Le cours

Résumé en cinq points

Tout se lit sur le cercle trigonométrique : cosinus en abscisse, sinus en ordonnée, $\cos^2 + \sin^2 = 1$ .
Les seules formules exigibles sont celles des symétries, l'identité fondamentale, les quatre formules d'addition et les formules de duplication. Les autres seront fournies.
$\cos x = \cos a$ donne $x = a + 2k\pi$ et $x = -a + 2k\pi$ . $\sin x = \sin a$ donne $x = a + 2k\pi$ et $x = \pi - a + 2k\pi$ . $\tan x = \tan a$ donne $x = a + k\pi$ .
$\arccos$ , $\arcsin$ , $\arctan$ désignent la solution unique dans un intervalle de référence, $\intff{0}{\pi}$ , $\intff{-\pi/2}{\pi/2}$ et $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ respectivement. Ce ne sont pas toutes les solutions.
$a\cos\theta + b\sin\theta = r\cos(\theta - \varphi)$ avec $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ , ce qui traduit la somme de deux sinusoïdes de même pulsation.

Pourquoi ce chapitre

La trigonométrie est un outil, pas une fin.

En physique, elle décrit tout ce qui oscille : un pendule, une tension alternative, un signal sinusoïdal, un rythme circadien modélisé par une sinusoïde.
En mathématiques, elle sert pour les nombres complexes, pour les équations différentielles du second ordre et pour l'étude des fonctions circulaires.

Le programme est resserré. Une liste précise de formules est exigible, et les autres formules de trigonométrie ne sont pas des attendus. Il faut connaître parfaitement les formules listées et savoir les retrouver rapidement. Les formules de factorisation ou de Simpson seront fournies si elles sont nécessaires.

Tout ce qui concerne les symétries et les valeurs remarquables se lit sur le cercle trigonométrique, sans rien apprendre par cœur.

1Définitions sur le cercle trigonométrique

1.1Le cercle

On munit le plan d'un repère orthonormé d'origine $O$ .

Définition 1.1Cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, orienté dans le sens direct, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre.

À tout réel $\theta$ on associe le point $M$ du cercle obtenu en parcourant, à partir du point de coordonnées $(1, 0)$ , un arc de longueur $\theta$ dans le sens direct si $\theta > 0$ , dans le sens indirect si $\theta < 0$ . Le réel $\theta$ est une mesure en radians de l'angle orienté correspondant. Un tour complet vaut $2\pi$ radians, soit $360$ degrés.

Définition 1.2Cosinus et sinus

Le cosinus de $\theta$ , noté $\cos\theta$ , est l'abscisse de $M$ . Le sinus de $\theta$ , noté $\sin\theta$ , est son ordonnée.

Il en résulte que $\cos$ et $\sin$ sont à valeurs dans $\intff{-1}{1}$ et que :

Propriété 1.3Identité fondamentale

Pour tout réel $\theta$ : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.$ C'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle de sommets $O$ , $M$ et le projeté de $M$ sur l'axe des abscisses.

Définition 1.4Tangente

Pour $\theta \not\equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$ , c'est-à-dire $\cos\theta \neq 0$ , la tangente est $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Géométriquement, $\tan\theta$ se lit sur la droite verticale d'équation $x = 1$ , à l'intersection avec la droite $(OM)$ .

1.2Valeurs remarquables

Exemple 1.5Valeurs remarquables

$\begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \frac{\pi}{6} & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{3} & \frac{\pi}{2}\\ \hline \cos\theta & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0\\ \sin\theta & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{array}$ La tangente vaut $0$ , $\frac{1}{\sqrt{3}}$ , $1$ , $\sqrt{3}$ en $0$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , et n'est pas définie en $\frac{\pi}{2}$ .

Moyen mnémotechnique : écrire les sinus sous la forme $\frac{\sqrt{0}}{2}$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{4}}{2}$ .

1.3Périodicité et symétries

Propriété 1.6Périodicité

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$ -périodiques, la fonction $\tan$ est $\pi$ -périodique.

Les relations suivantes se lisent sur le cercle, en identifiant la transformation géométrique correspondante.

