Le cours

Résumé en cinq points

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique, et la dimension du sous-espace propre est comprise entre $1$ et la multiplicité.
Diagonalisable veut dire que la somme des sous-espaces propres est $E$ , ce qui équivaut à $\chi$ scindé avec $\dim E_\lambda = m_\lambda$ pour chaque $\lambda$ .
Trigonalisable équivaut à $\chi$ scindé, donc c'est automatique sur $\C$ , et alors trace et déterminant se lisent sur les valeurs propres.
Par les polynômes : $u$ est diagonalisable si et seulement si $\pi_u$ est scindé à racines simples, trigonalisable si et seulement si $\pi_u$ est scindé. Le lemme des noyaux est le moteur de ces preuves.
Cayley-Hamilton donne $\chi_u(u) = 0$ , donc $\pi$ divise $\chi$ , et la décomposition en sous-espaces caractéristiques ramène toute matrice complexe à des blocs de la forme $\lambda I + N$ avec $N$ nilpotente.

Pourquoi ce chapitre

Réduire un endomorphisme, c'est chercher une base dans laquelle sa matrice est la plus simple possible, diagonale si on peut, triangulaire sinon.

Enjeu pratique : une fois la matrice diagonalisée, on calcule les puissances, on résout les systèmes différentiels linéaires, on étudie les suites récurrentes et les chaînes de Markov sans effort.
Enjeu théorique : la réduction relie l'algèbre linéaire et l'arithmétique des polynômes.

Le programme distingue deux approches.

L'approche géométrique s'appuie sur les sous-espaces stables et les éléments propres, avec le polynôme caractéristique comme outil de calcul.
L'approche algébrique s'appuie sur les polynômes annulateurs et le lemme des noyaux.

Il faut savoir passer de l'une à l'autre.

Dans tout le chapitre, $\K$ est un sous-corps de $\C$ , en pratique $\R$ ou $\C$ , et $E$ est un $\K$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ sauf mention contraire.

1Éléments propres

1.1Définitions

Définition 1.1Valeur propre, vecteur propre

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . Un scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur $x$ non nul tel que $u(x) = \lambda x$ . Un tel $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ .

Attention

L'exigence $x \neq 0$ est essentielle, sinon tout scalaire serait valeur propre. En revanche $\lambda = 0$ est autorisé : $0$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $u$ n'est pas injectif.

Définition 1.2Sous-espace propre

Le sous-espace propre associé à $\lambda$ est $E_\lambda(u) = \Ker(u - \lambda\,\mathrm{id}).$ Il contient le vecteur nul et tous les vecteurs propres associés à $\lambda$ . Sa dimension est au moins $1$ dès que $\lambda$ est valeur propre.

Définition 1.3Spectre

Le spectre de $u$ , noté $\operatorname{Sp}(u)$ , est l'ensemble de ses valeurs propres.

Les droites stables par $u$ sont exactement les droites engendrées par un vecteur propre.

Pour une matrice carrée $M \in \mathcal{M}_n(\K)$ , les mêmes définitions valent avec l'équation $MX = \lambda X$ , $X \in \K^n$ non nul. Deux matrices semblables ont même spectre, car un changement de base ne change pas l'endomorphisme.

Propriété 1.4Dépendance du corps

Si $\K$ est un sous-corps de $\K'$ , le spectre de $M$ dans $\K$ est contenu dans son spectre dans $\K'$ .

Exemple 1.5Rotation d'angle $\pi/2$

La matrice de rotation d'angle $\pi/2$ dans le plan a un spectre vide dans $\R$ , et un spectre égal à $\{\ii, -\ii\}$ dans $\C$ .

1.2Indépendance et finitude

Théorème 1.6Somme directe des sous-espaces propres

La somme d'une famille finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est directe. Conséquence directe : toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.

Démonstration

Récurrence sur le nombre de valeurs propres. On part d'une relation $x_1 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}$ . On applique $u - \lambda_p\,\mathrm{id}$ , ce qui tue le dernier terme et multiplie chaque autre par $\lambda_i - \lambda_p$ , non nul. L'hypothèse de récurrence donne la nullité des $x_i$ pour $i < p$ , puis celle de $x_p$ .

Propriété 1.7Finitude du spectre

En dimension $n$ , le spectre est fini et de cardinal au plus $n$ , puisque la somme des sous-espaces propres est un sous-espace de $E$ de dimension au moins égale au nombre de valeurs propres.

1.3Commutation

Propriété 1.8Commutation et sous-espaces propres

Si $u$ et $v$ commutent, tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$ .

