Le cours

Résumé en cinq points

Un système différentiel linéaire à coefficients constants s'écrit $X' = AX$ . Un problème de Cauchy y admet une solution unique définie sur $\R$ , résultat admis.
Quand $A$ est diagonalisable, le changement de variable $X = PY$ transforme le système en équations découplées $y_i' = \lambda_i y_i$ .
La solution générale est une combinaison des fonctions $t \mapsto \e^{\lambda_i t}V_i$ , où $V_i$ est un vecteur propre associé à $\lambda_i$ .
Le signe des valeurs propres gouverne le comportement en $+\infty$ . Toutes négatives donne un équilibre attractif, une seule positive donne l'instabilité.
Une équation scalaire d'ordre 2 à coefficients constants est équivalente à un système de deux équations d'ordre 1, et les valeurs propres sont les racines de l'équation caractéristique.

Pourquoi ce chapitre

En première année, on a résolu une équation différentielle portant sur une seule fonction inconnue. Ici, plusieurs grandeurs évoluent en même temps et s'influencent mutuellement : le prix d'un bien dépend du stock, le stock dépend de la production, la production dépend du prix. On obtient un système d'équations différentielles couplées.

On découple le système en changeant de base. La réduction des matrices fournit le changement de base qui transforme un système couplé en équations indépendantes, chacune de la forme $y' = \lambda y$ , que l'on sait résoudre depuis la première année.

Le chapitre demande aussi une lecture qualitative. Le signe des valeurs propres décide si les trajectoires convergent vers un équilibre ou s'en éloignent. C'est la question que se pose un économiste face à un modèle dynamique, et souvent la question finale d'un sujet de concours.

1Le cadre

1.1Écriture matricielle

On cherche des fonctions $x_1, \dots, x_n$ dérivables sur $\R$ , reliées par un système de la forme $\begin{aligned} x_1'(t) &= a_{11}x_1(t) + \dots + a_{1n}x_n(t),\\ &\ \ \vdots\\ x_n'(t) &= a_{n1}x_1(t) + \dots + a_{nn}x_n(t). \end{aligned}$

Définition 1.1Système différentiel linéaire à coefficients constants

Soit $X(t)$ la colonne des $x_i(t)$ et $A$ la matrice carrée réelle des coefficients $a_{ij}$ . Le système s'écrit $X' = AX,$ où $X'$ désigne la colonne des dérivées. Il est dit linéaire, homogène et à coefficients constants.

1.2Problème de Cauchy

Un problème de Cauchy consiste à ajouter une condition initiale $X(t_0) = X_0$ .

Théorème 1.2Existence et unicité (Cauchy)

Pour toute matrice $A$ et toute condition initiale, le problème de Cauchy $X' = AX$ , $X(t_0) = X_0$ admet une solution et une seule définie sur $\R$ tout entier.

Résultat admis.

Deux conséquences utiles :

une trajectoire est entièrement déterminée par son point de départ ;
deux trajectoires distinctes ne se croisent jamais, car un point commun donnerait deux solutions au même problème de Cauchy.

1.3Structure de l'ensemble des solutions

Propriété 1.3Stabilité par combinaison linéaire

Si $X$ et $Y$ sont solutions de $X' = AX$ et si $\lambda$ , $\mu$ sont réels, alors $\lambda X + \mu Y$ est solution.

C'est la version continue de ce qui a été observé en première année sur les équations scalaires.

La fonction constante nulle est toujours solution : c'est la solution d'équilibre du système homogène.

2Résolution quand A est diagonalisable

Le programme limite la pratique de la résolution au cas où $A$ est diagonalisable, de taille 2 ou 3.

2.1Le principe

MéthodeDécoupler le système

Hypothèses : $A = PDP^{-1}$ , avec $D$ diagonale de coefficients diagonaux $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ , et $P$ inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres.

