Le cours

Résumé en cinq points

L'espérance existe quand la famille des $x\,\P(X = x)$ est sommable. Elle est linéaire, croissante, et la formule de transfert donne $\E(f(X))$ sans passer par la loi de $f(X)$ .
Pour $X$ à valeurs entières, $\E(X)$ est la somme des $\P(X \geqslant n)$ pour $n \geqslant 1$ . Pour la loi géométrique $\E(X) = 1/p$ et $\V(X) = (1-p)/p^2$ , pour la loi de Poisson $\E(X) = \V(X) = \lambda$ .
$\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2$ , $\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ , et la variance d'une somme de variables deux à deux indépendantes est la somme des variances.
La fonction génératrice $G_X(t) = \E(t^X)$ caractérise la loi, se multiplie pour les sommes de variables indépendantes, et donne l'espérance et la variance par dérivation en $1$ .
Markov majore $\P(X \geqslant a)$ par $\E(X)/a$ pour $X$ positive, Bienaymé-Tchebychev majore $\P(\abs{X - \E(X)} \geqslant \varepsilon)$ par $\V(X)/\varepsilon^2$ , et la combinaison des deux donne la loi faible des grands nombres.

Pourquoi ce chapitre

L'espérance est la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la variance mesure sa dispersion autour de cette moyenne. Sur un univers fini, ces quantités sont des sommes finies et tout est immédiat.

Ici les sommes sont infinies, donc il faut d'abord dire quand elles ont un sens : c'est le rôle de la sommabilité, introduite au chapitre sur les familles sommables. Ensuite on retrouve les propriétés attendues : linéarité, croissance, comportement multiplicatif pour les variables indépendantes.

Le chapitre apporte deux outils nouveaux :

les fonctions génératrices, qui transforment un calcul de loi en un calcul de série entière ;
les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, qui conduisent à la loi faible des grands nombres, premier théorème limite de la scolarité.

C'est le chapitre de probabilités le plus présent aux concours.

1Espérance

1.1Définitions

Définition 1.1Espérance d'une variable positive

Pour $X$ à valeurs dans $[0, +\infty]$ , on pose $\E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x\,\P(X = x).$ Cette somme est toujours définie dans $[0, +\infty]$ , puisque les termes sont positifs. On adopte la convention $x\,\P(X = x) = 0$ lorsque $x = +\infty$ et $\P(X = +\infty) = 0$ .

Définition 1.2Espérance finie

Une variable aléatoire $X$ à valeurs réelles ou complexes est d'espérance finie si la famille $\big(x\,\P(X = x)\big)_{x \in X(\Omega)}$ est sommable. Dans ce cas, l'espérance $\E(X)$ est la somme de cette famille.

Attention

C'est la sommabilité, donc la convergence absolue, qui est demandée. Une variable dont la série des $x\,\P(X = x)$ converge sans converger absolument n'a pas d'espérance.

Définition 1.3Variable centrée

Une variable est centrée si son espérance est nulle. Pour toute $X$ d'espérance finie, $X - \E(X)$ est centrée.

1.2Une formule utile

Propriété 1.4Espérance par les queues

Pour $X$ à valeurs dans $\N \cup \{+\infty\}$ , l'égalité suivante a lieu dans $[0, +\infty]$ : $\E(X) = \sum_{n=1}^{+\infty} \P(X \geqslant n).$

Idée de la preuve : on écrit $\P(X \geqslant n)$ comme la somme des $\P(X = k)$ pour $k \geqslant n$ , puis on intervertit les deux sommations, ce qui est licite puisque tous les termes sont positifs. Chaque $\P(X = k)$ apparaît $k$ fois, une fois pour chaque $n$ compris entre $1$ et $k$ .

Exemple 1.5Loi géométrique

Pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ , on a $\P(X \geqslant n) = \P(X > n-1) = (1-p)^{n-1}$ . La formule donne $\E(X) = \sum_{n=1}^{+\infty} (1-p)^{n-1} = \frac{1}{p}.$

1.3Espérances des lois usuelles

Propriété 1.6Loi géométrique

Pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ , $\E(X) = \dfrac{1}{p}$ .

Calcul direct : avec $q = 1 - p$ , $\sum_{k \geqslant 1} k p q^{k-1}$ vaut $p$ fois la somme des $k q^{k-1}$ , c'est-à-dire $p \times \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}.$ On reconnaît la dérivée terme à terme de la série géométrique.

Propriété 1.7Loi de Poisson

Pour $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , $\E(X) = \lambda$ .

Calcul : $\begin{aligned} \sum_{k \geqslant 1} k\,\e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} &= \lambda\,\e^{-\lambda}\sum_{k \geqslant 1}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\\ &= \lambda\,\e^{-\lambda}\,\e^{\lambda} = \lambda. \end{aligned}$

1.4Formule de transfert

Théorème 1.8Formule de transfert

Hypothèses

$X$ est une variable aléatoire discrète ;
$f$ est une application définie sur $X(\Omega)$ .

