Le cours

Résumé en cinq points

$\lambda$ est valeur propre de $A$ lorsque $A - \lambda I$ n'est pas inversible. Le sous-espace propre associé est le noyau de $A - \lambda I$ .
Tout polynôme annulateur fournit la liste des valeurs propres possibles. Il faut ensuite vérifier chaque candidat.
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Une matrice d'ordre $n$ a donc au plus $n$ valeurs propres.
$A$ est diagonalisable lorsque la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut $n$ . C'est acquis si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, et c'est acquis pour toute matrice symétrique, résultat admis.
La diagonalisation sert avant tout à calculer $A^k = PD^kP^{-1}$ , et donc à décrire l'évolution d'un système sur un grand nombre de périodes.

Pourquoi ce chapitre

Diagonaliser une matrice, c'est trouver un point de vue dans lequel elle devient une simple liste de coefficients sur la diagonale. Dans ce point de vue, élever à la puissance $n$ revient à élever chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

Les puissances d'une matrice décrivent l'évolution d'un système sur plusieurs périodes :

répartition d'une clientèle entre deux marques d'une année sur l'autre ;
classes de bonus-malus en assurance ;
populations réparties entre plusieurs états.

Ce sont les chaînes de Markov du quatrième semestre. La réduction sert aussi à :

résoudre les systèmes différentiels linéaires ;
étudier les suites récurrentes linéaires ;
classer les points critiques d'une fonction de deux variables grâce à la matrice hessienne.

Le chapitre est très fréquent aux concours, souvent sous forme d'une matrice d'ordre 2 ou 3 dont on demande les éléments propres puis les puissances.

Dans toute la fiche, $n$ est un entier naturel non nul, $A$ est une matrice carrée réelle d'ordre $n$ , et $I$ désigne la matrice identité d'ordre $n$ . Les vecteurs sont des colonnes, éléments de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ .

1Éléments propres

1.1Définitions

Définition 1.1Valeur propre, vecteur propre

Un réel $\lambda$ est une valeur propre de $A$ lorsqu'il existe une colonne $X$ non nulle telle que $AX = \lambda X$ . Une telle colonne $X$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$ .

Attention

La condition « $X$ non nulle » est essentielle. Sans elle, tout réel serait valeur propre, puisque $A \cdot 0 = \lambda \cdot 0$ toujours.

Définition 1.2Spectre

Le spectre de $A$ , noté $\operatorname{Sp}(A)$ , est l'ensemble de ses valeurs propres.

Définition 1.3Sous-espace propre

Le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda$ est l'ensemble des colonnes $X$ vérifiant $AX = \lambda X$ , vecteur nul compris.

C'est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , égal au noyau de la matrice $A - \lambda I$ . Sa dimension est au moins 1 quand $\lambda$ est une valeur propre.

1.2Caractérisation utile

Propriété 1.4Caractérisation des valeurs propres

Pour un réel $\lambda$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\lambda$ est valeur propre de $A$ ;
le système $(A - \lambda I)X = 0$ admet une solution non nulle ;
la matrice $A - \lambda I$ n'est pas inversible ;
$\rg(A - \lambda I) < n$ .

C'est la traduction de la définition. Quand on ne dispose d'aucune autre information, on cherche pour quelles valeurs de $\lambda$ le pivot de Gauss appliqué à $A - \lambda I$ fait apparaître une ligne nulle. Le programme recommande de ne pas abuser de cette méthode, et de privilégier les situations où un polynôme annulateur est fourni.

Remarque

$0$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $A$ n'est pas inversible.

1.3Polynôme annulateur

Définition 1.5Polynôme annulateur

Un polynôme $Q$ est annulateur de $A$ lorsque $Q(A)$ est la matrice nulle, où $Q(A)$ s'obtient en remplaçant $x$ par $A$ et le terme constant $q$ par $qI$ .

Propriété 1.6Valeurs propres et polynôme annulateur

Hypothèses

$Q$ est un polynôme annulateur de $A$ ;
$\lambda$ est une valeur propre de $A$ .

Alors $Q(\lambda) = 0$ .

