Ton programme de MPSI : ce chapitre est traité par Propagation d'un signal (PCSI).

Hors programme en MPSI, donc pas exigible :

Battements (superposition de deux signaux de fréquences voisines)
Ondes stationnaires mécaniques et modes propres d'une corde

Le cours

Résumé en cinq points

Une onde progressive non dispersive s'écrit $f(t - x/c)$ vers les $x$ croissants, et se propage sans déformation avec le retard $d/c$ .
Une onde progressive sinusoïdale possède une double périodicité, $T$ en temps et $\lambda$ en espace, liées par $\lambda = cT$ . Le déphasage entre deux points vaut $2\pi d/\lambda$ .
Un milieu dispersif déforme les signaux, car la vitesse de phase y dépend de la fréquence.
Deux ondes de même fréquence interfèrent selon leur déphasage : constructives si $\Delta\varphi$ est un multiple de $2\pi$ , destructives si c'est un multiple impair de $\pi$ . Pour les trous d'Young, $\delta = ax/D$ et l'interfrange vaut $\lambda_0 D/a$ .
Deux ondes opposées donnent une onde stationnaire avec nœuds et ventres espacés de $\lambda/2$ . Les conditions aux limites d'une corde fixée imposent les modes propres $f_n = nc/(2L)$ .

Pourquoi ce chapitre

C'est la première rencontre avec les ondes, et le programme choisit une approche descriptive. On part de ce qu'on observe, un signal qui se reproduit plus loin et plus tard, et on en écrit la traduction mathématique. Le fil conducteur est le déphasage :

un déphasage entre deux points traduit un retard de propagation ;
un déphasage entre deux ondes qui se superposent décide de l'amplitude résultante, c'est le phénomène d'interférences ;
un déphasage imposé par des conditions aux limites sélectionne des fréquences, ce sont les modes propres.

Le chapitre ouvre sur l'optique ondulatoire de deuxième année, l'acoustique et la physique quantique.

1Signaux et propagation

1.1Exemples de signaux

Définition 1.1Signal

Un signal est une grandeur physique qui varie dans le temps et transporte une information.

Selon le domaine, la grandeur n'est pas la même :

signal acoustique : surpression par rapport à la pression atmosphérique, ou vitesse de déplacement des particules du fluide ;
signal électrique : tension ou intensité ;
signal électromagnétique : champ électrique et champ magnétique ;
onde mécanique sur une corde : déplacement transversal d'un point de la corde.

Exemple 1.2Ordres de grandeur de fréquences

Domaine audible : de $20 \unite{Hz}$ à $20 \unite{kHz}$ . Infrasons en dessous, ultrasons au dessus, avec les sondes usuelles de travaux pratiques vers $40 \unite{kHz}$ .
Vibrations mécaniques d'une structure : de quelques hertz à quelques centaines de hertz.
Ondes radio : du kilohertz au gigahertz.
Lumière visible : de l'ordre de $5 \times 10^{14} \unite{Hz}$ .

Exemple 1.3Ordres de grandeur de célérités

Son dans l'air à $20\,°\mathrm{C}$ : environ $340 \unite{m.s^{-1}}$ .
Son dans l'eau : environ $1\,500 \unite{m.s^{-1}}$ .
Son dans l'acier : environ $5\,000 \unite{m.s^{-1}}$ .
Ondes électromagnétiques dans le vide : $3{,}00 \times 10^{8} \unite{m.s^{-1}}$ .

1.2Onde progressive unidimensionnelle

Définition 1.4Onde progressive

Dans un milieu unidimensionnel, illimité, non dispersif et transparent, un signal se propage sans se déformer et sans s'atténuer. Si $s(0,t) = f(t)$ est le signal en $x = 0$ , le signal en un point d'abscisse $x$ est le même, retardé du temps nécessaire au parcours.

Propriété 1.5Formes d'une onde progressive

Sens des $x$ croissants : $s(x,t) = f(t - x/c)$ , ce qui s'écrit aussi $f(x - ct)$ au changement de variable près.
Sens des $x$ décroissants : $s(x,t) = g(t + x/c)$ , ou $g(x + ct)$ .

Propriété 1.6Retard temporel

Le retard temporel entre deux points séparés de $d$ vaut $\tau = d/c$ .

Lecture des deux formes :

à position fixée, on obtient l'évolution temporelle, ce que voit un capteur unique ;
à instant fixé, on obtient la photographie spatiale, ce que montre la corde à un instant donné.

Savoir passer de l'une à l'autre est une capacité exigible. Pour construire la photographie à l'instant $t$ à partir de celle à l'instant $0$ , on translate la courbe de la distance $ct$ dans le sens de propagation.

AttentionSigne à ne pas confondre

Une propagation vers les $x$ croissants correspond à $t - x/c$ , donc à un retard qui augmente avec $x$ . Si on trouve $t + x/c$ , l'onde se propage vers les $x$ décroissants.

