Le cours

Résumé en cinq points

Une série est la suite de ses sommes partielles. Elle converge quand cette suite converge, et la somme est alors la limite.
Si $u_n$ ne tend pas vers 0, la série diverge. La réciproque est fausse, la série harmonique le prouve.
Pour les séries à termes positifs, les sommes partielles sont croissantes, donc la convergence équivaut à leur majoration. C'est ce qui fait marcher la comparaison et l'équivalence.
Les séries de référence sont la géométrique avec ses deux dérivées, l'exponentielle, $\sum 1/n^2$ qui converge et $\sum 1/n$ qui diverge. Tout autre critère de convergence est hors programme.
La convergence absolue entraîne la convergence, et elle autorise à réordonner les termes. C'est l'hypothèse qui rend légitime la définition de l'espérance en probabilités.

Pourquoi ce chapitre

Une série est la version « somme infinie » d'une suite. C'est le premier objet de deuxième année et il sert surtout d'outil pour les probabilités.

Une variable aléatoire discrète prend une infinité de valeurs.
Sa loi est une famille de probabilités dont la somme vaut 1.
Son espérance est la somme d'une série.

Sans séries, les lois géométrique et de Poisson n'ont aucun sens. Le programme le dit explicitement : hors probabilités, on n'utilise les séries que dans des situations de modélisation. En biologie et en chimie, les séries apparaissent dès qu'on cumule un effet répété à l'infini, par exemple les doses successives d'un médicament ou les générations d'une population. L'attente aux concours est précise : savoir si une série converge, et calculer sa somme quand elle est de référence.

1Définitions

1.1Sommes partielles

Définition 1.1Somme partielle et série

Soit $(u_n)$ une suite réelle définie pour $n \geqslant n_0$ . La somme partielle de rang $n$ est le réel $S_n = u_{n_0} + u_{n_0+1} + \cdots + u_n,$ c'est-à-dire la somme des termes jusqu'au rang $n$ . La série de terme général $u_n$ est l'objet formé par la suite $(S_n)$ des sommes partielles. On la note $\sum u_n$ , ou $\sum_{n \geqslant n_0} u_n$ quand on veut préciser le premier indice.

Trois choses sont à distinguer :

le terme général $u_n$ , qui est un nombre pour chaque $n$ ;
la somme partielle $S_n$ , qui est un nombre pour chaque $n$ ;
la série, qui est un objet global.

1.2Convergence et somme

Définition 1.2Convergence d'une série

La série $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ des sommes partielles converge vers un réel. Cette limite est la somme de la série, notée $\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n$ . Si $(S_n)$ n'a pas de limite finie, la série diverge.

Attention

L'écriture $\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n$ n'a de sens que si la convergence est démontrée. Écrire cette somme puis chercher à montrer qu'elle est finie est un cercle vicieux. On étudie d'abord la nature de la série, on calcule la somme ensuite.

Remarque

Le programme précise deux limitations. La terminologie de famille sommable n'est pas au programme. La notion de reste d'une série est hors programme, donc on ne demandera jamais de majorer $\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$ .

1.3Condition nécessaire de convergence

Théorème 1.3Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

Démonstration

Pour $n > n_0$ , $u_n = S_n - S_{n-1}$ . Si $(S_n)$ converge vers $S$ , alors $u_n$ tend vers $S - S = 0$ .

Attention

La réciproque est fausse. La série harmonique $\sum 1/n$ a un terme général qui tend vers 0 et elle diverge (voir la série harmonique plus bas). C'est le contre-exemple à avoir en tête en permanence.

Usage pratique : si $u_n$ ne tend pas vers 0, la série diverge. On dit que la divergence est grossière.

Exemple 1.4

$\sum \dfrac{n}{n+1}$ diverge, car le terme général tend vers 1.

1.4Combinaison linéaire

Propriété 1.5Combinaison linéaire

Hypothèses

les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent ;
$a$ et $b$ sont deux réels.

Alors $\sum (a u_n + b v_n)$ converge et $\sum_{n=n_0}^{+\infty} (a u_n + b v_n) = a \sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n + b \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n.$

Démonstration

Elle est immédiate sur les sommes partielles, par linéarité des sommes finies puis passage à la limite.

Attention

Si $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge, alors $\sum (u_n + v_n)$ diverge. Si les deux divergent, on ne peut rien dire : la somme peut converger, par exemple avec $u_n = 1/n$ et $v_n = -1/n$ .

