Le cours

Résumé en cinq points

Une limite s'écrit toujours de la même façon : pour toute exigence sur $f$ , une contrainte sur $x$ qui la garantit.
La caractérisation séquentielle relie suites et fonctions, et sert surtout à prouver qu'une limite n'existe pas.
Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution. La stricte monotonie ajoute l'unicité, et l'image d'un intervalle est un intervalle.
Une fonction continue sur un segment est bornée, atteint ses bornes, et l'image d'un segment est un segment. Les deux hypothèses, fermé et borné, sont indispensables.
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection sur son image, et sa réciproque est continue et strictement monotone de même sens.

Pourquoi ce chapitre

C'est le pendant continu du chapitre sur les suites. Il contient trois théorèmes qui servent toute l'année.

Le théorème des valeurs intermédiaires prouve l'existence de solutions d'équations que l'on ne sait pas résoudre.
Le théorème des bornes atteintes fournit des maxima, point de départ de nombreuses démonstrations, dont celle du théorème de Rolle.
Le théorème de la bijection légitime toutes les fonctions réciproques, d'Arctan à la racine $n$ -ième.

Ces trois résultats ont une hypothèse commune, la continuité, et deux d'entre eux une seconde hypothèse sur le domaine, intervalle ou segment. Oublier l'une de ces hypothèses est la faute la plus coûteuse du chapitre.

1Cadre et vocabulaire

Définition 1.1Voisinage d'un point

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un point de $\overline{\R}$ appartenant à $I$ ou extrémité de $I$ . Une propriété portant sur $f$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l'intersection de $I$ avec :

un intervalle ouvert centré en $a$ lorsque $a$ est réel ;
un intervalle de la forme $[A, +\infty[$ lorsque $a = +\infty$ ;
un intervalle de la forme $]-\infty, A]$ lorsque $a = -\infty$ .

Ce vocabulaire unifie les énoncés et évite de répéter trois fois chaque théorème.

2Limites

2.1Définitions

Définition 2.1Limite finie en un point réel

$f$ tend vers le réel $\ell$ en $a$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que, pour tout $x \in I$ vérifiant $\abs{x - a} \leqslant \delta$ , on ait $\abs{f(x) - \ell} \leqslant \varepsilon$ .

Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. Le nombre $\delta$ dépend de $\varepsilon$ .

Définition 2.2Limite infinie en un point réel

$f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si, pour tout réel $A$ , il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{x - a} \leqslant \delta$ entraîne $f(x) \geqslant A$ . La définition est analogue pour $-\infty$ .

Définition 2.3Limite en l'infini

$f$ tend vers $\ell$ en $+\infty$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un réel $B$ tel que $x \geqslant B$ entraîne $\abs{f(x) - \ell} \leqslant \varepsilon$ . On combine de même les deux types pour définir une limite infinie en l'infini.

À retenir

Pour toute exigence sur la valeur de $f$ , on trouve une contrainte sur $x$ qui l'assure.

2.2Premiers résultats

Propriété 2.4Unicité de la limite

Si $f$ admet une limite en $a$ , celle-ci est unique. On la note $\lim_{x \to a} f(x)$ .

Propriété 2.5Limite et valeur en un point

Si $f$ est définie en $a$ et possède une limite en $a$ , alors cette limite vaut $f(a)$ .

Dès que le point $a$ appartient au domaine, le seul candidat possible est la valeur en ce point.

Propriété 2.6Limite finie et caractère borné

Si $f$ possède une limite finie en $a$ , alors $f$ est bornée au voisinage de $a$ .

Une limite infinie interdit évidemment cette conclusion.

2.3Limites à droite et à gauche

Définition 2.7Limite à droite et à gauche

La limite à droite en $a$ est la limite en $a$ de la restriction de $f$ à l'intersection de $I$ et de $]a, +\infty[$ . La définition est symétrique à gauche. Notations : $\lim_{x \to a,\, x > a} f(x)$ ou $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .

Propriété 2.8Limite et limites latérales

Si $f$ est définie en $a$ , $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en $a$ , toutes deux égales à $f(a)$ .
Si $f$ n'est pas définie en $a$ , la condition porte seulement sur l'égalité des deux limites latérales.

Exemple 2.9Partie entière

En chaque entier $n$ , la partie entière a une limite à droite égale à $n$ et une limite à gauche égale à $n - 1$ . Elle n'a donc pas de limite en $n$ .

On étend aussi la notion de limite en $a$ au cas où $f$ est définie sur $I$ privé de $a$ , cadre naturel pour étudier un taux d'accroissement.

