Le cours

Résumé en cinq points

Une application, ce sont trois données : ensemble de départ, ensemble d'arrivée, règle. Changer un ensemble change tout.
Injective signifie au plus un antécédent, surjective au moins un, bijective exactement un.
L'image directe d'une partie se lit sur le tableau de variations, pas sur les bornes.
Une bijection a une réciproque, caractérisée par les deux compositions égales aux identités. Le graphe de la réciproque est le symétrique par rapport à la première bissectrice.
La composée de deux bijections est bijective et sa réciproque inverse l'ordre des facteurs.

Pourquoi ce chapitre

C'est un chapitre de vocabulaire, comme celui de logique. Le programme demande d'éviter tout excès de formalisme et d'illustrer par des exemples issus majoritairement de fonctions de $\R$ dans $\R$ . Ces notions ne peuvent constituer le thème principal d'aucune question d'écrit ou d'oral.

Elles servent de langage dans trois endroits du programme.

En dénombrement, deux ensembles ont même cardinal lorsqu'ils sont en bijection, et compter des applications injectives revient à compter des tirages sans répétition.
En analyse, la bijectivité permet de définir une fonction réciproque, comme le logarithme à partir de l'exponentielle, ou l'arctangente à partir de la tangente.
En algèbre linéaire, l'inversibilité d'une matrice est la traduction matricielle de la bijectivité.

Il faut retenir trois définitions, savoir les tester sur un exemple, et connaître les deux résultats sur les composées.

1Applications

1.1Définition

Définition 1.1Application

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Une application $f$ de $E$ dans $F$ associe à chaque élément $x$ de $E$ un unique élément de $F$ , noté $f(x)$ . On note $f : E \to F$ . L'ensemble $E$ est l'ensemble de départ, $F$ l'ensemble d'arrivée.

Deux points comptent dans cette définition :

chaque élément de $E$ a une image, il n'y a pas d'élément oublié ;
cette image est unique, il n'y a pas d'ambiguïté.

Donner une application, c'est donner trois choses : l'ensemble de départ, l'ensemble d'arrivée et la règle. Changer l'un des trois change l'application. La fonction carré de $\R$ dans $\R$ et la fonction carré de $\R_+$ dans $\R_+$ ne se comportent pas de la même façon.

Définition 1.2Égalité de deux applications

Deux applications $f$ et $g$ de $E$ dans $F$ sont égales lorsque $f(x) = g(x)$ pour tout $x$ de $E$ .

1.2Exemples de référence

Les fonctions numériques usuelles, de $\R$ ou d'une partie de $\R$ dans $\R$ .
Les suites réelles. Une suite $u$ est une application de $\N$ dans $\R$ , l'image de $n$ étant notée $u_n$ plutôt que $u(n)$ .
Les fonctions indicatrices. Pour $A$ une partie de $E$ , l'indicatrice de $A$ est l'application de $E$ dans $\{0, 1\}$ qui vaut 1 sur $A$ et 0 ailleurs. Elle traduit une appartenance en un nombre, ce qui est commode en probabilités et en dénombrement.
L'identité de $E$ , notée $\mathrm{Id}_E$ , qui à tout $x$ associe $x$ .

1.3Image, antécédent

Définition 1.3Image et antécédent

Pour $x$ dans $E$ , $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ . Pour $y$ dans $F$ , un antécédent de $y$ est un élément $x$ de $E$ tel que $f(x) = y$ .

Un élément de $F$ peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Le nombre d'antécédents définit les trois notions de la section sur l'injection, la surjection et la bijection.

1.4Image directe d'une partie

Définition 1.4Image directe

Soit $A$ une partie de $E$ . L'image directe de $A$ par $f$ , notée $f(A)$ , est l'ensemble des $f(x)$ pour $x$ décrivant $A$ . C'est une partie de $F$ .

L'ensemble $f(E)$ s'appelle l'image de $f$ . Il est en général strictement inclus dans l'ensemble d'arrivée.

