Le cours

Résumé en cinq points

L'indice de sommation est muet, une somme vide vaut $0$ , un produit vide vaut $1$ , et la somme de $p$ à $n$ compte $n - p + 1$ termes.
Les trois outils de calcul sont la linéarité, le changement d'indice et le télescopage.
Les trois sommes de référence sont la somme géométrique $\dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$ pour $q \neq 1$ , $\dfrac{n(n+1)}{2}$ et $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .
Le coefficient binomial vaut $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ , il est symétrique et vérifie la relation de Pascal, qui construit le triangle.
La formule du binôme développe $(a+b)^n$ , à condition que $a$ et $b$ commutent.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre ne contient presque aucune notion nouvelle, et pourtant il conditionne la réussite de toute l'année. Les symboles $\sum$ et $\prod$ apparaissent partout : dans les suites, dans les intégrales, dans les espérances de variables aléatoires, dans le produit matriciel, dans les dénombrements. Un étudiant qui manipule mal un indice perdra des points dans tous ces chapitres.

L'objectif est de mettre en place quelques principes et quelques exemples de maniement, comme le dit le programme. Trois sommes de référence sont à connaître par cœur, ainsi que le triangle de Pascal et la formule du binôme.

Les coefficients binomiaux peuvent être présentés ici ou dans le chapitre de dénombrement. Les deux points de vue, calculatoire et combinatoire, se renforcent l'un l'autre.

Presque toutes les formules de ce chapitre se traduisent en algorithmes. Calculer une somme, c'est une boucle avec un accumulateur, et c'est ainsi qu'on la programme en Python.

1Le symbole somme

1.1Notation

Définition 1.1Somme

Pour des nombres $a_p, a_{p+1}, \dots, a_n$ , on note $\sum_{k=p}^{n} a_k = a_p + a_{p+1} + \dots + a_n.$ Plus généralement, pour $I$ un ensemble fini d'indices, on note $\sum_{i \in I} a_i$ la somme des $a_i$ pour $i \in I$ .

Deux conventions à retenir :

une somme dont l'ensemble d'indices est vide vaut $0$ ; en particulier, si $n < p$ , $\sum_{k=p}^{n} a_k = 0$ ;
l'indice de sommation est muet : $\sum_{k=1}^{n} k^2$ et $\sum_{j=1}^{n} j^2$ sont le même nombre.

L'indice de sommation ne doit jamais apparaître dans le résultat. Un résultat qui contient encore un $k$ est faux.

Attention

Le nombre de termes de $\sum_{k=p}^{n} a_k$ est $n - p + 1$ , et pas $n - p$ .

1.2Règles de calcul

Propriété 1.2Linéarité

Pour $\lambda$ et $\mu$ des scalaires : $\sum_{k} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda \sum_{k} a_k + \mu \sum_{k} b_k.$

Deux cas particuliers très utilisés : on sort une constante multiplicative d'une somme, et on découpe une somme de deux termes en deux sommes.

Attention

Une constante additive ne se sort pas : $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ , pas $c$ .

Propriété 1.3Relation de Chasles

Hypothèses

$p \leqslant m < n$ .

Alors $\sum_{k=p}^{n} a_k = \sum_{k=p}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k.$

Elle sert à isoler le premier ou le dernier terme, manœuvre fréquente dans les récurrences.

Deux types de changement d'indice sont au programme.

MéthodeTranslation

En posant $j = k + 1$ : $\sum_{k=0}^{n} a_{k+1} = \sum_{j=1}^{n+1} a_j.$

Poser le nouvel indice.
Changer les bornes en même temps que le terme général.

MéthodeSymétrie (retournement)

En posant $j = n - k$ : $\sum_{k=0}^{n} a_k = \sum_{j=0}^{n} a_{n-j}.$ C'est la technique qui donne la somme des $n$ premiers entiers en additionnant la somme à elle-même retournée.

Propriété 1.4Télescopage

$\sum_{k=p}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_p.$ Tous les termes intermédiaires se compensent.

C'est l'outil à essayer en premier pour une somme dont le terme général est une différence.

Exemple 1.5Somme de $1/(k(k+1))$

On écrit $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ . La somme télescopique vaut $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}.$

1.3Sommes doubles

Deux formes seulement sont au programme, et l'attendu se limite à les ramener à deux sommes simples successives.