1.3Onde progressive sinusoïdale

Définition 1.7Onde progressive sinusoïdale

C'est le cas particulier où $f$ est sinusoïdale : $s(x,t) = S_m \cos(\omega t - kx + \varphi),$ avec $k = \omega/c$ le nombre d'onde.

Propriété 1.8Double périodicité

Le signal est périodique en temps, de période $T = 2\pi/\omega$ .
Il est périodique en espace, de période spatiale $\lambda = 2\pi/k$ , appelée longueur d'onde.

Relation fondamentale : $\lambda = cT$ , soit $c = \lambda f$ . La vitesse de phase est $v_\varphi = \omega/k$ , égale ici à $c$ .

Propriété 1.9Déphasage lié à la propagation

Entre deux points distants de $d$ dans la direction de propagation, le déphasage vaut $\Delta\varphi = -kd = -\frac{2\pi d}{\lambda}.$ Le point le plus éloigné est en retard de $2\pi d/\lambda$ .

Deux points sont en phase si $d$ est un multiple entier de $\lambda$ .
Ils sont en opposition de phase si $d$ est un multiple impair de $\lambda/2$ .

Exemple 1.10Applications numériques

Son à $340 \unite{Hz}$ dans l'air : $\lambda = 1 \unite{m}$ .
Lumière verte à $550 \unite{nm}$ dans le vide : $\lambda = 550 \unite{nm}$ et $T \approx 1{,}8 \times 10^{-15} \unite{s}$ . Aucun détecteur ne suit le champ, tous mesurent une moyenne.

À retenir

$\lambda = cT$ et $\Delta\varphi = -2\pi d/\lambda$ .

1.4Milieux dispersifs

Définition 1.11Milieu dispersif

Un milieu est dispersif si la vitesse de phase dépend de la fréquence. Il est non dispersif sinon.

Dans un milieu non dispersif, un signal de forme quelconque, somme de sinusoïdes de fréquences différentes, se propage sans déformation, car toutes ses composantes voyagent à la même vitesse. Dans un milieu dispersif, les composantes se décalent progressivement et le signal se déforme, c'est l'étalement.

Exemple 1.12Propagations non dispersive et dispersive

Non dispersive : le son dans l'air dans les conditions usuelles, la lumière dans le vide, une onde sur une corde tendue idéale.
Dispersive : la lumière dans le verre (décomposition par un prisme), les ondes à la surface de l'eau, les ondes électromagnétiques dans un plasma ou un guide.

1.5Battements

On superpose, en un même point, deux signaux sinusoïdaux de même amplitude et de fréquences voisines $f_1$ et $f_2$ .

Propriété 1.13Battements

La somme de deux cosinus se factorise : $\begin{aligned} &\cos(2\pi f_1 t) + \cos(2\pi f_2 t) \\ &= 2\cos(2\pi f_{\text{moy}} t)\cos\!\left(2\pi\frac{\Delta f}{2}t\right), \end{aligned}$ avec $f_{\text{moy}} = (f_1 + f_2)/2$ et $\Delta f = f_1 - f_2$ .

On observe une oscillation rapide à la fréquence moyenne, modulée par une enveloppe lente. L'enveloppe étant la valeur absolue du second cosinus, l'amplitude perçue se répète à la fréquence $\abs{\Delta f}$ , et non $\abs{\Delta f}/2$ . C'est la fréquence des battements.

Exemple 1.14Accord d'un instrument

Un accordeur exploite ce phénomène : on entend un battement dont la fréquence est l'écart entre la note jouée et la référence. On accorde en annulant le battement. Sur un enregistrement, on mesure la période de l'enveloppe et on en déduit $\Delta f$ .

2Interférences entre deux ondes

2.1Cas général

Propriété 2.1Amplitude résultante

Hypothèses

deux ondes de même fréquence et de même direction ;
amplitudes $A_1$ et $A_2$ , déphasées de $\Delta\varphi$ .

Alors l'amplitude résultante vérifie $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi.$ Pour $A_1 = A_2 = A_0$ , on obtient $A = 2A_0\abs{\cos(\Delta\varphi/2)}$ .

Propriété 2.2Conditions d'interférences

Constructives : $\cos\Delta\varphi = 1$ , soit $\Delta\varphi = 2m\pi$ avec $m$ entier. L'amplitude vaut $A_1 + A_2$ , le maximum possible.
Destructives : $\cos\Delta\varphi = -1$ , soit $\Delta\varphi = (2m+1)\pi$ . L'amplitude vaut $\abs{A_1 - A_2}$ , nulle si les amplitudes sont égales.

Il faut deux ondes de même fréquence pour que le déphasage soit fixe dans le temps et que le phénomène soit observable. Deux sources indépendantes de lumière ne donnent pas d'interférences visibles : on obtient les deux ondes en divisant une même onde primaire.

