Le cours

Résumé en cinq points

Trois entrées équivalentes mais pas également commodes : quantité de mouvement, moment cinétique, énergie. Toutes supposent un référentiel galiléen, et le théorème du moment cinétique suppose en plus un point fixe.
L'énergie potentielle transforme un problème de forces en une lecture de courbe : équilibres, stabilité, régions accessibles, pulsation des petites oscillations.
Une force centrale conserve le moment cinétique, donc le mouvement est plan et la loi des aires s'applique. Le potentiel effectif ramène le problème à une dimension.
En champ newtonien, le signe de l'énergie mécanique décide de tout : négatif pour une ellipse, nul pour une parabole, positif pour une hyperbole.
Un champ magnétique ne travaille pas. Il courbe la trajectoire avec un rayon $mv/(qB)$ et une pulsation cyclotron indépendante de la vitesse.

Pourquoi ce chapitre

Le programme de MP annonce qu'il complète les acquis de mécanique de MPSI. Tout ce qui a été vu en première année reste donc exigible aux concours.

Ce chapitre remet en place les trois entrées de la mécanique du point :

la quantité de mouvement ;
le moment cinétique ;
l'énergie.

Il traite ensuite deux situations très présentes en problème : le mouvement à force centrale conservative et la particule chargée dans un champ électromagnétique. Elles reviennent en MP dans les études de satellites, dans le cyclotron, dans la force de Lorentz volumique et dans le modèle de l'électron élastiquement lié du rayonnement dipolaire.

1Cinématique du point

1.1Référentiel et repère

Définition 1.1Référentiel et repère

Un référentiel est un solide de référence auquel on associe une horloge. Un repère est un choix d'origine et de base pour décrire les positions dans ce référentiel.

Deux observateurs liés au même référentiel mesurent la même vitesse, quel que soit le repère choisi.

AttentionRéférentiel

La vitesse et l'accélération n'ont de sens que rapportées à un référentiel. L'oublier est la première source d'erreur en mécanique.

1.2Vitesse et accélération

Définition 1.2Vitesse, accélération, trajectoire

Pour un point $M$ , la vitesse dans le référentiel $\mathcal{R}$ est la dérivée par rapport au temps du vecteur position $\vect{OM}$ , la dérivation étant faite dans $\mathcal{R}$ avec $O$ fixe dans $\mathcal{R}$ . L'accélération est la dérivée de la vitesse dans $\mathcal{R}$ . La trajectoire est la courbe décrite par $M$ dans $\mathcal{R}$ .

1.3Systèmes de coordonnées

Propriété 1.3Coordonnées cartésiennes

La base est fixe :

position $(x, y, z)$ ;
vitesse $(\dot x, \dot y, \dot z)$ ;
accélération $(\ddot x, \ddot y, \ddot z)$ .

C'est le seul système où l'on peut dériver les composantes sans précaution.

Propriété 1.4Coordonnées cylindriques

Les coordonnées sont $(r, \theta, z)$ , avec une base locale $(\vec u_r, \vec u_\theta, \vec u_z)$ qui tourne avec le point. Les dérivées des vecteurs de base valent $\begin{aligned} \frac{\dd \vec u_r}{\dd t} &= \dot\theta\,\vec u_\theta, \\ \frac{\dd \vec u_\theta}{\dd t} &= -\dot\theta\,\vec u_r. \end{aligned}$ On en tire la vitesse $\vec v = \dot r\,\vec u_r + r\dot\theta\,\vec u_\theta + \dot z\,\vec u_z$ et l'accélération $\begin{aligned} \vec a ={}& (\ddot r - r\dot\theta^2)\,\vec u_r \\ &+ (2\dot r\dot\theta + r\ddot\theta)\,\vec u_\theta \\ &+ \ddot z\,\vec u_z. \end{aligned}$ Le terme $-r\dot\theta^2$ est l'accélération centripète, le terme $2\dot r\dot\theta$ est le terme dit de Coriolis de la cinématique.

RemarqueCoordonnées sphériques

Les coordonnées sont $(r, \theta, \varphi)$ . Il faut savoir placer les angles et écrire le vecteur position $r\,\vec u_r$ . L'expression générale de l'accélération en sphériques se reconstruit au besoin ou est fournie.

1.4Mouvement circulaire

Propriété 1.5Mouvement circulaire

Pour un mouvement circulaire de rayon $R$ dans le plan, la vitesse vaut $R\dot\theta\,\vec u_\theta$ et l'accélération $-R\dot\theta^2\,\vec u_r + R\ddot\theta\,\vec u_\theta.$ Si le mouvement est uniforme, l'accélération est purement centripète, de norme $v^2/R$ .

Une accélération non nulle n'implique donc pas une variation de la norme de la vitesse.

Exemple 1.6Équateur terrestre

Un point de l'équateur terrestre tourne à environ $465 \unite{m.s^{-1}}$ , avec une accélération centripète de l'ordre de trois millièmes de $g$ .

2Lois de Newton et forces usuelles

2.1Les trois lois

Loi 2.1Première loi de Newton

Il existe des référentiels, dits galiléens, dans lesquels un point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen.

Loi 2.2Deuxième loi de Newton

Hypothèses

référentiel galiléen ;
masse constante ;
vitesse petite devant celle de la lumière.

