Le cours

Résumé en cinq points

Le produit matriciel est bilinéaire et associatif, jamais commutatif dès l'ordre 2, et il admet des diviseurs de zéro.
$AX$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ pondérée par $X$ . Cela donne la compatibilité d'un système et prépare toute l'algèbre linéaire.
Les solutions de $AX = B$ sont une solution particulière plus les solutions du système homogène, la même structure que pour les équations différentielles linéaires.
Les opérations élémentaires sont des multiplications par des matrices inversibles, donc réversibles, ce qui justifie le pivot et fournit un algorithme d'inversion.
Le binôme matriciel exige la commutation. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si sa diagonale ne contient pas de zéro.

Pourquoi ce chapitre

Le programme annonce trois objectifs :

donner une initiation au calcul matriciel ;
préparer l'étude géométrique de l'algèbre linéaire du second semestre ;
revenir sur les systèmes linéaires avec un point de vue plus général que celui de la boîte à outils du début d'année.

Le chapitre est calculatoire. Les notions d'espace vectoriel, d'application linéaire et de rang n'y sont pas encore disponibles. On manipule donc des tableaux de nombres, mais tout sera réinterprété plus tard :

le produit matriciel deviendra la composition d'applications linéaires ;
l'inversibilité deviendra la bijectivité ;
les opérations élémentaires deviendront des changements de base.

Le programme répète deux fois que toute technicité est exclue. On travaille donc sur des petites matrices, en soignant la rédaction.

1Opérations sur les matrices

1.1L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$

Définition 1.1Matrice

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\K$ est un tableau de scalaires, noté $A = (a_{i,j})$ avec $i \in \intent{1}{n}$ et $j \in \intent{1}{p}$ . Le premier indice est la ligne, le second la colonne. L'ensemble de ces matrices se note $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ .

L'addition et la multiplication par un scalaire se font coefficient par coefficient, l'addition pour deux matrices de même format. Les combinaisons linéaires de même. L'addition est commutative et associative, la matrice nulle étant l'élément neutre.

1.2Matrices élémentaires

Définition 1.2Matrice élémentaire

La matrice élémentaire $E_{i,j}$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ a un coefficient 1 en position $(i, j)$ et des zéros partout ailleurs.

Propriété 1.3Décomposition sur les matrices élémentaires

Toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$ est combinaison linéaire des matrices élémentaires : $A = \sum_{i,j} a_{i,j} E_{i,j}.$ Cette écriture est unique.

C'est ce qui fera de la famille des $E_{i,j}$ une base au second semestre.

1.3Produit matriciel

Définition 1.4Produit matriciel

Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\K)$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\K)$ . Le produit $AB$ est la matrice de $\mathcal{M}_{n,q}(\K)$ de coefficient en position $(i, j)$ $\sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}.$ Le nombre de colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $B$ .

Moyen mnémotechnique : le coefficient $(i, j)$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

Propriété 1.5Bilinéarité et associativité

Le produit est bilinéaire, c'est-à-dire linéaire en chaque variable, l'autre étant fixée, et associatif. Il est distributif sur l'addition.

Propriété 1.6Lecture en colonnes

Si $X$ est une matrice colonne, $AX$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ dont les coefficients sont ceux de $X$ .

Cette lecture est la clé de l'étude des systèmes.

Propriété 1.7Produit de matrices élémentaires

Hypothèses

$E_{i,j} \in \mathcal{M}_{n,p}(\K)$ ;
$E_{k,l} \in \mathcal{M}_{p,q}(\K)$ .

Alors $E_{i,j}E_{k,l} = \delta_{j,k}E_{i,l}$ , où $\delta$ est le symbole de Kronecker, égal à 1 si les deux indices coïncident et à 0 sinon.

Autrement dit, le produit est nul sauf si $j = k$ , auquel cas il vaut $E_{i,l}$ . Cette formule sert à traiter beaucoup de questions théoriques par calcul direct.

1.4Transposition

Définition 1.8Transposée

La transposée de $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\K)$ , notée $A^\top$ , est la matrice de $\mathcal{M}_{p,n}(\K)$ dont le coefficient $(i, j)$ est $a_{j,i}$ . On échange lignes et colonnes.

Propriété 1.9Opérations sur les transposées

La transposée d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des transposées.
$(AB)^\top = B^\top A^\top$ .
$(A^\top)^\top = A$ .

Le renversement de l'ordre se comprend sur les formats. Si $A$ est $n \times p$ et $B$ est $p \times q$ , alors $AB$ est $n \times q$ , donc sa transposée est $q \times n$ , ce qui impose de commencer par $B^\top$ .