Démonstration

Si $u(x) = \lambda x$ , alors $\begin{aligned} u(v(x)) &= v(u(x))\\ &= v(\lambda x) = \lambda v(x), \end{aligned}$ donc $v(x) \in E_\lambda(u)$ .

À retenir

Les sous-espaces propres de $u$ sont stables par tout endomorphisme qui commute avec $u$ : c'est le résultat clé pour la réduction simultanée.

2Polynôme caractéristique

2.1Définition et propriétés

Définition 2.1Polynôme caractéristique

Pour $M \in \mathcal{M}_n(\K)$ , on pose $\chi_M = \det(X I_n - M)$ . C'est un polynôme de degré $n$ , unitaire par convention. Pour un endomorphisme $u$ , on pose $\chi_u = \chi_M$ où $M$ est la matrice de $u$ dans une base quelconque.

Cette définition est licite car deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique.

Propriété 2.2Coefficients à connaître

Le coefficient de $X^{n-1}$ vaut $-\tr(M)$ .
Le coefficient constant vaut $\chi_M(0) = \det(-M) = (-1)^n \det(M)$ .

Théorème 2.3Valeurs propres et racines

Les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$ dans $\K$ .

Démonstration

$\lambda$ est valeur propre si et seulement si $u - \lambda\,\mathrm{id}$ n'est pas injectif, donc pas bijectif en dimension finie, donc de déterminant nul.

Propriété 2.4Cas particuliers

Le polynôme caractéristique d'une matrice triangulaire est le produit des $X - a_{ii}$ , où les $a_{ii}$ sont les coefficients diagonaux.
Si $F$ est stable par $u$ , le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit divise $\chi_u$ . Cela se voit sur la matrice triangulaire par blocs obtenue dans une base adaptée.

2.2Multiplicité

Définition 2.5Multiplicité

La multiplicité d'une valeur propre $\lambda$ est sa multiplicité comme racine de $\chi_u$ . On la note souvent $m_\lambda$ .

Théorème 2.6Encadrement de la dimension

Pour toute valeur propre $\lambda$ de $u$ : $1 \leqslant \dim E_\lambda(u) \leqslant m_\lambda.$

Démonstration

On prend une base de $E_\lambda$ , on la complète en base de $E$ . La matrice de $u$ est triangulaire par blocs avec en haut à gauche $\lambda I_d$ , où $d = \dim E_\lambda$ . Le polynôme caractéristique est donc divisible par $(X - \lambda)^d$ .

Attention

L'inégalité peut être stricte. Pour la matrice de taille 2 avec des $1$ sur la diagonale et un $1$ en haut à droite, la valeur propre $1$ est de multiplicité $2$ mais son sous-espace propre est une droite.

3Diagonalisation

3.1Définition et critères

Définition 3.1Endomorphisme diagonalisable

Un endomorphisme $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est diagonale. Une telle base est constituée de vecteurs propres. Une matrice carrée est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Théorème 3.2Critères équivalents

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$E$ est la somme des sous-espaces propres de $u$ ;
la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$ ;
il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres ;
$\chi_u$ est scindé sur $\K$ et, pour chaque valeur propre $\lambda$ , $\dim E_\lambda = m_\lambda$ .

Propriété 3.3Condition suffisante

Si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes, il est diagonalisable, et chaque sous-espace propre est une droite.

Attention

La réciproque est fausse : l'identité est diagonalisable avec une seule valeur propre.

Exemple 3.4Exemples usuels

Tout projecteur est diagonalisable, de spectre contenu dans $\{0, 1\}$ .
Toute symétrie est diagonalisable, de spectre contenu dans $\{-1, 1\}$ .
Un endomorphisme nilpotent non nul n'est jamais diagonalisable.

3.2Pratique

En exercice on se limite à des matrices de taille 2 ou 3.

MéthodeDiagonaliser une matrice $M$

Calculer $\chi_M$ et le factoriser.
Si $\chi_M$ n'est pas scindé sur $\K$ , la matrice n'est pas diagonalisable sur $\K$ , mais elle peut l'être sur $\C$ .
Si $\chi_M$ est scindé à racines simples, conclure immédiatement.
Sinon, pour chaque racine multiple, résoudre $(M - \lambda I)X = 0$ et comparer la dimension trouvée à la multiplicité.
Écrire $M = PDP^{-1}$ , où les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres rangés dans le même ordre que les valeurs propres sur la diagonale de $D$ .

Exemple 3.5Puissances

$M^k = PD^kP^{-1}$ , où $D^k$ est immédiate. C'est ainsi qu'on obtient la forme close d'une suite récurrente linéaire ou d'un système dynamique discret.