Exemple 1.5Image par la fonction carré

Pour $f$ la fonction carré de $\R$ dans $\R$ , l'image de $[-1, 2]$ est $[0, 4]$ , et non $[1, 4]$ : il faut penser au minimum atteint en 0.

Exemple 1.6Image du sinus

Pour $f$ la fonction sinus, l'image de $\R$ est $[-1, 1]$ .

Attention

C'est le piège classique : une image directe se détermine par un tableau de variations, pas en calculant les images des bornes.

Le programme précise que la notion d'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée n'est pas un attendu.

2Composition

Définition 2.1Composée

Soient $f : E \to F$ et $g : F \to G$ . La composée $g \circ f$ est l'application de $E$ dans $G$ définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

L'ordre compte deux fois :

$g \circ f$ n'a de sens que si l'ensemble d'arrivée de $f$ est contenu dans l'ensemble de départ de $g$ ;
même quand les deux composées existent, elles diffèrent en général.

Exemple 2.2Composées différentes

Sur $\R$ , avec $f(x) = x + 1$ et $g(x) = x^2$ : $\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= (x + 1)^2,\\ (f \circ g)(x) &= x^2 + 1. \end{aligned}$ Ce ne sont pas les mêmes.

Propriété 2.3Associativité et identité

La composition est associative : $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f,$ ce qui permet d'écrire $h \circ g \circ f$ sans parenthèses. De plus $f \circ \mathrm{Id}_E = f = \mathrm{Id}_F \circ f$ .

Exemple 2.4Exemple d'usage

La fonction $x \mapsto \exp(-x^2/2)$ est la composée de trois applications simples. Cette lecture est celle qui sert pour dériver une composée.

3Injection, surjection, bijection

3.1Les trois définitions

Soit $f : E \to F$ .

Définition 3.1Injection

$f$ est injective quand deux éléments distincts de $E$ ont des images distinctes. Formulation pratique, la seule à utiliser en rédaction : pour tous $x$ et $x'$ de $E$ , si $f(x) = f(x')$ alors $x = x'$ . Autrement dit, tout élément de $F$ a au plus un antécédent.

Définition 3.2Surjection

$f$ est surjective quand tout élément de $F$ admet au moins un antécédent : pour tout $y$ de $F$ , il existe $x$ dans $E$ tel que $f(x) = y$ . Cela revient à dire que $f(E) = F$ .

Définition 3.3Bijection

$f$ est bijective quand elle est à la fois injective et surjective, c'est-à-dire que tout élément de $F$ admet exactement un antécédent.

À retenir

Injective : au plus un antécédent. Surjective : au moins un. Bijective : exactement un.

3.2Lecture graphique

Pour une fonction de $\R$ dans $\R$ , on regarde les droites horizontales.

$f$ est injective quand chaque horizontale coupe le graphe en au plus un point.
$f$ est surjective sur $\R$ quand chaque horizontale coupe le graphe en au moins un point.
$f$ est bijective quand chaque horizontale coupe le graphe en exactement un point.

3.3Exemples à connaître

La fonction carré illustre toutes les situations, selon les ensembles choisis.

De $\R$ dans $\R$ , elle n'est ni injective, puisque 2 et $-2$ ont la même image, ni surjective, puisque $-1$ n'a pas d'antécédent.
De $\R_+$ dans $\R$ , elle est injective mais pas surjective.
De $\R$ dans $\R_+$ , elle est surjective mais pas injective.
De $\R_+$ dans $\R_+$ , elle est bijective, de réciproque la racine carrée.

La nature de l'application dépend des ensembles de départ et d'arrivée, pas seulement de la formule.

Autres exemples :

l'exponentielle est une bijection de $\R$ sur $\R_+^*$ , de réciproque le logarithme népérien ;
la fonction tangente est une bijection de $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ sur $\R$ , de réciproque l'arctangente ;
la fonction cube est une bijection de $\R$ sur $\R$ .

Propriété 3.4Bijection par monotonie

Hypothèses

$f$ est continue sur un intervalle $I$ ;
$f$ est strictement monotone sur $I$ .

Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur son image $f(I)$ .

