Filtrage linéaire

Résumé en cinq points

1Signaux périodiques

1.1Décomposition en somme de sinusoïdes

Le programme ne demande pas de calculer les coefficients de cette décomposition. Il demande d'analyser une décomposition fournie, c'est-à-dire de lire un spectre et d'en tirer des conclusions.

1.2Valeur moyenne et valeur efficace

Pour un signal électrique traversant une résistance, le carré de la valeur efficace donne la puissance moyenne dissipée, comme en continu : $$P = R\,I_{\text{eff}}^2.$$ C'est tout le sens du mot efficace.

La puissance se répartit entre les composantes spectrales et il n'y a pas de terme croisé. Cela vient du fait que la moyenne du produit de deux sinusoïdes de fréquences différentes multiples de $f$ est nulle.

2Fonction de transfert et diagramme de Bode

2.1Définition

Pour un système linéaire soumis en entrée à une sinusoïde de pulsation $\omega$, la sortie en régime établi est une sinusoïde de même pulsation.

2.2Diagramme de Bode

L'échelle logarithmique permet de couvrir plusieurs décades sur un même graphe. Surtout, elle transforme les lois de puissance en droites.

C'est la lecture fondamentale :

• une zone rectiligne de pente $-20 \unite{dB}$ par décade signale un comportement en $1/\omega$, donc un ordre 1 dominant ;
• une pente $-40 \unite{dB}$ par décade signale un comportement en $1/\omega^2$, donc un ordre 2.

Un produit de fonctions de transfert devient une somme de gains en décibels et une somme de phases. C'est pourquoi on trace les diagrammes asymptotiques en superposant les contributions élémentaires.

2.3Méthode de tracé asymptotique pour l'ordre 1

3Modèles de filtres passifs

3.1Passe-bas d'ordre 1

Réalisation type : circuit RC série avec sortie aux bornes du condensateur, alors $H_0 = 1$ et $\omega_c = 1/(RC)$.

Comportement :

• gain $H_0$ en basse fréquence ;
• asymptote de pente $-20 \unite{dB}$ par décade en haute fréquence ;
• phase de $0$ à $-\pi/2$, valant $-\pi/4$ à la coupure ;
• la pulsation de coupure est celle où le gain vaut le gain maximal divisé par $\sqrt{2}$, soit $-3 \unite{dB}$.

À la coupure, le gain exact vaut environ $-3{,}01 \unite{dB}$. Vers les grandes pulsations, une unité d'abscisse correspond à une décennie et la courbe descend de $20 \unite{dB}$.

3.2Passe-haut d'ordre 1

Réalisation type : circuit RC série avec sortie aux bornes de la résistance.

Comportement :

• asymptote de pente $+20 \unite{dB}$ par décade en basse fréquence ;
• gain $H_0$ en haute fréquence ;
• phase de $+\pi/2$ à $0$, valant $+\pi/4$ à la coupure.

3.3Passe-bas d'ordre 2

Réalisation type : RLC série avec sortie aux bornes du condensateur.

Comportement :

• gain $H_0$ en basse fréquence ;
• asymptote de pente $-40 \unite{dB}$ par décade en haute fréquence ;
• si $Q > 1/\sqrt{2}$, le gain présente un maximum, la résonance, d'autant plus marqué que $Q$ est grand ;
• sinon la décroissance est monotone.

3.4Passe-bande d'ordre 2

Réalisation type : RLC série avec sortie aux bornes de la résistance.

Comportement :

• gain maximal $H_0$ atteint exactement à $\omega_0$, où la phase est nulle ;
• asymptotes de pente $+20 \unite{dB}$ par décade en basse fréquence et $-20 \unite{dB}$ par décade en haute fréquence ;
• bande passante à $-3 \unite{dB}$ de largeur $\Delta\omega = \omega_0/Q$.

Le facteur de qualité mesure la sélectivité.

3.5Choisir un filtre selon un cahier des charges

3.6Moyenneur, intégrateur, dérivateur

3.7Mise en cascade

Mettre deux filtres bout à bout ne multiplie pas leurs fonctions de transfert en général. Le second étage charge le premier et modifie son comportement.