Poser $Y(t) = P^{-1}X(t)$ , c'est-à-dire $X(t) = PY(t)$ .
Comme $P$ est une matrice constante, la dérivation se fait coefficient par coefficient : $X' = PY'$ .
Le système devient $PY' = APY = PDY$ . En simplifiant par $P$ , qui est inversible, on obtient $Y' = DY.$

Ce nouveau système est découplé : il s'écrit $y_i' = \lambda_i y_i$ pour chaque $i$ , et ces équations sont indépendantes.

2.2Résolution du système découplé

L'équation $y' = \lambda y$ a pour solutions les fonctions $t \mapsto c\,\e^{\lambda t}$ , où $c$ est une constante réelle quelconque (résultat de première année). Donc $y_i(t) = c_i\,\e^{\lambda_i t},$ avec $c_1, \dots, c_n$ constantes réelles arbitraires.

2.3Retour aux inconnues initiales

On revient à $X$ par $X(t) = PY(t)$ .

Théorème 2.1Forme générale des solutions

Hypothèses

$A$ est diagonalisable ;
$V_1, \dots, V_n$ sont les colonnes de $P$ , vecteurs propres associés à $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ .

Alors les solutions de $X' = AX$ sont les fonctions $X(t) = c_1\e^{\lambda_1 t}V_1 + \dots + c_n\e^{\lambda_n t}V_n,$ avec $c_1, \dots, c_n$ réels.

Les constantes $c_i$ se déterminent à partir de la condition initiale, en résolvant un système linéaire.

À retenir

Chaque valeur propre donne un mode d'évolution en exponentielle, et chaque vecteur propre donne la direction dans laquelle ce mode agit.

2.4Exemple d'ordre 2

Exemple 2.2Un système symétrique

Soit le système $x' = x + 2y$ , $y' = 2x + y$ . La matrice $A$ a pour première ligne $(1, 2)$ et pour seconde ligne $(2, 1)$ . Elle est symétrique, donc diagonalisable.

Éléments propres :

la colonne $(1, 1)$ vérifie $A(1, 1) = (3, 3)$ , donc $3$ est valeur propre associée à ce vecteur ;
la colonne $(1, -1)$ vérifie $A(1, -1) = (-1, 1)$ , donc $-1$ est valeur propre associée à ce vecteur.

Deux valeurs propres distinctes en dimension 2 : la matrice est bien diagonalisable. Les solutions sont $\begin{aligned} x(t) &= c_1\e^{3t} + c_2\e^{-t},\\ y(t) &= c_1\e^{3t} - c_2\e^{-t}, \end{aligned}$ avec $c_1$ et $c_2$ réels.

Si on impose $x(0) = 2$ et $y(0) = 0$ , on obtient $c_1 + c_2 = 2$ et $c_1 - c_2 = 0$ , donc $c_1 = c_2 = 1$ .

3Comportement asymptotique et stabilité

3.1Lecture des signes

On suppose $A$ diagonalisable, de valeurs propres réelles $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ . D'après la forme générale des solutions, le comportement quand $t \to +\infty$ se lit directement sur les signes.

Propriété 3.1Stabilité selon le signe des valeurs propres

Si toutes les valeurs propres sont strictement négatives, chaque exponentielle tend vers $0$ et toute trajectoire tend vers le vecteur nul. L'équilibre est dit asymptotiquement stable, ou attractif.
Si au moins une valeur propre est strictement positive, les trajectoires dont la constante associée est non nulle voient leur norme tendre vers l'infini. L'équilibre est instable.
Si une valeur propre est nulle, le mode correspondant est constant. La trajectoire tend vers un vecteur propre associé à $0$ , multiplié par une constante, à condition que les autres valeurs propres soient strictement négatives.

Interprétation économique : un modèle dont toutes les valeurs propres sont négatives revient spontanément à son état de référence après un choc. Un modèle possédant une valeur propre positive amplifie les chocs, ce qui traduit une divergence.

