Le cours

Résumé en cinq points

Une somme de $p$ sous-espaces est directe si et seulement si la décomposition du vecteur nul est unique, ce qui équivaut en dimension finie à l'égalité entre la dimension de la somme et la somme des dimensions.
Une décomposition en somme directe se lit sur une base adaptée, et donne une matrice diagonale par blocs quand les facteurs sont stables.
Un sous-espace $F$ est stable par $u$ quand $u(F) \subset F$ , ce qui se traduit par une matrice triangulaire par blocs. Le noyau et l'image de tout polynôme en $u$ sont stables par $u$ .
L'application $P \mapsto P(u)$ est un morphisme d'algèbres de $\K[X]$ dans $\mathcal{L}(E)$ , d'image la sous-algèbre commutative $\K[u]$ et de noyau l'idéal annulateur de $u$ .
Le lemme des noyaux transforme une factorisation en facteurs premiers entre eux d'un polynôme annulateur en une décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces stables.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre est la boîte à outils de toute l'algèbre linéaire de deuxième année. Il installe quatre techniques.

Décomposer un espace en somme directe de plusieurs sous-espaces, ce qui revient à découper un endomorphisme en morceaux plus simples.
Écrire une matrice par blocs, qui est la traduction matricielle de ce découpage.
Repérer les sous-espaces stables, qui sont les seuls sous-espaces sur lesquels un endomorphisme se restreint.
Faire agir des polynômes sur un endomorphisme, ce qui transporte l'arithmétique de $\K[X]$ dans $\mathcal{L}(E)$ .

Le chapitre sur la réduction est l'application de ces quatre outils. Aux concours, ils apparaissent dès la première question d'un problème d'algèbre, souvent sans être nommés. Dans toute la fiche, $\K$ est un sous-corps de $\C$ , en pratique $\R$ ou $\C$ , et $E$ est un $\K$ -espace vectoriel. On précise « de dimension finie » quand c'est nécessaire.

1Sommes directes de plusieurs sous-espaces

1.1Définitions

Définition 1.1Somme de sous-espaces

Soient $F_1, \dots, F_p$ des sous-espaces vectoriels de $E$ . Leur somme est l'ensemble $F_1 + \dots + F_p$ des vecteurs $x_1 + \dots + x_p$ avec $x_i \in F_i$ . C'est un sous-espace de $E$ , le plus petit contenant tous les $F_i$ .

Définition 1.2Somme directe

La somme est dite directe si tout vecteur de la somme s'écrit d'une seule façon $x_1 + \dots + x_p$ avec $x_i \in F_i$ . On note alors $F_1 \oplus \dots \oplus F_p$ .

Propriété 1.3Critère par le vecteur nul

La somme est directe si et seulement si la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale : si $x_1 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i \in F_i$ , alors tous les $x_i$ sont nuls.

Attention

Pour $p \geqslant 3$ , il ne suffit pas que les $F_i$ soient deux à deux d'intersection nulle. Trois droites distinctes d'un même plan vérifient cette condition et leur somme n'est pas directe : la somme est le plan, de dimension 2, alors que la somme des dimensions vaut 3. Le critère par intersections n'est valable que pour $p = 2$ , où la somme est directe si et seulement si $F_1 \cap F_2 = \{0\}$ .

1.2Dimension et base adaptée

Propriété 1.4Dimension d'une somme

Hypothèse

les $F_i$ sont de dimension finie.

Alors $\dim(F_1 + \dots + F_p) \leqslant \sum_{i=1}^{p} \dim F_i,$ avec égalité si et seulement si la somme est directe.

Soit $\mathcal{B}_i$ une base de $F_i$ pour chaque $i$ . La famille obtenue en concaténant $\mathcal{B}_1, \dots, \mathcal{B}_p$ engendre toujours la somme. Elle en est une base si et seulement si la somme est directe. Une telle base s'appelle une base adaptée à la décomposition.

Propriété 1.5Cas d'égalité des dimensions

Hypothèses

$E$ est de dimension finie $n$ ;
$\dim F_1 + \dots + \dim F_p = n$ .

Alors « la somme est directe » et « la somme vaut $E$ » sont équivalentes. On n'a donc qu'une seule des deux à prouver.

1.3Recollement d'applications linéaires

Théorème 1.6Recollement

Hypothèses

$E = E_1 \oplus \dots \oplus E_p$ ;
pour chaque $i$ , $u_i$ est une application linéaire de $E_i$ dans $F$ .

Alors il existe une unique application linéaire $u$ de $E$ dans $F$ telle que la restriction de $u$ à $E_i$ soit $u_i$ pour tout $i$ .

Démonstration

L'unicité vient de ce que tout $x$ s'écrit $x_1 + \dots + x_p$ , ce qui force $u(x) = u_1(x_1) + \dots + u_p(x_p).$ L'existence vient de ce que cette formule définit bien une application, grâce à l'unicité de la décomposition, et que cette application est linéaire.

