Ton programme de MPSI : ce chapitre est traité par Probabilités sur un univers fini, variables aléatoires et lois (PCSI), Espérance et variance (PCSI).

Le cours

Résumé en cinq points

Une probabilité sur un univers fini est déterminée par les probabilités des issues, famille de poids positifs de somme 1. L'uniforme ramène tout au dénombrement.
Le conditionnement se manie avec trois formules : probabilités composées pour les tirages successifs, probabilités totales pour la disjonction de cas, Bayes pour remonter à la cause.
La loi d'une variable est la famille des $P(X = x)$ . Les lois marginales se déduisent de la loi conjointe, jamais l'inverse.
Indépendance signifie produit des probabilités, incompatibilité signifie somme. Deux à deux n'implique pas mutuellement.
Une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ .

Pourquoi ce chapitre

Le lycée a donné une pratique intuitive des probabilités, ce chapitre en donne le cadre. Un univers fini, une probabilité qui est une famille de poids positifs de somme 1, et tout le reste se déduit.

Le point de vue mis en avant est celui des variables aléatoires : c'est ainsi que se décrivent les vraies situations, une succession de tirages, une marche aléatoire, un graphe aléatoire. L'univers devient une simple source d'aléa.
Le conditionnement, avec les formules des probabilités totales et de Bayes, permet de raisonner par étapes.
L'indépendance permet de multiplier les probabilités.
Les lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale) se retrouvent partout. La binomiale, somme de Bernoulli indépendantes, est le modèle de référence de la répétition d'expériences.

1Univers, événements, variables aléatoires

1.1Vocabulaire

Définition 1.1Univers et événement

L'univers $\Omega$ est l'ensemble fini des issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement est une partie de $\Omega$ .

Le dictionnaire entre le langage des ensembles et celui des probabilités est à connaître.

L'ensemble vide est l'événement impossible, $\Omega$ est l'événement certain.
Un singleton est un événement élémentaire.
$A \cap B$ se lit « $A$ et $B$ ».
$A \cup B$ se lit « $A$ ou $B$ », au sens inclusif.
Le complémentaire $\overline{A}$ se lit « non $A$ », c'est l'événement contraire.
$A \subset B$ se lit « $A$ implique $B$ ».
Deux événements disjoints, c'est-à-dire d'intersection vide, sont dits incompatibles.

Définition 1.2Système complet d'événements

Un système complet d'événements est une famille d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$ .

C'est une partition de $\Omega$ , à ceci près qu'on autorise des événements vides. Exemple fondamental : $A$ et $\overline{A}$ forment un système complet.

1.2Variables aléatoires

Définition 1.3Variable aléatoire

Une variable aléatoire $X$ est une application définie sur $\Omega$ , à valeurs dans un ensemble $E$ . Quand $E$ est une partie de $\R$ , on parle de variable aléatoire réelle.

Pour $A$ partie de $E$ , on note $(X \in A)$ l'événement formé des issues $\omega$ telles que $X(\omega) \in A$ . On note de même $(X = x)$ et, pour une variable réelle, $(X \leqslant x)$ .

Attention

$(X \in A)$ est une notation, pas une équation : c'est un événement.

On décrit une situation par un $n$ -uplet de variables aléatoires, et on construit tous les événements utiles à partir d'elles. La construction explicite d'un univers portant ces variables est possible mais n'est pas un objectif du programme.

2Espaces probabilisés finis

2.1Définition

Définition 2.1Probabilité

Une probabilité sur un univers fini $\Omega$ est une application $P$ de l'ensemble des parties de $\Omega$ dans $\intff{0}{1}$ telle que :

$P(\Omega) = 1$ ;
pour $A$ et $B$ incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Le couple $(\Omega, P)$ est un espace probabilisé fini.

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de ses éléments : une probabilité est entièrement déterminée par la famille des $P(\{\omega\})$ , $\omega \in \Omega$ .

Définition 2.2Distribution de probabilités

Une distribution de probabilités sur un ensemble fini $E$ est une famille de réels positifs indexée par $E$ et de somme 1.

Se donner une probabilité sur $\Omega$ revient donc à se donner une distribution sur $\Omega$ .

2.2Probabilité uniforme

Définition 2.3Probabilité uniforme

Sur un univers fini non vide $\Omega$ , la probabilité uniforme attribue à chaque issue la valeur $1/\Card(\Omega)$ . Alors $P(A) = \frac{\Card(A)}{\Card(\Omega)},$ formule « nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles ».

Attention

C'est un choix de modélisation, pas une vérité. Il ne se justifie que par une symétrie du problème (dé équilibré, tirage au hasard, cartes bien battues). Il faut le dire explicitement dans une copie.