2Séries à termes positifs

C'est le cadre central du chapitre. On suppose ici $u_n \geqslant 0$ à partir d'un certain rang.

2.1Le principe

Propriété 2.1Séries à termes positifs

Hypothèse : $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ .

Alors la suite $(S_n)$ est croissante, car $S_{n+1} - S_n = u_{n+1} \geqslant 0$ . Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Donc la série $\sum u_n$ converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées. Sinon, $S_n$ tend vers $+\infty$ .

Il n'y a que deux comportements possibles.

2.2Théorème de comparaison

Théorème 2.2Théorème de comparaison

Hypothèses

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont positives ;
$u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang.

Alors :

si $\sum v_n$ converge, $\sum u_n$ converge ;
si $\sum u_n$ diverge, $\sum v_n$ diverge.

Démonstration

Les sommes partielles de $\sum u_n$ sont majorées par celles de $\sum v_n$ , à une constante près qui vient des premiers termes. Si $\sum v_n$ converge, ses sommes partielles sont majorées, donc celles de $\sum u_n$ aussi, donc $\sum u_n$ converge. Le second point est la contraposée du premier.

Attention

La positivité est indispensable. Sans elle, la croissance des sommes partielles tombe et le raisonnement s'effondre.

Exemple 2.3

La série de terme général $\dfrac{\sin^2 n}{n^2}$ converge, car $0 \leqslant \dfrac{\sin^2 n}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{n^2}$ et $\sum 1/n^2$ converge.

2.3Théorème d'équivalence

Théorème 2.4Théorème d'équivalence

Hypothèses

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont positives ;
$u_n \sim v_n$ quand $n \to +\infty$ .

Alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature : toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.

Démonstration

Par définition de l'équivalence, $u_n / v_n$ tend vers 1, donc à partir d'un certain rang $\frac{1}{2} v_n \leqslant u_n \leqslant 2 v_n$ . On conclut par le théorème de comparaison dans les deux sens.

Attention

L'équivalence donne la même nature, pas la même somme.
Le théorème exige des termes positifs, au moins à partir d'un certain rang.

Exemple 2.5

$\sum \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n^2}\right)$ converge, car $\ln\!\left(1 + \dfrac{1}{n^2}\right) \sim \dfrac{1}{n^2}$ , terme général d'une série convergente.
$\sum \dfrac{1}{n + \sqrt{n}}$ diverge, car ce terme est équivalent à $\dfrac{1}{n}$ .

Tout autre critère de convergence est hors programme. On n'utilise ni le critère de d'Alembert, ni le critère des séries alternées, ni la comparaison série-intégrale sous forme de théorème général.

3Séries de référence

3.1Série géométrique

Théorème 3.1Série géométrique

Pour $q$ réel, la série $\sum_{n \geqslant 0} q^n$ converge si et seulement si $\abs{q} < 1$ . Dans ce cas, sa somme vaut $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}.$

Démonstration

Pour $q \neq 1$ , la somme partielle vaut $S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

Si $\abs{q} < 1$ , alors $q^{n+1}$ tend vers 0 et $S_n$ tend vers $\dfrac{1}{1 - q}$ .
Si $\abs{q} \geqslant 1$ , le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
Pour $q = 1$ , $S_n = n + 1$ tend vers $+\infty$ .

Deux séries dérivées sont au programme.

Propriété 3.2Séries géométriques dérivées

Hypothèse : $\abs{q} < 1$ .

Alors :

$\sum_{n \geqslant 1} n q^{n-1}$ converge et vaut $\dfrac{1}{(1 - q)^2}$ ;
$\sum_{n \geqslant 2} n(n-1) q^{n-2}$ converge et vaut $\dfrac{2}{(1 - q)^3}$ .

Ces deux résultats se retiennent comme les dérivées successives de la fonction $q \mapsto \dfrac{1}{1-q}$ . Ce sont eux qui donnent l'espérance et la variance de la loi géométrique.

Attention

Piège d'indice : $\sum_{n \geqslant 0} q^n = \dfrac{1}{1-q}$ , mais $\sum_{n \geqslant 1} q^n = \dfrac{q}{1-q}$ . Il faut toujours vérifier le rang de départ. En pratique on factorise : $\sum_{n=p}^{+\infty} q^n = \frac{q^p}{1 - q}.$

Exemple 3.3Doses d'un médicament

Un patient reçoit chaque jour une dose $D$ d'un médicament dont il reste chaque jour une fraction $a$ , avec $0 < a < 1$ . La quantité présente juste après la $n$ -ième prise est $D(1 + a + \cdots + a^{n-1})$ . Elle tend vers $\dfrac{D}{1 - a}$ . C'est la valeur plateau, et elle explique pourquoi la concentration se stabilise après quelques jours.

