Endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie

Résumé en cinq points

1Applications linéaires

1.1Définition

Conséquence immédiate : $f(0_E) = 0_F$.

1.2Exemples

1.3Composée

1.4Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base

C'est ce résultat qui permet de coder une application linéaire par une matrice.

2Noyau, image, rang

2.1Noyau

En pratique, déterminer le noyau revient à résoudre un système linéaire homogène.

2.2Image

Par définition, $f$ est surjective si et seulement si $\Im(f) = F$.

C'est la méthode de calcul standard : on calcule les images des vecteurs de base, et on en extrait une famille libre.

2.3Rang

2.4Théorème du rang

Résultat admis au programme : il n'y a pas de démonstration à connaître. Il faut savoir l'utiliser dans les deux sens. Si on connaît le noyau, on en déduit le rang. Si on connaît le rang, on en déduit la dimension du noyau.

2.5Caractérisation des isomorphismes en dimension finie

C'est une conséquence directe du théorème du rang. Pour prouver qu'un endomorphisme d'un espace de dimension finie est bijectif, il suffit de montrer que son noyau est réduit au vecteur nul.

3Matrice d'une application linéaire

3.1Définition

Quand $f$ est un endomorphisme de $E$ et que l'on prend la même base au départ et à l'arrivée, on note simplement $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$. C'est une matrice carrée d'ordre $n$.

3.2Le calcul des images

Calculer une image revient donc à un produit matriciel.

3.3Produit matriciel et composition

L'ordre est inversé par rapport à l'écriture de la composée, exactement comme pour les applications. C'est la raison pour laquelle le produit matriciel est défini de cette façon.

3.4Rang d'une matrice et rang d'une application

Le rang d'une matrice, notion vue en première année, est le rang de la famille de ses colonnes. On le calcule par le pivot de Gauss. Pour obtenir le rang d'une application linéaire, on écrit sa matrice dans les bases canoniques et on échelonne.

4Changement de base

4.1Matrice de passage

4.2Formule sur les coordonnées

4.3Formule sur les matrices d'un endomorphisme

Un même endomorphisme possède autant de matrices que de bases, et toutes se déduisent les unes des autres par cette conjugaison. C'est la formule clef de la fin de l'année.

4.4Matrices semblables

Interprétation : $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.

Ce dernier point rendra le calcul des puissances facile dès qu'on saura rendre l'une des deux matrices diagonale.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Montrer qu'une application donnée de $\R^3$ dans $\R^2$ est linéaire, et donner sa matrice dans les bases canoniques.
2. Déterminer noyau, image, rang d'une application linéaire explicite, et vérifier le théorème du rang.
3. Énoncer le théorème du rang avec ses hypothèses exactes, et dire qu'il est admis.
4. Démontrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul.
5. Prouver qu'un endomorphisme d'un espace de dimension finie est bijectif en calculant seulement son noyau.
6. Écrire une matrice de passage entre deux bases de $\R^3$, l'inverser, et en déduire la matrice d'un endomorphisme dans la nouvelle base.
7. Justifier que deux matrices semblables ont même rang et que leurs puissances se correspondent.
8. Traiter l'exemple de l'endomorphisme de dérivation sur $\R_2[x]$ : matrice dans la base canonique, noyau, image, rang.

Les résultats à connaître

• Si f est linéaire, f(0_E) = 0_F. Exigible avec démonstration, f(0) = f(0 × 0) = 0 × f(0).
• La composée de deux applications linéaires est linéaire. La réciproque d'un isomorphisme est linéaire. Exigibles avec démonstration.
• Une application linéaire est déterminée par les images des vecteurs d'une base. Exigible avec démonstration, par linéarité sur les coordonnées.
• Ker(f) est un sous-espace vectoriel de E, Im(f) un sous-espace vectoriel de F. Exigibles avec démonstration.
• f est injective si et seulement si Ker(f) = {0_E}. Exigible avec démonstration, c'est la preuve du chapitre.
• Si (e₁, …, e_p) est une base de E, Im(f) = Vect(f(e₁), …, f(e_p)). Exigible avec démonstration, et c'est la méthode de calcul de l'image.
• Théorème du rang. Si E est de dimension finie, dim E = dim Ker(f) + rg(f). Admis au programme.
• Si dim E = dim F, alors f injective, f surjective, f bijective, rg(f) = dim E sont équivalents. Exigible avec démonstration à partir du théorème du rang.
• Y = Mat(f) X, matrice d'une composée égale produit des matrices, rang de f égal au rang de sa matrice. Admis, à savoir utiliser.
• f automorphisme si et seulement si Mat_B(f) inversible, et alors Mat_B(f⁻¹) = Mat_B(f)⁻¹. Exigible à partir du précédent.
• Matrice de passage P de B à B′, colonnes égales aux vecteurs de B′ écrits dans B. P inversible, P⁻¹ est la matrice de passage de B′ à B. X_B = P X_B′. Mat_B′(f) = P⁻¹ Mat_B(f) P. Admis, à savoir retrouver le sens.
• Deux matrices semblables ont même rang, et si B = P⁻¹AP alors Bᵏ = P⁻¹AᵏP. Exigibles avec démonstration.
• Hors programme, à signaler. La trace, le déterminant hors ordre 2, les projecteurs et symétries comme théorie, les sous-espaces stables, la dualité. Un exercice sur p ∘ p = p n'utilise que les définitions, il reste licite.