4Trigonalisation

Définition 4.1Endomorphisme trigonalisable

Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. Une matrice est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire.

Théorème 4.2Critère de trigonalisabilité

$u$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé sur $\K$ .

Conséquence majeure : sur $\C$ , tout endomorphisme d'un espace de dimension finie est trigonalisable, et toute matrice de $\mathcal{M}_n(\C)$ l'est. C'est faux sur $\R$ , la rotation d'angle $\pi/2$ du plan en est le contre-exemple.

Propriété 4.3Trace et déterminant

Hypothèse : $u$ est trigonalisable.

Alors la trace de $u$ est la somme de ses valeurs propres comptées avec leur multiplicité, et le déterminant de $u$ en est le produit.

On le lit sur la matrice triangulaire, dont la diagonale porte les valeurs propres avec leurs multiplicités. Sur $\C$ ces deux formules valent donc toujours.

La pratique de la trigonalisation n'est pas un objectif du programme. C'est l'existence qui sert, souvent pour démontrer une inégalité ou une propriété de limite.

5Endomorphismes nilpotents

Définition 5.1Nilpotent

Un endomorphisme $u$ de $E$ est nilpotent s'il existe un entier $p \geqslant 1$ tel que $u^p = 0$ . Le plus petit tel entier est l'indice de nilpotence. Même définition pour une matrice.

Théorème 5.2Caractérisation des nilpotents

$u$ est nilpotent si et seulement s'il est trigonalisable avec $0$ pour seule valeur propre. De façon équivalente en dimension $n$ , $u$ est nilpotent si et seulement si $\chi_u = X^n$ . La matrice est alors semblable à une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle.

Propriété 5.3Majoration de l'indice

L'indice de nilpotence est majoré par $n$ , car une matrice triangulaire à diagonale nulle vérifie que son produit $n$ fois vaut zéro. En particulier, si $u^p = 0$ pour un $p$ quelconque, alors déjà $u^n = 0$ .

Un endomorphisme nilpotent non nul n'est pas diagonalisable, puisqu'une matrice diagonale nilpotente est nulle.

6Polynômes annulateurs et réduction

6.1Polynôme minimal

Définition 6.1Polynôme minimal

L'ensemble des polynômes annulateurs de $u$ est un idéal de $\K[X]$ . En dimension finie il n'est pas réduit à zéro, car la famille des $u^k$ pour $k$ de $0$ à $n^2$ est liée dans $\mathcal{L}(E)$ , de dimension $n^2$ . Cet idéal admet donc un unique générateur unitaire, le polynôme minimal de $u$ , noté $\pi_u$ .

C'est le polynôme unitaire non nul de plus petit degré annulant $u$ , et il divise tout polynôme annulateur.

Propriété 6.2Base de $\K[u]$

Si $d$ est le degré de $\pi_u$ , la famille des $u^k$ pour $k$ allant de $0$ à $d - 1$ est une base de $\K[u]$ . En particulier $\dim \K[u] = \deg \pi_u$ .

Théorème 6.3Racines d'un annulateur

Si $P$ annule $u$ , alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ .

Démonstration

Si $u(x) = \lambda x$ avec $x$ non nul, alors $P(u)(x) = P(\lambda)x$ , donc $P(\lambda)x = 0$ et $P(\lambda) = 0$ .

Théorème 6.4Racines du polynôme minimal

Les racines de $\pi_u$ dans $\K$ sont exactement les valeurs propres de $u$ .

L'inclusion réciproque de celle du théorème précédent est donc vraie pour le polynôme minimal, pas pour un annulateur quelconque.

Attention

Un polynôme annulateur peut avoir des racines qui ne sont pas valeurs propres. $X^2 - 1$ annule l'identité, mais $-1$ n'est pas valeur propre de l'identité.

6.2Lemme des noyaux

Théorème 6.5Lemme des noyaux

Hypothèses

$P_1, \dots, P_r$ sont deux à deux premiers entre eux ;
$P = P_1 \cdots P_r$ .

Alors $\Ker P(u)$ est la somme directe des $\Ker P_i(u)$ , et chacun de ces noyaux est stable par $u$ .

6.3Critères par les polynômes annulateurs

Théorème 6.6Diagonalisabilité et polynômes

$u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé à racines simples annulant $u$ , ce qui équivaut à dire que $\pi_u$ est scindé à racines simples.

Démonstration

Sens direct par les noyaux : si $P = (X - \lambda_1)\cdots(X - \lambda_r)$ annule $u$ avec des $\lambda_i$ distincts, alors $E = \Ker P(u)$ et le lemme des noyaux donne $E$ comme somme directe des $\Ker(u - \lambda_i\,\mathrm{id})$ , c'est-à-dire des sous-espaces propres. Le sens réciproque s'obtient en vérifiant que le produit des $X - \lambda$ sur les valeurs propres distinctes annule $u$ quand $u$ est diagonalisable.