Démonstration

Soit $X$ un vecteur propre associé à $\lambda$ . Une récurrence immédiate donne $A^k X = \lambda^k X$ pour tout entier $k$ . Par linéarité, $Q(A)X = Q(\lambda)X$ . Comme $Q(A)$ est nulle, $Q(\lambda)X = 0$ avec $X$ non nul, donc $Q(\lambda) = 0$ .

Attention

La réciproque est fausse. Une racine de $Q$ n'est pas forcément une valeur propre. Le résultat donne seulement une liste finie de candidats. Il faut ensuite tester chaque candidat en résolvant le système $(A - \lambda I)X = 0$ .

Le programme précise qu'aucune autre connaissance sur les polynômes annulateurs n'est exigible.

Exemple 1.7Exemple type

Si $A$ vérifie $A^2 - 5A + 6I = 0$ , alors le polynôme $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ est annulateur. Les seules valeurs propres possibles sont $2$ et $3$ . On vérifie ensuite pour chacune si le système correspondant a des solutions non nulles.

1.4Familles de vecteurs propres

Théorème 1.8Concaténation de familles libres

Hypothèses

on prend des familles libres dans plusieurs sous-espaces propres de $A$ ;
ces sous-espaces sont associés à des valeurs propres deux à deux distinctes.

Alors la famille obtenue en les concaténant est libre.

Trois conséquences à connaître :

des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre ;
une matrice d'ordre $n$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes ;
la somme des dimensions des sous-espaces propres est inférieure ou égale à $n$ .

2Matrices diagonalisables

2.1Définition

Définition 2.1Matrice diagonalisable

Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est diagonalisable lorsqu'il existe une matrice diagonale $D$ et une matrice inversible $P$ telles que $D = P^{-1} A P,$ ce qui s'écrit aussi $A = PDP^{-1}$ .

Autrement dit, $A$ est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.

2.2Lecture des matrices P et D

Les colonnes de $P$ forment une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ constituée de vecteurs propres de $A$ . Les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres correspondantes, rangées dans le même ordre que les colonnes de $P$ .

Attention

Si on change l'ordre des colonnes de $P$ , il faut changer l'ordre des coefficients de $D$ de la même façon.

2.3Critères pratiques

Propriété 2.2Critère par les dimensions

$A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut $n$ . Cela revient à dire qu'il existe une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ formée de vecteurs propres de $A$ .

Propriété 2.3Valeurs propres distinctes

Hypothèses

$A$ est d'ordre $n$ ;
$A$ possède $n$ valeurs propres deux à deux distinctes.

Alors $A$ est diagonalisable, et chaque sous-espace propre est une droite.

Attention

Cette condition est suffisante, elle n'est pas nécessaire : la matrice identité est diagonalisable et n'a qu'une seule valeur propre.

Théorème 2.4Matrices symétriques

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Résultat admis au programme. Il est très utile au quatrième semestre, car la matrice hessienne d'une fonction de classe $C^2$ est symétrique.

2.4Un exemple qui n'est pas diagonalisable

Exemple 2.5Contre-exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . La seule valeur propre est $1$ , car $A - I$ a pour unique ligne non nulle la ligne $(0, 1)$ et son noyau est la droite engendrée par la colonne $(1, 0)$ . Le sous-espace propre est donc de dimension 1, strictement inférieure à 2. La matrice n'est pas diagonalisable.

C'est le contre-exemple à citer quand on demande si toute matrice est diagonalisable.

2.5Méthode complète de diagonalisation

MéthodeDiagonaliser une matrice

Trouver les valeurs propres, soit à l'aide d'un polynôme annulateur fourni, soit en cherchant pour quels $\lambda$ la matrice $A - \lambda I$ n'est pas inversible.
Pour chaque valeur propre $\lambda$ , résoudre le système $(A - \lambda I)X = 0$ et donner une base du sous-espace propre.
Additionner les dimensions obtenues. Si la somme vaut $n$ , la matrice est diagonalisable.
Écrire $P$ en mettant côte à côte les vecteurs propres trouvés, et $D$ en mettant les valeurs propres dans le même ordre.
Vérifier au brouillon que $AP = PD$ . Ce contrôle est plus rapide que de calculer $P^{-1}$ .

