Ton programme de MPI : ce chapitre est traité par Équations de Maxwell (MP).

Au programme de MPI en plus, traité dans un complément à venir :

Résolution numérique de l'équation de Laplace à une ou deux dimensions, conditions aux limites fixées (capacité numérique)

Le cours

Résumé en cinq points

Quatre équations locales postulées suffisent à décrire tout l'électromagnétisme classique, et elles contiennent la conservation de la charge.
Le courant de déplacement est l'ingrédient qui rend les équations cohérentes et qui autorise la propagation.
En statique, les équations redonnent Gauss, Ampère, le potentiel scalaire et l'équation de Poisson. Le potentiel vecteur n'est pas au programme de MP.
Dans une région vide de charge et de courant, $\vec E$ et $\vec B$ vérifient l'équation de d'Alembert avec la célérité $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ .
L'énergie du champ se décrit par la densité $u$ , le vecteur de Poynting $\vec\Pi$ pour le transport, et le terme $\vec j\cdot\vec E$ pour l'échange avec la matière.

Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre charnière de l'électromagnétisme de MP. Jusqu'ici, champ électrique et champ magnétique ont été étudiés séparément, en régime statique, avec des outils intégraux (théorème de Gauss, théorème d'Ampère).

Les équations de Maxwell unifient les deux champs en quatre équations locales valables en régime variable. Elles font apparaître un couplage entre $\vec E$ et $\vec B$ qui produit la propagation, donc les ondes électromagnétiques, la lumière, les télécommunications. Elles redonnent aussi, comme cas particuliers, tout ce qui a été vu en statique et la loi de Faraday de l'induction de MPSI.

Aux concours, ce chapitre sert de point de départ à presque tous les problèmes d'électromagnétisme de seconde année, souvent sous la forme « établir l'équation de propagation », « faire un bilan d'énergie », « interpréter le vecteur de Poynting ».

1Sources du champ : charges et courants

1.1Densités

Définition 1.1Densité volumique de charge

La charge est décrite par une densité volumique de charge $\rho$ , en $\unite{C.m^{-3}}$ . La charge contenue dans un volume $V$ vaut l'intégrale de $\rho$ sur $V$ .

Les modèles surfacique $\sigma$ et linéique $\lambda$ sont des idéalisations commodes d'une distribution volumique très mince ou très fine.

Définition 1.2Vecteur densité de courant

Le mouvement des charges est décrit par le vecteur densité de courant volumique $\vec j$ . L'intensité qui traverse une surface orientée $S$ est le flux de $\vec j$ à travers $S$ .

Propriété 1.3Densité de courant d'un seul type de porteurs

Hypothèses

un seul type de porteurs de charge $q$ ;
densité particulaire $n$ ;
vitesse moyenne $\vec v$ .

Alors $\vec j = nq\vec v$ .

L'intensité n'est pas un scalaire attaché au fil mais un flux.

Exemple 1.4Ordres de grandeur

Dans un métal, $n$ vaut environ $10^{28}$ à $10^{29}$ électrons de conduction par $\unite{m^{-3}}$ .
Pour un fil de cuivre de $1 \unite{mm^2}$ parcouru par $1 \unite{A}$ , $j$ vaut $10^{6} \unite{A.m^{-2}}$ et la vitesse moyenne de dérive des électrons vaut quelques dixièmes de $\unite{mm.s^{-1}}$ .

Cette lenteur est normale : ce n'est pas la vitesse de dérive qui transporte l'information mais le champ.

1.2Conservation de la charge

Propriété 1.5Conservation de la charge, forme intégrale

Hypothèses

système fermé, postulat fondamental : sa charge ne varie pas ;
volume $V$ fixe, délimité par une surface fermée $S$ orientée vers l'extérieur.

Alors la dérivée par rapport au temps de la charge contenue dans $V$ est l'opposée du flux sortant de $\vec j$ .

MéthodeÉtablir la forme locale à une dimension

Considérer une tranche comprise entre les abscisses $x$ et $x + \dd x$ , de section $S$ perpendiculaire à l'axe, avec un courant porté par l'axe des $x$ et une densité $j(x, t)$ .
Pendant $\dd t$ , la tranche reçoit $j(x, t)\,S\,\dd t$ par la face d'entrée et perd $j(x + \dd x, t)\,S\,\dd t$ par la face de sortie.
La charge de la tranche vaut $\rho(x, t)\,S\,\dd x$ . Le bilan donne $\frac{\partial \rho}{\partial t}\,S\,\dd x\,\dd t = \big(j(x,t) - j(x+\dd x,t)\big)\,S\,\dd t.$
Après développement au premier ordre : $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j_x}{\partial x} = 0.$

Propriété 1.6Conservation de la charge, forme locale

En trois dimensions, $\operatorname{div}\vec j + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.$ En régime stationnaire, $\operatorname{div}\vec j = 0$ : le vecteur densité de courant est à flux conservatif, ce qui redonne la loi des nœuds.

