Le cours

Résumé en cinq points

$\abs{x - y}$ est une distance. $\abs{x} \leqslant r$ équivaut à un encadrement, $\abs{x} \geqslant r$ à une réunion de deux cas.
$\lfloor x \rfloor$ est l'unique entier $n$ avec $n \leqslant x < n + 1$ , ce n'est pas la troncature pour les négatifs.
$\sqrt{x^2} = \abs{x}$ , et la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines. La quantité conjuguée lève les indéterminations.
Multiplier une inégalité par un négatif en change le sens. Le passage au carré ou à l'inverse demande une hypothèse de signe.
Toute partie non vide majorée de $\R$ admet une borne supérieure, admise. Elle est le plus petit des majorants, et elle n'est un maximum que si elle appartient à l'ensemble.

Pourquoi ce chapitre

Les ensembles $\N$ , $\Z$ , $\Q$ et $\R$ sont supposés connus. L'objectif est de rendre familiers les outils de calcul sur les réels, utilisés dans les suites, dans les limites, dans les inégalités qui encadrent une concentration ou un effectif, dans les probabilités où l'on majore une quantité.

C'est un chapitre de fiabilité. La plupart des points perdus en devoir sur ce thème viennent de trois erreurs :

une inégalité multipliée par un nombre négatif sans changer le sens ;
une racine carrée simplifiée à tort ;
une valeur absolue mal ouverte.

La seule notion vraiment nouvelle est la borne supérieure, introduite ici uniquement pour disposer du vocabulaire.

En sciences expérimentales, l'ordre est partout : un pH est compris entre deux valeurs, une incertitude de mesure s'écrit $\abs{x - x_0} \leqslant \varepsilon$ , une population est minorée par zéro.

1Intervalles

Définition 1.1Intervalle

Un intervalle de $\R$ est une partie de $\R$ qui contient tous les réels compris entre deux quelconques de ses éléments.

En pratique, on se contente de la liste des types d'intervalles. Pour $a \leqslant b$ réels :

segment $[a, b]$ : ensemble des $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$ ;
intervalle ouvert $]a, b[$ : $a < x < b$ ;
intervalles semi-ouverts $[a, b[$ et $]a, b]$ ;
demi-droites $[a, +\infty[$ , $]a, +\infty[$ , $]-\infty, b]$ , $]-\infty, b[$ ;
$\R$ tout entier, noté $]-\infty, +\infty[$ .

Attention

Les symboles $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels : un crochet ne se ferme jamais sur eux.

On note $\R^*$ l'ensemble des réels non nuls, $\R_+$ celui des réels positifs ou nuls, $\R_+^*$ celui des réels strictement positifs.

Remarque

Une réunion d'intervalles n'est pas toujours un intervalle : $]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$ est $\R^*$ , qui n'est pas un intervalle. Une intersection de deux intervalles est toujours un intervalle, éventuellement vide.

2Valeur absolue

2.1Définition et interprétation

Définition 2.1Valeur absolue

Pour $x$ réel, $\abs{x}$ vaut $x$ si $x \geqslant 0$ et $-x$ si $x < 0$ . On a toujours $\abs{x} \geqslant 0$ , et $\abs{x} = 0$ si et seulement si $x = 0$ .

$\abs{x - y}$ est la distance entre les réels $x$ et $y$ sur la droite réelle. Cette lecture rend les inégalités lisibles.

2.2Propriétés

Propriété 2.2Règles de calcul

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$\abs{xy} = \abs{x}\,\abs{y}$ ;
$\abs{x/y} = \abs{x}/\abs{y}$ si $y \neq 0$ ;
$\abs{x} = \abs{-x}$ .

Théorème 2.3Inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\abs{x + y} \leqslant \abs{x} + \abs{y}.$ Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont de même signe au sens large.

Démonstration

On a $-\abs{x} \leqslant x \leqslant \abs{x}$ et $-\abs{y} \leqslant y \leqslant \abs{y}$ . En additionnant : $-(\abs{x} + \abs{y}) \leqslant x + y \leqslant \abs{x} + \abs{y},$ ce qui équivaut à $\abs{x + y} \leqslant \abs{x} + \abs{y}$ .