Propriété 1.7Angles associés

$\cos(-\theta) = \cos\theta$ et $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ : symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Le cosinus est pair, le sinus et la tangente sont impairs.
$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ et $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ : symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ et $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ : symétrie centrale de centre $O$ .
$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin\theta$ et $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$ : symétrie par rapport à la première bissectrice.
$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta$ et $\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos\theta$ : rotation d'un quart de tour.

MéthodeRetrouver un angle associé

Tracer le cercle et placer $\theta$ .
Placer l'angle demandé.
Lire le signe du cosinus et du sinus.

La valeur absolue est la même, seul le signe change, sauf pour les angles impliquant $\frac{\pi}{2}$ où cosinus et sinus s'échangent.

2Formules exigibles

2.1Addition

Propriété 2.1Formules d'addition

Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ : $\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha\cos\beta\\ &\quad - \sin\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha\cos\beta\\ &\quad + \sin\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha\cos\beta\\ &\quad + \cos\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin\alpha\cos\beta\\ &\quad - \cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}$

Attention

Dans la formule du cosinus, le signe du second membre est l'opposé de celui de l'argument. Dans celle du sinus, il est le même.

Ces formules seront redémontrées avec les nombres complexes, en développant $\e^{\ii(\alpha+\beta)} = \e^{\ii\alpha}\e^{\ii\beta}$ et en identifiant parties réelle et imaginaire. C'est la méthode la plus sûre pour les retrouver en cas de trou de mémoire.

2.2Duplication

En prenant $\beta = \alpha$ dans les formules précédentes, puis en utilisant $\cos^2 + \sin^2 = 1$ :

Propriété 2.2Formules de duplication

Pour tout réel $\theta$ : $\begin{aligned} \cos(2\theta) &= \cos^2\theta - \sin^2\theta\\ &= 2\cos^2\theta - 1\\ &= 1 - 2\sin^2\theta,\\ \sin(2\theta) &= 2\sin\theta\cos\theta. \end{aligned}$

Les deux dernières écritures de $\cos(2\theta)$ donnent les formules de linéarisation du carré, utiles pour intégrer :

Propriété 2.3Linéarisation du carré

Pour tout réel $\theta$ : $\begin{aligned} \cos^2\theta &= \frac{1 + \cos(2\theta)}{2},\\ \sin^2\theta &= \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}. \end{aligned}$

Exemple 2.4Intégrale de $\cos^2$

Pour calculer l'intégrale de $\cos^2 t$ entre $0$ et $\pi$ , on remplace par $\frac{1 + \cos(2t)}{2}$ , ce qui donne $\frac{\pi}{2}$ . Sans linéarisation, on ne sait pas primitiver $\cos^2$ .

2.3Tangente

De $\tan = \sin/\cos$ on tire $\tan(-\theta) = -\tan\theta$ et $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$ .

Propriété 2.5Dérivée de la tangente

Là où $\cos\theta \neq 0$ : $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}.$ Elle s'obtient en divisant $\cos^2 + \sin^2 = 1$ par $\cos^2$ , et est rattachée au chapitre sur les fonctions usuelles, où elle donne la dérivée de la tangente.

Les formules de transformation de produits en sommes, de sommes en produits, et l'expression en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$ ne sont pas au programme. Si un énoncé en a besoin, il les fournit.

3Équations trigonométriques simples

3.1Équation cos(x) = cos(a)

Propriété 3.1Équation en cosinus

$\cos x = \cos a$ équivaut à $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ , avec $k \in \Z$ .

La raison se lit sur le cercle : deux points ont la même abscisse lorsqu'ils sont confondus ou symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

3.2Équation sin(x) = sin(a)

Propriété 3.2Équation en sinus

$\sin x = \sin a$ équivaut à $x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ , avec $k \in \Z$ .

Deux points ont la même ordonnée lorsqu'ils sont confondus ou symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

3.3Équation tan(x) = tan(a)

Propriété 3.3Équation en tangente

Sur le domaine de définition de la tangente, $\tan x = \tan a$ équivaut à $x = a + k\pi$ , avec $k \in \Z$ .

3.4Méthode générale

MéthodeRésoudre $\cos x = c$

Vérifier que $c \in \intff{-1}{1}$ , sinon il n'y a pas de solution.
Chercher un angle $a$ dont le cosinus vaut $c$ , avec les valeurs remarquables.
Appliquer la formule de l'équation en cosinus.
Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé.

