Le cours

Résumé en cinq points

Pour les trous d'Young éclairés par une source ponctuelle sur l'axe, $\delta = a x/D$ , $p = \delta/\lambda_0$ et $i = \lambda_0 D/a$ . Les franges ne sont pas localisées.
Les franges sont des hyperboles, rectilignes et perpendiculaires à $S_1S_2$ au centre d'un écran éloigné parallèle au plan des trous.
La diffraction par chaque ouverture module la figure. Les fentes d'Young apportent du flux sans perte de contraste, et le montage de Fraunhofer donne $p = a X/(\lambda_0 f')$ .
Le brouillage s'analyse avec un critère unique : contraste conservé si $\Delta p \ll 1$ sur la source, brouillage pour $\Delta p \approx 1$ . Cela donne $b \approx \lambda_0 d/a$ pour l'élargissement spatial et $\delta \approx \lambda_0^2/\Delta\lambda$ pour l'élargissement spectral.
En lumière blanche, frange centrale blanche, quelques franges irisées, puis blanc d'ordre supérieur. Le spectre observé en un point est cannelé, les cannelures vérifiant $\lambda = \delta/(m + 1/2)$ .

Pourquoi ce chapitre

Les trous d'Young sont le seul interféromètre à division du front d'onde au programme. Sur eux se met en place tout le vocabulaire des interférences :

champ d'interférences ;
différence de marche ;
ordre d'interférences ;
interfrange ;
contraste.

Le dispositif a un avantage pédagogique : il se calcule complètement à partir d'une géométrie élémentaire. Il a aussi un défaut instructif : il exige une source quasi ponctuelle, ce qui le rend peu lumineux. Comprendre pourquoi le contraste se dégrade quand la source s'élargit, spatialement ou spectralement, justifie l'interféromètre de Michelson étudié ensuite. L'énoncé de concours typique part du dispositif-modèle, fait varier un paramètre et demande d'interpréter l'observation.

1Le dispositif-modèle

1.1Description et hypothèses

Une source ponctuelle $S$ , monochromatique de longueur d'onde $\lambda_0$ dans le vide, éclaire un écran opaque percé de deux trous très petits $S_1$ et $S_2$ , distants de $a$ . Tout le montage baigne dans un milieu homogène, transparent, non dispersif, d'indice $n$ , pris égal à 1 pour alléger. On observe sur un écran parallèle au plan des trous, à la distance $D$ de ce plan.

Définition 1.1Dispositif-modèle des trous d'Young

Le dispositif-modèle suppose une source ponctuelle à grande distance finie et une observation à grande distance finie. Concrètement, $a$ est de l'ordre du dixième de millimètre au millimètre et $D$ de l'ordre du mètre, donc $a \ll D$ .

Les deux trous se comportent comme deux sources secondaires. Elles sont cohérentes entre elles, puisqu'elles sont issues du même point source par division du front d'onde : le front d'onde qui arrive sur l'écran percé est découpé en deux morceaux qui poursuivent leur route séparément.

1.2Champ d'interférences

Chaque trou, très petit, diffracte fortement la lumière et produit un cône lumineux large.

Définition 1.2Champ d'interférences

Le champ d'interférences est la région de l'espace où les deux faisceaux diffractés se recouvrent. Il est vaste et situé derrière les trous.

Les franges y existent partout où on met un écran, à des positions qui dépendent de la position de l'écran. On dit que les franges ne sont pas localisées. C'est la signature des dispositifs à division du front d'onde éclairés par une source ponctuelle.

1.3Différence de marche

On repère un point $M$ de l'écran par ses coordonnées $(x, y)$ , l'axe $Ox$ étant parallèle à $S_1S_2$ et l'origine sur la médiatrice de $S_1S_2$ . La source est placée sur l'axe, à égale distance des deux trous, donc $(SS_1) = (SS_2)$ .

Définition 1.3Différence de marche

La différence de marche au point $M$ vaut $\delta(M) = (SS_2M) - (SS_1M) = S_2M - S_1M.$

Propriété 1.4Différence de marche des trous d'Young

Hypothèses

$S_1$ en $x = -a/2$ et $S_2$ en $x = +a/2$ ;
$a \ll D$ et $\abs{x} \ll D$ (conditions de Gauss appliquées à ce montage).

Alors $S_2M^2 - S_1M^2 = -2ax$ et, comme $S_1M + S_2M \approx 2D$ , $\delta(M) = -\frac{a\,x}{D}.$

Le signe dépend de l'orientation choisie et n'a aucune importance physique, seul le module compte. On écrit donc couramment $\delta = a x / D$ .

Géométrie d’Young avec S₁ en −a/2 et S₂ en +a/2.

Pour le point M dessiné au-dessus de O, x est positif et le trajet S₂M est plus court que S₁M : la différence de marche choisie est donc négative. Cela permet de vérifier le signe de la formule avant tout calcul.