Propriété 1.6Somme rectangulaire

La somme des $a_{i,j}$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$ et $1 \leqslant j \leqslant m$ se calcule en sommant d'abord sur $j$ puis sur $i$ , ou l'inverse. Le résultat est le même : on choisit l'ordre le plus commode.

Si $a_{i,j} = b_i c_j$ , la somme double se factorise : $\sum_{i,j} b_i c_j = \Big(\sum_{i} b_i\Big)\Big(\sum_{j} c_j\Big).$

La somme triangulaire porte sur les $a_{i,j}$ pour $1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$ . Il y a deux façons de la parcourir :

on fixe $j$ entre $1$ et $n$ , et $i$ varie de $1$ à $j$ ;
on fixe $i$ entre $1$ et $n$ , et $j$ varie de $i$ à $n$ .

L'échange des deux points de vue est la seule difficulté réelle du chapitre. Le dessin d'un tableau triangulaire, avec les cases concernées coloriées, lève tout doute.

Exemple 1.7Somme triangulaire de 1

En fixant $j$ , on compte $j$ valeurs de $i$ : $\sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} 1 = \sum_{j=1}^{n} j = \frac{n(n+1)}{2}.$ C'est bien le nombre de couples $(i, j)$ avec $i \leqslant j$ .

2Le symbole produit

Définition 2.1Produit

On note $\prod_{k=p}^{n} a_k = a_p \times \dots \times a_n$ . Un produit dont l'ensemble d'indices est vide vaut $1$ .

Propriété 2.2Multiplicativité

$\prod_{k} a_k b_k = \Big(\prod_{k} a_k\Big)\Big(\prod_{k} b_k\Big).$ De plus, $\prod_{k=p}^{n} c = c^{\,n-p+1}$ .

Attention

Il n'y a pas de linéarité pour le produit : le produit d'une somme n'est pas la somme des produits.

Le logarithme transforme un produit de termes strictement positifs en somme de logarithmes. C'est utilisé dès que l'on veut étudier la limite d'un produit.

3Factorielle

Définition 3.1Factorielle

Pour $n$ entier naturel, $n!$ est le produit des entiers de $1$ à $n$ , avec la convention $0! = 1$ , cohérente avec la convention sur le produit vide.

Propriété 3.2Relation fondamentale

$(n+1)! = (n+1) \times n!$ .

Elle sert dans toutes les récurrences et dans toutes les simplifications.

Exemple 3.3Simplification

On ne développe jamais une factorielle, on simplifie : $\begin{aligned} \frac{(n+2)!}{n!} &= (n+2)(n+1),\\ \frac{(2n)!}{(2n-2)!} &= 2n(2n-1). \end{aligned}$

4Sommes usuelles

4.1Somme géométrique

Théorème 4.1Somme géométrique

Hypothèses

$q \in \C$ ;
$q \neq 1$ .

Alors $\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}.$

Démonstration

Posons $S = \sum_{k=0}^{n} q^k$ . Alors $(q-1)S = \sum_{k=0}^{n} (q^{k+1} - q^k).$ Cette somme télescope et vaut $q^{n+1} - q^0 = q^{n+1} - 1$ . Comme $q \neq 1$ , on divise.

Attention

Si $q = 1$ , la somme vaut $n + 1$ . Il ne faut jamais oublier ce cas particulier.

Propriété 4.2Variante

Pour $q \neq 1$ : $\sum_{k=p}^{n} q^k = q^p\,\frac{q^{n-p+1} - 1}{q - 1}.$ Le moyen sûr de la retrouver est de factoriser par le premier terme.

Exemple 4.3Population de bactéries

Une population double à chaque génération à partir de $N_0$ individus. Le nombre cumulé d'individus produits sur $n + 1$ générations est $N_0\,\frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = N_0\,(2^{n+1} - 1).$

4.2Somme des n premiers entiers

Propriété 4.4Somme des entiers

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.$

Démonstration

Par retournement : on note $S$ la somme, on l'écrit une seconde fois dans l'ordre inverse. En additionnant terme à terme, on obtient $n$ couples valant chacun $n + 1$ , donc $2S = n(n+1)$ . Une récurrence est aussi immédiate.

4.3Somme des n premiers carrés

Propriété 4.5Somme des carrés

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Démonstration

On somme l'identité $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ de $k = 1$ à $n$ . Le membre de gauche télescope et vaut $(n+1)^3 - 1$ . On isole la somme des carrés en utilisant la somme des entiers. Une récurrence marche aussi sans difficulté.