Propriété 2.4Seconde inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\big|\,\abs{x} - \abs{y}\,\big| \leqslant \abs{x - y}.$

2.3Traduction des inégalités avec valeur absolue

Propriété 2.5Inégalités et valeur absolue

Hypothèses

$r > 0$ ;
$a$ est un réel.

Alors :

$\abs{x} \leqslant r$ équivaut à $-r \leqslant x \leqslant r$ , c'est-à-dire $x \in [-r, r]$ ;
$\abs{x - a} \leqslant r$ équivaut à $a - r \leqslant x \leqslant a + r$ , c'est-à-dire $x \in [a - r, a + r]$ ;
$\abs{x} \geqslant r$ équivaut à $x \leqslant -r$ ou $x \geqslant r$ .

Exemple 2.6Incertitude de mesure

Une mesure de concentration donne $c = 0{,}25\ \unite{mol.L^{-1}}$ avec une incertitude de $0{,}02$ . L'énoncé $\abs{c - 0{,}25} \leqslant 0{,}02$ signifie exactement $0{,}23 \leqslant c \leqslant 0{,}27$ .

Attention

La valeur absolue n'est pas linéaire : $\abs{x + y}$ n'est pas $\abs{x} + \abs{y}$ en général, comme le montrent $x = 1$ et $y = -1$ . Pour résoudre une équation ou une inéquation contenant $\abs{x - a}$ , on discute selon le signe de $x - a$ .

3Partie entière

Définition 3.1Partie entière

La partie entière de $x$ , notée $\lfloor x \rfloor$ , est l'unique entier $n$ tel que $n \leqslant x < n + 1$ .

On adopte cette notation internationale pour éviter la confusion avec l'espérance $\E(X)$ des probabilités.

Propriété 3.2Encadrement

Pour tout réel $x$ : $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1, \qquad x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x.$ La fonction partie entière est croissante au sens large, constante sur chaque intervalle $[n, n + 1[$ .

Exemple 3.3Valeurs

$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3, \quad \lfloor 5 \rfloor = 5, \quad \lfloor -1{,}2 \rfloor = -2.$

Attention

La partie entière n'est pas la troncature : elle est toujours inférieure ou égale à $x$ , donc pour un négatif elle descend.

Exemple 3.4Usage typique

Les multiples de 3 inférieurs à 100 sont au nombre de $\lfloor 100/3 \rfloor = 33$ . On l'utilise aussi pour encadrer une somme. En informatique, la division entière correspond à cette opération pour les nombres positifs.

4Exposants et racines

4.1Puissances entières

Pour $x$ réel non nul et $n$ entier relatif, $x^n$ est défini.

Propriété 4.1Formules exigibles

Pour $x$ et $y$ réels non nuls, $n$ et $m$ entiers relatifs :

$(xy)^n = x^n y^n$ ;
$x^{n+m} = x^n x^m$ ;
$(x^n)^m = x^{nm}$ ;
$x^0 = 1$ et $x^{-n} = 1/x^n$ .

À ce stade, on se limite aux exposants entiers. La notation $a^b$ avec $a > 0$ et $b$ réel quelconque sera introduite dans le chapitre sur les fonctions usuelles, via exponentielle et logarithme.

4.2Racine carrée et racine cubique

Définition 4.2Racine carrée

Pour $x \geqslant 0$ , $\sqrt{x}$ est l'unique réel positif dont le carré vaut $x$ . La racine carrée n'est définie que sur $\R_+$ .

Propriété 4.3Formules exigibles

$\sqrt{x^2} = \abs{x}$ pour tout réel $x$ ;
$\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ pour $x$ et $y$ positifs.

Attention

Le piège principal du chapitre : on n'écrit jamais $\sqrt{x^2} = x$ sans savoir que $x \geqslant 0$ . Par exemple $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = \abs{-3}$ .

De même, $\sqrt{x + y}$ n'est pas $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ : pour $x = y = 1$ , on obtient $\sqrt{2}$ d'un côté et $2$ de l'autre.

La racine cubique est définie sur $\R$ tout entier : pour tout réel $x$ , il existe un unique réel dont le cube vaut $x$ . Cela vient du fait que la fonction cube est strictement croissante sur $\R$ . La racine cubique d'un négatif est négative.