3Puissances d'une matrice

3.1Cas diagonalisable

Propriété 3.1Puissances par diagonalisation

Hypothèses

$A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale et $P$ inversible ;
$k$ est un entier naturel.

Alors $A^k = P D^k P^{-1},$ et $D^k$ est la matrice diagonale dont les coefficients sont les puissances $k$ -ièmes des coefficients de $D$ .

Démonstration

Par récurrence : les produits $P^{-1}P$ se simplifient deux à deux dans le produit $(PDP^{-1})(PDP^{-1})\cdots(PDP^{-1})$ .

Exemple 3.2Location de véhicules

Une agence de location possède deux sites. Chaque semaine, 80 pour cent des véhicules du site 1 y restent et 20 pour cent partent au site 2, tandis que 30 pour cent des véhicules du site 2 partent au site 1. La répartition à la semaine $k$ est $A^k$ appliquée à la répartition initiale. Diagonaliser $A$ donne la répartition à toute date et sa limite.

3.2Cas non diagonalisable, méthode du binôme

Quand $A$ n'est pas diagonalisable, le programme demande de savoir calculer des puissances à l'aide de la formule du binôme sur des exemples.

MéthodePuissances par le binôme

Écrire $A = \lambda I + N$ , où $N = A - \lambda I$ .
Remarquer que $\lambda I$ et $N$ commutent, car l'identité commute avec tout : la formule du binôme de Newton est valable.
Écrire $A^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} \lambda^{k-j} N^j.$
Utiliser $N^2 = 0$ ou $N^3 = 0$ dans les exemples traités : la somme se réduit à deux ou trois termes.

Exemple 3.3Matrice triangulaire d'ordre 2

Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , on pose $N = A - I$ , qui a un seul coefficient non nul, égal à 1, en haut à droite. On vérifie $N^2 = 0$ . Donc $A^k = I + kN$ , c'est-à-dire $A^k = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

3.3Suites récurrentes linéaires

Soit une suite vectorielle définie par $X_{k+1} = AX_k$ , avec $X_0$ donné. Une récurrence immédiate donne $X_k = A^k X_0$ . La réduction de $A$ fournit donc l'expression explicite de la suite.

Exemple 3.4Cas scalaire d'ordre 2

Une suite réelle définie par $u_{k+2} = a u_{k+1} + b u_k$ se met sous forme matricielle en posant $X_k = \begin{pmatrix} u_{k+1} \\ u_k \end{pmatrix}$ . La matrice $A$ a pour première ligne $(a, b)$ et pour seconde ligne $(1, 0)$ . On retrouve ainsi les formules de première année sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Comportement asymptotique :

si $A$ est diagonalisable et si toutes ses valeurs propres sont de valeur absolue strictement inférieure à 1, alors $A^k$ tend vers la matrice nulle et $X_k$ tend vers le vecteur nul ;
si une valeur propre vaut 1 et que les autres sont de valeur absolue strictement inférieure à 1, la suite converge en général vers un vecteur propre associé à 1.

C'est le mécanisme de l'état stable des chaînes de Markov.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Quand l'énoncé donne une relation polynomiale vérifiée par $A$ , l'exploiter immédiatement pour obtenir la liste des valeurs propres candidates.
Ne jamais conclure qu'un candidat est valeur propre sans avoir exhibé un vecteur propre non nul.
Pour montrer qu'une matrice n'est pas diagonalisable, comparer la somme des dimensions des sous-espaces propres à $n$ .
Pour calculer $P^{-1}$ quand c'est indispensable, utiliser le pivot de Gauss sur la matrice augmentée. Souvent, l'énoncé évite ce calcul en demandant seulement $AP = PD$ .
Pour une matrice symétrique, la diagonalisabilité est acquise. Il reste seulement à trouver les éléments propres.
Pour les puissances d'une matrice non diagonalisable, tenter la décomposition en identité plus matrice de carré nul.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, spectre, sans oublier la condition de non-nullité du vecteur.
Démontrer que toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur donné.
Expliquer sur un exemple pourquoi la réciproque est fausse.
Diagonaliser complètement une matrice d'ordre 3 dont les valeurs propres sont fournies ou faciles à obtenir.
Donner un exemple de matrice d'ordre 2 non diagonalisable et le justifier.
Calculer $A^k$ à partir d'une diagonalisation, puis étudier la limite quand $k$ tend vers l'infini.
Calculer $A^k$ par la formule du binôme quand $A$ s'écrit comme identité plus matrice de carré nul.
Mettre une suite récurrente linéaire d'ordre 2 sous forme matricielle et en donner le terme général.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