Cette méthode par télescopage est la plus instructive, car elle se généralise.

Exemple 4.6Contrôle

Pour $n = 3$ , la formule donne $\dfrac{3 \times 4 \times 7}{6} = 14$ , et en effet $1 + 4 + 9 = 14$ . Il faut toujours tester une formule sur une petite valeur.

5Coefficients binomiaux

5.1Définition

Définition 5.1Coefficient binomial

Pour $n$ entier naturel et $k$ entier relatif, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ vaut $0$ si $k < 0$ ou $k > n$ , et sinon $\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

Le numérateur de la première expression contient exactement $k$ facteurs. La première expression sert à calculer à la main, la seconde à démontrer.

Exemple 5.2Valeurs immédiates

$\binom{n}{0} = 1, \quad \binom{n}{1} = n,$ $\binom{n}{n} = 1, \quad \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.$

5.2Formules à connaître

Propriété 5.3Symétrie

$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ .

Propriété 5.4Formule du capitaine

Pour $k \geqslant 1$ : $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}, \quad \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$ On l'appelle aussi formule d'absorption.

Propriété 5.5Relation de Pascal

$\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}.$

Démonstration

On met les deux fractions au même dénominateur $k!\,(n-k+1)!$ . Le numérateur vaut $n!\,k + n!\,(n-k+1) = n!\,(n+1)$ . Le total vaut donc $\dfrac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}$ .

5.3Triangle de Pascal

La ligne $n$ du tableau contient les $\binom{n}{k}$ pour $k$ de $0$ à $n$ . Chaque ligne commence et finit par $1$ , et chaque coefficient intérieur est la somme des deux coefficients situés au-dessus de lui : c'est la relation de Pascal. Les premières lignes sont :

$1$ ;
$1\ 1$ ;
$1\ 2\ 1$ ;
$1\ 3\ 3\ 1$ ;
$1\ 4\ 6\ 4\ 1$ .

C'est le moyen le plus rapide de calculer les coefficients jusqu'à $n = 6$ ou $7$ , et un algorithme naturel à programmer.

5.4Formule du binôme

Théorème 5.6Formule du binôme

Hypothèses

$a$ et $b$ sont dans $\K$ (ils commutent) ;
$n \in \N$ .

Alors $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.$

Démonstration

Idée, par récurrence. Pour passer du rang $n$ au rang $n+1$ , on écrit $(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n$ et on développe. On effectue une translation d'indice dans l'une des deux sommes pour aligner les exposants, puis on regroupe avec la relation de Pascal.

Attention

La formule suppose que $a$ et $b$ commutent. C'est automatique pour des nombres, ce ne l'est pas pour des matrices.

Propriété 5.7Conséquences

Avec $a = b = 1$ : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ .
Avec $a = -1$ et $b = 1$ , pour $n \geqslant 1$ : la somme alternée vaut $0$ .

Exemple 5.8Développement de $(1+x)^4$

$(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4,$ lu directement sur la ligne $4$ du triangle de Pascal.