Ce critère est celui qu'on utilise quand on ne dispose pas de la matrice, mais d'une relation algébrique.

Exemple 6.7Cas $u^3 = u$

$X^3 - X = X(X - 1)(X + 1)$ annule $u$ , ce polynôme est scindé à racines simples, donc $u$ est diagonalisable, de spectre contenu dans $\{-1, 0, 1\}$ .

Corollaire 6.8Endomorphisme induit

Si $u$ est diagonalisable et si $F$ est stable par $u$ , alors l'endomorphisme induit sur $F$ est diagonalisable.

Démonstration

Le polynôme minimal de l'endomorphisme induit divise $\pi_u$ , donc il reste scindé à racines simples.

Théorème 6.9Trigonalisabilité et polynômes

$u$ est trigonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé annulant $u$ , ce qui équivaut à dire que $\pi_u$ est scindé.

6.4Théorème de Cayley-Hamilton

Théorème 6.10Cayley-Hamilton

Pour tout endomorphisme $u$ d'un espace de dimension finie, $\chi_u(u) = 0$ .

La démonstration n'est pas exigible.

Propriété 6.11Conséquences

Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, donc son degré est au plus $n$ .
Les deux polynômes ont exactement les mêmes racines dans $\K$ : on peut souvent reconstituer $\pi_u$ à partir de $\chi_u$ en testant les exposants.
L'inverse d'une matrice inversible s'exprime comme un polynôme en cette matrice.

Attention

Cayley-Hamilton ne dit pas que $\chi_u$ est le polynôme minimal. Pour l'identité en dimension 2, $\chi = (X - 1)^2$ et $\pi = X - 1$ .

6.5Sous-espaces caractéristiques

Définition 6.12Sous-espace caractéristique

Hypothèse : $\chi_u$ est scindé, ce qui est automatique sur $\C$ .

Pour chaque valeur propre $\lambda$ de multiplicité $m_\lambda$ , le sous-espace caractéristique associé à $\lambda$ est $N_\lambda = \Ker (u - \lambda\,\mathrm{id})^{m_\lambda}.$

Théorème 6.13Décomposition caractéristique

Hypothèse : $\chi_u$ est scindé.

Alors $E$ est la somme directe des sous-espaces caractéristiques de $u$ , et $\dim N_\lambda = m_\lambda$ . Chaque $N_\lambda$ est stable par $u$ .

Démonstration

$\chi_u$ est le produit des $(X - \lambda)^{m_\lambda}$ , ces facteurs sont deux à deux premiers entre eux, et $\chi_u$ annule $u$ par Cayley-Hamilton. Le lemme des noyaux conclut.

Traduction matricielle : toute matrice de $\mathcal{M}_n(\C)$ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont chaque bloc diagonal est triangulaire à termes diagonaux tous égaux à une même valeur propre. Autrement dit chaque bloc s'écrit $\lambda I + N$ avec $N$ nilpotente.

C'est la forme réduite la plus fine au programme. Elle rend les calculs de puissances et d'exponentielles de matrices accessibles, en utilisant le binôme puisque $\lambda I$ et $N$ commutent. La réduction de Jordan proprement dite est hors programme.

Méthodes

MéthodeDiagonaliser une matrice concrète de taille 2 ou 3

Calculer $\chi$ et le factoriser.
Pour chaque valeur propre multiple, résoudre le système homogène.
Comparer dimension et multiplicité.

MéthodeMontrer la diagonalisabilité sans calcul

Chercher une relation algébrique du type $u^2 = u$ , $u^2 = \mathrm{id}$ , $u^3 = u$ .
Invoquer le critère du polynôme annulateur scindé à racines simples.

MéthodeProuver la non-diagonalisabilité

Exhiber une valeur propre dont le sous-espace propre est de dimension strictement inférieure à la multiplicité,
ou remarquer que $\chi$ n'est pas scindé sur $\K$ .

MéthodeCalculer $M^k$

Diagonaliser si possible.
Sinon écrire $M = \lambda I + N$ avec $N$ nilpotente.
Appliquer le binôme, la somme étant finie.

MéthodeTrouver le polynôme minimal

Partir de $\chi$ , qui est un multiple de $\pi$ .
Tester les diviseurs unitaires ayant les mêmes racines, du plus petit degré au plus grand.

MéthodeRéduire simultanément deux endomorphismes qui commutent

Utiliser que les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre.
Réduire l'endomorphisme induit.