1.4Ordre d'interférences

Définition 1.5Ordre d'interférences

L'ordre d'interférences au point $M$ est $p(M) = \frac{\delta(M)}{\lambda_0} = \frac{\Delta\varphi}{2\pi}.$ Il est sans dimension et n'est pas nécessairement entier.

Les franges brillantes correspondent à $p$ entier.
Les franges sombres correspondent à $p$ demi-entier.

L'ordre d'interférences est l'outil de raisonnement central de l'optique de PC : on l'utilise pour discuter les brouillages sans écrire l'intensité.

Propriété 1.6Formule de Fresnel pour deux ondes de même intensité

Hypothèses

deux ondes cohérentes de même intensité $I_0$ ;
dispositif-modèle des trous d'Young.

Alors $I(M) = 4 I_0 \cos^2\!\left(\frac{\pi a x}{\lambda_0 D}\right).$

1.5Forme des franges et interfrange

L'ensemble des points de l'espace tels que $S_2M - S_1M$ est constant est un hyperboloïde de révolution de foyers $S_1$ et $S_2$ , d'axe $S_1S_2$ . Son intersection avec un écran plan perpendiculaire à la médiatrice est une branche d'hyperbole. Près du centre du champ, pour $\abs{x}$ et $\abs{y}$ petits devant $D$ , ces hyperboles sont assimilables à des droites.

Justification directe : $\delta$ ne dépend que de $x$ , à l'ordre considéré, et pas de $y$ . Les franges sont donc des droites parallèles à $Oy$ , c'est-à-dire perpendiculaires à la direction $S_1S_2$ . C'est la formulation demandée par le programme.

Définition 1.7Interfrange

L'interfrange est la distance entre deux franges brillantes consécutives, obtenue en faisant varier $p$ d'une unité : $i = \frac{\lambda_0 D}{a}.$

Intensité réduite des franges d’Young en fonction de x/i.

Deux maxima successifs sont séparés d'une unité sur cet axe réduit, donc d'un interfrange i sur l'écran. Les minima se trouvent à mi-distance : x/i est alors demi-entier. Ce profil suppose deux ondes cohérentes de même intensité et ne représente pas l'enveloppe de diffraction des fentes réelles.

Exemple 1.8Ordre de grandeur de l'interfrange

Avec $a = 0{,}5 \unite{mm}$ , $D = 2{,}0 \unite{m}$ et $\lambda_0 = 600 \unite{nm}$ , on trouve $i = 2{,}4 \unite{mm}$ . Les franges sont visibles à l'œil nu, mais elles nécessitent une source fine et un local sombre.

Schéma décrit en mots : à gauche un point source, puis un écran percé de deux petits trous alignés verticalement et séparés de $a$ , puis deux cônes lumineux qui se recouvrent, enfin l'écran d'observation portant des franges rectilignes horizontales également espacées de $i$ , la frange centrale brillante étant sur la médiatrice.

1.6Effet d'un décalage de la source

Si la source est déplacée latéralement d'une distance $X_s$ dans le plan parallèle au plan des trous, à la distance $d$ en amont, elle introduit une différence de marche supplémentaire en amont des trous.

Propriété 1.9Décalage de la source

En reprenant le même calcul, $\delta = \frac{a X_s}{d} + \frac{a x}{D}.$ Le système de franges est simplement translaté, sans changement d'interfrange ni de contraste.

Ce résultat est la clé du paragraphe sur l'élargissement spatial.

2Du dispositif-modèle au dispositif réel

2.1Effet de la diffraction

Un trou réel a un diamètre fini. La lumière qui le traverse est diffractée dans un cône d'ouverture angulaire de l'ordre de $\lambda_0/d_{\text{trou}}$ . L'intensité observée n'est donc pas uniforme : elle est modulée par la figure de diffraction d'un trou, qui joue le rôle d'enveloppe. Le système d'interférences reste inchangé en position, mais il n'est visible que dans la zone où l'enveloppe de diffraction est notable.

RemarqueCompromis expérimental

Un trou très petit diffracte beaucoup, donc le champ d'interférences est large, mais il laisse passer très peu de lumière. Un trou plus grand est plus lumineux, mais le champ se rétrécit, et le trou cesse de se comporter comme une source secondaire ponctuelle.

2.2Fentes d'Young

On remplace chaque trou par une fente fine, longue, parallèle à l'autre et perpendiculaire à la direction $S_1S_2$ . La source ponctuelle est remplacée par une fente source parallèle aux deux fentes.

Intérêt pratique : chaque point de la fente source est à la même distance de l'axe dans la direction des fentes, donc il donne le même système de franges, sans décalage dans la direction perpendiculaire aux franges. Les contributions des différents points de la fente source s'ajoutent en intensité et se superposent exactement. On gagne du flux lumineux sans perdre de contraste. Avec un trou source, allonger la source dans la direction perpendiculaire aux franges décalerait les systèmes et brouillerait la figure.

AttentionParallélisme des fentes

Le dispositif est sensible au parallélisme. Si la fente source n'est pas parallèle aux fentes d'Young, les systèmes se décalent et le contraste chute. C'est la première chose à régler en travaux pratiques.