Exemple 5.9Anticipation : loi binomiale

Le nombre de façons d'obtenir exactement $k$ succès en $n$ épreuves indépendantes fait intervenir $\binom{n}{k}$ , et la somme des probabilités vaut $1$ grâce à la formule du binôme. C'est la loi binomiale, vue en fin d'année.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Avant tout calcul, compter le nombre de termes et écrire les premiers et le dernier en toutes lettres, pour éviter les erreurs de bornes.
Pour un terme général quotient rationnel simple, chercher une décomposition en différence, puis télescoper.
Pour une somme géométrique, factoriser par le premier terme et vérifier que la raison n'est pas $1$ .
Pour une somme double triangulaire, dessiner le tableau et décider quel indice fixer en premier.
Pour prouver une formule de sommation, la récurrence marche toujours mais ne montre pas d'où vient le résultat : chercher d'abord un télescopage ou un retournement.
Pour simplifier une expression avec factorielles ou coefficients binomiaux, tout écrire avec des factorielles, simplifier, puis revenir à la notation binomiale.
Vérifier toute formule obtenue sur $n = 1$ et $n = 2$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Effectuer un changement d'indice par translation et par retournement, en justifiant le changement des bornes.
Démontrer la formule de la somme géométrique par télescopage, en traitant le cas $q = 1$ à part.
Démontrer la somme des $n$ premiers entiers par retournement, et celle des carrés par télescopage.
Calculer une somme télescopique du type $\frac{1}{k(k+1)}$ .
Intervertir les deux sommations dans une somme double triangulaire et vérifier sur un petit cas.
Démontrer la relation de Pascal par le calcul avec les factorielles.
Appliquer la formule du binôme, y compris pour obtenir la somme et la somme alternée des coefficients binomiaux.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Une somme d'indices vide vaut 0, la somme de k = p à n compte n − p + 1 termes : exigible.
L'indice de sommation est muet, il ne doit jamais apparaître dans le résultat final : exigible.
Linéarité de Σ, on sort une constante multiplicative, on sépare une somme de deux termes. Une constante additive ne se sort pas, Σ_k=1ⁿ c = nc : exigible.
Relation de Chasles, pour isoler le premier ou le dernier terme : exigible.
Changement d'indice, translation ou symétrie, seuls deux types au programme : exigible.
Télescopage, Σ_k=pⁿ (a_(k+1) − a_k) = a_(n+1) − a_p : exigible avec utilisation.
Sommes doubles rectangulaires et triangulaires, ramenées à deux sommes simples successives : exigible, attendu limité à ce maniement.
Un produit d'indices vide vaut 1, la multiplicativité du symbole Π, mais pas de linéarité, le produit d'une somme n'est pas la somme des produits : exigible.
Factorielle, 0! = 1, (n+1)! = (n+1) × n!, on ne développe jamais une factorielle, on simplifie : exigible.
Somme géométrique, Σ_k=0ⁿ q^k = (qⁿ⁺¹−1)/(q−1) pour q ≠ 1, égale n+1 si q = 1 : exigible avec démonstration, par télescopage.
Somme des n premiers entiers, n(n+1)/2 : exigible avec démonstration, par récurrence ou par retournement.
Somme des n premiers carrés, n(n+1)(2n+1)/6 : exigible avec démonstration, par récurrence ou par télescopage.
Coefficient binomial « k parmi n », valeurs immédiates pour k = 0, 1, n, 2 : exigible.
Symétrie C(n,k) = C(n,n−k), formule du capitaine k×C(n,k) = n×C(n−1,k−1), relation de Pascal C(n,k−1)+C(n,k) = C(n+1,k) : exigible avec démonstration pour Pascal, par le calcul avec les factorielles.
Triangle de Pascal, construit ligne par ligne à partir de la relation de Pascal : exigible.
Formule du binôme, (a+b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C(n,k) a^k b^n−k, valable pour a et b qui commutent : exigible avec esquisse de démonstration, par récurrence. Conséquences, Σ C(n,k) = 2ⁿ, somme alternée nulle pour n ≥ 1.

Clés de démonstration

Somme géométrique. On note S la somme cherchée. (q−1)S est la somme télescopique des q^k+1 − q^k, qui vaut qⁿ⁺¹ − 1. Comme q est différent de 1, on divise. L'astuce : multiplier par (q−1) fait apparaître un télescopage tout fait.

Somme des n premiers entiers, par retournement. On écrit S une seconde fois dans l'ordre inverse, terme à terme la somme des deux écritures donne n couples valant chacun n+1, donc 2S = n(n+1). L'astuce : superposer une somme à elle-même retournée fait apparaître une constante répétée.

Somme des n premiers carrés, par télescopage. On somme l'identité (k+1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1 de k = 1 à n. Le membre de gauche télescope et vaut (n+1)³ − 1, ce qui permet d'isoler la somme des carrés en utilisant la somme des entiers déjà connue. L'astuce : choisir une identité télescopique d'un degré au-dessus de ce qu'on cherche.

Relation de Pascal. On met C(n,k−1) et C(n,k) au même dénominateur k!(n−k+1)!. Le numérateur obtenu est n!k + n!(n−k+1), qui se factorise en n!(n+1), ce qui donne exactement (n+1)!/(k!(n+1−k)!). L'astuce : la mise au même dénominateur fait apparaître une factorisation immédiate par n!.

Formule du binôme, par récurrence. On écrit (a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)(a+b)ⁿ, on développe, on effectue un changement d'indice par translation dans l'une des deux sommes pour aligner les exposants, puis on regroupe les deux sommes grâce à la relation de Pascal. L'astuce : la relation de Pascal est exactement ce qui permet de fusionner deux sommes décalées d'un cran.