Clés de démonstration

Injectivité et noyau. Si Ker(f) = {0} et f(x) = f(y), alors f(x − y) = 0 par linéarité, donc x − y = 0. Réciproquement si f est injective, f(x) = 0 = f(0) impose x = 0. Astuce, la linéarité transforme « deux images égales » en « une image nulle ».

Image engendrée par les images de la base. Tout x s'écrit Σ xᵢeᵢ, donc f(x) = Σ xᵢf(eᵢ) est dans Vect des f(eᵢ). Réciproquement chaque f(eᵢ) est dans Im(f), qui est un sous-espace. Astuce, double inclusion, l'une par linéarité, l'autre par stabilité.

Caractérisation des isomorphismes. Si f est injective, dim Ker = 0, donc rg(f) = dim E = dim F, donc Im(f) = F par égalité des dimensions, f surjective. Le sens inverse se lit de la même façon. Astuce, le théorème du rang transfère l'information d'un côté à l'autre.

Sens de la formule de passage. Le vecteur x = Σ x′ⱼe′ⱼ, et chaque e′ⱼ a pour coordonnées dans B la colonne j de P. Donc les coordonnées de x dans B valent P X_B′. Astuce, P convertit les nouvelles coordonnées en anciennes, jamais l'inverse.

Puissances de matrices semblables. Bᵏ⁺¹ = Bᵏ B = P⁻¹AᵏP P⁻¹AP = P⁻¹Aᵏ⁺¹P, les P P⁻¹ centraux disparaissent. Astuce, récurrence en une ligne.

Rang invariant par similitude. A et P⁻¹AP représentent le même endomorphisme dans deux bases, et le rang de l'endomorphisme ne dépend pas de la base. Astuce, revenir à l'interprétation, pas au calcul.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. x ↦ x + 1 n'est pas linéaire, elle n'envoie pas 0 sur 0. (x, y) ↦ xy non plus, f(2x, 2y) = 4f(x, y).
2. La dérivation sur R_n[x] est un endomorphisme ni injectif, les constantes sont dans le noyau, ni surjectif, l'image est R_n−1[x]. Le théorème du rang donne n + 1 = 1 + n.
3. (x, y, z) ↦ (x, y) de R³ dans R² est surjective et non injective. Aucune contradiction, les dimensions diffèrent.
4. (x, y) ↦ (x + y, x − y) est un automorphisme de R², son noyau est réduit à zéro.
5. M ↦ ᵗM est un automorphisme de M_n(R), égal à sa propre réciproque.
6. L'identité I₂ et la matrice de lignes (1, 1) et (0, 1) ont même rang 2 et ne sont pas semblables, la seule matrice semblable à I est I.
7. Une application linéaire de R² dans R³ n'est jamais surjective, son rang est au plus 2. Une application linéaire de R³ dans R² n'est jamais injective, son noyau a une dimension au moins 1.
8. La matrice de lignes (0, 1) et (−1, 0) vérifie J² = −I, donc J est inversible d'inverse −J. L'endomorphisme associé est un automorphisme sans aucun vecteur envoyé sur un multiple de lui-même.
9. Pour un endomorphisme, Mat_B(f)² = Mat_B(f ∘ f). Composer deux fois, c'est élever la matrice au carré.
10. Si p ∘ p = p, alors tout x s'écrit p(x) + (x − p(x)) avec p(x) ∈ Im(p) et x − p(x) ∈ Ker(p). Le noyau et l'image se complètent, la matrice devient diagonale dans une base adaptée.

Techniques du chapitre

Prouver la linéarité en une fois. Mini-exercice, f(x, y) = (2x − y, x + 3y). Pour u = (x, y), v = (x′, y′) et λ, μ réels, f(λu + μv) = (2(λx + μx′) − (λy + μy′), (λx + μx′) + 3(λy + μy′)) = λf(u) + μf(v).

Noyau par système. Mini-exercice, la même f. f(x, y) = (0, 0) donne 2x = y et x = −3y, donc x = −6x, x = 0, y = 0. Ker(f) = {0}, f injective, donc automorphisme de R² par égalité des dimensions.

Image par les images de la base. Mini-exercice, g(x, y, z) = (x + y, y + z) de R³ dans R². Images de la base, (1, 0), (1, 1), (0, 1). Deux d'entre elles ne sont pas colinéaires, Im(g) = R², rang 2, dim Ker = 3 − 2 = 1.

Contrôle par le théorème du rang. Mini-exercice, un candidat trouve pour un endomorphisme de R³ un noyau de dimension 1 et une image de dimension 1. C'est faux sans même relire, 1 + 1 ≠ 3.

Écrire la matrice. Mini-exercice, la f ci-dessus dans la base canonique. Colonnes f(e₁) = (2, 1) et f(e₂) = (−1, 3), matrice de lignes (2, −1) et (1, 3).

Changer de base. Mini-exercice, B′ = ((1, 1), (1, −1)) dans R². P a pour colonnes (1, 1) et (1, −1), déterminant −2, P⁻¹ = (1/2) × matrice de lignes (1, 1) et (1, −1). Les coordonnées de (3, 1) dans B′ sont P⁻¹(3, 1) = (2, 1). Contrôle, 2(1, 1) + 1(1, −1) = (3, 1).

Bijectivité par le noyau seul. Mini-exercice, T sur R₂[x] défini par T(P) = P + P′. Si P + P′ = 0 et P ≠ 0, le degré de P′ est strictement inférieur à celui de P, donc le terme dominant de P + P′ est celui de P, non nul. Contradiction. Ker(T) = {0}, T automorphisme.

Exercices classiques corrigés

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