2.4Caractérisation séquentielle

Théorème 2.10Caractérisation séquentielle de la limite

$f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ tend vers $\ell$ . L'énoncé vaut pour $\ell$ et $a$ finis ou infinis.

Cet outil a un double usage.

Dans le sens direct, il transporte les résultats sur les suites vers les fonctions, et sert pour les suites récurrentes.
Dans le sens contraposé, il sert à prouver qu'une limite n'existe pas : il suffit d'exhiber deux suites tendant vers $a$ dont les images ont des limites différentes.

Exemple 2.11 $\sin(1/x)$ en 0

La fonction $x \mapsto \sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$ . On le voit avec les suites de termes généraux $\dfrac{1}{2n\pi}$ et $\dfrac{1}{\pi/2 + 2n\pi}$ .

2.5Opérations

Pour une combinaison linéaire, un produit, un quotient, les règles sont les mêmes que pour les suites, avec les mêmes formes indéterminées :

$\infty - \infty$ ;
$0 \times \infty$ ;
$\infty / \infty$ ;
$0 / 0$ .

Propriété 2.12Composition

Hypothèses

$f$ tend vers $b$ quand $x$ tend vers $a$ ;
$g$ tend vers $\ell$ quand $y$ tend vers $b$ .

Alors $g \circ f$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ .

C'est ce qui justifie les changements de variable dans les calculs de limites.

2.6Limites et inégalités

Les inégalités larges passent à la limite, les inégalités strictes non.

Théorème 2.13Théorème d'encadrement

Hypothèses

$f \leqslant g \leqslant h$ au voisinage de $a$ ;
$f$ et $h$ tendent vers la même limite finie $\ell$ en $a$ .

Alors $g$ tend vers $\ell$ en $a$ .

L'existence de la limite de $g$ fait partie de la conclusion.

Théorème 2.14Minoration et majoration

Hypothèses

$f \leqslant g$ au voisinage de $a$ ;
$f$ tend vers $+\infty$ en $a$ .

Alors $g$ tend vers $+\infty$ en $a$ . L'énoncé est symétrique avec $-\infty$ .

Théorème 2.15Théorème de la limite monotone

Toute fonction monotone sur un intervalle ouvert $]a, b[$ admet en $a$ et en $b$ des limites, finies ou infinies.

Si $f$ est croissante et majorée sur $]a, b[$ , sa limite en $b$ par valeurs inférieures est la borne supérieure de $f$ sur cet intervalle.

En un point intérieur, une fonction monotone admet toujours une limite à droite et une limite à gauche, qui peuvent différer.

3Continuité

3.1Définitions

Définition 3.1Continuité en un point

$f$ est continue en $a \in I$ si $f$ admet une limite en $a$ , nécessairement égale à $f(a)$ . En $\varepsilon$ et $\delta$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{x - a} \leqslant \delta$ entraîne $\abs{f(x) - f(a)} \leqslant \varepsilon$ .

Continuité à droite et à gauche : mêmes définitions avec les limites latérales. $f$ est continue en $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $a$ .

Définition 3.2Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur $I$ si elle est continue en chaque point de $I$ . Aux extrémités appartenant à $I$ , la continuité s'entend du côté intérieur.

Théorème 3.3Caractérisation séquentielle de la continuité

$f$ est continue en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ convergeant vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$ .

C'est ce résultat qui, appliqué à une suite récurrente convergente de limite $\ell$ , donne $f(\ell) = \ell$ .

3.2Prolongement par continuité

Propriété 3.4Prolongement par continuité

Hypothèses

$f$ est définie sur $I$ privé de $a$ ;
$f$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ .

Alors on peut prolonger $f$ en une fonction continue en $a$ en posant $f(a) = \ell$ . Ce prolongement est unique.

Exemple 3.5Sinus cardinal

La fonction $x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ est définie sur $\R^*$ et admet la limite $1$ en $0$ . Elle se prolonge par continuité en posant la valeur $1$ en $0$ .

Attention

Il n'y a pas de prolongement par continuité si la limite n'existe pas ou est infinie.

3.3Opérations

Propriété 3.6Opérations sur les fonctions continues

La combinaison linéaire, le produit, le quotient à dénominateur non nul et la composition conservent la continuité en un point, donc sur un intervalle.

Les fonctions polynomiales, les fractions rationnelles sur leur domaine, les fonctions usuelles et leurs composées sont continues là où elles sont définies.
La valeur absolue d'une fonction continue est continue, de même que le maximum et le minimum de deux fonctions continues.

En pratique, on invoque ces résultats sans revenir aux $\varepsilon$ , sauf si l'énoncé demande le contraire.

4Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 4.1Théorème des valeurs intermédiaires

Hypothèses

$f$ est continue sur un segment $[a, b]$ ;
$y$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .

Corollaire 4.2Cas particulier le plus utilisé

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors $f$ s'annule au moins une fois sur $[a, b]$ .

Idée de la démonstration, par dichotomie. On suppose $f(a) \leqslant y \leqslant f(b)$ .

On coupe le segment en deux et on garde la moitié aux extrémités de laquelle $f$ prend des valeurs encadrant encore $y$ .
On construit ainsi deux suites adjacentes, qui convergent vers un même point $c$ .
Le passage à la limite dans les inégalités, avec la continuité de $f$ en $c$ , donne $f(c) = y$ .

Cette preuve fournit aussi un algorithme de calcul approché d'un zéro, avec une précision divisée par deux à chaque étape.

Attention

Le théorème donne l'existence, pas l'unicité. Pour l'unicité, il faut une hypothèse de stricte monotonie.

Propriété 4.3Cas d'une fonction strictement monotone

Hypothèses

$f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ ;
$y$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Alors il existe un unique $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = y$ .

Corollaire 4.4Image d'un intervalle

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Démonstration

On utilise la caractérisation des intervalles par la propriété du segment contenu.

Attention

La nature de l'intervalle n'est pas conservée : l'image de l'intervalle ouvert $]-1, 1[$ par la fonction carré est $[0, 1[$ , qui n'est pas ouvert.

5Image d'un segment

Théorème 5.1Théorème des bornes atteintes

Toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

Autrement dit, il existe des points du segment où $f$ prend sa valeur maximale et sa valeur minimale. La démonstration n'est pas exigible, elle repose sur le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Corollaire 5.2Image d'un segment

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.

Démonstration

C'est un intervalle par le théorème des valeurs intermédiaires, et il contient son minimum $m$ et son maximum $M$ , donc il est de la forme $[m, M]$ .

Les deux hypothèses, fermé et borné, sont indispensables.

Exemple 5.3Contre-exemples

La fonction inverse est continue sur $]0, 1]$ sans y être bornée : l'intervalle n'est pas fermé.
La fonction identité sur $[0, +\infty[$ est continue et non bornée : l'intervalle n'est pas borné.
Une fonction discontinue sur un segment peut être non bornée.

Ce théorème sert à justifier l'existence d'un maximum avant de raisonner dessus, schéma de preuve très fréquent.

6Continuité et injectivité

Théorème 6.1Continuité et injectivité

Toute fonction continue et injective sur un intervalle y est strictement monotone.

La démonstration n'est pas exigible. Ce résultat est faux sans la continuité, et faux si le domaine n'est pas un intervalle.

Théorème 6.2Théorème de la bijection

Hypothèses

$I$ est un intervalle ;
$f$ est continue et strictement monotone sur $I$ .

Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ , et la réciproque $f^{-1}$ est continue sur $J$ et strictement monotone de même sens que $f$ . Les extrémités de $J$ se lisent sur les limites de $f$ aux extrémités de $I$ .

Ce théorème est l'outil standard pour définir une fonction réciproque et pour prouver qu'une équation admet une unique solution. Les graphes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

Exemple 6.3Arctan et racine $n$ -ième

Arctan est la réciproque de la restriction de $\tan$ à $]-\pi/2, \pi/2[$ , où cette fonction est continue et strictement croissante, de limites $-\infty$ et $+\infty$ aux bornes, ce qui donne bien une bijection sur $\R$ .
La fonction racine $n$ -ième est la réciproque de $x \mapsto x^n$ sur $\R_+$ .

7Fonctions à valeurs complexes

Pour une fonction $f$ définie sur $I$ à valeurs dans $\C$ , les définitions de limite et de continuité s'écrivent en remplaçant la valeur absolue par le module.

Propriété 7.1Caractérisation par parties réelle et imaginaire

$f$ admet la limite $\ell$ en $a$ si et seulement si $\operatorname{Re}(f)$ tend vers $\operatorname{Re}(\ell)$ et $\Im(f)$ tend vers $\Im(\ell)$ . Même énoncé pour la continuité.

Les opérations et la caractérisation séquentielle restent valables. Tout ce qui utilise l'ordre disparaît : ni théorème d'encadrement, ni théorème de la limite monotone, ni théorème des valeurs intermédiaires.

En revanche, si $f$ est continue à valeurs complexes, alors $\abs{f}$ est continue à valeurs réelles, ce qui permet de récupérer les résultats d'ordre sur le module.