4.3Identités remarquables

Propriété 4.4Identités attendues

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2,\\ (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2,\\ a^2 - b^2 &= (a - b)(a + b). \end{aligned}$

Ces trois formules suffisent pour factoriser, pour reconnaître une forme canonique, et pour utiliser la quantité conjuguée.

Exemple 4.5Quantité conjuguée

Pour lever une forme indéterminée du type $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ , on multiplie et divise par $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ : $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$

5Inégalités

5.1Règles de calcul

Propriété 5.1Règles sur les inégalités

Pour $a$ , $b$ , $c$ réels :

si $a \leqslant b$ , alors $a + c \leqslant b + c$ : l'addition conserve les inégalités ;
si $a \leqslant b$ et $c > 0$ , alors $ac \leqslant bc$ ;
si $a \leqslant b$ et $c < 0$ , alors $ac \geqslant bc$ : l'inégalité change de sens ;
on additionne deux inégalités de même sens, on ne les soustrait jamais ;
on multiplie deux inégalités de même sens seulement entre quantités positives.

Propriété 5.2Passage à l'inverse

Si $0 < a \leqslant b$ , alors $\dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{a}$ .

La fonction inverse renverse les inégalités sur $\R_+^*$ comme sur $\R_-^*$ , mais pas d'un intervalle à l'autre : $-1 < 1$ et les inverses, qui valent encore $-1$ et $1$ , sont rangés dans le même ordre.

Propriété 5.3Passage au carré

Hypothèse : $0 \leqslant a \leqslant b$ .

Alors $a^2 \leqslant b^2$ .

Attention

C'est faux sans l'hypothèse de positivité : $-3 \leqslant 1$ et pourtant $9 > 1$ .

5.2Résolution d'équations et d'inéquations

On reprend les types vus au lycée. Le réflexe de rédaction est toujours le même : ramener au signe, factoriser, faire un tableau de signes.

Exemple 5.4Inéquation rationnelle

Résoudre $\dfrac{2x - 1}{x + 3} \geqslant 1$ . On ne multiplie pas par $x + 3$ , dont le signe est inconnu. $\begin{aligned} \frac{2x-1}{x+3} - 1 \geqslant 0 &\iff \frac{x - 4}{x + 3} \geqslant 0. \end{aligned}$ Le tableau de signes donne $S = ]-\infty, -3[ \cup [4, +\infty[$ , en excluant $-3$ qui annule le dénominateur.

Propriété 5.5Signe d'un trinôme

Hypothèses

$a \neq 0$ ;
$\Delta = b^2 - 4ac$ .

Alors le signe de $ax^2 + bx + c$ est :

si $\Delta > 0$ : deux racines réelles, et le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines ;
si $\Delta = 0$ : une racine double, et le trinôme est du signe de $a$ sauf en cette racine ;
si $\Delta < 0$ : le trinôme est toujours du signe de $a$ .

6Majorants, minorants, bornes

6.1Définitions

Soit $A$ une partie non vide de $\R$ .

Définition 6.1Majorant, minorant, extremum

$M$ est un majorant de $A$ quand $x \leqslant M$ pour tout $x \in A$ . $A$ est majorée quand elle admet au moins un majorant.
$m$ est un minorant de $A$ quand $x \geqslant m$ pour tout $x \in A$ . $A$ est minorée quand elle admet un minorant.
$A$ est bornée quand elle est à la fois majorée et minorée.
$M$ est le plus grand élément de $A$ , noté $\max A$ , quand $M$ majore $A$ et $M \in A$ .
$m$ est le plus petit élément de $A$ , noté $\min A$ , quand $m$ minore $A$ et $m \in A$ .

Un majorant n'a aucune raison d'appartenir à $A$ . Un plus grand élément, quand il existe, est unique.

6.2Borne supérieure et borne inférieure

Définition 6.2Bornes

La borne supérieure de $A$ , notée $\sup A$ , est le plus petit des majorants de $A$ . La borne inférieure, notée $\inf A$ , est le plus grand des minorants.

Théorème 6.3Existence de la borne supérieure

Hypothèses

$A$ est une partie de $\R$ non vide ;
$A$ est majorée.