2Opérations élémentaires

Définition 2.1Opérations élémentaires sur les lignes

Les trois opérations élémentaires sur les lignes sont :

l'échange, $L_i \leftrightarrow L_j$ ;
la dilatation, $L_i \leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \neq 0$ ;
la transvection, $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ avec $i \neq j$ .

Propriété 2.2Interprétation matricielle

Effectuer une opération élémentaire sur les lignes de $A$ revient à multiplier $A$ à gauche par une matrice inversible, obtenue en appliquant cette même opération à la matrice identité. Par exemple, la transvection $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ correspond à la multiplication à gauche par $I_n + \lambda E_{i,j}$ .

Symétriquement, une opération élémentaire sur les colonnes correspond à une multiplication à droite par une telle matrice.

Comme ces matrices sont inversibles, les opérations élémentaires sont réversibles. C'est ce qui justifie que le pivot transforme un système en système équivalent.

3Systèmes linéaires

3.1Écriture matricielle

Un système de $n$ équations linéaires à $p$ inconnues s'écrit $AX = B$ , où $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\K)$ , $X$ est la colonne des inconnues et $B$ la colonne des seconds membres. Le système homogène associé est $AX = 0$ .

3.2Compatibilité

Définition 3.1Système compatible

Le système $AX = B$ est compatible s'il admet au moins une solution.

Propriété 3.2Caractérisation de la compatibilité

Le système $AX = B$ est compatible si et seulement si $B$ est combinaison linéaire des colonnes de $A$ .

C'est exactement la lecture en colonnes du produit $AX$ .

3.3Structure de l'ensemble des solutions

Théorème 3.3Structure des solutions

Hypothèses

le système $AX = B$ est compatible ;
$X_0$ en est une solution particulière.

Alors l'ensemble des solutions est l'ensemble des $X_0 + Y$ où $Y$ parcourt l'ensemble des solutions du système homogène $AY = 0$ .

Démonstration

Si $X$ est solution, alors $A(X - X_0) = B - B = 0$ , donc $Y = X - X_0$ est solution du système homogène et $X = X_0 + Y$ . Réciproquement, $A(X_0 + Y) = B + 0 = B$ .

C'est la structure rencontrée pour les équations différentielles linéaires : solution particulière plus solutions de l'homogène. On la retrouvera au second semestre sous le nom d'équation linéaire.

Propriété 3.4Trois situations possibles

Un système n'a aucune solution, une unique solution, ou une infinité de solutions décrite par des paramètres. Il ne peut pas y avoir exactement deux solutions distinctes.

Démonstration

Si $X_1$ et $X_2$ sont deux solutions distinctes, alors $X_1 + t(X_2 - X_1)$ est solution pour tout scalaire $t$ , ce qui en fournit une infinité puisque $\K$ vaut $\R$ ou $\C$ .

3.4Résolution par le pivot

On reprend l'algorithme du pivot, en termes d'opérations élémentaires sur les lignes, dans ce cadre général. On échelonne la matrice augmentée, formée de $A$ et de $B$ côte à côte, puis on lit les solutions en remontant.

Les inconnues correspondant aux pivots sont les inconnues principales, les autres sont des paramètres.
Le système est incompatible dès qu'une ligne donne $0 = c$ avec $c \neq 0$ .

4Matrices carrées

4.1L'ensemble $\mathcal{M}_n(\K)$

Quand $n = p$ , on note $\mathcal{M}_n(\K)$ et on parle de matrices carrées d'ordre $n$ . Le produit de deux matrices carrées d'ordre $n$ est encore d'ordre $n$ , ce qui permet de composer indéfiniment.

Exemple 4.1Non-commutativité pour $n \geqslant 2$

Avec $E_{1,1}$ et $E_{1,2}$ d'ordre 2 : $E_{1,1}E_{1,2} = E_{1,2}, \qquad E_{1,2}E_{1,1} = 0.$

Exemple 4.2Diviseurs de zéro

Un produit de deux matrices non nulles peut être nul : $E_{1,2}E_{1,2} = 0$ .

Attention

On ne simplifie jamais une égalité matricielle par une matrice quelconque.

Définition 4.3Matrice nilpotente

Une matrice $N$ est nilpotente s'il existe un entier $k$ avec $N^k = 0$ .

Exemple : la matrice d'ordre 3 avec des 1 au-dessus de la diagonale et des zéros ailleurs, dont le cube est nul.

4.2Matrices particulières

Définition 4.4Identité et matrices scalaires

La matrice identité $I_n$ a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs. Elle est neutre pour le produit. Une matrice scalaire est de la forme $\lambda I_n$ ; elle commute avec toutes les matrices.

Définition 4.5Matrices diagonales et triangulaires

Une matrice diagonale a seulement des coefficients diagonaux éventuellement non nuls.
Une matrice triangulaire supérieure a des coefficients nuls en dessous de la diagonale ; inférieure, symétriquement.

