Le cours

Résumé en cinq points

Une tribu contient $\Omega$ et est stable par complémentaire et union dénombrable. Une probabilité est $\sigma$ -additive, ce qui fournit la continuité croissante, la continuité décroissante et la sous-additivité.
Une variable aléatoire discrète a une image au plus dénombrable, et sa loi est la donnée des $P(X = x)$ , de somme 1.
Les probabilités composées servent aux expériences par étapes, les probabilités totales au conditionnement par un système complet ou quasi-complet, et Bayes au renversement du conditionnement.
Deux lois nouvelles au programme : la loi géométrique, rang du premier succès, avec $P(X > k) = (1-p)^k$ , et la loi de Poisson, modèle des événements rares.
L'indépendance de deux variables se teste sur la loi conjointe. L'indépendance deux à deux d'une famille ne suffit pas, et le lemme des coalitions permet de regrouper des blocs de variables indépendantes.

Pourquoi ce chapitre

En première année, les variables aléatoires prenaient un nombre fini de valeurs. On veut maintenant modéliser des expériences où le nombre d'essais n'est pas borné, par exemple attendre le premier succès dans une suite illimitée de lancers.

Cela impose un cadre plus large :

une tribu pour dire quels ensembles sont des événements ;
une probabilité additive sur les unions dénombrables ;
des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble au plus dénombrable.

Le chapitre installe ce cadre, puis les outils de calcul : probabilités conditionnelles, probabilités totales, Bayes. Il présente enfin les deux lois nouvelles au programme, la loi géométrique et la loi de Poisson. La dernière partie, sur l'indépendance, sert dans les problèmes de concours, souvent sous forme de chaînes ou de marches aléatoires simples.

1Univers, tribu, variables aléatoires

1.1Espace probabilisable

Définition 1.1Tribu

Soit $\Omega$ un ensemble, appelé univers. Une tribu $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ est un ensemble de parties de $\Omega$ vérifiant :

$\Omega \in \mathcal{A}$ ;
$\mathcal{A}$ est stable par passage au complémentaire ;
$\mathcal{A}$ est stable par union dénombrable.

Propriété 1.2Stabilités d'une tribu

L'ensemble vide appartient à $\mathcal{A}$ .
La tribu est stable par union finie.
En passant aux complémentaires, elle est stable par intersection finie ou dénombrable.

Le programme se limite à cette définition et à ces stabilités, sans autre développement.

Définition 1.3Espace probabilisable

Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est un espace probabilisable. Les éléments de $\mathcal{A}$ sont les événements.

Le vocabulaire de première année se généralise : événement contraire, événements incompatibles, implication d'événements.

Propriété 1.4Traduction avec les quantificateurs

L'union $\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n$ est réalisée si et seulement s'il existe $n$ tel que $A_n$ soit réalisé.
L'intersection $\bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n$ est réalisée si et seulement si, pour tout $n$ , $A_n$ est réalisé.

Cette traduction permet de manipuler des événements du type « le succès arrive au moins une fois » ou « le succès n'arrive jamais ».

1.2Variables aléatoires discrètes

Définition 1.5Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète $X$ est une application définie sur $\Omega$ telle que $X(\Omega)$ soit au plus dénombrable et que, pour tout $x \in X(\Omega)$ , l'ensemble $\{\omega : X(\omega) = x\}$ soit un événement.

Notations :

on écrit $(X = x)$ ou $\{X = x\}$ pour cet événement ;
on écrit $(X \in A)$ pour l'événement correspondant à une partie $A$ de $X(\Omega)$ ;
quand $X$ est à valeurs réelles, on écrit aussi $(X \geqslant x)$ , $(X > x)$ et leurs analogues.

En pratique, l'univers $\Omega$ n'est jamais explicité. On travaille directement avec les événements liés à $X$ . La construction d'espaces probabilisés est hors programme.

2Probabilité

2.1Définition

Définition 2.1Probabilité

Une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une application $P$ de $\mathcal{A}$ dans $[0, 1]$ telle que $P(\Omega) = 1$ et telle que, pour toute suite $(A_n)$ d'événements deux à deux incompatibles, $P\Big(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\Big) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n).$ Cette dernière propriété est la $\sigma$ -additivité. Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un espace probabilisé.

2.2Propriétés élémentaires

Propriété 2.2Propriétés élémentaires

Pour tous événements $A$ et $B$ :

$P(\emptyset) = 0$ ;
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ;
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ;
$P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$ ;
si $A \subset B$ , alors $P(A) \leqslant P(B)$ (croissance).

2.3Continuité monotone

Théorème 2.3Continuité croissante

Hypothèse : $(A_n)$ est une suite croissante d'événements pour l'inclusion.

Alors $P(A_n) \to P\big(\bigcup_{n} A_n\big)$ .

Théorème 2.4Continuité décroissante

Hypothèse : $(A_n)$ est une suite décroissante d'événements.

Alors $P(A_n) \to P\big(\bigcap_{n} A_n\big)$ .