Alors $A$ admet une borne supérieure. De même, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

Résultat admis par le programme.

Remarque

C'est une propriété propre à $\R$ , fausse dans $\Q$ : l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est majoré, mais sa borne supérieure, $\sqrt{2}$ , n'est pas rationnelle.

Le programme précise que la recherche de bornes supérieures à partir de la définition ne sera abordée que sur quelques exemples simples, dans le seul but d'illustrer la notion.

6.3Exemples à connaître

Exemple 6.4Quatre ensembles

$A = [0, 1]$ : $\max A = 1 = \sup A$ et $\min A = 0 = \inf A$ .
$A = [0, 1[$ : $\sup A = 1$ , mais $A$ n'a pas de plus grand élément, car $1 \notin A$ . En revanche $\min A = 0 = \inf A$ .
$A = \{1/n,\ n \in \N^*\}$ : $\max A = 1 = \sup A$ , et $\inf A = 0$ , qui n'est pas atteint, donc $A$ n'a pas de plus petit élément.
$A = ]0, +\infty[$ n'est pas majorée : elle n'a pas de borne supérieure.

À retenir

Quand la borne supérieure appartient à l'ensemble, c'est le maximum. Sinon le maximum n'existe pas, mais la borne supérieure existe quand même.

6.4Comment prouver que M = sup A

MéthodeProuver que $M = \sup A$

Deux points à établir, sans en oublier un :

$M$ majore $A$ , c'est-à-dire $x \leqslant M$ pour tout $x \in A$ .
Aucun réel plus petit que $M$ ne majore $A$ . En pratique, on montre que pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un élément de $A$ strictement supérieur à $M - \varepsilon$ .

Exemple 6.5Borne supérieure de $\{1 - 1/n\}$

Soit $A = \{1 - 1/n,\ n \in \N^*\}$ . Chaque élément est inférieur à $1$ , donc $1$ majore $A$ . Pour $\varepsilon > 0$ , dès que $n > 1/\varepsilon$ , on a $1 - 1/n > 1 - \varepsilon$ . Donc $\sup A = 1$ . Comme $1$ n'est atteint pour aucun $n$ , $A$ n'a pas de maximum.

Méthodes

MéthodeInéquation avec quotient

Tout ramener d'un même côté.
Réduire au même dénominateur.
Faire un tableau de signes.

Ne jamais multiplier par un dénominateur de signe inconnu.

MéthodeInéquation avec valeur absolue

Si la comparaison est à un majorant, la traduire en encadrement.
Si elle est à un minorant, la traduire en réunion de deux cas.

MéthodeForme indéterminée avec racines

Multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
Simplifier avec $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .

MéthodeMajorer une expression

Majorer le numérateur.
Minorer le dénominateur, en vérifiant que celui-ci reste strictement positif.

MéthodeEncadrer avec une partie entière

Repartir de l'encadrement $x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x$ .