λ est valeur propre de A si et seulement si A − λI n'est pas inversible, si et seulement si le système (A − λI)X = 0 a une solution non nulle. Exigible avec démonstration, à partir de la caractérisation de première année, une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit à zéro.
0 est valeur propre de A si et seulement si A n'est pas inversible. Exigible, cas particulier du précédent.
Le sous-espace propre E_λ est le noyau de A − λI, c'est un sous-espace vectoriel de dimension au moins 1 quand λ est valeur propre. Exigible.
Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux. Exigible avec démonstration, A − λI est triangulaire et inversible si et seulement si sa diagonale ne contient pas de zéro, résultat de première année.
Pour une matrice d'ordre 2, λ est valeur propre si et seulement si (a − λ)(d − λ) − bc = 0. Exigible, le déterminant d'ordre 2 est au programme de première année. Aucun déterminant d'ordre 3.
Si Q est un polynôme annulateur de A, toute valeur propre de A est racine de Q. Exigible avec démonstration. La réciproque est fausse.
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre, et plus généralement la concaténation de familles libres de sous-espaces propres distincts est libre. Admis au programme, la démonstration pour deux vecteurs est exigible.
Une matrice d'ordre n a au plus n valeurs propres, et la somme des dimensions des sous-espaces propres est au plus n. Exigibles à partir du précédent.
A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n. Alors P a pour colonnes une base de vecteurs propres et D les valeurs propres dans le même ordre. Exigible.
Si A d'ordre n a n valeurs propres distinctes, A est diagonalisable. Exigible avec démonstration. Condition suffisante, non nécessaire.
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. Admis.
Si A = PDP⁻¹, alors Aᵏ = PDᵏP⁻¹. Exigible avec démonstration par récurrence.
Formule du binôme pour Aᵏ quand A = λI + N avec N nilpotente. Exigible, la commutation de λI avec N doit être dite.
Hors programme, à signaler. Le polynôme caractéristique, le déterminant d'ordre 3, la trigonalisation, la multiplicité, le théorème de Cayley-Hamilton, les sous-espaces stables.

Clés de démonstration

Polynôme annulateur. Si AX = λX avec X ≠ 0, une récurrence donne AᵏX = λᵏX, puis par linéarité Q(A)X = Q(λ)X. Comme Q(A) = 0, on obtient Q(λ)X = 0 avec X ≠ 0, donc Q(λ) = 0. Astuce, tout polynôme en A agit sur un vecteur propre comme le même polynôme en λ.

Deux vecteurs propres, deux valeurs propres distinctes. Si aX + bY = 0 avec AX = λX et AY = μY, on applique A, aλX + bμY = 0, puis on retranche λ fois la première relation, b(μ − λ)Y = 0. Comme μ ≠ λ et Y ≠ 0, b = 0, puis a = 0. Astuce, appliquer A puis éliminer.

Valeurs propres distinctes et diagonalisabilité. n vecteurs propres associés à n valeurs propres distinctes forment une famille libre de n vecteurs en dimension n, donc une base. Astuce, l'argument de dimension évite tout calcul.

Puissances. (PDP⁻¹)(PDP⁻¹) = PD(P⁻¹P)DP⁻¹ = PD²P⁻¹, et la récurrence suit. Astuce, les P⁻¹P internes disparaissent.