Alors la dérivée de la quantité de mouvement $\vec p = m\vec v$ est égale à la somme des forces extérieures appliquées, ce qui s'écrit $m\vec a = \sum \vec F$ .

Loi 2.3Troisième loi de Newton

Les actions réciproques entre deux points matériels sont opposées et portées par la droite qui les joint.

2.2Forces usuelles et leurs conditions de validité

Propriété 2.4Forces usuelles

Poids : $m\vec g$ , avec $g = 9{,}81 \unite{m.s^{-2}}$ au niveau de la mer. Modèle valable localement, sur une étendue petite devant le rayon terrestre.
Gravitation newtonienne entre deux masses ponctuelles : norme $G m m'/r^2$ , attractive, avec $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ en unités du système international.
Force de Coulomb entre deux charges ponctuelles : norme $qq'/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ , attractive ou répulsive selon les signes.
Tension d'un ressort idéal : $-k(l - l_0)$ selon l'axe du ressort orienté vers l'extérieur. Modèle linéaire, valable tant que la déformation reste petite et que le ressort n'est ni à spires jointives ni plastifié. Raideur typique d'un ressort de travaux pratiques : de $10$ à $100 \unite{N.m^{-1}}$ .
Frottement fluide linéaire : $-\lambda\vec v$ , pertinent aux faibles vitesses et pour les petits objets.
Frottement quadratique : norme proportionnelle au carré de la vitesse et opposé à la vitesse, pertinent pour un objet macroscopique dans l'air.
Force de Lorentz : $q(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$ .

La réaction d'un support se décompose en une composante normale et une composante tangentielle. Les lois qui régissent la composante tangentielle sont les lois de Coulomb du frottement solide, au programme de MP et traitées dans la fiche de mécanique des systèmes.

3Moment cinétique

3.1Définitions

Définition 3.1Moment cinétique et moment d'une force

Le moment cinétique du point $M$ de masse $m$ en un point fixe $O$ d'un référentiel galiléen est $\vec L_O = \vect{OM} \wedge m\vec v.$ Le moment d'une force $\vec F$ appliquée en $M$ est $\vec M_O = \vect{OM} \wedge \vec F$ . Le moment par rapport à un axe orienté est la projection du moment en un point de cet axe sur le vecteur unitaire de l'axe. Cette projection ne dépend pas du point choisi sur l'axe.

3.2Théorème du moment cinétique

Théorème 3.2Théorème du moment cinétique

Hypothèses

référentiel galiléen ;
point $O$ fixe dans ce référentiel.

Alors la dérivée de $\vec L_O$ est égale à la somme des moments en $O$ des forces extérieures.

Les deux hypothèses, référentiel galiléen et point fixe, sont indispensables.

Propriété 3.3Bras de levier

Le moment d'une force par rapport à un axe vaut, en norme, le produit de la norme de la force par la distance de l'axe à la droite d'action. Une force dont la droite d'action coupe l'axe a un moment nul.

3.3Cas d'une force centrale

Propriété 3.4Conservation pour une force centrale

Hypothèse : la force est toujours dirigée selon la droite $OM$ .

Alors son moment en $O$ est nul et le moment cinétique en $O$ est constant. Deux conséquences :

le mouvement est plan, dans le plan passant par $O$ et orthogonal à $\vec L_O$ , sauf dans le cas dégénéré où $\vec L_O$ est nul, auquel cas le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $O$ ;
la constante des aires $C = r^2\dot\theta$ est conservée, ce qui traduit la loi des aires : le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des durées égales.

4Approche énergétique

4.1Puissance, travail, théorème de l'énergie cinétique

Définition 4.1Puissance et travail

La puissance d'une force est le produit scalaire de la force par la vitesse du point d'application. Le travail élémentaire est le produit scalaire de la force par le déplacement élémentaire.

Théorème 4.2Théorème de l'énergie cinétique

Hypothèse : référentiel galiléen.

Alors la dérivée de l'énergie cinétique $\frac{1}{2}mv^2$ est égale à la puissance de toutes les forces, intérieures comprises quand il y a plusieurs points. Sous forme intégrée, la variation d'énergie cinétique entre deux instants est le travail total.

Une force orthogonale à la vitesse ne travaille pas. C'est le cas de la composante magnétique de la force de Lorentz, et de la réaction normale d'un support fixe.

4.2Forces conservatives et énergie potentielle

Définition 4.3Force conservative

Une force est conservative si son travail ne dépend que des points de départ et d'arrivée. On lui associe une énergie potentielle $E_p$ définie à une constante près par $\dd E_p = -\delta W$ , soit $\vec F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p$ .

Propriété 4.4Énergies potentielles à connaître

Pesanteur : $mgz$ avec un axe vertical ascendant.
Ressort : $\frac{1}{2}k(l - l_0)^2$ .
Gravitation : $-\dfrac{G m m'}{r}$ .
Interaction coulombienne : $\dfrac{q q'}{4\pi\varepsilon_0 r}$ .

Les deux dernières sont prises nulles à l'infini.

4.3Énergie mécanique et discussion graphique

Définition 4.5Énergie mécanique

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Sa dérivée est la puissance des forces non conservatives. Elle se conserve si toutes les forces qui travaillent dérivent d'une énergie potentielle.