2.2Ondes acoustiques ou mécaniques

Deux haut-parleurs alimentés par le même générateur émettent en phase. En un point $M$ situé aux distances $d_1$ et $d_2$ des deux sources, le déphasage provient du seul écart de trajet : $\Delta\varphi = -\frac{2\pi(d_2 - d_1)}{\lambda}.$

Les interférences sont constructives quand la différence de marche $d_2 - d_1$ est un multiple entier de $\lambda$ , destructives quand elle vaut un nombre demi-entier de $\lambda$ . En déplaçant un microphone entre les deux sources, on relève une alternance de maxima et de minima régulièrement espacés, ce qui permet de mesurer $\lambda$ puis $c$ .

2.3Ondes lumineuses, trous d'Young

Définition 2.3Chemin optique

Le chemin optique vaut $nL$ pour un trajet de longueur $L$ dans un milieu d'indice $n$ . En optique, le déphasage dépend du chemin optique et non de la distance géométrique : $\Delta\varphi = \frac{2\pi\delta}{\lambda_0},$ où $\delta$ est la différence de chemin optique et $\lambda_0$ la longueur d'onde dans le vide.

Dispositif des trous d'Young : une source ponctuelle monochromatique éclaire deux trous $S_1$ et $S_2$ percés dans un écran opaque, séparés de la distance $a$ . On observe sur un écran parallèle placé à la distance $D$ , avec $D$ très grande devant $a$ . On repère un point $M$ de l'écran par son abscisse $x$ comptée depuis le milieu.

Propriété 2.4Différence de chemin optique des trous d'Young

Hypothèses

les deux trous sont éclairés en phase par la source ;
géométrie paraxiale : $x$ et $a$ très petits devant $D$ .

Alors un développement limité des distances $S_1M$ et $S_2M$ donne $\delta = \frac{ax}{D}.$ Le déphasage vaut $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi a x}{\lambda_0 D}$ : il croît linéairement avec $x$ .

Loi 2.5Formule de Fresnel

Pour deux ondes de même intensité $I_0$ (formule fournie par l'énoncé) : $I(x) = 2I_0\,(1 + \cos\Delta\varphi).$

On obtient des franges rectilignes, parallèles aux trous, alternativement brillantes et sombres.

Propriété 2.6Interfrange

L'interfrange, distance entre deux franges brillantes consécutives, vaut $i = \frac{\lambda_0 D}{a}.$

Exemple 2.7Ordre de grandeur

Avec $\lambda_0 = 600 \unite{nm}$ , $a = 0{,}3 \unite{mm}$ et $D = 2 \unite{m}$ , $i = 4 \unite{mm}$ , observable à l'œil nu. Ce calcul est aussi la méthode de mesure d'une longueur d'onde.

RemarqueRemarques

L'intensité varie entre $0$ et $4I_0$ , la moyenne vaut $2I_0$ : l'énergie est redistribuée et non créée.
Avec une source de lumière blanche, l'interfrange dépend de $\lambda_0$ , les franges se brouillent rapidement et il subsiste des franges colorées près du centre.

À retenir

Trous d'Young : $\delta = ax/D$ et $i = \lambda_0 D/a$ .

3Ondes stationnaires

3.1Définition et structure

Propriété 3.1Onde stationnaire

Hypothèses

deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude $S_m$ et de même fréquence ;
propagation en sens opposés.

Alors la somme se factorise : $\begin{aligned} &S_m\cos(\omega t - kx) + S_m\cos(\omega t + kx) \\ &= 2S_m\cos(kx)\cos(\omega t). \end{aligned}$

La dépendance en $x$ et la dépendance en $t$ sont séparées. Il n'y a plus de propagation, le profil ne se déplace pas : c'est une onde stationnaire.

Définition 3.2Nœuds et ventres

Les nœuds sont les points où l'amplitude est nulle en permanence : $\cos(kx) = 0$ .
Les ventres sont les points où l'amplitude est maximale : $\abs{\cos(kx)} = 1$ .

Deux nœuds consécutifs sont séparés de $\lambda/2$ , un nœud et le ventre voisin de $\lambda/4$ .
Tous les points vibrent en phase entre deux nœuds consécutifs, et en opposition de phase de part et d'autre d'un nœud.

3.2Modes propres d'une corde fixée aux deux extrémités

Une corde de longueur $L$ , fixée en $x = 0$ et en $x = L$ , impose deux conditions aux limites : l'amplitude doit être nulle aux deux bouts. Les extrémités doivent donc être des nœuds.

Propriété 3.3Fréquences propres

Hypothèses

corde de longueur $L$ fixée en ses deux extrémités ;
célérité $c$ .

Alors, l'écart entre deux nœuds valant $\lambda/2$ , la longueur $L$ contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde : $L = n\frac{\lambda}{2}, \quad n \in \N^*.$ Les longueurs d'onde possibles sont $\lambda_n = 2L/n$ et les fréquences propres $f_n = \frac{nc}{2L}.$

Le mode $n = 1$ est le mode fondamental, de fréquence $f_1 = c/(2L)$ .
Les autres fréquences sont des multiples entiers du fondamental : ce sont les harmoniques.
Le mode $n$ possède $n$ ventres et $n+1$ nœuds en comptant les extrémités.