Propriété 2.5Application à une suite quelconque

Pour une suite $(A_n)$ quelconque, pas nécessairement monotone, les unions $\bigcup_{k=0}^{n} A_k$ forment une suite croissante et les intersections $\bigcap_{k=0}^{n} A_k$ une suite décroissante. Donc : $\begin{aligned} P\Big(\bigcup_{k=0}^{n} A_k\Big) &\to P\Big(\bigcup_{k=0}^{+\infty} A_k\Big),\\ P\Big(\bigcap_{k=0}^{n} A_k\Big) &\to P\Big(\bigcap_{k=0}^{+\infty} A_k\Big). \end{aligned}$

C'est le mécanisme standard pour calculer la probabilité d'un événement du type « il existe $n$ tel que ».

2.4Sous-additivité

Propriété 2.6Sous-additivité

Pour toute suite d'événements $(A_n)$ : $P\Big(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\Big) \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n).$ Si la série à termes positifs diverge, la majoration reste vraie avec la convention que la somme vaut $+\infty$ .

2.5Vocabulaire

Définition 2.7Événements presque sûr et négligeable

Un événement est presque sûr si sa probabilité vaut 1, négligeable si elle vaut 0.

Attention

Un événement négligeable n'est pas forcément impossible, et un événement presque sûr n'est pas forcément égal à $\Omega$ .

Définition 2.8Système complet et quasi-complet

Un système complet d'événements est une famille au plus dénombrable d'événements deux à deux incompatibles dont l'union est $\Omega$ . Un système quasi-complet en est une variante où l'union est seulement presque sûre.

On utilise en pratique la version quasi-complète, car elle autorise à ignorer un cas de probabilité nulle, comme « le succès n'arrive jamais ».

3Probabilités conditionnelles

3.1Définition

Définition 3.1Probabilité conditionnelle

Soit $B$ un événement tel que $P(B) > 0$ . La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est $P(A \mid B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

Propriété 3.2

L'application $P_B$ est une probabilité sur le même espace probabilisable. Toutes les formules du chapitre s'y appliquent donc, ce qui est un raccourci utile.

3.2Probabilités composées

Propriété 3.3Formule des probabilités composées

Hypothèse : $A_1, \dots, A_n$ sont des événements tels que $P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) > 0$ .

Alors $\begin{aligned} P(A_1 \cap \dots \cap A_n) &= P(A_1)\,P(A_2 \mid A_1)\\ &\quad \times \dots \times P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}). \end{aligned}$

C'est la formule à utiliser dès qu'une expérience se déroule par étapes, chaque étape dépendant des précédentes.

3.3Probabilités totales

Théorème 3.4Formule des probabilités totales

Hypothèse : $(A_n)$ est un système complet ou quasi-complet d'événements.

Alors, pour tout événement $B$ : $\begin{aligned} P(B) &= \sum_{n=0}^{+\infty} P(B \cap A_n)\\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} P(B \mid A_n)\,P(A_n). \end{aligned}$ On adopte la convention $P(B \mid A_n)P(A_n) = 0$ lorsque $P(A_n) = 0$ , ce qui permet d'écrire la formule sans exclure de cas.

Elle consiste à conditionner par le résultat de la première étape, ou par la valeur d'une autre variable aléatoire.

3.4Formule de Bayes

Propriété 3.5Formule de Bayes

Hypothèse : $A$ et $B$ sont de probabilités strictement positives.

Alors $P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)},$ le dénominateur étant généralement calculé par la formule des probabilités totales.

Exemple 3.6Test de dépistage

Un test détecte une maladie avec une probabilité $0{,}99$ chez un malade, et donne un faux positif avec probabilité $0{,}02$ chez un sujet sain. La maladie touche une personne sur mille. Si le test est positif, la probabilité d'être malade vaut $\frac{0{,}99 \times 0{,}001}{0{,}99 \times 0{,}001 + 0{,}02 \times 0{,}999} \approx 0{,}047.$ Le résultat surprend : une faible prévalence domine une bonne fiabilité.

4Loi d'une variable aléatoire discrète

4.1Définition

Définition 4.1Loi d'une variable aléatoire

La loi de $X$ , notée $P_X$ , est la probabilité image. Elle est entièrement déterminée par la distribution de probabilités, c'est-à-dire par la donnée des $P(X = x)$ pour $x \in X(\Omega)$ . Ces nombres sont positifs et leur somme vaut 1.

On note $X \sim Y$ lorsque $X$ et $Y$ suivent la même loi.

Propriété 4.2Image par une fonction

Si $f$ est une application définie sur $X(\Omega)$ , alors $f(X)$ est une variable aléatoire discrète. Si $X \sim Y$ , alors $f(X) \sim f(Y)$ .