Propriété 4.6Discussion graphique à un degré de liberté

Pour un mouvement à un degré de liberté $x$ , l'énergie cinétique étant positive, le mouvement est confiné à la région où $E_p(x) \leqslant E_m$ .

Les points où $E_p = E_m$ sont les points de rebroussement, où la vitesse s'annule.
Un puits de potentiel donne un état lié.
Une barrière de potentiel peut interdire le passage.

Propriété 4.7Équilibre et stabilité

Les positions d'équilibre annulent la dérivée de $E_p$ . L'équilibre est stable si $E_p$ y est minimale, instable si elle y est maximale. Au voisinage d'un minimum $x_0$ , le développement de Taylor donne une force de rappel linéaire et des petites oscillations de pulsation $\omega_0 = \sqrt{\frac{E_p''(x_0)}{m}}.$

Ce résultat est le pont entre l'énergétique et l'oscillateur harmonique.

5Oscillateurs

5.1Oscillateur harmonique libre

Propriété 5.1Oscillateur harmonique libre

L'équation est $\ddot x + \omega_0^2\,x = 0.$ La solution est sinusoïdale, d'amplitude et de phase fixées par les conditions initiales. La période ne dépend pas de l'amplitude : c'est l'isochronisme des oscillations.

AttentionPendule simple

Pour le pendule simple, l'isochronisme n'est vrai qu'aux petits angles, l'équation exacte contenant un sinus.

5.2Oscillateur amorti

Propriété 5.2Oscillateur amorti

L'équation est $\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0,$ où $Q$ est le facteur de qualité. Trois régimes :

si $Q < 1/2$ : régime apériodique, retour sans oscillation ;
si $Q = 1/2$ : régime critique, retour le plus rapide ;
si $Q > 1/2$ : régime pseudo-périodique, oscillations dont l'enveloppe décroît exponentiellement avec un temps caractéristique $2Q/\omega_0$ .

Le nombre d'oscillations visibles est de l'ordre de $Q$ .

5.3Oscillations forcées et résonance

En régime sinusoïdal forcé, on passe en complexes et on calcule l'amplitude complexe.

Propriété 5.3Résonances

La résonance en élongation n'existe que si $Q > 1/\sqrt{2}$ , et sa pulsation est légèrement inférieure à $\omega_0$ .
La résonance en vitesse existe toujours et se produit exactement à $\omega_0$ , avec une bande passante à $-3 \unite{dB}$ de largeur $\omega_0/Q$ .

Plus $Q$ est grand, plus la résonance est aiguë et plus l'amplitude à la résonance est grande.

6Mouvement à force centrale conservative

6.1Mise en équation

La force s'écrit $F(r)\,\vec u_r$ et dérive d'une énergie potentielle $E_p(r)$ . Le moment cinétique se conserve, le mouvement est plan, et on repère le point en coordonnées polaires dans ce plan. On pose $C = r^2\dot\theta$ , constante des aires, reliée au moment cinétique par $L = mC$ .

Définition 6.1Énergie potentielle effective

L'énergie mécanique s'écrit $E_m = \frac{1}{2}m\dot r^2 + \frac{mC^2}{2r^2} + E_p(r).$ On appelle énergie potentielle effective la somme $E_{p,\text{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2}.$

Le problème se ramène à un mouvement à une dimension dans ce potentiel effectif. Le terme en $C^2$ est une barrière centrifuge : il interdit au point d'atteindre le centre dès que $C$ n'est pas nul.

6.2Cas newtonien

L'énergie potentielle est $-K/r$ avec $K > 0$ pour une interaction attractive : $K = G m M$ pour la gravitation, $K = -qq'/(4\pi\varepsilon_0)$ pour l'interaction coulombienne. Le potentiel effectif présente alors un minimum unique.

Propriété 6.2Discussion selon l'énergie mécanique

Si $E_m < 0$ , le mouvement est borné entre deux valeurs de $r$ : c'est un état lié.
Si $E_m > 0$ , le mouvement est un état de diffusion : la particule vient de l'infini et y retourne.
Si $E_m$ est égale au minimum du potentiel effectif, la trajectoire est un cercle.

Propriété 6.3Nature des trajectoires

Les trajectoires sont des coniques dont le foyer est le centre de force :

ellipse pour un état lié ;
parabole pour une énergie nulle ;
hyperbole pour une énergie positive.

Remarque

Résultat admis.

6.3Lois de Kepler et orbites circulaires

Loi 6.4Lois de Kepler

Première loi : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.
Deuxième loi : loi des aires, conséquence directe de la conservation du moment cinétique.
Troisième loi : le carré de la période est proportionnel au cube du demi grand axe, avec un coefficient $4\pi^2/(GM)$ qui ne dépend que de l'astre attracteur.

Propriété 6.5Orbite circulaire

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ autour d'un astre de masse $M$ , la loi de la quantité de mouvement projetée sur $\vec u_r$ donne $v^2 = \frac{GM}{r}.$ L'énergie mécanique vaut alors $E_m = -\frac{GMm}{2r},$ c'est-à-dire la moitié de l'énergie potentielle, et l'opposé de l'énergie cinétique.