Remarque

Le programme précise que les fentes d'Young sont abordées de manière exclusivement expérimentale.

2.3Montage de Fraunhofer

Dans le montage de Fraunhofer, la source ponctuelle est placée au foyer objet d'une première lentille convergente, ce qui envoie sur les fentes une onde plane. L'observation se fait dans le plan focal image d'une seconde lentille convergente de distance focale $f'$ , ce qui revient à observer à l'infini.

Tous les rayons qui arrivent en un point $M$ du plan focal image, repéré par $X$ , sont parallèles avant la lentille et font avec l'axe l'angle $\theta \approx X/f'$ .

Propriété 2.1Ordre d'interférences en configuration de Fraunhofer

La différence de marche entre les deux fentes est la projection de $S_1S_2$ sur la direction d'émergence : $\delta = a \sin\theta \approx \frac{a X}{f'}.$ L'ordre d'interférences vaut $p = \frac{a X}{\lambda_0 f'}.$

L'interfrange vaut $i = \lambda_0 f'/a$ . On retrouve la même structure que dans le dispositif-modèle, avec $f'$ à la place de $D$ .

Avantages du montage de Fraunhofer :

la position des franges ne dépend plus de la distance entre les fentes et l'écran, seulement de $f'$ ;
le réglage est reproductible et le montage est lumineux ;
c'est le montage naturel pour le réseau.

3Pertes de contraste

3.1Le critère semi-quantitatif de brouillage

Les deux paragraphes qui suivent s'appuient sur un raisonnement unique. Une source réelle est une somme de sources élémentaires mutuellement incohérentes, chacune donnant son propre système de franges. Les intensités de ces systèmes s'ajoutent. Si tous ces systèmes sont superposés, le contraste est conservé. S'ils sont décalés les uns par rapport aux autres, ils se recouvrent partiellement et le contraste chute.

MéthodeCritère semi-quantitatif de brouillage

Calculer la variation $\Delta p$ de l'ordre d'interférences en un point donné, quand on parcourt toute la source, spatialement ou spectralement.
Si $\Delta p \ll 1$ , les systèmes sont pratiquement confondus : le contraste reste bon.
Si $\Delta p \approx 1$ ou davantage, les franges brillantes des uns tombent sur les franges sombres des autres : le contraste s'effondre, les franges sont brouillées.

Ce critère donne le seuil, pas la valeur exacte du contraste, et le programme n'en demande pas plus.

3.2Élargissement spatial de la source

On remplace la source ponctuelle par une source de largeur $b$ , à la distance $d$ en amont du plan des trous. D'après le décalage de la source, un point source décalé de $X_s$ décale l'ordre d'interférences de $a X_s/(\lambda_0 d)$ .

Propriété 3.1Brouillage par élargissement spatial

En parcourant toute la source, $\Delta p = \frac{a\,b}{\lambda_0\, d}.$ Le brouillage survient pour $b$ de l'ordre de $\lambda_0 d/a$ .

Exemple 3.2Largeur limite de la source

Avec $a = 0{,}5 \unite{mm}$ , $d = 0{,}50 \unite{m}$ et $\lambda_0 = 600 \unite{nm}$ , la largeur limite est de l'ordre de $0{,}6 \unite{mm}$ .

On retiendra qu'il faut une source très fine, ce qui explique la faible luminosité du dispositif. C'est précisément ce défaut que l'interféromètre de Michelson corrige, en offrant des configurations où une source étendue n'entraîne aucun brouillage.

3.3Élargissement spectral de la source

La position des franges dépend de $\lambda_0$ , puisque $p = \delta/\lambda_0$ . À différence de marche fixée, deux longueurs d'onde donnent deux ordres différents.

Propriété 3.3Cas du doublet

Hypothèses

deux raies $\lambda_1$ et $\lambda_2 = \lambda_1 + \Delta\lambda$ de même intensité.

Alors l'écart d'ordre en un point vaut $\Delta p = \frac{\delta\,\Delta\lambda}{\lambda_0^2} = \frac{p\,\Delta\lambda}{\lambda_0}.$ Le brouillage survient pour $\Delta p = 1/2$ , quand les franges brillantes d'un système coïncident avec les franges sombres de l'autre. Le contraste redevient maximal pour $\Delta p$ entier : les brouillages sont périodiques quand on augmente la différence de marche.

Propriété 3.4Spectre continu de largeur Δλ

Le brouillage définitif survient pour $\Delta p \approx 1$ , soit $\delta \approx \frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda} = L_c.$

On retrouve la longueur de cohérence temporelle du chapitre précédent. En termes de trains d'ondes, on n'observe plus d'interférences lorsque la différence de marche dépasse la longueur d'un train d'ondes, car les deux ondes qui se recombinent proviennent alors de trains différents, donc incohérents.

À retenir

$L_c \approx \lambda_0^2/\Delta\lambda$ , et le nombre de franges observables est de l'ordre de $L_c/\lambda_0 \approx \lambda_0/\Delta\lambda$ .

