Équations différentielles autonomes d'ordre 1

Résumé en cinq points

1Le cadre

1.1Définition

Le mot autonome signifie que le temps n'apparaît pas explicitement dans le second membre. La vitesse de variation ne dépend que de l'état, pas de l'instant.

• En biologie des populations, cela traduit un environnement constant.
• En cinétique chimique, cela traduit une température et un volume constants.

1.2Conséquence de l'autonomie

Décaler l'origine des temps donne encore une solution. C'est la seule propriété générale à retenir, et elle s'explique en une ligne par dérivation d'une composée.

1.3Problème de Cauchy

On associe presque toujours à l'équation une condition initiale $y(0) = y_0$, qui représente l'effectif initial d'une population ou la concentration initiale d'un réactif. Les énoncés admettent l'existence et l'unicité de la solution du problème posé, ou construisent cette solution explicitement.

2Lecture qualitative

Avant tout calcul, on peut souvent décrire le comportement des solutions, et les énoncés guident dans cette direction.

2.1Solutions constantes

Chercher les équilibres revient donc à résoudre l'équation $F(y) = 0$, en général une simple équation algébrique.

2.2Sens de variation

Soit $y$ une solution. Le signe de $y'(t)$ est celui de $F(y(t))$.

• Sur un intervalle où $y(t)$ reste dans une zone où $F$ est strictement positive, $y$ est strictement croissante.
• Là où $F$ est strictement négative, $y$ est strictement décroissante.

Étudier le signe de $F$ donne la monotonie de toutes les solutions, sans les calculer.

2.3Un piège de rédaction

3Les trois modèles au programme

3.1Modèle malthusien

L'équation est $y'(t) = r\,y(t)$, avec $r$ réel. C'est le modèle de croissance exponentielle, où le taux de croissance par individu est constant.

Cette résolution est déjà connue de première année. Interprétation :

• Si $r > 0$, la population explose, et le temps de doublement vaut $\dfrac{\ln 2}{r}$.
• Si $r < 0$, la population décroît vers $0$, et le temps de demi-vie vaut $\dfrac{\ln 2}{\abs{r}}$.

Le second cas décrit aussi la désintégration radioactive et une cinétique chimique d'ordre 1, où la concentration d'un réactif vérifie $[A]'(t) = -k[A](t)$, donc $[A](t) = [A]_0\,\e^{-kt}$.

3.2Modèle logistique

L'équation est $$y'(t) = r\,y(t)\Big(1 - \frac{y(t)}{K}\Big),$$ avec $r > 0$ et $K > 0$. Le paramètre $K$ est la capacité d'accueil du milieu. Le taux de croissance par individu, égal à $r(1 - y/K)$, diminue quand la population augmente, ce qui modélise la compétition pour les ressources.

On obtient $$y(t) = \frac{K y_0}{y_0 + (K - y_0)\e^{-rt}}.$$

Vérifications utiles :

• En $t = 0$ on retrouve $y_0$.
• Quand $t$ tend vers l'infini, $\e^{-rt}$ tend vers $0$ et $y(t)$ tend vers $K$, ce qui confirme la lecture qualitative.
• Si $y_0 = K$ la solution est constante.

Pour $0 < y_0 < K$, la courbe a une allure en S, dite sigmoïde. On le justifie en dérivant une seconde fois : $$y'' = r\,y'\Big(1 - \frac{2y}{K}\Big),$$ donc $y''$ s'annule en changeant de signe quand $y$ vaut $K/2$. Le point d'inflexion correspond à l'instant où la population atteint la moitié de la capacité d'accueil, et c'est là que la croissance est la plus rapide. Ce modèle décrit correctement une culture bactérienne en milieu fermé.

3.3Modèle de Gompertz

L'équation s'écrit $$y'(t) = r\,y(t)\ln\frac{K}{y(t)},$$ avec $r > 0$, $K > 0$, et $y$ à valeurs strictement positives. Elle sert notamment à décrire la croissance d'une tumeur ou d'un organisme, où le ralentissement intervient plus tôt que dans le modèle logistique.