3.2État d'équilibre

Une trajectoire d'équilibre est une solution constante.

Propriété 3.2Équilibres de $X' = AX$

Une fonction constante égale à $X^*$ est solution si et seulement si $AX^* = 0$ , c'est-à-dire si $X^*$ appartient au noyau de $A$ . Si $A$ est inversible, le seul équilibre est le vecteur nul.

Situation fréquente dans les sujets : un second membre constant.

MéthodeSystème avec second membre constant

Hypothèses : le système s'écrit $X' = AX + B$ , avec $B$ colonne constante, et $A$ est inversible.

Déterminer l'unique équilibre $X^*$ , solution de $AX^* + B = 0$ .
Poser $Z = X - X^*$ .
Comme $X^*$ est constante : $\begin{aligned} Z' &= X' = AX + B\\ &= A(Z + X^*) + B\\ &= AZ. \end{aligned}$
On est ramené au système homogène, et l'étude de la stabilité est identique.

Cette technique de translation est la version vectorielle de la recherche d'une solution particulière constante vue en première année.

3.3Trajectoires

Une trajectoire est la courbe décrite par le point $X(t)$ quand $t$ parcourt $\R$ . Le programme demande une approche qualitative, pas un tracé savant.

Deux trajectoires distinctes ne se coupent jamais.
Si une trajectoire converge quand $t \to +\infty$ , sa limite est un équilibre.

4Lien avec une équation scalaire d'ordre 2

Soit l'équation $y'' + ay' + by = 0$ , où $a$ et $b$ sont des réels. On pose $x_1 = y$ et $x_2 = y'$ . Alors $x_1' = x_2, \qquad x_2' = -bx_1 - ax_2.$

Propriété 4.1Équivalence avec un système d'ordre 1

L'équation $y'' + ay' + by = 0$ équivaut au système $X' = AX$ , où $A$ a pour première ligne $(0, 1)$ et pour seconde ligne $(-b, -a)$ .

Réciproquement, un système de deux équations d'ordre 1 se ramène en général à une équation scalaire d'ordre 2 en dérivant l'une des deux équations et en substituant.

Propriété 4.2Valeurs propres et équation caractéristique

Les valeurs propres de cette matrice $A$ sont exactement les racines de l'équation caractéristique $r^2 + ar + b = 0$ .

Démonstration

Si $r$ est valeur propre, un vecteur propre associé est la colonne $(1, r)$ , et l'égalité $A(1, r) = r(1, r)$ impose $r^2 + ar + b = 0$ .

Quand cette équation a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ , la matrice est diagonalisable et on retrouve les solutions de la forme $c_1\e^{r_1 t} + c_2\e^{r_2 t}$ .

Le programme de première année se restreint au cas où l'équation caractéristique a des racines réelles. On reste dans ce cadre.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Écrire le système sous forme $X' = AX$ avant toute chose, et identifier $A$ proprement.
Diagonaliser $A$ . Si $A$ est symétrique, la diagonalisabilité est acquise sans calcul supplémentaire.
Poser $X = PY$ , obtenir $Y' = DY$ , résoudre chaque ligne séparément, puis revenir à $X$ . Rédiger ces trois étapes explicitement : c'est la démarche attendue.
Pour un second membre constant, commencer par déterminer l'équilibre, puis translater.
Pour la question qualitative, ne pas recalculer les solutions : regarder le signe des valeurs propres suffit.
Pour une équation scalaire d'ordre 2, penser à la mise sous forme de système, et inversement.