2Les équations de Maxwell

2.1Forme locale

Propriété 2.1Équations de Maxwell

Hypothèses

vide, en présence de charges décrites par $\rho$ et de courants décrits par $\vec j$ ;
référentiel galiléen.

Alors les quatre équations postulées sont :

Maxwell-Gauss : $\operatorname{div}\vec E = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$ ;
Maxwell-flux (ou Maxwell-Thomson) : $\operatorname{div}\vec B = 0$ ;
Maxwell-Faraday : $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E = -\dfrac{\partial \vec B}{\partial t}$ ;
Maxwell-Ampère : $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec B = \mu_0\vec j + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec E}{\partial t}$ .

Ce sont des postulats, on ne les démontre pas. Elles sont locales, donc valables en tout point où les champs et les sources sont définis et dérivables. Les charges $\rho$ et les courants $\vec j$ qui y figurent sont toutes les charges et tous les courants présents, y compris ceux de la matière quand on travaille dans le vide au sens microscopique.

RemarqueConstantes

Les constantes vérifient $\varepsilon_0\mu_0c^2 = 1$ , avec $\varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12} \unite{F.m^{-1}}$ et $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7} \unite{H.m^{-1}}$ environ.

Définition 2.2Courant de déplacement

Le terme $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec E/\partial t$ de Maxwell-Ampère est le courant de déplacement. C'est l'ajout de Maxwell à la magnétostatique.

Sans lui, les équations seraient incompatibles avec la conservation de la charge et il n'y aurait pas d'onde.

2.2Cohérence avec la conservation de la charge

MéthodeVérifier la cohérence avec la conservation de la charge

Prendre la divergence de Maxwell-Ampère. La divergence d'un rotationnel est nulle, donc $0 = \mu_0\operatorname{div}\vec j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial (\operatorname{div}\vec E)}{\partial t}.$
Remplacer $\operatorname{div}\vec E$ par $\rho/\varepsilon_0$ grâce à Maxwell-Gauss.
On obtient $\operatorname{div}\vec j + \partial\rho/\partial t = 0$ .

La conservation de la charge n'est pas une hypothèse supplémentaire, elle est contenue dans les équations de Maxwell.

2.3Formes intégrales

On passe du local à l'intégral avec le théorème d'Ostrogradski pour les divergences et le théorème de Stokes pour les rotationnels.

Propriété 2.3Théorème de Gauss

Le flux de $\vec E$ sortant d'une surface fermée vaut la charge intérieure divisée par $\varepsilon_0$ . Il est valable en régime variable, pas seulement en statique.

Propriété 2.4Flux magnétique

Le flux de $\vec B$ à travers toute surface fermée est nul. Il n'existe pas de charge magnétique isolée. Conséquence pratique : le flux de $\vec B$ à travers une surface s'appuyant sur un contour ne dépend pas de la surface choisie.

Propriété 2.5Loi de Faraday

Hypothèses

contour fermé orienté ;
contour fixe dans le référentiel d'étude (cas de Neumann de l'induction).

Alors la circulation de $\vec E$ le long du contour vaut l'opposée de la dérivée par rapport au temps du flux de $\vec B$ à travers une surface s'appuyant sur ce contour.

Propriété 2.6Théorème d'Ampère généralisé

Pour un contour fermé orienté, la circulation de $\vec B$ vaut $\mu_0$ fois l'intensité enlacée augmentée du courant de déplacement à travers la même surface.

Exemple 2.7Condensateur plan en charge

Entre les armatures d'un condensateur plan en cours de charge, aucun courant de conduction ne circule, mais $\vec E$ augmente. Le terme $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\vec E/\partial t$ assure que la circulation de $\vec B$ sur un contour entourant le fil donne le même résultat, que l'on choisisse une surface coupant le fil ou une surface passant entre les armatures. Sans courant de déplacement, le théorème d'Ampère donnerait deux résultats différents.

2.4Retour aux régimes statiques

En statique, toutes les dérivées temporelles sont nulles :

Maxwell-Faraday devient $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E = \vec 0$ , donc $\vec E$ est un champ de gradient et la circulation de $\vec E$ sur un contour fermé est nulle ;
Maxwell-Ampère devient $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec B = \mu_0\vec j$ , dont la forme intégrale est le théorème d'Ampère de la magnétostatique ;
Maxwell-Gauss et Maxwell-flux sont inchangées.

À retenir

Les lois vues en début d'année sont des cas particuliers des équations de Maxwell.

Définition 2.8Régime quasi stationnaire

Le régime quasi stationnaire est celui où les variations sont lentes : la taille $L$ du dispositif est très petite devant $cT$ , où $T$ est la durée caractéristique d'évolution.

Le courant de déplacement est alors négligeable devant le courant de conduction dans un conducteur. On retrouve les lois de la magnétostatique pour $\vec B$ en gardant Maxwell-Faraday pour $\vec E$ , ce qui est exactement le cadre de l'induction de MPSI.

Exemple 2.9Circuit de 10 cm à 50 Hz

Ici $cT$ vaut $6000 \unite{km}$ , l'approximation est excellente.