On obtient $$y(t) = K\exp\!\big(\ln(y_0/K)\,\e^{-rt}\big).$$

Quand $t$ tend vers l'infini, l'exposant tend vers $0$ et $y(t)$ tend vers $K$. La courbe est également sigmoïde quand $y_0 < K$, mais elle n'est pas symétrique par rapport à son point d'inflexion, contrairement à la logistique. Comparer les deux modèles sur un jeu de données est un sujet de concours classique.

3.4Une cinétique non linéaire

Pour une réaction d'ordre 2, la concentration vérifie $[A]'(t) = -k[A](t)^2$.

La concentration décroît alors comme l'inverse du temps, bien plus lentement qu'une exponentielle. Le tracé de $1/[A]$ en fonction de $t$ est une droite, ce qui donne un test graphique de l'ordre de la réaction.

3.5La méthode générale de séparation des variables

Quand $F$ ne s'annule pas sur la plage considérée, une étude guidée peut faire écrire $y'(t)/F(y(t)) = 1$, puis intégrer entre $0$ et $t$. Cela revient à chercher une primitive $G$ de $1/F$ et à écrire $G(y(t)) - G(y_0) = t$, puis à inverser $G$.

4Méthode d'Euler

4.1Principe

On cherche une valeur approchée de la solution de $y' = F(y)$ avec $y(0) = y_0$, sur un intervalle $\intff{0}{T}$. On choisit un pas $h > 0$ et on pose $t_n = nh$. L'approximation de la dérivée par un taux d'accroissement, $$y'(t_n) \approx \frac{y(t_{n+1}) - y(t_n)}{h},$$ conduit au schéma :

On relie les points $(t_n, y_n)$ par des segments. L'énoncé rappellera toujours cette formule.

4.2Mise en oeuvre

En Python, la boucle tient en quelques lignes : on initialise une liste avec $y_0$, puis à chaque étape on ajoute à la dernière valeur le produit de $h$ par $F$ de cette valeur. On renvoie les deux listes des temps et des valeurs.

def euler(F, y0, h, N):
    t, y = [0], [y0]
    for n in range(N):
        y.append(y[-1] + h * F(y[-1]))
        t.append((n + 1) * h)
    return t, y

Ce qu'il faut savoir commenter :

• Plus le pas $h$ est petit, plus l'approximation est en principe fidèle, mais plus le nombre d'itérations est grand.
• Sur le modèle malthusien avec $r > 0$, le schéma donne $y_n = y_0(1 + rh)^n$, alors que la solution exacte vaut $y_0\e^{rnh}$. Comme $1 + rh \leqslant \e^{rh}$, la méthode sous-estime la solution. C'est un exemple simple où l'erreur se quantifie à la main.
• Le schéma n'utilise que la valeur au point courant, donc il accumule les erreurs. Les méthodes plus précises ne sont pas au programme.

4.3Usage

La méthode d'Euler sert quand l'équation n'a pas de solution explicite, ce qui est la règle dès qu'on sort des trois modèles. Elle sert aussi à valider une résolution exacte, en superposant la courbe approchée et la courbe théorique.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Définir une équation autonome et expliquer ce que signifie l'absence du temps dans le second membre.
2. Trouver les équilibres d'une équation donnée et en déduire le sens de variation des solutions.
3. Résoudre le modèle malthusien et donner le temps de doublement ou de demi-vie.
4. Résoudre le modèle logistique par le changement $z = 1/y$, en détaillant le calcul de $z'$.
5. Vérifier sur la formule logistique la condition initiale, la limite $K$ et l'inflexion en $K/2$.
6. Résoudre le modèle de Gompertz par le changement $u = \ln(y/K)$.
7. Traiter la cinétique d'ordre 2 et expliquer le test graphique associé.
8. Écrire la méthode d'Euler, en Python ou en pseudo-code, et commenter l'effet du pas.