Binôme. Si N = A − λI, alors λI et N commutent, donc Aᵏ = Σ de j = 0 à k de C(k, j) λᵏ⁻ʲ Nʲ, et les termes s'arrêtent dès que Nʲ = 0. Astuce, vérifier N² ou N³ nulle avant d'écrire la formule.

Lecture de AP = PD. La colonne j de AP est A fois la colonne j de P, la colonne j de PD est λⱼ fois la colonne j de P. L'égalité dit exactement que chaque colonne de P est un vecteur propre. Astuce, cette vérification remplace le calcul de P⁻¹.

Exemples et contre-exemples à connaître

La matrice de lignes (1, 1) et (0, 1) a pour seule valeur propre 1 et un sous-espace propre de dimension 1. Non diagonalisable, c'est le contre-exemple de référence.
L'identité est diagonalisable avec une seule valeur propre. Avoir n valeurs propres distinctes n'est pas nécessaire.
La matrice J de lignes (0, 1) et (−1, 0) vérifie J² = −I. Le polynôme x² + 1 est annulateur sans racine réelle, J n'a aucune valeur propre réelle et n'est pas diagonalisable.
Si A² = A, alors Sp(A) est inclus dans {0, 1}. La matrice nulle montre que 1 peut ne pas être valeur propre, l'identité montre que 0 peut ne pas l'être.
Une matrice nilpotente non nulle, N² = 0 avec N ≠ 0, a pour seule valeur propre 0 et n'est pas diagonalisable, sinon elle serait égale à P0P⁻¹ = 0.
La matrice symétrique de lignes (1, 2) et (2, 1) a pour valeurs propres 3 et −1, vecteurs propres (1, 1) et (1, −1). Symétrique, donc diagonalisable, et on le vérifie.
La matrice de lignes (2, 0) et (0, 2) et celle de lignes (2, 1) et (0, 2) ont le même spectre {2}. La première est diagonale, la seconde n'est pas diagonalisable. Le spectre ne suffit pas.
Une matrice de transition dont les colonnes somment à 1 admet 1 comme valeur propre de sa transposée. Pour l'ordre 2, le calcul direct le confirme, et l'état stable est un vecteur propre associé à 1.
Si A est diagonalisable avec toutes ses valeurs propres de valeur absolue strictement inférieure à 1, alors Aᵏ tend vers la matrice nulle. C'est le mécanisme de convergence des chaînes de Markov.
Pour A = PDP⁻¹, changer l'ordre des colonnes de P impose de changer l'ordre des coefficients de D. Une inversion entre les deux rend AP ≠ PD.

Techniques du chapitre

Valeurs propres par polynôme annulateur. Mini-exercice, A vérifie A² − 3A + 2I = 0. Les candidats sont les racines de x² − 3x + 2, soit 1 et 2. Il reste à tester chacun.

Valeurs propres d'ordre 2 par le déterminant. Mini-exercice, A de lignes (1, 2) et (2, 1). (1 − λ)² − 4 = 0 donne λ = 3 ou λ = −1.

Sous-espace propre par système. Mini-exercice, la même A pour λ = 3. (A − 3I)X = 0 donne −2x + 2y = 0, soit y = x. E₃ = Vect((1, 1)).

Construire P et D et vérifier. Mini-exercice, P de colonnes (1, 1) et (1, −1), D diagonale de coefficients 3 et −1. AP a pour colonnes (3, 3) et (−1, 1), PD aussi. Diagonalisation validée sans calculer P⁻¹.

Puissances par diagonalisation. Mini-exercice, avec P⁻¹ = (1/2) × lignes (1, 1) et (1, −1), Aᵏ = PDᵏP⁻¹ a pour coefficient (1, 1) la valeur (3ᵏ + (−1)ᵏ)/2 et pour coefficient (1, 2) la valeur (3ᵏ − (−1)ᵏ)/2. Contrôle k = 1, on retrouve 1 et 2.

Binôme avec N² = 0. Mini-exercice, A de lignes (2, 1) et (0, 2). N = A − 2I a un seul 1 en position (1, 2), N² = 0, donc Aᵏ = 2ᵏI + k2ᵏ⁻¹N, lignes (2ᵏ, k2ᵏ⁻¹) et (0, 2ᵏ).