Plus l'orbite est haute, plus l'énergie est grande et plus la vitesse est faible.

Propriété 6.6Vitesse de libération

Depuis la surface d'un astre de masse $M$ et de rayon $R$ : $v_\ell = \sqrt{\frac{2GM}{R}},$ soit $11{,}2 \unite{km.s^{-1}}$ pour la Terre.

Exemple 6.7Ordres de grandeur

Satellite géostationnaire : rayon d'orbite environ $42\,200 \unite{km}$ , altitude environ $36\,000 \unite{km}$ , période $23 \unite{h}\ 56 \unite{min}$ .
Station spatiale : altitude environ $400 \unite{km}$ , période environ $92 \unite{min}$ .
Terre : rayon $6\,370 \unite{km}$ , masse $6{,}0 \times 10^{24} \unite{kg}$ .

7Particule chargée dans un champ électromagnétique

7.1Force de Lorentz

Propriété 7.1Force de Lorentz

Elle vaut $q(\vec E + \vec v \wedge \vec B)$ . La partie magnétique ne travaille jamais : elle ne peut donc pas modifier la norme de la vitesse, seulement sa direction. Le rapport des deux contributions est de l'ordre de $vB/E$ .

7.2Champ électrique uniforme

Le mouvement est uniformément accéléré, donc parabolique si la vitesse initiale n'est pas colinéaire au champ. Deux applications classiques :

accélération sous une tension $U$ : le théorème de l'énergie cinétique donne $\frac{1}{2}mv^2 = \abs{q}\,U$ ;
déviation transversale dans un condensateur plan : on traite le mouvement comme un tir parabolique, avec un temps de vol imposé par la composante longitudinale de la vitesse.

Exemple 7.2Électron accéléré sous 1 V

L'énergie gagnée est un électronvolt, soit $1{,}6 \times 10^{-19} \unite{J}$ , ce qui correspond à une vitesse d'environ $5{,}9 \times 10^{5} \unite{m.s^{-1}}$ .

7.3Champ magnétique uniforme

Propriété 7.3Mouvement dans un champ magnétique uniforme

Si la vitesse initiale est orthogonale à $\vec B$ , le mouvement est circulaire uniforme, de rayon $r = \frac{mv}{\abs{q}B}$ et de pulsation cyclotron $\omega_c = \frac{\abs{q}B}{m},$ indépendante de la vitesse.
Si la vitesse initiale a une composante parallèle à $\vec B$ , le mouvement est hélicoïdal, la composante parallèle étant conservée.

Exemple 7.4Le cyclotron

Les particules tournent dans le champ magnétique et sont accélérées à chaque passage entre les dees par un champ électrique alternatif à la pulsation cyclotron. Cette synchronisation ne tient que tant que le mouvement reste non relativiste.

Exemple 7.5Ordres de grandeur

Champ d'un aimant permanent : $0{,}1$ à $1 \unite{T}$ .
Champ magnétique terrestre : environ $50 \unite{\mu T}$ .
Électron dans $1 \unite{mT}$ : pulsation cyclotron environ $1{,}8 \times 10^{8} \unite{rad.s^{-1}}$ .

À retenir

Un champ magnétique ne travaille pas : il courbe la trajectoire sans changer la norme de la vitesse.

Méthodes

MéthodeChoisir le bon théorème

Une seule inconnue scalaire et des forces conservatives : l'énergie mécanique.
Une rotation autour d'un axe fixe : le moment cinétique.
Un besoin de connaître les réactions de liaison : la loi de la quantité de mouvement.

MéthodeCompter les degrés de liberté

Compter les degrés de liberté avant de chercher les équations.
Écrire autant d'équations scalaires indépendantes que de degrés de liberté.

MéthodeForce centrale

Écrire d'emblée la conservation du moment cinétique.
Poser la constante des aires.
Le problème devient unidimensionnel.

MéthodeVérifier un résultat

Vérifier l'homogénéité de chaque résultat.
Vérifier les cas limites : masse infinie, amortissement nul, champ nul.

MéthodeChamp magnétique

Ne jamais écrire de travail pour la force magnétique.
Utiliser la conservation de la norme de la vitesse.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir vitesse et accélération en coordonnées cylindriques à partir des dérivées des vecteurs de base.
Mettre en équation un pendule simple par le théorème du moment cinétique, puis par l'énergie, et retrouver la même équation.
Discuter la nature du mouvement à partir d'un graphe d'énergie potentielle, repérer les équilibres et leur stabilité, calculer la pulsation des petites oscillations.
Traiter l'oscillateur amorti, reconnaître les trois régimes selon le facteur de qualité, et donner la condition de résonance en élongation.
Établir le potentiel effectif d'un mouvement à force centrale newtonienne et discuter états liés et états de diffusion.
Retrouver la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire, puis l'énergie et la vitesse de libération.
Établir le rayon et la pulsation cyclotron d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme, et justifier que ce champ ne travaille pas.
Traiter la déviation d'une particule chargée dans un condensateur plan, avec l'ordre de grandeur de la vitesse après accélération sous quelques kilovolts.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Tout ce chapitre est un acquis de MPSI que le programme de MP déclare exigible. Le programme de physique ne distingue pas « avec » et « sans » démonstration comme en maths, on indique donc ce que le jury attend en pratique.