D'où la règle de conception : réaliser des filtres de tension à faible impédance de sortie et forte impédance d'entrée. C'est la fonction principale d'un étage suiveur intercalé entre deux filtres.

3.8Filtrage par un dispositif mécanique

Un système mécanique du second ordre agit comme un filtre :

• un sismomètre, masse suspendue à un support solidaire du sol, se comporte comme un passe-haut vis-à-vis du déplacement du sol : il ne répond qu'aux secousses plus rapides que sa fréquence propre ;
• un accéléromètre, utilisé bien en dessous de sa fréquence propre, se comporte comme un passe-bas dont la sortie est proportionnelle à l'accélération ;
• un amortisseur transmet les mouvements lents de la carrosserie et atténue les vibrations rapides.

Identifier la nature du filtrage à partir de l'équation du mouvement est exigible.

4Filtres actifs et amplificateur linéaire intégré

4.1Modèle de l'ALI idéal en régime linéaire

L'amplificateur linéaire intégré est un composant actif à deux entrées, la borne non inverseuse notée plus et la borne inverseuse notée moins, une sortie, et une alimentation externe non représentée sur les schémas.

Le fonctionnement en régime linéaire n'est possible que grâce à une rétroaction, c'est-à-dire un chemin reliant la sortie à une entrée. Indice pratique donné par le programme : la présence d'une rétroaction sur la borne inverseuse est l'indice d'un fonctionnement en régime linéaire. En l'absence de rétroaction, ou avec une rétroaction sur la seule borne non inverseuse, le montage sature.

4.2Montages à connaître

Le gain vaut 1, ce qui semble inutile, mais l'impédance d'entrée est infinie et l'impédance de sortie nulle. C'est l'étage d'adaptation : on l'intercale pour permettre de cascader deux filtres.

L'impédance d'entrée $R_1$ est une limitation réelle de ce montage.

4.3Intérêt des filtres actifs

Un filtre actif permet un gain supérieur à 1, ce qu'un filtre passif ne peut pas faire. Il fixe indépendamment les impédances d'entrée et de sortie, donc autorise la mise en cascade. En contrepartie :

• il faut une alimentation ;
• la bande passante du composant est limitée ;
• la tension de sortie est bornée.

5Capacités numériques et expérimentales

Un passe-bas arrondit les fronts, un passe-haut supprime la valeur moyenne et accentue les transitions.

C'est le test expérimental de linéarité, simple et décisif.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Définir valeur moyenne et valeur efficace et établir par le calcul la valeur efficace d'un signal sinusoïdal.
2. Interpréter la relation entre le carré de la valeur efficace d'un signal et les carrés des valeurs efficaces de ses harmoniques.
3. Établir la fonction de transfert d'un circuit RC et tracer son diagramme de Bode complet, asymptotes et corrections.
4. Interpréter une pente de $-20$ ou $-40$ décibels par décade à partir de l'expression de la fonction de transfert.
5. Donner les conditions d'utilisation d'un filtre en moyenneur, en intégrateur, en dérivateur.
6. Établir la relation entrée-sortie et l'impédance d'entrée des montages suiveur, non inverseur, inverseur et intégrateur.
7. Prédire la déformation d'un signal carré par un passe-bas, par un passe-haut, en raisonnant sur le spectre.
8. Expliquer pourquoi l'apparition de nouvelles fréquences en sortie prouve la non-linéarité du système.