3.2Série exponentielle

Propriété 3.4Série exponentielle

Pour tout réel $x$ , la série $\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{x^n}{n!}$ converge et sa somme vaut $\e^x$ .

Remarque

Résultat admis.

En $x = 1$ , $\sum \dfrac{1}{n!} = \e$ . Ce résultat sert à vérifier que la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ définit bien une loi de probabilité : $\sum_{k=0}^{+\infty} \e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \e^{-\lambda}\,\e^{\lambda} = 1.$

3.3Série harmonique et série des inverses des carrés

Propriété 3.5Série harmonique

La série $\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n}$ diverge.

Démonstration

On regroupe les termes par paquets. Pour tout $n$ , $S_{2n} - S_n = \frac{1}{n+1} + \cdots + \frac{1}{2n}.$ Cette somme contient $n$ termes tous supérieurs ou égaux à $\dfrac{1}{2n}$ , donc $S_{2n} - S_n \geqslant \dfrac{1}{2}$ . Si $(S_n)$ convergeait vers $S$ , la différence $S_{2n} - S_n$ tendrait vers 0, ce qui contredit la minoration par $\dfrac12$ . Donc la série diverge.

Propriété 3.6Série des inverses des carrés

La série $\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{n^2}$ converge.

Démonstration

Pour $n \geqslant 2$ , $\frac{1}{n^2} \leqslant \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}.$ La somme des termes de droite de 2 à $n$ est télescopique et vaut $1 - \dfrac{1}{n}$ , donc elle est majorée par 1. Les sommes partielles de $\sum 1/n^2$ sont donc majorées par 2. C'est une série à termes positifs aux sommes partielles majorées, donc elle converge.

La valeur exacte de la somme n'est pas au programme.

L'étude générale des séries de Riemann $\sum 1/n^{\alpha}$ est hors programme. On retient les deux cas $\alpha = 1$ et $\alpha = 2$ , et on ramène les autres cas à ceux-là par comparaison.

Exemple 3.7

$\sum 1/n^3$ converge par comparaison avec $\sum 1/n^2$ .
$\sum 1/\sqrt{n}$ diverge par comparaison avec $\sum 1/n$ , puisque $1/\sqrt{n} \geqslant 1/n$ .

4Convergence absolue

Définition 4.1Convergence absolue

La série $\sum u_n$ converge absolument si la série $\sum \abs{u_n}$ converge.

Théorème 4.2La convergence absolue entraîne la convergence

Si $\sum \abs{u_n}$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

Le programme présente la convergence absolue comme une condition suffisante de convergence.

L'intérêt est méthodologique. Les théorèmes de comparaison et d'équivalence demandent des termes positifs. Quand le terme général change de signe, on travaille sur $\abs{u_n}$ , qui est positif, et on conclut.

Exemple 4.3

La série de terme général $\dfrac{(-1)^n}{n^2}$ converge, car sa valeur absolue est $\dfrac{1}{n^2}$ dont la série converge.

Attention

La réciproque est fausse. Une série peut converger sans converger absolument : on parle alors de semi-convergence, explicitement hors programme. On ne demandera donc jamais d'étudier $\sum \dfrac{(-1)^n}{n}$ .

Propriété 4.4Indépendance de l'ordre

Hypothèse : la série $\sum u_n$ converge absolument.

Alors la somme de la série ne dépend pas de l'ordre dans lequel on énumère ses termes.

Remarque

Résultat admis, très utile en probabilités. C'est ce qui autorise à parler de l'espérance d'une variable aléatoire discrète sans se préoccuper de l'ordre des valeurs, et c'est pour cela qu'une espérance n'est définie que sous hypothèse de convergence absolue.

Méthodes

MéthodeÉtudier la nature d'une série

Le terme général tend-il vers 0 ? Si non, la série diverge et c'est fini.
Le terme général est-il positif ? Si oui, chercher un équivalent simple, en général une puissance de $n$ ou une suite géométrique, puis appliquer le théorème d'équivalence.
Si le terme général change de signe, étudier $\sum \abs{u_n}$ . Si elle converge, la série converge. Si elle diverge, on ne conclut rien, mais le cas ne sera pas posé.

