Le cours

Résumé en cinq points

Une intégrale généralisée se définit comme une limite de primitive. On la traite borne par borne, une seule difficulté à la fois.
Les propriétés usuelles, linéarité, Chasles, positivité, croissance, ne valent qu'une fois la convergence acquise.
Pour les fonctions positives, comparaison et équivalence fonctionnent comme pour les séries. Tout autre critère est hors programme.
Les références sont $1/t^\alpha$ , convergente en $+\infty$ si $\alpha > 1$ et convergente en 0 si $\alpha < 1$ , plus l'exponentielle décroissante. Ces résultats doivent être redémontrés.
La convergence absolue entraîne la convergence, et l'intégrale de $\e^{-x^2/2}$ sur $\R$ vaut $\sqrt{2\pi}$ , résultat admis qui normalise la loi normale.

Pourquoi ce chapitre

En première année, l'intégrale d'une fonction continue est définie sur un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé borné. Beaucoup de situations sortent de ce cadre :

une durée de vie peut être arbitrairement longue ;
une concentration décroît sur un temps infini ;
une densité de probabilité est définie sur la droite réelle entière.

Ce chapitre étend l'intégrale aux intervalles non fermés ou non bornés. Comme pour les séries, la convergence devient une question à part entière, à traiter avant tout calcul.

C'est l'outil du dernier chapitre de probabilités : une densité, une espérance et une variance de variable à densité sont des intégrales généralisées. Le parallèle avec les séries est constant, les théorèmes de comparaison et d'équivalence ont la même forme.

1Définition de la convergence

1.1Intervalle semi-ouvert

Définition 1.1Intégrale généralisée sur $[a, b[$

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b[$ , où $b$ est un réel ou $+\infty$ . Pour tout $x \in [a, b[$ , l'intégrale $\int_a^x f(t)\,\dd t$ est une intégrale sur un segment. L'intégrale généralisée de $f$ sur $[a, b[$ converge si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\dd t$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $b$ . Cette limite est la valeur de l'intégrale, notée $\int_a^b f(t)\,\dd t$ . Sinon l'intégrale diverge.

La définition se transpose sur un intervalle $]a, b]$ avec $a$ réel ou $-\infty$ : on regarde la limite de $\int_x^b f$ quand $x$ tend vers $a$ .

Propriété 1.2Traduction par une primitive

Hypothèses

$f$ est continue sur $[a, b[$ ;
$F$ est une primitive de $f$ sur $[a, b[$ .

Alors l'intégrale converge si et seulement si $F$ admet une limite finie en $b$ , et sa valeur est alors $\lim_{b} F - F(a)$ .

Le programme précise que la terminologie de fonction intégrable n'est pas donnée : on dit simplement que l'intégrale converge.

1.2Intervalle ouvert des deux côtés

Définition 1.3Intégrale sur $]a, b[$

Soit $f$ continue sur $]a, b[$ et $c \in\, ]a, b[$ . L'intégrale de $f$ sur $]a, b[$ converge si les deux intégrales sur $]a, c]$ et sur $[c, b[$ convergent. La valeur est alors la somme des deux. Elle ne dépend pas du choix de $c$ , par la relation de Chasles sur les segments.

Attention

Il faut traiter les deux bornes séparément. On ne calcule jamais la limite de $\int_{-x}^{x} f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ pour conclure.

Contre-exemple : $t \mapsto t$ est impaire, donc $\int_{-x}^{x} t\,\dd t = 0$ pour tout $x$ . Pourtant l'intégrale de $t$ sur $\R$ diverge, car déjà $\int_0^x t\,\dd t$ tend vers $+\infty$ .

1.3Nombre fini de points singuliers

Si $f$ est définie sur un intervalle $I$ et continue sur $I$ sauf éventuellement en un nombre fini de points, on découpe $I$ en sous-intervalles sur lesquels $f$ est continue, et on demande la convergence de chaque morceau. Cette convention sert pour les densités de probabilité, souvent continues par morceaux.

Propriété 1.4Fausse singularité

Hypothèses

$f$ est continue sur $]a, b]$ ;
$f$ se prolonge par continuité en $a$ .

Alors l'intégrale de $f$ sur $]a, b]$ converge.

Démonstration

Le prolongement est continu sur le segment $[a, b]$ , donc intégrable au sens de première année, et les valeurs coïncident.

Exemple 1.5

L'intégrale de $\dfrac{\sin t}{t}$ sur $]0, 1]$ converge, car la fonction tend vers 1 en 0.