Méthodes

MéthodeCalculer une limite

Identifier la forme indéterminée.
Factoriser le terme dominant, utiliser une quantité conjuguée, ou reconnaître un taux d'accroissement.

MéthodeMontrer qu'une limite n'existe pas

Utiliser la caractérisation séquentielle avec deux suites bien choisies, tendant vers $a$ et dont les images ont des limites différentes.

MéthodeProuver l'existence d'une solution

Écrire l'équation sous la forme $g(x) = 0$ .
Vérifier la continuité de $g$ sur un segment.
Calculer deux valeurs de signes contraires.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Pour l'unicité, ajouter la stricte monotonie, obtenue le plus souvent par le signe de la dérivée.

MéthodeÉtudier une fonction définie par morceaux

Traiter les points de raccord séparément, avec les limites à droite et à gauche.

MéthodeJustifier l'existence d'un maximum

Invoquer la continuité sur un segment. Si le domaine n'est pas un segment, chercher à s'y ramener en contrôlant le comportement à l'infini.

MéthodeUtiliser le théorème de la bijection

Vérifier explicitement les trois hypothèses : intervalle, continuité, stricte monotonie.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire la définition de la limite finie en un point avec des quantificateurs, et sa négation.
Énoncer et utiliser la caractérisation séquentielle de la limite, dans les deux sens.
Montrer que $\sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$ .
Prolonger par continuité une fonction comme $x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ en $0$ .
Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires et en donner le principe de démonstration par dichotomie.
Démontrer que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle, et donner un exemple où la nature de l'intervalle change.
Énoncer le théorème des bornes atteintes et donner un contre-exemple pour chaque hypothèse relâchée.
Énoncer le théorème de la bijection et l'appliquer pour prouver qu'une équation a une unique solution sur un intervalle.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le programme permet au professeur d'admettre certains résultats repris des suites. Les preuves courtes restent attendues en khôlle.

Unicité de la limite, finie ou infinie, en un point a de R barre appartenant à I ou extrémité de I : exigible, preuve courte.
Si f est définie en a et admet une limite en a, cette limite vaut f(a) : exigible, preuve courte.
Limite finie en a ⇒ f bornée au voisinage de a : exigible, preuve courte.
Pour a intérieur à I, f définie en a admet une limite en a ⇔ ses limites à droite et à gauche existent et valent f(a). Si f n'est pas définie en a, il faut et il suffit que ces deux limites existent et soient égales. Exigible.
Caractérisation séquentielle de la limite, a et l finis ou infinis : exigible avec démonstration.
Opérations (combinaison linéaire, produit, quotient, composition) : exigible, preuves calquées sur les suites, souvent admises.
Passage à la limite d'une inégalité large, les limites étant supposées exister : exigible.
Encadrement (limite finie), minoration (limite +∞), majoration (limite −∞) : exigible. L'existence de la limite fait partie de la conclusion.
Limite monotone : f monotone sur ]a, b[, avec a < b dans R barre, admet en a et en b des limites dans R barre. Exigible avec démonstration.
Continuité en a intérieur à I ⇔ continuité à droite et à gauche en a : exigible.
Prolongement par continuité de f, définie sur I privé de a et de limite finie en a : exigible.
Caractérisation séquentielle de la continuité en un point : exigible.
Valeurs intermédiaires : f réelle continue sur un intervalle I, a et b dans I, tout réel compris entre f(a) et f(b) est atteint entre a et b. Exigible, avec le principe de la dichotomie.
L'image d'un intervalle par une fonction réelle continue est un intervalle : exigible avec démonstration.
f continue et strictement monotone sur [a, b] : tout y strictement compris entre f(a) et f(b) a un unique antécédent, situé dans ]a, b[. Exigible.
Bornes atteintes, pour f continue sur un segment [a, b] : exigible. Le programme ne dispense pas explicitement de la preuve, il faut en connaître l'idée par Bolzano-Weierstrass.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment : exigible.
Fonction réelle continue et injective sur un intervalle ⇒ strictement monotone : démonstration non exigible (voir l'exercice 10).
Théorème de la bijection pour f réelle continue et strictement monotone sur un intervalle : démonstration non exigible.
Fonctions complexes : limite et continuité équivalent à celles de Re f et de Im f. Exigible.
Absents du chapitre : continuité uniforme et théorème de Heine. Les calculs de limites élaborés attendent les développements limités.

Clés de démonstration

Unicité de la limite. On suppose deux limites réelles l ≠ l' et on pose ε = |l − l'|/3. Un x vérifiant les deux contraintes existe, car a est dans I ou en est une extrémité, et I n'est pas réduit à un point. L'inégalité triangulaire donne |l − l'| ≤ 2ε < |l − l'|, absurde. Astuce : ε égal à une fraction de l'écart.