MéthodeTrouver un équivalent

Utiliser les équivalents usuels de première année, quand $x$ tend vers 0 :

$\ln(1 + x) \sim x$ ;
$\e^x - 1 \sim x$ ;
$\sin x \sim x$ ;
$(1 + x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$ .

On les applique en général avec $x$ de la forme $1/n$ .

MéthodeCalculer une somme

On ne dispose que de trois familles :

la série géométrique et ses deux dérivées ;
la série exponentielle ;
les sommes télescopiques, où $u_n$ s'écrit $a_n - a_{n+1}$ .

Attention

Avant d'écrire une somme infinie, justifier la convergence. Avant d'appliquer la linéarité, vérifier que chaque série manipulée converge.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner la définition de la convergence d'une série à partir des sommes partielles, et expliquer pourquoi la somme n'a de sens qu'après.
Démontrer que le terme général d'une série convergente tend vers 0, et donner le contre-exemple de la réciproque.
Démontrer la formule de la somme d'une série géométrique et discuter tous les cas selon $q$ .
Démontrer la divergence de la série harmonique par le regroupement $S_{2n} - S_n \geqslant \frac12$ .
Démontrer la convergence de $\sum 1/n^2$ par majoration télescopique.
Énoncer avec ses hypothèses exactes le théorème d'équivalence, et l'appliquer à un terme général du type $\ln(1 + 1/n^{\alpha})$ ou $\dfrac{1}{n + \sqrt{n}}$ .
Utiliser la série exponentielle pour vérifier que la loi de Poisson est bien une loi de probabilité.
Calculer $\sum n q^{n-1}$ et $\sum n(n-1) q^{n-2}$ et s'en servir pour l'espérance d'une loi géométrique.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Si Σ u_n converge, alors u_n tend vers 0 : exigible avec démonstration. La réciproque est fausse, contre-exemple Σ 1/n.
Combinaison linéaire de deux séries convergentes : exigible avec démonstration par les sommes partielles.
Somme d'une série convergente et d'une série divergente : divergente, exigible, par différence.
Série à termes positifs : elle converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées : exigible avec démonstration par le théorème de la limite monotone.
Théorème de comparaison, pour 0 ≤ u_n ≤ v_n à partir d'un certain rang : exigible avec démonstration.
Théorème d'équivalence, pour u_n et v_n positifs et u_n ∼ v_n : exigible avec démonstration par encadrement.
Série géométrique Σ_n≥0 qⁿ : converge si et seulement si |q| < 1, somme 1/(1 − q) : exigible avec démonstration.
Séries dérivées, pour |q| < 1, Σ_n≥1 n qⁿ⁻¹ = 1/(1 − q)² et Σ_n≥2 n(n − 1) qⁿ⁻² = 2/(1 − q)³ : formules exigibles, démonstration non exigée, mais la première se refait en dix lignes (section 2).
Série exponentielle Σ_n≥0 xⁿ/n! = e^x pour tout réel x : admis.
Σ 1/n² converge : exigible avec démonstration télescopique. Σ 1/n diverge : exigible avec démonstration par paquets.
Convergence absolue entraîne convergence : présenté par le programme comme condition suffisante, démonstration non exigée.
La somme d'une série absolument convergente ne dépend pas de l'ordre des termes : admis, il justifie la définition de l'espérance.
Hors programme signalé : reste d'une série, séries de Riemann générales Σ 1/n^α, règle de d'Alembert, séries alternées, comparaison série-intégrale sous forme de théorème, produit de deux séries, semi-convergence.

Clés de démonstration

Terme général vers 0. Pour n > n₀, u_n = S_n − S_n−1. Si (S_n) tend vers S, alors (S_n−1) aussi, et la différence tend vers 0. L'astuce : écrire le terme comme différence de deux sommes partielles.

Positivité et sommes partielles. Si u_n ≥ 0, S_n+1 − S_n = u_n+1 ≥ 0, donc (S_n) est croissante. Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. L'astuce : limite monotone, il n'y a que deux comportements possibles.

Comparaison. Pour n ≥ N, on a Σ_k=Nⁿ u_k ≤ Σ_k=Nⁿ v_k. Si Σ v_n converge, les sommes partielles de droite sont majorées, donc celles de gauche aussi, donc Σ u_n converge par positivité. La contraposée donne le second point. L'astuce : les premiers termes ne comptent pas, on démarre au rang N.