Une fausse singularité est à repérer tout de suite pour ne pas perdre de temps.

2Propriétés des intégrales convergentes

Propriété 2.1Propriétés usuelles

Hypothèses

toutes les intégrales écrites convergent.

Alors :

Linéarité. Si $\int_I f$ et $\int_I g$ convergent et si $\lambda, \mu \in \R$ , alors $\int_I (\lambda f + \mu g)$ converge et vaut $\lambda\int_I f + \mu\int_I g$ .
Chasles. Pour $c$ dans l'intervalle, $\int_I f$ converge si et seulement si les deux morceaux convergent, et les valeurs s'ajoutent.
Positivité. Si $f \geqslant 0$ sur $I$ , alors $\int_I f \geqslant 0$ .
Stricte positivité. Si de plus $f$ est continue, positive et non identiquement nulle, alors $\int_I f > 0$ .
Croissance. Si $f \leqslant g$ sur $I$ , alors $\int_I f \leqslant \int_I g$ .

Le programme indique que la démonstration de la stricte positivité n'est pas exigible.

Attention

L'égalité $\int (f + g) = \int f + \int g$ suppose la convergence des deux intégrales du membre de droite. Si les deux divergent, la somme peut converger.

Exemple : sur $[1, +\infty[$ , les intégrales de $1/t$ et de $-1/t$ divergent, leur somme est nulle et converge.

3Techniques de calcul

3.1Intégration par parties

Propriété 3.1Intégration par parties sur $[a, b[$

Hypothèses

$u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[a, b[$ .

Alors pour tout $x \in [a, b[$ : $\begin{aligned} \int_a^x u v'\,\dd t &= u(x)v(x) - u(a)v(a)\\ &\quad - \int_a^x u' v\,\dd t. \end{aligned}$

On passe ensuite à la limite quand $x$ tend vers $b$ . Il faut confirmer la convergence de tous les termes qui apparaissent. Si le terme tout intégré $u(x)v(x)$ admet une limite finie en $b$ et si l'une des deux intégrales converge, alors l'autre converge et l'égalité passe à la limite. Si le terme tout intégré n'a pas de limite finie, la formule ne dit rien.

MéthodeRédiger une intégration par parties généralisée

Écrire l'intégration par parties sur le segment $[a, x]$ .
Faire tendre $x$ vers $b$ en justifiant chaque limite.
Ne jamais poser un crochet directement entre $a$ et $+\infty$ sans avoir vérifié la limite.

Exemple 3.2Espérance de la loi exponentielle

Pour $\lambda > 0$ , étudions $\int_0^{+\infty} t\,\e^{-\lambda t}\,\dd t$ . Sur $[0, x]$ , avec $u(t) = t$ et $v'(t) = \e^{-\lambda t}$ : $\int_0^x t\,\e^{-\lambda t}\,\dd t = -\frac{x\,\e^{-\lambda x}}{\lambda} + \frac{1}{\lambda}\int_0^x \e^{-\lambda t}\,\dd t.$ Le premier terme tend vers 0 par croissances comparées, le second vers $1/\lambda^2$ . L'intégrale converge et vaut $1/\lambda^2$ . C'est l'espérance de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .

3.2Changement de variable

Théorème 3.3Changement de variable

Hypothèses

$\varphi$ est de classe $C^1$ et strictement monotone sur un intervalle d'extrémités $a$ et $b$ ;
$\varphi$ admet une limite $\alpha$ en $a$ et une limite $\beta$ en $b$ ;
$f$ est continue sur l'intervalle d'extrémités $\alpha$ et $\beta$ .

Alors les intégrales $\int_\alpha^\beta f(x)\,\dd x$ et $\int_a^b f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,\dd t$ sont de même nature, et ont la même valeur quand elles convergent.

La stricte monotonie garantit que $\varphi$ décrit l'intervalle d'arrivée sans revenir en arrière.

Exemple 3.4

Dans $\int_0^{+\infty} \e^{-t^2/2}\,\dd t$ , le changement de variable $x = t/\sqrt{2}$ est licite : $t \mapsto t/\sqrt{2}$ est $C^1$ , strictement croissante, de limites 0 et $+\infty$ .

3.3Fonctions paires ou impaires

Propriété 3.5Parité

Hypothèses

$f$ est continue sur $\R$ .

Alors :

si $f$ est paire, $\int_{\R} f$ converge si et seulement si $\int_0^{+\infty} f$ converge, et alors $\int_{\R} f = 2\int_0^{+\infty} f$ ;
si $f$ est impaire et si $\int_0^{+\infty} f$ converge, alors $\int_{\R} f$ converge et vaut 0.