Attention

Ne pas chercher à écrire une exponentielle de matrice : elle est hors programme.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Mettre un système de deux équations différentielles couplées sous la forme $X' = AX$ .
Énoncer le théorème de Cauchy pour ce type de système et préciser qu'il est admis.
Résoudre complètement un système d'ordre 2 à matrice diagonalisable, avec condition initiale.
Résoudre un système d'ordre 3 dont la diagonalisation est donnée ou guidée.
Justifier le passage de $X' = AX$ à $Y' = DY$ par le changement $X = PY$ , en expliquant pourquoi $P$ constante permet de dériver ainsi.
Discuter la stabilité de l'équilibre en fonction du signe des valeurs propres.
Ramener un système avec second membre constant au cas homogène par translation autour de l'équilibre.
Transformer $y'' + ay' + by = 0$ en système d'ordre 1 et retrouver l'équation caractéristique comme condition sur les valeurs propres.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants s'écrit X′ = AX, avec A carrée réelle et X colonne de fonctions dérivables sur R. Définition exigible.
Problème de Cauchy. Pour toute matrice A, tout instant t₀ et toute colonne X₀, il existe une unique solution définie sur R avec X(t₀) = X₀. Admis.
L'ensemble des solutions de X′ = AX est stable par combinaison linéaire, et la fonction nulle est solution. Exigible avec démonstration.
Deux trajectoires distinctes ne se croisent jamais. Exigible, conséquence de l'unicité de Cauchy.
Si A = PDP⁻¹ avec D diagonale, alors X est solution de X′ = AX si et seulement si Y = P⁻¹X est solution de Y′ = DY. Exigible avec démonstration.
L'équation y′ = λy a pour solutions les fonctions t ↦ c e^λt, c réel. Exigible, résultat de première année.
Forme générale. Si A est diagonalisable avec valeurs propres λ₁, …, λₙ et vecteurs propres V₁, …, Vₙ, les solutions sont les X(t) = c₁ e^λ₁t V₁ + … + cₙ e^λₙt Vₙ, avec cᵢ réels. Exigible avec démonstration, dans le cadre de la pratique en taille 2 ou 3.
Comportement asymptotique, A diagonalisable. Si toutes les valeurs propres sont strictement négatives, toute solution tend vers 0. Si l'une est strictement positive, il existe des solutions non bornées. Si une valeur propre est nulle et les autres strictement négatives, toute solution converge vers un vecteur du noyau de A. Exigible avec démonstration.
État d'équilibre. X* constante est solution de X′ = AX + B si et seulement si AX* + B = 0. Si A est inversible, l'équilibre est unique et Z = X − X* vérifie Z′ = AZ. Exigible avec démonstration.
Équation scalaire y″ + ay′ + by = 0 et système X′ = AX avec X = (y, y′) et A = [[0, 1], [−b, −a]]. Les valeurs propres de A sont les racines de r² + ar + b = 0. Exigible avec démonstration.
Hors programme, à signaler. L'exponentielle de matrice, le cas des valeurs propres complexes, le cas non diagonalisable, les systèmes à coefficients variables.

Clés de démonstration

Stabilité par combinaison linéaire. Si X′ = AX et Y′ = AY, alors (λX + μY)′ = λX′ + μY′ = λAX + μAY = A(λX + μY). Astuce, la dérivation est linéaire et le produit par A aussi.

Non-croisement des trajectoires. Si deux solutions X et Y prennent la même valeur en t₁, elles résolvent le même problème de Cauchy en t₁, donc elles coïncident sur R. Astuce, l'unicité de Cauchy se lit à n'importe quel instant, pas seulement en 0.

Découplage. Posons X = PY avec P constante inversible. Alors X′ = PY′, car dériver une combinaison à coefficients constants revient à combiner les dérivées. L'équation X′ = AX devient PY′ = APY = PDY, et en multipliant à gauche par P⁻¹, Y′ = DY. Astuce, la constance de P est l'hypothèse qui autorise X′ = PY′, il faut la dire.

Solutions de y′ = λy. Si y est solution, la fonction t ↦ y(t) e^−λt a pour dérivée y′ e^−λt − λy e^−λt = 0, donc elle est constante. Astuce, multiplier par l'exponentielle qui tue la dérivée.