Alors $f(X)$ est d'espérance finie si et seulement si la famille $\big(f(x)\,\P(X = x)\big)_{x \in X(\Omega)}$ est sommable. Dans ce cas, $\E(f(X))$ est la somme de cette famille.

Elle permet de calculer $\E(f(X))$ sans déterminer la loi de $f(X)$ . Elle s'applique aussi aux couples et aux $n$ -uplets : $\E(f(X, Y))$ est la somme des $f(x, y)\,\P(X = x, Y = y)$ .

Exemple 1.9 $\E(X^2)$ pour une loi de Poisson

Pour $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , on écrit $k^2 = k(k-1) + k$ . Comme $\sum_{k} k(k-1)\,\e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda^2$ , on obtient $\E(X^2) = \lambda^2 + \lambda.$

1.5Propriétés

Propriété 1.10Linéarité

Hypothèses

$X$ et $Y$ sont d'espérance finie ;
$a$ et $b$ sont des scalaires.

Alors $aX + bY$ est d'espérance finie et $\E(aX + bY) = a\,\E(X) + b\,\E(Y)$ .

La linéarité ne demande aucune indépendance.

Propriété 1.11Domination

Si $\abs{X} \leqslant Y$ et si $Y$ est d'espérance finie, alors $X$ est d'espérance finie.

Propriété 1.12Positivité et croissance

Si $X$ est positive, $\E(X) \geqslant 0$ .
Si $X \leqslant Y$ et si les deux espérances sont finies, alors $\E(X) \leqslant \E(Y)$ .

Propriété 1.13Cas d'annulation

Si $X$ est positive et d'espérance nulle, alors l'événement $(X = 0)$ est presque sûr.

1.6Produit de variables indépendantes

Théorème 1.14Espérance d'un produit

Hypothèses

$X$ et $Y$ sont indépendantes ;
$X$ et $Y$ sont d'espérance finie.

Alors $XY$ est d'espérance finie et $\E(XY) = \E(X)\,\E(Y)$ . L'énoncé s'étend à $n$ variables indépendantes.

Attention

La réciproque est fausse : $\E(XY) = \E(X)\E(Y)$ n'entraîne pas l'indépendance. Soit $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$ et $Y = X^2$ . Alors $XY = X^3 = X$ , donc $\E(XY) = \E(X) = 0 = \E(X)\E(Y)$ . Pourtant $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, puisque $Y$ est une fonction de $X$ .

2Variance, écart type, covariance

2.1Existence

Propriété 2.1Carré intégrable

Si $X^2$ est d'espérance finie, alors $X$ l'est aussi. Cela découle de la domination $\abs{X} \leqslant \dfrac{1 + X^2}{2}$ .

Théorème 2.2Inégalité de Cauchy-Schwarz

Hypothèse : $X^2$ et $Y^2$ sont d'espérance finie.

Alors $XY$ est d'espérance finie et $\E(XY)^2 \leqslant \E(X^2)\,\E(Y^2).$ Il y a égalité si et seulement s'il existe des réels $a$ et $b$ non tous les deux nuls tels que $aX + bY = 0$ presque sûrement.

Démonstration

Idée de la preuve. Pour tout réel $t$ , $\E\big((X + tY)^2\big)$ est un trinôme en $t$ à valeurs positives. Son discriminant est donc négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité. Le cas d'égalité correspond à l'existence d'une racine.

2.2Variance

Définition 2.3Variance et écart type

Si $X^2$ est d'espérance finie, la variance de $X$ est $\V(X) = \E\big((X - \E(X))^2\big),$ et l'écart type est $\sigma(X) = \sqrt{\V(X)}$ .

Théorème 2.4Formule de König-Huygens

Si $X^2$ est d'espérance finie : $\V(X) = \E(X^2) - \E(X)^2.$ Elle s'obtient en développant le carré et en utilisant la linéarité.

Propriété 2.5Propriétés de la variance

$\V(X) \geqslant 0$ , et $\V(X) = 0$ si et seulement si $X$ est presque sûrement égale à sa moyenne ;
$\V(aX + b) = a^2\,\V(X)$ ;
si $\sigma(X) > 0$ , la variable $\dfrac{X - \E(X)}{\sigma(X)}$ est centrée réduite, c'est-à-dire d'espérance nulle et de variance $1$ .

Propriété 2.6Variances usuelles

Pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ , $\V(X) = \dfrac{1-p}{p^2}$ .
Pour $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ , $\V(X) = \lambda$ , ce qui se retrouve avec $\E(X^2) = \lambda^2 + \lambda$ calculé plus haut.

2.3Covariance

Définition 2.7Covariance

Pour $X$ et $Y$ de carré d'espérance finie, la covariance est $\operatorname{Cov}(X, Y) = \E\big((X - \E(X))(Y - \E(Y))\big),$ et l'on a $\operatorname{Cov}(X, Y) = \E(XY) - \E(X)\E(Y)$ .