2.3Règles de calcul

Propriété 2.4Règles de calcul

Pour tous événements $A$ et $B$ :

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ et $P(\emptyset) = 0$ ;
croissance : si $A \subset B$ , alors $P(A) \leqslant P(B)$ et $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$ ;
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ;
si $(A_i)$ est un système complet d'événements, $\sum_i P(A_i) = 1$ .

La formule du crible pour trois événements ou plus est hors programme.

Attention

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ exige l'incompatibilité, et non l'indépendance. Deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

3Probabilités conditionnelles

3.1Définition

Définition 3.1Probabilité conditionnelle

Si $P(B) > 0$ , la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est $P(A|B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

Propriété 3.2 $P_B$ est une probabilité

L'application $P_B$ , qui à $A$ associe $P(A|B)$ , est une probabilité sur $\Omega$ . Toutes les règles de calcul déjà vues s'y appliquent, en particulier $P(\overline{A}|B) = 1 - P(A|B)$ .

Attention

Il n'y a aucune relation simple entre $P(A|B)$ et $P(B|A)$ .

3.2Formule des probabilités composées

Propriété 3.3Probabilités composées

Pour deux événements $A$ et $B$ : $P(A \cap B) = P(B)\,P(A|B).$ On adopte la convention $P(A|B)P(B) = 0$ lorsque $P(B) = 0$ , ce qui rend la formule toujours vraie.

Propriété 3.4Probabilités composées, cas de $n$ événements

Hypothèses

$A_1, \dots, A_n$ sont des événements ;
l'intersection $A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}$ est de probabilité non nulle.

Alors $\begin{aligned} P(A_1 \cap \dots \cap A_n) &= P(A_1)\,P(A_2|A_1)\\ &\quad \times P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdots \end{aligned}$ et ainsi de suite jusqu'à $P(A_n|A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})$ .

C'est la formule qui modélise un tirage successif sans remise, étape par étape.

Exemple 3.5Tirage sans remise

Une urne contient 3 boules blanches et 2 noires. La probabilité de tirer deux blanches successivement sans remise vaut $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}.$

3.3Formule des probabilités totales

Propriété 3.6Probabilités totales

Hypothèse : $(B_1, \dots, B_n)$ est un système complet d'événements.

Alors $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i)\,P(B_i),$ avec la convention ci-dessus pour les $B_i$ de probabilité nulle.

C'est l'outil du raisonnement par disjonction de cas. On choisit un système complet pertinent, souvent le résultat d'une première étape, et on conditionne.

Exemple 3.7Deux urnes

La première urne contient 1 boule blanche sur 4, la seconde 3 blanches sur 4. On choisit une urne au hasard puis une boule. La probabilité d'obtenir une blanche vaut $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4} = \frac{1}{2}.$

3.4Formule de Bayes

Propriété 3.8Formule de Bayes

Hypothèses

$P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ .

Alors $P(B|A) = \frac{P(A|B)\,P(B)}{P(A)}.$ Si de plus $(B_i)$ est un système complet, la formule des probabilités totales donne $P(B_k|A) = \frac{P(A|B_k)\,P(B_k)}{\sum_i P(A|B_i)\,P(B_i)}.$

C'est la formule qui renverse le conditionnement : on connaît l'effet et on remonte à la cause.

Exemple 3.9Test de dépistage

Une maladie touche 1 personne sur 1000. Un test détecte la maladie dans 99 pour cent des cas quand elle est présente, et donne un faux positif dans 2 pour cent des cas quand elle est absente. La probabilité d'être malade sachant que le test est positif vaut $\frac{0{,}001 \times 0{,}99}{0{,}001 \times 0{,}99 + 0{,}999 \times 0{,}02} \approx 0{,}047.$ Moins de 5 pour cent, alors que le test semble fiable. Ce décalage vient de la rareté de la maladie, et il est à savoir commenter.

4Loi d'une variable aléatoire

4.1Définition

Définition 4.1Loi d'une variable aléatoire

La loi de $X$ , notée $P_X$ , est la probabilité induite sur l'ensemble d'arrivée $E$ , définie par $P_X(A) = P(X \in A)$ .

Elle est entièrement déterminée par la distribution des $P(X = x)$ pour $x \in X(\Omega)$ , famille de réels positifs de somme 1.

On note $X \sim Y$ quand $P_X = P_Y$ . Deux variables aléatoires peuvent avoir la même loi sans être égales, par exemple le résultat d'un dé et 7 moins ce résultat.