Attention

La convergence se vérifie d'abord. Une fonction impaire dont l'intégrale sur $[0, +\infty[$ diverge donne une intégrale divergente sur $\R$ , même si les aires se compensent formellement.

4Critères de convergence pour les fonctions positives

Dans cette section, $f$ et $g$ sont continues et positives sur $[a, b[$ , la singularité étant en $b$ .

4.1Comparaison

Théorème 4.1Comparaison

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues sur $[a, b[$ ;
$0 \leqslant f \leqslant g$ sur $[a, b[$ .

Alors :

si $\int_a^b g$ converge, $\int_a^b f$ converge ;
si $\int_a^b f$ diverge, $\int_a^b g$ diverge.

Démonstration

Comme $f$ est positive, $x \mapsto \int_a^x f$ est croissante. Une fonction croissante admet une limite finie en $b$ si et seulement si elle est majorée. Or $\int_a^x f \leqslant \int_a^x g$ , majorée par la valeur de $\int_a^b g$ . Donc $\int_a^b f$ converge.

4.2Équivalence

Théorème 4.2Équivalence

Hypothèses

$f$ et $g$ sont continues et positives sur $[a, b[$ ;
$f(x) \sim g(x)$ quand $x \to b$ .

Alors $\int_a^b f$ et $\int_a^b g$ sont de même nature.

Démonstration

Idée identique à celle des séries : au voisinage de $b$ , on encadre $f$ entre la moitié et le double de $g$ , puis on applique la comparaison.

Attention

La positivité est nécessaire dans les deux théorèmes, et l'équivalence doit être prise au point qui pose problème, pas ailleurs. Tout autre critère de convergence est hors programme.

4.3Les intégrales de référence, à redémontrer

Le programme demande que tout résultat sur la nature des intégrales du type $1/x^\alpha$ soit démontré. Ce sont des calculs à refaire, ce qui est rapide.

Propriété 4.3Intégrales de Riemann

Pour $\alpha \in \R$ :

$\int_1^{+\infty} \dfrac{\dd t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ;
$\int_0^1 \dfrac{\dd t}{t^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha < 1$ .

Démonstration

Au voisinage de $+\infty$ . Pour $\alpha \neq 1$ : $\int_1^x \frac{\dd t}{t^\alpha} = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}.$ Cette quantité a une limite finie quand $x \to +\infty$ si et seulement si $1 - \alpha < 0$ , donc $\alpha > 1$ . Pour $\alpha = 1$ , $\int_1^x \frac{\dd t}{t} = \ln x$ tend vers $+\infty$ .

Au voisinage de 0. Pour $\alpha \neq 1$ : $\int_x^1 \frac{\dd t}{t^\alpha} = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{1 - \alpha}.$ Elle a une limite finie quand $x \to 0$ si et seulement si $1 - \alpha > 0$ , donc $\alpha < 1$ . Pour $\alpha = 1$ , $\int_x^1 \frac{\dd t}{t} = -\ln x$ tend vers $+\infty$ .

À retenir

En $+\infty$ il faut décroître assez vite ( $\alpha > 1$ ), près de 0 il faut ne pas exploser trop vite ( $\alpha < 1$ ). Les deux conditions sont opposées.

Exemple 4.4Exponentielle décroissante

Pour $\lambda > 0$ , $\int_0^{+\infty} \e^{-\lambda t}\,\dd t$ converge et vaut $1/\lambda$ , car $\int_0^x \e^{-\lambda t}\,\dd t = \frac{1 - \e^{-\lambda x}}{\lambda}.$

Exemple 4.5Exemple complet

Étudions $\int_0^{+\infty} \dfrac{\dd t}{1 + t^3}$ . La fonction est continue et positive sur $[0, +\infty[$ , il n'y a de problème qu'en $+\infty$ . Au voisinage de $+\infty$ , $\dfrac{1}{1 + t^3} \sim \dfrac{1}{t^3}$ , et $\int_1^{+\infty} \dfrac{\dd t}{t^3}$ converge car $3 > 1$ . Donc l'intégrale converge.

5Convergence absolue

Définition 5.1Convergence absolue

L'intégrale de $f$ sur $I$ converge absolument si $\int_I \abs{f}$ converge.

Théorème 5.2Convergence absolue

Si $\int_I \abs{f}$ converge, alors $\int_I f$ converge.