Les résultats à connaître

• Valeur moyenne et valeur efficace d'un signal périodique. Les définitions sont exigibles. La valeur efficace est la racine de la moyenne du carré sur une période.
• Valeur efficace d'une sinusoïde d'amplitude X_m. Elle vaut X_m/√2, quelle que soit la phase. Exigible avec démonstration.
• Relation de décomposition. X_eff² = X_moy² + Σ des X_n,eff², où X_n,eff est la valeur efficace de l'harmonique de rang n. Elle suppose un signal périodique décomposé en sinusoïdes. Démonstration non exigible, interprétation exigible.
• Réponse d'un système linéaire à une sinusoïde. En régime établi, la sortie est une sinusoïde de même pulsation. Admis. Cela suppose un système décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants et stable.
• Gain en décibels et pentes. Si |H| est équivalent à K/ωⁿ, G_dB varie de − 20n dB par décade. Exigible avec justification.
• Passe-bas et passe-haut d'ordre 1. Formes canoniques, gain à − 3 dB et phase ± π/4 à la coupure. Le tracé du diagramme de Bode complet est exigible.
• Passe-bas d'ordre 2. Il y a résonance si et seulement si Q > 1/√2. On utilise une fonction de transfert donnée. Le tracé détaillé n'est pas exigible.
• Passe-bande d'ordre 2. Le gain maximal H₀ est atteint à ω₀. La bande passante à − 3 dB vaut Δω = ω₀/Q. On utilise une fonction de transfert donnée.
• Moyenneur, intégrateur, dérivateur. Les conditions sur les fréquences du signal sont exigibles.
• Cascade. On peut multiplier les fonctions de transfert si l'impédance d'entrée de l'étage aval est grande devant l'impédance de sortie de l'étage amont. Exigible, à expliquer.
• Test de linéarité. Un système linéaire ne crée aucune fréquence nouvelle. Exigible.
• ALI idéal en régime linéaire. On a i₊ = i₋ = 0 et V₊ = V₋. C'est un modèle admis. La rétroaction sur la borne inverseuse est un indice du régime linéaire.
• Montages suiveur, non inverseur, inverseur et intégrateur. La relation entrée-sortie et l'impédance d'entrée sont exigibles avec établissement.
• Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise :
  • le calcul des coefficients de Fourier,
  • le gain fini ou la bande passante propre de l'ALI,
  • l'ALI en régime saturé utilisé comme comparateur,
  • le tracé complet d'un Bode d'ordre 2 sans aide.

Clés de démonstration

Valeur efficace d'une sinusoïde. On écrit cos²(ωt + φ) = (1 + cos(2ωt + 2φ))/2. Sur une période, la moyenne du cosinus est nulle, il reste 1/2. L'astuce est la linéarisation, qui évite toute intégration par parties.

Relation de décomposition. On développe le carré de la somme. Chaque terme croisé est un produit de deux cosinus de fréquences différentes, multiples de f. On le transforme en demi-somme de cosinus de fréquences non nulles, donc de moyenne nulle. L'astuce est la formule de trigonométrie cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a − b))/2.

Pente en décibels. Si |H| ≈ K/ωⁿ, alors G_dB = 20 log K − 20n log ω. C'est une droite en log ω. Multiplier ω par 10 ajoute 1 à log ω et retire 20n dB. L'astuce est de choisir log ω comme variable.

Coupure d'ordre 1. On pose x = ω/ω_c. Alors |H| = H₀/√(1 + x²), et cette quantité vaut H₀/√2 si et seulement si x = 1. L'astuce est de travailler en variable réduite.

Bande passante du passe-bande. On résout |H| = H₀/√2, soit Q(x − 1/x) = ± 1. On obtient deux équations du second degré x² ∓ x/Q − 1 = 0. Leurs racines positives vérifient x₂ − x₁ = 1/Q. L'astuce est de ne garder que les racines positives et d'écrire leur différence, sans calculer chaque racine séparément.

Résonance du passe-bas d'ordre 2. On minimise le dénominateur D = (1 − u)² + u/Q² avec u = x². On trouve dD/du = 2(u − 1) + 1/Q², qui s'annule pour u = 1 − 1/(2Q²). Cette valeur n'est positive que si Q > 1/√2. L'astuce est le changement de variable u = x².

