle se vérifie en développant.

La tangente hyperbolique et les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme.

4Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle

Définition 4.1Dérivée d'une fonction complexe

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\C$ . On écrit $f = u + \ii v$ avec $u$ et $v$ réelles. Par définition, $f$ est dérivable si $u$ et $v$ le sont, et alors $f' = u' + \ii v'$ .

Les règles de calcul s'étendent : combinaison linéaire, produit, quotient. Le programme parle d'une brève extension.

Attention

On perd tout ce qui utilise l'ordre : il n'y a pas de tableau de variations ni de théorème de Rolle pour une fonction à valeurs complexes.

Propriété 4.2Dérivée de $\exp(\varphi)$

Hypothèses

$\varphi$ est dérivable sur $I$ , à valeurs complexes.

Alors $\exp(\varphi)$ est dérivable et sa dérivée vaut $\varphi' \exp(\varphi)$ .

Cas particulier : la dérivée de $x \mapsto \e^{\lambda x}$ pour $\lambda$ complexe est $\lambda\e^{\lambda x}$ . Cela rend possible le calcul des primitives de $x \mapsto \e^{ax}\cos(bx)$ par passage au complexe, et cela sert dans les équations différentielles linéaires.

Méthodes

MéthodeAvant toute étude

Déterminer le domaine.
Chercher une parité ou une périodicité pour réduire l'intervalle d'étude.

MéthodeDémontrer une inégalité

Poser $g$ égale à la différence des deux membres.
Étudier le signe de $g'$ .
Conclure avec les variations de $g$ .

MéthodeProblème d'optimisation

Modéliser.
Réduire à une variable.
Étudier la dérivée.
Conclure par un tableau de variations.

MéthodeForme indéterminée avec exponentielle, puissance et logarithme

Factoriser par le terme dominant.
Appliquer les croissances comparées.

MéthodeExpression avec une fonction circulaire réciproque

Poser $\theta$ égal à cette quantité.
Préciser l'intervalle auquel $\theta$ appartient.
Prendre le sinus ou la tangente.

MéthodeSimplifier $\operatorname{Arctan} a + \operatorname{Arctan} b$

Dériver la fonction correspondante.
Identifier la constante en un point bien choisi.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Déterminer un domaine, réduire l'intervalle d'étude par parité ou périodicité, dresser un tableau de variations complet avec les limites aux bornes.
Dériver une composée compliquée sans erreur, y compris des puissances de la forme $u^v$ écrites comme $\exp(v \ln u)$ .
Démontrer $\exp(x) \geqslant 1 + x$ et $\ln(1 + x) \leqslant x$ , et préciser les cas d'égalité.
Établir les propriétés de Arcsin, Arccos, Arctan, avec domaines, monotonie et dérivées.
Prouver $\operatorname{Arcsin} x + \operatorname{Arccos} x = \pi/2$ par dérivation.
Calculer $\operatorname{Arcsin}(\sin(3\pi/4))$ et $\operatorname{Arctan}(\tan(5\pi/4))$ en justifiant.
Simplifier une expression du type $\cos(\operatorname{Arctan} x)$ ou $\sin(2\operatorname{Arcsin} x)$ .
Justifier que la dérivée de $x \mapsto \e^{\lambda x}$ vaut $\lambda\e^{\lambda x}$ pour $\lambda$ complexe et en déduire une primitive de $x \mapsto \e^{ax}\cos(bx)$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le domaine de définition se détermine avant toute étude, en surveillant dénominateurs, racines et logarithmes : exigible.
Transformations de graphe, translation verticale ou horizontale, contraction, symétries par rapport aux axes : capacité explicitement exigible.
Parité, imparité, périodicité servent à réduire le domaine d'étude : exigible.
f est bornée si et seulement si |f| est majorée : exigible.
La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante, de monotonies contraires est décroissante. La somme ou le produit de deux fonctions monotones de sens contraires n'a pas de monotonie prévisible en général : exigible.
La dérivée est la limite du taux d'accroissement, la tangente en a a pour équation y = f(a) + f'(a)(x−a) : exigible.
Dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient, d'une composée : rappelées, non démontrées à ce stade.
Sur un intervalle, f dérivable est constante si et seulement si f' = 0, croissante si et seulement si f' ≥ 0, strictement croissante si f' > 0 sauf en un nombre fini de points : admis, l'hypothèse intervalle est indispensable.
Dérivée d'une réciproque, en b = f(a) avec f'(a) ≠ 0, la dérivée vaut 1/f'(a) : admis, avec interprétation géométrique par symétrie des tangentes.
Classe C¹ sur I, dérivée continue, et dérivées successives f'', puis fⁿ par récurrence : exigible.
Pour tout réel x, exp(x) ≥ 1 + x, et pour tout x > −1, ln(1+x) ≤ x, égalité en 0 dans les deux cas : exigible.
x^α = exp(α ln x) sur R*+, dérivée αx^α−1, prolongement en 0 seulement si α > 0, seules les puissances entières sont en outre définies sur R*− : exigible.
Croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur toute puissance du logarithme : exigible.
Arcsin, Arccos, Arctan, domaines, monotonies, dérivées 1/√(1−x²), son opposée, 1/(1+x²) : exigibles.
Arcsin x + Arccos x = π/2 pour tout x de [−1, 1] : exigible avec démonstration, par dérivation.
sh et ch, dérivées ch' = sh et sh' = ch sans signe moins, seule formule hyperbolique exigible ch²x − sh²x = 1 : exigible. Tangente hyperbolique et fonctions hyperboliques réciproques hors programme signalé.
Une fonction f = u + iv à valeurs complexes est dérivable si u et v le sont, et alors f' = u' + iv' : exigible, définition.
Pour φ dérivable à valeurs complexes, exp(φ) est dérivable de dérivée φ' exp(φ). Cas particulier, la dérivée de x ↦ e^λx pour λ complexe vaut λ e^λx : exigible.