Exemple 3.4Schéma à décrire

Fondamental : un seul fuseau, la corde entière monte et descend avec un ventre au milieu.
$n = 2$ : deux fuseaux séparés par un nœud central, les deux moitiés vibrent en opposition.
Et ainsi de suite.

3.3Décomposition d'une vibration quelconque

On admet qu'une vibration quelconque de la corde fixée aux deux extrémités se décompose en une somme de modes propres. C'est l'analogue mécanique de la décomposition d'un signal périodique en harmoniques : cela explique pourquoi une corde pincée produit un son périodique.

Lien avec la musique :

la hauteur perçue est celle du fondamental, $f_1 = c/(2L)$ ;
le timbre vient de la répartition d'amplitude entre les harmoniques, qui dépend de la façon dont la corde est excitée, pincée, frottée ou frappée ;
raccourcir la corde d'un facteur $2$ monte le son d'une octave ;
augmenter la tension augmente $c$ , donc la fréquence : c'est le principe de l'accord.

À retenir

Corde fixée : $f_n = nc/(2L)$ , avec $n \in \N^*$ .

4Capacités expérimentales

MéthodeMesurer une vitesse de phase et une longueur d'onde

Placer deux microphones et un émetteur d'ultrasons.
Relever le déphasage en fonction de la distance.
Mesurer $\lambda$ par la distance entre deux positions en phase.
En déduire $c = \lambda f$ .

MéthodeInterférences à deux ondes

Alimenter en phase deux haut-parleurs ou deux émetteurs ultrasonores.
Déplacer un récepteur sur une ligne.
Relever l'alternance des maxima et des minima.

MéthodeTrous d'Young avec acquisition numérique d'image

Photographier la figure et tracer le profil d'intensité.
Mesurer l'interfrange sur plusieurs franges pour réduire l'incertitude.
Remonter à $\lambda_0$ connaissant $a$ et $D$ .

MéthodeCorde de Melde

Exciter une corde tendue par un vibreur et l'observer en stroboscopie.
Balayer la fréquence et repérer les résonances, qui correspondent aux modes propres.
Compter les fuseaux et vérifier que les fréquences sont en progression arithmétique.

La stroboscopie fige le mouvement et rend les nœuds et les ventres visibles.

MéthodeAnalyse spectrale du son d'une corde vibrante

Enregistrer le son au microphone et afficher son spectre.
Identifier le fondamental et les harmoniques.
Comparer aux fréquences propres calculées.

Méthodes

MéthodeTrouver le sens de propagation

Devant une expression d'onde, identifier la combinaison $t - x/c$ ou $t + x/c$ .
En déduire le sens de propagation.

MéthodeTraiter un problème d'interférences

Calculer la différence de marche géométrique ou la différence de chemin optique.
En déduire le déphasage par $\Delta\varphi = 2\pi\delta/\lambda$ .

MéthodeTraiter un problème de modes propres

Écrire les conditions aux limites avant toute chose : elles sélectionnent les longueurs d'onde.
En déduire les fréquences propres.

MéthodeTraiter des battements

Utiliser la factorisation somme vers produit.
Se rappeler que la fréquence perçue de l'enveloppe est $\abs{\Delta f}$ et non $\abs{\Delta f}/2$ .