C'est ce théorème qui autorise à définir un endomorphisme « morceau par morceau », par exemple en imposant qu'il vaille l'identité sur un sous-espace et zéro sur un supplémentaire.

1.4Projecteurs associés à une décomposition

Définition 1.7Projecteur

Un projecteur de $E$ est un endomorphisme $p$ tel que $p \circ p = p$ .

Propriété 1.8Structure d'un projecteur

Si $p$ est un projecteur, alors $E = \Ker p \oplus \Im p$ , et $p$ est la projection sur $\Im p$ parallèlement à $\Ker p$ . De plus $\Im p = \Ker(p - \mathrm{id})$ : c'est l'ensemble des vecteurs fixes de $p$ .

Attention

L'égalité $E = \Ker u \oplus \Im u$ est fausse pour un endomorphisme quelconque, même en dimension finie où les dimensions sont pourtant compatibles. Contre-exemple : $u(x, y) = (y, 0)$ sur $\K^2$ , dont le noyau et l'image sont la même droite.

Soit maintenant $E = E_1 \oplus \dots \oplus E_p$ . Pour chaque $i$ , on note $p_i$ la projection sur $E_i$ parallèlement à la somme des $E_j$ pour $j \neq i$ .

Propriété 1.9Projecteurs associés

Les projecteurs $p_i$ vérifient :

$p_i \circ p_i = p_i$ ;
$p_i \circ p_j = 0$ pour $i \neq j$ ;
$p_1 + \dots + p_p = \mathrm{id}_E$ .

Réciproquement, une famille de projecteurs de somme égale à l'identité fournit une décomposition de $E$ en somme directe des images.

C'est un exercice classique, dont l'argument commode en dimension finie passe par la trace.

2Trace, rappel de première année

Définition 2.1Trace

La trace d'une matrice carrée $A$ est la somme de ses coefficients diagonaux.

Propriété 2.2Propriétés de la trace

L'application trace est linéaire, et $\tr(AB) = \tr(BA)$ pour toutes matrices $A$ et $B$ de tailles compatibles. Deux matrices semblables ont même trace, car $\tr(P^{-1}AP) = \tr(APP^{-1}) = \tr(A).$ On définit donc la trace d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie comme la trace de sa matrice dans une base quelconque.

Propriété 2.3Trace d'un projecteur

La trace d'un projecteur est égale à son rang.

Démonstration

Dans une base adaptée à $E = \Im p \oplus \Ker p$ , la matrice de $p$ est diagonale, avec $r$ coefficients égaux à 1 et les autres nuls, où $r = \rg p$ .

Attention

$\tr(ABC)$ n'est pas égale à $\tr(ACB)$ en général. Seule la permutation circulaire est permise.

3Matrices par blocs

3.1Écriture et opérations

Une matrice par blocs est une matrice découpée en sous-matrices par un découpage des lignes et un découpage des colonnes. L'intérêt est géométrique : si $E = F \oplus G$ et si on choisit une base adaptée, la matrice d'un endomorphisme se lit en quatre blocs, chacun décrivant une composante de l'action de $u$ .

Les opérations se font bloc par bloc, à condition que les découpages soient compatibles.

La somme et la multiplication par un scalaire sont immédiates.
Le produit obéit à la même formule que le produit ordinaire, en remplaçant les coefficients par les blocs, à condition que le découpage des colonnes du premier facteur soit celui des lignes du second. La démonstration de cette règle n'est pas exigible.
Pour la transposition, on transpose la disposition des blocs et chacun des blocs.

Attention

Les blocs sont des matrices, elles ne commutent pas : on ne peut jamais échanger deux blocs dans un produit.

3.2Déterminant

Théorème 3.1Déterminant triangulaire par blocs

Hypothèses

la matrice a deux blocs diagonaux $A$ et $D$ carrés ;
le bloc situé en dessous ou au-dessus de la diagonale est nul.

Alors son déterminant vaut $\det(A)\det(D)$ . Le résultat s'étend par récurrence à un nombre quelconque de blocs diagonaux.

Attention

Pour une matrice à quatre blocs $A, B, C, D$ tous non nuls, le déterminant ne vaut pas $\det(A)\det(D) - \det(B)\det(C).$ Cette formule est fausse en général. Elle n'est correcte que sous des hypothèses de commutation, hors programme.

Une opération utile est la transvection par blocs : ajouter à un bloc-ligne un multiple à gauche ou à droite d'un autre bloc-ligne. Comme pour les transvections ordinaires, elle ne change pas le déterminant. C'est le moyen standard de faire apparaître un bloc nul pour appliquer le théorème précédent.