Équivalence. Si u_n/v_n tend vers 1, alors à partir d'un certain rang 1/2 ≤ u_n/v_n ≤ 2, soit v_n/2 ≤ u_n ≤ 2v_n. Comparaison dans les deux sens. L'astuce : encadrer le quotient entre deux constantes strictement positives.

Série harmonique. S_2n − S_n = 1/(n + 1) + … + 1/(2n) contient n termes tous supérieurs ou égaux à 1/(2n), donc vaut au moins 1/2. Si (S_n) convergeait, cette différence tendrait vers 0. L'astuce : regrouper par paquets de longueur n.

Σ 1/n². Pour n ≥ 2, 1/n² ≤ 1/(n(n − 1)) = 1/(n − 1) − 1/n. La somme de ces différences de 2 à n est télescopique et vaut 1 − 1/n ≤ 1. Sommes partielles majorées par 2, termes positifs, convergence. L'astuce : majorer par une différence télescopique.

Première série dérivée. Posons T_N = Σ_n=1^N n qⁿ⁻¹. Alors (1 − q)T_N = Σ_n=1^N n qⁿ⁻¹ − Σ_n=1^N n qⁿ. En décalant l'indice de la première somme, on obtient Σ_n=0^N−1 (n + 1)qⁿ − Σ_n=1^N n qⁿ = 1 + Σ_n=1^N−1 qⁿ − N q^N = (1 − q^N)/(1 − q) − N q^N. Pour |q| < 1, q^N et N q^N tendent vers 0 par croissances comparées, donc T_N tend vers 1/(1 − q)². L'astuce : multiplier par 1 − q pour télescoper, comme pour la somme géométrique.

Exemples et contre-exemples à connaître

Σ 1/n diverge alors que 1/n tend vers 0. La condition nécessaire n'est pas suffisante.
Σ (−1)ⁿ diverge grossièrement, le terme général ne tend pas vers 0. Les sommes partielles valent alternativement 1 et 0.
Σ_n≥1 1/(n(n + 1)) converge et vaut 1, par télescopage 1/n − 1/(n + 1).
Σ ln(1 + 1/n) diverge, de deux façons : le terme est équivalent à 1/n, et la somme partielle vaut ln(n + 1) par télescopage.
La positivité est indispensable dans la comparaison : u_n = −1 et v_n = 0 vérifient u_n ≤ v_n, Σ v_n converge et Σ u_n diverge.
Σ qⁿ diverge pour q = 1 (S_n = n + 1) et pour q = −1. La condition |q| < 1 est stricte.
Σ_n≥1 qⁿ = q/(1 − q) et non 1/(1 − q). Le rang de départ change la somme, pas la nature.
Σ 2ⁿ/n! converge et vaut e², alors que Σ 2ⁿ diverge. La factorielle écrase toute puissance.
Σ 1/√n diverge car 1/√n ≥ 1/n, et Σ 1/n³ converge car 1/n³ ≤ 1/n². On ramène tout à α = 1 ou α = 2.
Σ_n≥1 n/2ⁿ converge et vaut 2, par la série dérivée avec q = 1/2 : (1/2) × 1/(1 − 1/2)² = 2.

Techniques du chapitre

Technique 1, regarder si le terme tend vers 0. Mini-exercice : nature de Σ cos(1/n). Le terme général tend vers cos(0) = 1, la série diverge grossièrement. Aucun autre argument n'est nécessaire.

Technique 2, équivalent d'un terme positif. Mini-exercice : nature de Σ (1 − cos(1/n)). Le terme est positif et, par le développement limité cos(x) = 1 − x²/2 + o(x²), équivalent à 1/(2n²). Σ 1/(2n²) converge, donc la série converge.

Technique 3, majoration directe par une référence. Mini-exercice : nature de Σ 1/(2ⁿ + n). Le terme est positif et majoré par (1/2)ⁿ, terme d'une série géométrique convergente. Comparaison, convergence.

Technique 4, télescopage. Mini-exercice : somme de Σ_n≥1 1/(n(n + 2)). On écrit 1/(n(n + 2)) = (1/2)(1/n − 1/(n + 2)). La somme partielle vaut (1/2)(1 + 1/2 − 1/(N + 1) − 1/(N + 2)), qui tend vers 3/4.