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ . La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple de la section précédente.

Propriété 2.8Variance d'une somme

$\V(X + Y) = \V(X) + \V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y).$ Plus généralement, la variance d'une somme finie est la somme des variances augmentée du double de la somme des covariances des couples d'indices distincts.

Propriété 2.9Cas fondamental

Hypothèse : $X_1, \dots, X_n$ sont deux à deux indépendantes.

Alors toutes les covariances sont nulles et $\V(X_1 + \dots + X_n) = \V(X_1) + \dots + \V(X_n).$

L'hypothèse d'indépendance deux à deux suffit ici, contrairement à d'autres énoncés du chapitre précédent.

3Fonctions génératrices

3.1Définition

Définition 3.1Fonction génératrice

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ . Sa fonction génératrice est $G_X(t) = \E(t^X) = \sum_{n=0}^{+\infty} \P(X = n)\,t^n.$

Propriété 3.2Rayon de convergence

La série entière définissant $G_X$ a un rayon supérieur ou égal à $1$ , puisque la somme des $\P(X = n)$ vaut $1$ , donc la suite des coefficients est bornée. Elle converge normalement sur $\intff{-1}{1}$ , car $\abs{\P(X = n)\,t^n} \leqslant \P(X = n)$ . En particulier $G_X$ est continue sur $\intff{-1}{1}$ , et $G_X(1) = 1$ .

Théorème 3.3Caractérisation de la loi

La loi de $X$ est caractérisée par $G_X$ : deux variables à valeurs dans $\N$ ayant la même fonction génératrice ont la même loi.

Cela résulte de l'unicité des coefficients d'une série entière.

3.2Fonctions génératrices usuelles

À savoir calculer rapidement :

Bernoulli de paramètre $p$ : $G_X(t) = 1 - p + pt$ ;
binomiale de paramètres $n$ et $p$ : $G_X(t) = (1 - p + pt)^n$ , par la formule du binôme ;
géométrique de paramètre $p$ : $G_X(t) = \dfrac{pt}{1 - (1-p)t}$ , valable pour $\abs{t} < \dfrac{1}{1-p}$ ;
Poisson de paramètre $\lambda$ : $G_X(t) = \e^{\lambda(t-1)}$ , pour tout $t$ réel.

3.3Espérance et variance par la fonction génératrice

Théorème 3.4Espérance et dérivée en 1

$X$ est d'espérance finie si et seulement si $G_X$ est dérivable en $1$ , et dans ce cas $\E(X) = G_X'(1)$ .

La démonstration de la réciproque n'est pas exigible.

Quand le rayon de convergence est strictement supérieur à $1$ , $G_X$ est de classe $C^\infty$ sur un voisinage de $1$ et tout est licite. On obtient $\E(X) = G_X'(1)$ et, par la formule de transfert appliquée à $n(n-1)$ : $G_X''(1) = \E\big(X(X-1)\big) = \E(X^2) - \E(X).$

À retenir

$\V(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - G_X'(1)^2.$

Exemple 3.5Loi de Poisson

On a $G_X(t) = \e^{\lambda(t-1)}$ , donc $G_X'(t) = \lambda\,\e^{\lambda(t-1)}$ et $G_X''(t) = \lambda^2\,\e^{\lambda(t-1)}$ . En $t = 1$ on obtient $\E(X) = \lambda$ et $\V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ .

3.4Somme de variables indépendantes

Théorème 3.6Fonction génératrice d'une somme

Hypothèses

$X$ et $Y$ sont indépendantes ;
$X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\N$ .

Alors $G_{X+Y} = G_X\,G_Y$ . L'énoncé s'étend à une somme finie de variables indépendantes.

Démonstration

On a $t^{X+Y} = t^X t^Y$ , et $t^X$ et $t^Y$ sont indépendantes comme fonctions de $X$ et de $Y$ . L'espérance du produit est donc le produit des espérances.

Exemple 3.7Somme de lois de Poisson

La somme de deux variables de Poisson indépendantes de paramètres $\lambda$ et $\mu$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda + \mu$ . En effet le produit des fonctions génératrices vaut $\e^{(\lambda+\mu)(t-1)}$ , et la fonction génératrice caractérise la loi.

4Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres

4.1Inégalité de Markov

Théorème 4.1Inégalité de Markov

Hypothèses

$X$ est positive et d'espérance finie ;
$a > 0$ .

Alors $\P(X \geqslant a) \leqslant \frac{\E(X)}{a}.$

Démonstration

On compare $X$ à la variable qui vaut $a$ sur l'événement $(X \geqslant a)$ et $0$ ailleurs. Cette dernière est inférieure ou égale à $X$ , donc son espérance, qui vaut $a\,\P(X \geqslant a)$ , est majorée par $\E(X)$ .

4.2Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème 4.2Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Hypothèses

$X$ admet une variance ;
$\varepsilon > 0$ .