MéthodeVérifier un résultat

Vérifier les ordres de grandeur avant de conclure.
Un interfrange calculé de $1 \unite{\mu m}$ ou de $1 \unite{m}$ signale une erreur.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire une onde progressive sous les formes $f(t - x/c)$ et $f(x - ct)$ , et prévoir l'évolution à position fixée puis à instant fixé.
Établir la relation $c = \lambda f$ et relier le déphasage entre deux points au retard de propagation.
Définir un milieu dispersif et donner des exemples de propagations dispersive et non dispersive.
Établir la formule des battements et en déduire la fréquence de l'enveloppe.
Établir la relation $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi$ et donner les conditions d'interférences constructives et destructives.
Établir la différence de chemin optique des trous d'Young, puis l'interfrange, avec l'application numérique.
Montrer que la superposition de deux ondes progressives opposées donne une onde stationnaire, et localiser nœuds et ventres.
Établir les fréquences propres d'une corde fixée à ses deux extrémités et décrire les trois premiers modes.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Onde progressive unidimensionnelle. Dans un milieu illimité, non dispersif et transparent, elle s'écrit s(x, t) = f(t − x/c) vers les x croissants et g(t + x/c) vers les x décroissants, ou de façon équivalente F(x − ct) et G(x + ct). C'est un modèle, à savoir écrire et exploiter.
Retard de propagation. Entre deux points distants de d dans le sens de propagation, τ = d/c. Exigible avec démonstration.
Onde progressive sinusoïdale. s = S_m cos(ωt − kx + φ), avec k = ω/c. Double périodicité, T = 2π/ω et λ = 2π/k. Relation λ = cT = c/f. Exigible avec démonstration.
Vitesse de phase. v_φ = ω/k. Dans un milieu non dispersif, elle vaut c pour toutes les fréquences. Définition exigible.
Déphasage dû à la propagation. Le point le plus éloigné de la source est en retard de phase de ωτ = kd = 2πd/λ. Exigible avec démonstration.
Milieu dispersif. La vitesse de phase dépend de la fréquence. Définition et exemples exigibles.
Battements. Deux sinusoïdes d'amplitudes égales et de fréquences voisines f₁ et f₂ donnent une enveloppe de fréquence |f₁ − f₂|. Exigible, approche qualitative et lecture d'enregistrement.
Somme de deux sinusoïdes de même fréquence. A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos Δφ. Exigible avec démonstration.
Conditions d'interférences. Constructives si Δφ = 2mπ, destructives si Δφ = (2m + 1)π, avec m entier. Exigibles.
Chemin optique et déphasage. Le chemin optique vaut nL dans un milieu homogène d'indice n, et Δφ = 2πδ/λ₀. Exigible.
Trous d'Young. En géométrie paraxiale, δ = ax/D et i = λ₀D/a. Exigible avec démonstration.
Formule de Fresnel. I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos Δφ, qui devient 2I₀(1 + cos Δφ) si I₁ = I₂ = I₀. Fournie par l'énoncé, à exploiter.
Onde stationnaire. La somme de deux ondes sinusoïdales opposées de même amplitude et de même fréquence vaut 2S_m cos(kx) cos(ωt). Nœuds et ventres espacés de λ/2. Exigible avec démonstration.
Modes propres d'une corde fixée aux deux bouts. λ_n = 2L/n et f_n = nc/(2L), avec n entier ≥ 1. Exigible avec démonstration.
Décomposition d'une vibration quelconque de la corde fixée en somme de modes propres. Admise, à utiliser.
Hors programme, à signaler si un énoncé y recourt. Équation de d'Alembert, vitesse de groupe, cohérence temporelle quantitative, coefficients de réflexion à une interface. La célérité √(T/μ) sur une corde n'est pas au programme de ce chapitre et doit être fournie.

Clés de démonstration

Retard et onde progressive. Le point d'abscisse x reproduit ce qu'a fait le point origine un temps x/c plus tôt, donc s(x, t) = s(0, t − x/c). On passe à la forme F(x − ct) en posant F(u) = f(−u/c). L'astuce est de raisonner en « qui a émis quoi, et quand ».

Relation λ = cT. On écrit s(x + λ, t) = s(x, t) pour tout x et tout t, ce qui impose kλ = 2π. Avec k = ω/c et ω = 2π/T, on obtient λ = cT. L'astuce est d'exploiter la périodicité en espace comme on exploite celle en temps.

Déphasage et retard. On écrit s(x₂, t) = s(x₁, t − τ) avec τ = d/c. Remplacer t par t − τ dans cos(ωt + φ) retire ωτ à la phase. Or ωτ = ωd/c = kd = 2πd/λ.

Amplitude résultante. On associe à chaque signal un vecteur de Fresnel, ou une amplitude complexe A₁ + A₂ exp(iΔφ). On calcule le carré de la norme, ou on applique la formule d'Al-Kashi dans le triangle des vecteurs. L'astuce est de ne jamais additionner des cosinus déphasés à la main.

Battements. On utilise cos p + cos q = 2 cos((p + q)/2) cos((p − q)/2). Le facteur lent a la fréquence |Δf|/2. L'astuce est que l'amplitude perçue est sa valeur absolue, qui a une période deux fois plus courte, d'où la fréquence |Δf|.

Trous d'Young. On place S₁ en −a/2, S₂ en +a/2 et M en (x, D). On calcule S₁M² − S₂M² = 2ax exactement, puis on écrit S₁M − S₂M = 2ax/(S₁M + S₂M) ≈ ax/D. L'astuce est la différence de carrés, qui évite le développement limité de chaque racine.

Onde stationnaire et modes propres. On factorise la somme par cos p + cos q. Sur la corde, on part de la forme générale A cos(kx + α) cos(ωt + β). Le nœud en x = 0 impose la forme A sin(kx) cos(ωt + β), et le nœud en x = L impose sin(kL) = 0, soit kL = nπ. L'astuce est d'imposer les conditions aux limites l'une après l'autre.

Exemples et contre-exemples à connaître

Son à 340 Hz dans l'air, λ = 1 m. Les longueurs d'onde acoustiques sont à l'échelle d'une pièce, d'où des interférences audibles dans une salle.
Ultrasons à 40 kHz, λ ≈ 8,5 mm. C'est la bonne échelle pour mesurer λ au réglet sur une paillasse.
Lumière visible, T de l'ordre de 2 fs. Aucun détecteur ne suit le champ, on ne mesure qu'une intensité moyenne, d'où la formule de Fresnel en intensité.
Deux lampes indépendantes. Contre-exemple : elles n'interfèrent pas de façon observable, leur déphasage varie aléatoirement. Il faut diviser une même onde.
Prisme. Le verre est dispersif, l'indice dépend de λ₀ et les couleurs sont déviées différemment.
Houle au large. Les ondes de surface en eau profonde sont dispersives et les grandes longueurs d'onde vont plus vite. La houle longue arrive la première sur la côte.
Deux ondes opposées d'amplitudes inégales. Contre-exemple : ce n'est pas une onde stationnaire pure, les minima ne sont pas nuls.
Corde de guitare de 65 cm donnant 110 Hz. On en déduit c = 2Lf ≈ 143 m/s, un ordre de grandeur à retenir.
Corde raccourcie de moitié. La fréquence double, c'est l'octave, le lien direct avec la musique.