Exemple 3.4Résoudre $\cos x = -\frac{1}{2}$ sur $\R$

Comme $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ , les solutions sont $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ et $x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \Z$ . Sur $\intfo{0}{2\pi}$ , cela donne $\frac{2\pi}{3}$ et $\frac{4\pi}{3}$ .

Exemple 3.5Résoudre $2\sin x - 1 = 0$ sur $\intfo{0}{2\pi}$

On a $\sin x = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$ , donc $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ . Sur l'intervalle demandé, les solutions sont $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ .

Attention

Ne pas oublier la seconde famille de solutions : une équation en cosinus ou en sinus a deux familles, pas une. Ne pas oublier non plus de restreindre à l'intervalle demandé, ni les solutions qui y figurent.

4Notations arccos, arcsin, arctan

Ces notations sont introduites comme solutions d'équations dans des intervalles bien choisis, l'existence et l'unicité étant admises.

Définition 4.1Arccosinus, arcsinus, arctangente

Pour $c \in \intff{-1}{1}$ , $\arccos c$ est l'unique réel de $\intff{0}{\pi}$ dont le cosinus vaut $c$ .
Pour $s \in \intff{-1}{1}$ , $\arcsin s$ est l'unique réel de $\intff{-\pi/2}{\pi/2}$ dont le sinus vaut $s$ .
Pour $t \in \R$ , $\arctan t$ est l'unique réel de $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ dont la tangente vaut $t$ .

Exemple 4.2Valeurs

$\begin{aligned} \arccos\tfrac{1}{2} &= \tfrac{\pi}{3},\\ \arcsin\left(-\tfrac{1}{2}\right) &= -\tfrac{\pi}{6},\\ \arctan 1 &= \tfrac{\pi}{4},\\ \arctan 0 &= 0. \end{aligned}$

Attention

Ces notations donnent une solution particulière, pas toutes les solutions. Écrire « $\cos x = \frac{1}{2}$ donc $x = \arccos\frac{1}{2}$ » est faux, il manque toutes les autres solutions. De plus, $\arccos(\cos\theta) = \theta$ seulement si $\theta \in \intff{0}{\pi}$ . Par exemple $\arccos\left(\cos\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$ , pas $\frac{7\pi}{4}$ .

La construction de la fonction arctangente comme fonction dérivable sera faite plus tard dans l'année, dans le chapitre sur la dérivation. La construction des fonctions arccosinus et arcsinus n'est pas un attendu du programme de BCPST, on se contente de la définition ci-dessus.

5Transformation de a cos(θ) + b sin(θ)

5.1Le résultat

Théorème 5.1Amplitude et phase

Hypothèses

$a$ et $b$ sont des réels non tous les deux nuls ;
$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ , qui est strictement positif.

Alors il existe un réel $\varphi$ tel que, pour tout réel $\theta$ , $a\cos\theta + b\sin\theta = r\cos(\theta - \varphi),$ où $\varphi$ est caractérisé par $\cos\varphi = \frac{a}{r}$ et $\sin\varphi = \frac{b}{r}$ .

Selon les conventions choisies, on écrit aussi le résultat sous la forme $r\cos(\theta + \varphi)$ ou $r\sin(\theta + \psi)$ , ce qui revient au même à un décalage près. La méthode n'est pas imposée par le programme.

Démonstration

On factorise par $r$ : $a\cos\theta + b\sin\theta = r\left[\tfrac{a}{r}\cos\theta + \tfrac{b}{r}\sin\theta\right].$ Le couple $\left(\frac{a}{r}, \frac{b}{r}\right)$ vérifie $\left(\frac{a}{r}\right)^2 + \left(\frac{b}{r}\right)^2 = 1$ , donc c'est un point du cercle trigonométrique. Il existe donc un réel $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \frac{a}{r}$ et $\sin\varphi = \frac{b}{r}$ . L'expression devient $r[\cos\varphi\cos\theta + \sin\varphi\sin\theta]$ , c'est-à-dire $r\cos(\theta - \varphi)$ par la formule d'addition.