Alors $\P\big(\abs{X - \E(X)} \geqslant \varepsilon\big) \leqslant \frac{\V(X)}{\varepsilon^2}.$

Démonstration

On applique Markov à la variable positive $(X - \E(X))^2$ , avec le seuil $\varepsilon^2$ . L'événement $\big(\abs{X - \E(X)} \geqslant \varepsilon\big)$ est exactement l'événement $\big((X - \E(X))^2 \geqslant \varepsilon^2\big)$ .

Une variable s'écarte rarement de sa moyenne de plus de quelques écarts types. En prenant $\varepsilon = k\,\sigma(X)$ , la majoration devient $1/k^2$ .

4.3Loi faible des grands nombres

Théorème 4.3Loi faible des grands nombres

Hypothèses

$(X_n)$ est une suite i.i.d. de variables aléatoires de variance finie ;
$m = \E(X_1)$ et $\sigma = \sigma(X_1)$ ;
$S_n$ est la somme des $n$ premières variables.

Alors, pour tout $\varepsilon > 0$ , $\P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geqslant \varepsilon\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.$

Démonstration

Par linéarité, $\E(S_n/n) = m$ . Les variables étant indépendantes, $\V(S_n) = n\sigma^2$ , donc $\V(S_n/n) = \sigma^2/n$ . Bienaymé-Tchebychev donne alors $\P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2},$ qui tend vers $0$ .

Attention

Cette convergence porte sur des probabilités, pas sur les variables elles-mêmes. Les différents modes de convergence de suites de variables aléatoires sont hors programme en PC, on se contente donc de l'énoncé sous cette forme.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Avant de calculer une espérance, justifier son existence par la sommabilité, ou par une domination.
Pour calculer $\E(f(X))$ , utiliser la formule de transfert, jamais la loi de $f(X)$ , sauf si l'énoncé la demande.
Pour calculer $\E(X^2)$ , passer souvent par $\E(X(X-1))$ , plus simple avec des factorielles ou des séries géométriques dérivées.
Pour une variable à valeurs dans $\N$ , la formule $\E(X) = \sum_{n \geqslant 1} \P(X \geqslant n)$ est souvent le chemin le plus court.
Pour une somme de variables, utiliser la linéarité de l'espérance sans condition, et l'indépendance deux à deux pour la variance.
Pour reconnaître une loi ou sommer des variables indépendantes à valeurs entières, passer par la fonction génératrice.
Pour majorer une probabilité d'écart à la moyenne, utiliser Markov si la variable est positive, Bienaymé-Tchebychev si on connaît la variance.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir l'espérance en distinguant le cas positif et le cas général, et expliquer le rôle de la sommabilité.
Démontrer la formule $\E(X) = \sum_{n \geqslant 1} \P(X \geqslant n)$ pour $X$ à valeurs entières et l'appliquer à la loi géométrique.
Calculer l'espérance et la variance des lois géométrique et de Poisson, par deux méthodes différentes.
Énoncer la formule de transfert et l'utiliser pour calculer $\E(X^2)$ .
Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz par le discriminant et donner le cas d'égalité.
Donner un contre-exemple montrant que $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ n'entraîne pas l'indépendance.
Calculer les fonctions génératrices des lois de Bernoulli, binomiale, géométrique et de Poisson, et en déduire espérance et variance.
Démontrer Markov, en déduire Bienaymé-Tchebychev, puis la loi faible des grands nombres avec la majoration en $\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Espérance d'une variable à valeurs dans [0, +∞] : toujours définie, dans [0, +∞]. C'est une définition.
Espérance finie : la famille des x P(X = x) est sommable. C'est une définition, qui s'accompagne de la notion de variable centrée.
Pour X à valeurs dans N ∪ {+∞}, E(X) = Σ_n≥1 P(X ≥ n) dans [0, +∞]. Exigible avec démonstration.
Espérance et variance des lois géométrique et de Poisson. Exigibles, calculs à savoir refaire.
Formule de transfert, valable aussi pour les couples et les n-uplets. Exigible, la preuve par regroupement de termes est rarement demandée.
Linéarité de l'espérance, sans hypothèse d'indépendance. Exigible.
Domination : si |X| ≤ Y avec E(Y) finie, alors X est d'espérance finie. Exigible avec démonstration.
Positivité et croissance, et le cas d'annulation : X ≥ 0 et E(X) = 0 entraînent que (X = 0) est presque sûr. Exigibles avec démonstration.
Si X et Y sont indépendantes et d'espérance finie, alors E(XY) = E(X)E(Y), avec l'extension à n variables. Exigible.
Si E(X²) est finie, alors E(X) est finie. Exigible avec démonstration.
Inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, pour X² et Y² d'espérance finie. Exigible avec démonstration.
König-Huygens et V(aX + b) = a² V(X). Exigibles avec démonstration.
Covariance, Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y), et covariance nulle dans le cas de variables indépendantes. Exigible avec démonstration.
Variance d'une somme finie, avec le cas de variables deux à deux indépendantes. Exigible avec démonstration.
La série entière qui définit G_X a un rayon ≥ 1 et converge normalement sur [−1, 1], donc G_X est continue sur ce segment. Exigible avec démonstration.
La loi d'une variable à valeurs dans N est caractérisée par G_X. Exigible.
E(X) est finie si et seulement si G_X est dérivable en 1, et alors E(X) = G'_X(1). Le sens direct est exigible avec démonstration. La démonstration de la réciproque n'est pas exigible.
Si X et Y sont indépendantes à valeurs dans N, alors G_X+Y = G_X G_Y, avec l'extension à une somme finie. Exigible avec démonstration.
Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Exigibles avec démonstration.
Loi faible des grands nombres. Il faut savoir retrouver la majoration σ²/(nε²).
Hors programme en PC : espérance conditionnelle, lois à densité, convergence en loi ou presque sûre, loi forte des grands nombres, théorème central limite, inégalité de Jensen en version probabiliste, inégalités de Chernoff.