Propriété 4.2Image par une application

Si $f$ est une application définie sur $E$ , $f(X)$ est encore une variable aléatoire. Si $X \sim Y$ , alors $f(X) \sim f(Y)$ .

4.2Lois usuelles

Définition 4.3Loi uniforme

$X$ suit la loi uniforme sur un ensemble fini non vide $E$ , notée $X \sim \mathcal{U}(E)$ , si $P(X = x) = \frac{1}{\Card(E)} \quad \text{pour tout } x \in E.$

Définition 4.4Loi de Bernoulli

$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p \in \intff{0}{1}$ , notée $X \sim \mathcal{B}(p)$ , si $X$ est à valeurs dans $\{0, 1\}$ avec $P(X = 1) = p$ et $P(X = 0) = 1 - p$ .

On l'interprète comme l'indicatrice d'un succès. Pour tout événement $A$ , la fonction indicatrice de $A$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $P(A)$ .

Définition 4.5Loi binomiale

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n \in \N^*$ et $p \in \intff{0}{1}$ , notée $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ , si $X$ est à valeurs dans $\intent{0}{n}$ avec $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k (1 - p)^{n-k}.$

La somme de ces probabilités vaut 1 par la formule du binôme, ce qui est la vérification à faire.

4.3Lois conditionnelles

Définition 4.6Loi conditionnelle

La loi conditionnelle de $X$ sachant un événement $A$ de probabilité non nulle est la loi de $X$ pour la probabilité $P_A$ , donnée par la famille des $P(X = x \mid A)$ .

4.4Couples de variables aléatoires

Définition 4.7Loi conjointe et lois marginales

Un couple $(X, Y)$ est une variable aléatoire à valeurs dans un produit. Sa loi conjointe est donnée par les nombres $P(X = x, Y = y)$ , probabilité de l'intersection des deux événements. Les lois marginales sont les lois de $X$ et de $Y$ prises séparément.

Propriété 4.8Retrouver les marginales

Par la formule des probabilités totales : $P(X = x) = \sum_{y} P(X = x, Y = y).$

Attention

La loi conjointe détermine les lois marginales, mais les lois marginales ne déterminent pas la loi conjointe. Deux couples peuvent avoir les mêmes marginales et des comportements totalement différents, par exemple $(X, X)$ et $(X, Y)$ avec $Y$ indépendante de $X$ et de même loi.

Tout ceci s'étend aux $n$ -uplets de variables aléatoires.

5Événements indépendants

5.1Définition

Définition 5.1Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

Si $P(B) > 0$ , cela équivaut à $P(A|B) = P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $A$ .

Propriété 5.2Passage au contraire

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi, de même que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ .

Démonstration

$\begin{aligned} P(A \cap \overline{B}) &= P(A) - P(A \cap B)\\ &= P(A)(1 - P(B)). \end{aligned}$

5.2Famille d'événements indépendants

Définition 5.3Famille indépendante

Une famille finie d'événements est indépendante, ou mutuellement indépendante, si la probabilité de l'intersection de toute sous-famille est le produit des probabilités.

Il ne suffit pas de vérifier les couples.

Exemple 5.4Contre-exemple à connaître

On lance deux fois une pièce équilibrée. $A$ est « pile au premier lancer », $B$ est « pile au second », $C$ est « les deux résultats sont identiques ». Chacune de ces trois probabilités vaut $1/2$ , et les événements sont indépendants deux à deux. Pourtant $A \cap B \cap C$ est l'événement « pile, pile », de probabilité $1/4$ , alors que le produit des trois probabilités vaut $1/8$ . La famille n'est donc pas indépendante.

À retenir

L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance. C'est un exigible explicite du programme.

5.3Modélisation

L'indépendance est presque toujours une hypothèse de modélisation, pas un résultat de calcul : lancers successifs d'une pièce, tirages avec remise, composants qui tombent en panne séparément. On l'annonce, puis on multiplie.

6Variables aléatoires indépendantes

6.1Définition

Définition 6.1Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers sont indépendantes, notées $X \perp Y$ , si pour toutes parties $A$ de $X(\Omega)$ et $B$ de $Y(\Omega)$ , les événements $(X \in A)$ et $(Y \in B)$ sont indépendants.

Propriété 6.2Critère pratique

$X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour tout $x$ et tout $y$ : $P(X = x, Y = y) = P(X = x)\,P(Y = y).$

Autrement dit, la loi conjointe est le produit des lois marginales. C'est ce critère que l'on vérifie sur un tableau de loi conjointe.

La définition s'étend aux $n$ -uplets : une famille $(X_1, \dots, X_n)$ est indépendante si la probabilité de l'intersection des événements $(X_i = x_i)$ est le produit des $P(X_i = x_i)$ , pour tous les choix de valeurs. Une suite finie de variables indépendantes est le modèle standard de $n$ expériences aléatoires indépendantes.