Comportement en plus l'infini. Sur la forme générale, chaque coordonnée est une combinaison des e^λᵢt. Si tous les λᵢ sont strictement négatifs, chaque terme tend vers 0. Si λ₁ > 0 et c₁ ≠ 0, la coordonnée non nulle de c₁V₁ multipliée par e^λ₁t domine et tend vers l'infini en valeur absolue. Astuce, isoler le terme dominant.

Translation vers l'équilibre. Si AX* + B = 0 et Z = X − X*, alors Z′ = X′ = AX + B = A(Z + X*) + B = AZ + (AX* + B) = AZ. Astuce, la dérivée d'une constante est nulle, donc Z′ = X′.

Équation d'ordre 2 et valeurs propres. Avec A = [[0, 1], [−b, −a]] et V = (1, r), on a AV = (r, −b − ar). Ce vecteur vaut rV si et seulement si −b − ar = r², soit r² + ar + b = 0. Astuce, chercher le vecteur propre sous la forme (1, r).

Exemples et contre-exemples à connaître

A = [[2, 1], [1, 2]], valeurs propres 3 et 1, vecteurs (1, 1) et (1, −1). Toutes positives, l'origine est répulsive, toute solution non nulle s'éloigne.
A = [[−3, 1], [1, −3]], valeurs propres −2 et −4. Toutes négatives, l'origine est attractive, toute solution tend vers 0.
A = [[0, 1], [1, 0]], valeurs propres 1 et −1. Point selle, seules les solutions partant de la droite x + y = 0 convergent, les autres divergent.
A = [[−1, 2], [1, −2]], valeurs propres 0 et −3. Toute solution converge, mais vers un point de la droite engendrée par (2, 1), pas forcément vers l'origine.
A = [[1, 1], [0, 2]], triangulaire non symétrique, mais deux valeurs propres distinctes 1 et 2, donc diagonalisable. Ne pas croire que seule la symétrie donne la diagonalisabilité.
A = [[1, 1], [0, 1]] n'est pas diagonalisable, valeur propre double 1 et sous-espace propre de dimension 1. Un énoncé qui la propose donnera une indication, ce cas sort du programme.
A = [[0, 1], [−1, 0]] correspond à y″ + y = 0. Ses valeurs propres ne sont pas réelles, le cas est hors programme et un sujet le signalerait.
Le système X′ = AX + B avec A = [[−2, 1], [1, −2]] et B = (1, 1) a pour unique équilibre (1, 1), attractif. Un second membre constant déplace l'équilibre sans changer la stabilité.

Techniques du chapitre

Écrire la matrice. Mini-exercice, x′ = 3x − y et y′ = x + y. On lit A = [[3, −1], [1, 1]] ligne par ligne, les coefficients de x puis de y. Format de X, colonne (x, y).

Trouver les éléments propres d'une matrice symétrique d'ordre 2. Mini-exercice, A = [[2, 1], [1, 2]]. On teste (1, 1), A(1, 1) = (3, 3), valeur propre 3. On teste (1, −1), A(1, −1) = (1, −1), valeur propre 1. Deux valeurs propres distinctes, diagonalisable. Réflexe, pour une matrice [[a, b], [b, a]], les vecteurs (1, 1) et (1, −1) sont toujours propres, de valeurs a + b et a − b.

Résoudre par changement de variable. Mini-exercice, avec A ci-dessus, on pose X = PY, P = [[1, 1], [1, −1]]. Alors y₁′ = 3y₁ et y₂′ = y₂, donc y₁ = c₁ e^3t, y₂ = c₂ e^t, et X = c₁ e^3t (1, 1) + c₂ e^t (1, −1).

Déterminer les constantes. Mini-exercice, condition x(0) = 1, y(0) = 3 avec la forme précédente. À t = 0, c₁ + c₂ = 1 et c₁ − c₂ = 3, donc c₁ = 2 et c₂ = −1. Réflexe, la condition initiale donne toujours un système de Cramer dont la matrice est P.