4.2Loi géométrique

Définition 4.3Loi géométrique

$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p \in\, ]0, 1[$ , notée $X \sim \mathcal{G}(p)$ , si $X$ est à valeurs dans $\N^*$ et si $P(X = k) = p(1-p)^{k-1} \quad \text{pour tout } k \geqslant 1.$

Propriété 4.4Vérification

La somme des $p(1-p)^{k-1}$ pour $k \geqslant 1$ vaut $p$ fois la somme d'une série géométrique de raison $1 - p$ , soit $\frac{p}{1 - (1-p)} = 1.$

Propriété 4.5Relation de queue

Si $X \sim \mathcal{G}(p)$ , alors $P(X > k) = (1-p)^k$ .

On l'obtient en sommant la série à partir de $k + 1$ , ou en interprétant : $X > k$ signifie que les $k$ premières épreuves ont échoué.

Interprétation : $X$ est le rang du premier succès dans une suite illimitée d'épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ .

Propriété 4.6Absence de mémoire

Pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ : $P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k).$

4.3Loi de Poisson

Définition 4.7Loi de Poisson

$X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ , notée $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , si $X$ est à valeurs dans $\N$ et si $P(X = k) = \e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^k}{k!} \quad \text{pour tout } k \in \N.$

Propriété 4.8Vérification

La somme des $\lambda^k / k!$ vaut $\e^{\lambda}$ , donc la somme des probabilités vaut 1.

Interprétation en termes d'événements rares. On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p_n$ , avec $n p_n \to \lambda$ . Alors la probabilité d'obtenir $k$ succès tend vers $\e^{-\lambda}\lambda^k / k!$ . La loi de Poisson modélise donc un grand nombre d'épreuves indépendantes ayant chacune une faible probabilité de succès, comme le nombre d'appels reçus par un standard en une heure.

4.4Couples et lois conjointes

Définition 4.9Loi conjointe

Un couple $(X, Y)$ de variables aléatoires discrètes est une variable aléatoire à valeurs dans un produit. Sa loi, dite loi conjointe, est donnée par les nombres $P(X = x, Y = y)$ .

Propriété 4.10Lois marginales

On obtient la loi de $X$ en sommant la loi conjointe sur toutes les valeurs de $y$ : $P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y).$ C'est une application directe de la sommation par paquets. Symétriquement pour $Y$ .

Attention

Les lois marginales ne déterminent pas la loi conjointe. Deux couples peuvent avoir les mêmes marginales et des lois conjointes différentes. Le passage de la conjointe aux marginales est à sens unique, sauf en cas d'indépendance.

Définition 4.11Loi conditionnelle

La loi conditionnelle de $Y$ sachant un événement $A$ de probabilité non nulle est donnée par les $P(Y = y \mid A)$ .

Tout s'étend aux $n$ -uplets de variables aléatoires.

5Indépendance

5.1Événements indépendants

Définition 5.1Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

Si $P(B) > 0$ , cela équivaut à $P(A \mid B) = P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change pas la probabilité de $A$ .

Propriété 5.2Passage aux contraires

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi, ainsi que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ .

Démonstration

$\begin{aligned} P(A \cap \overline{B}) &= P(A) - P(A \cap B)\\ &= P(A)\,(1 - P(B)). \end{aligned}$

Définition 5.3Famille finie indépendante

Les événements $A_1, \dots, A_n$ sont indépendants si, pour toute sous-famille, la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités.

Attention

Il ne suffit pas de vérifier les couples : l'indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance.

Exemple 5.4Contre-exemple des deux pièces

On lance deux pièces équilibrées. Soit $A$ l'événement « la première donne pile », $B$ « la seconde donne pile », $C$ « les deux résultats coïncident ». Ces trois événements sont deux à deux indépendants, chacun de probabilité $1/2$ , mais $P(A \cap B \cap C) = 1/4$ alors que le produit des trois probabilités vaut $1/8$ .

5.2Variables aléatoires indépendantes

Définition 5.5Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ définies sur $\Omega$ sont indépendantes, ce que l'on note $X \perp\!\!\!\perp Y$ , si pour toutes parties $A \subset X(\Omega)$ et $B \subset Y(\Omega)$ , les événements $(X \in A)$ et $(Y \in B)$ sont indépendants.

Propriété 5.6Caractérisation pratique

$X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour toutes valeurs $x$ et $y$ : $P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y).$

C'est cette version que l'on vérifie. Tout s'étend au cas de $n$ variables aléatoires.

Définition 5.7Suites i.i.d.

Une suite de variables aléatoires est indépendante si toute sous-famille finie l'est. Une suite indépendante et identiquement distribuée est dite i.i.d.

Le jeu de pile ou face infini se modélise par une suite i.i.d. de variables de Bernoulli. Le programme précise qu'on ne soulève aucune difficulté quant à l'existence d'un espace probabilisé portant une telle suite.

5.3Fonctions de variables indépendantes et coalitions

Propriété 5.8Fonctions de variables indépendantes

Si $X \perp\!\!\!\perp Y$ , alors $f(X) \perp\!\!\!\perp g(Y)$ pour toutes fonctions $f$ et $g$ . Cela s'étend à plus de deux variables.