3.4Observations en lumière blanche

En lumière blanche, $\Delta\lambda$ est de l'ordre de $300 \unite{nm}$ pour $\lambda_0 \approx 600 \unite{nm}$ , donc seules quelques franges sont visibles autour de $\delta = 0$ .

Frange centrale : pour $\delta = 0$ , toutes les longueurs d'onde sont en phase, la frange centrale est blanche. C'est le repère qui permet d'identifier le contact optique.
Franges irisées : pour les premiers ordres, les maxima des différentes couleurs sont légèrement décalés, les franges apparaissent colorées.
Blanc d'ordre supérieur : au-delà de quelques ordres, un très grand nombre de longueurs d'onde se superposent avec des états d'interférences variés. L'œil perçoit une teinte blanchâtre, qui n'est pas le blanc de la source puisqu'il lui manque des longueurs d'onde.
Spectre cannelé : analysée au spectroscope en un point de différence de marche $\delta$ , la lumière reçue manque de certaines longueurs d'onde.

Propriété 3.5Cannelures du spectre

Les longueurs d'onde manquantes sont celles pour lesquelles les interférences sont destructives, $\delta = (m + 1/2)\lambda$ , soit $\lambda_m = \frac{\delta}{m + 1/2}, \quad m \text{ entier}.$ Le spectre présente des bandes noires appelées cannelures. Savoir les déterminer est une capacité exigible.

Réciproquement, mesurer les longueurs d'onde de deux cannelures voisines permet de remonter à $\delta$ . Si $\lambda_m$ et $\lambda_{m+1}$ sont deux cannelures consécutives, on élimine $m$ entre les deux relations : $\delta = \frac{\lambda_m \lambda_{m+1}}{\lambda_m - \lambda_{m+1}}.$

Exemple 3.6Cannelures pour δ = 12 µm

Les cannelures dans le visible correspondent à $m$ tel que $\lambda_m$ soit entre $400$ et $800 \unite{nm}$ , soit $m$ entre environ 14 et 29. Il y a une quinzaine de cannelures, et le spectre apparaît finement strié.

Méthodes

MéthodeMener un calcul sur les trous d'Young

Commencer par un schéma avec les notations $a$ , $D$ , $x$ , puis calculer $\delta$ . Tout le reste en découle.
Ne jamais calculer une intensité quand la question porte sur un brouillage : raisonner uniquement sur la variation de l'ordre d'interférences.
Pour un décalage de la source, se souvenir que la différence de marche a deux contributions, l'une en amont des trous, l'autre en aval.
Pour la lumière blanche, séparer deux questions : ce que voit l'œil sur l'écran, et ce que voit un spectroscope en un point donné.
Vérifier l'homogénéité et l'ordre de grandeur d'un interfrange : quelques millimètres pour un montage courant, sinon il y a une erreur.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir $\delta = a x/D$ pour les trous d'Young et préciser les approximations utilisées.
Définir l'ordre d'interférences et en déduire la position des franges et l'interfrange.
Justifier que les franges sont des hyperboles, assimilables à des droites au centre du champ.
Expliquer pourquoi le dispositif des fentes d'Young est plus lumineux que celui des trous, sans perte de contraste.
Établir $p = a X/(\lambda_0 f')$ en configuration de Fraunhofer.
Appliquer le critère de brouillage à une source de largeur $b$ et en déduire la largeur limite.
Relier longueur de cohérence, largeur spectrale et longueur d'onde, et en déduire le nombre de franges visibles.
Déterminer les longueurs d'onde des cannelures pour une différence de marche donnée.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Différence de marche du dispositif-modèle. δ(M) = ax/D pour une source ponctuelle sur l'axe, a ≪ D et |x| ≪ D, milieu d'indice 1. Exigible avec démonstration.
Ordre d'interférences. p = δ/λ₀ = Δφ/2π, entier sur une frange brillante, demi-entier sur une frange sombre. Définition exigible, outil central.
Interfrange. i = λ₀D/a, quelques millimètres pour un montage courant. Exigible avec démonstration.
Forme des franges. Hyperboles, assimilables à des droites perpendiculaires à S₁S₂ au centre d'un écran éloigné parallèle au plan des trous. Exigible avec justification.
Franges non localisées. Elles existent dans tout le champ de recouvrement des faisceaux diffractés. Exigible.
Décalage de la source. δ = aX_s/d + ax/D, le système de franges est translaté sans changement d'interfrange. Exigible avec démonstration, clé du brouillage spatial.
Effet de la diffraction. La figure est modulée par l'enveloppe de diffraction de chaque trou, de demi-ouverture angulaire de l'ordre de λ₀/d_trou. Exigible qualitativement.
Fentes d'Young. Plus lumineuses que les trous sans perte de contraste, à condition que fente source et fentes soient parallèles. Exigible, abordé expérimentalement.
Montage de Fraunhofer. p = aX/(λ₀f'), interfrange λ₀f'/a. Exigible avec démonstration.
Critère de brouillage. Variation Δp de l'ordre en un point quand on parcourt la source. Contraste conservé si Δp ≪ 1, brouillage pour Δp ≈ 1. Exigible, semi-quantitatif.
Élargissement spatial. Δp = ab/(λ₀d), brouillage pour b ≈ λ₀d/a. Exigible.
Élargissement spectral. Δp = pΔλ/λ₀, doublet brouillé pour Δp = ½ et rétabli pour Δp entier, spectre continu brouillé définitivement pour δ ≈ λ₀²/Δλ = L_c. Exigible.
Lumière blanche. Frange centrale blanche, franges irisées, blanc d'ordre supérieur, spectre cannelé avec λ_m = δ/(m + ½). Exigible, détermination des cannelures.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : calcul du contraste en fonction de la largeur de source, tout autre dispositif à division du front d'onde, miroirs de Fresnel, biprisme, miroir de Lloyd. Ils se traitent avec les mêmes outils mais ne sont pas exigibles.