Cela sert quand $f$ change de signe, puisque les critères de comparaison exigent la positivité. Les intégrales semi-convergentes sont hors programme.

Exemple 5.3

$\int_1^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^2}\,\dd t$ converge absolument, car $\left|\dfrac{\sin t}{t^2}\right| \leqslant \dfrac{1}{t^2}$ dont l'intégrale converge sur $[1, +\infty[$ .

6L'intégrale de Gauss

Théorème 6.1Intégrale de Gauss

L'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} \e^{-x^2/2}\,\dd x$ converge et vaut $\sqrt{2\pi}$ .

Remarque

Résultat admis pour la valeur. La convergence se justifie facilement, par exemple en majorant $\e^{-x^2/2}$ par $\e^{-x/2}$ pour $x \geqslant 1$ .

C'est la constante de normalisation de la loi normale centrée réduite, dont la densité est $x \mapsto \dfrac{\e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}$ .

Méthodes

MéthodeÉtudier la convergence d'une intégrale

Repérer les bornes qui posent problème : borne infinie, ou borne finie où la fonction n'est pas définie. Les autres bornes ne demandent aucune justification.
Traiter chaque borne problématique séparément, en découpant l'intervalle.
Vérifier si la singularité est fausse, c'est-à-dire si la fonction se prolonge par continuité. Dans ce cas il n'y a rien à démontrer.
Pour une fonction positive, chercher un équivalent au point problématique, puis comparer à $1/t^\alpha$ ou à une exponentielle décroissante, en redémontrant la référence.
Si la fonction change de signe, majorer la valeur absolue.

MéthodeCalculer une intégrale généralisée

Chercher d'abord une primitive explicite.
Sinon, tenter une intégration par parties, sinon un changement de variable.
Toujours travailler sur un segment, puis passer à la limite.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir la convergence d'une intégrale généralisée sur $[a, b[$ et sur $]a, b[$ , et expliquer pourquoi on découpe.
Démontrer la nature de $\int_1^{+\infty} \dfrac{\dd t}{t^\alpha}$ et de $\int_0^1 \dfrac{\dd t}{t^\alpha}$ selon $\alpha$ , par le calcul direct.
Justifier qu'une singularité est fausse par prolongement par continuité, sur un exemple comme $\dfrac{\sin t}{t}$ en 0.
Étudier la convergence d'une intégrale par équivalent, en citant l'hypothèse de positivité.
Mener une intégration par parties généralisée en rédigeant sur un segment puis en passant à la limite, par exemple pour $\int_0^{+\infty} t\,\e^{-\lambda t}\,\dd t$ .
Énoncer les hypothèses complètes du changement de variable, et l'appliquer.
Donner un contre-exemple montrant qu'on ne peut pas intégrer une fonction impaire sur $\R$ en invoquant la symétrie sans vérifier la convergence.
Vérifier que la densité de la loi exponentielle et celle de la loi normale centrée réduite sont bien des densités.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Définition de la convergence sur [a, b[, ]a, b] et ]a, b[ : exigible, y compris le découpage en un point c pour l'intervalle ouvert.
Fonction continue sur ]a, b] prolongeable par continuité en a : l'intégrale converge, exigible avec justification par le prolongement.
Linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance, pour des intégrales convergentes : exigibles.
Stricte positivité, f continue positive non nulle donne une intégrale strictement positive : admis, démonstration non exigible.
Intégration par parties : exigible, rédigée sur un segment [a, x] puis passage à la limite, en confirmant la convergence de tous les termes.
Changement de variable, pour φ de classe C¹ strictement monotone avec limites aux bornes : énoncé exigible, admis.
Fonctions paires ou impaires : exigible avec démonstration par le changement de variable t ↦ −t.
Théorème de comparaison, pour 0 ≤ f ≤ g : exigible avec démonstration.
Théorème d'équivalence, pour f et g positives équivalentes en la borne problématique : exigible avec démonstration.
∫ de 1 à +∞ de dt/t^α converge si et seulement si α > 1 : à redémontrer à chaque usage, par calcul de primitive.
∫ de 0 à 1 de dt/t^α converge si et seulement si α < 1 : à redémontrer à chaque usage.
∫ de 0 à +∞ de e^−λt dt converge pour λ > 0 et vaut 1/λ : à redémontrer, une ligne.
Convergence absolue entraîne convergence : présenté par le programme comme condition suffisante, démonstration non exigée.
∫ sur R de e^−x²/2 dx converge et vaut √(2π) : convergence exigible, valeur admise.
Hors programme signalé : intégrales semi-convergentes comme ∫ sin(t)/t sur [1, +∞[, terminologie « fonction intégrable », comparaison série-intégrale comme théorème général, fonction Gamma comme objet, tout critère autre que comparaison et équivalence.