Limite en un point du domaine. Si a est dans I, le point x = a est autorisé, car |a − a| = 0 ≤ δ. On obtient |f(a) − l| ≤ ε pour tout ε > 0, donc l = f(a). Une limite +∞ imposerait f(a) ≥ A pour tout A. Astuce : la définition ne retire pas le point a.

Bornée au voisinage. On prend ε = 1, et sur le voisinage obtenu |f(x)| ≤ |l| + 1. Astuce : fixer ε une fois pour toutes.

Caractérisation séquentielle. Sens direct : ε fournit δ, et la convergence de (x_n) fournit un rang au-delà duquel |x_n − a| ≤ δ. Réciproque par contraposée : il existe ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, un x à distance au plus δ de a vérifie |f(x) − l| > ε. Astuce : δ = 1/(n + 1) fabrique une suite x_n qui tend vers a et dont les images restent loin de l.

Limite monotone. Soit f croissante et majorée sur ]a, b[, de borne supérieure S. Pour ε > 0, S − ε n'est pas un majorant, d'où un x₀ avec f(x₀) > S − ε, puis S − ε < f(x) ≤ S pour x dans [x₀, b[. Si f n'est pas majorée, on remplace S − ε par un réel A quelconque et la limite vaut +∞. Astuce : la borne supérieure donne un point, la croissance propage l'inégalité.

Valeurs intermédiaires. On suppose f(a) ≤ y ≤ f(b), sinon on passe à −f. La dichotomie construit a_n croissante et b_n décroissante, avec b_n − a_n = (b − a)/2ⁿ et f(a_n) ≤ y ≤ f(b_n). La limite commune c et la continuité donnent f(c) ≤ y ≤ f(c). Astuce : l'invariant f(a_n) ≤ y ≤ f(b_n), maintenu en testant le milieu.

Image d'un intervalle. J est un intervalle si, pour tous y₁ ≤ y₂ dans J, [y₁, y₂] est inclus dans J. On écrit y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂), et on applique les valeurs intermédiaires sur le segment d'extrémités x₁ et x₂, inclus dans I. Astuce : ne pas supposer x₁ ≤ x₂.

Bornes atteintes. Si f n'est pas majorée, on choisit x_n avec f(x_n) ≥ n. Bolzano-Weierstrass fournit une sous-suite convergeant vers c, qui reste dans [a, b] par passage à la limite des inégalités larges. La continuité en c contredit f(x_φ(n)) ≥ φ(n). Pour atteindre la borne supérieure M, on prend f(x_n) > M − 1/(n + 1) et on extrait de même. Astuce : borné permet l'extraction, fermé garde la limite dans le domaine.

Fonctions complexes. Les inégalités |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z| et |z| ≤ |Re z| + |Im z| transportent les ε dans les deux sens.

Exemples et contre-exemples à connaître

x ↦ x sin(1/x) se prolonge par continuité en 0, car |x sin(1/x)| ≤ |x|. C'est l'encadrement type, à opposer à sin(1/x), qui n'a pas de limite.
L'indicatrice de Q est discontinue partout (exercice 2). C'est le contre-exemple de référence pour la densité.
x ↦ x·1_Q(x) n'est continue qu'en 0. La continuité est une notion ponctuelle.
La fonction inverse sur R* est continue et injective sans être monotone, et son image R* n'est pas un intervalle. Le domaine doit être un intervalle.
La fonction égale à x sur [0, 1[ et à 3 − x sur [1, 2] est injective sur un intervalle sans être monotone. La continuité est indispensable.
sin(1/x) prolongée par 0 en 0 envoie tout intervalle sur un intervalle sans être continue en 0. La réciproque des valeurs intermédiaires est fausse.
Arctan est continue et bornée sur R mais n'atteint pas π/2. L'exponentielle envoie le fermé ]−∞, 0] sur ]0, 1], qui n'est pas fermé.
La fonction valant 1 sur Q et −1 ailleurs n'est continue nulle part, alors que sa valeur absolue est constante. La continuité de |f| n'entraîne pas celle de f.

Techniques du chapitre

Technique 1 : deux suites pour une non-existence. Mini-exercice : cos n'a pas de limite en +∞. Les suites 2nπ et π + 2nπ tendent vers +∞, avec des images égales à 1 et −1. Une limite imposerait la même limite aux deux suites d'images.