Vitesse et accélération en coordonnées cylindriques, hypothèses : base locale (u_r, u_θ, u_z), θ fonction du temps. À savoir établir à partir des dérivées des vecteurs de base.
Loi de la quantité de mouvement : référentiel galiléen, masse constante, vitesse faible devant c. À citer et appliquer.
Théorème du moment cinétique en un point O fixe du référentiel galiléen. À savoir établir en deux lignes à partir de la loi précédente.
Théorème de l'énergie cinétique, forme intégrée et forme en puissance. À savoir établir.
Énergies potentielles de pesanteur, élastique, gravitationnelle et coulombienne : à citer, le jury exclut de les redémontrer.
Conservation de l'énergie mécanique quand seules des forces conservatives travaillent. À savoir établir.
Petites oscillations autour d'un minimum de Ep : pulsation racine de Ep''(x₀)/m. À savoir établir par développement de Taylor.
Oscillateur amorti : trois régimes selon Q comparé à 1/2. Résonance en vitesse toujours à ω₀, résonance en élongation seulement si Q est supérieur à 1/√2. À savoir retrouver.
Force centrale : conservation du moment cinétique, planéité du mouvement, loi des aires. À savoir établir, le jury CCINP signale que la planéité est trop souvent affirmée sans dire que le plan est orthogonal à L_O.
Énergie potentielle effective Ep + m C²/(2 r²). À savoir établir.
Trajectoires coniques de foyer O dans le cas newtonien : admis.
Troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire : à savoir établir, le jury le demande explicitement.
Énergie mécanique d'une orbite elliptique −G M m/(2 a) : admis, en général fourni.
Particule chargée dans B uniforme : mouvement circulaire de rayon m v/(|q| B), pulsation cyclotron |q| B/m. À savoir établir.
Hors programme : mécanique relativiste, forces de marée dans ce chapitre (voir M2), potentiel effectif en dehors du cas d'une force centrale.

Clés de démonstration

Théorème du moment cinétique. On dérive OM ∧ m v avec O fixe. Le premier terme v ∧ m v est nul, le second est OM ∧ m a et la loi de la quantité de mouvement donne le moment des forces. Astuce : O fixe est indispensable, sinon un terme −v(O) ∧ m v apparaît.

Théorème de l'énergie cinétique. On fait le produit scalaire de m a par v. Le membre de gauche est la dérivée de m v²/2, le membre de droite est la puissance des forces. Astuce : la dérivée de v·v est 2 v·a.

Planéité et loi des aires. Force centrale, donc moment en O nul, donc L_O constant. OM est toujours orthogonal à L_O, donc le mouvement reste dans le plan passant par O orthogonal à L_O. En polaires dans ce plan, L_O = m r² θ' u_z, d'où C = r² θ' constant. Cas dégénéré : L_O nul donne un mouvement rectiligne passant par O.

Potentiel effectif. On écrit v² = r'² + r² θ'² et on remplace θ' par C/r². Le terme en θ' devient m C²/(2 r²), qui ne dépend que de r. Astuce : ne jamais oublier que C est fixé par les conditions initiales, il n'est pas une inconnue.

Troisième loi de Kepler circulaire. Projection radiale de la loi de la quantité de mouvement : m v²/r = G M m/r². Donc v² = G M/r puis T = 2π r/v, et T² = 4π² r³/(G M). Astuce : l'accélération centripète v²/r est le seul terme radial d'un mouvement circulaire uniforme.

Rayon cyclotron. La partie magnétique ne travaille pas, donc la norme de v est constante. Le mouvement est uniforme, l'accélération est centripète de norme v²/r et vaut |q| v B/m. Astuce : dire « le champ ne travaille pas » avant tout calcul.

Exemples et contre-exemples à connaître

Mouvement circulaire uniforme : accélération non nulle alors que la norme de la vitesse est constante. Le contre-exemple qui tue « accélération nulle car vitesse constante ».
Pendule simple : isochronisme seulement aux petits angles. Aux grands angles la période croît avec l'amplitude.
Frottement fluide linéaire : force non conservative, l'énergie mécanique décroît strictement. Montre que « force qui dépend de la position » n'est pas synonyme de « conservative ».
Force magnétique : ne travaille jamais, donc conserve la norme de la vitesse mais pas la quantité de mouvement. Exemple type d'une force qui modifie la trajectoire sans changer l'énergie.
Orbite circulaire : Em = Ep/2 = −Ec. Une perte d'énergie par frottement atmosphérique fait descendre le satellite et augmente sa vitesse. Le paradoxe favori des colleurs.
Point isolé dans un référentiel galiléen, moment cinétique en O constant sans que la force soit centrale : le moment cinétique se conserve dès que le moment est nul, la force centrale n'est qu'un cas suffisant.
Puits de potentiel −K/r seul, sans barrière centrifuge : si C est nul, rien n'empêche la chute sur le centre. La barrière centrifuge n'existe que si C n'est pas nul.
Oscillateur avec Q inférieur à 1/2 : aucune oscillation, retour apériodique. Contre-exemple à « un ressort oscille toujours ».
Électron accéléré sous 1 kV : vitesse de l'ordre de 1,9 × 10⁷ m/s, encore non relativiste. Sous 1 MV le calcul classique donne plus que c, le modèle est faux.