Les résultats à connaître

• Définition : y' = F(y) avec F continue sur un intervalle J à valeurs réelles, solution sur I dérivable à valeurs dans J : exigible.
• Invariance par translation du temps : si y est solution sur I, alors t ↦ y(t − c) est solution sur l'intervalle translaté : exigible avec démonstration en une ligne.
• Solutions constantes : la constante a est solution si et seulement si F(a) = 0 : exigible avec démonstration.
• Signe de la dérivée : y'(t) a le signe de F(y(t)), donc y est strictement monotone sur tout intervalle où y(t) reste dans une zone de signe constant de F : exigible.
• Modèle malthusien y' = ry : solutions t ↦ C e^rt sur R, unique solution avec y(0) = y₀ : exigible avec démonstration, c'est la première année.
• Modèle logistique y' = ry(1 − y/K), r > 0, K > 0, solution strictement positive : ramené à z' + rz = r/K par z = 1/y, puis y(t) = K y₀/(y₀ + (K − y₀)e^−rt) : exigible avec démonstration sous guidage.
• Modèle de Gompertz y' = ry ln(K/y), y > 0 : ramené à u' = −ru par u = ln(y/K), puis y(t) = K exp(ln(y₀/K) e^−rt) : exigible avec démonstration sous guidage.
• Cinétique d'ordre 1, [A]' = −k[A] : [A](t) = [A]₀ e^−kt, demi-vie ln 2/k : exigible.
• Cinétique d'ordre 2, [A]' = −k[A]² : 1/[A](t) = 1/[A]₀ + kt par z = 1/[A] : exigible sous guidage.
• Schéma d'Euler y_n+1 = y_n + hF(y_n), t_n = nh : à savoir mettre en œuvre, formule rappelée par l'énoncé.
• Existence et unicité de la solution d'un problème de Cauchy : admises ou construites explicitement par l'énoncé, aucun théorème général n'est au programme.
• Hors programme signalé : théorème de Cauchy-Lipschitz, notion théorique de stabilité d'un équilibre, séparation des variables non guidée, méthodes numériques autres qu'Euler, équations non autonomes hors cas linéaire de première année.

Clés de démonstration

Translation du temps. On pose g(t) = y(t − c). Par dérivation d'une composée, g'(t) = y'(t − c) = F(y(t − c)) = F(g(t)). L'astuce : c'est l'absence du temps dans F qui rend le calcul possible, une équation y' = F(t, y) ne l'autorise pas.

Solutions constantes. Une constante a une dérivée nulle, donc y = a est solution si et seulement si 0 = F(a). L'astuce : chercher les équilibres, c'est résoudre une équation algébrique, pas différentielle.

Unicité pour Malthus. Si y' = ry, on pose g(t) = y(t)e^−rt. Alors g' = (y' − ry)e^−rt = 0, donc g est constante et y(t) = y(0)e^rt. L'astuce : multiplier par l'exponentielle inverse pour faire apparaître une dérivée nulle.

Logistique. Avec z = 1/y et y > 0, z' = −y'/y² = −(ry − ry²/K)/y² = −r/y + r/K = −rz + r/K. L'astuce : l'équation en z est linéaire parce que le second membre ry − ry²/K est un polynôme de degré 2 en y, la division par y² le ramène au degré 1 en 1/y.

Gompertz. Avec u = ln(y/K), u' = y'/y = r ln(K/y) = −r ln(y/K) = −ru. L'astuce : le logarithme apparaît déjà dans F, on le prend comme nouvelle inconnue.

Point d'inflexion. On dérive l'équation elle-même. Pour la logistique, y'' = r y'(1 − y/K) − r y y'/K = r y'(1 − 2y/K). Comme y' > 0 sur ]0, K[, y'' s'annule en changeant de signe quand y = K/2. L'astuce : ne jamais dériver la formule explicite, dériver l'équation.