MéthodeDéterminer une borne supérieure

Deviner la valeur sur les premiers termes.
Rédiger les deux points de la méthode précédente.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Résoudre une inéquation rationnelle avec tableau de signes complet et ensemble solution écrit en intervalles.
Traduire $\abs{x - a} \leqslant r$ en encadrement et l'inverse.
Démontrer l'inégalité triangulaire à partir de $-\abs{x} \leqslant x \leqslant \abs{x}$ .
Justifier $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ et donner un contre-exemple à $\sqrt{x^2} = x$ .
Donner $\lfloor x \rfloor$ pour un négatif et justifier par l'encadrement définissant la partie entière.
Distinguer, sur $[0, 1[$ et sur $\{1/n\}$ , borne supérieure et plus grand élément.
Démontrer qu'un réel donné est la borne supérieure d'un ensemble simple, avec les deux points de la méthode.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Définition par cas de |x|, propriétés |xy| = |x| |y| et |−x| = |x| : exigibles, vérification par disjonction de signe.
Pour r ≥ 0, |x| ≤ r équivaut à −r ≤ x ≤ r, et |x − a| ≤ r équivaut à x ∈ [a − r, a + r] : exigible avec démonstration.
Pour r ≥ 0, |x| ≥ r équivaut à x ≤ −r ou x ≥ r : exigible.
Inégalité triangulaire |x + y| ≤ |x| + |y|, égalité si et seulement si xy ≥ 0 : exigible avec démonstration.
Seconde inégalité triangulaire | |x| − |y| | ≤ |x − y| : exigible avec démonstration.
Existence et unicité de l'entier n tel que n ≤ x < n + 1 : admis. Encadrement x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x et croissance de la partie entière : exigibles.
Caractérisation : ⌊x⌋ est le plus grand entier inférieur ou égal à x, donc si n est un entier et n ≤ x alors n ≤ ⌊x⌋ : exigible.
N n'est pas majoré dans R : exigible, conséquence de la partie entière, l'entier ⌊x⌋ + 1 dépasse x.
Pour x réel, √(x²) = |x|, et pour x, y ≥ 0, √(xy) = √x √y : exigibles avec démonstration par unicité de la racine positive.
Formules sur les puissances entières et les trois identités remarquables : exigibles.
Règles sur les inégalités, en particulier passage au carré sur R₊ et passage à l'inverse sur R*₊ : exigibles avec justification.
Signe d'un trinôme selon le discriminant : exigible.
Unicité du plus grand élément et du plus petit élément : exigible, démonstration en deux lignes.
Toute partie non vide majorée de R admet une borne supérieure : admis. Même chose pour la borne inférieure.
Caractérisation : M = sup A si et seulement si M majore A et pour tout ε > 0 il existe x ∈ A avec x > M − ε : exigible avec démonstration.
Hors programme signalé : densité de Q dans R comme théorème, caractérisation de la borne supérieure par des suites, bornes supérieures de fonctions, construction de R.

Clés de démonstration

Traduction de |x| ≤ r. Si x ≥ 0, alors |x| = x, donc |x| ≤ r signifie x ≤ r, et −r ≤ 0 ≤ x est automatique. Si x < 0, alors |x| = −x, donc |x| ≤ r signifie x ≥ −r, et x < 0 ≤ r est automatique. Les deux cas donnent −r ≤ x ≤ r, et chaque étape est une équivalence. L'astuce : discuter selon le signe de x, jamais deviner.

Inégalité triangulaire. On part de −|x| ≤ x ≤ |x| et −|y| ≤ y ≤ |y|, on additionne membre à membre, on obtient −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|, ce qui est exactement |x + y| ≤ |x| + |y| par la traduction précédente. L'astuce : encadrer puis retraduire l'encadrement en valeur absolue.

Seconde inégalité triangulaire. On écrit x = (x − y) + y, donc |x| ≤ |x − y| + |y|, soit |x| − |y| ≤ |x − y|. En échangeant les rôles, |y| − |x| ≤ |x − y|. Les deux réels |x| − |y| et son opposé sont majorés par |x − y|, donc | |x| − |y| | ≤ |x − y|. L'astuce : ajouter et retrancher y.

√(x²) = |x|. Le réel |x| est positif et son carré vaut x². Or √(x²) est l'unique réel positif de carré x². Donc ils sont égaux. L'astuce : l'unicité dans la définition de la racine.

Passage au carré. Si 0 ≤ a ≤ b, alors b² − a² = (b − a)(b + a) est un produit de deux réels positifs, donc a² ≤ b². L'astuce : l'identité remarquable transforme une comparaison en un signe de produit. Pour l'inverse, 1/a − 1/b = (b − a)/(ab) ≥ 0 quand 0 < a ≤ b.

Unicité du maximum. Si M et M' sont deux plus grands éléments de A, M' majore A et M ∈ A donc M ≤ M'. Par symétrie M' ≤ M. Donc M = M'.

Caractérisation de la borne supérieure. M est le plus petit majorant si et seulement si M majore A et aucun réel strictement inférieur à M ne majore A. Or tout réel strictement inférieur à M s'écrit M − ε avec ε > 0, et « M − ε ne majore pas A » se nie en « il existe x ∈ A avec x > M − ε ». L'astuce : écrire un réel plus petit que M sous la forme M − ε.