Lire la stabilité sans résoudre. Mini-exercice, A = [[−5, 2], [2, −5]]. Valeurs propres −3 et −7, toutes négatives, donc toute solution tend vers 0. Aucune résolution n'est nécessaire.

Translater un second membre constant. Mini-exercice, X′ = AX + B avec A = [[−1, 0], [0, −2]] et B = (2, 4). Équilibre, −x + 2 = 0 et −2y + 4 = 0, soit X* = (2, 2). Alors Z = X − X* vérifie Z′ = AZ, donc X(t) = (2 + c₁ e^−t, 2 + c₂ e^−2t).

Passer d'une équation d'ordre 2 au système. Mini-exercice, y″ − 3y′ + 2y = 0. On pose X = (y, y′), alors X′ = (y′, 3y′ − 2y) = AX avec A = [[0, 1], [−2, 3]]. Équation caractéristique r² − 3r + 2 = 0, racines 1 et 2, qui sont les valeurs propres.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Résolution complète en dimension 2

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x′ = 2x + y, y′ = x + 2y avec x(0) = 0 et y(0) = 2. Que devient la solution quand t tend vers plus l'infini ?

Technique diagonaliser une symétrique, découpler, revenir.

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A = [[2, 1], [1, 2]], symétrique, valeurs propres 3 et 1, vecteurs (1, 1) et (1, −1). 2. Solutions générales x = c₁ e^3t + c₂ e^t, y = c₁ e^3t − c₂ e^t. 3. Conditions initiales, c₁ + c₂ = 0 et c₁ − c₂ = 2, donc c₁ = 1 et c₂ = −1. 4. x(t) = e^3t − e^t, y(t) = e^3t + e^t. Les deux tendent vers plus l'infini, l'équilibre nul est instable. 5. Contrôle, x′(0) = 3 − 1 = 2 et 2x(0) + y(0) = 2.

piège : Écrire x = c₁ e^3t + c₂ e^t et y avec deux nouvelles constantes indépendantes, ce qui donne quatre constantes au lieu de deux.

Exercice 2. Équilibre attractif

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x′ = −3x + y, y′ = x − 3y. Montrer que toute solution tend vers (0, 0).

Technique même schéma, puis lecture des signes.

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A = [[−3, 1], [1, −3]], vecteurs propres (1, 1) et (1, −1), valeurs propres −2 et −4. 2. X(t) = c₁ e^−2t (1, 1) + c₂ e^−4t (1, −1). 3. Les deux exponentielles tendent vers 0, donc x et y aussi, quelles que soient les constantes. 4. Remarque, le terme en e^−2t domine, donc pour c₁ ≠ 0 la trajectoire s'approche de l'origine en longeant la direction (1, 1).

piège : Conclure à la stabilité en regardant le signe des coefficients diagonaux au lieu de celui des valeurs propres.

Exercice 3. Point selle

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x′ = y, y′ = x. Déterminer l'ensemble des conditions initiales (x₀, y₀) pour lesquelles la solution tend vers (0, 0).

Technique séparer le mode croissant du mode décroissant.

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A = [[0, 1], [1, 0]], valeurs propres 1 et −1, vecteurs (1, 1) et (1, −1). 2. X(t) = c₁ e^t (1, 1) + c₂ e^−t (1, −1). 3. La solution tend vers 0 si et seulement si c₁ = 0, sinon la coordonnée x contient c₁ e^t qui diverge. 4. Or c₁ = (x₀ + y₀)/2. La condition est x₀ + y₀ = 0. Les conditions initiales convergentes forment la droite engendrée par (1, −1), c'est-à-dire la direction propre associée à la valeur propre négative.

piège : Dire que le système est instable donc qu'aucune solution ne converge.