Ce résultat sera justifié dans le chapitre sur la continuité. C'est l'argument que l'on utilise en analyse pour établir une bijectivité sans résoudre d'équation.

3.4Comment rédiger

MéthodeInjectivité

Partir de $f(x) = f(x')$ .
Démontrer $x = x'$ .

Pour prouver la non-injectivité, il suffit d'exhiber deux éléments distincts de même image.

MéthodeSurjectivité

Se donner $y$ quelconque dans l'ensemble d'arrivée.
Résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ .
Vérifier que la solution trouvée appartient bien à $E$ .

Pour prouver la non-surjectivité, on exhibe un $y$ sans antécédent.

Exemple 3.5Exemple rédigé

Soit $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par $f(x) = 3x - 5$ .

Injectivité : si $3x - 5 = 3x' - 5$ alors $3x = 3x'$ donc $x = x'$ .

Surjectivité : soit $y$ réel, l'équation $3x - 5 = y$ a pour unique solution $x = (y + 5)/3$ , qui est bien réelle.

Donc $f$ est bijective, et sa réciproque est $y \mapsto (y + 5)/3$ .

4Application réciproque

4.1Définition

Définition 4.1Application réciproque

Si $f : E \to F$ est bijective, tout $y$ de $F$ a un unique antécédent. On peut donc définir une application de $F$ dans $E$ qui à $y$ associe cet antécédent. Elle s'appelle la réciproque de $f$ et se note $f^{-1}$ .

Caractérisation utilisée en pratique : $f^{-1}(y) = x$ si et seulement si $f(x) = y$ . Et l'on a $f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E, \qquad f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}_F.$

Attention

Le symbole $f^{-1}$ désigne la réciproque, pas l'inverse $1/f$ . Pour la fonction exponentielle, la réciproque est le logarithme, alors que l'inverse est $x \mapsto \e^{-x}$ .

Propriété 4.2Caractérisation par les compositions

Hypothèses

$f : E \to F$ et $g : F \to E$ sont des applications ;
$g \circ f = \mathrm{Id}_E$ et $f \circ g = \mathrm{Id}_F$ .

Alors $f$ est bijective et $g$ est sa réciproque.

C'est souvent la façon la plus rapide de conclure.

4.2Graphes

Pour une bijection $f$ de $\R$ dans $\R$ , les graphes de $f$ et de $f^{-1}$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la première bissectrice, la droite d'équation $y = x$ . Le programme le mentionne explicitement.

On l'observe sur les couples exponentielle et logarithme, ou carré et racine carrée sur $\R_+$ .

4.3Comment trouver une réciproque

MéthodeDéterminer une réciproque

Résoudre $f(x) = y$ d'inconnue $x$ .
Exprimer $x$ en fonction de $y$ .
Si l'on trouve une unique solution valable pour tout $y$ de l'ensemble d'arrivée, on a prouvé la bijectivité et obtenu la réciproque.

Exemple 4.3Fonction homographique

Soit $f$ définie sur $\R \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ , à valeurs dans $\R \setminus \{1\}$ . Pour $y$ différent de 1, l'équation $f(x) = y$ donne $\begin{aligned} x + 1 &= y(x - 2),\\ x(1 - y) &= -2y - 1,\\ x &= \frac{2y + 1}{y - 1}. \end{aligned}$ Cette valeur est bien différente de 2, comme on le vérifie. Donc $f$ est une bijection de $\R \setminus \{2\}$ sur $\R \setminus \{1\}$ , et sa réciproque est $y \mapsto \dfrac{2y + 1}{y - 1}$ .

5Composée et bijectivité

Deux résultats sont explicitement au programme.

Propriété 5.1Composée de deux bijections

Hypothèses

$f : E \to F$ est bijective ;
$g : F \to G$ est bijective.

Alors $g \circ f$ est bijective, et sa réciproque est $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.$ L'ordre est inversé.