Technique 2 : encadrer la partie entière. Mini-exercice : limite de x⌊1/x⌋ en 0 par valeurs positives. De 1/x − 1 < ⌊1/x⌋ ≤ 1/x et x > 0, on tire 1 − x < x⌊1/x⌋ ≤ 1. Par encadrement, la limite vaut 1.

Technique 3 : quantité conjuguée. Mini-exercice : limite de √(x + 1) − √x en +∞. L'expression vaut 1/(√(x + 1) + √x), qui tend vers 0.

Technique 4 : existence et unicité d'une racine. Mini-exercice : x⁵ + x − 1 = 0 a une unique solution réelle. g : x ↦ x⁵ + x − 1 est continue et strictement croissante sur R, avec g(0) = −1 et g(1) = 1. On obtient un unique zéro dans ]0, 1[, et la stricte croissance exclut tout autre zéro sur R.

Technique 5 : se ramener à un segment. Mini-exercice : une fonction continue et T-périodique sur R, avec T > 0, est bornée et atteint ses bornes. Tout réel s'écrit y + kT avec y dans [0, T] et k entier, donc f(R) = f([0, T]), qui est un segment.

Technique 6 : passer à la limite dans une récurrence. Mini-exercice : u₀ = 1, u_n+1 = √(2 + u_n), et l'on admet que (u_n) converge vers l. Comme u_n ≥ 0, on a l ≥ 0. Par continuité de x ↦ √(2 + x) en l, l = √(2 + l), soit l² − l − 2 = 0. La positivité exclut −1, donc l = 2.

Technique 7 : traiter un raccord. Mini-exercice : f(x) = x² + a pour x < 1, et f(x) = 2x + 3 pour x ≥ 1. Hors de 1, la continuité vient des opérations. En 1, la limite à gauche vaut 1 + a et la valeur vaut 5. Donc f est continue sur R si et seulement si a = 4.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Continuité du carré par les ε

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Écrire la négation de « f est continue en a ». Démontrer avec des ε et des δ que x ↦ x² est continue en tout réel a.

Technique restreindre d'abord x pour majorer un facteur.

Voir le corrigé

Négation : ∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ I, |x − a| ≤ δ et |f(x) − f(a)| > ε.
|x² − a²| = |x − a|·|x + a|. Si |x − a| ≤ 1, alors |x + a| ≤ |x − a| + 2|a| ≤ 1 + 2|a|.
Soit ε > 0. On pose δ = min(1, ε/(1 + 2|a|)).
Si |x − a| ≤ δ, alors |x² − a²| ≤ δ(1 + 2|a|) ≤ ε.

piège : Proposer δ = ε/|x + a|, qui dépend de x. Le δ ne dépend que de ε et de a.

Exercice 2. Indicatrice des rationnels

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que 1_Q est discontinue en tout réel, et que g : x ↦ x·1_Q(x) est continue en 0 et seulement en 0.

Technique caractérisation séquentielle et densité.

Voir le corrigé

Soit a réel. Par caractérisation séquentielle de la densité, il existe des rationnels r_n et des irrationnels s_n qui tendent vers a.
1_Q(r_n) = 1 et 1_Q(s_n) = 0 : les images n'ont pas la même limite, donc 1_Q n'a pas de limite en a.
En 0, |g(x)| ≤ |x| et g(0) = 0, d'où la continuité par encadrement.
En a ≠ 0, g(r_n) = r_n tend vers a, alors que g(s_n) = 0. Donc g n'est pas continue en a.

piège : Affirmer l'existence des suites sans citer la caractérisation séquentielle de la densité.

Exercice 3. Point fixe sur un segment

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f continue de [0, 1] dans [0, 1]. Montrer que f admet un point fixe. Donner un contre-exemple sur [0, 1[.

Technique fonction auxiliaire et valeurs intermédiaires.

Voir le corrigé

g(x) = f(x) − x est continue sur [0, 1].
g(0) = f(0) ≥ 0 et g(1) = f(1) − 1 ≤ 0.
Les valeurs intermédiaires donnent c dans [0, 1] avec g(c) = 0, soit f(c) = c.
Sur [0, 1[, x ↦ (1 + x)/2 est à valeurs dans [1/2, 1[, et son seul point fixe réel, 1, est exclu du domaine.

piège : Oublier que f est à valeurs dans [0, 1]. C'est cette hypothèse qui fournit les signes de g(0) et g(1).

Exercice 4. Polynôme de degré impair

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que tout polynôme réel de degré impair n admet une racine réelle.

Technique signe au voisinage de l'infini, puis valeurs intermédiaires.