Techniques du chapitre

Lire le sens et la célérité sur l'expression. Mini-exercice : s = S cos(2π(500t + 1,5x)) en unités SI. Le signe + indique une propagation vers les x décroissants. On lit f = 500 Hz et 1/λ = 1,5 m⁻¹, donc λ = 0,67 m et c = λf ≈ 333 m/s.

Passer du chronogramme à la photographie. Mini-exercice : en x = 0, une impulsion dure de t = 0 à t = 2 ms, avec c = 340 m/s. À t = 5 ms, elle occupe l'intervalle de 1,02 m à 1,70 m. Le début du signal, émis le premier, est le plus loin. La photographie est donc le chronogramme retourné.

Compter les positions en phase. Mini-exercice : deux récepteurs à 40,0 kHz, on éloigne l'un d'eux et les signaux redeviennent en phase 10 fois sur 85 mm. Donc λ = 8,5 mm et c = 340 m/s.

Réduire un déphasage modulo 2π. Mini-exercice : λ = 20 cm, d = 70 cm. On calcule d/λ = 3,5, donc Δφ = 7π, équivalent à π. Les deux points vibrent en opposition de phase.

Additionner par Fresnel. Mini-exercice : A₁ = 3, A₂ = 4 et Δφ = π/2. On trouve A² = 9 + 16 + 0, donc A = 5. Les signaux en quadrature additionnent leurs carrés.

Lire des battements. Mini-exercice : un enregistrement montre six périodes d'enveloppe en 1,5 s. La période d'enveloppe vaut 0,25 s, donc |Δf| = 4 Hz.

Poser les conditions aux limites d'abord. Mini-exercice : corde de 80 cm fixée aux deux bouts, c = 200 m/s. On a f₁ = c/(2L) = 125 Hz. Le mode à trois fuseaux est à 375 Hz.

Contrôler l'ordre de grandeur. Mini-exercice : un calcul d'interfrange d'Young donne 3 µm. C'est trop petit pour être observé à l'œil, il faut chercher une puissance de dix oubliée, souvent a en millimètres.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Le son dans un rail

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On frappe un rail d'acier. Deux capteurs fixés sur le rail, distants de 1,20 m, enregistrent le signal avec un décalage de 0,24 ms. Un observateur situé à 1,0 km du choc, près du rail, entend deux sons. Quel intervalle les sépare ? On prend 340 m/s pour le son dans l'air.

Technique Retard de propagation τ = d/c.

Voir le corrigé

La célérité dans l'acier vaut c = d/τ = 1,20/(0,24 × 10⁻³) = 5,0 × 10³ m/s.
Le son mis par le rail arrive au bout de L/c_acier = 0,20 s.
Le son transmis par l'air arrive au bout de L/c_air = 2,94 s.
L'intervalle vaut Δt = L(1/c_air − 1/c_acier) ≈ 2,7 s. Le premier son vient du rail.

piège : Diviser les célérités au lieu de soustraire les durées.

Exercice 2. Exploiter une onde sinusoïdale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une onde acoustique s'écrit s(x, t) = S_m cos(628t − 1,85x), en unités SI. Donner le sens de propagation, f, λ et c. Comparer les signaux en x = 0 et x = 0,85 m. À quelle distance deux points sont-ils en opposition de phase ?

Technique Double périodicité et déphasage dû à la propagation.

Voir le corrigé

Le signe − indique une propagation vers les x croissants.
On a f = ω/(2π) ≈ 100 Hz et λ = 2π/k ≈ 3,40 m, donc c = ω/k ≈ 340 m/s.
Pour d = 0,85 m, on trouve kd ≈ 1,57 rad, soit π/2. Le point éloigné est en quadrature retard. Son chronogramme est décalé de T/4 = 2,5 ms.
L'opposition de phase exige d = (2m + 1)λ/2. La plus petite distance vaut 1,70 m.

piège : Prendre 1,85 pour 1/λ alors que c'est k, qui contient déjà le facteur 2π.

Exercice 3. Accorder une corde avec un diapason

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une corde et un diapason à 440 Hz sonnent ensemble et on entend 3 battements par seconde. On tend légèrement la corde, et on entend alors 5 battements par seconde. Quelle était la fréquence de la corde ? Que faut-il faire pour l'accorder ?

Technique Fréquence des battements égale à |Δf|.