Exemples et contre-exemples à connaître

|x + y| n'est pas |x| + |y| : x = 1 et y = −1 donnent 0 et 2. L'inégalité triangulaire est une inégalité, pas une égalité.
√(x²) n'est pas x : pour x = −2, √4 = 2. La racine carrée renvoie toujours un positif.
⌊−1,2⌋ = −2 et non −1. La partie entière descend, elle ne tronque pas.
⌊x⌋ + ⌊y⌋ n'est pas ⌊x + y⌋ : x = y = 0,5 donnent 0 et 1. La partie entière n'est pas additive.
[0, 1[ a pour borne supérieure 1 et n'a pas de plus grand élément. C'est l'exemple à donner en premier.
{1/n, n ∈ N*} a pour borne inférieure 0, non atteinte, et pour maximum 1.
{x ∈ Q, x² < 2} est majoré dans Q mais n'a pas de plus petit majorant rationnel. C'est pour cela que l'existence de la borne supérieure est une propriété de R, pas de Q.
−3 ≤ 1 et pourtant 9 > 1. Le passage au carré exige des réels positifs. De même −1 < 1 et leurs inverses sont encore rangés −1 < 1 : l'inverse ne renverse l'ordre qu'entre réels de même signe.
]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[ n'est pas un intervalle : 0 est entre −1 et 1 sans appartenir à l'ensemble.
Toute partie finie non vide a un maximum et un minimum. Une partie infinie majorée n'a pas forcément de maximum, et ]0, +∞[ n'a même pas de borne supérieure.

Techniques du chapitre

Technique 1, traduire une valeur absolue en encadrement. Mini-exercice : résoudre |2x − 3| ≤ 5. On écrit −5 ≤ 2x − 3 ≤ 5, soit −2 ≤ 2x ≤ 8, soit x ∈ [−1, 4]. Pour |x − 1| ≥ 2, on écrit x − 1 ≤ −2 ou x − 1 ≥ 2, soit x ∈ ]−∞, −1] ∪ [3, +∞[.

Technique 2, ouvrir une valeur absolue par disjonction. Mini-exercice : résoudre |x − 2| = 2x + 1. Si x ≥ 2, l'équation devient x − 2 = 2x + 1, soit x = −3, rejeté car −3 < 2. Si x < 2, elle devient 2 − x = 2x + 1, soit x = 1/3, qui vérifie bien 1/3 < 2. Unique solution 1/3.

Technique 3, tout ramener à un signe. Mini-exercice : résoudre (x + 1)/(x − 2) ≤ 2. On ne multiplie pas par x − 2. On écrit (x + 1 − 2(x − 2))/(x − 2) ≤ 0, soit (5 − x)/(x − 2) ≤ 0. Le numérateur est positif pour x < 5, le dénominateur pour x > 2. Le quotient est négatif ou nul pour x < 2 ou x ≥ 5. Solutions : ]−∞, 2[ ∪ [5, +∞[.

Technique 4, quantité conjuguée. Mini-exercice : simplifier √(n + 1) − √n. On multiplie et divise par √(n + 1) + √n, ce qui donne 1/(√(n + 1) + √n). Cette forme montre que la différence est positive et tend vers 0.

Technique 5, le plus grand entier inférieur. Mini-exercice : montrer ⌊2x⌋ ≥ 2⌊x⌋. On a ⌊x⌋ ≤ x, donc 2⌊x⌋ ≤ 2x. Or 2⌊x⌋ est un entier inférieur ou égal à 2x, et ⌊2x⌋ est le plus grand de ces entiers, donc 2⌊x⌋ ≤ ⌊2x⌋.

Technique 6, prouver une borne supérieure en deux points. Mini-exercice : A = {2 − 1/n², n ∈ N*}. Chaque élément est strictement inférieur à 2, donc 2 majore A. Soit ε > 0. Dès que n > 1/√ε, on a 1/n² < ε, donc 2 − 1/n² > 2 − ε. Ainsi sup A = 2, et A n'a pas de maximum car 2 n'est jamais atteint.

Technique 7, majorer un quotient. Mini-exercice : pour x ∈ [1, 3], majorer (x + 2)/(x² + 1). Le numérateur est au plus 5, le dénominateur au moins 2 et strictement positif, donc le quotient est au plus 5/2. On majore en haut, on minore en bas, et on vérifie que le bas reste strictement positif.