6.2Stabilité

Propriété 6.3Image par des applications

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $f(X)$ et $g(Y)$ le sont pour toutes applications $f$ et $g$ .

Théorème 6.4Lemme des coalitions

Hypothèses

$X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes ;
$1 \leqslant m < n$ .

Alors $f(X_1, \dots, X_m)$ et $g(X_{m+1}, \dots, X_n)$ sont indépendantes.

La démonstration est hors programme. Le résultat s'étend à plus de deux coalitions. Il sert dès qu'on veut montrer que, par exemple, la somme des trois premiers résultats est indépendante du quatrième.

6.3Somme de variables de Bernoulli

Théorème 6.5Somme de Bernoulli indépendantes

Hypothèses

$X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes ;
elles suivent toutes la loi $\mathcal{B}(p)$ .

Alors $X_1 + \dots + X_n \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

Démonstration

La somme vaut $k$ exactement quand $k$ des variables valent 1 et les autres 0. Pour un choix fixé de l'ensemble des $k$ indices concernés, l'indépendance donne une probabilité égale à $p^k (1-p)^{n-k}$ . Il y a $\binom{n}{k}$ choix possibles de cet ensemble, et ces cas sont deux à deux incompatibles. On somme.

La binomiale compte le nombre de succès lors de $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience ayant la probabilité $p$ de succès.

Attention

Trois conditions doivent être vérifiées avant d'annoncer une loi binomiale : même paramètre, indépendance, nombre fixé de répétitions.

Méthodes

MéthodeModéliser une situation

Définir les variables aléatoires en français.
Traduire chaque événement de l'énoncé avec la notation $(X \in A)$ .
N'écrire l'univers explicitement que si c'est utile.

MéthodeDéterminer la loi d'une variable

Donner l'ensemble des valeurs prises.
Calculer $P(X = k)$ pour chaque valeur.
Vérifier que la somme vaut 1.

Cette vérification finale attrape la majorité des erreurs.

MéthodeTraiter une expérience à étapes

Conditionner par le résultat de la première étape.
Appliquer la formule des probabilités totales.

MéthodeRemonter d'un effet observé à sa cause

Appliquer la formule de Bayes.

MéthodeCalculer une probabilité du type « au moins un »

Passer au contraire, « aucun ».
Le calculer par indépendance.

MéthodeMontrer que deux variables ne sont pas indépendantes

Il suffit d'exhiber un seul couple de valeurs où la loi conjointe diffère du produit des marginales.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Traduire un énoncé en variables aléatoires et en événements, sans expliciter l'univers.
Démontrer que $P_B$ est une probabilité, et énoncer les trois formules : composées, totales, Bayes.
Traiter l'exemple du test de dépistage et commenter le résultat.
Vérifier que la loi binomiale est bien une loi, en utilisant la formule du binôme.
Démontrer qu'une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre suit une loi binomiale.
Donner l'exemple de trois événements indépendants deux à deux mais non indépendants.
À partir d'un tableau de loi conjointe, calculer les lois marginales et décider de l'indépendance.
Démontrer que si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

P(∅) = 0, P(contraire de A) = 1 − P(A), croissance, P(B privé de A) = P(B) − P(A ∩ B), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Exigibles avec démonstration.
Additivité finie pour des événements deux à deux incompatibles. Exigible, par récurrence.
Une probabilité sur Ω est déterminée par les P({ω}). Réciproquement, toute distribution de probabilités sur Ω définit une unique probabilité. Exigible.
Si P(B) > 0, P_B est une probabilité. Exigible avec démonstration.
Probabilités composées, sous l'hypothèse P(A₁ ∩ … ∩ A_n−1) > 0. Exigible avec démonstration.
Probabilités totales pour un système complet fini (B_i), avec la convention P(A|B_i)P(B_i) = 0 si P(B_i) = 0. Exigible avec démonstration.
Formule de Bayes, sous l'hypothèse P(A) > 0. Exigible avec démonstration.
Si X a même loi que Y, alors f(X) a même loi que f(Y). Exigible.
La loi binomiale est une distribution de probabilités. Exigible, par la formule du binôme.
Si A et B sont indépendants, A et le contraire de B le sont. Extension à n événements, on peut remplacer toute sous-famille par les contraires. Exigible avec démonstration pour deux événements.
X et Y sont indépendantes si et seulement si P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) pour tous x et y. Exigible.
Si X et Y sont indépendantes, f(X) et g(Y) le sont. Exigible avec démonstration.
Lemme des coalitions. Admis, démonstration hors programme.
Une somme de n variables indépendantes de loi B(p) suit B(n, p). Exigible avec démonstration.
Hors programme ici : crible au-delà de deux événements, univers infinis, lois géométrique et de Poisson, loi hypergéométrique comme loi nommée. Espérance et variance relèvent de la fiche suivante.