Clés de démonstration

Comparaison. Pour f positive, F(x) = ∫ de a à x de f est croissante sur [a, b[. Elle admet une limite finie en b si et seulement si elle est majorée. Or F(x) ≤ ∫ de a à x de g ≤ ∫ de a à b de g quand cette dernière converge. L'astuce : limite monotone appliquée à la fonction x ↦ ∫ de a à x, exactement comme pour les sommes partielles d'une série.

Équivalence. Si f/g tend vers 1 en b, alors sur un voisinage [c, b[ on a g/2 ≤ f ≤ 2g. Comparaison dans les deux sens sur [c, b[, et le morceau [a, c] est une intégrale sur un segment qui ne pose aucun problème. L'astuce : le comportement au voisinage de b décide de tout.

Riemann en l'infini. Pour α ≠ 1, ∫ de 1 à x de dt/t^α = (x^1−α − 1)/(1 − α). Limite finie quand x tend vers +∞ si et seulement si 1 − α < 0. Pour α = 1, la primitive est ln x qui tend vers +∞. L'astuce : le signe de l'exposant 1 − α décide.

Riemann en 0. Pour α ≠ 1, ∫ de x à 1 de dt/t^α = (1 − x^1−α)/(1 − α), limite finie quand x tend vers 0 si et seulement si 1 − α > 0. Pour α = 1, −ln x tend vers +∞. L'astuce : même calcul, condition opposée.

Parité. Pour f continue paire, ∫ de −x à 0 de f(t) dt = ∫ de 0 à x de f(u) du par le changement u = −t, C¹, strictement décroissant, de limites x et 0. Les deux morceaux ont donc la même nature et la même valeur. Pour f impaire, le morceau de gauche est l'opposé du morceau de droite. L'astuce : vérifier d'abord la convergence sur [0, +∞[, la symétrie ne crée pas la convergence.

Intégration par parties. Sur [a, x], la formule du segment est exacte. Quand x tend vers b, si le crochet u(x)v(x) a une limite finie et si l'une des deux intégrales converge, l'autre est une différence de deux quantités convergentes, donc converge, et l'égalité passe à la limite. L'astuce : rédiger sur le segment, ne jamais écrire un crochet entre a et +∞ sans avoir calculé sa limite.

Exemples et contre-exemples à connaître

∫ de 1 à +∞ de dt/t diverge, ∫ de 1 à +∞ de dt/t² converge. La frontière α = 1 est du côté divergent.
∫ de 0 à 1 de dt/√t converge et vaut 2, ∫ de 0 à 1 de dt/t diverge. Près de 0, il faut α < 1, condition opposée à celle de l'infini.
∫ de 0 à 1 de ln(t) dt converge et vaut −1, bien que la fonction ne soit pas bornée. Une singularité n'empêche pas la convergence.
∫ de 0 à 1 de sin(t)/t dt converge sans aucun calcul, la fonction se prolonge par continuité en 0 avec la valeur 1. Fausse singularité.
∫ sur R de t dt diverge, bien que ∫ de −x à x de t dt soit nul pour tout x. Les deux bornes se traitent séparément.
∫ de 0 à +∞ de e^−t dt converge et vaut 1, ∫ de 0 à +∞ de e^t dt diverge. L'exponentielle décroissante est la référence la plus rapide.
∫ de 1 à +∞ de sin(t)/t² dt converge absolument par |sin t/t²| ≤ 1/t². Quand le signe varie, on majore la valeur absolue.
∫ de 0 à +∞ de dt/(1 + t²) converge et vaut π/2, primitive arctan, limite π/2 en +∞. Sur R entier, parité, valeur π.
∫ de 1 à +∞ de (1/t − 1/(t + 1)) dt converge alors que chacune des deux intégrales diverge. La linéarité ne s'applique qu'à des intégrales convergentes.
Contrairement aux séries, il n'y a pas de condition nécessaire « f tend vers 0 » : une fonction continue positive faite de pics de hauteur 1 centrés sur les entiers n, de largeur 1/2ⁿ, a une intégrale convergente sur [0, +∞[ sans tendre vers 0.