Clés de démonstration

Inégalité exp(x) ≥ 1 + x. On pose g(x) = e^x − 1 − x, de dérivée e^x − 1, négative avant 0, positive après. g atteint donc son minimum en 0, où elle vaut 0. L'astuce : ramener une inégalité fonctionnelle à un minimum de différence.

Arcsin x + Arccos x = π/2. La somme est dérivable sur ]−1, 1[, de dérivée 1/√(1−x²) − 1/√(1−x²) = 0. Elle est donc constante sur cet intervalle, et l'évaluation en 0 donne π/2. On conclut aux bornes par continuité. L'astuce : dériver une somme suspectée constante, puis évaluer en un point commode.

Dérivée d'une réciproque. La symétrie qui échange le graphe de f et celui de sa réciproque par rapport à la première bissectrice échange aussi les tangentes. Une tangente de pente p non nulle devient une tangente de pente 1/p après symétrie. L'astuce : la lecture géométrique donne la formule sans calcul, admis explicitement à ce stade.

Croissance comparée x^α/e^γx → 0 en +∞, pour γ > 0. On écrit x^α/e^γx = e^{α ln x − γx}. Comme (α ln x)/x → 0, α ln x − γx tend vers −∞, donc l'exponentielle tend vers 0. L'astuce : repasser systématiquement par la forme exponentielle pour comparer deux croissances.

Dérivée de exp(φ) pour φ = u + iv à valeurs complexes. On écrit exp(φ) = e^u(cos v + i sin v), on dérive le produit de deux fonctions réelles, et on regroupe les termes pour retrouver (u' + iv')e^u(cos v + i sin v), c'est-à-dire φ' exp(φ). L'astuce : revenir aux parties réelle et imaginaire pour dériver une fonction complexe.