Clés de démonstration

Réunion de deux événements. A ∪ B est la réunion disjointe de A et de B privé de A. B est la réunion disjointe de A ∩ B et de B privé de A. On élimine P(B privé de A). Astuce, découper en morceaux incompatibles.

P_B est une probabilité. A ∩ B est inclus dans B, donc P_B(A) est dans [0, 1]. P_B(Ω) = P(B)/P(B) = 1. Si A et C sont incompatibles, (A ∪ C) ∩ B est la réunion disjointe de A ∩ B et C ∩ B. Astuce, la distributivité transmet l'incompatibilité.

Probabilités composées. Récurrence sur n, en écrivant l'intersection comme (A₁ ∩ … ∩ A_n−1) ∩ A_n. Les intersections intermédiaires contiennent la dernière, donc sont de probabilité non nulle. Astuce, la croissance justifie toutes les divisions.

Probabilités totales. A est la réunion disjointe des A ∩ B_i. L'additivité donne la somme des P(A ∩ B_i), qu'on réécrit P(A|B_i)P(B_i). Astuce, la convention couvre les B_i de probabilité nulle.

Bayes. On écrit P(A ∩ B) comme P(A|B)P(B) et comme P(B|A)P(A), puis on divise par P(A). La forme développée remplace P(A) par les probabilités totales. Astuce, l'intersection est symétrique, le conditionnement non.

Indépendance et contraire. A est la réunion disjointe de A ∩ B et de A privé de B. Donc P(A ∩ non B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)). Astuce, factoriser.

Critère de la loi conjointe. Le sens direct prend A = {x} et B = {y}. Réciproquement, P(X ∈ A, Y ∈ B) est la somme double des P(X = x)P(Y = y), qui se factorise en P(X ∈ A)P(Y ∈ B). Astuce, une somme double à variables séparées est un produit de sommes.

Stabilité par f et g. L'événement (f(X) ∈ A') est (X ∈ f⁻¹(A')). On applique la définition à f⁻¹(A') et g⁻¹(B'). Astuce, l'image réciproque, qui sert aussi pour f(X) de même loi que f(Y).

Somme de Bernoulli. Outre la preuve par dénombrement de la fiche, il existe une récurrence. S_n = S_n−1 + X_n, avec S_n−1 indépendante de X_n par les coalitions. On conditionne par X_n et la formule de Pascal conclut.

Exemples et contre-exemples à connaître

A est indépendant de lui-même si et seulement si P(A) vaut 0 ou 1, car P(A) = P(A)². Un tel événement est indépendant de tout événement.
Une variable indépendante d'elle-même est constante sur les issues de probabilité non nulle. Chaque P(X = x) vaut 0 ou 1 et leur somme vaut 1.
Dé équilibré à huit faces, A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5}, C = {1, 6, 7, 8}. P(A ∩ B ∩ C) = 1/8 = P(A)P(B)P(C), mais P(A ∩ B) = 3/8 ≠ 1/4. L'égalité sur l'intersection totale ne suffit pas.
Dé équilibré, A = « obtenir 6 », B = « nombre pair ». P(A|B) = 1/3 mais P(B|A) = 1. Le conditionnement ne se renverse pas.
Deux tirages sans remise dans une urne de 3 blanches et 2 noires. La seconde boule est blanche avec probabilité 3/5, comme la première. Même loi, sans indépendance.
X de loi B(1/2), Y = 1 − X, Z = X. X et Y ont même loi, mais X + Z prend les valeurs 0 et 2 alors que Y + Z vaut toujours 1. L'égalité en loi ne passe pas aux sommes.
La somme de deux dés n'est pas uniforme. Le 7 a probabilité 1/6, le 2 a probabilité 1/36.
B(n, 0) et B(n, 1) sont les lois des constantes 0 et n. La formule reste valable avec 0⁰ = 1.

Techniques du chapitre

Passer au contraire pour « au moins un ». Probabilité d'au moins un 6 en quatre lancers indépendants ? Le contraire « aucun 6 » a probabilité (5/6)⁴. D'où 671/1296, environ 0,518. Pour au moins un double six en 24 lancers de deux dés, 1 − (35/36)²⁴, environ 0,491. C'est le problème du chevalier de Méré.