Techniques du chapitre

Technique 1, repérer les bornes problématiques. Mini-exercice : nature de ∫ de 0 à +∞ de dt/(√t (1 + t)). Deux problèmes, 0 et +∞. En 0, la fonction est positive et équivalente à 1/√t, et ∫ de 0 à 1 de dt/t^1/2 converge car 1/2 < 1. En +∞, elle est équivalente à 1/t^3/2, et ∫ de 1 à +∞ de dt/t^3/2 converge car 3/2 > 1. Convergence.

Technique 2, fausse singularité. Mini-exercice : nature de ∫ de 0 à 1 de (1 − cos t)/t² dt. La fonction est continue sur ]0, 1] et tend vers 1/2 en 0 par le développement limité de cos. Elle se prolonge par continuité, l'intégrale converge.

Technique 3, équivalent en la borne. Mini-exercice : nature de ∫ de 1 à +∞ de dt/(t² + √t + 1). Fonction positive, équivalente à 1/t² en +∞, dont l'intégrale converge sur [1, +∞[ car 2 > 1. Convergence.

Technique 4, croissances comparées puis comparaison. Mini-exercice : nature de ∫ de 0 à +∞ de t³ e^−t dt. Seule borne problématique +∞. Comme t⁵ e^−t tend vers 0, à partir d'un certain rang t³ e^−t ≤ 1/t², dont l'intégrale converge. Convergence.

Technique 5, intégration par parties sur un segment. Mini-exercice : calculer ∫ de 0 à +∞ de t e^−t dt. Sur [0, x], avec u = t et v' = e^−t, on obtient −x e^−x + ∫ de 0 à x de e^−t dt = −x e^−x + 1 − e^−x. Quand x tend vers +∞, le résultat tend vers 1. L'intégrale converge et vaut 1.

Technique 6, changement de variable avec hypothèses. Mini-exercice : sachant ∫ sur R de e^−t²/2 dt = √(2π), calculer ∫ sur R de e^−x² dx. Posons φ(x) = √2 x, C¹, strictement croissante, de limites −∞ et +∞. Alors ∫ e^−φ(x)²/2 φ'(x) dx = √2 ∫ e^−x² dx a même nature et même valeur que ∫ e^−t²/2 dt. Donc ∫ sur R de e^−x² dx = √(2π)/√2 = √π.

Technique 7, parité. Mini-exercice : calculer ∫ sur R de e^−|t| dt. La fonction est continue et paire. Sur [0, +∞[, ∫ e^−t dt converge et vaut 1. Donc l'intégrale sur R converge et vaut 2.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer la nature de ∫ de 1 à +∞ de dt/(t √(t² + 1)), de ∫ de 0 à 1 de dt/(t² + t), et de ∫ de 0 à +∞ de e^−√t dt.

Technique équivalent en la borne, avec redémonstration de la référence.

Voir le corrigé

Première : fonction positive, équivalente à 1/t² en +∞, dont l'intégrale converge sur [1, +∞[ car 2 > 1. Convergence.
Deuxième : seule borne problématique 0, fonction positive équivalente à 1/t. ∫ de x à 1 de dt/t = −ln x tend vers +∞, donc divergence.
Troisième : en +∞, posons u = √t, alors t² e^−√t = u⁴ e^−u tend vers 0. Donc à partir d'un certain rang e^−√t ≤ 1/t², convergence par comparaison.

piège : Écrire « équivalent à 1/t² donc converge » sans dire que la fonction est positive ni redémontrer la référence.

Exercice 2. Montrer que ∫ de 0 à 1 de ln(t) dt converge et calculer sa valeur

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique primitive explicite et limite en la borne singulière.

Voir le corrigé

La fonction est continue sur ]0, 1], le seul problème est en 0. Une primitive est t ln t − t.
∫ de x à 1 de ln t dt = (0 − 1) − (x ln x − x) = −1 − x ln x + x.
x ln x tend vers 0 en 0 par croissances comparées. La limite vaut −1. L'intégrale converge et vaut −1.

piège : Écrire directement le crochet [t ln t − t] entre 0 et 1 en remplaçant t par 0 sans justifier la limite de t ln t.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Pour n ∈ N, on pose I_n = ∫ de 0 à +∞ de tⁿ e^−t dt. Montrer que I_n converge, que I_n+1 = (n + 1) I_n, et en déduire I_n = n!

Technique comparaison par croissances comparées, puis intégration par parties sur segment, puis récurrence.