Technique 5, rang de départ d'une géométrique. Mini-exercice : calculer Σ_n≥3 (1/3)ⁿ. On factorise par le premier terme : (1/3)³ × 1/(1 − 1/3) = (1/27) × (3/2) = 1/18.

Technique 6, séries dérivées pour une espérance. Mini-exercice : pour 0 < p < 1 et q = 1 − p, calculer Σ_n≥1 n p qⁿ⁻¹. C'est p fois la première série dérivée en q, soit p/(1 − q)² = p/p² = 1/p.

Technique 7, valeur absolue pour un signe variable. Mini-exercice : nature de Σ sin(n)/n². On a |sin(n)/n²| ≤ 1/n², donc Σ |u_n| converge par comparaison, donc Σ u_n converge absolument, donc converge.

Technique 8, série exponentielle avec un facteur n. Mini-exercice : pour λ > 0, calculer Σ_n≥0 n λⁿ/n!. Le terme n = 0 est nul, et pour n ≥ 1, n/n! = 1/(n − 1)!. La somme vaut λ Σ_n≥1 λⁿ⁻¹/(n − 1)! = λ e^λ.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Déterminer la nature de Σ n/(n² + 1), Σ 1/(n² + 1) et Σ n² e⁻ⁿ

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique équivalent, comparaison, croissances comparées.

Voir le corrigé

n/(n² + 1) est positif et équivalent à 1/n. Σ 1/n diverge, donc la série diverge.
0 ≤ 1/(n² + 1) ≤ 1/n², et Σ 1/n² converge, donc la série converge.
n⁴ e⁻ⁿ tend vers 0 par croissances comparées, donc à partir d'un certain rang n⁴ e⁻ⁿ ≤ 1, soit 0 ≤ n² e⁻ⁿ ≤ 1/n². Comparaison, convergence.

piège : Pour la troisième, écrire « n² e⁻ⁿ tend vers 0 donc la série converge ». La limite nulle ne suffit jamais.

Exercice 2. Montrer que Σ_n≥1 1/(4n² − 1) converge et calculer sa somme

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique décomposition puis télescopage.

Voir le corrigé

4n² − 1 = (2n − 1)(2n + 1), et 1/((2n − 1)(2n + 1)) = (1/2)(1/(2n − 1) − 1/(2n + 1)).
La somme partielle S_N vaut (1/2)(1 − 1/(2N + 1)), tous les termes intermédiaires se compensent.
S_N tend vers 1/2. La série converge et sa somme vaut 1/2.

piège : Écrire la somme infinie avant d'avoir calculé la somme partielle. Ici la convergence sort du calcul, mais on la mentionne.

Exercice 3. Étudier Σ_n≥2 ln(1 − 1/n²) et calculer sa somme

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique signe du terme, équivalent, puis télescopage double.

Voir le corrigé

Le terme est négatif. On pose v_n = −ln(1 − 1/n²) ≥ 0, équivalent à 1/n². Σ v_n converge, donc Σ u_n converge.
Pour la somme, 1 − 1/n² = (n − 1)(n + 1)/n², donc u_n = [ln(n − 1) − ln n] + [ln(n + 1) − ln n].
La somme de 2 à N du premier crochet vaut ln 1 − ln N = −ln N, celle du second vaut ln(N + 1) − ln 2.
S_N = ln((N + 1)/N) − ln 2 tend vers −ln 2. La somme vaut −ln 2.

piège : Appliquer le théorème d'équivalence à un terme négatif sans passer à l'opposé.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit Σ u_n une série convergente à termes positifs. Montrer que Σ u_n² converge. La réciproque est-elle vraie ?

Technique le terme tend vers 0, donc est petit, donc son carré est plus petit que lui.

Voir le corrigé

Comme Σ u_n converge, u_n tend vers 0, donc à partir d'un certain rang 0 ≤ u_n ≤ 1.
Pour ces rangs, 0 ≤ u_n² ≤ u_n. Comparaison avec la série convergente Σ u_n, donc Σ u_n² converge.
Réciproque fausse : u_n = 1/n donne Σ u_n² convergente et Σ u_n divergente.

piège : Écrire u_n² ≤ u_n pour tout n sans dire que cela n'est vrai qu'à partir du rang où u_n ≤ 1.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Pour n ≥ 1, on pose u_n = 1/n − ln(1 + 1/n). Montrer que Σ u_n converge. En déduire que la suite H_n − ln n, où H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n, converge.