2.5Relations de passage

À la traversée d'une surface portant une densité surfacique de charge ou de courant, les champs sont discontinus. Les relations de passage correspondantes sont hors des exigibles de connaissance, elles doivent être rappelées dans tout énoncé qui les utilise. On les retrouvera au chapitre sur la réflexion sur un conducteur parfait.

3Potentiels

3.1Potentiel scalaire

Comme $\operatorname{div}\vec B = 0$ toujours, et comme $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E = \vec 0$ en statique seulement, le potentiel scalaire $V$ défini par $\vec E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V$ n'existe sous cette forme qu'en régime statique.

AttentionRégime variable

En régime variable, $\vec E$ n'est plus un champ de gradient. Le potentiel vecteur ne relève pas du programme de MP, il n'est donc pas introduit ici.

3.2Équations de Poisson et de Laplace

Propriété 3.1Équation de Poisson

Hypothèse : régime électrostatique, $\vec E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V$ .

Alors, en injectant dans $\operatorname{div}\vec E = \rho/\varepsilon_0$ et avec $\operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V) = \Delta V$ , $\Delta V + \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0.$

Dans une région vide de charges, elle devient l'équation de Laplace $\Delta V = 0$ . Le potentiel n'y admet ni maximum ni minimum local, ce qui interdit de piéger une charge dans un champ purement électrostatique.

RemarqueAnalogie gravitationnelle

Le champ de gravitation $\vec G$ dérive d'un potentiel gravitationnel et vérifie $\operatorname{div}\vec G = -4\pi G_N\rho_{\text{masse}}$ , où $G_N$ est la constante de gravitation. On passe de l'électrostatique à la gravitation en remplaçant $1/(4\pi\varepsilon_0)$ par $-G_N$ et la charge par la masse. Le potentiel gravitationnel vérifie donc une équation de Poisson analogue, avec un signe opposé puisque la gravitation est toujours attractive.

MéthodeRésoudre l'équation de Laplace à deux dimensions par différences finies

Sur une grille régulière, la valeur du potentiel en un point est la moyenne des valeurs des quatre voisins.
Itérer cette relation en gardant fixées les valeurs sur les bords, jusqu'à convergence.
Tracer les équipotentielles et les lignes de champ.

4Propagation et couplage

MéthodeÉtablir l'équation de propagation

Dans une région vide de charge et de courant, prendre le rotationnel de Maxwell-Faraday.
Utiliser $\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec E) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec E) - \Delta\vec E$ et $\operatorname{div}\vec E = 0$ .
Il vient $-\Delta\vec E = -\partial(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec B)/\partial t$ , puis avec Maxwell-Ampère : $\Delta\vec E - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2} = \vec 0,\quad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.$

Le même calcul à partir de Maxwell-Ampère donne la même équation pour $\vec B$ . C'est l'équation de d'Alembert à trois dimensions. La vitesse $c \approx 3{,}00\times10^{8} \unite{m.s^{-1}}$ sort du calcul, elle n'a pas été mise à la main. C'est l'argument historique qui a identifié la lumière à une onde électromagnétique.

RemarqueInterprétation qualitative du couplage

Un champ magnétique qui varie dans le temps crée un champ électrique à rotationnel non nul, donc variable dans l'espace.
Ce champ électrique variable crée à son tour un champ magnétique.
De proche en proche, la perturbation se déplace.

Le couplage entre variation temporelle et variation spatiale est le mécanisme même de la propagation.

5Énergie du champ électromagnétique

5.1Puissance cédée aux porteurs

Propriété 5.1Puissance volumique cédée aux porteurs

Sur une charge ponctuelle $q$ de vitesse $\vec v$ s'exerce la force de Lorentz $q(\vec E + \vec v\wedge\vec B)$ . La partie magnétique ne travaille pas, car elle est orthogonale à $\vec v$ . La puissance reçue est donc $q\vec v\cdot\vec E$ .

Pour une distribution volumique, la force volumique vaut $\vec f = \rho\vec E + \vec j\wedge\vec B$ et la puissance volumique cédée par le champ aux porteurs de charge vaut $P_{\text{vol}} = \vec j\cdot\vec E\quad(\unite{W.m^{-3}}).$

Propriété 5.2Milieu ohmique

Hypothèses

loi d'Ohm locale $\vec j = \gamma\vec E$ ;
$\gamma$ conductivité.

Alors la puissance volumique vaut $\gamma E^2 = j^2/\gamma$ .

Elle est positive quelle que soit l'orientation du champ : le champ cède toujours de l'énergie au conducteur. C'est l'effet Joule sous forme locale. Aucun modèle microscopique justifiant cette loi d'Ohm locale n'est exigible dans cette partie du programme. Ordre de grandeur : le cuivre a une conductivité d'environ $6\times10^{7} \unite{S.m^{-1}}$ .