Clés de démonstration

Formule E(X) = Σ P(X ≥ n). Si P(X = +∞) > 0, les deux membres valent +∞, puisque chaque P(X ≥ n) est minoré par P(X = +∞). Sinon on écrit P(X ≥ n) = Σ_k≥n P(X = k), puis on intervertit les deux sommes, ce qui est licite pour des termes positifs. Astuce : c'est un Fubini positif, avec un tableau triangulaire k ≥ n ≥ 1.

Domination et cas d'annulation. Si |X| ≤ Y, chaque |x| P(X = x) se majore par transfert, et la famille est sommable par comparaison. Si X ≥ 0 et E(X) = 0, tous les termes x P(X = x), positifs, sont nuls, donc P(X = x) = 0 pour tout x > 0. Astuce : une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chaque terme l'est.

Existence via le carré. On part de l'inégalité |x| ≤ (1 + x²)/2, qui équivaut à (|x| − 1)² ≥ 0. On conclut par domination. Astuce : 2ab ≤ a² + b², qui sert aussi à prouver que XY est d'espérance finie.

Cauchy-Schwarz. Si E(Y²) = 0, alors Y = 0 presque sûrement, donc XY = 0 presque sûrement et l'inégalité est une égalité. Sinon, t ↦ E((X + tY)²) est un trinôme de degré 2, positif sur R, donc son discriminant est négatif ou nul. En cas d'égalité il existe une racine double t₀, et E((X + t₀Y)²) = 0 donne X + t₀Y = 0 presque sûrement par le cas d'annulation. Astuce : il faut traiter à part le cas dégénéré, qui est souvent oublié.

Espérance d'un produit indépendant. La loi du couple vaut P(X = x)P(Y = y). La famille des xy P(X = x)P(Y = y) est le produit de deux familles sommables, elle est donc sommable et sa somme vaut E(X)E(Y). On conclut par transfert sur le couple. Astuce : l'indépendance factorise la loi du couple.

Variance d'une somme. On développe le carré de Σ(X_i − E(X_i)) puis on utilise la linéarité. On obtient la somme des Cov(X_i, X_j), et Cov(X_i, X_i) = V(X_i). Astuce : la covariance est bilinéaire et symétrique, et seule l'indépendance deux à deux sert pour annuler les termes croisés.

Fonction génératrice. Les coefficients P(X = n) sont bornés par 1, donc le rayon est ≥ 1. Pour la caractérisation, G_X connue sur ]−1, 1[ donne P(X = n) = G_X⁽ⁿ⁾(0)/n!. Pour le sens direct de E(X) = G'_X(1), si Σ n P(X = n) converge, la série dérivée converge normalement sur [−1, 1], donc G_X est de classe C¹ sur ce segment et G'_X(1) = Σ n P(X = n). Astuce : c'est la convergence normale de la série dérivée qui sert ici, pas seulement le rayon.

Markov, Bienaymé-Tchebychev, loi faible. Pour Markov, a·1_{(X ≥ a)} ≤ X, puis on passe aux espérances. Pour Bienaymé-Tchebychev, on applique Markov à (X − E(X))² avec le seuil ε². Pour la loi faible, V(S_n/n) = σ²/n, puis Bienaymé-Tchebychev. Astuce : la loi faible n'utilise que l'indépendance deux à deux.