Exemples et contre-exemples à connaître

x ↦ 1/x sur R* a une dérivée strictement négative partout, mais n'est pas décroissante sur son domaine, car −1 < 1 et f(−1) < f(1) : l'hypothèse intervalle est indispensable à la caractérisation de la monotonie.
Arcsin(sin(3π/4)) = π/4, et non 3π/4 : l'argument doit être ramené dans l'intervalle de référence [−π/2, π/2].
x ↦ f(x+a) translate le graphe de −a, donc vers la gauche si a > 0 : le sens de la translation surprend souvent.
Pour f(x) = x et g(x) = −x, deux fonctions monotones de sens contraires, la somme f+g est constante, ni croissante ni décroissante au sens strict : la somme de deux monotonies contraires n'a pas de comportement prévisible en général.
cos est paire et 2π-périodique, on peut l'étudier sur [0, π] seulement et compléter par symétrie puis translation : gain de temps systématique en khôlle.
exp(x) ≥ 1 + x est une égalité seulement en x = 0 : ne pas croire que l'inégalité est toujours stricte.
La fonction racine carrée, x ↦ √x, n'est pas dérivable en 0, bien qu'elle soit définie et continue en ce point : sa tangente y est verticale.
ch x ≥ 1 pour tout réel x, avec égalité seulement en 0 : ch n'est jamais inférieure à 1, contrairement à ce que suggérerait une lecture rapide de sa définition en somme de deux exponentielles.
x ↦ e^iπx a pour dérivée iπe^iπx, qui ne s'annule jamais : contrairement à une fonction réelle périodique non constante, il n'y a pas de théorème de Rolle pour une fonction à valeurs complexes.
Utiliser la tangente hyperbolique ou une fonction hyperbolique réciproque dans un corrigé de PCSI est hors programme, il faut alors contourner par exp et ln.

Techniques du chapitre

Technique 1, lire une composition de transformations de graphe. Mini-exercice : à partir du graphe de f, tracer celui de x ↦ f(2x) − 1. On contracte horizontalement d'un facteur 2, puis on translate verticalement de −1.

Technique 2, réduire le domaine d'étude par parité ou périodicité. Mini-exercice : étudier f(x) = cos(x) + cos(3x). f est paire et 2π-périodique, l'étude sur [0, π] suffit, le reste se complète par symétrie et translation.

Technique 3, démontrer une inégalité par le signe de g'. Mini-exercice : montrer que sin x ≤ x pour x ≥ 0. On pose g(x) = x − sin x, g'(x) = 1 − cos x ≥ 0, et g(0) = 0, donc g ≥ 0 sur R+.

Technique 4, utiliser la formule de la dérivée d'une réciproque. Mini-exercice : calculer Arctan'(1). Comme tan'(π/4) = 1 + tan²(π/4) = 2, on a Arctan'(1) = 1/2.

Technique 5, pour une expression avec une fonction circulaire réciproque, poser θ égal à cette quantité et préciser l'intervalle. Mini-exercice : simplifier cos(2 Arcsin x) pour x dans [−1, 1]. On pose θ = Arcsin x, dans [−π/2, π/2], et cos(2θ) = 1 − 2sin²θ = 1 − 2x².

Technique 6, pour une forme indéterminée mêlant exponentielle, puissance et logarithme, factoriser par le terme dominant. Mini-exercice : limite en +∞ de (x² − ln x)/(x² + x). On factorise par x², ce qui donne (1 − (ln x)/x²)/(1 + 1/x), qui tend vers 1.

Technique 7, passer au complexe pour dériver ou primitiver un produit exponentielle fois trigonométrique. Mini-exercice : la dérivée de x ↦ e^(a+ib)x vaut (a+ib)e^(a+ib)x. En prenant la partie réelle, on relie cette formule aux dérivées de x ↦ e^axcos(bx) et x ↦ e^axsin(bx).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Étudier la fonction f(x) = x + 1/x sur son domaine, dresser son tableau de variations et donner ses extremums locaux.

Technique parité, réduction à R+*, étude de la dérivée.

Voir le corrigé

Le domaine est R*. f est impaire, donc on étudie sur R+* et on complète par symétrie par rapport à l'origine.
f'(x) = 1 − 1/x², qui s'annule en x = 1 sur R+*, négative avant, positive après.
f admet un minimum local en x = 1, f(1) = 2. Limites : +∞ en 0⁺ et en +∞.
Par imparité, f admet un maximum local en x = −1, f(−1) = −2, sur R−*.

piège : Vouloir appliquer la caractérisation de la monotonie sur R* tout entier, qui n'est pas un intervalle, au lieu de traiter séparément les deux branches.