Exemple 5.2 $\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta$

Ici $a = 1$ , $b = \sqrt{3}$ , donc $r = \sqrt{1 + 3} = 2$ . On cherche $\varphi$ avec $\cos\varphi = \frac{1}{2}$ et $\sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $\varphi = \frac{\pi}{3}$ . On conclut : $\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 2\cos\left(\theta - \tfrac{\pi}{3}\right).$

5.2Interprétation physique

La somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation est encore un signal sinusoïdal de cette pulsation. L'amplitude résultante est $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ , et le déphasage est $\varphi$ . On rencontre ce calcul quand on écrit la solution générale d'un oscillateur harmonique sous la forme $A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ , puis sous la forme amplitude-phase $C\cos(\omega t - \varphi)$ .

5.3Résolution de a cos(θ) + b sin(θ) = c

MéthodeRésoudre $a\cos\theta + b\sin\theta = c$

Appliquer la transformation : l'équation devient $r\cos(\theta - \varphi) = c$ , soit $\cos(\theta - \varphi) = \frac{c}{r}$ .
Si $\abs{c} > r$ , il n'y a aucune solution.
Sinon, poser $u = \theta - \varphi$ et résoudre $\cos u = \frac{c}{r}$ par la méthode de l'équation en cosinus.
Revenir à $\theta = u + \varphi$ .

Exemple 5.3Résoudre $\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 1$

D'après ci-dessus, l'équation devient $2\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 1$ , donc $\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ . Il vient $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ , donc $\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $\theta = 2k\pi$ , avec $k \in \Z$ .

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Devant une question sur des angles associés, tracer le cercle plutôt que chercher la formule. Le signe se lit, il ne se retient pas.
Pour retrouver une formule d'addition, passer par l'exponentielle complexe dès que ce chapitre est vu.
Pour intégrer ou primitiver un carré de cosinus ou de sinus, linéariser avec la formule de duplication.
Pour résoudre une équation, se ramener à la forme $\cos x = \cos a$ , $\sin x = \sin a$ ou $\tan x = \tan a$ , appliquer la formule correspondante, puis sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé.
Devant une somme $a\cos\theta + b\sin\theta$ , calculer d'abord $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ et factoriser.
Vérifier les résultats sur une valeur particulière, par exemple $\theta = 0$ : cela détecte la plupart des erreurs de signe.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Placer sur le cercle les angles remarquables et donner cosinus, sinus, tangente de $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ .
Retrouver $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ et $\sin(\pi - \theta)$ sur le cercle, sans formulaire.
Démontrer $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ à partir de la formule d'addition et de $\cos^2 + \sin^2 = 1$ .
Linéariser $\cos^2$ et $\sin^2$ , puis calculer une intégrale simple les utilisant.
Résoudre $\cos x = c$ et $\sin x = s$ sur $\R$ puis sur un intervalle donné, avec les deux familles de solutions.
Écrire $a\cos\theta + b\sin\theta$ sous la forme $r\cos(\theta - \varphi)$ , en donnant $r$ et une valeur de $\varphi$ .
Expliquer pourquoi $\arccos(\cos\theta)$ n'est pas toujours égal à $\theta$ , avec un contre-exemple.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

cos²(θ) + sin²(θ) = 1 : exigible avec démonstration, c'est Pythagore sur le cercle.
Parité de cos, imparité de sin et tan, périodicité 2π de cos et sin, périodicité π de tan : exigibles, justifiées sur le cercle.
Formules des angles associés, π − θ, π + θ, π/2 − θ, π/2 + θ : exigibles, lues sur le cercle comme des symétries ou un quart de tour.
Les quatre formules d'addition pour cos(α ± β) et sin(α ± β) : exigibles, la démonstration n'est pas attendue à ce stade, elle sera faite avec l'exponentielle complexe.
Formules de duplication cos(2θ) sous trois formes et sin(2θ) : exigibles avec démonstration à partir de l'addition.
Linéarisation cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2 et sin²(θ) = (1 − cos(2θ))/2 : exigible, c'est la duplication lue à l'envers.
1 + tan²(θ) = 1/cos²(θ) pour cos(θ) ≠ 0 : exigible avec démonstration.
cos(x) = cos(a) équivaut à x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ, k ∈ Z : exigible avec justification sur le cercle.
sin(x) = sin(a) équivaut à x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ : exigible.
tan(x) = tan(a) équivaut à x = a + kπ : exigible.
Existence et unicité de arccos(c) dans [0, π], de arcsin(s) dans [−π/2, π/2], de arctan(t) dans ]−π/2, π/2[ : admises par le programme.
Transformation a cos(θ) + b sin(θ) = r cos(θ − φ) avec r = √(a² + b²) : exigible avec démonstration.
Hors programme signalé : formules de transformation produit en somme et somme en produit, tan(a + b), expressions en tan(θ/2), formule de Moivre (chapitre complexes), fonctions arccos et arcsin comme fonctions dérivables.