Clés de démonstration

δ = ax/D. Écrire S₂M² − S₁M² = (x − a/2)² − (x + a/2)² = − 2ax, puis factoriser en (S₂M − S₁M)(S₂M + S₁M) et remplacer la somme par 2D. L'astuce est la différence de deux carrés, qui évite tout développement limité de racine.

Forme des franges. S₂M − S₁M constant définit un hyperboloïde de foyers S₁ et S₂. L'écran parallèle au plan des trous le coupe selon des hyperboles, dont la partie centrale est rectiligne puisque δ ne dépend pas de y au premier ordre. L'astuce est de constater que le calcul de δ ne fait pas intervenir y.

Décalage de la source. Même calcul en amont des trous, avec d à la place de D et X_s à la place de x. Les deux contributions s'ajoutent car les trajets sont composés de deux tronçons indépendants. L'astuce est la symétrie amont-aval du dispositif.

Fraunhofer. Onde plane incidente, surfaces d'onde parallèles au plan des fentes, donc pas de différence de marche en amont. En aval, les rayons qui convergent en un point du plan focal sont parallèles, la différence de marche est la projection de S₁S₂ sur leur direction, a sin θ ≈ aX/f'. L'astuce est Malus, appliqué au plan d'onde incident et à la lentille de sortie.

Critère de brouillage. Décomposer la source en points ou en longueurs d'onde incohérents entre eux, additionner les intensités des systèmes de franges, constater qu'ils se superposent si leurs ordres coïncident et se compensent s'ils diffèrent d'une demi-unité. L'astuce est de ne jamais calculer une intensité, seulement un écart d'ordre.

Cannelures. En un point où δ est fixé, une longueur d'onde est éteinte si δ/λ est demi-entier. L'astuce est d'inverser la relation en λ et de ne garder que les m qui placent λ dans le visible.

Exemples et contre-exemples à connaître

Montage de référence, a = 0,5 mm, D = 2 m, λ₀ = 600 nm, i = 2,4 mm. Sert de contrôle d'ordre de grandeur pour tout calcul.
Lame de verre sur un trou. Le système entier se translate vers le trou couvert, d'un nombre d'interfranges égal à (n − 1)e/λ₀. Exemple type de la question « que voit-on ».
Source déplacée latéralement. Translation des franges dans le sens opposé, sans changement d'interfrange ni de contraste. Contre-exemple à « une source décalée brouille ».
Source élargie dans la direction des trous. Brouillage dès que b ≈ λ₀d/a, quelques dixièmes de millimètre. Explique la faible luminosité du dispositif.
Source élargie dans la direction perpendiculaire à S₁S₂. Aucun brouillage, c'est le principe des fentes d'Young. Contre-exemple à « toute source étendue brouille ».
Doublet du sodium. Contraste périodique en fonction de la différence de marche, annulé pour δ = λ₀²/(2Δλ) ≈ 0,29 mm, rétabli pour le double.
Lumière blanche. Frange centrale blanche, deux ou trois franges colorées de chaque côté, puis blanc d'ordre supérieur. Le spectroscope y révèle des cannelures.
Immersion du dispositif dans l'eau. δ devient n ax/D, l'interfrange est divisé par n. La longueur d'onde dans le vide reste au dénominateur de p.
Trous de diamètre 0,1 mm. Le champ de diffraction sur l'écran à 2 m mesure environ 2 cm, seules quelques franges sont visibles.

Techniques du chapitre

Commencer par δ. Schéma avec a, D, x, puis δ = ax/D avec le signe fixé par l'orientation. Mini-exercice : a = 1 mm, D = 1 m, x = 3 mm, δ = 3 µm, p = 5 à 600 nm, frange brillante.

Raisonner en ordre d'interférences. Compter les franges par les entiers que traverse p. Mini-exercice : entre x = 0 et x = 10 mm avec i = 2,4 mm, p va de 0 à 4,17, on traverse quatre franges brillantes après la centrale.

Ajouter les contributions à δ. Lame, source décalée, milieu d'indice, chaque terme se somme algébriquement. Mini-exercice : lame (n − 1)e = 3 µm sur S₁ et point x, δ = ax/D − 3 µm, frange centrale déplacée de 3 µm × D/a.