Suite vectorielle. Mini-exercice, X₍ₖ₊₁₎ = AX_k. Si X₀ = aV + bW avec V, W vecteurs propres pour λ et μ, alors X_k = aλᵏV + bμᵏW. Pas besoin de P⁻¹, il suffit de décomposer X₀.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Diagonalisation complète d'une matrice d'ordre 2

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (1, 2) et (2, 1). Déterminer ses valeurs propres et sous-espaces propres, diagonaliser A, calculer Aᵏ pour tout entier naturel k.

Technique déterminant d'ordre 2, systèmes, puis PDᵏP⁻¹.

Voir le corrigé

(1 − λ)² − 4 = 0 donne λ = 3 ou λ = −1. 2. E₃, −2x + 2y = 0, Vect((1, 1)). E₋₁, 2x + 2y = 0, Vect((1, −1)). 3. Deux valeurs propres distinctes en dimension 2, A diagonalisable, P de colonnes (1, 1) et (1, −1), D = diag(3, −1). 4. P⁻¹ = (1/2) × lignes (1, 1) et (1, −1). Aᵏ = PDᵏP⁻¹ = (1/2) × lignes (3ᵏ + (−1)ᵏ, 3ᵏ − (−1)ᵏ) et (3ᵏ − (−1)ᵏ, 3ᵏ + (−1)ᵏ). Contrôle k = 1, lignes (1, 2) et (2, 1).

piège : Écrire Dᵏ en élevant D à la puissance k coefficient par coefficient, ce qui est juste, puis oublier de multiplier par P et P⁻¹.

Exercice 2. Polynôme annulateur et matrice symétrique d'ordre 3

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit J la matrice d'ordre 3 dont tous les coefficients valent 1, et A = J − I. Montrer que A² = A + 2I. En déduire les valeurs propres possibles de A, déterminer les sous-espaces propres, et conclure que A est diagonalisable.

Technique polynôme annulateur, puis test de chaque candidat.

Voir le corrigé

J² = 3J, donc A² = J² − 2J + I = J + I = A + 2I. 2. x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) est annulateur, Sp(A) ⊂ {2, −1}. 3. AX = 2X équivaut à JX = 3X, soit x + y + z = 3x = 3y = 3z, donc x = y = z. E₂ = Vect((1, 1, 1)). 4. AX = −X équivaut à JX = 0, soit x + y + z = 0, plan de base ((1, −1, 0), (1, 0, −1)). E₋₁ de dimension 2. 5. Somme des dimensions 1 + 2 = 3, A diagonalisable, D = diag(2, −1, −1) avec P de colonnes (1, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 0, −1). Cohérence, A est symétrique, résultat admis.

piège : Conclure « 2 et −1 sont valeurs propres » dès le polynôme annulateur, sans exhiber de vecteur propre.

Exercice 3. Non diagonalisable et binôme

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (2, 1) et (0, 2). Montrer que A n'est pas diagonalisable et calculer Aᵏ.

Technique matrice triangulaire, dimension du sous-espace propre, binôme.

Voir le corrigé

A est triangulaire, Sp(A) = {2}. 2. (A − 2I)X = 0 donne y = 0, E₂ = Vect((1, 0)), dimension 1 < 2. Non diagonalisable. 3. N = A − 2I, N² = 0, et 2I commute avec N. Aᵏ = 2ᵏI + k2ᵏ⁻¹N, lignes (2ᵏ, k2ᵏ⁻¹) et (0, 2ᵏ). Contrôle k = 2, A² a pour lignes (4, 4) et (0, 4).

piège : Appliquer le binôme à une somme de matrices qui ne commutent pas.

Exercice 4. Matrice de transition à deux états

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Une clientèle se répartit entre deux enseignes. Chaque année, 80 % des clients de la première y restent et 20 % passent à la seconde, tandis que 30 % des clients de la seconde passent à la première. On note X_k la colonne des proportions à l'année k, et A la matrice de lignes (0,8, 0,3) et (0,2, 0,7), de sorte que X₍ₖ₊₁₎ = AX_k. Diagonaliser A, exprimer X_k et déterminer sa limite.