MéthodeMajorer ou passer à la limite sur des matrices

Trigonaliser sur $\C$ .
Travailler sur la matrice triangulaire.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
Montrer que $\dim E_\lambda$ est comprise entre $1$ et la multiplicité de $\lambda$ , et donner un exemple d'inégalité stricte.
Énoncer les quatre critères de diagonalisabilité et diagonaliser une matrice $3 \times 3$ explicite.
Justifier que toute matrice complexe est trigonalisable et en déduire que la trace est la somme des valeurs propres.
Démontrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $\pi_u$ est scindé à racines simples, au moins le sens direct par le lemme des noyaux.
Montrer qu'un endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace stable est diagonalisable.
Caractériser les endomorphismes nilpotents par leur polynôme caractéristique et majorer leur indice.
Énoncer Cayley-Hamilton, en déduire que $\pi$ divise $\chi$ , et calculer l'inverse d'une matrice $3 \times 3$ comme polynôme en cette matrice.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

λ est valeur propre de u s'il existe x ≠ 0 avec u(x) = λx, E_λ(u) = Ker(u − λid) est de dimension au moins 1, et 0 est valeur propre si et seulement si u n'est pas injectif : exigible.
Le spectre d'une matrice peut dépendre du corps, il est contenu dans le spectre calculé sur une extension de K : exigible, exemple de la rotation d'angle π/2.
La somme des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe, toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre : exigible avec démonstration, par récurrence.
En dimension n, le spectre est fini, de cardinal au plus n : exigible, conséquence directe.
Si u et v commutent, tout sous-espace propre de u est stable par v : exigible avec démonstration.
χ_M = det(X I_n − M), polynôme unitaire de degré n, invariant par similitude, coefficient de Xⁿ⁻¹ égal à −tr(M), coefficient constant égal à (−1)ⁿ det(M) : exigible.
Les valeurs propres de u sont exactement les racines de χ_u dans K : exigible avec démonstration.
χ d'une matrice triangulaire est le produit des X − a_ii, et le polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit sur un sous-espace stable divise χ_u : exigible.
Pour toute valeur propre λ, 1 ≤ dim E_λ(u) ≤ m_λ, l'inégalité pouvant être stricte : exigible avec démonstration.
u diagonalisable équivaut à E somme des sous-espaces propres, équivaut à χ_u scindé et dim E_λ = m_λ pour chaque λ : exigible avec démonstration.
n valeurs propres distinctes en dimension n entraîne diagonalisable, la réciproque est fausse, l'identité en est le contre-exemple : exigible.
u trigonalisable équivaut à χ_u scindé, donc automatique sur C, faux sur R en général : exigible avec démonstration par récurrence sur la dimension.
Si u est trigonalisable, la trace vaut la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité, le déterminant leur produit : exigible.
u nilpotent équivaut à trigonalisable de seule valeur propre 0, équivaut à χ_u = Xⁿ, et l'indice de nilpotence est majoré par n : exigible avec démonstration.
Le polynôme minimal π_u existe, est unitaire, divise tout polynôme annulateur, et deg π_u = dim K[u] : exigible.
Si P annule u, toute valeur propre de u est racine de P, et les racines de π_u dans K sont exactement les valeurs propres de u : exigible avec démonstration pour le sens direct.
Lemme des noyaux : pour P₁, …, P_r deux à deux premiers entre eux de produit P, Ker P(u) est somme directe des Ker P_i(u) : exigible avec démonstration.
u diagonalisable équivaut à annuler un polynôme scindé à racines simples, équivaut à π_u scindé à racines simples. u trigonalisable équivaut à π_u scindé : exigible avec démonstration du sens direct par le lemme des noyaux.
Théorème de Cayley-Hamilton, χ_u(u) = 0 : exigible, démonstration hors programme.
Si χ_u est scindé, E est somme directe des sous-espaces caractéristiques N_λ = Ker(u − λid)^m_λ, avec dim N_λ = m_λ : exigible avec démonstration, via le lemme des noyaux et Cayley-Hamilton.

Clés de démonstration

Somme directe des sous-espaces propres. On raisonne par récurrence sur le nombre de valeurs propres, à partir d'une relation x₁ + … + x_p = 0. On applique u − λ_p·id, ce qui annule le dernier terme et multiplie chaque autre par λ_i − λ_p, non nul. L'astuce : choisir un opérateur qui tue exactement un terme de la somme.

Majoration dim E_λ ≤ m_λ. On complète une base de E_λ en base de E. Dans cette base, la matrice de u est triangulaire par blocs avec λ·I_d en haut à gauche, donc χ_u est divisible par (X − λ)^d. L'astuce : construire une base adaptée pour lire le polynôme caractéristique sur une matrice triangulaire par blocs.