Voir le corrigé

P(x) = a_n xⁿ + … + a₀ avec a_n ≠ 0. Quitte à changer P en −P, a_n > 0.
Pour x ≠ 0, P(x) = a_n xⁿ (1 + h(x)), où h(x) est la somme des (a_k/a_n) x^{k − n} pour k < n. Chaque terme tend vers 0 en ±∞.
Il existe A > 0 tel que 1 + h(x) ≥ 1/2 pour |x| ≥ A. Comme n est impair, P(A) > 0 et P(−A) < 0.
P est continue sur [−A, A] et change de signe, donc s'y annule.

piège : Ne pas dire où sert l'imparité : elle rend (−A)ⁿ négatif.

Exercice 5. Cordes horizontales

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit f continue sur [0, 1] avec f(0) = f(1), et n ≥ 2 un entier. Montrer qu'il existe c dans [0, 1 − 1/n] tel que f(c + 1/n) = f(c).

Technique télescopage, puis valeurs intermédiaires.

Voir le corrigé

g(x) = f(x + 1/n) − f(x) est continue sur [0, 1 − 1/n].
La somme des g(k/n) pour k de 0 à n − 1 télescope en f(1) − f(0) = 0.
Si tous ces termes sont nuls, c = 0 convient.
Sinon, cette somme nulle contient un terme g(i/n) > 0 et un terme g(j/n) < 0.
Les valeurs intermédiaires, sur le segment d'extrémités i/n et j/n, donnent c avec g(c) = 0.

piège : Supposer i < j. Le segment d'extrémités i/n et j/n se prend dans l'ordre que l'on veut.

Exercice 6. Maximum sur R

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit f continue sur R, de limite 0 en +∞ et en −∞. Montrer que f est bornée, puis que si f prend une valeur strictement positive, f admet un maximum.

Technique découper R en un segment et deux zones contrôlées par la limite.

Voir le corrigé

Avec ε = 1, il existe A > 0 tel que |f(x)| ≤ 1 pour |x| ≥ A. Sur [−A, A], f est bornée par bornes atteintes, donc f est bornée sur R.
Soit x₀ avec f(x₀) > 0. Avec ε = f(x₀)/2, il existe B > |x₀| tel que f(x) ≤ f(x₀)/2 pour |x| ≥ B.
Sur [−B, B], f atteint un maximum M, et M ≥ f(x₀) car x₀ appartient à ce segment.
Hors de [−B, B], f(x) ≤ f(x₀)/2 < f(x₀) ≤ M. Donc M est le maximum de f sur R.

piège : Oublier d'imposer x₀ dans le segment, ce qui garantit que M domine les valeurs extérieures.

Exercice 7. Suite définie implicitement

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Pour n ≥ 1, montrer que xⁿ + x − 1 = 0 admet une unique solution u_n dans [0, 1]. Étudier la monotonie et la limite de (u_n).

Technique bijection, puis signe de f_n+1(u_n).

Voir le corrigé

f_n : x ↦ xⁿ + x − 1 est continue et strictement croissante sur [0, 1], avec f_n(0) = −1 et f_n(1) = 1. On obtient un unique u_n, situé dans ]0, 1[.
f_n+1(u_n) = u_nⁿ⁺¹ + u_n − 1 = u_nⁿ⁺¹ − u_nⁿ = u_nⁿ(u_n − 1) < 0 = f_n+1(u_n+1).
Par stricte croissance de f_n+1, u_n < u_n+1. La suite, croissante et majorée par 1, converge vers un réel l ≤ 1.
Si l < 1, alors 0 < u_n ≤ l, donc u_nⁿ ≤ lⁿ, qui tend vers 0. Or u_nⁿ = 1 − u_n tend vers 1 − l > 0, contradiction. Donc l = 1.

piège : Écrire que u_nⁿ tend vers lⁿ. L'exposant varie avec n, il faut majorer par lⁿ.

Exercice 8. Équation de Cauchy continue

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Déterminer les fonctions f continues sur R telles que f(x + y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y.

Technique résolution sur Q, puis extension par densité et continuité.

Voir le corrigé

x = y = 0 donne f(0) = 0, et y = −x donne f(−x) = −f(x).
Par récurrence, f(nx) = n f(x) pour n entier naturel, puis pour n entier relatif par imparité.
Avec a = f(1), pour p entier et q entier non nul, q f(p/q) = f(p) = pa, donc f(p/q) = a p/q.
Soit x réel et r_n des rationnels tendant vers x. f(r_n) = a r_n tend vers ax, et par continuité f(r_n) tend vers f(x). Par unicité de la limite, f(x) = ax.
Réciproquement, toute fonction x ↦ ax est continue et convient.

piège : Oublier la réciproque. La continuité en un seul point suffirait, mais il faut alors le démontrer.