Technique déterminant d'ordre 2, décomposition de X₀ sur les vecteurs propres.

Voir le corrigé

(0,8 − λ)(0,7 − λ) − 0,06 = λ² − 1,5λ + 0,5 = (λ − 1)(λ − 0,5). Valeurs propres 1 et 0,5. 2. Pour λ = 1, −0,2x + 0,3y = 0, soit 2x = 3y, V = (3, 2). Pour λ = 0,5, 0,3x + 0,3y = 0, W = (1, −1). 3. Diagonalisable, deux valeurs propres distinctes. 4. Si X₀ = (x₀, y₀) avec x₀ + y₀ = 1, on écrit X₀ = aV + bW, soit 3a + b = x₀ et 2a − b = y₀, d'où a = 1/5 et b = x₀ − 3/5. 5. X_k = AᵏX₀ = aV + b(0,5)ᵏW, qui tend vers aV = (3/5, 2/5). Quelle que soit la répartition initiale, la première enseigne tend vers 60 % de la clientèle.

piège : Chercher P⁻¹ pour calculer Aᵏ alors que la décomposition de X₀ suffit et évite les fractions.

Exercice 5. Suite récurrente linéaire d'ordre 2

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit u₀ = 1, u₁ = 5 et u₍ₙ₊₂₎ = u₍ₙ₊₁₎ + 2uₙ. On pose X_n la colonne (u₍ₙ₊₁₎, uₙ). Trouver A telle que X₍ₙ₊₁₎ = AX_n, diagonaliser A, et donner uₙ en fonction de n.

Technique écriture matricielle, décomposition de X₀ sur une base de vecteurs propres.

Voir le corrigé

A a pour lignes (1, 2) et (1, 0), car AX_n = (u₍ₙ₊₁₎ + 2uₙ, u₍ₙ₊₁₎) = X₍ₙ₊₁₎. 2. (1 − λ)(−λ) − 2 = λ² − λ − 2 = (λ − 2)(λ + 1). Valeurs propres 2 et −1. 3. E₂, −x + 2y = 0, V = (2, 1). E₋₁, 2x + 2y = 0, W = (1, −1). 4. X₀ = (5, 1) = aV + bW donne 2a + b = 5 et a − b = 1, donc a = 2, b = 1. 5. X_n = 2 × 2ⁿV + (−1)ⁿW, et uₙ est la seconde coordonnée, uₙ = 2ⁿ⁺¹ − (−1)ⁿ. Contrôle, u₂ = 5 + 2 = 7 et 8 − 1 = 7.

piège : Prendre X_n = (uₙ, u₍ₙ₊₁₎) avec la matrice écrite pour l'autre ordre.

Exercice 6. Binôme avec N³ = 0

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit A de lignes (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1). Montrer que A n'est pas diagonalisable et calculer Aᵏ pour tout k ≥ 2.

Technique triangulaire, noyau de A − I, binôme jusqu'au terme en N².

Voir le corrigé

Triangulaire, Sp(A) = {1}. 2. N = A − I a pour lignes (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0). NX = 0 donne y = 0 et z = 0, E₁ = Vect((1, 0, 0)), dimension 1 < 3, non diagonalisable. 3. N² a pour seule entrée non nulle un 1 en position (1, 3), N³ = 0. 4. Aᵏ = I + kN + (k(k − 1)/2)N², lignes (1, k, k(k − 1)/2), (0, 1, k), (0, 0, 1). Contrôle k = 2, lignes (1, 2, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 1), qui est bien A².

piège : Oublier le coefficient binomial C(k, 2) devant N².

Exercice 7. Deux méthodes pour Aᵏ

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit J la matrice d'ordre 3 de coefficients tous égaux à 1 et A = I + J. Calculer Aᵏ par la formule du binôme, puis retrouver le résultat par diagonalisation.