4Sous-espaces stables

4.1Définition et traduction matricielle

Définition 4.1Sous-espace stable

Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$ . On dit que $F$ est stable par $u$ si $u(F) \subset F$ . La restriction de $u$ à $F$ , vue comme application de $F$ dans $F$ , est alors un endomorphisme de $F$ appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ , souvent noté $u_F$ .

Propriété 4.2Traduction matricielle

Hypothèse

$E$ est de dimension finie.

Alors, si $F$ est stable par $u$ et si on complète une base de $F$ en une base de $E$ , la matrice de $u$ dans cette base est triangulaire par blocs, avec en haut à gauche la matrice de l'endomorphisme induit. Si de plus $E = F \oplus G$ avec $F$ et $G$ tous deux stables, la matrice est diagonale par blocs. Réciproquement, une matrice diagonale par blocs traduit une décomposition de $E$ en somme directe de sous-espaces stables.

C'est exactement le programme du chapitre suivant : diagonaliser, c'est trouver une décomposition en somme directe de droites stables.

4.2Exemples et commutation

Les sous-espaces toujours stables sont $\{0\}$ , $E$ , $\Ker u$ et $\Im u$ . Une droite $\K x$ avec $x$ non nul est stable par $u$ si et seulement s'il existe un scalaire $\lambda$ tel que $u(x) = \lambda x$ , ce qui est l'équation aux éléments propres.

Théorème 4.3Commutation

Si $u$ et $v$ commutent, alors $\Ker u$ et $\Im u$ sont stables par $v$ .

Démonstration

Pour le noyau : si $u(x) = 0$ alors $u(v(x)) = v(u(x)) = v(0) = 0.$ Pour l'image : si $y = u(x)$ alors $v(y) = v(u(x)) = u(v(x)) \in \Im u.$

Conséquence : pour tout polynôme $P$ , les sous-espaces $\Ker P(u)$ et $\Im P(u)$ sont stables par $u$ , puisque $u$ commute avec $P(u)$ .

5Polynômes d'un endomorphisme

5.1L'algèbre K[u]

Définition 5.1Polynôme d'un endomorphisme

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ et $P = a_0 + a_1X + \dots + a_nX^n$ dans $\K[X]$ , on pose $P(u) = a_0\,\mathrm{id}_E + a_1u + \dots + a_nu^n,$ avec la convention $u^0 = \mathrm{id}_E$ .

Théorème 5.2Morphisme d'algèbres

L'application qui à $P$ associe $P(u)$ est un morphisme d'algèbres de $\K[X]$ dans $\mathcal{L}(E)$ . En particulier $(PQ)(u) = P(u) \circ Q(u)$ . Comme $\K[X]$ est commutative, $P(u)$ et $Q(u)$ commutent toujours entre elles, et commutent avec $u$ .

L'image de ce morphisme est notée $\K[u]$ : c'est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(E)$ , constituée de tous les polynômes en $u$ . Son noyau est l'ensemble des polynômes $P$ tels que $P(u) = 0$ , appelés polynômes annulateurs de $u$ . C'est un idéal de $\K[X]$ , appelé idéal annulateur de $u$ .

La traduction matricielle est identique, en remplaçant $u$ par une matrice carrée $M$ et $\mathrm{id}_E$ par la matrice identité.

Attention

La formule du binôme s'applique à $(u + v)^n$ seulement si $u$ et $v$ commutent. Elle s'applique donc toujours à $u$ et à un polynôme en $u$ , ce qui est le cas usuel quand on écrit une matrice sous la forme $\lambda I + N$ avec $N$ nilpotente.

5.2Lemme de décomposition des noyaux

Théorème 5.3Lemme de décomposition des noyaux

Hypothèses

$P_1, \dots, P_r$ sont des polynômes de $\K[X]$ deux à deux premiers entre eux ;
$P$ est leur produit ;
$u \in \mathcal{L}(E)$ .

Alors $\Ker P(u) = \bigoplus_{i=1}^{r} \Ker P_i(u).$

Démonstration

Cas $r = 2$ . Comme $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre eux, Bézout donne des polynômes $U$ et $V$ tels que $UP_1 + VP_2 = 1$ . En évaluant en $u$ puis en appliquant à un vecteur $x$ de $\Ker P(u)$ , on obtient $x = U(u)P_1(u)(x) + V(u)P_2(u)(x).$ Le premier terme est dans $\Ker P_2(u)$ , le second dans $\Ker P_1(u)$ . D'où la somme. Pour la directivité, si $x$ appartient aux deux noyaux, la même égalité donne $x = 0$ . Le cas général s'obtient par récurrence, en remarquant que $P_1$ est premier avec le produit des autres.

Chaque noyau $\Ker P_i(u)$ est stable par $u$ . Ce lemme est une machine à découper $E$ en sous-espaces stables, et c'est l'outil central de la réduction par les polynômes annulateurs. Le polynôme minimal, générateur unitaire de l'idéal annulateur, est étudié dans le chapitre de réduction.