Démonstration

Il suffit de calculer les deux composées. Par associativité, $\begin{aligned} (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) &= f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f\\ &= f^{-1} \circ f\\ &= \mathrm{Id}_E. \end{aligned}$ Le calcul symétrique donne l'identité de $G$ . D'après la caractérisation par les compositions, la conclusion suit.

Image mnémotechnique : pour défaire l'opération « mettre ses chaussettes puis ses chaussures », il faut enlever les chaussures d'abord. L'ordre s'inverse.

On retrouvera ce résultat pour les matrices : l'inverse d'un produit $AB$ est $B^{-1}A^{-1}$ .

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour démontrer l'injectivité, partir de l'égalité des images. Pour la nier, exhiber deux antécédents.
Pour démontrer la surjectivité, résoudre $f(x) = y$ à $y$ fixé, et vérifier que la solution appartient à l'ensemble de départ.
Pour démontrer la bijectivité d'une fonction numérique, l'argument de stricte monotonie sur un intervalle est souvent plus rapide que la résolution explicite.
Pour déterminer une réciproque, résoudre $f(x) = y$ en $x$ . Le résultat doit s'exprimer uniquement avec $y$ .
Pour déterminer une image directe, faire le tableau de variations, jamais un simple calcul aux bornes.
Quand une question paraît bloquée, vérifier d'abord les ensembles de départ et d'arrivée, car ce sont eux qui changent la réponse.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les définitions d'injection, surjection, bijection, avec la formulation utilisable en démonstration.
Montrer que la fonction carré change de nature selon les ensembles de départ et d'arrivée choisis.
Étudier l'injectivité et la surjectivité d'une fonction homographique et déterminer sa réciproque.
Déterminer l'image directe d'un segment par une fonction non monotone.
Montrer que la composée de deux bijections est bijective et que sa réciproque est $f^{-1} \circ g^{-1}$ .
Expliquer, sur un exemple, pourquoi $f \circ g$ et $g \circ f$ diffèrent en général.
Expliquer pourquoi les graphes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Égalité de deux applications : même départ, même arrivée, et f(x) = g(x) pour tout x du départ. C'est une définition exigible.
Associativité de la composition, et f ∘ Id_E = f = Id_F ∘ f : exigible, vérification immédiate point par point.
La composition n'est pas commutative : exigible avec un contre-exemple sur R.
f : E → F est surjective si et seulement si f(E) = F : exigible, c'est une reformulation de la définition.
Si f : E → F est bijective, sa réciproque f⁻¹ existe, elle est unique, et f⁻¹ ∘ f = Id_E, f ∘ f⁻¹ = Id_F : exigible.
S'il existe g : F → E avec g ∘ f = Id_E et f ∘ g = Id_F, alors f est bijective et g = f⁻¹ : exigible avec démonstration courte.
Si f est bijective, f⁻¹ l'est aussi, et (f⁻¹)⁻¹ = f : exigible, conséquence directe du point précédent.
Composée de deux bijections f : E → F et g : F → G : g ∘ f est bijective et (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹. C'est au programme, exigible avec démonstration.
Pour une bijection entre parties de R, les graphes de f et de f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x : mentionné par le programme, justification exigible.
Composée de deux injections : elle est injective. Composée de deux surjections : elle est surjective. Ces résultats ne sont pas cités par le programme, mais la preuve tient en une ligne.
Une fonction strictement monotone sur une partie de R est injective : démontrable dès maintenant.
Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image : admis ici, démontré au chapitre sur la continuité.
Hors programme signalé : l'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée. Les propriétés générales de l'image directe, comme f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B), sont hors attendus. Le lien entre injectivité et cardinal sur des ensembles finis est vu en dénombrement.

Clés de démonstration

Caractérisation par une application g. Pour l'injectivité, on suppose f(x) = f(x') et on applique g aux deux membres. On obtient g(f(x)) = g(f(x')), c'est-à-dire x = x' puisque g ∘ f = Id_E. Pour la surjectivité, on prend y dans F et on remarque que y = f(g(y)), donc g(y) est un antécédent. Cet antécédent est unique par injectivité, donc g(y) = f⁻¹(y) pour tout y. L'astuce : chacune des deux égalités sert à une seule moitié de la preuve.