Exemples et contre-exemples à connaître

P(X = n) = 1/(n(n + 1)) pour n ≥ 1. C'est une loi par télescopage, et P(X ≥ n) = 1/n, donc E(X) = +∞. C'est l'exemple type de variable sans espérance.
P(X = (−1)ⁿ n) = 6/(π² n²) pour n ≥ 1. La série des x P(X = x) converge, mais pas absolument, donc X n'a pas d'espérance. La convergence simple ne suffit pas.
P(X = n) = c/n³ avec c l'inverse de Σ 1/k³. E(X) est finie car Σ 1/n² converge, mais E(X²) est infinie. Une variable peut avoir une espérance sans avoir de variance.
Une indicatrice vérifie E(1_A) = P(A) et V(1_A) = P(A)(1 − P(A)). C'est la brique de toute décomposition en indicatrices.
X et Y indépendantes, uniformes sur {−1, 1}, et Z = XY. Les trois variables sont deux à deux indépendantes, pas mutuellement, et pourtant V(X + Y + Z) = 3. L'indépendance deux à deux suffit pour additionner les variances.
Si X vaut a avec probabilité p et 0 sinon, avec a > 0, alors P(X ≥ a) = p = E(X)/a. L'inégalité de Markov est donc optimale.
Avec ε = kσ, Bienaymé-Tchebychev donne une majoration par 1/k², ce qui n'apporte rien si k ≤ 1. L'inégalité est grossière mais universelle.
Pour la loi de l'exemple 1, le rayon de G_X vaut 1 et G_X n'est pas dérivable en 1 (voir l'exercice 10). Un rayon égal à 1 ne suffit donc pas pour dériver en 1. Pour la loi de l'exemple 3, le rayon vaut aussi 1, mais E(X) est finie, donc G_X est dérivable en 1. La condition « rayon > 1 » est donc suffisante mais pas nécessaire.

Techniques du chapitre

Technique 1 : décomposer en indicatrices. Mini-exercice : on lance n fois une pièce équilibrée, et N compte les indices i ≤ n − 1 où l'on obtient pile puis face aux lancers i et i + 1. On a N = Σ 1_{A_i} avec P(A_i) = 1/4, donc E(N) = (n − 1)/4 par linéarité, sans indépendance.

Technique 2 : passer par E(X(X − 1)). Mini-exercice : pour X de loi G(p), avec q = 1 − p, on a Σ k(k − 1) q^k−2 = 2/(1 − q)³. Donc E(X(X − 1)) = pq × 2/p³ = 2q/p². Il vient E(X²) = 2q/p² + 1/p, puis V(X) = q/p².

Technique 3 : utiliser la queue de la loi. Mini-exercice : pour X uniforme sur {1, …, N}, P(X ≥ n) = (N − n + 1)/N pour 1 ≤ n ≤ N. La somme vaut (1 + 2 + … + N)/N = (N + 1)/2.

Technique 4 : moments factoriels par dérivation de G. Mini-exercice : pour X de loi P(λ), la dérivée troisième de G_X vaut λ³ e^λ(t−1). Par transfert, cela donne E(X(X − 1)(X − 2)) = G'''_X(1) = λ³. Le rayon est infini, donc tout est licite.

Technique 5 : reconnaître une loi par la fonction génératrice. Mini-exercice : si X et Y sont indépendantes, de lois B(n, p) et B(m, p), alors G_X+Y(t) = (1 − p + pt)^n+m. Donc X + Y suit B(n + m, p).

Technique 6 : choisir entre Markov et Bienaymé-Tchebychev. Mini-exercice : pour X de loi P(100), Markov donne P(X ≥ 150) ≤ 100/150 = 2/3. Bienaymé-Tchebychev donne P(X ≥ 150) ≤ P(|X − 100| ≥ 50) ≤ 100/2500 = 1/25. Connaître la variance fait gagner beaucoup.

Technique 7 : calculer par bilinéarité. Mini-exercice : Cov(X + Y, X − Y) = V(X) − V(Y), qui est nul si X et Y ont même loi. Pourtant, avec X et Y indépendantes uniformes sur {−1, 1}, on a X + Y = 0 si et seulement si X − Y ≠ 0, donc ces deux variables ne sont pas indépendantes.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Minimum de deux géométriques

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

X et Y sont indépendantes, de lois G(p) et G(r), avec p et r dans ]0, 1[. On pose q = 1 − p et s = 1 − r. Déterminer la loi de Z = min(X, Y) et son espérance.

Technique passer par les queues P(Z > n).

Voir le corrigé

Pour n ∈ N, P(X > n) = qⁿ et P(Y > n) = sⁿ.
(Z > n) = (X > n) ∩ (Y > n). Par indépendance, P(Z > n) = (qs)ⁿ.
Pour n ≥ 1, P(Z = n) = P(Z > n − 1) − P(Z > n) = (qs)ⁿ⁻¹(1 − qs). Donc Z suit la loi G(1 − qs).
On en déduit E(Z) = 1/(1 − qs) = 1/(p + r − pr).

piège : Écrire P(Z > n) = P(X > n) + P(Y > n), ou utiliser P(Z ≥ n) sans décaler l'exposant.

Exercice 2. Une espérance par transfert

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit X de loi P(λ) avec λ > 0. Justifier l'existence de E(1/(X + 1)) et la calculer.

Technique domination pour l'existence, transfert et réindexation pour le calcul.