Exemples et contre-exemples à connaître

La somme de k = 5 à 12 compte 8 termes, 12−5+1, pas 7 : erreur de comptage la plus fréquente du chapitre.
Un résultat qui contient encore la lettre k après le calcul d'une somme de k = 1 à n est automatiquement faux, l'indice de sommation étant muet.
Σ_k=1ⁿ c vaut nc, pas c : une constante additive ne se sort jamais d'une somme, contrairement à une constante multiplicative.
Le produit d'une somme n'est pas la somme des produits, il n'y a pas de linéarité pour le symbole Π.
(n+2)!/n! = (n+2)(n+1) : on simplifie toujours une factorielle, on ne la développe jamais.
Pour q = 1, la somme géométrique vaut n+1, la formule générale (qⁿ⁺¹−1)/(q−1) n'ayant aucun sens à cause de la division par 0.
Σ_k=0ⁿ C(n,k) = 2ⁿ, obtenu en prenant a = b = 1 dans la formule du binôme, et la somme alternée est nulle pour n ≥ 1 en prenant a = −1 et b = 1 : deux conséquences à connaître par cœur.
La formule du binôme suppose que a et b commutent, ce qui est automatique pour des nombres mais ne l'est pas en général pour des matrices.
0! = 1 par convention, cohérente avec le produit vide qui vaut 1.
Σ pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n de 1 vaut n(n+1)/2, le nombre de couples avec i ≤ j, à ne pas confondre avec n(n−1)/2, le nombre de couples avec i < j strictement.

Techniques du chapitre

Technique 1, compter le nombre de termes et écrire les premiers et le dernier en toutes lettres avant tout calcul. Mini-exercice : la somme de k = 3 à 7 de k compte 5 termes, et vaut 3+4+5+6+7 = 25.

Technique 2, chercher une décomposition en différence pour télescoper. Mini-exercice : Σ_k=1ⁿ 1/((k+1)(k+2)) = Σ[1/(k+1) − 1/(k+2)] = 1/2 − 1/(n+2).

Technique 3, factoriser par le premier terme dans une somme géométrique. Mini-exercice : Σ_k=2ⁿ 3^k = 3²(3ⁿ⁻¹−1)/(3−1) = 9(3ⁿ⁻¹−1)/2.

Technique 4, dessiner le tableau pour intervertir une somme double triangulaire. Mini-exercice : Σ pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n de i vaut Σ_j (Σ_i=1^j i), soit Σ_j j(j+1)/2.

Technique 5, chercher un télescopage ou un retournement avant la récurrence pour prouver une formule de sommation. Mini-exercice : la somme des n premiers entiers impairs, Σ_k=1ⁿ (2k−1), obtenue par télescopage à partir de k² − (k−1)² = 2k−1, vaut n².

Technique 6, tout écrire avec des factorielles pour simplifier une expression binomiale. Mini-exercice : C(n,k)/C(n,k−1) = (n−k+1)/k, obtenu en écrivant les deux coefficients sous forme de factorielles et en simplifiant.

Technique 7, vérifier toute formule obtenue sur une petite valeur de n. Mini-exercice : pour n=3, la formule de la somme des carrés donne 3×4×7/6 = 14, et 1+4+9 = 14, cohérent.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Calculer Σ_k=5¹² (2k−1)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique linéarité, découpage d'une somme de k=1 en deux morceaux.

Voir le corrigé

Nombre de termes, 12−5+1 = 8.
Par linéarité, 2Σ_k=5¹² k − Σ_k=5¹² 1 = 2Σ_k=5¹² k − 8.
Σ_k=5¹² k = Σ_k=1¹² k − Σ_k=1⁴ k = 78 − 10 = 68.
Résultat, 2×68 − 8 = 128.

piège : Compter 12−5=7 termes au lieu de 8, erreur de comptage classique.

Exercice 2. Calculer Σ_k=0ⁿ 3^k pour n≥0, puis pour n=5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique somme géométrique de raison 3.

Voir le corrigé

q=3 différent de 1, la formule donne (3ⁿ⁺¹−1)/(3−1) = (3ⁿ⁺¹−1)/2.
Pour n=5, (3⁶−1)/2 = (729−1)/2 = 364.
Vérification pour n=1, (3²−1)/2 = 8/2 = 4 = 1+3, cohérent.
La formule ne s'applique jamais telle quelle si q=1, où il faudrait n+1.

piège : Oublier le cas particulier q=1, ou se tromper de signe au numérateur ou au dénominateur.