Réciproque d'une composée. On pose h = f⁻¹ ∘ g⁻¹, qui va de G dans E. Par associativité, h ∘ (g ∘ f) = f⁻¹ ∘ (g⁻¹ ∘ g) ∘ f = f⁻¹ ∘ Id_F ∘ f = Id_E. Le calcul symétrique donne (g ∘ f) ∘ h = Id_G, et la caractérisation précédente conclut. L'astuce : on ne résout aucune équation, on se contente de regrouper les facteurs voisins.

Composée d'injections. On suppose g(f(x)) = g(f(x')). L'injectivité de g donne f(x) = f(x'), puis celle de f donne x = x'. On « épluche » les couches de l'extérieur vers l'intérieur.

Symétrie des graphes. Le point (a, b) est sur le graphe de f si et seulement si b = f(a). Cela équivaut à a = f⁻¹(b), c'est-à-dire que le point (b, a) est sur le graphe de f⁻¹. Or la symétrie par rapport à la droite y = x échange les deux coordonnées. L'astuce : tout repose sur l'équivalence f(a) = b si et seulement si f⁻¹(b) = a.

Stricte monotonie et injectivité. Si x ≠ x', on peut supposer x < x' quitte à échanger les rôles. Pour f strictement croissante, on a alors f(x) < f(x'), donc f(x) ≠ f(x'). C'est la contraposée de la définition, et l'argument ne demande aucune continuité.

Exemples et contre-exemples à connaître

La fonction carré avec ses quatre choix d'ensembles. C'est l'exemple de colle par excellence : la formule ne suffit pas à décider.
L'application n ↦ n + 1 de N dans N est injective et non surjective, car 0 n'a pas d'antécédent. Sur un ensemble infini, injectif n'entraîne pas surjectif.
L'application v de N dans N définie par v(0) = 0 et v(n) = n − 1 pour n ≥ 1 est surjective et non injective. On a v ∘ u = Id_N avec u(n) = n + 1, mais u ∘ v ≠ Id_N. Une seule des deux égalités ne suffit pas.
Le sinus n'est pas injectif sur R, puisque sin 0 = sin π. Sa restriction à [−π/2, π/2] est une bijection sur [−1, 1]. Restreindre l'ensemble de départ rend injectif.
L'application x ↦ 1/x sur R* est sa propre réciproque, puisque sa composée avec elle-même vaut l'identité. Son graphe est symétrique par rapport à y = x.
L'exponentielle : sa réciproque est ln, son inverse est x ↦ e^−x. C'est le contre-exemple qui empêche de confondre f⁻¹ et 1/f.
Pour la fonction carré, avec A = R₋ et B = R₊, on a f(A ∩ B) = {0} alors que f(A) ∩ f(B) = R₊. L'image d'une intersection peut être plus petite que l'intersection des images.
L'indicatrice de A ∪ B n'est pas 1_A + 1_B. Cette somme vaut 2 sur A ∩ B.
Avec f(x) = x + 1 et g(x) = x² sur R, on obtient g ∘ f ≠ f ∘ g. C'est le contre-exemple minimal de non-commutativité.

Techniques du chapitre

Technique 1, injectivité par factorisation. Mini-exercice : montrer que f(x) = x³ + x est injective sur R. Si f(x) = f(x'), alors (x − x')(x² + xx' + x'² + 1) = 0. Or x² + xx' + x'² = (x + x'/2)² + 3x'²/4 ≥ 0, donc le second facteur est au moins 1. D'où x = x'.

Technique 2, nier par un contre-exemple. Mini-exercice : le cosinus est-il injectif sur R, surjectif de R dans R ? Non, car cos 0 = cos 2π. Non plus, car 2 n'a pas d'antécédent puisque |cos x| ≤ 1. Deux lignes suffisent, sans raisonnement général.