Critère de diagonalisabilité par polynôme annulateur. Si P = (X − λ₁)…(X − λ_r) annule u avec des λ_i distincts, alors E = Ker P(u), et le lemme des noyaux donne E comme somme directe des Ker(u − λ_i·id), c'est-à-dire des sous-espaces propres. L'astuce : transformer une relation algébrique en décomposition géométrique via le lemme des noyaux.

Caractérisation des endomorphismes nilpotents. Si u est nilpotent, u^p = 0 pour un p, donc X^p annule u, donc la seule racine possible de π_u est 0, donc les seules valeurs propres possibles sont 0, donc χ_u = Xⁿ. Réciproquement, si χ_u = Xⁿ, Cayley-Hamilton donne uⁿ = 0. L'astuce : passer par le polynôme minimal pour localiser le spectre sans calcul.

Sous-espaces caractéristiques. χ_u est le produit des (X − λ)^m_λ, ces facteurs sont deux à deux premiers entre eux, et χ_u annule u par Cayley-Hamilton. Le lemme des noyaux conclut directement. L'astuce : Cayley-Hamilton fournit toujours un polynôme annulateur scindé sur lequel appliquer le lemme des noyaux.

Exemples et contre-exemples à connaître

La rotation d'angle π/2 dans le plan a un spectre vide dans R et égal à {i, −i} dans C : le spectre dépend du corps de base.
La matrice [[1,1],[0,1]] a pour seule valeur propre 1, de multiplicité 2, mais son sous-espace propre est une droite : l'inégalité dim E_λ ≤ m_λ peut être stricte, et cette matrice n'est pas diagonalisable.
L'identité admet une seule valeur propre mais est diagonalisable : contre-exemple à la réciproque de « n valeurs propres distinctes entraîne diagonalisable ».
Tout projecteur est diagonalisable, de spectre contenu dans {0, 1}. Toute symétrie est diagonalisable, de spectre contenu dans {−1, 1} : exemples de référence immédiats.
Un endomorphisme nilpotent non nul n'est jamais diagonalisable, car une matrice diagonale nilpotente est nécessairement nulle.
X² − 1 annule l'identité, mais −1 n'est pas valeur propre de l'identité : un polynôme annulateur quelconque peut avoir des racines qui ne sont pas des valeurs propres, contrairement au polynôme minimal.
Pour l'identité en dimension 2, χ = (X − 1)² mais π = X − 1 : Cayley-Hamilton donne un annulateur, pas nécessairement le polynôme minimal.
Si u³ = u, alors X³ − X = X(X−1)(X+1) est scindé à racines simples, donc u est diagonalisable, de spectre contenu dans {−1, 0, 1}, sans avoir eu besoin d'une matrice.
I₂ et [[1,1],[0,1]] ont le même polynôme caractéristique (X−1)², mais ne sont pas semblables, la première étant diagonale et la seconde non diagonalisable : même χ n'entraîne pas semblables.
Toute matrice complexe est trigonalisable, ce qui est faux sur R en général, la rotation d'angle π/2 en est le contre-exemple, cohérent avec le premier exemple.

Techniques du chapitre

Technique 1, reconnaître une relation algébrique pour diagonaliser sans calcul matriciel. Mini-exercice : u vérifie u² = id. X² − 1 = (X−1)(X+1) est scindé à racines simples et annule u, donc u est diagonalisable, de spectre contenu dans {−1, 1}.

Technique 2, comparer dimension du sous-espace propre et multiplicité pour prouver la non-diagonalisabilité. Mini-exercice : M = [[2,1],[0,2]]. χ_M = (X−2)², multiplicité 2, mais M − 2I est de rang 1, donc dim Ker(M−2I) = 1 < 2 : non diagonalisable.

Technique 3, écrire M = λI + N avec N nilpotente pour calculer M^k quand M n'est pas diagonalisable. Mini-exercice : pour M ci-dessus, N = M − 2I vérifie N² = 0, et I, N commutent, donc M^k = 2^k I + k·2^k−1N par le binôme.

Technique 4, tester les diviseurs de χ pour trouver le polynôme minimal. Mini-exercice : pour M = [[1,1],[0,1]], χ = (X−1)². Comme M − I ≠ 0, X−1 n'annule pas M, donc π_M = (X−1)².

Technique 5, utiliser la commutation pour réduire simultanément deux endomorphismes. Mini-exercice : si u a n valeurs propres distinctes et si uv = vu, chaque droite propre de u est stable par v, donc v agit comme un scalaire sur chacune : v est automatiquement diagonal dans la même base que u.