Voir le corrigé

On a 0 ≤ 1/(X + 1) ≤ 1, et une variable bornée est d'espérance finie par domination.
Par transfert, E(1/(X + 1)) = Σ_k≥0 e^−λ λ^k/((k + 1) k!) = (e^−λ/λ) Σ_k≥0 λ^k+1/(k + 1)!.
La dernière somme vaut e^λ − 1, d'où le résultat (1 − e^−λ)/λ.

piège : Écrire E(1/(X + 1)) = 1/(E(X) + 1). L'espérance ne commute qu'avec les fonctions affines.

Exercice 3. Points fixes d'une permutation aléatoire

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

σ est choisie uniformément dans l'ensemble des permutations de {1, …, n}, avec n ≥ 2. F est le nombre de points fixes de σ. Calculer E(F) et V(F).

Technique décomposer en indicatrices et calculer E(F²) par les intersections.

Voir le corrigé

On écrit F = Σ 1_{A_i}, où A_i est l'événement (σ(i) = i). On compte P(A_i) = (n − 1)!/n! = 1/n, donc E(F) = 1.
Pour i ≠ j, P(A_i ∩ A_j) = (n − 2)!/n! = 1/(n(n − 1)).
On développe F² = Σ 1_{A_i} + Σ_i≠j 1_{A_i ∩ A_j}, ce qui donne E(F²) = 1 + n(n − 1) × 1/(n(n − 1)) = 2.
Donc V(F) = 2 − 1 = 1.

piège : Supposer les A_i indépendants, ce qui donne à tort V(F) = 1 − 1/n. Les covariances valent 1/(n²(n − 1)), elles ne sont pas nulles.

Exercice 4. Minorer la probabilité d'être non nul

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit X ≥ 0 avec E(X²) finie et non nulle. Montrer que P(X > 0) ≥ E(X)²/E(X²). En déduire qu'une permutation aléatoire uniforme a au moins un point fixe avec une probabilité ≥ 1/2.

Technique Cauchy-Schwarz avec une indicatrice.

Voir le corrigé

Comme X ≥ 0, on a X = X·1_{(X > 0)}.
Par Cauchy-Schwarz, E(X)² ≤ E(X²) E(1_(X>0)²). Or l'indicatrice au carré est l'indicatrice elle-même, donc E(1_(X>0)²) = P(X > 0).
On divise par E(X²) > 0, ce qui donne l'inégalité.
Avec l'exercice 3, P(F > 0) ≥ 1²/2 = 1/2.

piège : Appliquer Cauchy-Schwarz sans vérifier que E(X²) est finie, ou oublier que l'indicatrice est égale à son carré.

Exercice 5. Somme de deux géométriques

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

X et Y sont indépendantes de loi G(p), avec p ∈ ]0, 1[ et q = 1 − p. Déterminer la loi de S = X + Y par les fonctions génératrices, puis E(S) et V(S).

Technique produit des fonctions génératrices, puis développement en série entière.

Voir le corrigé

Pour |t| < 1/q, G_S(t) = G_X(t) G_Y(t) = p²t²/(1 − qt)², par indépendance.
Pour |u| < 1, 1/(1 − u)² = Σ_k≥0 (k + 1)u^k, par dérivation de la série géométrique.
On obtient G_S(t) = Σ_k≥0 (k + 1) p² q^k t^k+2 = Σ_n≥2 (n − 1) p² qⁿ⁻² tⁿ.
Par unicité des coefficients, P(S = n) = (n − 1) p² qⁿ⁻² pour n ≥ 2.
Par linéarité, E(S) = 2/p. Par indépendance, V(S) = 2q/p².

piège : Identifier les coefficients sans invoquer l'unicité du développement en série entière, ou oublier que S ≥ 2.

Exercice 6. Loi conditionnelle d'une Poisson

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

X et Y sont indépendantes, de lois P(λ) et P(μ). Pour n ∈ N, déterminer la loi de X sachant (X + Y = n).

Technique écrire l'intersection d'événements, puis utiliser la stabilité de la loi de Poisson par somme.

Voir le corrigé

X + Y suit la loi P(λ + μ), par les fonctions génératrices. Donc P(X + Y = n) > 0.
Pour 0 ≤ k ≤ n, (X = k) ∩ (X + Y = n) = (X = k) ∩ (Y = n − k). Par indépendance, sa probabilité vaut e^−λ−μ λ^k μ^n−k/(k!(n − k)!).
On divise par e^−(λ+μ) (λ + μ)ⁿ/n!, ce qui donne C(n, k) a^k (1 − a)^n−k avec a = λ/(λ + μ).
La loi conditionnelle est donc B(n, λ/(λ + μ)).

piège : Écrire P(X = k, X + Y = n) = P(X = k) P(X + Y = n). X et X + Y ne sont pas indépendantes.

Exercice 7. Taille d'un échantillon

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

On estime la probabilité p inconnue qu'une pièce tombe sur pile par la fréquence F_n obtenue en n lancers indépendants. Trouver n tel que P(|F_n − p| ≥ 0,05) ≤ 0,05 quelle que soit la valeur de p.