Technique 3, surjectivité par résolution. Mini-exercice : f(x) = 2x + 3 envoie [0, 1] dans [3, 5], est-elle surjective ? Soit y dans [3, 5]. On résout 2x + 3 = y, ce qui donne x = (y − 3)/2. Comme 0 ≤ y − 3 ≤ 2, x est dans [0, 1]. Donc f est surjective. Le contrôle de x appartient à E fait partie de la preuve.

Technique 4, image directe par les variations. Mini-exercice : image de [0, 3] par f(x) = x² − 2x. On a f(x) = (x − 1)² − 1, décroissante sur [0, 1] et croissante sur [1, 3]. On trouve f(0) = 0, f(1) = −1, f(3) = 3. L'image est [−1, 3], et non [0, 3].

Technique 5, bijection par stricte monotonie. Mini-exercice : f(x) = x + e^x sur R. On a f'(x) = 1 + e^x > 0, et f tend vers −∞ en −∞ et vers +∞ en +∞. Continue et strictement croissante sur l'intervalle R, f est une bijection de R sur R. On ne sait pourtant pas exprimer f⁻¹ avec les fonctions usuelles.

Technique 6, réciproque par composition. Mini-exercice : f(x) = 1 − x sur R. On calcule f(f(x)) = 1 − (1 − x) = x. Donc f ∘ f = Id_R, f est bijective et f⁻¹ = f. On n'a résolu aucune équation.

Technique 7, lire une composée pour trouver une image. Mini-exercice : image de R par h(x) = ln(1 + x²). On écrit h = ln ∘ u avec u(x) = 1 + x². D'abord u(R) = [1, +∞[, puis ln est croissante et envoie [1, +∞[ sur [0, +∞[. Donc h(R) = [0, +∞[.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f définie sur R privé de −3 par f(x) = (2x − 1)/(x + 3). Montrer que f est une bijection de R privé de −3 sur R privé de 2, et déterminer sa réciproque.

Technique résolution de f(x) = y avec contrôle des valeurs interdites.

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La valeur 2 n'est pas atteinte. En effet, f(x) = 2 donnerait 2x − 1 = 2x + 6, soit −1 = 6. Donc f est bien à valeurs dans R privé de 2.
Soit y ≠ 2. Pour x ≠ −3, l'équation f(x) = y équivaut à 2x − 1 = y(x + 3), soit x(2 − y) = 3y + 1, soit x = (3y + 1)/(2 − y).
On vérifie que x ≠ −3. Sinon 3y + 1 = −6 + 3y, soit 1 = −6, ce qui est absurde.
Tout y ≠ 2 a donc un unique antécédent. f est bijective et f⁻¹(y) = (3y + 1)/(2 − y).

piège : Oublier l'étape 3, ou ne pas justifier que 2 est exclu de l'ensemble d'arrivée.

Exercice 2. Soit f(x) = x/(1 + x²) sur R. Déterminer f(R) puis f([0, 2])

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique image directe par une équation du second degré.

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Pour y = 0, on a l'antécédent 0. Pour y ≠ 0, f(x) = y équivaut à yx² − x + y = 0, de discriminant 1 − 4y².
Cette équation a une solution réelle si et seulement si 1 − 4y² ≥ 0, soit |y| ≤ 1/2. Donc f(R) = [−1/2, 1/2].
Sur [0, 2], f est positive. Pour 0 < y ≤ 1/2, les deux racines ont pour produit 1 et pour somme 1/y > 0. Elles sont donc positives, et la plus petite est au plus 1. Elle est dans ]0, 1], donc dans [0, 2].
Avec l'antécédent 0 pour y = 0, on obtient f([0, 2]) = [0, 1/2].

piège : Répondre [f(0), f(2)] = [0, 2/5] en oubliant le maximum 1/2 atteint en 1.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient f(x) = √x sur R₊ et g(x) = x − 1 sur R. Préciser où g ∘ f et f ∘ g sont définies, les calculer, puis les comparer.

Technique vérifier que l'arrivée de la première fonction tombe dans le départ de la seconde.