5.2Densité d'énergie et vecteur de Poynting

Définition 5.3Densité d'énergie et vecteur de Poynting

Dans le vide, on postule la densité volumique d'énergie électromagnétique, en $\unite{J.m^{-3}}$ , $u = \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0},$ et le vecteur de Poynting, en $\unite{W.m^{-2}}$ , $\vec\Pi = \frac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}.$

Le vecteur de Poynting est une densité surfacique de puissance. Son flux à travers une surface orientée donne la puissance électromagnétique qui traverse cette surface dans le sens de l'orientation. C'est l'outil de calcul d'une puissance rayonnée.

5.3Équation locale de Poynting et bilan

Propriété 5.4Équation locale de Poynting

L'équation locale, fournie dans les énoncés, s'écrit $\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vec\Pi = -\vec j\cdot\vec E.$

Lecture terme à terme :

le premier terme est le taux de variation de l'énergie stockée dans le champ en un point ;
le deuxième est la fuite d'énergie par rayonnement hors d'un volume élémentaire ;
le second membre est un terme de perte : c'est l'énergie que le champ cède à la matière.

En intégrant sur un volume $V$ fixe et en appliquant le théorème d'Ostrogradski, on obtient le bilan intégral : la variation par unité de temps de l'énergie électromagnétique contenue dans $V$ est égale à l'opposé du flux sortant de $\vec\Pi$ diminué de la puissance cédée aux porteurs dans $V$ .

MéthodeMener un bilan d'énergie

Choisir un volume adapté à la géométrie.
Calculer le flux entrant de $\vec\Pi$ sur chaque face.
Identifier le terme de stockage et le terme de dissipation.
Vérifier l'homogénéité.

Exemple 5.5Fil cylindrique

Un fil cylindrique de rayon $a$ est parcouru par un courant $I$ sous une tension $U$ . À sa surface, $\vec E$ est axial et $\vec B$ orthoradial, donc $\vec\Pi$ pointe vers l'intérieur du fil. Le flux entrant vaut exactement $UI$ , c'est-à-dire la puissance dissipée par effet Joule. L'énergie entre dans le fil par sa surface latérale, pas par ses extrémités.

5.4Ordres de grandeur de flux énergétiques

Exemple 5.6Flux énergétiques

Constante solaire hors atmosphère : environ $1{,}36 \unite{kW.m^{-2}}$ . Au sol, par ciel clair, environ $1 \unite{kW.m^{-2}}$ .
Pour $1 \unite{kW.m^{-2}}$ en onde plane, l'amplitude du champ électrique est de l'ordre de $900 \unite{V.m^{-1}}$ et celle du champ magnétique de l'ordre de $3 \unite{\mu T}$ .
Pointeur laser de $1 \unite{mW}$ focalisé sur $1 \unite{mm^2}$ : également de l'ordre du $\unite{kW.m^{-2}}$ .
Laser de puissance focalisé : facilement $10^{10} \unite{W.m^{-2}}$ et davantage, avec des champs dépassant le champ disruptif de l'air, de l'ordre de $3\times10^{6} \unite{V.m^{-1}}$ .
Émetteur de téléphonie mobile à quelques mètres : de l'ordre du $\unite{mW.m^{-2}}$ .

Méthodes

MéthodeExploiter symétries et invariances

Avant tout calcul, chercher les symétries et invariances.
En déduire la direction des champs et les variables dont ils dépendent. Cela reste vrai en régime variable.

MéthodeÉtablir une équation de propagation

Prendre le rotationnel de Maxwell-Faraday ou de Maxwell-Ampère.
Utiliser $\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec A) = \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec A) - \Delta\vec A$ .
Justifier que $\operatorname{div}\vec E = 0$ par absence de charge.

MéthodeVérifier une cohérence

Prendre la divergence d'une équation en rotationnel, ou le rotationnel d'une équation en gradient.
Ces opérations donnent zéro et éliminent des termes.

MéthodeFaire un bilan d'énergie

Préciser le volume.
Orienter les surfaces.
Écrire la variation d'énergie comme flux entrant moins puissance cédée à la matière.

MéthodeVérifier l'homogénéité

$E/B$ est homogène à une vitesse, $\varepsilon_0E^2$ et $B^2/\mu_0$ sont homogènes à une densité d'énergie.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir l'équation locale de conservation de la charge à une dimension par un bilan sur une tranche.
Écrire les quatre équations de Maxwell sans hésiter, sous forme locale et sous forme intégrale, avec le nom de chacune.
Montrer que les équations de Maxwell impliquent la conservation de la charge.
Justifier la nécessité du courant de déplacement sur l'exemple du condensateur en charge.
Retrouver les lois locales des champs statiques, puis établir les équations de Poisson et de Laplace, et transposer à la gravitation.
Établir l'équation de d'Alembert vérifiée par $\vec E$ dans une région vide de charge et de courant.
Établir l'expression de la puissance volumique cédée aux porteurs et la particulariser à un milieu ohmique.
Interpréter chaque terme de l'équation locale de Poynting et mener le bilan d'énergie du fil cylindrique.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le programme de physique ne distingue pas « avec » et « sans » démonstration comme en maths. On indique ce que le programme exige et ce que le jury attend en pratique.