Traduire un critère de brouillage en Δp. Écrire p en fonction du paramètre qui varie, différencier. Mini-exercice : p = ax/(λ₀D), source décalée de X_s à distance d, Δp = aX_s/(λ₀d), brouillage pour une largeur b = λ₀d/a.

Fraunhofer en angles. Un point du plan focal correspond à une direction, δ = a sin θ ≈ aX/f'. Mini-exercice : a = 0,2 mm, f' = 50 cm, λ₀ = 633 nm, i = λ₀f'/a = 1,58 mm.

Cannelures par encadrement. λ = δ/(m + ½) doit rester dans le visible. Mini-exercice : δ = 2 µm, m + ½ entre 2,5 et 5, soit m = 2, 3, 4, cannelures à 800, 571 et 444 nm.

Enveloppe de diffraction. Largeur du champ éclairé ≈ 2λ₀D/d_trou, nombre de franges visibles ≈ largeur/i. Mini-exercice : d_trou = 0,1 mm, D = 2 m, λ₀ = 600 nm, champ 2,4 cm, i = 2,4 mm, environ dix franges.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Mesure d'une longueur d'onde

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Trous distants de a = 0,30 mm, écran à D = 1,50 m. On mesure 29,5 mm entre onze franges brillantes consécutives. Longueur d'onde. Incertitude si a est connu à 2 % et la mesure à 0,5 mm.

Technique i = λ₀D/a inversée.

Voir le corrigé

Onze franges brillantes délimitent dix interfranges, i = 2,95 mm.
λ₀ = ia/D = 2,95 × 10⁻³ × 0,30 × 10⁻³/1,50 = 5,9 × 10⁻⁷ m = 590 nm.
Incertitude relative, 2 % sur a, 0,5/29,5 ≈ 1,7 % sur i, environ 3 % au total par somme quadratique, soit 590 ± 20 nm.
Mesurer plusieurs interfranges à la fois réduit l'incertitude relative sur i.

piège : Diviser 29,5 mm par onze. Compter les intervalles, pas les franges.

Exercice 2. Lame de verre devant un trou

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dispositif a = 0,5 mm, D = 2,0 m, λ₀ = 600 nm. On place devant S₁ une lame d'épaisseur e = 10 µm et d'indice 1,5. Où est la nouvelle frange centrale ? De combien de franges le système a-t-il glissé ?

Technique Ajouter (n − 1)e au chemin optique par S₁.

Voir le corrigé

δ = (SS₂M) − (SS₁M) = S₂M − S₁M − (n − 1)e = − ax/D − (n − 1)e avec S₁ du côté x < 0.
δ = 0 pour x₀ = − (n − 1)eD/a = − 5 × 10⁻⁶ × 2/(5 × 10⁻⁴) = − 2,0 cm.
Déplacement vers le trou couvert, car l'onde issue de S₁ est retardée et le point d'égalité des chemins doit se rapprocher de S₁.
Nombre d'interfranges (n − 1)e/λ₀ = 8,3, cohérent avec 2,0 cm/2,4 mm.
En lumière blanche, la frange blanche se déplace de 2 cm, ce qui permet de mesurer e ou n. En lumière monochromatique, on ne voit qu'un glissement modulo une frange.

piège : Déplacer le système du côté opposé à la lame. Le chemin par S₁ est allongé, la frange centrale se rapproche de S₁.

Exercice 3. Dispositif immergé

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Le dispositif précédent, sans lame, est plongé dans l'eau d'indice 1,33. Nouvel interfrange. Que devient l'ordre d'interférences en un point donné ?

Technique Chemin optique avec indice, λ₀ au dénominateur.

Voir le corrigé

δ = n(S₂M − S₁M) = nax/D.
p = nax/(λ₀D), l'ordre en un point est multiplié par n.
i = λ₀D/(na) = 2,4/1,33 = 1,8 mm, les franges se resserrent.
Interprétation, la longueur d'onde dans l'eau est λ₀/n, tout se passe comme si la source était plus bleue.

piège : Diviser δ par λ₀/n après avoir mis n dans le chemin optique, ce qui compte l'indice deux fois.

Exercice 4. Source décalée, source élargie

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Source ponctuelle à d = 50 cm en amont, a = 0,5 mm, D = 2,0 m, λ₀ = 600 nm. On déplace la source de X_s = 1 mm parallèlement à S₁S₂. Déplacement des franges. On remplace ensuite la source par une fente de largeur b parallèle à Oy, puis à Ox. Largeur maximale acceptable.

Technique δ à deux contributions, puis critère Δp.

Voir le corrigé

δ = aX_s/d + ax/D. Frange centrale en x₀ = − X_sD/d = − 4 mm, le système glisse de 4 mm sans changer d'interfrange.
Fente parallèle à Oy, chaque point de la fente est à X_s = 0, tous les systèmes coïncident, aucune limite de largeur, c'est le principe des fentes d'Young.
Fente parallèle à Ox, les points source vont de − b/2 à b/2, Δp = ab/(λ₀d).
Brouillage pour Δp ≈ 1, b_max ≈ λ₀d/a = 0,6 mm. Un bon contraste demande b nettement plus petit, par exemple 0,1 mm.

piège : Utiliser D au lieu de d dans le terme de source. La source est à d en amont, l'écran à D en aval.