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f(R₊) = R₊ ⊂ R, donc g ∘ f est définie sur R₊ et vaut √x − 1.
Pour f ∘ g, il faut g(x) ≥ 0, soit x ≥ 1. Sur [1, +∞[, (f ∘ g)(x) = √(x − 1).
En x = 4, on trouve (g ∘ f)(4) = 1 et (f ∘ g)(4) = √3. Les deux composées diffèrent.

piège : Écrire f ∘ g sur R entier, sans restreindre le départ.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Pour A et B parties de E, montrer que 1_(A∩B) = 1_A × 1_B, que l'indicatrice du complémentaire de A vaut 1 − 1_A, et que 1_(A∪B) = 1_A + 1_B − 1_A × 1_B.

Technique égalité de deux applications, par disjonction des cas.

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Deux applications de E dans R sont égales si elles coïncident en tout x. On fixe x dans E.
Le produit 1_A(x) × 1_B(x) vaut 1 si et seulement si les deux facteurs valent 1, c'est-à-dire x ∈ A ∩ B. Sinon il vaut 0.
1 − 1_A(x) vaut 1 exactement quand x ∉ A.
Pour la réunion, on teste les quatre cas selon que x est dans A et dans B. On obtient 1 + 1 − 1 = 1, 1 + 0 − 0 = 1, 0 + 1 − 0 = 1 et 0. C'est bien l'indicatrice de A ∪ B.

piège : Oublier le terme correctif, ce qui donne la valeur 2 sur A ∩ B.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient u(n) = n + 1 et v l'application de N dans N définie par v(0) = 0 et v(n) = n − 1 pour n ≥ 1. Étudier l'injectivité et la surjectivité de u et de v, puis calculer v ∘ u et u ∘ v.

Technique suites vues comme applications de N dans N, et contre-exemples.

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u est injective, car n + 1 = m + 1 donne n = m. Elle n'est pas surjective, car u(n) ≥ 1 pour tout n, donc 0 n'est pas atteint.
v est surjective, car tout m de N vérifie m = v(m + 1). Elle n'est pas injective, car v(0) = v(1) = 0.
On a v(u(n)) = v(n + 1) = n pour tout n, donc v ∘ u = Id_N.
En revanche u(v(0)) = u(0) = 1 ≠ 0, donc u ∘ v ≠ Id_N.

piège : Conclure que u est bijective parce que v ∘ u = Id_N. Il faut les deux égalités.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Soit f(x) = (e^x − e^−x)/2 sur R. Montrer que f est une bijection de R sur R et expliciter f⁻¹.

Technique changement d'inconnue X = e^x puis équation du second degré.

Voir le corrigé

Soit y réel. L'équation f(x) = y équivaut à e^x − e^−x = 2y. Avec X = e^x > 0 et en multipliant par X, on obtient X² − 2yX − 1 = 0.
Le discriminant vaut 4y² + 4 > 0. Les racines sont y + √(y² + 1) et y − √(y² + 1).
Leur produit vaut −1, donc elles sont de signes opposés. Seule y + √(y² + 1) est strictement positive, car √(y² + 1) > |y|.
L'équation e^x = y + √(y² + 1) a l'unique solution x = ln(y + √(y² + 1)).
Chaque réel y a exactement un antécédent. Donc f est bijective et f⁻¹(y) = ln(y + √(y² + 1)).

piège : Garder les deux racines sans vérifier le signe, alors que X = e^x doit être positif.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Écrit

Soit f(x) = x/(1 + |x|) sur R. Montrer que f est une bijection de R sur ]−1, 1[ et donner f⁻¹.

Technique analyse puis synthèse, avec gestion du signe.

Voir le corrigé

Comme |x| < 1 + |x|, on a |f(x)| < 1. Donc f est à valeurs dans ]−1, 1[.
Analyse. Soit y dans ]−1, 1[ et x tel que f(x) = y. Alors x et y ont le même signe, et |y| = |x|/(1 + |x|). On en tire |x| = |y|/(1 − |y|), puis x = y/(1 − |y|). L'antécédent, s'il existe, est unique.
Synthèse. On pose x = y/(1 − |y|). Alors 1 + |x| = 1/(1 − |y|), donc f(x) = x(1 − |y|) = y.
f est bijective et f⁻¹(y) = y/(1 − |y|).

piège : Traiter seulement le cas x ≥ 0, ou oublier la synthèse.