Technique développement limité pour l'équivalent, puis télescopage pour la somme partielle.

Voir le corrigé

Pour x > −1, ln(1 + x) ≤ x, donc u_n ≥ 0.
Avec ln(1 + x) = x − x²/2 + o(x²), on obtient u_n = 1/(2n²) + o(1/n²), donc u_n ∼ 1/(2n²). Σ 1/n² converge, donc Σ u_n converge.
Somme partielle : Σ_n=1^N ln(1 + 1/n) = Σ (ln(n + 1) − ln n) = ln(N + 1). Donc S_N = H_N − ln(N + 1).
S_N converge vers un réel γ. Or H_N − ln N = S_N + ln((N + 1)/N), et ln((N + 1)/N) tend vers 0. Donc H_N − ln N converge vers γ.

piège : Oublier le terme ln((N + 1)/N) au passage de ln(N + 1) à ln N, ou utiliser un développement d'ordre 1 qui ne donne que u_n = o(1/n), insuffisant.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E

Soit X une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[, c'est-à-dire P(X = n) = p(1 − p)ⁿ⁻¹ pour n ≥ 1. Vérifier que ces probabilités somment à 1, puis calculer E(X), E(X(X − 1)) et V(X).

Technique géométrique et ses deux dérivées avec q = 1 − p.

Voir le corrigé

Σ_n≥1 p qⁿ⁻¹ = p Σ_n≥0 qⁿ = p/(1 − q) = 1, car 0 < q < 1.
E(X) = Σ n p qⁿ⁻¹ = p/(1 − q)² = 1/p, la série converge car c'est p fois la première série dérivée.
E(X(X − 1)) = Σ_n≥2 n(n − 1) p qⁿ⁻¹ = p q Σ n(n − 1) qⁿ⁻² = pq × 2/(1 − q)³ = 2q/p².
E(X²) = E(X(X − 1)) + E(X) = 2q/p² + 1/p, donc V(X) = 2q/p² + 1/p − 1/p² = (2q + p − 1)/p² = q/p².

piège : Oublier le facteur q en sortant qⁿ⁻¹ = q × qⁿ⁻², ou affirmer l'existence de l'espérance sans citer la convergence de la série.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Soit X de loi de Poisson de paramètre λ > 0, P(X = n) = e^−λ λⁿ/n! pour n ∈ N. Vérifier que c'est une loi, puis calculer E(X) et V(X).

Technique série exponentielle, avec simplification n/n! puis n(n − 1)/n!.

Voir le corrigé

Σ_n≥0 e^−λ λⁿ/n! = e^−λ e^λ = 1.
E(X) = Σ_n≥1 n e^−λ λⁿ/n! = λ e^−λ Σ_n≥1 λⁿ⁻¹/(n − 1)! = λ e^−λ e^λ = λ.
E(X(X − 1)) = Σ_n≥2 n(n − 1) e^−λ λⁿ/n! = λ² e^−λ Σ_n≥2 λⁿ⁻²/(n − 2)! = λ².
V(X) = λ² + λ − λ² = λ.

piège : Commencer la somme de E(X) à n = 0 puis décaler l'indice de travers. Le terme n = 0 est nul, on démarre à 1.

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type Agro-Véto

Deux joueurs A et B lancent à tour de rôle une pièce qui donne pile avec probabilité p ∈ ]0, 1[, A commence. Le premier qui obtient pile gagne. Calculer la probabilité que A gagne.

Technique somme d'une géométrique de raison (1 − p)², bien identifier le rang de départ.

Voir le corrigé

A gagne au lancer numéro 2k + 1 (k ≥ 0) si les 2k premiers lancers donnent face et le suivant pile, probabilité (1 − p)^2k p.
Ces événements sont incompatibles, la probabilité cherchée est Σ_k≥0 p (1 − p)^2k, série géométrique de raison (1 − p)² ∈ ]0, 1[.
Somme : p/(1 − (1 − p)²) = p/(2p − p²) = 1/(2 − p).
Vérification : pour p = 1 on trouve 1, pour p proche de 0 on trouve environ 1/2, ce qui est cohérent.

piège : Prendre la raison 1 − p au lieu de (1 − p)², ou oublier de justifier que la raison est dans ]−1, 1[.

Exercice 9

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type G2E, plus délicat

Pour k ≥ 2, montrer 1/k ≤ ∫ de k − 1 à k de dt/t, et pour k ≥ 1, 1/k ≥ ∫ de k à k + 1 de dt/t. En déduire ln(n + 1) ≤ H_n ≤ 1 + ln n, puis retrouver la divergence de Σ 1/n et montrer que H_n/ln n tend vers 1.