Techniques du chapitre

Choisir le théorème avant d'écrire. Mini-exercice : un point glisse sans frottement sur une piste de forme quelconque, hauteur de départ h sans vitesse. Vitesse au bas. Solution : la réaction normale ne travaille pas, le poids est conservatif, donc m v²/2 = m g h et v = √(2 g h). Aucune projection nécessaire.

Poser la constante des aires dès qu'une force est centrale. Mini-exercice : un satellite passe au périgée à r_p avec la vitesse v_p, trouver sa vitesse à l'apogée r_a. Solution : L constant donne r_p v_p = r_a v_a car la vitesse est orthoradiale en ces deux points, donc v_a = v_p r_p/r_a.

Lire un graphe d'énergie potentielle. Mini-exercice : Ep(x) admet un minimum en x₀ et tend vers une valeur E_∞ en plus l'infini. Un point lancé depuis x₀ avec l'énergie cinétique Ec₀ est-il lié ? Solution : lié si Ep(x₀) + Ec₀ est inférieur à E_∞, sinon il s'échappe. Le rebroussement se lit à l'intersection de la droite horizontale Em avec la courbe.

Linéariser autour d'un équilibre. Mini-exercice : Ep(θ) = −m g l cos θ. Pulsation des petites oscillations autour de θ = 0. Solution : Ep'' = m g l cos θ vaut m g l en 0, l'énergie cinétique est m l² θ'²/2, donc ω₀² = m g l/(m l²) = g/l.

Passer en complexes pour un régime forcé. Mini-exercice : x'' + (ω₀/Q) x' + ω₀² x = a cos(ω t). Amplitude complexe. Solution : X = a/(ω₀² − ω² + j ω ω₀/Q), l'amplitude réelle est le module de X.

Utiliser les invariants d'un mouvement newtonien. Mini-exercice : même satellite qu'au deuxième mini-exercice, exprimer Em en fonction de r_p et v_p. Solution : Em = m v_p²/2 − G M m/r_p, et comme le mouvement est lié on vérifie que ce nombre est négatif.

Vérifier une application numérique par les ordres de grandeur. Mini-exercice : rayon de la trajectoire d'un proton de 1 MeV dans 1 T. Solution : v = √(2 E/m) ≈ 1,4 × 10⁷ m/s, r = m v/(q B) ≈ 1,67 × 10⁻²⁷ × 1,4 × 10⁷/(1,6 × 10⁻¹⁹) ≈ 0,15 m. Une réponse de 150 km serait absurde.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Pendule simple et tension du fil

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un point de masse m est accroché à un fil inextensible de longueur l, lancé depuis la position basse avec la vitesse v₀. Établir l'équation du mouvement, exprimer la tension, donner la condition pour que le point fasse un tour complet fil tendu.

Technique moment cinétique pour l'équation, quantité de mouvement projetée radialement pour la tension.

Voir le corrigé

Théorème du moment cinétique par rapport à l'axe de suspension : m l² θ'' = −m g l sin θ, d'où θ'' + (g/l) sin θ = 0.
Énergie mécanique : m l² θ'²/2 − m g l cos θ = m v₀²/2 − m g l, d'où l² θ'² = v₀² − 2 g l (1 − cos θ).
Projection radiale, en prenant u_r du point d'attache vers M : −m l θ'² = m g cos θ − T, soit T = m g cos θ + m l θ'² = m g (3 cos θ − 2) + m v₀²/l.
Le fil reste tendu tant que T est positive. Le minimum est atteint en θ = π : T = m v₀²/l − 5 m g. Condition : v₀² ≥ 5 g l. Tour complet aussi fil tendu au sommet, la vitesse y vaut au moins √(g l).

piège : Croire que la condition est « vitesse nulle au sommet », soit v₀² = 4 g l. Avec cette valeur le fil se détend avant le sommet.

Exercice 2. Décollement d'une sphère

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un point glisse sans frottement depuis le sommet d'une sphère fixe de rayon R, avec une vitesse initiale négligeable. À quel angle quitte-t-il la sphère ?

Technique énergie pour la vitesse, projection radiale pour la réaction, décollement quand N s'annule.

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Angle θ mesuré depuis la verticale. Énergie : v² = 2 g R (1 − cos θ).
Projection radiale vers le centre : m v²/R = m g cos θ − N.
N = m g cos θ − 2 m g (1 − cos θ) = m g (3 cos θ − 2).
N s'annule pour cos θ = 2/3, soit θ ≈ 48°. Au-delà, le modèle « point sur la sphère » cesse d'être valable et le mouvement devient une chute libre parabolique.

piège : Écrire N = m g cos θ comme en statique, ce qui oublie le terme centripète.

Exercice 3. Facteur de qualité par décrément

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un oscillateur amorti de pulsation propre ω₀ a un facteur de qualité Q grand. On mesure deux maxima successifs x_n et x_(n+1). Relier Q au rapport de ces maxima.

Technique forme de la solution pseudo-périodique.