Propriété 4.6Produits de matrices diagonales ou triangulaires

Le produit de deux matrices diagonales est diagonal et se fait coefficient par coefficient sur la diagonale. Les puissances sont donc immédiates.
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux sont les produits des coefficients diagonaux.
Même chose pour les triangulaires inférieures.

Définition 4.7Matrices symétriques et antisymétriques

Une matrice $A$ est symétrique si $A^\top = A$ , antisymétrique si $A^\top = -A$ . On note $\mathcal{S}_n(\K)$ et $\mathcal{A}_n(\K)$ ces ensembles.

Une matrice antisymétrique a des coefficients diagonaux nuls, le corps n'étant pas de caractéristique 2.

4.3Formule du binôme

Théorème 4.8Formule du binôme

Hypothèses

$A$ et $B$ sont dans $\mathcal{M}_n(\K)$ ;
$A$ et $B$ commutent : $AB = BA$ .

Alors, pour tout entier $m$ : $(A + B)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} A^k B^{m-k}.$

La démonstration est celle du binôme dans $\R$ , par récurrence avec la formule de Pascal, et elle utilise la commutation à chaque étape.

Attention

L'hypothèse de commutation est indispensable. Sans elle, $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ , qui n'est pas $A^2 + 2AB + B^2$ .

MéthodeCalculer $A^m$ avec le binôme

Écrire $A = \lambda I_n + N$ avec $N$ nilpotente.
Remarquer que $\lambda I_n$ commute avec tout : le binôme s'applique.
Arrêter la somme dès que l'exposant de $N$ atteint son indice de nilpotence.

Exemple 4.9Cas d'ordre 3

Pour $A = 2I_3 + N$ avec $N^3 = 0$ : $\begin{aligned} A^m &= 2^m I_3 + m\,2^{m-1} N\\ &\quad + \tfrac{m(m-1)}{2}\,2^{m-2} N^2. \end{aligned}$

4.4Matrices inversibles

Définition 4.10Matrice inversible

$A \in \mathcal{M}_n(\K)$ est inversible s'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\K)$ avec $AB = BA = I_n$ . Cette $B$ est alors unique, on la note $A^{-1}$ .

Démonstration

Si $B$ et $C$ conviennent, alors $B = BI_n = B(AC) = (BA)C = I_nC = C$ .

L'ensemble des matrices inversibles d'ordre $n$ se note $GL_n(\K)$ , le groupe linéaire. Le programme demande de vérifier les propriétés qui lui confèrent une structure de groupe :

stabilité par produit ;
associativité ;
présence du neutre $I_n$ ;
présence de l'inverse de chaque élément.

La définition axiomatique des groupes est hors programme.

Propriété 4.11Règles de calcul

Si $A$ et $B$ sont inversibles, $AB$ l'est et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ , dans l'ordre inversé.
Si $A$ est inversible, $A^\top$ l'est aussi et $(A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top$ .
Si $A$ est inversible et $AB = 0$ , alors $B = 0$ : une matrice inversible n'est pas diviseur de zéro.

4.5Calcul pratique de l'inverse

Deux méthodes au programme.

MéthodeInverser par opérations élémentaires

Écrire $A$ et $I_n$ côte à côte.
Appliquer des opérations sur les lignes jusqu'à transformer $A$ en $I_n$ .
La matrice de droite est alors $A^{-1}$ .

Les opérations élémentaires préservent l'inversibilité, puisqu'elles correspondent à des multiplications par des matrices inversibles. Si l'échelonnement fait apparaître une ligne nulle du côté gauche, $A$ n'est pas inversible.

MéthodeInverser par résolution du système

Résoudre $AX = Y$ en exprimant $X$ en fonction de $Y$ .
Si la solution est unique, la matrice obtenue est $A^{-1}$ .

Cette méthode est souvent la plus rapide en petite dimension.

4.6Matrices triangulaires et inversibilité

Théorème 4.12Inversibilité d'une matrice triangulaire

Une matrice triangulaire, supérieure ou inférieure, est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. De plus, l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure inversible est triangulaire supérieure, et de même pour les inférieures.

Démonstration

Pour une triangulaire supérieure $T$ , le système $TX = Y$ se résout en remontant, de la dernière ligne vers la première, et chaque étape nécessite de diviser par un coefficient diagonal. Si tous sont non nuls, la résolution est possible et unique, et la remontée montre que $X$ s'exprime à partir des $Y$ d'indices supérieurs, ce qui donne le caractère triangulaire supérieur de l'inverse. Si un coefficient diagonal est nul, le système n'est pas de solution unique pour tout $Y$ .