Conditionner par la première étape. Urne de 2 blanches et 3 noires. On tire une boule, on la remet avec une boule de même couleur, puis on retire. Avec la couleur du premier tirage, P(seconde blanche) = (2/5)(3/6) + (3/5)(2/6) = 2/5.

Probabilités composées. Trois cartes tirées sans remise dans un jeu de 32. P(trois as) = (4/32)(3/31)(2/30) = 1/1240.

Loi d'un maximum par P(M ≤ k). M maximum de deux dés indépendants. (M ≤ k) est (X ≤ k) ∩ (Y ≤ k), donc P(M ≤ k) = k²/36. Puis P(M = k) = (2k − 1)/36 pour k de 1 à 6. La somme vaut 1.

Loi d'une somme par partition. X et Y indépendantes uniformes sur {1, …, 6}. Avec le système complet des (X = i), P(X + Y = 4) est la somme des P(X = i)P(Y = 4 − i) pour i de 1 à 3, soit 1/12.

Reconnaître une binomiale. N nombre de 6 en dix lancers. Dix répétitions indépendantes, même probabilité 1/6 de succès. Donc N suit B(10, 1/6), et P(N = 2) = C(10, 2)(1/6)²(5/6)⁸, environ 0,29.

Réfuter l'indépendance par une case vide. M maximum et m minimum de deux dés. P(M = 1, m = 6) = 0, alors que P(M = 1)P(m = 6) = 1/1296. M et m ne sont pas indépendantes.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. La pièce truquée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un sac contient trois pièces, deux équilibrées et une portant pile sur ses deux faces. On en choisit une au hasard et on la lance n fois. On obtient n fois pile. Probabilité que la pièce soit truquée, et limite quand n tend vers l'infini ?

Technique Bayes avec le système complet « truquée », « équilibrée ».

Voir le corrigé

Soit T « pièce truquée » et F_n « n piles ». P(T) = 1/3, P(F_n|T) = 1, et par indépendance des lancers P(F_n|non T) = 2⁻ⁿ. 2. Probabilités totales, P(F_n) = 1/3 + (2/3)2⁻ⁿ, non nul. 3. Bayes, P(T|F_n) = 1/(1 + 2¹⁻ⁿ). 4. Pour n = 1, on trouve 1/2. La limite vaut 1.

piège : Répondre 1/3 en oubliant que l'observation modifie la probabilité de la cause.

Exercice 2. Le rang de la boule blanche

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une urne contient n boules dont une seule blanche. On tire sans remise jusqu'à obtenir la blanche. T est le rang de ce tirage. Loi de T ?

Technique probabilités composées et produit télescopique.

Voir le corrigé

T prend ses valeurs dans {1, …, n}. 2. (T = k) est l'intersection de « noire aux tirages 1 à k − 1 » et « blanche au tirage k ». 3. Les probabilités conditionnelles successives valent (n − 1)/n, (n − 2)/(n − 1), …, (n − k + 1)/(n − k + 2), puis 1/(n − k + 1). Chaque intersection intermédiaire est de probabilité non nulle. 4. Le produit télescope, P(T = k) = 1/n. T suit la loi uniforme sur {1, …, n}.

piège : Écrire (1 − 1/n)^k−1(1/n), qui correspond à un tirage avec remise.

Exercice 3. Loi conjointe d'un tirage sans remise

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On tire successivement sans remise deux boules parmi trois numérotées 1, 2, 3. X est le premier numéro, Y le second. Loi conjointe, marginales, indépendance, loi de X + Y. Même question d'indépendance avec remise.

Technique tableau de loi conjointe et critère produit.

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P(X = i, Y = j) vaut 1/6 si i ≠ j, et 0 si i = j. 2. En sommant lignes et colonnes, X et Y sont uniformes sur {1, 2, 3}. 3. P(X = 1, Y = 1) = 0 ≠ 1/9, donc pas d'indépendance. 4. X + Y vaut 3, 4 ou 5, chacun obtenu par deux couples, donc avec probabilité 1/3. 5. Avec remise, chaque case vaut 1/9, produit des marginales. Les variables sont indépendantes.

piège : Conclure à l'indépendance parce que les marginales sont les mêmes dans les deux expériences.

Exercice 4. Indépendance de deux variables de Bernoulli

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

X et Y suivent B(p) et B(q). Montrer qu'elles sont indépendantes si et seulement si P(X = 1, Y = 1) = pq. En déduire que A et B sont indépendants si et seulement si leurs indicatrices le sont.

Technique indépendance transmise aux contraires.