Voir le corrigé

Convergence : tⁿ e^−t est continue positive sur [0, +∞[, et tⁿ⁺² e^−t tend vers 0, donc tⁿ e^−t ≤ 1/t² à partir d'un certain rang. Comparaison, convergence.
Sur [0, x], avec u = tⁿ⁺¹ et v' = e^−t : ∫ de 0 à x de tⁿ⁺¹ e^−t dt = −xⁿ⁺¹ e^−x + (n + 1) ∫ de 0 à x de tⁿ e^−t dt.
Quand x tend vers +∞, le crochet tend vers 0 et l'intégrale de droite vers I_n. Donc I_n+1 = (n + 1) I_n.
I₀ = ∫ e^−t dt = 1 = 0!. Si I_n = n!, alors I_n+1 = (n + 1) n! = (n + 1)!. Récurrence.

piège : Faire l'intégration par parties directement entre 0 et +∞ avec un crochet « [−tⁿ⁺¹ e^−t] = 0 » sans passer par x.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que ∫ sur R de dt/(1 + t²) converge et vaut π. Montrer que f(t) = 1/(π(1 + t²)) est une densité de probabilité. Montrer que ∫ sur R de t f(t) dt diverge.

Technique primitive arctan, parité, puis contre-exemple à la fausse symétrie.

Voir le corrigé

Sur [0, x], ∫ dt/(1 + t²) = arctan x, qui tend vers π/2. Convergence sur [0, +∞[. La fonction est paire, donc convergence sur R et valeur π.
f est continue, positive, et son intégrale sur R vaut 1. C'est une densité.
t f(t) est impaire, mais sur [0, +∞[ elle est positive et équivalente à 1/(πt) en +∞, dont l'intégrale diverge. Donc ∫ de 0 à +∞ de t f(t) dt diverge, et l'intégrale sur R diverge.
Conclusion : cette variable aléatoire n'a pas d'espérance, bien que « par symétrie » on ait envie d'écrire 0.

piège : Invoquer l'imparité pour conclure que l'intégrale vaut 0. L'imparité ne sert qu'après la convergence sur une demi-droite.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E

Soit f définie par f(t) = c/t³ si t ≥ 1 et f(t) = 0 sinon. Déterminer c pour que f soit une densité. Montrer que la variable X de densité f admet une espérance et la calculer. Montrer que X n'admet pas de variance.

Technique intégrales de Riemann redémontrées, rédaction sur segment.

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f est positive si c ≥ 0, continue sauf en 1. Sur [1, x], ∫ c/t³ dt = (c/2)(1 − 1/x²), qui tend vers c/2. L'intégrale sur R vaut c/2, donc c = 2.
Espérance : ∫ de 1 à x de t × 2/t³ dt = ∫ 2/t² dt = 2(1 − 1/x), qui tend vers 2. La fonction t f(t) est positive, l'intégrale converge, E(X) = 2.
Moment d'ordre 2 : t² f(t) = 2/t sur [1, +∞[, et ∫ de 1 à x de 2/t dt = 2 ln x tend vers +∞. L'intégrale diverge, X n'a pas de moment d'ordre 2, donc pas de variance.

piège : Calculer E(X) sans avoir dit que l'intégrale converge, et pour la variance, chercher V(X) avant E(X²).

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Montrer que ∫ sur R de e^−x²/2 dx converge. En admettant qu'elle vaut √(2π), montrer que pour m réel et σ > 0, la fonction g(x) = e^{−(x − m)²/(2σ²)}/(σ√(2π)) est une densité.

Technique majoration par une exponentielle, puis changement de variable affine.

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Pour x ≥ 1, x²/2 ≥ x/2, donc 0 ≤ e^−x²/2 ≤ e^−x/2. ∫ de 1 à +∞ de e^−x/2 dx converge et vaut 2e^−1/2. Comparaison, convergence sur [1, +∞[, donc sur [0, +∞[ en ajoutant le segment [0, 1]. Parité, convergence sur R.
g est continue et positive. Posons φ(u) = m + σu, C¹, strictement croissante, de limites −∞ et +∞. Alors ∫ g(φ(u)) φ'(u) du = ∫ e^−u²/2 σ/(σ√(2π)) du = (1/√(2π)) ∫ e^−u²/2 du.
Cette dernière intégrale converge et vaut √(2π), donc ∫ sur R de g converge et vaut 1. g est une densité, celle de la loi normale de paramètres m et σ².

piège : Appliquer le changement de variable sans citer les trois hypothèses, C¹, stricte monotonie, limites aux bornes. Le rapport de jury G2E le signale chaque année.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que ∫ de 1 à +∞ de (1/t − 1/(t + 1)) dt converge et la calculer. Que dire des deux intégrales ∫ 1/t et ∫ 1/(t + 1) prises séparément ?