Exercice 5. Doublet du sodium

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Source au sodium, raies 589,0 et 589,6 nm de même intensité, a = 2,0 mm, D = 1,0 m. Décrire le contraste en fonction de x. Position du premier brouillage et de la première remise en phase.

Technique Écart d'ordre entre les deux raies.

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Interfrange moyen i = 589,3 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻³) = 0,295 mm.
En x, les ordres valent p₁ = δ/λ₁ et p₂ = δ/λ₂, écart Δp = δΔλ/λ₀² avec Δλ = 0,6 nm.
Brouillage total quand Δp = ½, les franges brillantes de l'une tombent sur les sombres de l'autre. δ₁ = λ₀²/(2Δλ) = 0,289 mm, soit x₁ = δ₁D/a = 14,5 cm et p₁ ≈ 490.
Retour au contraste maximal pour Δp = 1, x₂ = 29 cm. Le contraste oscille avec une période de 29 cm sur l'écran.
Un écran de 10 cm de large montre donc des franges bien contrastées, la première extinction est hors champ.

piège : Confondre ce brouillage périodique avec la perte de cohérence temporelle de chaque raie, qui n'intervient qu'à δ ≈ λ₀²/Δλ_raie, soit plusieurs centimètres.

Exercice 6. Spectre cannelé

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Lumière blanche de 400 à 800 nm, a = 0,5 mm, D = 1,0 m. Au point x = 5,0 mm, on analyse la lumière au spectroscope. Longueurs d'onde des cannelures. Réciproquement, deux cannelures voisines sont mesurées à 714 et 556 nm, retrouver δ.

Technique λ_m = δ/(m + ½) encadré dans le visible.

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δ = ax/D = 2,5 µm.
Extinction pour δ = (m + ½)λ, soit m + ½ = 2 500/λ en nanomètres, entre 3,125 et 6,25. Donc m = 3, 4, 5.
Cannelures à 2 500/3,5 = 714 nm, 2 500/4,5 = 556 nm, 2 500/5,5 = 455 nm. Trois bandes noires.
Réciproque, δ = λ_m λ_m+1/(λ_m − λ_m+1) = 714 × 556/158 = 2 510 nm, cohérent.
Plus x augmente, plus les cannelures sont nombreuses et serrées, l'œil ne voit qu'un blanc d'ordre supérieur alors que le spectroscope voit encore la structure.

piège : Oublier d'encadrer m. Une cannelure calculée à 385 nm n'est pas dans le visible et ne se voit pas.

Exercice 7. Fentes d'Young en montage de Fraunhofer

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Fentes distantes de a = 0,20 mm, lentille de projection f' = 50 cm, laser à 633 nm. Interfrange dans le plan focal. On incline ensuite le faisceau incident d'un angle θ₀ = 1,0 × 10⁻³ rad dans le plan perpendiculaire aux fentes. Que devient la figure ?

Technique δ par double projection, en amont et en aval.

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En aval, δ = a sin θ ≈ aX/f'. p = aX/(λ₀f'), i = λ₀f'/a = 1,58 mm.
Rayons à tracer, ceux qui convergent en un point du plan focal sont parallèles entre eux avant la lentille, c'est la construction que les rapports de jury reprochent souvent de ne pas savoir faire.
En amont, l'onde plane inclinée arrive sur S₂ avec une avance a sin θ₀ par rapport à S₁, donc δ = a(sin θ − sin θ₀).
Frange centrale pour θ = θ₀, soit X₀ = f'θ₀ = 0,5 mm. La figure se translate d'un tiers d'interfrange, sans déformation.
Ce résultat est exactement la formule des réseaux avec N = 2.

piège : Chercher une différence de marche en amont quand l'onde incidente est normale. Un plan d'onde parallèle aux fentes n'en introduit aucune.

Exercice 8. Effet de la diffraction

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Trous de diamètre d_t = 0,10 mm, a = 0,5 mm, D = 2,0 m, λ₀ = 600 nm. Largeur de la zone éclairée sur l'écran, nombre de franges visibles. Que faire pour en voir davantage, et à quel prix ?

Technique Ouverture angulaire de diffraction λ₀/d_t.

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Chaque trou diffracte dans un cône de demi-angle de l'ordre de λ₀/d_t = 6 × 10⁻³ rad.
Sur l'écran, la tache a un diamètre de l'ordre de 2λ₀D/d_t = 2,4 cm.
Interfrange 2,4 mm, donc une dizaine de franges visibles, modulées par l'enveloppe de diffraction, plus sombres vers les bords.
Diviser d_t par deux double la largeur du champ, mais le flux traversant chaque trou est divisé par quatre. C'est le compromis qui pousse vers les fentes.

piège : Croire que la diffraction change la position ou l'interfrange. Elle ne fait que moduler l'intensité.