Exemple 5.4Symétries et projecteurs

Si $u^2 = \mathrm{id}$ , alors $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ annule $u$ et ses deux facteurs sont premiers entre eux, donc $E = \Ker(u - \mathrm{id}) \oplus \Ker(u + \mathrm{id}).$ Autrement dit $u$ est une symétrie.
De même $u^2 = u$ donne $E = \Ker u \oplus \Ker(u - \mathrm{id})$ , ce qui redonne le résultat sur les projecteurs.

6Interpolation de Lagrange, rappel de première année

Définition 6.1Polynômes de Lagrange

Soient $a_0, \dots, a_n$ des scalaires deux à deux distincts. On pose, pour chaque $i$ , $L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - a_j}{a_i - a_j}.$ Chaque $L_i$ est de degré $n$ et vérifie $L_i(a_i) = 1$ et $L_i(a_j) = 0$ pour $j \neq i$ .

Propriété 6.2Interpolation

La famille des $L_i$ est une base de $\K_n[X]$ , l'espace des polynômes de degré au plus $n$ . Pour tous scalaires $b_0, \dots, b_n$ , il existe un unique polynôme $P$ de $\K_n[X]$ tel que $P(a_i) = b_i$ pour tout $i$ , à savoir $P = b_0L_0 + \dots + b_nL_n.$ De façon équivalente, l'application qui à $P$ associe le vecteur de ses valeurs aux $a_i$ est un isomorphisme de $\K_n[X]$ sur $\K^{n+1}$ .

Cette base est l'exemple type d'une décomposition en somme directe de droites, ici les droites engendrées par les $L_i$ . Elle sert aussi à construire des polynômes vérifiant des conditions imposées, ce qui est fréquent dans les exercices sur les polynômes annulateurs.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une somme de $p$ sous-espaces est directe

Partir de $x_1 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i \in F_i$ .
Montrer que chaque $x_i$ est nul.
Ne jamais se contenter des intersections deux à deux quand $p \geqslant 3$ .

MéthodeMontrer que $E$ est somme directe des $F_i$ en dimension finie

Prouver l'une des deux propriétés « somme directe » ou « somme égale à $E$ ».
Conclure avec le comptage des dimensions.

MéthodeExploiter une décomposition

Choisir une base adaptée.
La matrice devient diagonale ou triangulaire par blocs et tout se lit dessus.

MéthodeCalculer un déterminant par blocs

Faire des transvections par blocs jusqu'à obtenir une forme triangulaire par blocs.
Multiplier les déterminants des blocs diagonaux.

MéthodeTrouver des sous-espaces stables par $u$

Chercher les noyaux et les images de polynômes en $u$ .
Chercher les sous-espaces propres, une fois le chapitre suivant en main.

MéthodeDécouper un endomorphisme

Chercher un polynôme annulateur.
Le factoriser en facteurs deux à deux premiers entre eux.
Appliquer le lemme des noyaux.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner un exemple de trois sous-espaces d'intersections deux à deux nulles dont la somme n'est pas directe.
Démontrer l'inégalité sur la dimension d'une somme et son cas d'égalité.
Montrer que $p \circ p = p$ entraîne $E = \Ker p \oplus \Im p$ , et identifier la projection correspondante.
Démontrer que la trace d'un projecteur est son rang.
Calculer le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, et savoir dire pourquoi la formule $\det(A)\det(D) - \det(B)\det(C)$ est fausse.
Traduire la stabilité d'un sous-espace par une matrice triangulaire par blocs dans une base adaptée.
Montrer que $\Ker P(u)$ et $\Im P(u)$ sont stables par $u$ .
Démontrer le lemme de décomposition des noyaux pour deux facteurs, et l'appliquer à $u^2 = \mathrm{id}$ et à $u^2 = u$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Somme directe de p sous-espaces, critère : la seule décomposition du vecteur nul est triviale. Pour F₁, …, F_p de dimension finie, dim(F₁ + … + F_p) ≤ Σ dim F_i, avec égalité si et seulement si la somme est directe. Exigible avec démonstration. Base adaptée. Exigible.
Recollement : si E = E₁ ⊕ … ⊕ E_p et u_i ∈ L(E_i, F), il existe une unique u ∈ L(E, F) de restriction u_i à chaque E_i. Exigible avec démonstration.
Projecteurs associés à une décomposition : p_i ∘ p_i = p_i, p_i ∘ p_j = 0 pour i ≠ j, Σ p_i = id_E. Exigible.
Pour un projecteur p, E = Ker p ⊕ Im p et Im p = Ker(p − id). Résultat de première année, exigible avec démonstration.
Trace : linéarité, tr(AB) = tr(BA), invariance par similitude, trace d'un endomorphisme, trace d'un projecteur égale à son rang. Exigibles, démonstration attendue pour le projecteur.
Opérations par blocs de tailles compatibles, démonstration du produit par blocs non exigible. Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs égal au produit des déterminants des blocs diagonaux, invariance du déterminant par transvection par blocs. Exigibles.
Sous-espace stable, endomorphisme induit, traduction par une matrice triangulaire par blocs dans une base adaptée. Exigible.
Si u et v commutent, Ker u et Im u sont stables par v. Exigible avec démonstration.
P ↦ P(u) est un morphisme d'algèbres, K[u] est commutative, l'ensemble des polynômes annulateurs est un idéal. Exigible.
Lemme de décomposition des noyaux. Exigible avec démonstration pour deux facteurs, extension par récurrence.
Interpolation de Lagrange, rappel de première année. Exigible.
Hors programme : formule du déterminant par blocs avec commutation, complément de Schur en tant que théorème, polynôme minimal et théorème de Cayley-Hamilton, qui relèvent du chapitre de réduction.