Exercice 2

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un rectangle est inscrit sous la parabole d'équation y = 4 − x², un côté posé sur l'axe des abscisses, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Maximiser son aire.

Technique modélisation à une variable, étude de la dérivée.

Voir le corrigé

Pour x dans [0, 2], le rectangle a pour sommets (±x, 0) et (±x, 4−x²), d'aire A(x) = 2x(4−x²) = 8x − 2x³.
A'(x) = 8 − 6x², s'annule en x = 2/√3.
A' est positive avant ce point, négative après : c'est un maximum.
A_max = 2 × (2/√3) × (4 − 4/3) = 32√3/9.

piège : Oublier de vérifier le sens de variation autour du point critique, et affirmer sans preuve qu'il s'agit d'un maximum plutôt que d'un minimum.

Exercice 3. Démontrer que pour tout réel x, cos x ≥ 1 − x²/2

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique parité pour réduire l'étude, puis signe de la dérivée à partir d'une inégalité de référence.

Voir le corrigé

On pose g(x) = cos x − 1 + x²/2. g est paire, il suffit de l'étudier sur R+.
g'(x) = −sin x + x = x − sin x.
Pour x ≥ 0, sin x ≤ x, donc g'(x) ≥ 0 sur R+ : g est croissante sur R+.
g(0) = 0, donc g(x) ≥ 0 pour x ≥ 0, c'est-à-dire cos x ≥ 1 − x²/2. Par parité, l'inégalité vaut aussi pour x ≤ 0.

piège : Oublier de traiter les x négatifs séparément, en s'appuyant uniquement sur la parité de g sans le dire explicitement.

Exercice 4. Résoudre dans [−1, 1] l'équation Arcsin(x) = Arccos(x) − π/6

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique utiliser Arcsin x + Arccos x = π/2 pour éliminer Arccos.

Voir le corrigé

On remplace Arccos x par π/2 − Arcsin x dans l'équation : Arcsin x = π/2 − Arcsin x − π/6.
2 Arcsin x = π/2 − π/6 = π/3.
Arcsin x = π/6.
x = sin(π/6) = 1/2. Vérification : Arcsin(1/2) = π/6, Arccos(1/2) = π/3, et π/3 − π/6 = π/6.

piège : Confondre l'angle Arcsin x et le réel x lui-même, en oubliant de repasser par le sinus à la dernière étape.

Exercice 5. Calculer Arctan'(1) et en déduire une valeur approchée de Arctan(1,01)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique dérivée d'Arctan, approximation affine par la tangente.

Voir le corrigé

Arctan'(x) = 1/(1+x²), donc Arctan'(1) = 1/2.
Arctan(1) = π/4.
Approximation affine au voisinage de 1 : Arctan(1+h) ≈ Arctan(1) + h × Arctan'(1) = π/4 + h/2.
Pour h = 0,01 : Arctan(1,01) ≈ π/4 + 0,005 ≈ 0,790.

piège : Utiliser l'approximation affine loin du point de tangence, où l'erreur devient significative.

Exercice 6. Étudier les variations de f(x) = x^x sur R*+, et déterminer ses limites en 0⁺ et en +∞

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Technique écrire f comme exp d'une composée, croissances comparées pour les limites.

Voir le corrigé

f(x) = e^{x ln x}, donc f'(x) = (ln x + 1)e^{x ln x}, la dérivée de x ln x étant ln x + 1.
f'(x) s'annule en x = 1/e, négative avant, positive après : minimum en x = 1/e.
f(1/e) = e^−1/e.
En 0⁺, x ln x tend vers 0 par croissance comparée, donc f(x) tend vers 1. En +∞, x ln x tend vers +∞, donc f(x) tend vers +∞.

piège : Dériver x^x avec la règle des puissances d'exposant constant, αx^α−1, alors que l'exposant dépend ici de x et impose de passer par exp(x ln x).

Exercice 7. Calculer une primitive de x ↦ e^3xcos(2x) par passage au complexe

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP ou e3a

Technique dérivée de exp(φ), extraction de la partie réelle.