Technique comparaison série-intégrale menée à la main sur cet exemple, le théorème général étant hors programme.

Voir le corrigé

Sur [k − 1, k], on a t ≤ k donc 1/t ≥ 1/k. Intégrer sur un segment de longueur 1 donne ∫ dt/t ≥ 1/k.
Sur [k, k + 1], t ≥ k donc 1/t ≤ 1/k, d'où ∫ dt/t ≤ 1/k.
Sommer la seconde pour k de 1 à n donne H_n ≥ ∫ de 1 à n + 1 de dt/t = ln(n + 1), par Chasles. Sommer la première pour k de 2 à n donne H_n − 1 ≤ ln n.
ln(n + 1) tend vers +∞, donc H_n aussi, la série harmonique diverge. En divisant par ln n, ln(n + 1)/ln n ≤ H_n/ln n ≤ 1/ln n + 1, et les deux bornes tendent vers 1.

piège : Inverser le sens des inégalités entre 1/t et 1/k, ou sommer une inégalité vraie seulement pour k ≥ 2 en partant de k = 1.

Exercice 10. Calculer Σ_n≥1 n²/2ⁿ

Classiques de khôlle et concours · Écrit, plus délicat

Technique écrire n² = n(n − 1) + n pour se ramener aux deux séries dérivées.

Voir le corrigé

Pour |q| < 1, Σ_n≥1 n qⁿ = q Σ n qⁿ⁻¹ = q/(1 − q)², et Σ_n≥2 n(n − 1) qⁿ = q² Σ n(n − 1) qⁿ⁻² = 2q²/(1 − q)³. Les deux convergent.
Par linéarité, Σ n² qⁿ = 2q²/(1 − q)³ + q/(1 − q)², le terme n = 1 de la première somme étant nul.
Pour q = 1/2 : 2 × (1/4)/(1/8) + (1/2)/(1/4) = 4 + 2 = 6.

piège : Dériver terme à terme « parce que ça marche ». Ce n'est pas au programme, on utilise les formules des séries dérivées telles quelles.

Erreurs fréquentes

Écrire Σ_n=0^+∞ u_n avant d'avoir prouvé la convergence, puis « montrer que c'est fini ». La nature d'abord, la somme ensuite.
Conclure à la convergence parce que le terme général tend vers 0. Σ 1/n est le contre-exemple à citer.
Appliquer comparaison ou équivalence à des termes de signe variable ou négatif sans passer à la valeur absolue ou à l'opposé.
Se tromper de rang de départ dans une géométrique, ou oublier que la formule exige |q| < 1 pour la somme infinie et q ≠ 1 pour la somme finie.
Confondre somme partielle et somme de la série, ou utiliser la linéarité quand l'une des deux séries diverge.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST deuxième année (2021), partie « Analyse 1 – Séries réelles ». Elle couvre les sommes partielles, la convergence, les théorèmes de comparaison pour les séries à termes positifs, les séries de référence et la convergence absolue.

Séries réelles

Résumé en cinq points

1Définitions

1.1Sommes partielles

1.2Convergence et somme

1.3Condition nécessaire de convergence

1.4Combinaison linéaire

2Séries à termes positifs

2.1Le principe

2.2Théorème de comparaison

2.3Théorème d'équivalence

3Séries de référence

3.1Série géométrique

3.2Série exponentielle

3.3Série harmonique et série des inverses des carrés

4Convergence absolue

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Déterminer la nature de Σ n/(n² + 1), Σ 1/(n² + 1) et Σ n² e−n

Exercice 2. Montrer que Σn≥1 1/(4n² − 1) converge et calculer sa somme

Exercice 3. Étudier Σn≥2 ln(1 − 1/n²) et calculer sa somme

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10. Calculer Σn≥1 n²/2ⁿ

Erreurs fréquentes

Exercice 1. Déterminer la nature de Σ n/(n² + 1), Σ 1/(n² + 1) et Σ n² e⁻ⁿ

Exercice 2. Montrer que Σ_n≥1 1/(4n² − 1) converge et calculer sa somme

Exercice 3. Étudier Σ_n≥2 ln(1 − 1/n²) et calculer sa somme

Exercice 10. Calculer Σ_n≥1 n²/2ⁿ