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Le sens direct est un cas du critère. 2. Réciproquement, (X = 1) et (Y = 1) sont indépendants. 3. Leurs contraires sont (X = 0) et (Y = 0), donc les quatre couples (X = a), (Y = b) sont indépendants. 4. Le critère est vérifié sur les quatre cases. 5. Pour les indicatrices, l'événement (1_A = 1, 1_B = 1) est A ∩ B, d'où la conclusion.

piège : Vérifier une seule case pour des variables à plus de deux valeurs. Ce raccourci ne vaut qu'à deux valeurs.

Exercice 5. Le paradoxe des anniversaires

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Les dates d'anniversaire de n personnes, n ≤ 365, sont indépendantes et uniformes sur 365 jours. Calculer la probabilité p_n qu'elles soient deux à deux distinctes. Montrer que p_n ≤ exp(−n(n − 1)/730), puis que p₂₃ < 1/2.

Technique dénombrement des injections puis inégalité de convexité.

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Le n-uplet des dates est uniforme sur 365ⁿ issues. Les favorables sont les n-uplets d'éléments distincts, au nombre de 365 × 364 × … × (365 − n + 1). 2. Donc p_n est le produit des (1 − k/365) pour k de 0 à n − 1. 3. Par convexité, 1 − x ≤ e^−x pour tout réel x. Les facteurs sont positifs, on peut multiplier. 4. p_n ≤ exp(−(0 + 1 + … + (n − 1))/365) = exp(−n(n − 1)/730). 5. Pour n = 23, 506/730 vaut environ 0,693151, au-dessus de ln 2, environ 0,693147. Donc exp(−506/730) < 1/2, et p₂₃ < 1/2.

piège : Calculer la probabilité de partager l'anniversaire d'une personne donnée, qui est un autre problème.

Exercice 6. Maximum et minimum de tirages avec remise

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

On fait n tirages avec remise dans une urne de N boules numérotées de 1 à N. M est le plus grand numéro, m le plus petit. Lois de M et m ?

Technique passer par (M ≤ k) et (m ≥ k).

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Les numéros X₁, …, X_n sont indépendants et uniformes sur {1, …, N}. 2. Pour k de 0 à N, (M ≤ k) est l'intersection des (X_i ≤ k), de probabilité (k/N)ⁿ. 3. Pour k de 1 à N, P(M = k) = (kⁿ − (k − 1)ⁿ)/Nⁿ. La somme télescope et vaut 1. 4. De même, P(m ≥ k) = ((N − k + 1)/N)ⁿ. 5. Pour k de 1 à N, P(m = k) = ((N − k + 1)ⁿ − (N − k)ⁿ)/Nⁿ.

piège : Écrire (M = k) comme l'intersection des (X_i = k), qui signifie que tous les tirages valent k.

Exercice 7. Stabilité de la loi binomiale

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

X et Y sont indépendantes de lois B(n, p) et B(m, p). Montrer que X + Y suit B(n + m, p). Et si les paramètres p diffèrent ?

Technique loi d'une somme et formule de Vandermonde.

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Pour k de 0 à n + m, P(X + Y = k) est la somme sur i des P(X = i)P(Y = k − i), avec C(a, b) = 0 si b < 0 ou b > a. 2. Chaque terme vaut C(n, i)C(m, k − i) p^k (1 − p)^n+m−k. 3. La somme des C(n, i)C(m, k − i) vaut C(n + m, k). On choisit k personnes parmi n hommes et m femmes, en classant selon le nombre i d'hommes. 4. Donc X + Y suit B(n + m, p). 5. Avec des paramètres différents, ce n'est pas une binomiale en général. Pour n = m = 1, p = 0 et q = 1, X + Y vaut toujours 1, ce qui n'est pas une B(2, r).

piège : Écrire X comme somme de Bernoulli. Une binomiale donnée n'est pas forcément construite ainsi sur l'univers de l'énoncé.

Exercice 8. Transmission par relais

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Un bit traverse une chaîne de relais. Chaque relais l'inverse avec probabilité p dans ]0, 1[, indépendamment des autres. p_n est la probabilité que le bit soit correct après n relais, p₀ = 1. Déterminer p_n et sa limite.

Technique probabilités totales pour obtenir une récurrence, type chaîne de Markov.

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Soit E_n « bit correct après n relais ». Le relais n + 1 est indépendant du passé, donc P(E_n+1|E_n) = 1 − p et P(E_n+1|non E_n) = p, avec la convention si un conditionnant est de probabilité nulle. 2. Probabilités totales, p_n+1 = (1 − 2p)p_n + p. 3. Suite arithmético-géométrique de point fixe 1/2, donc p_n = 1/2 + (1/2)(1 − 2p)ⁿ. 4. Comme |1 − 2p| < 1, p_n tend vers 1/2. Le message devient illisible.

piège : Oublier le cas p = 1, exclu ici, où la suite alterne entre 0 et 1.