Exercice 9. Chaque valeur prise deux fois

Approfondissement · D'après un oral X-ENS

Montrer qu'aucune fonction continue de R dans R ne prend chaque valeur réelle exactement deux fois.

Technique valeurs intermédiaires pour compter les antécédents.

Voir le corrigé

Supposons qu'une telle f existe. Soit y une valeur, d'antécédents a < b. Sur ]a, b[, f − y ne s'annule pas, donc garde un signe constant. Quitte à remplacer f par −f, qui a la même propriété, f > y sur ]a, b[.
Le maximum M de f sur [a, b] est atteint en un point c de ]a, b[, avec M > y. M a exactement un autre antécédent c'.
Premier cas : c' est dans ]a, b[, par exemple c < c'. f n'est pas constante sur [c, c'], sinon M aurait une infinité d'antécédents. Son minimum m' sur [c, c'] est atteint en un point d, avec y < m' < M. Pour z dans ]m', M[, les valeurs intermédiaires donnent un antécédent de z dans chacun des intervalles disjoints ]a, c[, ]c, d[, ]d, c'[ et ]c', b[. C'est absurde.
Second cas : c' est hors de [a, b], par exemple c' > b. Pour z dans ]y, M[, on trouve un antécédent dans ]a, c[, un dans ]c, b[ et un dans ]b, c'[. C'est absurde, et le cas c' < a est symétrique.

piège : Oublier le cas où les deux antécédents du maximum sont dans ]a, b[.

Exercice 10. Continue et injective implique strictement monotone

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit f réelle, continue et injective sur un intervalle I. Montrer que f est strictement monotone.

Technique chemin continu entre deux couples, puis signe constant.

Voir le corrigé

Soient x < y et x' < y' dans I. Pour t dans [0, 1], on pose φ(t) = (1 − t)x + tx' et ψ(t) = (1 − t)y + ty'. Ces points sont dans I, car I est un intervalle.
ψ(t) − φ(t) = (1 − t)(y − x) + t(y' − x') > 0, donc φ(t) ≠ ψ(t).
g(t) = f(ψ(t)) − f(φ(t)) est continue sur [0, 1] et ne s'annule jamais, par injectivité. Par les valeurs intermédiaires, g garde un signe constant.
f(y) − f(x) = g(0) et f(y') − f(x') = g(1) ont donc le même signe. Tous les couples ordonnés varient dans le même sens, et f est strictement monotone.

piège : Oublier de vérifier que φ(t) et ψ(t) restent dans I et restent distincts.

Erreurs fréquentes

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur une réunion d'intervalles, ou sans avoir justifié la continuité. La fonction inverse passe de −1 à 1 sans s'annuler.
Conclure à l'unicité d'une solution avec le seul théorème des valeurs intermédiaires. L'unicité exige la stricte monotonie.
Invoquer les bornes atteintes sur un intervalle qui n'est pas un segment. Il faut d'abord se ramener à un segment.
Écrire lim f avant d'en avoir prouvé l'existence. Le passage à la limite dans une inégalité suppose l'existence, alors que l'encadrement la démontre.
Croire qu'une seule suite suffit à établir une limite, ou écrire f(l) = l sans la continuité de f en l. La caractérisation séquentielle porte sur toutes les suites de I qui tendent vers a.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité », section A « Limites et continuité ». La dérivabilité fait l'objet d'un chapitre séparé. Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ non vide et non réduit à un point, et à valeurs réelles, sauf dans le dernier paragraphe.

Limites et continuité

Résumé en cinq points

1Cadre et vocabulaire

2Limites

2.1Définitions

2.2Premiers résultats

2.3Limites à droite et à gauche

2.4Caractérisation séquentielle

2.5Opérations

2.6Limites et inégalités

3Continuité

3.1Définitions

3.2Prolongement par continuité

3.3Opérations

4Théorème des valeurs intermédiaires

5Image d'un segment

6Continuité et injectivité

7Fonctions à valeurs complexes

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Continuité du carré par les ε

Exercice 2. Indicatrice des rationnels

Exercice 3. Point fixe sur un segment

Exercice 4. Polynôme de degré impair

Exercice 5. Cordes horizontales

Exercice 6. Maximum sur R

Exercice 7. Suite définie implicitement

Exercice 8. Équation de Cauchy continue

Exercice 9. Chaque valeur prise deux fois

Exercice 10. Continue et injective implique strictement monotone

Erreurs fréquentes

Au concours