Conservation locale de la charge à une dimension cartésienne : à établir par un bilan sur une tranche. La forme div j + ∂ρ/∂t = 0 à trois dimensions est à citer.
Les quatre équations de Maxwell locales, dans le vide avec sources et en référentiel galiléen : postulats, à citer avec leur nom.
Formes intégrales (Gauss, flux magnétique nul, Faraday, Ampère généralisé) : à citer, utiliser et interpréter. On les obtient par Ostrogradski et Stokes.
Lien entre Maxwell-Faraday et la loi de Faraday pour un contour fixe : à savoir associer.
Cohérence des équations avec la conservation de la charge : à établir.
Équations de d'Alembert pour E et B dans une région vide de charge et de courant : à établir.
Lois locales des champs statiques : à établir à partir des équations de Maxwell.
Équations de Poisson et de Laplace de l'électrostatique : à établir. Version gravitationnelle : à écrire par analogie.
Puissance volumique j·E cédée aux porteurs : à établir. Cas ohmique γE² : à exploiter. Aucun modèle de la loi d'Ohm locale n'est exigible.
Densité u et vecteur de Poynting Π : à citer. Équation locale de Poynting : fournie, chaque terme à interpréter.
Bilans d'énergie sous forme locale et intégrale : à effectuer.
Relations de passage : non exigibles, rappelées par l'énoncé.
Hors programme : potentiel vecteur, jauges, potentiels retardés, équations de Maxwell dans les milieux avec D et H.

Clés de démonstration

Conservation à une dimension. La charge d'une tranche ne change que par ce qui traverse ses deux faces. On écrit l'entrée moins la sortie pendant dt, puis on développe j(x + dx) ≈ j(x) + (∂j/∂x) dx. Astuce : diviser par S dx dt seulement à la fin, et garder le signe « entrée moins sortie ».

Cohérence avec la conservation de la charge. On prend la divergence de Maxwell-Ampère. Le membre de gauche est nul car div rot = 0. On permute divergence et dérivée temporelle, ce qui suppose les champs de classe C², puis Maxwell-Gauss remplace div E par ρ/ε₀. Astuce : c'est le terme de courant de déplacement qui fournit ∂ρ/∂t.

Loi de Faraday. On intègre Maxwell-Faraday sur une surface S fixe s'appuyant sur le contour. Stokes change le flux de rot E en circulation de E. Comme S est fixe, le flux de ∂B/∂t est la dérivée du flux de B. Astuce : contour fixe, sinon on ne peut pas sortir la dérivée de l'intégrale.

Lois statiques et Poisson. On annule les dérivées temporelles. rot E = 0 sur tout l'espace donne E = −grad V. Puis div(grad V) = ΔV donne ΔV = −ρ/ε₀. Astuce : ne jamais écrire E = −grad V avant d'avoir dit « régime statique ».

Propagation de B. On prend le rotationnel de Maxwell-Ampère avec j = 0. À gauche, rot rot B = −ΔB puisque div B = 0 toujours. À droite, μ₀ε₀ ∂(rot E)/∂t = −(1/c²) ∂²B/∂t² par Maxwell-Faraday. Astuce : pour E il faut ρ = 0 et aussi j = 0, sinon le terme μ₀ ∂j/∂t venu de Maxwell-Ampère reste. Pour B, j = 0 suffit.

Puissance j·E. Sur un porteur, la force magnétique q v ∧ B est orthogonale à v et ne travaille pas. Il reste q v·E par porteur. On multiplie par la densité n de porteurs et on somme sur les espèces, ce qui donne Σ n q v·E = j·E. Astuce : dire « la force magnétique ne travaille pas » en premier.

Équation de Poynting, calcul hors exigible mais formateur. On part de l'identité div(E ∧ B) = B·rot E − E·rot B et on remplace les rotationnels par Maxwell (voir exercice 10).

Exemples et contre-exemples à connaître

Condensateur en charge : B non nul entre les armatures alors qu'aucun courant ne les traverse. Le courant de déplacement y remplace le courant de conduction.
Sphère qui se décharge radialement dans un milieu conducteur : B est nul partout alors qu'un courant circule. Courant de conduction et courant de déplacement s'y compensent exactement.
Solénoïde infini à courant variable : B est nul à l'extérieur mais E y vaut −(R²/(2r)) dB/dt en orthoradial. Un champ électrique existe là où B est nul, seul compte le flux enlacé.
Champ E = a(y u_x − x u_y) : son rotationnel vaut −2a u_z, donc il ne peut pas être électrostatique. Il faut un B croissant linéairement, c'est le champ induit du solénoïde.
Onde longitudinale E = E₀ cos(ωt − kz) u_z dans le vide : div E n'est pas nul, ce champ est impossible sans charges. Contre-exemple à « toute fonction de ωt − kz convient ».
Charge immobile près d'un aimant : Π n'est pas nul mais aucune énergie ne circule en bilan, son flux à travers toute surface fermée d'une région sans courant est nul. Π non nul ne signifie pas rayonnement.
Équation de Laplace : pas d'extremum local du potentiel dans le vide, donc pas d'équilibre stable d'une charge dans un champ électrostatique seul.
Cuivre en régime sinusoïdal : le rapport entre courant de déplacement et courant de conduction vaut ε₀ω/γ, soit environ 10⁻¹⁶ à 50 Hz. Il n'atteindrait 1 qu'à des pulsations où la loi d'Ohm locale n'est plus valable de toute façon.
Boule homogène : le champ gravitationnel intérieur est proportionnel à r. C'est l'analogue exact de la boule uniformément chargée, au signe près.