Propriété 4.13Cas des matrices diagonales

Une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls, et son inverse est diagonale, de coefficients les inverses.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour un produit matriciel, vérifier d'abord la compatibilité des formats.
Pour une question théorique sur des coefficients, utiliser les matrices élémentaires et la formule $E_{i,j}E_{k,l} = \delta_{j,k}E_{i,l}$ .
Pour calculer $A^m$ , tester dans l'ordre : matrice diagonale, décomposition en scalaire plus nilpotente avec le binôme, recherche d'une relation polynomiale annulatrice, conjecture puis récurrence.
Pour l'inversibilité, chercher une relation du type $A^2 = A + I_n$ , qui donne directement $A^{-1} = A - I_n$ .
Pour résoudre un système, échelonner par opérations élémentaires, identifier les inconnues principales et les paramètres, donner l'ensemble des solutions sous la forme solution particulière plus solutions homogènes.
Ne jamais simplifier une égalité matricielle par une matrice dont l'inversibilité n'a pas été établie.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire le coefficient général d'un produit et calculer un produit de matrices élémentaires.
Démontrer que la transposée de $AB$ est le produit des transposées dans l'ordre inversé.
Traduire chaque opération élémentaire sur les lignes en une multiplication à gauche par une matrice inversible.
Démontrer que l'ensemble des solutions de $AX = B$ est $X_0$ plus l'ensemble des solutions du système homogène.
Calculer $A^m$ avec la formule du binôme après décomposition en $\lambda I_n$ plus nilpotente, en justifiant la commutation.
Démontrer l'unicité de l'inverse et la formule donnant l'inverse d'un produit.
Inverser une matrice d'ordre 3 par opérations élémentaires, puis vérifier par le produit.
Démontrer qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Toute matrice de M_n,p(K) s'écrit de façon unique comme la somme des a_i,j E_i,j. Exigible avec démonstration.
Bilinéarité, associativité et distributivité du produit matriciel. Exigibles, on les vérifie sur le coefficient général.
Si X est une colonne, AX est la combinaison linéaire des colonnes de A de coefficients ceux de X. Exigible avec démonstration.
Pour E_i,j dans M_n,p(K) et E_k,l dans M_p,q(K), on a E_i,j E_k,l = δ_j,k E_i,l. Exigible avec démonstration.
La transposée d'une combinaison linéaire est la combinaison des transposées. (AB)ᵀ = BᵀAᵀ. Exigibles avec démonstration.
Une opération élémentaire sur les lignes de A revient à multiplier A à gauche par une matrice inversible. Sur les colonnes, c'est une multiplication à droite. Exigible avec démonstration.
AX = B est compatible si et seulement si B est combinaison linéaire des colonnes de A. Exigible.
Si AX = B est compatible et X₀ en est une solution, les solutions sont les X₀ + Y avec AY = 0. Exigible avec démonstration.
Produit de matrices diagonales, de triangulaires supérieures, de triangulaires inférieures, avec la diagonale du produit égale au produit des diagonales. Exigible avec démonstration.
Formule du binôme pour deux matrices carrées qui commutent. Exigible avec démonstration.
Unicité de l'inverse, inverse d'un produit (B⁻¹A⁻¹), inverse de la transposée ((A⁻¹)ᵀ). Exigibles avec démonstration.
GL_n(K) est stable par produit et par passage à l'inverse, contient I_n, et le produit y est associatif. Exigible. La définition axiomatique d'un groupe est hors programme.
Les opérations élémentaires préservent l'inversibilité. Exigible.
Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et son inverse est alors triangulaire de même type. Exigible avec démonstration, cas particulier des matrices diagonales.
Hors de ce chapitre, à ne pas utiliser sans le dire : le rang, le déterminant, la trace, et le fait que AB = I_n suffit à entraîner BA = I_n. Ce dernier résultat sera établi au second semestre. Ici, on vérifie les deux produits.

Clés de démonstration

Produit de matrices élémentaires. Le coefficient (r, s) de E_i,j vaut δ_r,i δ_s,j. Le coefficient (r, s) du produit est donc la somme sur m de δ_r,i δ_m,j δ_m,k δ_s,l, qui vaut δ_j,k δ_r,i δ_s,l. Astuce, écrire les coefficients avec des symboles de Kronecker, et la somme s'effondre sur un seul terme.

Transposée d'un produit. Le coefficient (i, j) de (AB)ᵀ est celui en (j, i) de AB, soit la somme des a_j,k b_k,i. On le réécrit comme la somme des b_k,i a_j,k, c'est-à-dire le coefficient (i, j) de BᵀAᵀ. Astuce, les scalaires commutent, ce qui permet de réordonner chaque terme.