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Au départ, la fréquence de la corde vaut 437 Hz ou 443 Hz.
Tendre la corde augmente c, donc sa fréquence.
Si elle était à 437 Hz, une petite hausse rapprocherait de 440 Hz et réduirait les battements. Or ils augmentent, donc la corde était à 443 Hz. Elle est maintenant à 445 Hz.
Il faut détendre la corde jusqu'à faire disparaître les battements.

piège : Oublier l'ambiguïté du signe de Δf. Il faut aussi noter que l'argument suppose une petite variation. Une hausse de 8 Hz en partant de 437 Hz donnerait aussi 5 battements par seconde.

Exercice 4. Microphone entre deux haut-parleurs

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Deux haut-parleurs alimentés en phase à 1 700 Hz se font face, à 1,0 m l'un de l'autre. On déplace un microphone sur le segment qui les joint, avec c = 340 m/s. Où sont les maxima ? Pourquoi les minima ne sont-ils pas nuls ?

Technique Différence de marche, puis déphasage.

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On a λ = c/f = 0,20 m. On repère le microphone par son abscisse x comptée depuis le milieu.
Les distances aux sources valent d₁ = 0,5 + x et d₂ = 0,5 − x, donc d₁ − d₂ = 2x.
Les maxima vérifient 2x = mλ, soit x = mλ/2. Il y en a un au milieu, puis un tous les 10 cm. Les minima sont décalés de 5 cm.
On retrouve la structure d'une onde stationnaire, ce qui est logique puisque les deux ondes se propagent en sens opposés.
Hors du milieu, les amplitudes reçues diffèrent car chaque onde s'atténue avec la distance. Le minimum vaut |A₁ − A₂|, qui est non nul.

piège : Répondre un espacement de λ au lieu de λ/2. Ici la différence de marche varie deux fois plus vite que la position.

Exercice 5. Mesure d'une célérité et incertitude

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Un émetteur ultrasonore à 40,0 kHz et deux récepteurs. On relève la position du récepteur mobile quand les signaux sont en phase. On lit 12,3 mm, puis 97,4 mm après 10 coïncidences supplémentaires. Chaque lecture est connue à ± 0,5 mm près. Donner c avec son incertitude-type.

Technique Mesure de λ sur plusieurs périodes spatiales.

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Entre deux coïncidences, le déphasage augmente de 2π, soit un déplacement de λ. Donc λ = (97,4 − 12,3)/10 = 8,51 mm.
On obtient c = λf = 340 m/s.
On prend une loi uniforme pour chaque lecture, soit u = 0,5/√3 ≈ 0,29 mm. L'écart de deux lectures a pour incertitude-type √2 × 0,29 ≈ 0,41 mm.
On divise par 10, donc u(λ) ≈ 0,041 mm, et u(c) = c × u(λ)/λ ≈ 1,6 m/s, en négligeant l'incertitude sur f.
Le résultat s'écrit c = 340 m/s avec u(c) ≈ 2 m/s.

piège : Mesurer une seule longueur d'onde, ce qui donne une incertitude relative dix fois plus grande.

Exercice 6. Trous d'Young et lame de verre

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Trous d'Young avec a = 0,20 mm, D = 1,50 m et λ₀ = 633 nm, dans l'air. Établir δ(x) et l'interfrange. On place devant S₂ une lame d'indice n = 1,5 et d'épaisseur e = 10 µm. Comment la figure est-elle modifiée ?

Technique Chemin optique.

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On place S₁ en −a/2 et S₂ en +a/2. On a S₁M² − S₂M² = 2ax, donc δ = S₁M − S₂M ≈ ax/D, pour x et a petits devant D.
La formule de Fresnel donne une intensité périodique en x, de période i = λ₀D/a = 4,7 mm.
La lame remplace un trajet e d'air par un trajet e de verre. Le chemin optique passant par S₂ augmente de (n − 1)e. On a maintenant δ = ax/D − (n − 1)e.
La frange d'ordre zéro, où δ = 0, est en x₀ = (n − 1)eD/a = 37,5 mm, du côté de la lame.
Toute la figure est translatée sans changement d'interfrange, soit un décalage d'environ 7,9 franges, puisque (n − 1)e/λ₀ ≈ 7,9.

piège : Écrire ne au lieu de (n − 1)e, en oubliant que la lame remplace de l'air.

Exercice 7. Spectre cannelé

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Trous d'Young avec a = 0,20 mm et D = 1,00 m, éclairés en lumière blanche entre 400 et 800 nm. On admet que les intensités des différentes longueurs d'onde s'ajoutent. On envoie la lumière reçue en x = 10 mm dans un spectroscope. Quelles radiations sont éteintes ?

Technique Condition d'interférence destructive pour chaque λ₀.

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La différence de chemin optique vaut δ = ax/D = 2,0 µm. Elle ne dépend pas de λ₀.
Une radiation est éteinte si δ = (m + 1/2)λ₀, soit λ₀ = 2,0/(m + 1/2) en µm.
Pour être dans le visible, il faut 2,5 ≤ m + 1/2 ≤ 5, donc m vaut 2, 3 ou 4.
On trouve 800 nm, à la limite du visible, 571 nm et 444 nm. Le spectre présente des cannelures sombres.
Au centre, en x = 0, aucune radiation n'est éteinte : la frange centrale est blanche.

piège : Croire que la lumière blanche ne donne rien. Elle donne des franges colorées près du centre, puis un blanc d'ordre supérieur, cannelé.