Théorème 5.9Lemme des coalitions

Hypothèse : $X_1, \dots, X_n$ sont des variables aléatoires indépendantes.

Alors $f(X_1, \dots, X_m)$ et $g(X_{m+1}, \dots, X_n)$ sont indépendantes. L'énoncé s'étend à plus de deux coalitions.

Autrement dit, on peut regrouper les variables en blocs disjoints et traiter chaque bloc comme une seule variable. Par exemple, la somme des $m$ premières variables d'une suite i.i.d. est indépendante de la somme des suivantes.

Méthodes

MéthodeCalculer la probabilité d'un événement complexe

Chercher un système complet d'événements.
Appliquer les probabilités totales.

MéthodeTraiter une expérience par étapes

Utiliser les probabilités composées.
Dessiner si besoin un arbre.

MéthodeÉvénement du type « il existe $n$ tel que » ou « pour tout $n$ »

Écrire l'événement comme une union (ou une intersection).
Passer aux unions partielles croissantes (ou aux intersections partielles décroissantes).
Utiliser la continuité croissante (ou décroissante).

MéthodeIdentifier une loi géométrique

Chercher la structure « rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes ».

MéthodeLoi d'une variable définie à partir d'un couple

Pour un maximum, un minimum ou une somme :

Passer par la loi conjointe.
Sommer sur les couples convenables.

MéthodeProuver ou réfuter une indépendance

Pour prouver une indépendance, vérifier la caractérisation par la loi conjointe.
Pour la réfuter, il suffit d'un seul couple $(x, y)$ où l'égalité échoue.

MéthodeIntervertir deux sommations infinies

Invoquer la sommabilité, ce qui est immédiat puisque les termes sont positifs.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la définition d'une tribu et en déduire la stabilité par intersection dénombrable.
Démontrer la continuité croissante à partir de la $\sigma$ -additivité, en écrivant l'union comme une union disjointe.
Énoncer la formule des probabilités totales pour un système quasi-complet et l'appliquer à un problème d'urnes.
Traiter un exercice de type Bayes avec un test de dépistage et commenter le résultat.
Vérifier que la loi géométrique est bien une loi, calculer $P(X > k)$ et démontrer l'absence de mémoire.
Vérifier que la loi de Poisson est bien une loi et expliquer son interprétation comme limite de lois binomiales.
Retrouver les lois marginales d'une loi conjointe donnée, et montrer sur un exemple que la réciproque est fausse.
Donner le contre-exemple des deux pièces montrant que l'indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance, et énoncer le lemme des coalitions.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Tribu : elle contient ∅ et elle est stable par union finie et par intersection finie ou dénombrable. Exigible avec démonstration.
P(∅) = 0, probabilité du contraire, de la réunion et de la différence, croissance de P. Exigible avec démonstration.
Continuité croissante et continuité décroissante, pour une suite monotone d'événements. Exigible avec démonstration.
Pour une suite quelconque (A_n), P(A₀ ∪ … ∪ A_n) tend vers P(∪A_n), et de même pour les intersections. Exigible, conséquence directe.
Sous-additivité : P(∪A_n) ≤ ΣP(A_n), la somme pouvant valoir +∞. Exigible avec démonstration.
Si P(B) > 0, P_B est une probabilité. Exigible avec démonstration.
Probabilités composées, si P(A₁ ∩ … ∩ A_n−1) > 0. Exigible avec démonstration.
Probabilités totales pour un système complet ou quasi-complet, avec la convention P(B|A_n)P(A_n) = 0 si P(A_n) = 0. Exigible avec démonstration.
Formule de Bayes, pour P(A) > 0 et P(B) > 0. Exigible avec démonstration.
La loi de X est déterminée par les P(X = x), et X ~ Y entraîne f(X) ~ f(Y). Exigible, sans difficulté de mesurabilité.
Loi G(p), p ∈ ]0, 1[ : somme égale à 1, P(X > k) = (1 − p)^k, rang du premier succès. Exigible avec démonstration.
Loi P(λ), λ > 0 : somme égale à 1, interprétation en événements rares. Exigible. La convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson n'est pas un théorème du programme, mais sa preuve est un exercice classique.
Lois marginales obtenues en sommant la loi conjointe. Exigible, par sommation par paquets.
Si A et B sont indépendants, A et le contraire de B le sont aussi, avec extension à n événements. Exigible avec démonstration.
L'indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance. Exigible, par un contre-exemple.
X ⊥ Y si et seulement si P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) pour tous x et y. Exigible, preuve par sommation.
X ⊥ Y entraîne f(X) ⊥ g(Y). Exigible avec démonstration.
Lemme des coalitions, étendu à plus de deux coalitions. Énoncé exigible, démonstration non exigible.
Existence d'un espace probabilisé portant une suite i.i.d. Admis.
Hors programme en PC : variables à densité, espérance conditionnelle, convergences de suites de variables aléatoires. Le lemme de Borel-Cantelli n'est pas au programme, mais sa première moitié se redémontre (exercice 6).