Technique 6, trigonaliser sur C pour étudier une limite de puissances. Mini-exercice : si toutes les valeurs propres de M ∈ M_n(C) sont de module strictement inférieur à 1, alors M^k tend vers 0. La forme triangulaire donne des termes en produit d'une puissance k et d'un facteur géométrique dominant, qui tend vers 0.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Diagonaliser M = [[1,2],[2,1]] dans M₂(R)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique calcul direct de χ, résolution des deux systèmes propres.

Voir le corrigé

χ_M(X) = (X−1)² − 4 = (X−3)(X+1), racines 3 et −1, simples.
Pour λ = 3, (M−3I)X = 0 donne −2x+2y = 0, vecteur propre (1,1).
Pour λ = −1, (M+I)X = 0 donne 2x+2y = 0, vecteur propre (1,−1).
M = PDP⁻¹ avec P = [[1,1],[1,−1]] et D = diag(3, −1).

piège : Oublier que deux valeurs propres distinctes garantissent automatiquement l'indépendance des vecteurs propres associés, ou se tromper de signe en résolvant un des deux systèmes.

Exercice 2

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que M = [[0,1,0],[0,0,1],[0,0,0]] est nilpotente et donner son indice de nilpotence.

Technique matrice triangulaire à diagonale nulle, calcul direct des puissances.

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χ_M = X³, car M est triangulaire supérieure de diagonale nulle : M est nilpotente, seule valeur propre 0.
M² a pour seul coefficient non nul un 1 en position (1,3).
M³ = 0.
L'indice de nilpotence vaut 3, la valeur maximale possible en dimension 3.

piège : Confondre l'indice de nilpotence, qui peut être strictement inférieur à n, et la multiplicité de la valeur propre 0, toujours égale à n pour une matrice nilpotente.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u dans L(E) tel que u² − 3u + 2id = 0. Montrer que u est diagonalisable et préciser son spectre possible.

Technique critère du polynôme annulateur scindé à racines simples.

Voir le corrigé

X² − 3X + 2 = (X−1)(X−2) annule u.
Ce polynôme est scindé à racines simples, donc u est diagonalisable.
Le spectre de u est contenu dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur, donc Sp(u) ⊂ {1, 2}.
Selon E, u peut être l'identité, l'homothétie de rapport 2, ou avoir les deux valeurs propres à la fois.

piège : Conclure que 1 et 2 sont nécessairement toutes deux valeurs propres, alors que seule l'inclusion du spectre est garantie.

Exercice 4. Soit M = [[2,1],[0,2]]. M est-elle diagonalisable ? Calculer M^k pour k ≥ 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique comparaison dimension et multiplicité, puis binôme sur λI + N.

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χ_M = (X−2)², valeur propre 2 de multiplicité 2.
M − 2I est de rang 1, donc dim Ker(M−2I) = 1 < 2 : M n'est pas diagonalisable.
On écrit M = 2I + N avec N = [[0,1],[0,0]], nilpotente d'indice 2. Comme 2I et N commutent, le binôme donne M^k = Σ des C(k,j)(2I)^k−jN^j, seuls j = 0 et j = 1 étant non nuls.
M^k = 2^k I + k·2^k−1N = [[2^k, k·2^k−1],[0, 2^k]].

piège : Appliquer la formule M^k = PD^kP⁻¹ alors que M n'est pas diagonalisable.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u endomorphisme de R³ tel que u³ = u. Montrer que u est diagonalisable et décrire sa nature géométrique.

Technique critère du polynôme annulateur, lemme des noyaux.

Voir le corrigé

X³ − X = X(X−1)(X+1) annule u, scindé à racines simples : u est diagonalisable, Sp(u) ⊂ {−1, 0, 1}.
R³ est somme directe de Ker u, Ker(u−id) et Ker(u+id).
Sur Ker u, u annule. Sur Ker(u−id), u agit comme l'identité. Sur Ker(u+id), u agit comme moins l'identité.
Selon les dimensions respectives de ces trois sous-espaces, u est une projection, une symétrie, ou une combinaison des deux.

piège : Croire que les trois valeurs −1, 0, 1 sont nécessairement toutes des valeurs propres effectives.

Exercice 6. Soit M = [[0,−1],[1,0]], étudier sa diagonalisabilité dans M₂(R) puis dans M₂(C)

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Technique comparer le corps de base à l'ensemble des racines de χ.