Techniques du chapitre

Symétries en régime variable. Mini-exercice : long solénoïde de rayon R, courant i(t), direction de E. Solution : les plans contenant l'axe sont des plans d'antisymétrie des courants. E est un vecteur polaire, il est orthogonal à ces plans, donc orthoradial. Faraday sur un cercle de rayon r < R donne 2πrE = −πr² dB/dt, soit E = −(r/2) dB/dt.

Tester un champ proposé. Mini-exercice : E = a(y u_x − x u_y) dans le vide, sans charge. Quel B ? Solution : div E = 0, compatible. rot E = −2a u_z, donc ∂B/∂t = 2a u_z et B = (B₀ + 2at) u_z. Maxwell-Ampère est vérifié car E ne dépend pas du temps et B est uniforme.

Divergence d'une équation en rotationnel. Mini-exercice : que donnerait Maxwell-Ampère sans courant de déplacement ? Solution : la divergence imposerait div j = 0 en tout régime. Un condensateur en charge, où la charge des armatures varie, serait impossible.

Estimer l'ARQS. Mini-exercice : cuivre à 1 MHz, comparer les deux courants. Solution : ε₀ω/γ ≈ 8,85 × 10⁻¹² × 6,3 × 10⁶/(6 × 10⁷) ≈ 10⁻¹². Le courant de déplacement est négligeable dans le métal.

Calculer une puissance par j·E. Mini-exercice : barreau de longueur L, de section S, de conductivité γ, sous tension U. Solution : E = U/L uniforme, puissance γ(U/L)² × SL = U²/R avec R = L/(γS). On retrouve l'effet Joule global.

Résoudre Laplace numériquement. Mini-exercice : grille 3 × 3, bord gauche au potentiel V₀, trois autres bords à 0. Potentiel au centre ? Solution : moyenne des quatre voisins, soit (V₀ + 0 + 0 + 0)/4 = V₀/4, obtenu dès la première itération puisque le point central n'a que des voisins de bord.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Champ magnétique dans un condensateur en charge

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Condensateur plan à armatures circulaires de rayon R, séparées de e petit devant R, chargé par un courant i(t). On néglige les effets de bord et on se place en ARQS. Calculer B entre les armatures.

Technique Ampère généralisé avec le seul courant de déplacement.

Voir le corrigé

E = q/(πε₀R²) u_z entre les armatures, nul ailleurs, et i = dq/dt.
Les plans contenant l'axe sont des plans de symétrie des sources, donc B est orthoradial. L'invariance par rotation donne B = B(r, z) u_θ.
Cercle de rayon r < R dans l'entrefer : 2πrB = μ₀ε₀ d/dt (πr² E) = μ₀ i r²/R², donc B = μ₀ i r/(2πR²).
Pour r > R, le flux de E est q/ε₀ et B = μ₀ i/(2πr). C'est le champ du fil d'alimentation.

piège : Conclure B = 0 parce qu'aucun courant ne traverse le disque choisi.

Exercice 2. Décharge d'une sphère dans un milieu ohmique

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une sphère conductrice de rayon a porte la charge Q(t). Elle est plongée dans un milieu de conductivité γ que l'on modélise avec la permittivité ε₀, initialement neutre. Trouver Q(t) et B.

Technique Gauss en régime variable, symétrie sphérique.

Voir le corrigé

La charge volumique du milieu vérifie ∂ρ/∂t = −div j = −γρ/ε₀. Nulle au départ, elle reste nulle. Gauss donne E = Q/(4πε₀r²) u_r pour r > a.
Le courant sortant de la sphère vaut 4πa² γE(a) = γQ/ε₀. Donc dQ/dt = −γQ/ε₀ et Q = Q₀ exp(−t/τ), avec τ = ε₀/γ.
En un point M, tout plan contenant O et M est plan de symétrie des sources. B, pseudovecteur, est orthogonal à tous ces plans, donc B = 0.
Vérification par Maxwell-Ampère : ε₀ ∂E/∂t = −γE = −j, la somme est bien nulle.

piège : Croire que B est non nul parce qu'un courant circule. Pour le cuivre τ ≈ 10⁻¹⁹ s, bien en dessous de la validité du modèle ohmique, mais la conclusion qualitative demeure : un conducteur neutralise très vite son volume.