Clés de démonstration

Intersection dénombrable. Le complémentaire de ∩A_n est l'union des complémentaires, qui est dans la tribu. On repasse au complémentaire. Astuce : De Morgan ramène tout à l'union et au complémentaire.

Continuité croissante. Pour (A_n) croissante, on pose B₀ = A₀ et B_n = A_n privé de A_n−1. Les B_n sont incompatibles, B₀ ∪ … ∪ B_n = A_n, et ∪B_n = ∪A_n. La σ-additivité donne P(∪A_n) = ΣP(B_n), limite des sommes partielles P(A_n). Astuce : rendre l'union disjointe par tranches.

Continuité décroissante. Les contraires forment une suite croissante. On applique la continuité croissante, puis la formule du contraire.

Sous-additivité. On pose B_n = A_n privé de A₀ ∪ … ∪ A_n−1. Les B_n sont incompatibles, de même union que les A_n, et B_n ⊂ A_n. Donc P(∪A_n) = ΣP(B_n) ≤ ΣP(A_n). Astuce : découpage disjoint, puis croissance.

Probabilités totales. B est l'union disjointe des B ∩ A_n et de B ∩ N, où N est le complémentaire de ∪A_n, vide ou négligeable. On applique la σ-additivité, et P(B ∩ N) ≤ P(N) = 0. Astuce : le reste négligeable ne coûte rien, par croissance.

Probabilités composées. Récurrence avec P(A₁ ∩ … ∩ A_n+1) = P(A₁ ∩ … ∩ A_n) P(A_n+1 | A₁ ∩ … ∩ A_n). Astuce : la plus petite intersection conditionnante est incluse dans toutes les autres, donc leurs probabilités sont aussi strictement positives.

Poisson comme limite. On suppose n p_n → λ et on fixe k. On écrit C(n, k) p_n^k (1 − p_n)^n−k comme produit de n(n − 1)…(n − k + 1)/n^k, qui tend vers 1, de (n p_n)^k/k!, qui tend vers λ^k/k!, et de (1 − p_n)^n−k. Comme p_n → 0, n ln(1 − p_n) = −n p_n (1 + o(1)) → −λ. Astuce : passer au logarithme.

Passage aux contraires. P(A ∩ Bᶜ) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A)(1 − P(B)). Pour n événements, on remplace un événement à la fois.

f(X) ⊥ g(Y). L'événement (f(X) ∈ C) est égal à (X ∈ f⁻¹(C)), et de même pour g. La définition par des parties s'applique telle quelle. Astuce : raisonner sur les images réciproques.

Caractérisation par la loi conjointe. Le sens direct prend des parties réduites à un point. Réciproquement, P(X ∈ A, Y ∈ B) est la somme des P(X = x)P(Y = y) sur A × B, qui se factorise. Astuce : les termes sont positifs, la sommation par paquets est licite.

Exemples et contre-exemples à connaître

Au pile ou face infini, « ne jamais obtenir face » n'est pas vide mais est négligeable, car inclus dans « n premiers piles », de probabilité 2⁻ⁿ. Négligeable ne veut pas dire impossible.
Il n'existe pas de loi uniforme sur N : si P(X = n) = c pour tout n, la somme vaut 0 ou +∞.
Si X et Y sont indépendantes de Bernoulli de paramètre 1/2, les couples (X, Y) et (X, X) ont les mêmes marginales, mais P(X = 0, X = 1) = 0 alors que P(X = 0, Y = 1) = 1/4.
A est indépendant de lui-même si et seulement si P(A) vaut 0 ou 1. Un événement négligeable est indépendant de tout événement.
Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont jamais indépendants, car P(A ∩ B) = 0 < P(A)P(B).
Si X ~ G(p), X − 1 compte les échecs avant le premier succès et vaut k ∈ N avec probabilité p(1 − p)^k. Ce n'est pas une loi géométrique au sens du programme, qui impose des valeurs dans N*.
Si X ~ P(λ) et Y ~ P(μ) sont indépendantes, X + Y ~ P(λ + μ). Sans indépendance, c'est faux : X + X = 2X ne prend que des valeurs paires.
Si X ~ G(p) et Y ~ G(q) sont indépendantes, min(X, Y) ~ G(p + q − pq) : deux joueurs en parallèle attendent encore un premier succès.

Techniques du chapitre

Technique 1 : passer au contraire pour « au moins une fois ». On lance n fois un dé. Par indépendance, P(au moins un six) = 1 − (5/6)ⁿ. Elle dépasse 1/2 dès n = 4, car (5/6)⁴ = 625/1296 < 1/2, alors que (5/6)³ = 125/216 > 1/2.

Technique 2 : continuité monotone pour « un jour » ou « jamais ». On lance un dé indéfiniment. « Obtenir un six » est l'union croissante des E_n, « un six parmi les n premiers lancers ». Sa probabilité est la limite de 1 − (5/6)ⁿ, soit 1.

Technique 3 : découper selon le rang, puis sommer une série. A et B lancent tour à tour, A commence, chaque lancer réussit avec probabilité p ∈ ]0, 1[, le premier succès gagne. A gagne au lancer 2k + 1 avec probabilité (1 − p)^2k p. Donc P(A gagne) = p/(1 − (1 − p)²) = 1/(2 − p), strictement supérieur à 1/2.

Technique 4 : convolution. X et Y sont indépendantes de loi G(p). Pour n ≥ 2, P(X + Y = n) = Σ_k=1ⁿ⁻¹ P(X = k)P(Y = n − k) = (n − 1)p²(1 − p)ⁿ⁻². Les bornes viennent de X ≥ 1 et Y ≥ 1.

Technique 5 : maximum et minimum par les queues. X et Y sont indépendantes de loi G(p), et M = max(X, Y). On a (M ≤ k) = (X ≤ k) ∩ (Y ≤ k), donc P(M ≤ k) = (1 − (1 − p)^k)², puis P(M = k) = P(M ≤ k) − P(M ≤ k − 1). Pour le minimum, (min > k) = (X > k) ∩ (Y > k).

Technique 6 : renverser un conditionnement avec Bayes. On choisit une urne au hasard parmi deux. U₁ contient 3 blanches et 1 noire, U₂ contient 1 blanche et 3 noires. On tire une blanche. Alors P(U₁ | blanche) = (1/2 × 3/4)/(1/2 × 3/4 + 1/2 × 1/4) = 3/4.

Technique 7 : réfuter une indépendance par une case nulle. X et Y sont indépendantes de Bernoulli de paramètre 1/2, et S = X + Y. P(X = 0, S = 2) = 0 alors que P(X = 0)P(S = 2) = 1/8. On cherche deux valeurs possibles chacune mais incompatibles ensemble.

Technique 8 : reconnaître une loi géométrique. Une urne contient b blanches et r noires, on tire avec remise, T est le rang de la première blanche. Les tirages sont indépendants de même probabilité de succès, donc T ~ G(b/(b + r)). Sans remise, T n'est pas géométrique.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Pièce truquée et Bayes

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Parmi n pièces, l'une porte pile sur ses deux faces, les autres sont équilibrées. On choisit une pièce au hasard, on la lance k fois et on obtient k piles. Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée ? Pour n = 100, combien de lancers faut-il pour dépasser 0,99 ?

Technique probabilités totales, puis Bayes.

Voir le corrigé

On note T « pièce truquée » et F_k « k piles ». P(T) = 1/n, P(F_k|T) = 1 et, par indépendance des lancers, P(F_k|Tᶜ) = 2^−k.
Avec le système complet (T, Tᶜ), P(F_k) = 1/n + (n − 1)/(n 2^k).
Par Bayes, P(T|F_k) = 2^k/(2^k + n − 1).
Pour n = 100, la condition équivaut à 0,01 × 2^k > 0,99 × 99, soit 2^k > 9801. Comme 2¹³ = 8192 et 2¹⁴ = 16384, il faut k ≥ 14.

piège : Confondre P(T|F_k) et P(F_k|T), qui vaut 1.

Exercice 2. Une loi conjointe donnée par une formule

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Pour tous j et k dans N, P(X = j, Y = k) = a (j + k)/(2^j+k j! k!). Déterminer a, les lois marginales, et dire si X et Y sont indépendantes.

Technique sommation par paquets et séries exponentielles.

Voir le corrigé

Les termes sont positifs, on somme dans l'ordre voulu. Avec Σ_j j x^j/j! = x e^x, le paquet des termes en j vaut (1/2)e^1/2 × e^1/2 = e/2. Par symétrie, celui des termes en k aussi.
La somme totale vaut a e, donc a = 1/e.
P(X = j) = (1/e)(1/(2^j j!))(j e^1/2 + e^1/2/2) = (j + 1/2) e^−1/2/(2^j j!). Y a la même loi, par symétrie.
P(X = 0, Y = 0) = 0, alors que P(X = 0)P(Y = 0) = e⁻¹/4. X et Y ne sont pas indépendantes.

piège : Écrire Σ_j j x^j/j! = e^x en oubliant le décalage d'indice.

Exercice 3. Somme de deux variables de Poisson

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

X ~ P(λ) et Y ~ P(μ) sont indépendantes. Déterminer la loi de X + Y, puis la loi conditionnelle de X sachant (X + Y = n).

Technique convolution, puis formule du binôme.

Voir le corrigé

(X + Y = n) est l'union disjointe des (X = k, Y = n − k), pour k de 0 à n.
Par indépendance, P(X + Y = n) = e^−(λ+μ)/n! × Σ C(n, k) λ^k μ^n−k = e^−(λ+μ) (λ + μ)ⁿ/n!. Donc X + Y ~ P(λ + μ).
Pour 0 ≤ k ≤ n, P(X = k | X + Y = n) = P(X = k)P(Y = n − k)/P(X + Y = n) = C(n, k) r^k (1 − r)^n−k, avec r = λ/(λ + μ). C'est la loi B(n, r).

piège : Faire varier k jusqu'à +∞, ou factoriser sans invoquer l'indépendance.

Exercice 4. Minimum et égalité de deux lois géométriques

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

X ~ G(p) et Y ~ G(q) sont indépendantes. Déterminer la loi de min(X, Y), puis P(X = Y).

Technique passer par les queues.

Voir le corrigé

Pour k ∈ N, (min > k) = (X > k) ∩ (Y > k), donc P(min > k) = s^k, avec s = (1 − p)(1 − q) ∈ ]0, 1[.
Pour k ≥ 1, P(min = k) = s^k−1 − s^k = s^k−1(1 − s). Donc min(X, Y) ~ G(p + q − pq).
(X = Y) est l'union disjointe des (X = k, Y = k), d'où P(X = Y) = Σ_k≥1 pq s^k−1 = pq/(p + q − pq).

piège : Écrire (min > k) comme une union, ou confondre P(X > k) et P(X ≥ k).

Exercice 5. Les lois sans mémoire

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

X est à valeurs dans N*, avec P(X > k) > 0 pour tout k ∈ N, et P(X > n + k | X > n) = P(X > k) pour tous n et k dans N. Montrer que X suit une loi géométrique.

Technique équation fonctionnelle sur la queue, puis continuité décroissante.

Voir le corrigé

On pose u_k = P(X > k). Comme (X > n + k) ⊂ (X > n), l'hypothèse s'écrit u_n+k = u_n u_k, et u₀ = 1. Par récurrence, u_k = q^k avec q = u₁.
On a q > 0. Si q = 1, P(X > k) = 1 pour tout k. Or (X > k) décroît vers l'ensemble vide, car X prend des valeurs finies. Par continuité décroissante, P(X > k) tend vers 0, absurde. Donc q ∈ ]0, 1[.
Pour k ≥ 1, P(X = k) = u_k−1 − u_k = q^k−1(1 − q), donc X ~ G(1 − q).

piège : Oublier d'exclure q = 1.

Exercice 6. Une infinité de réalisations

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit (A_n) une suite d'événements telle que ΣP(A_n) converge. Montrer que « A_n est réalisé pour une infinité d'indices » est négligeable. Application : à l'instant n ≥ 1, une pièce donne pile avec probabilité 1/n². Montrer que presque sûrement, on n'obtient qu'un nombre fini de piles.

Technique quantificateurs, continuité décroissante, sous-additivité.

Voir le corrigé

« Une infinité d'indices » signifie : pour tout n, il existe k ≥ n tel que A_k soit réalisé. L'événement est l'intersection des C_n, où C_n est l'union des A_k pour k ≥ n.
(C_n) est décroissante, donc la probabilité de l'intersection est la limite de P(C_n).
Par sous-additivité, P(C_n) ≤ Σ_k≥n P(A_k), reste d'une série convergente, qui tend vers 0.
Application : Σ1/n² converge. L'indépendance des lancers n'a pas servi.

piège : Traduire « une infinité de fois » par une simple union, ou citer Borel-Cantelli sans le redémontrer.

Exercice 7. Œufs et éclosions

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Le nombre N d'œufs pondus suit la loi P(λ). Sachant (N = n), le nombre X d'œufs éclos suit la loi B(n, p), avec p ∈ ]0, 1[. On pose Y = N − X. Déterminer les lois de X et Y, et montrer qu'elles sont indépendantes.

Technique probabilités totales avec le système complet (N = n), puis factorisation.

Voir le corrigé

Pour k ∈ N, P(X = k) = Σ_n≥k P(N = n) C(n, k) p^k (1 − p)^n−k, les termes d'indice n < k étant nuls.
Cette somme vaut e^−λ (λp)^k/k! × Σ_n≥k (λ(1 − p))^n−k/(n − k)! = e^−λp (λp)^k/k!. Donc X ~ P(λp). Sachant (N = n), Y suit B(n, 1 − p), donc Y ~ P(λ(1 − p)).
(X = k, Y = m) = (N = k + m, X = k), de probabilité e^−λ λ^k+m/(k + m)! × (k + m)!/(k! m!) × p^k (1 − p)^m.
Ce nombre vaut [e^−λp (λp)^k/k!] × [e^−λ(1−p) (λ(1 − p))^m/m!], produit des marginales, donc X ⊥ Y.

piège : Croire X et Y dépendantes parce que X + Y = N. Leur somme est aléatoire, et l'indépendance est propre au cas poissonnien.

Exercice 8. Attendre deux piles consécutifs

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Pour n ≥ 1, E_n est l'événement « deux piles consécutifs apparaissent pour la première fois aux lancers n − 1 et n », et p_n = P(E_n). Montrer que p_n = (1/2)p_n−1 + (1/4)p_n−2 pour n ≥ 3, que deux piles consécutifs apparaissent presque sûrement, puis exprimer p_n.

Technique conditionner par le début de la partie, puis sommer la récurrence.