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Solution : x(t) = A exp(−ω₀ t/(2 Q)) cos(ω t + φ), avec ω = ω₀ √(1 − 1/(4 Q²)).
Deux maxima sont séparés d'une pseudo-période T = 2π/ω. Rapport : x_n/x_(n+1) = exp(ω₀ T/(2 Q)).
Le décrément logarithmique δ = ln(x_n/x_(n+1)) vaut ω₀ T/(2 Q) = π/(Q √(1 − 1/(4 Q²))).
Pour Q grand, δ ≈ π/Q. Une mesure de δ donne Q. Vérification : l'amplitude divisée par e après Q/π pseudo-périodes, cohérent avec « environ Q oscillations visibles ».

piège : Confondre pulsation propre et pseudo-pulsation, sans conséquence si Q est grand mais fautif en toute rigueur.

Exercice 4. Potentiel de Lennard-Jones

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une molécule de masse m a une énergie potentielle Ep(r) = E₀ [(a/r)¹² − 2 (a/r)⁶] dans un mouvement rectiligne selon r. Position d'équilibre, stabilité, pulsation des petites oscillations, énergie de dissociation.

Technique dérivées de Ep et lecture du graphe.

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Ep'(r) = 12 E₀ (a⁶/r⁷) [1 − (a/r)⁶], nulle pour r = a.
Ep(a) = −E₀, minimum, donc équilibre stable. Ep tend vers 0 à l'infini et vers plus l'infini en 0.
Ep''(a) = E₀ (156 − 84)/a² = 72 E₀/a². Pulsation ω₀ = √(72 E₀/(m a²)).
Énergie à fournir depuis le fond du puits pour atteindre l'infini avec une vitesse nulle : E₀. Si Em est négative l'état est lié et confiné entre deux rayons, si Em est positive la molécule se dissocie.

piège : Dériver en oubliant le facteur 2, ce qui déplace l'équilibre.

Exercice 5. Satellite et freinage atmosphérique

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Un satellite de masse m est en orbite circulaire de rayon r autour de la Terre. Exprimer v, T, Em. Il subit un faible frottement qui lui fait perdre l'énergie δE par tour. Que deviennent r et v ?

Technique orbite circulaire puis raisonnement sur les invariants.

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Projection radiale : v² = G M/r. Période T² = 4π² r³/(G M).
Em = m v²/2 − G M m/r = −G M m/(2 r).
Perte d'énergie : Em diminue, donc −G M m/(2 r) diminue, donc r diminue.
v² = G M/r augmente quand r diminue. Le frottement fait accélérer le satellite en norme. L'énergie perdue vient de l'énergie potentielle, qui chute deux fois plus que l'énergie cinétique n'augmente. Justifier ce raisonnement en supposant l'orbite quasi circulaire à chaque instant, car la perte par tour est faible.

piège : Conclure « le frottement ralentit ». Le jury le signale chaque année.

Exercice 6. Transfert de Hohmann

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Faire passer un satellite d'une orbite circulaire de rayon r₁ à une orbite circulaire de rayon r₂ supérieur par une ellipse tangente aux deux cercles. Calculer les deux variations de vitesse. On admet Em = −G M m/(2 a) sur une ellipse de demi-grand axe a.

Technique énergie d'une orbite et vitesse aux points de tangence.

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Ellipse de transfert : périgée r₁, apogée r₂, donc 2 a = r₁ + r₂.
Vitesse au périgée par l'énergie : v_p² = G M (2/r₁ − 1/a) = G M (2/r₁ − 2/(r₁ + r₂)).
Première impulsion : Δv₁ = v_p − √(G M/r₁), positive. On accélère.
Vitesse à l'apogée par la loi des aires : v_a = v_p r₁/r₂. Seconde impulsion : Δv₂ = √(G M/r₂) − v_a, positive aussi. On accélère deux fois pour finir plus lentement, ce qui n'est paradoxal que si l'on oublie l'énergie potentielle.

piège : Utiliser v² = G M/r sur l'ellipse, formule valable uniquement pour le cercle.

Exercice 7. Distance minimale d'approche

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une particule de charge q, de masse m, arrive de l'infini avec la vitesse v₀ vers un noyau fixe de charge Q de même signe. Distance minimale d'approche, d'abord en approche frontale, puis avec un paramètre d'impact b.

Technique conservation de l'énergie et du moment cinétique.

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Frontal : au point le plus proche, la vitesse s'annule. m v₀²/2 = q Q/(4π ε₀ d₀), d'où d₀ = q Q/(2π ε₀ m v₀²).
Avec b : moment cinétique m b v₀ = m r_min v_min car la vitesse est orthoradiale au point le plus proche.
Énergie : m v₀²/2 = m v_min²/2 + q Q/(4π ε₀ r_min).
On élimine v_min : r_min² − d₀ r_min − b² = 0, d'où r_min = [d₀ + √(d₀² + 4 b²)]/2, qui redonne d₀ pour b nul et tend vers b quand b est grand.

piège : Oublier que la vitesse minimale n'est pas nulle quand b est non nul.

Exercice 8. Spectromètre de masse et filtre de Wien

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Des ions de charge q traversent une zone où E et B sont uniformes, orthogonaux entre eux et orthogonaux à la vitesse initiale. Condition pour une trajectoire rectiligne. Les ions sélectionnés entrent ensuite dans une zone de champ B' seul. Rayon en fonction de la masse.