Opérations élémentaires. Pour i ≠ j, la matrice E_i,jA a pour ligne i la ligne j de A et des zéros ailleurs. Donc (I_n + λE_i,j)A = A + λE_i,jA réalise L_i ← L_i + λL_j. Astuce, lire le produit ligne par ligne. L'inverse est I_n − λE_i,j, car E_i,j² = δ_j,iE_i,j = 0.

Inverse d'un produit, d'une transposée. On calcule (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = I_n, puis le produit dans l'autre ordre. Pour la transposée, Aᵀ(A⁻¹)ᵀ = (A⁻¹A)ᵀ = I_n, et de même dans l'autre sens. Astuce, associativité pour le produit, formule de transposition pour la transposée, et vérifier les deux ordres.

Produit de triangulaires supérieures. Le coefficient (i, j) de AB est la somme des a_i,k b_k,j, et un terme non nul exige i ≤ k et k ≤ j. Si i > j, la somme est vide donc nulle. Si i = j, seul k = i survit et donne a_i,i b_i,i. Astuce, raisonner sur les indices plutôt que sur des dessins.

Formule du binôme. On montre d'abord par récurrence que B commute avec toute puissance de A. Puis on fait la récurrence sur m en développant (A + B)(A + B)^m et en regroupant avec la relation de Pascal. Astuce, la commutation sert à ramener chaque B à droite des A.

Triangulaire et inversibilité. Si la diagonale est sans zéro, le système TX = Y se résout par remontée de façon unique, et x_i ne dépend que des y_j avec j ≥ i, d'où l'inverse triangulaire supérieur. Réciproquement, soit k le plus petit indice tel que t_k,k = 0. On pose x_k = 1 et x_j = 0 pour j > k, puis on détermine x_k−1, …, x₁ par remontée, en divisant par des diagonaux non nuls. On obtient X ≠ 0 avec TX = 0. Astuce, une matrice inversible vérifie TX = 0 ⇒ X = 0, donc exhiber une colonne non nulle annulée suffit.

Exemples et contre-exemples à connaître

E_1,1E_1,2 = E_1,2 et E_1,2E_1,1 = 0. C'est le contre-exemple standard à la commutativité.
A de lignes (1, 1) et (−1, −1) vérifie A² = 0 sans être triangulaire. Une matrice nilpotente n'a pas besoin d'avoir une forme particulière.
I₂ et −I₂ sont inversibles, leur somme est nulle. GL_n(K) n'est pas stable par addition.
Avec E_1,2 et E_2,1, on a (E_1,2 + E_2,1)² = I₂, alors que E_1,2² + 2E_1,2E_2,1 + E_2,1² = 2E_1,1. Sans commutation, le binôme est faux.
J_n, la matrice dont tous les coefficients valent 1, vérifie J_n² = nJ_n. Elle est la source de nombreux calculs de puissances et d'inverses.
R de lignes (0, −1) et (1, 0) vérifie R² = −I₂. Donc R⁻¹ = −R et R⁴ = I₂, les puissances sont périodiques.
A de lignes (1, 0) et (0, 0) et B de lignes (0, 1) et (1, 0) sont symétriques, mais AB, de lignes (0, 1) et (0, 0), ne l'est pas. En général, (AB)ᵀ = BA, donc le produit de deux symétriques est symétrique si et seulement si elles commutent.
A de lignes (1, 2) et (2, 4) n'est pas inversible, car A fois la colonne (2, −1) est nulle. Une relation entre les colonnes fournit une colonne non nulle annulée.
La matrice complexe symétrique de lignes (1, i) et (i, −1) a un carré nul. Sur R, au contraire, une symétrique de carré nul est nulle (exercice 6).

Techniques du chapitre

Contrôler les formats avant tout calcul. Mini-exercice, A est de format 2 × 3 et B de format 3 × 2. Alors AB est de format 2 × 2 et BA de format 3 × 3. La question « AB = BA ? » n'a donc aucun sens ici.

Calculer avec les symboles de Kronecker. Mini-exercice, pour i ≠ j, montrer que I_n + λE_i,j est inversible. On a E_i,jE_i,j = δ_j,iE_i,j = 0. Donc (I_n + λE_i,j)(I_n − λE_i,j) = I_n − λ²E_i,j² = I_n, et de même dans l'autre ordre.

Lire AX en colonnes pour la compatibilité. Mini-exercice, A de lignes (1, 2) et (2, 4), B de coordonnées (b₁, b₂). Les colonnes de A sont proportionnelles à (1, 2). Le système est compatible si et seulement si B l'est aussi, c'est-à-dire b₂ = 2b₁.

Écrire une matrice comme scalaire plus nilpotente. Mini-exercice, A de lignes (3, 1) et (0, 3). On pose A = 3I₂ + N avec N = E_1,2, donc N² = 0, et 3I₂ commute avec N. Le binôme donne A^m = 3^m I₂ + m 3^m−1 N, soit A^m de lignes (3^m, m 3^m−1) et (0, 3^m).