Exercice 3. Énergie magnétique d'un solénoïde

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Solénoïde long de rayon R, n spires par mètre, courant i(t) lentement variable. Montrer par un bilan de Poynting que la puissance entrante égale la variation d'énergie magnétique.

Technique Faraday pour E, flux de Π, identification du stockage.

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ARQS : B = μ₀ n i u_z à l'intérieur. Technique 1 : E = −(r/2) μ₀ n (di/dt) u_θ.
En r = R, u_θ ∧ u_z = u_r, donc Π = −(R/2) μ₀ n² i (di/dt) u_r. Π pointe vers l'axe quand i croît en valeur absolue.
Flux entrant sur une hauteur h : πR² h μ₀ n² i di/dt.
Énergie magnétique : (μ₀ n² i²/2) πR² h, de dérivée identique. L'énergie électrique, d'ordre (R/(cT))² relativement, est négligée.

piège : Perdre le signe de E, ce qui fait sortir l'énergie d'un solénoïde qui se charge.

Exercice 4. Câble coaxial

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Câble coaxial à conducteurs parfaits, de rayons a et b, qui transporte le courant I sous la tension U vers une charge. Calculer la puissance transportée.

Technique champs statiques puis flux de Π.

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Gauss et la différence de potentiel donnent E = U/(r ln(b/a)) u_r pour a < r < b.
Ampère donne B = μ₀ I/(2πr) u_θ.
u_r ∧ u_θ = u_z, donc Π = UI/(2π ln(b/a) r²) u_z.
Flux sur la couronne : l'intégrale de a à b de Π × 2πr dr vaut UI.

piège : Chercher l'énergie dans le métal. Elle circule dans l'isolant, les conducteurs ne font que guider les champs.

Exercice 5. Poisson pour une couche chargée

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Charge volumique ρ₀ pour |x| < a, vide ailleurs, sans charge surfacique. Trouver V et E.

Technique intégrer Poisson à une dimension avec continuités et parité.

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Poisson : V'' = −ρ₀/ε₀ à l'intérieur, V'' = 0 à l'extérieur.
Par symétrie E(0) = 0. On choisit V(0) = 0, d'où V = −ρ₀x²/(2ε₀) pour |x| < a.
Sans charge surfacique, V et E sont continus en x = a, ce qu'on justifie par Gauss sur un cylindre plat. Pour x > a, V = −ρ₀ax/ε₀ + ρ₀a²/(2ε₀) et E = ρ₀a/ε₀ u_x, uniforme.
Contrôle par Gauss : E = ρ₀a/ε₀ à l'extérieur, cohérent.

piège : Vouloir un potentiel nul à l'infini pour une distribution infinie, c'est impossible ici.

Exercice 6. Tunnel à travers une Terre homogène

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Terre homogène de masse M et de rayon R. Un point matériel se déplace sans frottement dans un tunnel rectiligne passant par le centre. Période ?

Technique analogie gravitationnelle et Gauss.

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Analogue de Gauss : le flux de G à travers une sphère vaut −4πG_N M_int. Pour r < R, G = −G_N M r/R³ u_r.
Le point obéit à x'' = −(G_N M/R³) x, oscillateur de pulsation √(g₀/R) avec g₀ = G_N M/R².
T = 2π√(R/g₀) ≈ 2π√(6,4 × 10⁶/9,8) ≈ 84 min.
Pour un tunnel ne passant pas par le centre, la projection de G sur l'axe donne la même pulsation.

piège : Signe de Poisson. L'équation gravitationnelle est ΔΦ = 4πG_N ρ, de signe opposé au cas électrique.

Exercice 7. Champ d'un pointeur laser

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Pointeur de 1 mW, faisceau de 1 mm de diamètre. On admet une structure d'onde plane, avec une valeur moyenne ⟨Π⟩ = ε₀ c E₀²/2. Amplitude de E, puis focalisation sur 10 µm de diamètre, puis laser de 1 W focalisé de même.

Technique puissance égale flux de Π.

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⟨Π⟩ = P/S ≈ 10⁻³/(7,9 × 10⁻⁷) ≈ 1,3 kW/m², l'ordre du flux solaire.
E₀ = √(2⟨Π⟩/(ε₀c)) ≈ 1 kV/m.
Surface divisée par 10⁴ : ⟨Π⟩ ≈ 1,3 × 10⁷ W/m² et E₀ ≈ 10⁵ V/m.
À 1 W, E₀ est multiplié par √1000 ≈ 32 et atteint environ 3 × 10⁶ V/m, soit le champ disruptif de l'air.

piège : Oublier le facteur 1/2 de la moyenne, ou confondre amplitude et valeur efficace.

Exercice 8. Champ entre deux plans conducteurs

Approfondissement · Type écrit Centrale

Dans le vide entre deux plans conducteurs parfaits x = 0 et x = a, on propose E = E₀ sin(πx/a) cos(ωt − kz) u_y, qui s'annule sur les plans comme l'imposent les relations de passage fournies. Condition sur k, calcul de B.

Technique tester div E, injecter dans d'Alembert, puis Maxwell-Faraday.