Voir le corrigé

On pose λ = 3 + 2i. Une primitive de x ↦ e^λx est x ↦ e^λx/λ.
e^λx/λ = e^3x(cos(2x) + i sin(2x)) × (3−2i)/13, en multipliant par le conjugué pour rendre le dénominateur réel.
La partie réelle de ce produit vaut e^3x[3cos(2x) + 2sin(2x)]/13.
Une primitive de x ↦ e^3xcos(2x) est donc x ↦ e^3x(3cos(2x) + 2sin(2x))/13.

piège : Oublier de multiplier par le conjugué de λ pour rendre le dénominateur réel avant d'extraire la partie réelle.

Exercice 8

Approfondissement · Type écrit Centrale ou Mines, plus délicat

Soit f définie sur R* par f(x) = Arctan(x) + Arctan(1/x). Montrer que f est constante sur R*+ et sur R*−, donner les deux valeurs, et en déduire la limite de Arctan(1/x) quand x tend vers 0⁺.

Technique dérivation sur chaque intervalle, évaluation en un point choisi.

Voir le corrigé

Sur R*+, f est dérivable, f'(x) = 1/(1+x²) + (−1/x²)/(1+1/x²) = 1/(1+x²) − 1/(x²+1) = 0.
f est donc constante sur l'intervalle R*+. En évaluant en x = 1, f(1) = Arctan(1) + Arctan(1) = π/2.
Le même calcul sur R*− donne f constante, et f(−1) = Arctan(−1) + Arctan(−1) = −π/2.
Quand x tend vers 0⁺, Arctan(x) tend vers 0, et f(x) = π/2 sur tout R*+, donc Arctan(1/x) tend vers π/2.

piège : Croire que f est constante sur R* tout entier, en oubliant que R* n'est pas un intervalle et que la constante change de valeur entre les deux demi-droites.

Erreurs fréquentes

Appliquer la caractérisation de la monotonie par le signe de f' à un domaine qui n'est pas un intervalle.
Dériver x^x ou plus généralement une expression u^v avec la règle des puissances d'exposant constant, en oubliant que l'exposant dépend de x et impose de passer par exp(v ln u).
Se tromper de sens dans une translation horizontale, x ↦ f(x+a) déplace le graphe vers la gauche si a est positif.
Écrire Arcsin(sin x) = x ou Arctan(tan x) = x sans vérifier que x appartient à l'intervalle de référence.
Utiliser la tangente hyperbolique ou une fonction hyperbolique réciproque, hors programme en PCSI.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), partie A de la section « Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral » du premier semestre. Elle couvre les généralités sur les fonctions, la dérivation pratique, le corpus des fonctions usuelles et la dérivation des fonctions à valeurs complexes.

Fonctions usuelles

Résumé en cinq points

1Généralités sur les fonctions

1.1Domaine et graphe

1.2Parité, imparité, périodicité

1.3Opérations et monotonie

1.4Fonctions bornées

2Dérivation

2.1Définition et tangente

2.2Règles de calcul

2.3Monotonie et étude de fonction

2.4Fonction réciproque

2.5Classe C¹ et dérivées d'ordre supérieur

3Fonctions usuelles

3.1Exponentielle et logarithme

3.2Fonctions puissances

3.3Croissances comparées

3.4Fonctions circulaires réciproques

3.5Fonctions hyperboliques

4Dérivation d'une fonction complexe d'une variable réelle

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3. Démontrer que pour tout réel x, cos x ≥ 1 − x²/2

Exercice 4. Résoudre dans [−1, 1] l'équation Arcsin(x) = Arccos(x) − π/6

Exercice 5. Calculer Arctan'(1) et en déduire une valeur approchée de Arctan(1,01)

Exercice 6. Étudier les variations de f(x) = xx sur R*+, et déterminer ses limites en 0⁺ et en +∞

Exercice 7. Calculer une primitive de x ↦ e3xcos(2x) par passage au complexe

Exercice 8

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 6. Étudier les variations de f(x) = x^x sur R*+, et déterminer ses limites en 0⁺ et en +∞

Exercice 7. Calculer une primitive de x ↦ e^3xcos(2x) par passage au complexe