Technique Jʲ = 3ʲ⁻¹J pour j ≥ 1, puis somme binomiale.

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J² = 3J, et par récurrence Jʲ = 3ʲ⁻¹J pour j ≥ 1. 2. I et J commutent, Aᵏ = I + Σ de j = 1 à k de C(k, j)3ʲ⁻¹J = I + (1/3)(Σ de j = 0 à k de C(k, j)3ʲ − 1)J = I + ((4ᵏ − 1)/3)J. 3. Diagonalisation, JX = μX donne μ ∈ {0, 3} par le polynôme annulateur x² − 3x. E₀ est le plan x + y + z = 0, E₃ = Vect((1, 1, 1)). Donc A a pour valeurs propres 1 sur le plan et 4 sur la droite, diagonalisable. 4. Contrôle, A appliquée k fois à (1, 1, 1) donne 4ᵏ(1, 1, 1), et la formule donne 1 + (4ᵏ − 1) = 4ᵏ. Sur un vecteur du plan, les deux donnent le vecteur inchangé.

piège : Écrire Jʲ = 3ʲJ, faux dès j = 1.

Exercice 8. Sans valeur propre réelle, et A² = A

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

(a) Soit J de lignes (0, 1) et (−1, 0). Montrer que J n'a aucune valeur propre réelle et n'est pas diagonalisable. (b) Soit A carrée avec A² = A. Montrer Sp(A) ⊂ {0, 1}. Montrer que si de plus A est inversible, alors A = I.

Technique polynôme annulateur, puis multiplication par l'inverse.

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J² = −I, donc x² + 1 est annulateur. Il n'a pas de racine réelle, Sp(J) = ∅. 2. Une matrice diagonalisable a au moins une valeur propre, les coefficients de D. Donc J n'est pas diagonalisable. 3. x² − x = x(x − 1) est annulateur de A, Sp(A) ⊂ {0, 1}. 4. Si A est inversible, on multiplie A² = A par A⁻¹, A = I.

piège : Déduire de Sp(A) ⊂ {0, 1} que A est diagonalisable. Un spectre ne dit rien sur les dimensions des sous-espaces propres.

Exercice 9. Réciproque pour A² = A, et limite des puissances

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

(a) Soit A diagonalisable avec Sp(A) ⊂ {0, 1}. Montrer que A² = A. (b) Soit A diagonalisable. Montrer que Aᵏ tend vers la matrice nulle si et seulement si toutes les valeurs propres sont de valeur absolue strictement inférieure à 1.

Technique tout passe par D.

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A = PDP⁻¹ avec D diagonale à coefficients 0 ou 1, donc D² = D, et A² = PD²P⁻¹ = PDP⁻¹ = A. 2. Aᵏ = PDᵏP⁻¹, et les coefficients de Dᵏ sont les λᵢᵏ. Si tous les |λᵢ| < 1, Dᵏ tend vers 0, et Aᵏ = PDᵏP⁻¹ aussi, chaque coefficient étant une combinaison linéaire fixe des λᵢᵏ. 3. Réciproquement, si |λ| ≥ 1 pour un vecteur propre X, AᵏX = λᵏX ne tend pas vers 0, donc Aᵏ non plus.

piège : Passer à la limite dans PDᵏP⁻¹ sans dire que P et P⁻¹ sont fixes.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition X ≠ 0 dans la définition d'un vecteur propre, ce qui rendrait tout réel valeur propre.
Déclarer valeurs propres les racines d'un polynôme annulateur sans tester chaque candidat.
Ne pas respecter le même ordre entre les colonnes de P et les coefficients de D.
Utiliser la formule du binôme avec des matrices qui ne commutent pas.
Calculer P⁻¹ par réflexe alors que AP = PD, ou la décomposition de X₀, suffit.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Algèbre linéaire », paragraphe « Réduction des matrices carrées ». Le programme demande d'éviter les méthodes trop calculatoires et déconseille explicitement la résolution de systèmes à paramètres. Le déterminant et le polynôme caractéristique ne figurent pas au programme de la filière, ils ne sont donc pas utilisés ici.