Convergence vers un équilibre, toujours guidée. Une solution monotone et bornée converge vers une limite ℓ. Par continuité de F, y'(t) tend vers F(ℓ). Si F(ℓ) ≠ 0, la dérivée reste éloignée de 0 pour t grand, donc y n'est pas bornée, contradiction. Donc F(ℓ) = 0. L'astuce : une fonction dont la dérivée tend vers une limite non nulle croît au moins linéairement.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. y' = ty n'est pas autonome, le temps figure dans le second membre. Elle est linéaire et se résout en première année, mais elle n'est pas invariante par translation.
2. y' = y² avec y(0) = y₀ > 0 a pour solution y(t) = y₀/(1 − y₀t), qui explose au temps 1/y₀. Une solution d'équation autonome peut ne pas être définie sur R entier.
3. y' = −ky avec k > 0 : la demi-vie ln 2/k ne dépend pas de la valeur initiale. C'est la signature d'un ordre 1 en cinétique.
4. y' = −ky² : le temps de demi-réaction vaut 1/(k[A]₀), il dépend de la concentration initiale. C'est la signature d'un ordre 2.
5. Logistique avec y₀ > K : la solution décroît vers K, il n'y a pas de sigmoïde. La courbe en S suppose 0 < y₀ < K/2.
6. Logistique avec y₀ = K/2 : le point d'inflexion est à t = 0. Avec y₀ = K, la solution est constante.
7. Gompertz : le point d'inflexion est à y = K/e, environ 0,37K, plus tôt que le K/2 de la logistique. La sigmoïde est dissymétrique.
8. Euler sur y' = ry, r > 0 : y_n = y₀(1 + rh)ⁿ, inférieur à y₀e^rnh car 1 + x ≤ e^x. Le schéma sous-estime une croissance exponentielle.
9. Euler sur y' = −ky avec un pas h > 2/k : y_n = y₀(1 − kh)ⁿ diverge en oscillant, alors que la solution exacte tend vers 0. Un pas trop grand casse le schéma.
10. F(y) = y(y − 1)(2 − y) : trois équilibres 0, 1, 2. L'équilibre 1 est un seuil, en dessous la population s'éteint, au-dessus elle tend vers 2.

Techniques du chapitre

Technique 1, reconnaître l'autonomie et le cadre. Mini-exercice : y' = 3y − y² est-elle autonome, sur quel intervalle F est-elle définie ? Le temps n'apparaît pas, F(y) = 3y − y² est continue sur R. C'est une logistique avec r = 3 et K = 3, puisque 3y − y² = 3y(1 − y/3).

Technique 2, équilibres puis tableau de signe. Mini-exercice : y' = y(4 − y). Équilibres 0 et 4. F > 0 sur ]0, 4[, F < 0 ailleurs. Une solution partant de 1 croît, une solution partant de 6 décroît, toutes deux vers 4, une solution partant de −1 décroît sans borne.

Technique 3, calculer z' quand z = 1/y. Mini-exercice : y' = 2y − y², y > 0. z' = −y'/y² = −(2y − y²)/y² = −2/y + 1 = −2z + 1. Solutions z = 1/2 + Ce^−2t, donc y = 1/(1/2 + Ce^−2t).

Technique 4, calculer u' quand u = ln(y/K). Mini-exercice : y' = 3y ln(10/y). u' = y'/y = 3 ln(10/y) = −3u. Donc u = u₀e^−3t et y = 10 exp(ln(y₀/10)e^−3t).

Technique 5, vérifier condition initiale et limite. Mini-exercice : on a trouvé y(t) = 200/(2 + 3e^−t) pour une logistique avec y₀ = 40 et K = 100. En t = 0 : 200/5 = 40. En +∞ : 200/2 = 100. Les deux tests passent, la formule est plausible.

Technique 6, temps caractéristique. Mini-exercice : pour y' = 0,05y, temps de doublement ? On résout y₀e^0,05t = 2y₀, soit t = ln 2/0,05 = 20 ln 2 ≈ 13,9. Ce temps ne dépend pas de y₀.

Technique 7, écrire la boucle d'Euler. Mini-exercice : décrire l'algorithme pour y' = y(1 − y), y₀ = 0,1, h = 0,1, dix pas. On initialise une liste avec 0,1. Pour chaque étape, la nouvelle valeur est l'ancienne plus 0,1 fois l'ancienne fois (1 − l'ancienne). Premier pas : 0,1 + 0,1 × 0,1 × 0,9 = 0,109. On renvoie la liste des temps 0, 0,1, jusqu'à 1 et la liste des valeurs.

Technique 8, interpréter les paramètres. Mini-exercice : dans y' = ry(1 − y/K), que représente r ? C'est le taux de croissance par individu quand la population est très petite devant K, puisque F(y)/y tend vers r quand y tend vers 0. K est l'effectif au-delà duquel la population décroît.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

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