Chercher une relation annulatrice pour inverser. Mini-exercice, A de lignes (1, 1) et (1, 0). On calcule A², de lignes (2, 1) et (1, 1), qui vaut A + I₂. Donc A(A − I₂) = (A − I₂)A = I₂, et A⁻¹ est de lignes (0, 1) et (1, −1).

Traduire une opération élémentaire en matrice. Mini-exercice, en ordre 3, l'opération L₂ ← L₂ − 3L₁ correspond à la multiplication à gauche par I₃ − 3E_2,1. L'échange L₁ ↔ L₂ correspond à la matrice de lignes (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), qui est son propre inverse.

Résoudre par pivot et présenter la structure. Mini-exercice, x + 2y − z = 1 et 2x + 4y + z = 5. L'opération L₂ ← L₂ − 2L₁ donne 3z = 3, donc z = 1, puis x = 2 − 2y. Les solutions sont (2, 0, 1) + y(−2, 1, 0) avec y dans K, soit une solution particulière plus les solutions homogènes.

Décomposer par analyse-synthèse. Mini-exercice, écrire M = S + A avec S symétrique et A antisymétrique. Analyse, Mᵀ = S − A, donc S = (M + Mᵀ)/2 et A = (M − Mᵀ)/2, d'où l'unicité. Synthèse, ces deux matrices conviennent.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Inverse par résolution d'un système

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que A, de lignes (1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), est inversible et calculer son inverse.

Technique résoudre AX = Y en exprimant X en fonction de Y.

Voir le corrigé

Le système s'écrit x + z = a, x + y = b, y + z = c. 2. En sommant, 2(x + y + z) = a + b + c. On pose s = (a + b + c)/2. 3. Alors x = s − (y + z) = (a + b − c)/2, y = s − (x + z) = (−a + b + c)/2, z = s − (x + y) = (a − b + c)/2. 4. La solution existe et est unique pour tout Y, donc A est inversible, et A⁻¹ est la moitié de la matrice de lignes (1, 1, −1), (−1, 1, 1), (1, −1, 1). 5. On vérifie le produit AA⁻¹ = I₃.

piège : Lire les lignes de A⁻¹ en colonnes. La ligne i de A⁻¹ porte les coefficients de x_i en fonction de a, b, c.

Exercice 2. Système à paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Selon le réel a, résoudre x + y + az = 1, x + ay + z = 1, ax + y + z = 1.

Technique transvections puis disjonction de cas sur les facteurs qui s'annulent.

Voir le corrigé

Le système équivaut à L₁, L₁ − L₂, L₂ − L₃, car ces transvections sont réversibles. On obtient (1 − a)(y − z) = 0 et (1 − a)(x − y) = 0. 2. Si a ≠ 1, alors x = y = z, et L₁ donne (a + 2)x = 1. Pour a ≠ −2, l'unique solution est x = y = z = 1/(a + 2). Pour a = −2, L₁ devient 0 = 1, le système est incompatible. 3. Si a = 1, les trois équations valent x + y + z = 1. Les solutions sont (1, 0, 0) + s(−1, 1, 0) + t(−1, 0, 1), avec s et t dans R.

piège : Diviser par 1 − a sans avoir séparé le cas a = 1, ou oublier le cas a = −2.

Exercice 3. Puissances par le binôme

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer A^m pour m dans N, où A est de lignes (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1).

Technique décomposition I₃ + N avec N nilpotente.

Voir le corrigé

N = A − I₃ a pour lignes (0, 1, 1), (0, 0, 1), (0, 0, 0). N² a un seul coefficient non nul, 1 en position (1, 3), et N³ = 0. 2. I₃ commute avec N, donc le binôme s'applique. Pour m ≥ 2, A^m = I₃ + mN + (m(m − 1)/2)N², les termes suivants étant nuls. 3. La formule reste vraie pour m = 0 et m = 1. 4. A^m a pour lignes (1, m, m(m + 1)/2), (0, 1, m), (0, 0, 1). 5. Bonus, (I₃ + N)(I₃ − N + N²) = I₃ + N³ = I₃, et de même dans l'autre ordre. La formule vaut donc aussi pour m = −1.

piège : Appliquer le binôme sans justifier la commutation, ou oublier le terme en N².

Exercice 4. Inverse de I_n − N

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit N dans M_n(K) avec N^p = 0 pour un entier p ≥ 1. Montrer que I_n − N est inversible et donner son inverse. Application à la matrice de lignes (1, −1, 0), (0, 1, −1), (0, 0, 1).

Technique télescopage, comme pour la somme géométrique.