Technique Bienaymé-Tchebychev avec une majoration uniforme de la variance.

Voir le corrigé

F_n = S_n/n avec S_n de loi B(n, p). Donc E(F_n) = p et V(F_n) = p(1 − p)/n.
Pour tout p ∈ [0, 1], p(1 − p) ≤ 1/4, car 1/4 − p(1 − p) = (p − 1/2)².
Bienaymé-Tchebychev donne P(|F_n − p| ≥ 0,05) ≤ 1/(4n × 0,0025) = 100/n.
Il suffit que 100/n ≤ 0,05, soit n ≥ 2000.

piège : Garder p(1 − p) dans le résultat alors que p est inconnu. Un point de méthode aussi : 2000 est une valeur suffisante, pas la plus petite valeur qui convient.

Exercice 8. Probabilité d'être pair

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit X à valeurs dans N. Montrer que P(X pair) = (1 + G_X(−1))/2. Appliquer aux lois P(λ), G(p) et B(n, p).

Technique évaluer la fonction génératrice en −1.

Voir le corrigé

G_X est définie en −1 par convergence normale sur [−1, 1].
G_X(1) + G_X(−1) = Σ P(X = k)(1 + (−1)^k) = 2 P(X pair).
Pour la loi de Poisson, P(X pair) = (1 + e^−2λ)/2.
Pour la loi géométrique, G_X(−1) = −p/(1 + q), donc P(X pair) = q/(1 + q), avec q = 1 − p.
Pour la loi binomiale, P(X pair) = (1 + (1 − 2p)ⁿ)/2.

piège : Oublier de justifier que G_X(−1) existe quand le rayon vaut exactement 1.

Exercice 9. Collectionneur de vignettes

Approfondissement · Type écrit Mines

Il existe N vignettes équiprobables, et les achats sont indépendants. T est le nombre d'achats nécessaires pour obtenir toutes les vignettes. Calculer E(T), majorer V(T), puis montrer que P(|T − N H_N| ≥ ε N ln N) tend vers 0, où H_N = Σ_j=1^N 1/j.

Technique décomposer en temps d'attente géométriques, puis appliquer Bienaymé-Tchebychev.

Voir le corrigé

On note Y_k le nombre d'achats entre la (k − 1)-ième vignette distincte et la k-ième. Chaque achat apporte une vignette nouvelle avec probabilité p_k = (N − k + 1)/N, indépendamment du passé. On admet, comme le fait la modélisation, que les Y_k sont indépendantes de lois G(p_k).
T = Y₁ + … + Y_N, donc E(T) = Σ N/(N − k + 1) = N H_N.
Par indépendance, V(T) = Σ (1 − p_k)/p_k² ≤ Σ 1/p_k² = N² Σ_j=1^N 1/j². Or Σ 1/j² ≤ 1 + Σ_j≥2 1/(j(j − 1)) = 2, donc V(T) ≤ 2N².
Bienaymé-Tchebychev donne P(|T − N H_N| ≥ ε N ln N) ≤ 2/(ε² (ln N)²), qui tend vers 0.

piège : Additionner les variances sans invoquer l'indépendance, ou donner la même loi à tous les Y_k.

Exercice 10. Fonction génératrice non dérivable en 1

Approfondissement · Type oral Mines

On reprend P(X = n) = 1/(n(n + 1)) pour n ≥ 1. Calculer G_X sur ]0, 1[ et vérifier la cohérence avec E(X) = +∞.

Technique décomposition en éléments simples, puis taux d'accroissement en 1.

Voir le corrigé

1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1). Pour t ∈ ]0, 1[, Σ tⁿ/n = −ln(1 − t) et Σ_n≥1 tⁿ/(n + 1) = (−ln(1 − t) − t)/t.
Donc G_X(t) = 1 + (1 − t) ln(1 − t)/t, qui tend vers 1 en 1, conformément à la continuité.
(G_X(t) − 1)/(t − 1) = −ln(1 − t)/t, qui tend vers +∞ quand t tend vers 1. G_X n'est pas dérivable en 1, ce qui est cohérent avec E(X) = +∞.

piège : Écrire la série dérivée en 1 comme si le rayon était strictement supérieur à 1.

Erreurs fréquentes

Calculer une espérance sans justifier son existence, ou se contenter de la convergence de la série quand c'est la sommabilité qui est exigée.
Additionner des variances sans indépendance deux à deux, ou écrire V(aX) = aV(X) ou V(X − Y) = V(X) − V(Y).
Déduire l'indépendance de Cov(X, Y) = 0 ou de E(XY) = E(X)E(Y).
Remplacer E(f(X)) par f(E(X)) au lieu d'utiliser la formule de transfert.
Multiplier des fonctions génératrices sans indépendance, ou dériver G_X en 1 sans vérifier le rayon ni l'existence de E(X).

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Variables aléatoires discrètes », section C « Espérance et variance ». Toutes les variables aléatoires sont discrètes. L'espérance conditionnelle est hors programme en PC.