Voir le corrigé

χ_M(X) = X² + 1, sans racine réelle : sur R, M n'est ni diagonalisable ni trigonalisable, son spectre réel est vide.
Sur C, X² + 1 = (X−i)(X+i), racines simples : M est diagonalisable sur C.
Pour i, (M − iI)X = 0 donne le vecteur propre (1, −i). Pour −i, par conjugaison, (1, i).
M est la matrice d'une rotation d'angle π/2 dans le plan euclidien, jamais diagonalisable sur R car une rotation non triviale n'a pas de droite invariante réelle.

piège : Chercher à diagonaliser M sur R sans remarquer d'abord que χ_M n'a pas de racine réelle, ce qui règle immédiatement la question.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP ou e3a

Soit M = [[1,1,1],[0,1,1],[0,0,1]]. Déterminer le polynôme minimal de M et calculer M^k pour k ≥ 1.

Technique nilpotence de M − I, binôme de Newton.

Voir le corrigé

χ_M = (X−1)³, matrice triangulaire de diagonale 1.
N = M − I vérifie N² ≠ 0 et N³ = 0 : N est nilpotente d'indice 3, donc π_M = (X−1)³, aucun diviseur strict n'annulant M.
M = I + N, avec I et N qui commutent, donc M^k = I + kN + C(k,2)N².
Avec N de coefficients (1,2) et (1,3) et (2,3) égaux à 1, et N² de seul coefficient non nul (1,3) égal à 1, on obtient M^k avec en position (1,2) le terme k, en position (2,3) le terme k, et en position (1,3) le terme k(k+1)/2.
Résultat : M^k = [[1, k, k(k+1)/2],[0,1,k],[0,0,1]].

piège : Oublier le terme en N², non nul ici contrairement à des exemples de taille 2, ce qui fausse le coefficient en position (1,3).

Exercice 8

Approfondissement · Type écrit Centrale ou Mines, plus délicat

Soit u dans L(E), E de dimension finie, tel que u soit à la fois diagonalisable et nilpotent. Montrer que u = 0.

Technique combiner les deux caractérisations par le polynôme minimal.

Voir le corrigé

u nilpotent signifie u^p = 0 pour un entier p, donc π_u divise X^p, donc π_u est de la forme X^q pour un certain q.
u diagonalisable signifie que π_u est scindé à racines simples.
Le seul polynôme de la forme X^q scindé à racines simples est X lui-même, car pour q ≥ 2, la racine 0 aurait une multiplicité au moins 2.
Donc π_u = X, ce qui équivaut exactement à u = 0.

piège : Croire qu'un endomorphisme nilpotent non nul pourrait rester diagonalisable dans des cas particuliers, alors que la forme du polynôme minimal l'exclut toujours.

Erreurs fréquentes

Croire que dim E_λ égale toujours la multiplicité m_λ, alors que seule l'inégalité 1 ≤ dim E_λ ≤ m_λ est garantie.
Utiliser un polynôme annulateur quelconque pour lire le spectre exact, alors que seules les racines du polynôme minimal sont exactement les valeurs propres.
Croire que deux matrices ayant le même polynôme caractéristique sont semblables.
Appliquer la formule M^k = PD^kP⁻¹ à une matrice qui n'est pas diagonalisable.
Confondre trigonalisable et diagonalisable, en oubliant que sur C tout endomorphisme est trigonalisable sans être nécessairement diagonalisable.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP, section « Réduction des endomorphismes et des matrices carrées », paragraphes b à j. Les compléments d'algèbre linéaire, sommes directes, matrices par blocs, sous-espaces stables et polynômes d'endomorphismes, font l'objet de la fiche précédente et sont supposés acquis.

Réduction des endomorphismes

Résumé en cinq points

1Éléments propres

1.1Définitions

1.2Indépendance et finitude

1.3Commutation

2Polynôme caractéristique

2.1Définition et propriétés

2.2Multiplicité

3Diagonalisation

3.1Définition et critères

3.2Pratique

4Trigonalisation

5Endomorphismes nilpotents

6Polynômes annulateurs et réduction

6.1Polynôme minimal

6.2Lemme des noyaux

6.3Critères par les polynômes annulateurs

6.4Théorème de Cayley-Hamilton

6.5Sous-espaces caractéristiques

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Diagonaliser M = [[1,2],[2,1]] dans M₂(R)

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4. Soit M = [[2,1],[0,2]]. M est-elle diagonalisable ? Calculer Mk pour k ≥ 1

Exercice 5

Exercice 6. Soit M = [[0,−1],[1,0]], étudier sa diagonalisabilité dans M₂(R) puis dans M₂(C)

Exercice 7

Exercice 8

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 4. Soit M = [[2,1],[0,2]]. M est-elle diagonalisable ? Calculer M^k pour k ≥ 1