Clés de démonstration

Dimension d'une somme. On concatène des bases B_i des F_i. La famille obtenue engendre la somme, donc dim(Σ F_i) ≤ Σ dim F_i. Elle est libre si et seulement si toute relation Σ x_i = 0 avec x_i ∈ F_i est triviale, ce qui est la définition de la somme directe. Astuce : une famille génératrice de cardinal égal à la dimension est une base.

Recollement. Unicité : tout x s'écrit x₁ + … + x_p, donc u(x) = u₁(x₁) + … + u_p(x_p) est imposé. Existence : cette formule définit une application grâce à l'unicité de la décomposition, et sa linéarité vient de celle des u_i et de la linéarité des projections. Astuce : le mot clé est l'unicité de la décomposition, sans elle la formule est ambiguë.

Trace d'un projecteur. Dans une base adaptée à E = Im p ⊕ Ker p, la matrice de p est diagonale avec r coefficients 1 et n − r coefficients 0, où r = rg p. Sa trace vaut r, et la trace ne dépend pas de la base. Astuce : dès qu'un endomorphisme a une base adaptée, calculer sa trace dans cette base.

Stabilité par commutation. Si u(x) = 0 alors u(v(x)) = v(u(x)) = 0, donc v(x) ∈ Ker u. Si y = u(x) alors v(y) = u(v(x)) ∈ Im u. Astuce : faire passer v de l'autre côté de u, c'est tout ce que dit la commutation.

Lemme des noyaux, deux facteurs. Bézout donne U P₁ + V P₂ = 1. On évalue en u et on applique à x ∈ Ker P(u) : x = U(u)P₁(u)(x) + V(u)P₂(u)(x). Le premier terme est tué par P₂(u), car P₂(u)U(u)P₁(u)(x) = U(u)P(u)(x) = 0, donc appartient à Ker P₂(u). Le second est dans Ker P₁(u). Pour la directivité, si x est dans les deux noyaux, la même égalité donne x = 0. Astuce : Bézout évalué en u est une partition de l'identité, on l'applique au vecteur.

Exemples et contre-exemples à connaître

Trois droites distinctes d'un même plan ont des intersections deux à deux nulles, et leur somme n'est pas directe. Le critère des intersections deux à deux ne vaut que pour deux sous-espaces.
u(x, y) = (y, 0) sur K² vérifie Ker u = Im u = la droite des (x, 0). L'égalité E = Ker u ⊕ Im u est spécifique aux projecteurs, pas aux endomorphismes quelconques.
La matrice à quatre blocs d'ordre 2, avec A = D = 0 et B = C = I₂, a pour déterminant 1, alors que det A det D − det B det C vaut −1. La formule naïve est fausse.
tr(E₁₂ E₂₁ E₁₁) = tr(E₁₁) = 1 tandis que tr(E₁₂ E₁₁ E₂₁) = 0. Seule la permutation circulaire conserve la trace.
Une rotation du plan réel d'angle non multiple de π n'a aucune droite stable. Ses seuls sous-espaces stables sont {0} et R².
(u + v)² = u² + uv + vu + v². La formule du binôme demande la commutation, disponible entre u et tout polynôme en u.
Par trois points d'abscisses distinctes passe un unique polynôme de degré au plus 2, mais en général aucun de degré au plus 1. Le nombre de contraintes doit égaler la dimension de l'espace de recherche.

Techniques du chapitre

Technique 1 : somme directe de trois sous-espaces par la décomposition du vecteur nul. Mini-exercice : dans K³, F₁ = Vect(e₁), F₂ = Vect(e₂), F₃ = Vect(e₁ + e₂ + e₃). Si a e₁ + b e₂ + c(e₁ + e₂ + e₃) = 0, la troisième coordonnée donne c = 0, puis a = b = 0. La somme est directe, de dimension 3, donc égale à K³.