Voir le corrigé

p₁ = 0 et p₂ = 1/4. On conditionne par le système complet F, PF, PP (débuts de partie), de probabilités 1/2, 1/4, 1/4.
Pour n ≥ 3, E_n ∩ PP est vide. E_n ∩ F signifie : face au rang 1, puis la suite à partir du rang 2 réalise E_n−1. Par le lemme des coalitions, cette suite décalée est indépendante du premier lancer et a la même loi que la suite complète. Donc P(E_n ∩ F) = (1/2)p_n−1. De même, P(E_n ∩ PF) = (1/4)p_n−2.
Les probabilités totales donnent la relation.
Les E_n sont incompatibles, donc S = Σ_n≥2 p_n ≤ 1. En sommant pour n ≥ 3, S − 1/4 = S/2 + S/4, donc S = 1. « Jamais deux piles consécutifs » est négligeable.
L'équation r² = r/2 + 1/4 a pour racines r₊ = (1 + √5)/4 et r₋ = (1 − √5)/4. Avec p₁ et p₂, p_n = (r₊ⁿ⁻¹ − r₋ⁿ⁻¹)/(2√5) = F_n−1/2ⁿ, où F est la suite de Fibonacci avec F₁ = F₂ = 1.

piège : Dire que « tout recommence » sans justifier ce redémarrage par l'indépendance et l'égalité de loi.

Exercice 9. Ruine du joueur

Approfondissement · Type oral Centrale

Un joueur possède k euros, 0 ≤ k ≤ N. À chaque partie, indépendamment, il gagne 1 euro avec probabilité p ∈ ]0, 1[ et en perd 1 avec probabilité q = 1 − p. Il s'arrête en 0 ou en N. Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement, et calculer la probabilité u_k d'atteindre N.

Technique blocs indépendants et continuité décroissante, puis récurrence linéaire d'ordre deux.

Voir le corrigé

On groupe les parties en blocs de N. Si le jeu dure au début d'un bloc formé uniquement de gains, la fortune atteint N dans ce bloc. Donc « le jeu dure plus de mN parties » est inclus dans « aucun des m premiers blocs n'est formé uniquement de gains », de probabilité (1 − p^N)^m par indépendance des blocs. Par continuité décroissante, un jeu sans fin est négligeable.
Pour 1 ≤ k ≤ N − 1, on conditionne par la première partie et, par le même argument de décalage qu'à l'exercice 8, u_k = p u_k+1 + q u_k−1, avec u₀ = 0 et u_N = 1.
Si p ≠ 1/2, les racines 1 et q/p sont distinctes, et u_k = (1 − (q/p)^k)/(1 − (q/p)^N).
Si p = 1/2, la racine 1 est double, u_k = α + βk, donc u_k = k/N.

piège : Oublier de prouver que le jeu s'arrête, ou poser u₀ = 1.

Erreurs fréquentes

Confondre incompatibles et indépendants : additionner sans incompatibilité, ou multiplier sans indépendance.
Appliquer la continuité monotone à une suite non monotone, sans passer par les unions ou intersections partielles.
Conditionner par un événement de probabilité nulle, ou utiliser une famille qui n'est ni un système complet ni un système quasi-complet.
Se tromper de convention géométrique : P(X > k) = (1 − p)^k mais P(X ≥ k) = (1 − p)^k−1. Mal placer les bornes d'une convolution est une erreur voisine.
Déduire l'indépendance d'une famille de son indépendance deux à deux, ou reconstruire la loi conjointe à partir des marginales sans hypothèse d'indépendance.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Variables aléatoires discrètes », section B « Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles ». Toutes les variables aléatoires sont implicitement supposées discrètes. Les variables à densité, l'espérance conditionnelle et les notions de convergence de suites de variables aléatoires sont hors programme en PC.

Probabilités, variables aléatoires discrètes et lois usuelles

Résumé en cinq points

1Univers, tribu, variables aléatoires

1.1Espace probabilisable

1.2Variables aléatoires discrètes

2Probabilité

2.1Définition

2.2Propriétés élémentaires

2.3Continuité monotone

2.4Sous-additivité

2.5Vocabulaire

3Probabilités conditionnelles

3.1Définition

3.2Probabilités composées

3.3Probabilités totales

3.4Formule de Bayes

4Loi d'une variable aléatoire discrète

4.1Définition

4.2Loi géométrique

4.3Loi de Poisson

4.4Couples et lois conjointes

5Indépendance

5.1Événements indépendants

5.2Variables aléatoires indépendantes

5.3Fonctions de variables indépendantes et coalitions

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Pièce truquée et Bayes

Exercice 2. Une loi conjointe donnée par une formule

Exercice 3. Somme de deux variables de Poisson

Exercice 4. Minimum et égalité de deux lois géométriques

Exercice 5. Les lois sans mémoire

Exercice 6. Une infinité de réalisations

Exercice 7. Œufs et éclosions

Exercice 8. Attendre deux piles consécutifs

Exercice 9. Ruine du joueur

Erreurs fréquentes

Au concours