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On pose S = I_n + N + … + N^p−1. 2. (I_n − N)S = S − NS, et la somme télescope en I_n − N^p = I_n. De même S(I_n − N) = I_n. 3. Donc I_n − N est inversible d'inverse S. 4. Application, la matrice vaut I₃ − N avec N = E_1,2 + E_2,3. On a N² = E_1,3 et N³ = 0. L'inverse vaut I₃ + N + N², c'est la matrice A de l'exercice 3.

piège : Écrire l'inverse sous la forme 1/(I_n − N). La division par une matrice n'a pas de sens.

Exercice 5. Inverse de J_n − I_n

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour n ≥ 2, soit A la matrice d'ordre n de diagonale nulle et dont tous les autres coefficients valent 1. Montrer que A est inversible et calculer A⁻¹.

Technique relation annulatrice.

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A = J_n − I_n, et J_n² = nJ_n, car chaque coefficient de J_n² est une somme de n termes égaux à 1. 2. A² = J_n² − 2J_n + I_n = (n − 2)J_n + I_n = (n − 2)(A + I_n) + I_n. 3. Donc A(A − (n − 2)I_n) = (n − 1)I_n, et le produit dans l'autre ordre donne le même résultat, car A commute avec ses puissances. 4. Comme n ≥ 2, on peut diviser par n − 1, et A⁻¹ = (A − (n − 2)I_n)/(n − 1). Pour n = 2, on retrouve A⁻¹ = A.

piège : Développer (J_n − I_n)² en oubliant le double produit, ou conclure sans vérifier que n − 1 ≠ 0.

Exercice 6. MᵀM = 0 sur R

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que si M est réelle d'ordre n et MᵀM = 0, alors M = 0. Montrer que c'est faux sur C.

Technique calculer un coefficient diagonal.

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Le coefficient (j, j) de MᵀM est la somme sur i des m_i,j². 2. Sur R, une somme de carrés nulle impose m_i,j = 0 pour tout i. Comme c'est vrai pour tout j, M = 0. 3. Sur C, M de lignes (1, 0) et (i, 0) donne MᵀM de coefficient (1, 1) égal à 1 + i² = 0, et tous les autres coefficients sont nuls. 4. Conséquence, une matrice réelle symétrique S de carré nul vérifie SᵀS = 0, donc S = 0.

piège : Oublier que l'argument repose sur la positivité des carrés réels.

Exercice 7. Suites couplées et puissances

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit A de lignes (1, 1) et (0, 2). Vérifier A² = 3A − 2I₂, en déduire A^m, puis le terme général des suites définies par u_m+1 = u_m + v_m et v_m+1 = 2v_m.

Technique relation polynomiale et suite récurrente linéaire d'ordre 2.

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A² a pour lignes (1, 3) et (0, 4), c'est bien 3A − 2I₂. 2. Par récurrence, A^m = a_m A + b_m I₂, avec a₀ = 0, b₀ = 1, a_m+1 = 3a_m + b_m et b_m+1 = −2a_m. 3. Donc a_m+2 = 3a_m+1 − 2a_m. L'équation caractéristique r² − 3r + 2 = 0 a pour racines 1 et 2, et avec a₀ = 0 et a₁ = 1 on obtient a_m = 2^m − 1. 4. Pour m ≥ 1, b_m = −2a_m−1 = 2 − 2^m, formule encore vraie pour m = 0. 5. A^m a pour lignes (1, 2^m − 1) et (0, 2^m). 6. La colonne (u_m, v_m) vaut A^m fois (u₀, v₀), donc u_m = u₀ + (2^m − 1)v₀ et v_m = 2^m v₀.

piège : Établir la forme a_m A + b_m I₂ sans récurrence, ou se tromper dans l'ordre du produit A^m X₀.

Exercice 8. Matrices qui commutent avec toutes les autres

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Déterminer les M de M_n(K) telles que MA = AM pour toute A de M_n(K).

Technique tester sur les matrices élémentaires.

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Les matrices scalaires conviennent. 2. Réciproquement, on écrit M comme somme des m_k,lE_k,l. Alors ME_i,j est la somme sur k des m_k,iE_k,j, et E_i,jM est la somme sur l des m_j,lE_i,l. 3. La première n'a des coefficients qu'en colonne j, la seconde qu'en ligne i. Pour k ≠ i, le coefficient (k, j) donne m_k,i = 0. 4. Le coefficient (i, j) donne m_i,i = m_j,j. 5. Avec tous les couples (i, j), M est diagonale à diagonale constante, donc scalaire.

piège : Ne tester qu'une ou deux matrices particulières, ce qui ne suffit pas à conclure.