Clés de démonstration

Identité fondamentale. Le point M de coordonnées (cos θ, sin θ) est sur le cercle de centre O et de rayon 1, donc OM² = 1. L'astuce : tout part de la définition de cos et sin comme coordonnées.

Duplication. On prend β = α dans cos(α + β), ce qui donne cos²(α) − sin²(α). On remplace sin² par 1 − cos² pour la deuxième forme, cos² par 1 − sin² pour la troisième. Pour sin(2α), on prend β = α dans sin(α + β). L'astuce : les trois formes de cos(2θ) sont une seule formule plus l'identité fondamentale.

Tangente. On divise cos² + sin² = 1 par cos², qui est non nul. L'astuce : diviser par cos² fait apparaître tan² automatiquement.

Équation cos(x) = cos(a). Sens réciproque : cos(−a + 2kπ) = cos(−a) = cos(a) par périodicité et parité. Sens direct : deux points du cercle de même abscisse sont confondus ou symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc leurs angles diffèrent d'un multiple de 2π ou sont opposés modulo 2π. L'astuce : la même ordonnée donne la symétrie par rapport à l'axe vertical, d'où π − a pour le sinus.

Transformation de a cos + b sin. On factorise par r = √(a² + b²), non nul. Le couple (a/r, b/r) est de norme 1, c'est un point du cercle, donc il existe φ avec cos φ = a/r et sin φ = b/r. Il reste r(cos φ cos θ + sin φ sin θ) = r cos(θ − φ). L'astuce : rendre les coefficients de norme 1 pour reconnaître un point du cercle.

Exemples et contre-exemples à connaître

arccos(cos(7π/4)) = π/4, pas 7π/4. La composée ne rend θ que si θ ∈ [0, π].
arcsin(sin(2π/3)) = π/3. Même phénomène sur [−π/2, π/2].
cos(x) = 1/2 n'a pas pour seule solution π/3. Il y a deux familles, π/3 + 2kπ et −π/3 + 2kπ.
sin(x) = sin(a) donne la famille π − a + 2kπ et non −a + 2kπ. Vérifier avec a = π/2 : sin(−π/2) = −1 ≠ 1.
cos(x) = 2 n'a aucune solution, le cosinus reste dans [−1, 1]. Le vérifier avant de chercher.
cos(a + b) n'est pas cos(a) + cos(b) : a = b = π/2 donnent −1 et 0.
sin(2θ) n'est pas 2 sin(θ) : θ = π/2 donne 0 et 2.
cos(θ) + √3 sin(θ) = 2 cos(θ − π/3) a pour maximum 2, pas 1 + √3. Les deux termes ne sont jamais maximaux en même temps.
tan(x) = 1 a pour solutions π/4 + kπ, période π. Écrire 2kπ fait perdre la moitié des solutions.
cos(π/12) = √2(1 + √3)/4, obtenu par cos(π/3 − π/4). Les formules d'addition donnent des valeurs exactes hors du tableau.

Techniques du chapitre

Technique 1, lire les angles associés sur le cercle. Mini-exercice : simplifier cos(θ + π/2) + sin(θ + π). Le quart de tour donne cos(θ + π/2) = −sin(θ), la symétrie centrale donne sin(θ + π) = −sin(θ). Résultat −2 sin(θ). On vérifie en θ = 0 : cos(π/2) + sin(π) = 0.

Technique 2, valeur exacte par addition. Mini-exercice : calculer cos(π/12). On écrit π/12 = π/3 − π/4, donc cos(π/12) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4) = (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2(1 + √3)/4.