Technique 2 : transvection par blocs pour un déterminant. Mini-exercice : M à quatre blocs A, B, C, D avec A inversible. L'opération L₂ ← L₂ − CA⁻¹ L₁ donne la matrice triangulaire par blocs de blocs diagonaux A et D − CA⁻¹B, donc det M = det A × det(D − CA⁻¹B). Avec A = I, det M = det(D − CB).

Technique 3 : trouver des sous-espaces stables. Mini-exercice : si v commute avec u, alors Ker(u − λ id) est stable par v pour tout scalaire λ, car v commute aussi avec u − λ id. Ce sont les sous-espaces propres du chapitre suivant.

Technique 4 : découper E avec un polynôme annulateur. Mini-exercice : si u³ = u, alors X³ − X = X(X − 1)(X + 1) annule u, ses trois facteurs sont deux à deux premiers entre eux, donc E = Ker u ⊕ Ker(u − id) ⊕ Ker(u + id).

Technique 5 : construire un polynôme par Lagrange. Mini-exercice : polynôme P de degré au plus 2 tel que P(0) = 1, P(1) = 0, P(2) = 0. C'est L₀ = (X − 1)(X − 2)/((0 − 1)(0 − 2)) = (X − 1)(X − 2)/2.

Technique 6 : utiliser tr(AB) = tr(BA) comme obstruction. Mini-exercice : il n'existe pas de matrices A et B de M_n(K) telles que AB − BA = I_n, car la trace du membre de gauche est nulle et celle du membre de droite vaut n ≠ 0.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Famille de projecteurs de somme identité

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient p₁, …, p_r des projecteurs de E, de dimension finie n, tels que p₁ + … + p_r = id_E. Montrer que E = Im p₁ ⊕ … ⊕ Im p_r, puis que p_i ∘ p_j = 0 pour i ≠ j.

Technique argument de trace pour obtenir l'égalité des dimensions.

Voir le corrigé

Pour tout x, x = p₁(x) + … + p_r(x), donc E = Im p₁ + … + Im p_r.
En prenant la trace de l'hypothèse : Σ tr p_i = n, et tr p_i = rg p_i = dim Im p_i. Donc Σ dim Im p_i = n = dim E.
La somme des Im p_i est E, de dimension n, et la somme des dimensions vaut n. Le cas d'égalité de l'inégalité de dimension donne que la somme est directe.
Pour x ∈ E et j fixé, p_j(x) = Σ_i p_i(p_j(x)) est une décomposition de p_j(x) dans la somme directe, et p_j(x) = p_j(x) + 0 + … + 0 en est une autre. Par unicité, p_i(p_j(x)) = 0 pour i ≠ j.

piège : Dire « les images sont en somme directe car les p_i sont des projecteurs ». Sans l'hypothèse de somme égale à l'identité c'est faux, et c'est la trace qui donne le comptage.

Exercice 2. Endomorphisme de carré nul en dimension 2

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u un endomorphisme non nul d'un espace E de dimension 2 tel que u² = 0. Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u a un seul coefficient non nul, égal à 1, en position (2, 1).

Technique choisir un vecteur non tué par u et montrer que (x, u(x)) est une base.

Voir le corrigé

Comme u ≠ 0, il existe x avec u(x) ≠ 0.
Si a x + b u(x) = 0, on applique u : a u(x) + b u²(x) = a u(x) = 0, donc a = 0, puis b = 0. La famille (x, u(x)) est libre, donc c'est une base.
Dans cette base, u(x) = 0 · x + 1 · u(x) et u(u(x)) = 0. La matrice a pour seule entrée non nulle un 1 en position (2, 1).
En particulier Im u = Ker u = Vect(u(x)), de dimension 1.

piège : Chercher une base de vecteurs propres. Un tel u n'est pas diagonalisable, et la bonne base est construite à partir de u lui-même.

Exercice 3. Commutant d'une matrice diagonale à coefficients distincts

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit D = diag(d₁, …, d_n) avec les d_i deux à deux distincts. Déterminer l'ensemble des matrices M telles que DM = MD.

Technique calcul coefficient par coefficient.

Voir le corrigé

Le coefficient (i, j) de DM vaut d_i m_ij, celui de MD vaut m_ij d_j.
DM = MD équivaut à (d_i − d_j) m_ij = 0 pour tous i, j, donc à m_ij = 0 pour i ≠ j.
Le commutant de D est l'ensemble des matrices diagonales, sous-espace de dimension n. C'est aussi K[D] : toute matrice diag(b₁, …, b_n) s'écrit P(D), avec P le polynôme interpolateur de Lagrange qui envoie chaque d_i sur b_i.

piège : Traiter le cas où deux d_i sont égaux comme si le résultat restait vrai. Si d₁ = d₂, toute matrice agissant sur les deux premières coordonnées commute avec D.