Exercice 9. Somme de nilpotentes qui commutent

Approfondissement · Niveau écrit Mines

Soient A et B nilpotentes d'ordre n qui commutent, avec A^p = 0 et B^q = 0. Montrer que A + B et AB sont nilpotentes. Montrer que l'hypothèse de commutation est nécessaire.

Technique binôme avec découpage des indices.

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Comme AB = BA, (AB)^p = A^p B^p = 0. 2. Le binôme donne (A + B)^p+q−1 comme la somme des coefficients binomiaux fois A^k B^p+q−1−k. 3. Si k ≥ p, A^k = 0. Sinon k ≤ p − 1, donc p + q − 1 − k ≥ q et B^p+q−1−k = 0. Chaque terme est nul. 4. Contre-exemple, E_1,2 et E_2,1 sont nilpotentes, mais leur somme a pour carré I₂, donc aucune de ses puissances n'est nulle. Leur produit E_1,1 ne l'est pas non plus.

piège : Écrire (AB)^p = A^p B^p sans utiliser la commutation.

Exercice 10. Triangulaires strictes

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit N triangulaire supérieure stricte d'ordre n, c'est-à-dire n_i,j = 0 dès que i ≥ j. Montrer que Nⁿ = 0. En déduire A⁻¹ pour A triangulaire supérieure de diagonale constante λ ≠ 0.

Technique récurrence sur un décalage d'indices.

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Propriété P(k), le coefficient (i, j) de N^k est nul dès que j − i < k. P(1) est l'hypothèse. 2. Si P(k) est vraie, le coefficient (i, j) de N^k+1 est la somme sur l des (N^k)_i,l n_l,j. Un terme non nul exige l − i ≥ k et j − l ≥ 1, donc j − i ≥ k + 1. D'où P(k + 1). 3. Pour k = n, on a toujours j − i ≤ n − 1 < n, donc Nⁿ = 0. 4. A = λ(I_n + M) avec M = (A − λI_n)/λ triangulaire supérieure stricte. Par l'exercice 4 appliqué à −M, A⁻¹ = (1/λ)(I_n − M + M² − … + (−1)ⁿ⁻¹Mⁿ⁻¹).

piège : Affirmer la nilpotence en regardant un exemple d'ordre 3, sans contrôler les indices.

Erreurs fréquentes

Écrire (A + B)² = A² + 2AB + B², ou appliquer le binôme sans avoir vérifié que les deux matrices commutent.
Simplifier AB = AC en B = C, ou AB = 0 en A = 0 ou B = 0, sans avoir établi l'inversibilité de A.
Oublier d'inverser l'ordre des facteurs, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ et (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.
Conclure qu'une matrice est inversible en ne vérifiant qu'un produit AB = I_n. Dans ce chapitre, il faut les deux produits, sauf si l'inverse est un polynôme en A, qui commute automatiquement avec A.
Dans un pivot, effectuer simultanément L₁ ← L₁ − L₂ et L₂ ← L₂ − L₁, ce qui détruit l'équivalence, ou diviser par une expression du paramètre sans traiter à part le cas où elle s'annule.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), section « Calcul matriciel et systèmes linéaires » du premier semestre. Elle couvre les opérations sur les matrices, les opérations élémentaires, les systèmes linéaires sous forme matricielle, les matrices carrées et l'inversibilité. Dans toute la fiche, $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ .

Systèmes linéaires

Résumé en cinq points

1Opérations sur les matrices

1.1L'ensemble Mn,p(K)\mathcal{M}_{n,p}(\K)Mn,p​(K)

1.2Matrices élémentaires

1.3Produit matriciel

1.4Transposition

2Opérations élémentaires

3Systèmes linéaires

3.1Écriture matricielle

3.2Compatibilité

3.3Structure de l'ensemble des solutions

3.4Résolution par le pivot

4Matrices carrées

4.1L'ensemble Mn(K)\mathcal{M}_n(\K)Mn​(K)

4.2Matrices particulières

4.3Formule du binôme

4.4Matrices inversibles

4.5Calcul pratique de l'inverse

4.6Matrices triangulaires et inversibilité

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Inverse par résolution d'un système

Exercice 2. Système à paramètre

Exercice 3. Puissances par le binôme

Exercice 4. Inverse de In − N

Exercice 5. Inverse de Jn − In

Exercice 6. MᵀM = 0 sur R

Exercice 7. Suites couplées et puissances

Exercice 8. Matrices qui commutent avec toutes les autres

Exercice 9. Somme de nilpotentes qui commutent

Exercice 10. Triangulaires strictes

Erreurs fréquentes

Au concours

1.1L'ensemble $\mathcal{M}_{n,p}(\K)$

4.1L'ensemble $\mathcal{M}_n(\K)$

Exercice 4. Inverse de I_n − N

Exercice 5. Inverse de J_n − I_n