Technique 3, résoudre puis sélectionner dans l'intervalle. Mini-exercice : résoudre sin(2x) = √2/2 sur [0, π]. On a 2x = π/4 + 2kπ ou 2x = 3π/4 + 2kπ, soit x = π/8 + kπ ou x = 3π/8 + kπ. Dans [0, π], seuls π/8 et 3π/8 conviennent. La période en x est π, pas 2π.

Technique 4, linéariser pour intégrer. Mini-exercice : calculer ∫ de 0 à π/2 de sin²(t) dt. On écrit sin²(t) = (1 − cos(2t))/2. La primitive est t/2 − sin(2t)/4, qui vaut π/4 en π/2 et 0 en 0. Résultat π/4.

Technique 5, réduire une somme sinusoïdale. Mini-exercice : écrire √3 cos(θ) − sin(θ) sous forme r cos(θ − φ). On a r = √(3 + 1) = 2, puis cos φ = √3/2 et sin φ = −1/2, donc φ = −π/6. Résultat 2 cos(θ + π/6). Vérification en θ = 0 : √3 = 2 cos(π/6).

Technique 6, changer d'inconnue. Mini-exercice : résoudre 2cos²(x) − 3cos(x) + 1 = 0. On pose u = cos(x), le trinôme 2u² − 3u + 1 a pour racines 1 et 1/2. cos(x) = 1 donne x = 2kπ, cos(x) = 1/2 donne x = ±π/3 + 2kπ.

Technique 7, ramener à cos(u) = cos(v). Mini-exercice : résoudre cos(2x) = cos(x). On a 2x = x + 2kπ, soit x = 2kπ, ou 2x = −x + 2kπ, soit x = 2kπ/3. La première famille est incluse dans la seconde, donc les solutions sont les 2kπ/3, k ∈ Z.

Technique 8, vérifier sur une valeur. Mini-exercice : on a trouvé cos(θ) − sin(θ) = √2 cos(θ + π/4). En θ = 0, le membre de gauche vaut 1 et le membre de droite √2 × √2/2 = 1. Un test en θ = 0 ou θ = π/2 détecte presque toutes les erreurs de signe.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. On sait que sin(θ) = 3/5 et θ ∈ [π/2, π]. Calculer cos(θ), tan(θ), sin(2θ), cos(2θ)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique identité fondamentale avec discussion du signe, puis duplication.

Voir le corrigé

cos²(θ) = 1 − 9/25 = 16/25, donc cos(θ) = ±4/5. Sur [π/2, π] le cosinus est négatif, donc cos(θ) = −4/5.
tan(θ) = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
sin(2θ) = 2 sin(θ)cos(θ) = 2 × (3/5) × (−4/5) = −24/25.
cos(2θ) = 1 − 2 sin²(θ) = 1 − 18/25 = 7/25.

piège : Prendre cos(θ) = 4/5 sans regarder l'intervalle. L'identité fondamentale donne le carré, l'intervalle donne le signe.

Exercice 2. Résoudre cos(x) = sin(x) sur R

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique écrire le sinus comme un cosinus, ou passer à la tangente.

Voir le corrigé

sin(x) = cos(π/2 − x), donc l'équation est cos(x) = cos(π/2 − x).
Première famille : x = π/2 − x + 2kπ, soit x = π/4 + kπ.
Seconde famille : x = −(π/2 − x) + 2kπ, soit 0 = −π/2 + 2kπ, impossible.
Solutions : π/4 + kπ, k ∈ Z. Autre méthode : si cos(x) = 0 alors sin(x) = ±1 ≠ 0, donc x n'est pas solution. On peut diviser par cos(x), ce qui donne tan(x) = 1, même réponse.

piège : Diviser par cos(x) sans dire pourquoi il est non nul, ou conclure x = π/4 seul.

Exercice 3. Résoudre 2 sin²(x) + sin(x) − 1 = 0 sur [0, 2π[

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique changement d'inconnue puis équations élémentaires.

Voir le corrigé

Avec u = sin(x), le trinôme 2u² + u − 1 a pour discriminant 9 et pour racines 1/2 et −1.
sin(x) = 1/2 donne x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ. Dans [0, 2π[ : π/6 et 5π/6.
sin(x) = −1 donne x = −π/2 + 2kπ. Dans [0, 2π[ : 3π/2.
Solutions : π/6, 5π/6, 3π/2.

piège : Oublier 5π/6, ou écrire 3π/2 = −π/2 et le rejeter parce que −π/2 n'est pas dans l'intervalle.