Montages à ALI. On écrit V₊ = V₋. On applique la loi des nœuds en V₋, avec i₋ = 0, ou le théorème de Millman. L'impédance d'entrée est le rapport de la tension d'entrée au courant fourni par la source. L'astuce est que tout le courant d'une branche passe dans l'autre.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Carré symétrique ± E. Sa décomposition, fournie, ne comporte que des harmoniques impairs d'amplitude 4E/(nπ). Sa valeur efficace vaut E et non E/√2. La relation de décomposition le confirme, puisque Σ 1/n² sur les n impairs vaut π²/8.
2. Triangle symétrique. Ses harmoniques décroissent en 1/n², bien plus vite que ceux du carré, car le triangle n'a aucune discontinuité.
3. Créneau de 0 à E, de rapport cyclique 1/2. Sa moyenne vaut E/2 et sa valeur efficace E/√2. Il montre qu'un signal non sinusoïdal peut avoir la même valeur efficace qu'une sinusoïde d'amplitude E.
4. Sinus redressé double alternance (pont de diodes). Pour une entrée de fréquence f, la sortie |sin| contient une composante continue et des raies à 2f, 4f, et ainsi de suite. En simple alternance, une raie à f subsiste en plus. Dans les deux cas, des fréquences absentes de l'entrée apparaissent. C'est l'exemple type d'un système non linéaire.
5. Deux cellules RC identiques en cascade. On obtient H = 1/(1 − x² + 3jx) et non 1/(1 + jx)². C'est le contre-exemple qui justifie le suiveur.
6. Passe-bande de fort facteur de qualité attaqué par un carré. En sortie, on obtient une sinusoïde quasi pure. C'est l'extraction d'un harmonique.
7. Passe-haut de coupure très basse attaqué par un carré. La valeur moyenne disparaît et les paliers s'inclinent légèrement. Dérivateur n'est pas synonyme de passe-haut.
8. Passe-bas d'ordre 2 avec Q = 1/√2. Il donne |H| = 1/√(1 + x⁴), le gain le plus plat sans résonance. C'est la référence pour un cahier des charges.
9. ALI sans rétroaction. La sortie sature et V₊ ≠ V₋. C'est le contre-exemple à l'application aveugle du modèle.

Techniques du chapitre

Lire les limites avant de calculer. Circuit R en série, sortie aux bornes d'une bobine L. En basse fréquence, la bobine est un fil et s = 0. En haute fréquence, c'est une coupure et s = e. Il s'agit donc d'un passe-haut, avec H = jLω/(R + jLω) et ω_c = R/L.

Identifier par forme canonique. Pour un RLC série avec sortie sur C, H = 1/(1 + jRCω − LCω²). Par identification, ω₀ = 1/√(LC) et 1/(Qω₀) = RC. On en déduit Q = (1/R)√(L/C).

Superposer harmonique par harmonique. On envoie e = 2 + 3 cos(ω_c t) en volts dans un passe-bas d'ordre 1 de gain statique 1. La composante continue passe avec un gain 1. Le terme alternatif est multiplié par 1/√2 et déphasé de − π/4. On obtient s = 2 + 2,1 cos(ω_c t − π/4).

Convertir les décibels. − 40 dB correspond à un facteur 100 en amplitude. − 6 dB correspond à un facteur 1/2 environ. Une atténuation de 60 dB avec un ordre 1 demande trois décades au-delà de la coupure. Avec un ordre 2, une décade et demie suffit.

Mesurer un déphasage à l'oscilloscope. La période vaut T = 1,0 ms et la sortie passe par zéro 0,125 ms après l'entrée. On calcule φ = − 2πΔt/T = − π/4. Pour un passe-bas d'ordre 1, on est donc à la coupure.

Poser un ALI. Pour un inverseur avec R₁ = 10 kΩ et R₂ = 47 kΩ, on vérifie la rétroaction sur la borne moins. La masse virtuelle donne s = − 4,7 e. L'impédance d'entrée vaut 10 kΩ.

Valider une cascade. Un RC avec R = 1 kΩ attaque une charge de 100 kΩ. Le module de l'impédance de sortie du RC ne dépasse jamais R. Le rapport de 100 rend la multiplication des fonctions de transfert légitime à 1 % près.

Placer une coupure. On veut garder 50 Hz et atténuer 5 kHz. On prend f_c = 500 Hz, la moyenne géométrique. Avec un ordre 1, le gain vaut 0,995 à 50 Hz et environ 0,1 à 5 kHz.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes