Le cours

Résumé en cinq points

Toute étude commence par le domaine de définition, puis par la recherche d'une réduction du domaine d'étude.
La parité et l'imparité ne se posent que sur un domaine symétrique, et toute fonction sur un tel domaine se décompose de façon unique en partie paire plus partie impaire.
La monotonie se déclare toujours sur un intervalle. La stricte monotonie entraîne l'injectivité.
$f$ est bornée si et seulement si $\abs{f}$ est majorée. Un maximum est une valeur atteinte, une borne supérieure ne l'est pas forcément.
Le plan d'étude est fixe : domaine, symétries, régularité, dérivée et signe, limites, tableau, asymptotes, points remarquables, tracé.

Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre des réflexes. Avant toute étude, on se demande sur quel domaine on travaille, si la fonction est paire, impaire ou périodique, et si l'on peut réduire l'intervalle d'étude.

Ce travail préliminaire divise souvent par deux ou par quatre le volume de calcul, et il évite des erreurs de tracé.
On y fixe le vocabulaire des fonctions majorées, bornées, monotones, et la notion d'extremum, qui reviendront dans les chapitres d'optimisation, dans les inégalités et en probabilités.
On y installe le plan d'étude d'une fonction, exercice standard de début d'année et passage obligé des problèmes d'analyse, où l'on introduit constamment une fonction auxiliaire pour établir une inégalité.

1Domaine et opérations

1.1Ensemble de définition

Définition 1.1Domaine de définition

Le domaine de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression $f(x)$ a un sens.

Les contraintes usuelles sont :

un dénominateur non nul ;
l'argument d'une racine carrée positif ou nul ;
l'argument d'un logarithme strictement positif ;
l'argument d'un Arcsin ou d'un Arccos dans $[-1, 1]$ ;
l'argument d'une tangente hors des $\frac{\pi}{2} + k\pi$ ;
pour une puissance non entière, une base strictement positive.

Attention

La détermination du domaine se fait avant toute autre chose, et une réponse sans domaine est incomplète.

1.2Opérations

Si $f$ et $g$ sont définies sur une même partie $D$ , on définit $f + g$ , $fg$ , $\lambda f$ point par point, et $f/g$ sur la partie où $g$ ne s'annule pas.

Définition 1.2Composée

La composée $g \circ f$ est définie sur l'ensemble des $x$ du domaine de $f$ tels que $f(x)$ appartienne au domaine de $g$ .

La composition n'est pas commutative.

On note $\mathcal{F}(I, \R)$ l'ensemble des fonctions de $I$ dans $\R$ . Muni de l'addition et de la multiplication par un réel, c'est un exemple important d'espace vectoriel, notion qui sera définie plus tard.

Définition 1.3Comparaison de fonctions

On compare deux fonctions point par point : $f \leqslant g$ signifie $f(x) \leqslant g(x)$ pour tout $x$ du domaine commun.

Attention

Cette relation d'ordre n'est pas totale : deux fonctions quelconques ne sont pas comparables.

Les définitions s'étendent aux fonctions à valeurs complexes, pour lesquelles on dispose des parties réelle et imaginaire, du conjugué et du module, mais d'aucune relation d'ordre.

2Parité et périodicité

2.1Parité

La question de la parité suppose un domaine symétrique.

Définition 2.1Domaine symétrique

Un domaine $D$ est symétrique par rapport à 0 si $-x \in D$ dès que $x \in D$ .

Définition 2.2Fonction paire, fonction impaire

Soit $f$ définie sur un domaine $D$ symétrique par rapport à 0.

$f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in D$ . Son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D$ . Son graphe est symétrique par rapport à l'origine. Si $0 \in D$ , alors $f(0) = 0$ .

Exemple 2.3

$\cos$ , la fonction carré et $\operatorname{ch}$ sont paires.
$\sin$ , $\tan$ , la fonction cube, $\operatorname{Arctan}$ et $\operatorname{sh}$ sont impaires.
La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires, comme $\exp$ .

Propriété 2.4Règles de calcul

Le produit de deux fonctions paires est pair.
Le produit de deux fonctions impaires est pair.
Le produit d'une paire et d'une impaire est impair.

Une somme d'une paire et d'une impaire n'est en général ni l'une ni l'autre.

Propriété 2.5Décomposition

Hypothèse : $f$ est définie sur un domaine symétrique.

Alors $f$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, respectivement $\begin{aligned} &\frac{f(x) + f(-x)}{2} \\ &\text{et } \frac{f(x) - f(-x)}{2}. \end{aligned}$ Pour l'exponentielle, cela donne exactement $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ . La démonstration est une analyse-synthèse.

Si $f$ est paire ou impaire, on l'étudie sur l'intersection du domaine avec $\R_+$ , puis on complète le graphe par symétrie.

2.2Périodicité

Définition 2.6Fonction périodique

Soit $T > 0$ . $f$ est périodique de période $T$ (ou $T$ -périodique) si son domaine est stable par translation de $T$ et de $-T$ et si $f(x + T) = f(x)$ pour tout $x$ du domaine.

Alors $f$ est aussi $kT$ -périodique pour tout entier $k$ non nul. La plus petite période strictement positive, quand elle existe, s'appelle la période de $f$ .

Exemple 2.7

$\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$ -périodiques, $\tan$ est $\pi$ -périodique.
La fonction $x \mapsto \cos(\omega x)$ , avec $\omega > 0$ , est périodique de période $2\pi/\omega$ .
La partie décimale, $x$ moins sa partie entière, est $1$ -périodique.

On étudie $f$ sur un intervalle de longueur $T$ , puis on complète par translations successives. Si de plus $f$ est paire ou impaire, on peut restreindre encore, typiquement à un demi-intervalle. C'est ce qu'on fait pour tracer un sinus ou une tangente.

3Monotonie

Définition 3.1Monotonie

$f$ est croissante sur un intervalle $I$ si, pour tous $x, y \in I$ avec $x \leqslant y$ , on a $f(x) \leqslant f(y)$ . Elle est strictement croissante si $x < y$ entraîne $f(x) < f(y)$ . Définitions symétriques pour la décroissance.

$f$ est monotone si elle est croissante ou décroissante sur $I$ tout entier.

Attention

La monotonie se dit toujours sur un intervalle précisé. La fonction inverse est strictement décroissante sur $\R_-^*$ et sur $\R_+^*$ , mais elle n'est pas décroissante sur la réunion des deux, puisque $-1 < 1$ alors que l'image de $-1$ est plus petite que celle de $1$ .

Propriété 3.2Composition et opérations

La composée de deux fonctions de même sens de monotonie est croissante.
La composée de deux fonctions de sens contraires est décroissante.
La somme de deux fonctions croissantes est croissante.

Rien de général pour le produit, sauf si les fonctions sont positives.

Propriété 3.3Stricte monotonie et injectivité

Une fonction strictement monotone sur un intervalle est injective.

La réciproque est fausse en général, mais elle devient vraie si on ajoute la continuité, comme le dit le chapitre sur la continuité.

Théorème 3.4Signe de la dérivée

Hypothèse : $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ .

Alors, si $f'$ est positive sur $I$ , $f$ est croissante sur $I$ . Si $f'$ est strictement positive sauf éventuellement en un nombre fini de points, $f$ est strictement croissante.

Résultat admis à ce stade et démontré dans le chapitre sur la dérivation. En pratique, la monotonie s'obtient presque toujours par le signe de la dérivée.

4Majoration, minoration, extremums

Définition 4.1Fonction majorée, minorée, bornée

$f$ est majorée sur $D$ s'il existe $M$ tel que $f(x) \leqslant M$ pour tout $x \in D$ , minorée s'il existe $m$ tel que $f(x) \geqslant m$ , bornée si les deux.

Propriété 4.2Caractérisation des fonctions bornées

$f$ est bornée si et seulement si $\abs{f}$ est majorée, c'est-à-dire s'il existe $K \geqslant 0$ tel que $\abs{f(x)} \leqslant K$ pour tout $x$ .

Géométriquement, le graphe est contenu dans une bande horizontale.

Définition 4.3Borne supérieure

La borne supérieure de $f$ sur $D$ est la borne supérieure de l'ensemble $f(D)$ des valeurs prises, quand elle existe. On la note $\sup_{x \in D} f(x)$ .

Définition 4.4Maximum global

$f$ admet un maximum global en $a$ si $f(x) \leqslant f(a)$ pour tout $x \in D$ . Le maximum est alors la valeur $f(a)$ , atteinte en $a$ .

Exemple 4.5Majorée sans maximum

$x \mapsto 1 - 1/x$ est majorée par $1$ sur $[1, +\infty[$ sans jamais atteindre cette valeur.

Définition 4.6Maximum local, extremum

$f$ admet un maximum local en $a$ s'il existe un intervalle ouvert centré en $a$ sur lequel $f(x) \leqslant f(a)$ . Définitions symétriques pour les minimums. Un extremum est un maximum ou un minimum.

Un maximum global est local, la réciproque étant fausse.

À retenir

Un maximum est une valeur atteinte, une borne supérieure ne l'est pas forcément.

Le chapitre sur la continuité donne le résultat d'existence : une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

5Graphe et transformations

Définition 5.1Graphe

Le graphe de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x, f(x))$ pour $x$ dans le domaine.

Les transformations suivantes sont à connaître : elles permettent de tracer rapidement une courbe à partir d'une courbe de référence.

$x \mapsto f(x) + a$ : translation verticale de vecteur $a$ vers le haut.
$x \mapsto f(x + a)$ : translation horizontale de $a$ vers la gauche.
$x \mapsto a f(x)$ avec $a > 0$ : dilatation verticale de rapport $a$ . Avec $a = -1$ , symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
$x \mapsto f(ax)$ avec $a > 0$ : contraction horizontale de rapport $1/a$ . Avec $a = -1$ , symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
$x \mapsto f(a - x)$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées suivie d'une translation, ce qui revient à la symétrie par rapport à la droite verticale d'équation $x = a/2$ .
$x \mapsto \abs{f(x)}$ : on conserve la partie du graphe située au-dessus de l'axe des abscisses et on rabat par symétrie celle qui est en dessous.

Attention

Pour $f(x + a)$ , le sens de la translation est vers la gauche : c'est l'erreur classique.

Propriété 5.2Symétries générales

Pour tout $h$ tel que ces quantités aient un sens :

le graphe de $f$ admet la droite d'équation $x = a$ pour axe de symétrie si et seulement si $f(a + h) = f(a - h)$ ;
il admet le point $(a, b)$ pour centre de symétrie si et seulement si $f(a + h) + f(a - h) = 2b$ .

Ces deux critères généralisent la parité et l'imparité, qui correspondent au cas $a = 0$ .

Résolution graphique :

les solutions de $f(x) = \lambda$ sont les abscisses des points d'intersection du graphe avec la droite horizontale d'ordonnée $\lambda$ ;
l'ensemble des $x$ tels que $f(x) \geqslant \lambda$ est la réunion des intervalles où le graphe est au-dessus de cette droite.

La lecture graphique donne la forme du résultat, elle ne remplace pas la démonstration.

6Plan d'étude d'une fonction

MéthodeÉtudier une fonction

Déterminer le domaine de définition.
Chercher une parité, une imparité, une périodicité, éventuellement un axe ou un centre de symétrie, et en déduire un ensemble d'étude réduit. Préciser comment on complétera le graphe.
Justifier la continuité et la dérivabilité sur le domaine d'étude, en invoquant les opérations sur les fonctions usuelles.
Calculer la dérivée, la factoriser, étudier son signe.
Calculer les limites aux bornes du domaine d'étude, y compris les limites à droite et à gauche aux points exclus.
Dresser le tableau de variations, avec les valeurs et les limites aux bornes.
Repérer les asymptotes.
Calculer quelques points remarquables : intersections avec les axes, tangentes horizontales, tangente en un point particulier.
Tracer, en respectant les tangentes et les asymptotes, puis compléter par les symétries annoncées à l'étape 2.

Pour les asymptotes :

une asymptote verticale d'équation $x = a$ apparaît quand $f$ tend vers l'infini en $a$ ;
une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ apparaît quand $f$ tend vers $\ell$ en l'infini ;
la recherche d'asymptotes obliques relève du chapitre d'analyse asymptotique, où elle se fait à l'aide d'un développement limité en l'infini.

Ce plan sert aussi quand on introduit une fonction auxiliaire pour démontrer une inégalité. Dans ce cas, on ne trace rien, mais on suit les étapes 3 à 6 pour obtenir le signe de la fonction.

Méthodes

MéthodeDémontrer une inégalité

Poser $g$ égale à la différence des deux expressions.
Étudier $g$ .
Conclure par son tableau de variations et le signe aux bornes.

MéthodeDémontrer qu'une fonction est constante

Montrer que sa dérivée est nulle sur un intervalle.
Évaluer en un point.

MéthodeRéduire un domaine d'étude

Chercher dans l'ordre :

la périodicité ;
la parité ;
la symétrie d'axe ou de centre.

MéthodeÉtudier une fonction définie par morceaux

Traiter chaque morceau.
Examiner les points de raccord avec les limites latérales.

MéthodeÉtudier une fonction de la forme $u^v$

Écrire $u^v = \e^{v \ln u}$ , ce qui suppose $u$ strictement positive.
Dériver la composée.

MéthodeLocaliser un extremum

Penser d'abord aux points où la dérivée s'annule, mais ne pas oublier les bornes du domaine et les points de non-dérivabilité.

MéthodeComparer $f$ et $g$ sur un intervalle

Penser aussi à la convexité quand l'une des deux est une tangente ou une corde de l'autre.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Déterminer le domaine de définition d'une expression comportant une racine, un logarithme et un Arcsin.
Justifier qu'un domaine est symétrique, puis étudier la parité d'une fonction donnée.
Décomposer une fonction en somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, par analyse-synthèse, et retrouver $\operatorname{ch}$ et $\operatorname{sh}$ à partir de $\exp$ .
Déterminer la période d'une fonction du type $x \mapsto \cos(\omega x)$ ou d'une somme de deux fonctions périodiques simples.
Expliquer pourquoi la fonction inverse n'est pas décroissante sur son domaine tout entier.
Donner la définition d'un maximum local et d'un maximum global, et un exemple de fonction majorée sans maximum.
Établir qu'une droite verticale est axe de symétrie, ou qu'un point est centre de symétrie, à l'aide du critère avec $h$ .
Mener une étude complète de fonction, du domaine au tracé, en annonçant la réduction du domaine d'étude.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le chapitre est pratique. Il contient peu de théorèmes, mais chaque propriété doit se justifier en deux lignes.

Décomposition paire plus impaire : sur un domaine symétrique, toute fonction s'écrit de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Exigible avec démonstration.
Seule la fonction nulle est à la fois paire et impaire. Exigible, c'est l'unicité précédente.
Parité d'un produit et d'une composée. Le produit de deux paires, ou de deux impaires, est pair. Le produit d'une paire par une impaire est impair. Si f est paire, g∘f est paire. Exigible, preuve immédiate.
Si f est T-périodique, alors f(x + kT) = f(x) pour tout entier relatif k. Exigible, par récurrence.
f est bornée si et seulement si |f| est majorée. Exigible avec démonstration. Pour une fonction à valeurs complexes, c'est la définition de « bornée ».
Composée de fonctions monotones. On suppose f monotone sur I, et g monotone sur un intervalle J contenant f(I). Alors g∘f est croissante si f et g ont le même sens, et décroissante sinon. Exigible.
La somme de deux croissantes est croissante. Le produit de deux croissantes positives est croissant. Exigible.
Une fonction strictement monotone sur une partie D de R est injective sur D. Exigible avec démonstration.
Critères de symétrie. On suppose le domaine symétrique par rapport à a. La droite x = a est axe de symétrie si f(a + h) = f(a − h). Le point (a, b) est centre de symétrie si f(a + h) + f(a − h) = 2b. Exigible.
Transformations du graphe par x ↦ f(x + a), f(ax), f(x) + a et a f(x). Capacité exigible.
Constance et monotonie par le signe de la dérivée sur un intervalle. Admis à ce stade, démontré au chapitre sur la dérivation.
Le graphe de la réciproque est le symétrique du graphe de f par rapport à la droite y = x. La formule de la dérivée de la réciproque est admise.
Hors chapitre. Le théorème des bornes atteintes et le théorème de la bijection sont démontrés au chapitre sur la continuité. On les utilise ici comme au lycée. Les asymptotes obliques relèvent de l'analyse asymptotique.

Clés de démonstration

Décomposition paire plus impaire. Analyse : si f = p + i, alors f(x) = p(x) + i(x) et f(−x) = p(x) − i(x), et on résout ce système. Synthèse : on vérifie la parité des deux fonctions obtenues et le fait que leur somme vaut f. Astuce : l'unicité sort de l'analyse, l'existence sort de la synthèse.

Bornée si et seulement si |f| majorée. Si m ≤ f(x) ≤ M, on pose K = max(|m|, |M|), et alors |f(x)| ≤ K. Réciproquement, |f(x)| ≤ K donne −K ≤ f(x) ≤ K. Astuce : prendre le maximum des valeurs absolues des deux bornes.

Stricte monotonie et injectivité. Soient x ≠ y dans D, par exemple x < y. Si f est strictement croissante, f(x) < f(y), donc f(x) ≠ f(y). Astuce : partir de points distincts, puis les ordonner sans perte de généralité.

Composée de monotones. Soit x ≤ y dans I, avec f croissante. Alors f(x) ≤ f(y), et ces deux nombres sont dans J. Appliquer g conserve ou renverse l'inégalité selon le sens de g. Astuce : c'est l'hypothèse f(I) ⊂ J qui autorise à appliquer g.

Produit de croissantes positives. Pour x ≤ y, on écrit f(x)g(x) ≤ f(y)g(x) ≤ f(y)g(y). La première inégalité utilise g(x) ≥ 0, la seconde utilise f(y) ≥ 0. Astuce : intercaler le terme mixte f(y)g(x).

Multiples d'une période. Pour k ≥ 1, par récurrence, f(x + kT) = f(x + (k − 1)T + T) = f(x + (k − 1)T) = f(x). Pour −T, on écrit f(x) = f((x − T) + T) = f(x − T). Astuce : la stabilité du domaine par ±T sert à chaque ligne.

Centre de symétrie. Le symétrique du point (a + h, f(a + h)) par rapport à (a, b) est le point (a − h, 2b − f(a + h)). Il est sur le graphe si et seulement si f(a − h) = 2b − f(a + h). Astuce : cela revient à dire que h ↦ f(a + h) − b est impaire, on se ramène donc à l'imparité par changement d'origine.

Exemples et contre-exemples à connaître

La dérivée de tan est strictement positive sur son domaine, et pourtant tan n'est pas croissante sur ce domaine : 0 < 3π/4 alors que tan 0 = 0 > −1 = tan(3π/4). Le critère de la dérivée exige un intervalle.
Arctan est bornée sur R, mais sa borne supérieure π/2 n'est pas atteinte. C'est une borne supérieure sans maximum.
x ↦ cos x + cos(√2 x) est une somme de deux fonctions périodiques qui n'est pas périodique (exercice 3).
L'indicatrice de Q admet tout rationnel strictement positif comme période. Elle n'a donc pas de plus petite période.
x ↦ x³ est strictement croissante alors que sa dérivée s'annule en 0. Une dérivée nulle n'impose pas d'extremum.
x ↦ |x| a un minimum en 0, où elle n'est pas dérivable. Les extremums se cherchent aussi hors des zéros de la dérivée.
x ↦ x est croissante sur R, mais pas son carré. Le produit de deux croissantes n'est donc pas croissant en général. Il l'est dès que les deux sont positives.
Sur [0, 2], on pose f(x) = x sur [0, 1[ et f(x) = 3 − x sur [1, 2]. Elle est injective sans être monotone. La réciproque « injective implique strictement monotone » exige la continuité.
x ↦ 1/(1 − x) a pour domaine R∖{1}, qui n'est pas symétrique. La question de sa parité n'a pas de sens.

Techniques du chapitre

Technique 1 : domaine par tableau de signes. Domaine de x ↦ √((1 − x)/(1 + x)) : il faut x ≠ −1 et un quotient positif ou nul. Le tableau de signes donne ]−1, 1]. La borne 1 est incluse, la borne −1 exclue.

Technique 2 : réduire le domaine en cascade. Soit f(x) = sin x cos² x. Elle est 2π-périodique et impaire, on se limite à [0, π]. De plus f(π − x) = f(x), donc la droite x = π/2 est axe de symétrie. On étudie f sur [0, π/2], puis on complète par cet axe, par la symétrie de centre O et par les translations de 2π.

Technique 3 : inégalité par fonction auxiliaire. Montrons que sin x ≤ x pour x ≥ 0. On pose g(x) = x − sin x. Alors g'(x) = 1 − cos x ≥ 0, donc g est croissante sur [0, +∞[, avec g(0) = 0. Donc g ≥ 0.

Technique 4 : trouver un centre de symétrie. Soit f(x) = (2x + 1)/(x − 1). On calcule f(1 + h) + f(1 − h) = (3 + 2h)/h + (2h − 3)/h = 4. Le domaine R∖{1} est symétrique par rapport à 1, donc le point (1, 2) est centre de symétrie.

Technique 5 : suivre un point pour transformer un graphe. Pour x ↦ f(2x + 1), le point (x₀, y₀) du graphe de f devient ((x₀ − 1)/2, y₀). On translate donc de 1 vers la gauche, puis on contracte horizontalement de rapport 1/2.

Technique 6 : puissance variable. Sur ]0, +∞[, x^x = e^{x ln x}. La dérivée vaut (ln x + 1) x^x, du signe de ln x + 1. La fonction décroît puis croît, avec un minimum en 1/e égal à e^−1/e.

Technique 7 : borner par une inégalité élémentaire. Montrons que x ↦ x/(1 + x²) est bornée. On part de (|x| − 1)² ≥ 0, qui donne 2|x| ≤ 1 + x². Donc |f(x)| ≤ 1/2.

Technique 8 : tester la parité après simplification. Soit f(x) = ln(x + √(x² + 1)). Le domaine est R, car √(x² + 1) > |x|. Par la quantité conjuguée, f(−x) = ln(√(x² + 1) − x) = ln(1/(√(x² + 1) + x)) = −f(x). f est impaire.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Domaine, parité, variations

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

On pose f(x) = ln((1 + x)/(1 − x)). Déterminer le domaine de f, sa parité et ses variations.

Technique domaine d'abord, puis réduction, puis dérivée.

Voir le corrigé

Il faut x ≠ 1 et (1 + x)/(1 − x) > 0. Le tableau de signes donne D = ]−1, 1[, qui est symétrique.
Pour x dans D, f(−x) = ln((1 − x)/(1 + x)) = −f(x). f est impaire.
Sur D, 1 + x > 0 et 1 − x > 0, donc f(x) = ln(1 + x) − ln(1 − x).
f'(x) = 1/(1 + x) + 1/(1 − x) = 2/(1 − x²) > 0. f est strictement croissante sur l'intervalle D.
f tend vers +∞ en 1 à gauche, et vers −∞ en −1 à droite par imparité. Les droites x = 1 et x = −1 sont asymptotes.

piège : Séparer en ln(1 + x) − ln(1 − x) avant d'avoir vérifié que chaque facteur est strictement positif.

Exercice 2. Décomposition sur le bon domaine

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer les parties paire et impaire de f(x) = 1/(1 − x) sur le plus grand domaine symétrique possible.

Technique formules de décomposition, après restriction du domaine.

Voir le corrigé

R∖{1} n'est pas symétrique. On se place sur R∖{−1, 1}, plus grand domaine symétrique contenu dans R∖{1}.
Partie paire : (1/(1 − x) + 1/(1 + x))/2 = 1/(1 − x²).
Partie impaire : (1/(1 − x) − 1/(1 + x))/2 = x/(1 − x²).
Vérification : (1 + x)/((1 − x)(1 + x)) = 1/(1 − x).

piège : Appliquer les formules sans restreindre le domaine, alors que f(−x) n'existe pas en x = −1.

Exercice 3. Somme de fonctions périodiques

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

(a) Montrer que x ↦ cos(3x) + sin(2x) est 2π-périodique. (b) Montrer que g : x ↦ cos x + cos(√2 x) n'est pas périodique.

Technique multiple commun, ou raisonnement par l'absurde en un point bien choisi.

Voir le corrigé

(a) cos(3x + 6π) = cos(3x) et sin(2x + 4π) = sin(2x). Donc 2π est une période.
(b) Supposons g T-périodique avec T > 0. Alors g(T) = g(0) = 2.
Chaque cosinus vaut au plus 1, donc cos T = 1 et cos(√2 T) = 1.
Il existe des entiers k et m tels que T = 2kπ et √2 T = 2mπ, avec k ≥ 1 puisque T > 0.
Alors √2 = m/k serait rationnel. C'est absurde.

piège : Croire qu'il suffit d'additionner les périodes. Il faut un multiple commun, qui n'existe pas toujours.

Exercice 4. Axe de symétrie et reconnaissance du graphe

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

On pose f(x) = √(4x − x²). Déterminer le domaine, trouver un axe de symétrie vertical du graphe, puis identifier ce graphe.

Technique critère f(a + h) = f(a − h).

Voir le corrigé

x(4 − x) ≥ 0 si et seulement si x ∈ [0, 4]. Ce segment est symétrique par rapport à 2.
4(2 + h) − (2 + h)² = 4 − h², expression paire en h. Donc f(2 + h) = f(2 − h), et la droite x = 2 est axe de symétrie.
Un point (x, y) est sur le graphe si et seulement si y ≥ 0 et y² = 4x − x², soit (x − 2)² + y² = 4.
Le graphe est le demi-cercle supérieur de centre (2, 0) et de rayon 2. Le maximum 2 est atteint en 2, le minimum 0 en 0 et en 4.

piège : Dériver en 0 et en 4, où f n'est pas dérivable. Les tangentes y sont verticales.

Exercice 5. Une équation fonctionnelle impossible

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer qu'aucune fonction monotone f de R dans R ne vérifie f(f(x)) = −x pour tout réel x.

Technique sens de variation d'une composée.

Voir le corrigé

Si f est croissante, f∘f est croissante, comme composée de deux croissantes.
Si f est décroissante, f∘f est encore croissante, comme composée de deux décroissantes.
Dans les deux cas, f∘f(0) ≤ f∘f(1).
Or ces valeurs valent 0 et −1, et 0 ≤ −1 est faux.

piège : Oublier le cas décroissant. « Monotone » recouvre les deux sens.

Exercice 6. Une fonction constante par morceaux

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Calculer Arctan x + Arctan(1/x) pour tout réel x non nul.

Technique dérivée nulle sur un intervalle, puis évaluation en un point.

Voir le corrigé

f(x) = Arctan x + Arctan(1/x) est dérivable sur R*, par somme et composée.
f'(x) = 1/(1 + x²) − (1/x²) · 1/(1 + 1/x²) = 1/(1 + x²) − 1/(x² + 1) = 0.
R* n'est pas un intervalle. Sur ]0, +∞[, f est constante, égale à f(1) = π/2.
f est impaire, donc f vaut −π/2 sur ]−∞, 0[.

piège : Conclure que f vaut π/2 sur tout R*. Une dérivée nulle donne une constante par intervalle.

Exercice 7. La fonction ln x / x

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Étudier f(x) = (ln x)/x sur ]0, +∞[. Comparer e^π et π^e. Déterminer les entiers 1 ≤ a < b tels que a^b = b^a.

Technique ramener une comparaison de puissances à une comparaison de valeurs d'une même fonction.

Voir le corrigé

f'(x) = (1 − ln x)/x². f croît strictement sur ]0, e], décroît strictement sur [e, +∞[, et son maximum vaut 1/e.
f tend vers −∞ en 0, et vers 0 en +∞ par croissances comparées.
Comme e < π, on a (ln π)/π < 1/e. On multiplie par eπ > 0 : e ln π < π. Par croissance de exp, π^e < e^π.
Pour des entiers strictement positifs, a^b = b^a équivaut à f(a) = f(b).
f est injective sur ]0, e] et sur [e, +∞[. Avec a < b, cela impose a < e < b, donc a = 1 ou a = 2.
Si a = 1, f(1) = 0 alors que f(b) > 0 pour b > 1. Impossible.
Si a = 2, f(2) = (ln 4)/4 = f(4). Par injectivité sur [e, +∞[, b = 4 est la seule solution.
L'unique couple est (2, 4).

piège : Oublier que l'injectivité ne vaut que sur chacun des deux intervalles de monotonie.

Exercice 8. Inégalité de Jordan

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Montrer que (2/π) x ≤ sin x ≤ x pour tout x de [0, π/2].

Technique fonction auxiliaire dont la dérivée change de signe, puis évaluation aux deux bornes.

Voir le corrigé

La majoration sin x ≤ x est la technique 3.
On pose g(x) = sin x − 2x/π, d'où g'(x) = cos x − 2/π.
cos décroît strictement de 1 à 0 sur [0, π/2], et 2/π ∈ ]0, 1[. Par le théorème de la bijection, il existe un unique c tel que cos c = 2/π.
g' > 0 sur [0, c[ et g' < 0 sur ]c, π/2]. g croît sur [0, c], puis décroît sur [c, π/2].
g(0) = 0 et g(π/2) = 0. Sur [0, c], g ≥ g(0) = 0. Sur [c, π/2], g ≥ g(π/2) = 0.

piège : Ne regarder que g(0). Quand g décroît en fin d'intervalle, c'est la borne droite qui conclut.

Exercice 9. Nombre de solutions d'une équation

Classiques de khôlle et concours · Écrit e3a

Soit a > 0. Discuter selon a le nombre de solutions réelles de l'équation e^x = ax.

Technique isoler le paramètre, puis lire le tableau de variations.

Voir le corrigé

x = 0 n'est pas solution, car e⁰ = 1 ≠ 0. Pour x ≠ 0, l'équation équivaut à g(x) = a, avec g(x) = e^x/x.
Sur ]−∞, 0[, g < 0 : aucune solution, puisque a > 0.
Sur ]0, +∞[, g'(x) = e^x (x − 1)/x². g décroît strictement de +∞ à e sur ]0, 1], puis croît strictement de e à +∞ sur [1, +∞[.
g est continue et strictement monotone sur chaque morceau, on applique le théorème de la bijection.
Si a < e, aucune solution. Si a = e, la seule solution est x = 1. Si a > e, exactement deux solutions, l'une dans ]0, 1[, l'autre dans ]1, +∞[.

piège : Diviser par x sans traiter x = 0, ou compter les solutions sans invoquer la stricte monotonie sur chaque morceau.

Exercice 10. Symétries qui engendrent une période

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit f de R dans R. (a) Si les droites x = a et x = b, avec a ≠ b, sont axes de symétrie du graphe, montrer que 2|b − a| est une période. (b) Si x = a est axe de symétrie et (b, c) centre de symétrie, avec a ≠ b, montrer que 4|b − a| est une période. (c) Vérifier sur sin.

Technique traduire chaque symétrie par une identité sur f, puis composer.

Voir le corrigé

Remarque : si f(x + T) = f(x) pour tout réel x avec T < 0, alors |T| est une période. Il suffit de remplacer x par x − T.
Les deux axes se traduisent par f(2a − x) = f(x) et f(2b − x) = f(x).
(a) Soit T = 2(b − a). Alors f(x + T) = f(2b − (x + T)) = f(2a − x) = f(x). La remarque conclut.
(b) Le centre donne f(2b − x) = 2c − f(x). Donc f(x + T) = f(2b − (2a − x)) = 2c − f(2a − x) = 2c − f(x).
En appliquant deux fois cette relation, f(x + 2T) = 2c − f(x + T) = f(x). La remarque donne la période 4|b − a|.
(c) Pour sin, x = π/2 est axe et O est centre. On trouve la période 4 · π/2 = 2π.

piège : Écrire la symétrie d'axe x = a sous la forme f(a − x) = f(x). La bonne forme est f(2a − x) = f(x).

Erreurs fréquentes

Conclure à une parité sans avoir vérifié que le domaine est symétrique. C'est la première ligne attendue.
Se tromper de sens dans les translations : le graphe de x ↦ f(x + a) est décalé vers la gauche quand a > 0. En cas de doute, suivre un point.
Appliquer le critère de la dérivée sur une réunion d'intervalles. Monotonie et constance se déclarent intervalle par intervalle.
Chercher les extremums seulement là où f' s'annule. Il faut aussi examiner les bornes et les points de non-dérivabilité. Inversement, f'(a) = 0 n'impose aucun extremum en a.
Confondre borne supérieure et maximum. Écrire « le maximum de Arctan vaut π/2 » est faux, car cette valeur n'est jamais atteinte.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral », section A « Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes », paragraphe « Généralités sur les fonctions », complété par l'étude pratique d'une fonction et le tracé du graphe, inscrits au paragraphe « Dérivation » de la même section. Les limites et la continuité sont traitées dans le chapitre qui leur est consacré, la dérivation dans le suivant.