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Écrit

Soient f(x) = 2x + 1 et g(x) = x³, deux bijections de R dans R. Calculer (g ∘ f)⁻¹ de deux façons.

Technique réciproque d'une composée, ordre inversé.

Voir le corrigé

On a f⁻¹(y) = (y − 1)/2. On a aussi g⁻¹(y) = ∛y, la racine cubique réelle, définie aussi pour y < 0.
D'après le cours, (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹, soit y ↦ (∛y − 1)/2.
Vérification directe : (2x + 1)³ = y équivaut à 2x + 1 = ∛y, soit x = (∛y − 1)/2.
Test en y = 27 : on trouve x = 1, et (2 × 1 + 1)³ = 27.

piège : Écrire g⁻¹ ∘ f⁻¹, soit y ↦ ∛((y − 1)/2). En y = 27 cela donne ∛13, qui est faux.

Exercice 9

Classiques de khôlle et concours · Écrit, au-delà des attendus

Soient f : E → F et g : F → G. Montrer que si g ∘ f est injective, alors f est injective, et que si g ∘ f est surjective, alors g est surjective. Montrer par un exemple que ni g injective ni f surjective ne sont garanties.

Technique appliquer une fonction à une égalité, puis construire un contre-exemple.

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Si f(x) = f(x'), alors g(f(x)) = g(f(x')). L'injectivité de g ∘ f donne x = x'.
Soit z dans G. Il existe x dans E avec g(f(x)) = z. Alors f(x) est un antécédent de z par g.
Contre-exemple : f de R₊ dans R, avec f(x) = x, et g de R dans R₊, avec g(x) = x². Alors g ∘ f est la fonction carré de R₊ dans R₊, qui est bijective.
Pourtant g n'est pas injective, car g(−1) = g(1), et f n'est pas surjective, car −1 n'est pas atteint.

piège : Inverser les rôles et affirmer que g est injective.

Exercice 10

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer les fonctions affines f(x) = ax + b sur R telles que f ∘ f = Id_R. Interpréter graphiquement.

Technique identification par évaluation, puis lien avec la symétrie des graphes.

Voir le corrigé

On a f(f(x)) = a²x + ab + b. La condition s'écrit a²x + ab + b = x pour tout réel x.
En x = 0, on obtient b(a + 1) = 0. En x = 1, on obtient a² + b(a + 1) = 1, donc a² = 1.
Si a = 1, alors 2b = 0, donc b = 0 et f = Id_R. Si a = −1, la première condition est satisfaite pour tout b. On vérifie que f(x) = b − x convient, car f(f(x)) = b − (b − x) = x.
Dans tous les cas, f est bijective et f⁻¹ = f. Son graphe est donc symétrique par rapport à y = x. Pour a = −1, c'est une droite de pente −1, donc perpendiculaire à la première bissectrice.

piège : Ne tester qu'une valeur de x, ce qui donne une seule équation pour deux inconnues.

Erreurs fréquentes

Calculer une image directe avec les seules bornes, en oubliant un extremum intérieur. Faire toujours le tableau de variations.
Résoudre f(x) = y sans vérifier que la solution est dans l'ensemble de départ, ou oublier qu'une valeur de l'arrivée n'est jamais atteinte.
Démontrer « x = x' ⇒ f(x) = f(x') », qui est toujours vrai, au lieu de « f(x) = f(x') ⇒ x = x' ».
Confondre f⁻¹ et 1/f, ou inverser l'ordre dans (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹.
Conclure à la bijectivité à partir d'une seule égalité g ∘ f = Id, ou parler d'injectivité sans préciser les ensembles de départ et d'arrivée.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST 1ère année (2021), partie « Outils 6 – Vocabulaire des applications ». Elle couvre la notion d'application, l'image directe d'une partie, la composition, l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité et l'application réciproque.