Exercice 3. Calculer Σ_k=1ⁿ 1/(k(k+2)) par télescopage

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique décomposition en éléments simples, changement d'indice pour un écart de 2.

Voir le corrigé

1/(k(k+2)) = (1/2)[1/k − 1/(k+2)].
La somme devient (1/2)[Σ_k=1ⁿ 1/k − Σ_k=1ⁿ 1/(k+2)].
En posant j=k+2 dans la seconde somme, Σ_k=1ⁿ 1/(k+2) = Σ_j=3ⁿ⁺² 1/j, ce qui simplifie tous les termes communs de 3 à n avec la première somme.
Il reste (1/2)[1 + 1/2 − 1/(n+1) − 1/(n+2)] = 3/4 − (1/2)[1/(n+1)+1/(n+2)].

piège : Appliquer le télescopage classique comme si l'écart entre les indices était de 1, alors qu'il est de 2, ce qui change la structure de la simplification.

Exercice 4. Calculer Σ pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n de (i+j)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique somme double triangulaire, deux points de vue.

Voir le corrigé

On sépare en Σ_{1≤i≤j≤n} i + Σ_{1≤i≤j≤n} j.
Pour le second terme, on fixe j, i varie de 1 à j, donc j apparaît j fois, Σ_j=1ⁿ j² = n(n+1)(2n+1)/6.
Pour le premier, on fixe i, j varie de i à n, donc i apparaît (n−i+1) fois, Σ_i=1ⁿ i(n−i+1) = (n+1)Σi − Σi².
Pour n=2, on vérifie directement, les couples (1,1),(1,2),(2,2) donnent des sommes 2,3,4, total 9, ce que redonne le calcul détaillé.

piège : Fixer le même indice pour les deux sommes de l'étape 1, alors que le calcul le plus simple balaie j pour l'une et i pour l'autre.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Simplifier A_n = (n+3)!/(n+1)! et B_n = C(n,2)/C(n,1) pour n≥2, puis donner la limite de B_n en +∞.

Technique simplification directe par factorisation, pas de développement.

Voir le corrigé

A_n = (n+3)(n+2)(n+1)!/(n+1)! = (n+3)(n+2).
C(n,2) = n(n−1)/2, C(n,1) = n, donc B_n = (n−1)/2.
La limite de B_n en +∞ vaut +∞.
Vérification pour n=4, C(4,2)=6, C(4,1)=4, B₄=1,5=(4−1)/2.

piège : Développer complètement les factorielles au lieu de simplifier par le terme commun le plus grand.

Exercice 6. Démontrer que pour tout entier n≥1, Σ_k=1ⁿ k×k! = (n+1)! − 1

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Technique télescopage à partir d'une réécriture de k×k!.

Voir le corrigé

On remarque k×k! = (k+1)×k! − k! = (k+1)! − k!.
La somme devient Σ_k=1ⁿ [(k+1)! − k!], qui télescope.
Le télescopage donne (n+1)! − 1! = (n+1)! − 1.
Vérification pour n=2, 1×1!+2×2! = 1+4 = 5, et (2+1)!−1 = 5.

piège : Ne pas penser à réécrire k×k! comme une différence de deux factorielles consécutives, réflexe non automatique.

Exercice 7. Démontrer, par récurrence puis par la formule du binôme, que Σ_k=0ⁿ C(n,k) = 2ⁿ

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E

Technique double démonstration, comparaison de rapidité.

Voir le corrigé

Par récurrence, au rang 0 la somme vaut 1 = 2⁰. À l'hérédité, la relation de Pascal permet de regrouper la somme au rang n+1 en deux copies décalées de la somme au rang n, ce qui donne 2×2ⁿ = 2ⁿ⁺¹.
Par le binôme, (1+1)ⁿ = Σ_k=0ⁿ C(n,k)×1^k×1^n−k = Σ_k=0ⁿ C(n,k), et (1+1)ⁿ = 2ⁿ.
Les deux méthodes donnent le même résultat, la seconde est nettement plus rapide.
Application, le nombre total de parties d'un ensemble à n éléments vaut 2ⁿ, cohérent avec cette identité.

piège : Dans la preuve par récurrence, mal gérer les bornes lors du regroupement des deux sommes décalées issues de la relation de Pascal.

Exercice 8. Calculer Σ_k=0ⁿ C(n,k)×2^k

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto ou G2E

Technique reconnaître la formule du binôme avec a=2 et b=1.