Exercice 4. Décomposition pour u³ = u

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u ∈ L(E), E de dimension finie, avec u³ = u. Montrer que E = Ker u ⊕ Ker(u − id) ⊕ Ker(u + id), puis exprimer rg u et tr u à l'aide des dimensions de ces noyaux.

Technique lemme des noyaux puis base adaptée.

Voir le corrigé

X³ − X = X(X − 1)(X + 1) annule u et ses facteurs sont deux à deux premiers entre eux, car sans racine commune. Le lemme des noyaux donne la décomposition.
Notons a, b, c les dimensions de Ker u, Ker(u − id), Ker(u + id). Dans une base adaptée, la matrice de u est diag(0, …, 0, 1, …, 1, −1, …, −1) avec a zéros, b uns et c moins uns.
On lit rg u = b + c et tr u = b − c. Et det u = 0 dès que a ≥ 1.

piège : Affirmer E = Ker u ⊕ Im u sans justification. Ici c'est vrai parce que Im u = Ker(u − id) ⊕ Ker(u + id), ce qui se lit dans la base adaptée.

Exercice 5. Stabilité par l'inverse

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u un automorphisme de E, de dimension finie, et F un sous-espace stable par u. Montrer que F est stable par u⁻¹. Donner un contre-exemple en dimension infinie.

Technique l'endomorphisme induit est injectif, donc bijectif en dimension finie.

Voir le corrigé

L'endomorphisme induit u_F est injectif comme restriction d'une application injective. F est de dimension finie, donc u_F est bijectif, donc u(F) = F.
Pour y ∈ F, y = u(x) avec x ∈ F, donc u⁻¹(y) = x ∈ F.
Contre-exemple. Sur l'espace E des suites (x_k) indexées par Z, le décalage u défini par (u(x))_k = x_k−1 est un automorphisme, d'inverse (x_k) ↦ (x_k+1). Le sous-espace F des suites nulles pour k < 0 est stable par u, mais la suite de F qui vaut 1 en k = 0 et 0 ailleurs a pour image par u⁻¹ une suite non nulle en k = −1, donc F n'est pas stable par u⁻¹.

piège : Écrire u⁻¹(F) ⊂ F « par passage à l'inverse » dans u(F) ⊂ F. Cette inclusion donne F ⊂ u⁻¹(F), qui est le sens inverse.

Exercice 6. Formes linéaires invariantes par permutation circulaire

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit φ une forme linéaire sur M_n(K) telle que φ(AB) = φ(BA) pour toutes matrices A et B. Montrer que φ est proportionnelle à la trace.

Technique tester φ sur les matrices élémentaires E_ij.

Voir le corrigé

Pour i ≠ j, E_ij = E_ij E_jj et E_jj E_ij = 0. Donc φ(E_ij) = φ(E_ij E_jj) = φ(E_jj E_ij) = 0.
Pour i ≠ j, E_ii = E_ij E_ji et E_ji E_ij = E_jj. Donc φ(E_ii) = φ(E_jj). Notons λ cette valeur commune.
Par linéarité, φ(M) = Σ m_ij φ(E_ij) = λ Σ m_ii = λ tr M.
Réciproquement, tout multiple de la trace vérifie la propriété.

piège : Se tromper dans les produits E_ij E_kl = δ_jk E_il. Les écrire une fois pour toutes avant de calculer.

Exercice 7. Déterminant d'une matrice symétrique par blocs

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soient A et B dans M_n(K) et M la matrice d'ordre 2n formée des blocs A, B sur la première ligne et B, A sur la seconde. Montrer que det M = det(A + B) det(A − B).

Technique opérations par blocs pour atteindre une forme triangulaire par blocs.

Voir le corrigé

On ajoute le second bloc-colonne au premier, ce qui ne change pas le déterminant : les blocs deviennent A + B, B sur la première ligne et A + B, A sur la seconde.
On retranche le premier bloc-ligne au second : blocs A + B, B puis 0, A − B.
La matrice est triangulaire par blocs, donc det M = det(A + B) det(A − B).

piège : Changer l'ordre des facteurs dans un produit de blocs, ou utiliser une opération qui n'est pas une transvection par blocs sans en contrôler l'effet sur le déterminant.

Exercice 8. Interpolation et sommes de polynômes de Lagrange

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soient a₀, …, a_n des scalaires distincts et L₀, …, L_n les polynômes de Lagrange associés. Montrer que Φ : P ↦ (P(a₀), …, P(a_n)) est un isomorphisme de K_n[X] sur Kⁿ⁺¹. En déduire Σ L_i = 1 et, pour 0 ≤ k ≤ n, Σ a_i^k L_i = X^k.

Technique injectivité par les racines, égalité des dimensions, puis unicité de l'interpolateur.