Exercice 9. Indépendance et indicatrice d'Euler

Approfondissement · Niveau écrit Mines ou Centrale

Soit n ≥ 2 et Ω = {1, …, n} muni de la probabilité uniforme. Pour p premier divisant n, A_p est l'ensemble des multiples de p dans Ω. Montrer que les A_p sont indépendants. En déduire que le nombre φ(n) d'entiers de Ω premiers avec n vaut n fois le produit des (1 − 1/p), pour p premier divisant n.

Technique vérification sur toute sous-famille puis passage aux contraires.

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Comme p divise n, Ω contient n/p multiples de p, donc P(A_p) = 1/p. 2. Soient p₁, …, p_r premiers distincts divisant n. Un entier est multiple de chaque p_i si et seulement s'il est multiple de leur produit q. 3. q divise n, donc l'intersection des A_{p_i} a pour probabilité 1/q, produit des 1/p_i. La famille est indépendante. 4. Les contraires forment encore une famille indépendante, d'où P(aucun A_p) = produit des (1 − 1/p). 5. k est premier avec n si et seulement si aucun facteur premier de n ne divise k, c'est-à-dire si k n'est dans aucun A_p. On multiplie par n.

piège : Prendre p premier ne divisant pas n. Le nombre de multiples n'est alors plus n/p.

Exercice 10. Deux dés truqués

Approfondissement · Type oral Mines ou X

Peut-on piper deux dés à six faces, lancés indépendamment, pour que leur somme soit uniforme sur {2, …, 12} ?

Technique extraire des termes d'une somme positive et utiliser l'inégalité arithmético-géométrique.

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Supposons-le possible. Notons p_i et q_j les probabilités des faces. 2. P(S = 2) = p₁q₁ = 1/11 et P(S = 12) = p₆q₆ = 1/11. 3. P(S = 7) est une somme de termes positifs contenant p₁q₆ + p₆q₁. 4. Pour a et b positifs, a + b ≥ 2√(ab), donc p₁q₆ + p₆q₁ ≥ 2√(p₁q₁p₆q₆) = 2/11. 5. Donc P(S = 7) ≥ 2/11 > 1/11. Contradiction, la réponse est non.

piège : Chercher des valeurs numériques au lieu de raisonner sur les valeurs extrêmes et centrale.

Erreurs fréquentes

Additionner des probabilités d'événements non incompatibles, ou les multiplier sans avoir justifié l'indépendance.
Confondre P(A|B) et P(B|A), ou conditionner par un événement dont on n'a pas vérifié la probabilité non nulle.
Annoncer une loi binomiale pour un tirage sans remise. L'indépendance manque, il faut vérifier les trois conditions.
Calculer la loi d'un maximum ou d'un minimum directement au lieu de passer par P(M ≤ k), puis oublier de vérifier que la somme vaut 1.
Déduire l'indépendance mutuelle de l'indépendance deux à deux, ou de la seule égalité sur l'intersection totale.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Probabilités », paragraphe A « Probabilités sur un univers fini, variables aléatoires et lois ». L'espérance et la variance font l'objet du paragraphe B, traité dans la fiche suivante. Le dénombrement est supposé connu. On se limite au cas d'un univers fini.

Variables aléatoires finies

Résumé en cinq points

1Univers, événements, variables aléatoires

1.1Vocabulaire

1.2Variables aléatoires

2Espaces probabilisés finis

2.1Définition

2.2Probabilité uniforme

2.3Règles de calcul

3Probabilités conditionnelles

3.1Définition

3.2Formule des probabilités composées

3.3Formule des probabilités totales

3.4Formule de Bayes

4Loi d'une variable aléatoire

4.1Définition

4.2Lois usuelles

4.3Lois conditionnelles

4.4Couples de variables aléatoires

5Événements indépendants

5.1Définition

5.2Famille d'événements indépendants

5.3Modélisation

6Variables aléatoires indépendantes

6.1Définition

6.2Stabilité

6.3Somme de variables de Bernoulli

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. La pièce truquée

Exercice 2. Le rang de la boule blanche

Exercice 3. Loi conjointe d'un tirage sans remise

Exercice 4. Indépendance de deux variables de Bernoulli

Exercice 5. Le paradoxe des anniversaires

Exercice 6. Maximum et minimum de tirages avec remise

Exercice 7. Stabilité de la loi binomiale

Exercice 8. Transmission par relais

Exercice 9. Indépendance et indicatrice d'Euler

Exercice 10. Deux dés truqués

Erreurs fréquentes