Exercice 4. Second membre constant

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Résoudre x′ = −2x + y + 1, y′ = x − 2y + 1. Montrer que toute solution converge et préciser la limite.

Technique équilibre puis translation.

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A = [[−2, 1], [1, −2]] et B = (1, 1). Équilibre, −2x + y + 1 = 0 et x − 2y + 1 = 0. La première donne y = 2x − 1, la seconde x − 4x + 2 + 1 = 0, donc x = 1, y = 1. X* = (1, 1). 2. On pose Z = X − X*, alors Z′ = AZ. 3. Valeurs propres de A, −1 pour (1, 1) et −3 pour (1, −1). Donc Z(t) = c₁ e^−t (1, 1) + c₂ e^−3t (1, −1). 4. X(t) = (1 + c₁ e^−t + c₂ e^−3t, 1 + c₁ e^−t − c₂ e^−3t). Toute solution tend vers (1, 1). 5. Contrôle, la fonction constante (1, 1) est bien solution, −2 + 1 + 1 = 0.

piège : Chercher les solutions du système homogène et oublier d'ajouter l'équilibre.

Exercice 5. Valeur propre nulle

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Deux régions échangent des habitants. On note x et y leurs populations, x′ = −x + 2y et y′ = x − 2y, avec x(0) = 3 et y(0) = 0. Résoudre et interpréter.

Technique repérer une quantité conservée, puis un mode nul.

Voir le corrigé

x′ + y′ = 0, donc x + y est constante, égale à 3. 2. A = [[−1, 2], [1, −2]]. A(2, 1) = (0, 0), valeur propre 0. A(1, −1) = (−3, 3), valeur propre −3. 3. X(t) = c₁ (2, 1) + c₂ e^−3t (1, −1). 4. À t = 0, 2c₁ + c₂ = 3 et c₁ − c₂ = 0, donc c₁ = c₂ = 1. x(t) = 2 + e^−3t, y(t) = 1 − e^−3t. 5. Limite (2, 1). La population totale se répartit à la longue dans le rapport 2 pour 1, qui est celui du vecteur propre du noyau, quelle que soit la répartition initiale. 6. Interprétation, l'équilibre n'est pas unique, tout multiple de (2, 1) est un équilibre, et c'est la conservation de x + y qui sélectionne lequel est atteint.

piège : Écarter la valeur propre 0 comme si elle n'apportait rien, alors qu'elle donne le mode constant.

Exercice 6. Matrice triangulaire et méthode de première année

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Résoudre x′ = x + y, y′ = 2y de deux façons, par diagonalisation puis en résolvant d'abord la seconde équation.

Technique comparer les deux approches pour contrôler.

Voir le corrigé

A = [[1, 1], [0, 2]], triangulaire, valeurs propres 1 et 2, distinctes donc diagonalisable. A(1, 0) = (1, 0) et A(1, 1) = (2, 2). Solutions x = c₁ e^t + c₂ e^2t, y = c₂ e^2t. 2. Directement, y′ = 2y donne y = c₂ e^2t. Puis x′ = x + c₂ e^2t, équation linéaire d'ordre 1 avec second membre. Solution homogène c₁ e^t, solution particulière de la forme k e^2t, qui impose 2k = k + c₂, donc k = c₂. 3. Les deux méthodes donnent x = c₁ e^t + c₂ e^2t, y = c₂ e^2t.

piège : Chercher une solution particulière sous la forme k e^t, qui est déjà solution de l'équation homogène.

Exercice 7. Système d'ordre 3 avec diagonalisation guidée

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit J la matrice d'ordre 3 remplie de 1. Vérifier que (1, 1, 1), (1, −1, 0) et (1, 0, −1) sont des vecteurs propres de J. Résoudre X′ = JX et discuter le comportement quand t tend vers plus l'infini.

Technique trois modes, dont deux constants.