Voir le corrigé

Σ_k=0ⁿ C(n,k)×2^k×1^n−k = (2+1)ⁿ = 3ⁿ, directement par la formule du binôme.
Vérification pour n=2, C(2,0)+2C(2,1)+4C(2,2) = 1+4+4 = 9 = 3².
Pour n grand, 3ⁿ croît beaucoup plus vite que 2ⁿ, le rapport (3/2)ⁿ tendant vers l'infini.
Ce type de somme se retrouve directement dans le calcul de l'espérance d'une loi binomiale, avec une manipulation analogue.

piège : Essayer de calculer terme à terme au lieu de reconnaître immédiatement la structure (a+b)ⁿ avec a=2 et b=1.

Exercice 9. Montrer que pour tout entier n≥1, Σ_k=1ⁿ k×C(n,k) = n×2ⁿ⁻¹

Classiques de khôlle et concours · Écrit, plus délicat

Technique formule du capitaine, puis changement d'indice pour reconnaître une somme déjà connue.

Voir le corrigé

La formule du capitaine donne k×C(n,k) = n×C(n−1,k−1) pour k≥1.
La somme devient n×Σ_k=1ⁿ C(n−1,k−1).
En posant j=k−1, Σ_k=1ⁿ C(n−1,k−1) = Σ_j=0ⁿ⁻¹ C(n−1,j) = 2ⁿ⁻¹, résultat déjà établi.
Le résultat final est donc n×2ⁿ⁻¹.

piège : Oublier le changement d'indice après la formule du capitaine, ce qui laisse une somme mal bornée et empêche de reconnaître directement 2ⁿ⁻¹.

Erreurs fréquentes

Compter n−p termes au lieu de n−p+1 dans une somme de k=p à n.
Sortir une constante additive d'une somme, alors que seule une constante multiplicative se sort.
Oublier le cas particulier q=1 dans la formule de la somme géométrique, où la formule générale n'a aucun sens.
Développer complètement une factorielle au lieu de simplifier par le plus grand facteur commun.
Laisser l'indice de sommation apparaître dans le résultat final d'une somme, signe automatique d'une erreur.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST 1ère année (2021), partie « Outils 5 – Méthodes de calcul ». Elle couvre le maniement des symboles somme et produit, les sommes usuelles, la factorielle, les coefficients binomiaux et la formule du binôme. On travaille dans $\K = \R$ ou $\C$ .

Méthodes de calcul

Résumé en cinq points

1Le symbole somme

1.1Notation

1.2Règles de calcul

1.3Sommes doubles

2Le symbole produit

3Factorielle

4Sommes usuelles

4.1Somme géométrique

4.2Somme des n premiers entiers

4.3Somme des n premiers carrés

5Coefficients binomiaux

5.1Définition

5.2Formules à connaître

5.3Triangle de Pascal

5.4Formule du binôme

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Calculer Σk=512 (2k−1)

Exercice 2. Calculer Σk=0n 3k pour n≥0, puis pour n=5

Exercice 3. Calculer Σk=1n 1/(k(k+2)) par télescopage

Exercice 4. Calculer Σ pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n de (i+j)

Exercice 5

Exercice 6. Démontrer que pour tout entier n≥1, Σk=1n k×k! = (n+1)! − 1

Exercice 7. Démontrer, par récurrence puis par la formule du binôme, que Σk=0n C(n,k) = 2n

Exercice 8. Calculer Σk=0n C(n,k)×2k

Exercice 9. Montrer que pour tout entier n≥1, Σk=1n k×C(n,k) = n×2n−1

Erreurs fréquentes

Exercice 1. Calculer Σ_k=5¹² (2k−1)

Exercice 2. Calculer Σ_k=0ⁿ 3^k pour n≥0, puis pour n=5

Exercice 3. Calculer Σ_k=1ⁿ 1/(k(k+2)) par télescopage

Exercice 6. Démontrer que pour tout entier n≥1, Σ_k=1ⁿ k×k! = (n+1)! − 1

Exercice 7. Démontrer, par récurrence puis par la formule du binôme, que Σ_k=0ⁿ C(n,k) = 2ⁿ

Exercice 8. Calculer Σ_k=0ⁿ C(n,k)×2^k

Exercice 9. Montrer que pour tout entier n≥1, Σ_k=1ⁿ k×C(n,k) = n×2ⁿ⁻¹