Technique simplifier avant d'intégrer, puis contre-exemple à la linéarité.

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1/t − 1/(t + 1) = 1/(t(t + 1)), fonction positive équivalente à 1/t² en +∞. Convergence.
Sur [1, x], une primitive est ln t − ln(t + 1) = ln(t/(t + 1)). La valeur entre 1 et x est ln(x/(x + 1)) − ln(1/2), qui tend vers ln 2.
Chacune des deux intégrales séparées diverge, primitives ln x et ln(x + 1). La différence de deux intégrales divergentes peut converger, on ne sépare donc jamais sans avoir vérifié la convergence de chaque morceau.

piège : Écrire ∫ (1/t − 1/(t + 1)) = ∫ 1/t − ∫ 1/(t + 1) et obtenir « +∞ − ∞ ».

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Écrit, plus délicat

Montrer que ∫ de 0 à 1 de dt/√(t(1 − t)) converge. En admettant le changement de variable t = sin²(u), calculer sa valeur.

Technique deux bornes singulières, équivalents en chacune, puis changement de variable avec ses hypothèses.

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La fonction est continue et positive sur ]0, 1[. On coupe en 1/2. En 0, elle est équivalente à 1/√t, intégrale convergente sur ]0, 1/2] car 1/2 < 1. En 1, elle est équivalente à 1/√(1 − t), même conclusion par le changement affine s = 1 − t. Convergence.
Posons φ(u) = sin²(u) sur ]0, π/2[, C¹, strictement croissante, de limites 0 et 1. φ'(u) = 2 sin u cos u, et √(φ(u)(1 − φ(u))) = sin u cos u, tous deux positifs sur cet intervalle.
L'intégrale transformée est ∫ de 0 à π/2 de 2 du = π. Les deux intégrales ont même nature et même valeur, donc ∫ de 0 à 1 de dt/√(t(1 − t)) = π.

piège : Ne traiter qu'une seule des deux bornes, ou oublier de justifier que sin u cos u est positif pour simplifier la racine.

Exercice 9

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E, plus délicat

Pour x réel, on pose F(x) = ∫ de x à +∞ de e^−t² dt. Montrer que F est bien définie, dérivable sur R, et calculer F'. Montrer que pour x > 0, 0 < F(x) ≤ e^−x²/(2x).

Technique écrire F comme constante moins une intégrale à borne variable, puis comparer sous l'intégrale.

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e^−t² ≤ e^−t pour t ≥ 1, donc ∫ de 0 à +∞ de e^−t² dt converge, notons L sa valeur. Par Chasles, F(x) = L − G(x) où G(x) = ∫ de 0 à x de e^−t² dt.
G est la primitive de la fonction continue t ↦ e^−t² qui s'annule en 0, donc G est de classe C¹ et F'(x) = −e^−x². F est strictement décroissante.
Stricte positivité : la fonction intégrée est continue, positive et non nulle sur [x, +∞[, donc F(x) > 0.
Pour x > 0 et t ≥ x, on a 1 ≤ t/x, donc e^−t² ≤ (t/x) e^−t². Par croissance de l'intégrale, F(x) ≤ (1/x) ∫ de x à +∞ de t e^−t² dt. Cette dernière intégrale se calcule avec la primitive −e^−t²/2 et vaut e^−x²/2. D'où F(x) ≤ e^−x²/(2x).

piège : Dériver « sous le signe intégrale » ou affirmer F dérivable sans passer par la primitive. Le rapport de jury G2E note que les candidats ne savent plus dériver une fonction définie par une intégrale.

Erreurs fréquentes

Écrire ∫ de a à +∞ puis calculer sans avoir établi la convergence. La rédaction sûre passe par un segment [a, x] et une limite.
Traiter une intégrale sur ]a, b[ ou sur R par une seule limite symétrique. Deux bornes, deux études.
Confondre les conditions de Riemann : α > 1 en l'infini, α < 1 en zéro. Et les citer sans les redémontrer, ce que le programme interdit.
Appliquer comparaison ou équivalence sans positivité, ou prendre l'équivalent au mauvais endroit, par exemple en 0 alors que la borne problématique est +∞.
Poser un crochet entre a et +∞ dans une intégration par parties, ou séparer une intégrale en deux morceaux dont l'un diverge.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Analyse 2 – Intégrales généralisées ». Elle couvre la définition par limite d'une primitive, les propriétés des intégrales convergentes, l'intégration par parties, le changement de variable, les théorèmes de comparaison et la convergence absolue.