Voir le corrigé

J(1, 1, 1) = (3, 3, 3), valeur propre 3. J(1, −1, 0) = (0, 0, 0) et J(1, 0, −1) = (0, 0, 0), valeur propre 0. Les trois vecteurs ne sont pas colinéaires deux à deux et les deux derniers ne sont pas colinéaires entre eux, ils forment une base, J est diagonalisable. 2. X(t) = c₁ e^3t (1, 1, 1) + c₂ (1, −1, 0) + c₃ (1, 0, −1). 3. Si c₁ ≠ 0, la solution est non bornée. Si c₁ = 0, la solution est constante. 4. Or c₁ est déterminé par la condition initiale, et en sommant les coordonnées, x₀ + y₀ + z₀ = 3c₁. Les solutions bornées sont celles dont la somme des coordonnées initiales est nulle.

piège : Affirmer que J n'est pas diagonalisable parce que 0 est valeur propre double, alors que le sous-espace propre associé est de dimension 2.

Exercice 8. Équation d'ordre 2 mise en système

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit l'équation y″ − y′ − 2y = 0. L'écrire sous la forme X′ = AX avec X = (y, y′). Diagonaliser A et retrouver les solutions de première année.

Technique valeurs propres égales aux racines de l'équation caractéristique.

Voir le corrigé

y″ = y′ + 2y, donc X′ = (y′, 2y + y′) = AX avec A = [[0, 1], [2, 1]]. 2. Équation caractéristique r² − r − 2 = 0, racines 2 et −1. Vecteurs propres (1, 2) et (1, −1), on vérifie A(1, 2) = (2, 4) et A(1, −1) = (−1, 1). 3. X(t) = c₁ e^2t (1, 2) + c₂ e^−t (1, −1). 4. Première coordonnée, y(t) = c₁ e^2t + c₂ e^−t, et la seconde coordonnée est bien y′(t) = 2c₁ e^2t − c₂ e^−t. Cohérent avec le cours de première année.

piège : Écrire la matrice [[0, 1], [1, 2]] en oubliant que le coefficient de y va en position (2, 1).

Exercice 9. Propriétés qualitatives

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit A diagonalisable d'ordre 2 à valeurs propres strictement négatives. Montrer que si X est solution de X′ = AX, alors la fonction t ↦ X(t + s) est solution pour tout réel s. Montrer qu'une solution qui s'annule en un instant est nulle partout. Montrer que si une solution est périodique, elle est nulle.

Technique utiliser Cauchy et le comportement asymptotique.

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Soit W(t) = X(t + s). Alors W′(t) = X′(t + s) = AX(t + s) = AW(t). 2. Si X(t₁) = 0, alors X et la fonction nulle résolvent le même problème de Cauchy en t₁, donc X est nulle. 3. Si X(t + T) = X(t) pour tout t avec T > 0, alors X(nT) = X(0) pour tout entier n. Or X(nT) tend vers 0 quand n tend vers l'infini, car toutes les valeurs propres sont strictement négatives. Donc X(0) = 0, et par le point 2, X est nulle.

piège : Invoquer l'unicité de Cauchy sans préciser en quel instant les deux solutions coïncident.

Erreurs fréquentes

Prendre quatre constantes au lieu de deux en dimension 2, en oubliant que x et y partagent les mêmes cᵢ.
Juger la stabilité sur le signe des coefficients de A au lieu du signe des valeurs propres.
Oublier l'équilibre dans un système avec second membre constant, ou le calculer avec une erreur de signe.
Écrire X′ = PY′ sans dire que P est constante, ou dériver P comme si elle dépendait de t.
Traiter un cas à valeurs propres complexes ou non diagonalisable comme si le cours s'appliquait, alors qu'il est hors programme et signalé par l'énoncé.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Compléments d'analyse », paragraphe « Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants ». Le chapitre s'appuie sur la réduction des matrices et prolonge les équations différentielles de première année. L'exponentielle de matrice n'est pas au programme.