Voir le corrigé

Φ est linéaire. Si Φ(P) = 0, P de degré au plus n admet n + 1 racines distinctes, donc P = 0. Φ est injective.
dim K_n[X] = n + 1 = dim Kⁿ⁺¹, donc Φ est un isomorphisme. Tout vecteur de valeurs (b₀, …, b_n) a un unique antécédent, qui est Σ b_i L_i.
Le polynôme Σ L_i vaut 1 en chaque a_i, comme le polynôme constant 1, de degré au plus n. Par unicité, Σ L_i = 1.
De même Σ a_i^k L_i et X^k coïncident en chaque a_i et sont de degré au plus n pour k ≤ n, donc sont égaux.

piège : Appliquer l'unicité à X^k pour k > n, où X^k n'appartient pas à K_n[X]. L'égalité devient fausse, la somme est alors le reste de X^k dans la division par le produit des (X − a_i).

Exercice 9. Endomorphisme nilpotent d'indice maximal et son commutant

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit E de dimension n et u ∈ L(E) tel que uⁿ = 0 et uⁿ⁻¹ ≠ 0. Montrer qu'il existe x tel que (x, u(x), …, uⁿ⁻¹(x)) soit une base de E. En déduire que les endomorphismes qui commutent avec u sont exactement les polynômes en u.

Technique liberté par application des puissances de u, puis identification sur une base.

Voir le corrigé

On choisit x avec uⁿ⁻¹(x) ≠ 0. Soit une relation Σ de k = 0 à n − 1 de a_k u^k(x) = 0. En appliquant uⁿ⁻¹, seul le terme k = 0 survit : a₀ uⁿ⁻¹(x) = 0, donc a₀ = 0. En appliquant uⁿ⁻² à la relation restante, a₁ = 0, et ainsi de suite. La famille est libre, de cardinal n, c'est une base.
Soit v commutant avec u. On décompose v(x) = Σ a_k u^k(x) dans cette base et on pose P = Σ a_k X^k. Alors v(x) = P(u)(x).
Pour tout j, v(u^j(x)) = u^j(v(x)) = u^j(P(u)(x)) = P(u)(u^j(x)), car u^j et P(u) commutent. Donc v et P(u) coïncident sur une base, v = P(u).
Réciproquement tout polynôme en u commute avec u. Le commutant de u est donc K[u].

piège : Oublier que l'égalité v = P(u) doit être vérifiée sur toute une base, et se contenter de v(x) = P(u)(x).

Erreurs fréquentes

Prouver qu'une somme de trois sous-espaces est directe avec les intersections deux à deux. Il faut la décomposition du vecteur nul ou le comptage des dimensions.
Écrire det d'une matrice à quatre blocs comme det A det D − det B det C. Seules les matrices triangulaires par blocs ont un déterminant qui se factorise.
Appliquer la formule du binôme ou l'identité a² − b² = (a − b)(a + b) à des endomorphismes qui ne commutent pas.
Supposer E = Ker u ⊕ Im u pour un endomorphisme quelconque. C'est vrai pour les projecteurs, et plus généralement quand Ker u ∩ Im u = {0} en dimension finie, jamais sans hypothèse.
Confondre P(u) = 0 avec P = 0, ou parler de l'endomorphisme induit sur un sous-espace sans avoir prouvé sa stabilité.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP, paragraphe « Compléments d'algèbre linéaire » de la section sur la réduction, complété par les paragraphes sur les sous-espaces stables et sur les polynômes d'un endomorphisme. Deux outils vus en MPSI, la trace et l'interpolation de Lagrange, sont rappelés car ils servent constamment ici. Les valeurs propres et la diagonalisation font l'objet du chapitre suivant.

Compléments d'algèbre linéaire

Résumé en cinq points

1Sommes directes de plusieurs sous-espaces

1.1Définitions

1.2Dimension et base adaptée

1.3Recollement d'applications linéaires

1.4Projecteurs associés à une décomposition

2Trace, rappel de première année

3Matrices par blocs

3.1Écriture et opérations

3.2Déterminant

4Sous-espaces stables

4.1Définition et traduction matricielle

4.2Exemples et commutation

5Polynômes d'un endomorphisme

5.1L'algèbre K[u]

5.2Lemme de décomposition des noyaux

6Interpolation de Lagrange, rappel de première année

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Famille de projecteurs de somme identité

Exercice 2. Endomorphisme de carré nul en dimension 2

Exercice 3. Commutant d'une matrice diagonale à coefficients distincts

Exercice 4. Décomposition pour u³ = u

Exercice 5. Stabilité par l'inverse

Exercice 6. Formes linéaires invariantes par permutation circulaire

Exercice 7. Déterminant d'une matrice symétrique par blocs

Exercice 8. Interpolation et sommes de polynômes de Lagrange

Exercice 9. Endomorphisme nilpotent d'indice maximal et son commutant

Erreurs fréquentes

Au concours