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E_y ne dépend pas de y, donc div E = 0, compatible avec l'absence de charge.
D'Alembert : −(π²/a² + k²) + ω²/c² = 0, d'où k² = ω²/c² − π²/a².
Propagation seulement si ω > πc/a. En dessous, k est imaginaire et l'onde est évanescente. Pour a = 2,3 cm, la fréquence de coupure c/(2a) vaut environ 6,5 GHz.
Maxwell-Faraday donne B_x = −(kE₀/ω) sin(πx/a) cos(ωt − kz) et B_z = −(πE₀/(aω)) cos(πx/a) sin(ωt − kz). B a une composante selon la direction de propagation, ce n'est pas une onde plane.

piège : Écrire d'emblée B = E/c comme pour une onde plane.

Exercice 9. Chauffage par induction

Approfondissement · Type oral Centrale

Cylindre conducteur de rayon R, de hauteur h, de conductivité γ, placé dans B = B₀ cos(ωt) u_z uniforme. On néglige le champ des courants induits, hypothèse valable si R est petit devant l'épaisseur de peau. Puissance moyenne dissipée ?

Technique Faraday, puis puissance γE² intégrée.

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Comme en technique 1, E = (r/2) ωB₀ sin(ωt) u_θ.
Puissance volumique γr²ω²B₀² sin²(ωt)/4, de moyenne γr²ω²B₀²/8.
On intègre sur des couronnes de volume 2πrh dr : ⟨P⟩ = πγω²B₀²hR⁴/16.
La dépendance en R⁴ explique le feuilletage des noyaux : N conducteurs de même section totale dissipent N fois moins.

piège : Prendre E uniforme dans le cylindre. E est nul sur l'axe et croît avec r.

Exercice 10. Établir l'équation de Poynting

Approfondissement · Type oral Mines

À l'aide de div(E ∧ B) = B·rot E − E·rot B, établir ∂u/∂t + div Π = −j·E. En déduire qu'en régime statique, dans une région sans courant, le flux de Π à travers toute surface fermée est nul.

Technique dériver u et substituer les rotationnels.

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∂u/∂t = ε₀ E·∂E/∂t + B·(∂B/∂t)/μ₀.
Maxwell-Ampère : ε₀ ∂E/∂t = rot B/μ₀ − j. Maxwell-Faraday : ∂B/∂t = −rot E.
∂u/∂t = (E·rot B − B·rot E)/μ₀ − j·E = −div Π − j·E.
En statique ∂u/∂t = 0, et sans courant j·E = 0, donc div Π = 0. Ostrogradski donne un flux nul sur toute surface fermée de la région.

piège : Conclure qu'un Π non nul, comme celui d'une charge placée près d'un aimant, rayonne de l'énergie.

Erreurs fréquentes

Écrire E = −grad V ou une circulation de E nulle en régime variable. Le jury pénalise ce réflexe hérité de l'électrostatique.
Appliquer le théorème d'Ampère statique à un condensateur en charge ou oublier le courant de déplacement. Le résultat dépend alors de la surface choisie.
Orienter le contour et la normale indépendamment dans Faraday ou Ampère. La règle de la main droite les relie, sinon le signe de E induit est faux.
Établir d'Alembert pour E en présence de charges ou de courants, ou écrire rot rot E = −ΔE sans justifier div E = 0.
Inverser flux entrant et flux sortant dans un bilan de Poynting, ou confondre amplitude et moyenne d'un flux d'énergie.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie MP (arrêté du 5 janvier 2021), parties « 4.3. Équations de Maxwell » et « 4.4. Énergie du champ électromagnétique ». Elle suppose connues l'électrostatique et la magnétostatique du début d'année, ainsi que les outils d'analyse vectorielle de l'annexe du programme.

Équations de Maxwell et énergie du champ électromagnétique

Résumé en cinq points

1Sources du champ : charges et courants

1.1Densités

1.2Conservation de la charge

2Les équations de Maxwell

2.1Forme locale

2.2Cohérence avec la conservation de la charge

2.3Formes intégrales

2.4Retour aux régimes statiques

2.5Relations de passage

3Potentiels

3.1Potentiel scalaire

3.2Équations de Poisson et de Laplace

4Propagation et couplage

5Énergie du champ électromagnétique

5.1Puissance cédée aux porteurs

5.2Densité d'énergie et vecteur de Poynting

5.3Équation locale de Poynting et bilan

5.4Ordres de grandeur de flux énergétiques

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Champ magnétique dans un condensateur en charge

Exercice 2. Décharge d'une sphère dans un milieu ohmique

Exercice 3. Énergie magnétique d'un solénoïde

Exercice 4. Câble coaxial

Exercice 5. Poisson pour une couche chargée

Exercice 6. Tunnel à travers une Terre homogène

Exercice 7. Champ d'un pointeur laser

Exercice 8. Champ entre deux plans conducteurs

Exercice 9. Chauffage par induction

Exercice 10. Établir l'équation de Poynting

Erreurs fréquentes

Au concours