Exercice 4. Montrer que cos(3θ) = 4cos³(θ) − 3cos(θ) et sin(3θ) = 3 sin(θ) − 4 sin³(θ)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique addition avec 3θ = 2θ + θ, puis duplication, puis identité fondamentale.

Voir le corrigé

cos(3θ) = cos(2θ)cos(θ) − sin(2θ)sin(θ) = (2cos²θ − 1)cos θ − 2 sin²θ cos θ.
On remplace sin²θ par 1 − cos²θ : 2cos³θ − cos θ − 2cos θ + 2cos³θ = 4cos³θ − 3cos θ.
De même sin(3θ) = sin(2θ)cos θ + cos(2θ)sin θ = 2 sin θ cos²θ + (1 − 2 sin²θ) sin θ, puis cos²θ = 1 − sin²θ donne 3 sin θ − 4 sin³θ.

piège : Choisir la mauvaise forme de cos(2θ). Pour obtenir un polynôme en cos θ, on prend celle qui ne contient que du cosinus.

Exercice 5. Résoudre cos(θ) − sin(θ) = 1 sur R

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique transformation en r cos(θ − φ).

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r = √2. On cherche φ avec cos φ = 1/√2 et sin φ = −1/√2, soit φ = −π/4. Donc cos θ − sin θ = √2 cos(θ + π/4).
L'équation devient cos(θ + π/4) = 1/√2 = cos(π/4).
θ + π/4 = π/4 + 2kπ donne θ = 2kπ. θ + π/4 = −π/4 + 2kπ donne θ = −π/2 + 2kπ.
Vérification : θ = 0 donne 1 − 0 = 1, θ = −π/2 donne 0 − (−1) = 1.

piège : Oublier de diviser par r avant d'appliquer cos(u) = cos(v), ou résoudre cos(θ + π/4) = 1 en oubliant le facteur √2.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Un signal est modélisé par s(t) = 3 cos(ωt) + 4 sin(ωt), avec ω > 0. Donner son amplitude, l'écrire sous la forme A cos(ωt − φ), et déterminer les instants où s(t) est maximal.

Technique transformation avec identification de φ par deux conditions.

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A = √(9 + 16) = 5. On cherche φ avec cos φ = 3/5 et sin φ = 4/5.
Comme sin φ > 0, φ peut être choisi dans ]0, π[, donc φ = arccos(3/5). Comme cos φ > 0, on peut aussi écrire φ = arctan(4/3), les deux valeurs coïncident.
s(t) = 5 cos(ωt − φ). Le maximum 5 est atteint quand ωt − φ = 2kπ, soit t = (φ + 2kπ)/ω, k entier tel que t ≥ 0.
Interprétation : la somme de deux sinusoïdes de même pulsation est une sinusoïde de même pulsation, d'amplitude 5 et de phase φ.

piège : Écrire φ = arctan(b/a) sans vérifier le signe de a. Si a < 0, l'arctangente donne φ à π près, il faut corriger.

Exercice 7. Montrer que pour tout réel θ, |cos(θ) + sin(θ)| ≤ √2, et préciser quand il y a égalité

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E

Technique deux méthodes, transformation ou carré.

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Méthode 1 : cos θ + sin θ = √2 cos(θ − π/4), car cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2. Le cosinus étant dans [−1, 1], la valeur absolue est majorée par √2, avec égalité si et seulement si θ − π/4 ≡ 0 modulo π, soit θ = π/4 + kπ.
Méthode 2 : (cos θ + sin θ)² = cos²θ + sin²θ + 2 sin θ cos θ = 1 + sin(2θ) ≤ 2. Racine carrée croissante, donc |cos θ + sin θ| ≤ √2, égalité si sin(2θ) = 1.

piège : Majorer chaque terme par 1 et conclure ≤ 2, ce qui est vrai mais pas la meilleure borne. Le colleur attend √2.

Exercice 8. Résoudre cos(2x) + cos(x) = 0 sur R

Classiques de khôlle et concours · Écrit

Technique deux méthodes, angles associés ou polynôme en cos(x).