Technique équilibre des deux parties de la force de Lorentz, puis rayon cyclotron.

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Trajectoire rectiligne uniforme si q E + q v ∧ B est nul, donc v = E/B, indépendant de q et de m.
Dans B' seul, la force ne travaille pas, la vitesse reste E/B en norme.
Rayon : r = m v/(|q| B') = m E/(|q| B B'). Deux isotopes de masses m₁ et m₂ se séparent d'un écart de diamètre 2 E (m₂ − m₁)/(|q| B B').
Application : pour B = B' = 0,1 T, E = 10⁴ V/m, ions de masse 40 u et 41 u simplement chargés, l'écart vaut environ 2 × 10⁴ × 1,66 × 10⁻²⁷/(1,6 × 10⁻¹⁹ × 10⁻²) ≈ 2 cm, mesurable.

piège : Écrire un travail de la force magnétique, ou perdre le signe de v ∧ B.

Exercice 9. Stabilité d'une orbite circulaire pour une force en 1/rⁿ

Approfondissement · Type oral Mines

Une force centrale attractive de norme K/rⁿ, n différent de 1. Existe-t-il des orbites circulaires, sont-elles stables, et à quelle condition sur n ?

Technique potentiel effectif et signe de sa dérivée seconde.

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Ep(r) = −K/((n − 1) rⁿ⁻¹). Potentiel effectif : Ep,eff = Ep + m C²/(2 r²).
Orbite circulaire en r₀ si Ep,eff'(r₀) = 0 : K/r₀ⁿ = m C²/r₀³, donc m C² = K r₀³⁻ⁿ. Il existe toujours une orbite circulaire pour chaque C.
Ep,eff''(r₀) = −n K/r₀ⁿ⁺¹ + 3 m C²/r₀⁴ = (3 − n) K/r₀ⁿ⁺¹. Stable si et seulement si n est inférieur à 3.
Pulsation radiale des petites oscillations : ω_r² = (3 − n) K/(m r₀ⁿ⁺¹). Pulsation orbitale : ω_θ² = C²/r₀⁴ = K/(m r₀ⁿ⁺¹). Rapport ω_r/ω_θ = √(3 − n). Pour n = 2 le rapport vaut 1, l'orbite perturbée se referme, ce qui est cohérent avec les ellipses newtoniennes.

piège : Dériver Ep seul au lieu de Ep,eff, ce qui fait disparaître la barrière centrifuge.

Erreurs fréquentes

Appliquer le théorème du moment cinétique en un point mobile, ou sans dire que le référentiel est galiléen. Le jury retire des points sur la seule justification.
Dériver les composantes en polaires comme en cartésiennes. Le terme −r θ'² et le terme 2 r' θ' sont oubliés.
Croire qu'un satellite freiné ralentit. Sur une orbite quasi circulaire, perdre de l'énergie fait descendre et accélérer.
Utiliser v² = G M/r ailleurs que sur un cercle, ou oublier de vérifier qu'une énergie d'état lié est négative. Le jury CCINP relève des énergies positives incohérentes avec la question précédente.
Écrire un travail de la force magnétique, ou une résonance en élongation pour un Q inférieur à 1/√2.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la classe de MP (arrêté du 5 janvier 2021) et des acquis de mécanique de MPSI sur lesquels ce programme s'appuie explicitement. Elle rassemble ce qu'il faut avoir en mains avant d'aborder les référentiels non galiléens et les lois du frottement solide, seules nouveautés de mécanique inscrites au programme de MP.

Mécanique du point en référentiel galiléen

Résumé en cinq points

1Cinématique du point

1.1Référentiel et repère

1.2Vitesse et accélération

1.3Systèmes de coordonnées

1.4Mouvement circulaire

2Lois de Newton et forces usuelles

2.1Les trois lois

2.2Forces usuelles et leurs conditions de validité

3Moment cinétique

3.1Définitions

3.2Théorème du moment cinétique

3.3Cas d'une force centrale

4Approche énergétique

4.1Puissance, travail, théorème de l'énergie cinétique

4.2Forces conservatives et énergie potentielle

4.3Énergie mécanique et discussion graphique

5Oscillateurs

5.1Oscillateur harmonique libre

5.2Oscillateur amorti

5.3Oscillations forcées et résonance

6Mouvement à force centrale conservative

6.1Mise en équation

6.2Cas newtonien

6.3Lois de Kepler et orbites circulaires

7Particule chargée dans un champ électromagnétique

7.1Force de Lorentz

7.2Champ électrique uniforme

7.3Champ magnétique uniforme

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Pendule simple et tension du fil

Exercice 2. Décollement d'une sphère

Exercice 3. Facteur de qualité par décrément

Exercice 4. Potentiel de Lennard-Jones

Exercice 5. Satellite et freinage atmosphérique

Exercice 6. Transfert de Hohmann

Exercice 7. Distance minimale d'approche

Exercice 8. Spectromètre de masse et filtre de Wien

Exercice 9. Stabilité d'une orbite circulaire pour une force en 1/rⁿ

Erreurs fréquentes

Au concours