Exercice 9. Source à deux points incohérents

Approfondissement · Type écrit Centrale

La source est formée de deux points incohérents de même intensité, séparés de b parallèlement à S₁S₂, à d en amont. Exprimer l'intensité sur l'écran et le contraste. Pour quelle valeur de b le contraste s'annule-t-il ?

Technique Additivité des intensités de deux systèmes décalés.

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Chaque point donne 4I₀cos²(πp) avec son propre ordre, p et p + Δp, où Δp = ab/(λ₀d).
I = 4I₀[cos²(πp) + cos²(π(p + Δp))] = 4I₀[1 + cos(πΔp) cos(2πp + πΔp)], par la formule cos²A + cos²B = 1 + cos(A + B)cos(A − B).
Contraste C = |cos(πΔp)|. Il vaut 1 pour Δp entier, 0 pour Δp demi-entier.
Première annulation pour Δp = ½, soit b = λ₀d/(2a). C'est le critère semi-quantitatif rendu exact pour cette source particulière.
Pour une fente continue de largeur b, le programme n'exige que le critère Δp ≈ 1, le calcul exact du contraste est hors programme.

piège : Additionner les amplitudes des deux points source. Ils sont incohérents, on additionne les intensités.

Exercice 10. Anneaux sur un écran perpendiculaire à S₁S₂

Approfondissement · Type oral Mines

Les deux trous sont maintenant alignés sur l'axe Oz, en z = ± a/2, et l'écran est le plan z = D perpendiculaire à cet axe. Un point M de l'écran est repéré par sa distance ρ à l'axe. Différence de marche pour ρ ≪ D, forme des franges, rayon des premiers anneaux. Cet écran n'est pas celui du programme, on utilise seulement le calcul de δ.

Technique Développement de la distance à l'ordre ρ²/D².

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S₂M − S₁M ≈ a cos α où α est l'angle de S₁S₂ avec la direction du point M, soit δ ≈ a(1 − ρ²/(2D²)).
δ ne dépend que de ρ, les franges sont des anneaux centrés sur l'axe. Ce sont les sections des hyperboloïdes par un plan perpendiculaire à leur axe.
Au centre, p₀ = a/λ₀, non entier en général. Le premier anneau brillant correspond au premier entier inférieur à p₀, l'ordre décroît en s'éloignant.
Anneau d'ordre p₀ − k, ρ_k = D √(2kλ₀/a) à un décalage près lié à la partie fractionnaire de p₀. Les rayons croissent en √k, les anneaux se resserrent vers l'extérieur.
Pour a = 1 mm, D = 1 m, λ₀ = 600 nm, ρ₁ ≈ 3,5 cm. Structure identique aux anneaux d'égale inclinaison du Michelson étudiés ensuite.

piège : Écrire δ = ax/D par réflexe. La formule dépend de la géométrie, seul le calcul de δ est universel.

Erreurs fréquentes

Compter les franges au lieu des interfranges lors d'une mesure.
Oublier l'une des deux contributions à δ, celle de la source en amont ou celle du point d'observation en aval.
Traiter un brouillage en calculant une intensité. Le programme demande un raisonnement sur Δp, plus court et plus sûr.
Attribuer à la diffraction un changement d'interfrange. Elle module l'enveloppe et rien d'autre.
Confondre ce que voit l'œil sur l'écran, blanc d'ordre supérieur, et ce que voit le spectroscope en un point, spectre cannelé.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PC (arrêté du 5 janvier 2021, applicable à la rentrée 2022), partie « 1. Optique », paragraphe « 1.3. Exemple de dispositif interférentiel par division du front d'onde : trous d'Young ». Elle traite le dispositif-modèle, le passage au dispositif réel avec les fentes d'Young et le montage de Fraunhofer, puis les pertes de contraste et les observations en lumière blanche.

Trous d'Young

Résumé en cinq points

1Le dispositif-modèle

1.1Description et hypothèses

1.2Champ d'interférences

1.3Différence de marche

1.4Ordre d'interférences

1.5Forme des franges et interfrange

1.6Effet d'un décalage de la source

2Du dispositif-modèle au dispositif réel

2.1Effet de la diffraction

2.2Fentes d'Young

2.3Montage de Fraunhofer

3Pertes de contraste

3.1Le critère semi-quantitatif de brouillage

3.2Élargissement spatial de la source

3.3Élargissement spectral de la source

3.4Observations en lumière blanche

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Mesure d'une longueur d'onde

Exercice 2. Lame de verre devant un trou

Exercice 3. Dispositif immergé

Exercice 4. Source décalée, source élargie

Exercice 5. Doublet du sodium

Exercice 6. Spectre cannelé

Exercice 7. Fentes d'Young en montage de Fraunhofer

Exercice 8. Effet de la diffraction

Exercice 9. Source à deux points incohérents

Exercice 10. Anneaux sur un écran perpendiculaire à S₁S₂

Erreurs fréquentes