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Méthode 1 : cos(2x) = −cos(x) = cos(π − x). Donc 2x = π − x + 2kπ, soit x = π/3 + 2kπ/3, ou 2x = −(π − x) + 2kπ, soit x = −π + 2kπ.
La seconde famille, x = π + 2kπ, est contenue dans la première (k = 1 + 3j). Solutions : π/3 + 2kπ/3, k ∈ Z.
Méthode 2 : cos(2x) = 2cos²x − 1, l'équation devient 2u² + u − 1 = 0 avec u = cos x, racines 1/2 et −1. cos x = 1/2 donne ±π/3 + 2kπ, cos x = −1 donne π + 2kπ. On vérifie que c'est la même liste.

piège : Écrire « −cos(x) = cos(−x) donc 2x = −x ». L'opposé du cosinus est cos(π − x), pas cos(−x).

Exercice 9. Montrer que arctan(1/2) + arctan(1/3) = π/4

Classiques de khôlle et concours · Écrit, plus délicat

Technique encadrer la somme dans un intervalle, calculer sa tangente par une formule redémontrée, conclure par unicité.

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Soient a = arctan(1/2) et b = arctan(1/3), tous deux dans ]−π/2, π/2[. Sur cet intervalle le cosinus est strictement positif, et tan a > 0 impose sin a > 0, donc a ∈ ]0, π/2[. De même pour b. Donc a + b ∈ ]0, π[.
Formule à redémontrer, car tan(a + b) n'est pas au programme : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b et cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. En divisant par cos a cos b, non nul, cos(a + b) = cos a cos b (1 − tan a tan b) et sin(a + b) = cos a cos b (tan a + tan b).
Ici 1 − tan a tan b = 1 − 1/6 = 5/6 ≠ 0, donc cos(a + b) ≠ 0 et tan(a + b) = (1/2 + 1/3)/(5/6) = 1.
tan(a + b) = tan(π/4) donne a + b = π/4 + kπ. Le seul élément de cette famille dans ]0, π[ est π/4.

piège : Écrire tan(a + b) = 1 donc a + b = π/4 sans localiser la somme. Sans l'encadrement, on ne peut exclure 5π/4.

Exercice 10

Classiques de khôlle et concours · Écrit, plus délicat

Pour n ∈ N, on pose u_n = cos(π/2ⁿ⁺¹). Montrer que u_n+1 = √((1 + u_n)/2) pour tout n, et calculer u₀, u₁, u₂.

Technique linéarisation lue avec un demi-angle et discussion de signe.

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Posons x = π/2ⁿ⁺², de sorte que u_n+1 = cos(x) et u_n = cos(2x). La duplication donne cos(2x) = 2cos²(x) − 1, donc cos²(x) = (1 + cos(2x))/2.
Comme x ∈ ]0, π/2], cos(x) ≥ 0, donc cos(x) = √((1 + cos(2x))/2), ce qui est la relation demandée.
u₀ = cos(π/2) = 0, u₁ = √(1/2) = √2/2, u₂ = √((1 + √2/2)/2) = √(2 + √2)/2.
Remarque : la suite (u_n) est croissante et tend vers 1, ce sera un exercice du chapitre suites.

piège : Écrire cos(x) = ±√(…) et garder les deux signes. Le signe se décide par l'intervalle où vit x.

Erreurs fréquentes

Ne donner qu'une famille de solutions à cos(x) = c ou sin(x) = s, ou donner la famille −a au lieu de π − a pour le sinus.
Écrire x = arccos(c) comme réponse à cos(x) = c. C'est une solution, pas l'ensemble des solutions.
Diviser par cos(x) ou par sin(x) sans avoir traité le cas où il s'annule.
Se tromper de signe dans cos(α + β). Le cosinus prend le signe opposé, le sinus le même. Tester en β = 0 ou α = β = π/2.
Utiliser une formule hors liste, produit en somme ou tan(a + b), sans la redémontrer. Le jury attend la démonstration en une ligne, pas la formule par cœur.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST 1ère année (2021), partie « Outils 3 – Trigonométrie ». Elle couvre les définitions sur le cercle trigonométrique, les formules exigibles, la résolution des équations trigonométriques simples, les notations $\arccos$ , $\arcsin$ et $\arctan$ , et la transformation de $a\cos\theta + b\sin\theta$ .