Exercice 8. Corde de Melde

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une corde de longueur L = 1,20 m et de masse linéique μ = 2,0 g/m est excitée à 50 Hz. On observe 3 fuseaux. On donne c = √(T/μ). Déterminer c et la tension T. Quelle tension donnerait 4 fuseaux à la même fréquence ? Qu'observe-t-on avec un stroboscope réglé à 49 Hz ?

Technique Compter les fuseaux et appliquer L = nλ/2.

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On assimile les deux extrémités à des nœuds. Avec 3 fuseaux, L = 3λ/2, donc λ = 0,80 m.
On obtient c = λf = 40 m/s et T = μc² = 3,2 N.
Pour 4 fuseaux, λ' = 0,60 m, c' = 30 m/s et T' = 1,8 N. Il faut détendre la corde.
Le stroboscope éclaire la corde un peu plus tard à chaque période. On voit le mouvement ralenti à 50 − 49 = 1 Hz, avec des nœuds immobiles et des ventres qui oscillent lentement.

piège : Oublier que l'extrémité côté vibreur bouge un peu. Ce n'est qu'approximativement un nœud, ce qui explique l'écart aux fréquences calculées.

Exercice 9. Corde de guitare pincée

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une corde de 65 cm, fixée aux deux bouts, joue un la à 110 Hz. Calculer c. On la pince en son milieu. Quels harmoniques sont absents ? De combien faut-il raccourcir la corde pour monter d'un demi-ton, c'est-à-dire multiplier f par 2^1/12 ?

Technique Décomposition en modes propres et symétrie.

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On a c = 2Lf₁ ≈ 143 m/s.
Le mode n s'écrit sin(nπx/L). Pour n pair, il est antisymétrique par rapport au milieu, qui est un nœud. Pour n impair, il est symétrique.
La déformation initiale d'une corde pincée au milieu est symétrique. Seuls les modes symétriques y contribuent, donc les harmoniques pairs sont absents.
De même, pincer la corde au quart supprime les modes 4, 8, etc., dont un nœud se trouve au point pincé.
Pour le demi-ton, L' = L/2^1/12 = 61,4 cm. Il faut raccourcir de 3,65 cm, soit la distance à la première frette.

piège : Dire que « pincer au milieu excite le fondamental seul ». Tous les harmoniques impairs sont présents, ce qui donne le timbre.

Exercice 10. Onde partiellement stationnaire

Approfondissement · Type oral Centrale

Une onde A cos(ωt − kx) se superpose à une onde réfléchie rA cos(ωt + kx), avec 0 ≤ r ≤ 1. Exprimer l'amplitude en fonction de x. Où sont les maxima et les minima ? Comment mesurer r ? Étudier les cas r = 0 et r = 1.

Technique Formule de l'amplitude de deux sinusoïdes de même fréquence.

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En un point x fixé, les deux signaux ont la même pulsation. Leur déphasage vaut Δφ = 2kx.
On a A(x)² = A²(1 + r² + 2r cos(2kx)).
Les maxima valent A(1 + r), les minima A(1 − r). Ils sont périodiques de période λ/2, et un maximum est à λ/4 du minimum voisin.
On mesure le rapport ρ = A_max/A_min = (1 + r)/(1 − r), d'où r = (ρ − 1)/(ρ + 1).
Pour r = 0, l'amplitude est uniforme : c'est une onde progressive. Pour r = 1, les minima sont nuls : c'est une onde stationnaire pure.

piège : Chercher la phase de l'onde résultante alors que seule l'amplitude est demandée. Il faut aussi penser à écrire le déphasage 2kx et non kx.

Erreurs fréquentes

Se tromper de sens de propagation. La combinaison t − x/c correspond aux x croissants. Un signe + dans cos(ωt + kx) indique une propagation vers les x décroissants.
Confondre k et 1/λ, ou ω et f. Un facteur 2π oublié fausse c, λ et tous les déphasages.
Annoncer |Δf|/2 comme fréquence des battements. L'oreille et l'écran perçoivent l'enveloppe en valeur absolue, dont la fréquence est |Δf|.
Utiliser la distance géométrique au lieu du chemin optique dès qu'un milieu d'indice n est traversé. Ou utiliser λ dans le milieu avec δ, alors que Δφ = 2πδ/λ₀.
Écrire L = nλ au lieu de L = nλ/2 pour une corde fixée. Deux nœuds consécutifs sont séparés de λ/2, et le mode n compte n fuseaux.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 1 « ondes et signaux », partie 1.6 « Propagation d'un signal ». Elle couvre l'onde progressive unidimensionnelle, la double périodicité, les milieux dispersifs, les interférences à deux ondes et les ondes stationnaires. Aucune équation d'onde n'est au programme de PCSI.