Interféromètre de Michelson

Résumé en cinq points

1Description et schéma équivalent

1.1L'appareil

L'interféromètre comporte :

• une lame séparatrice semi-réfléchissante inclinée à 45 degrés sur le faisceau incident ;
• deux miroirs plans $M_1$ et $M_2$, orthogonaux entre eux au réglage de base.

$M_1$ est fixe en translation dans certains modèles, $M_2$ est monté sur un chariot dont on lit le déplacement au micromètre. Trois vis permettent d'orienter les miroirs.

Un faisceau issu de la source frappe la séparatrice. Une partie de son amplitude est réfléchie vers $M_1$, l'autre est transmise vers $M_2$. Chaque faisceau revient sur la séparatrice, qui les recombine vers la sortie.

Sur l'appareil réel, une lame compensatrice, identique à la séparatrice et parallèle à elle, est placée dans l'un des bras pour que les deux ondes traversent la même épaisseur de verre. Le programme s'en affranchit en supposant la séparatrice d'épaisseur négligeable.

1.2Schéma équivalent

Pour raisonner, on remplace le montage replié par un montage déplié. On note $M_2'$ l'image du miroir $M_2$ par la séparatrice. Le trajet réel dans le bras 2 a exactement le même chemin optique que le trajet fictif qui irait directement de la source à $M_2'$ puis à la sortie.

Tout se passe comme si la lumière se réfléchissait sur les deux surfaces $M_1$ et $M_2'$, qui délimitent une lame d'air. Deux cas se présentent :

• $M_1$ et $M_2'$ parallèles, séparés de $e$ : c'est la configuration lame d'air, ou lame à faces parallèles, d'épaisseur uniforme $e$ ;
• $M_1$ et $M_2'$ formant un petit angle $\alpha$ : c'est la configuration coin d'air, d'épaisseur variable $e(x) = \alpha x$ en comptant $x$ depuis l'arête.

Schéma décrit en mots. Dessiner la source à gauche, la séparatrice inclinée à 45 degrés au centre, $M_1$ en haut, $M_2$ à droite, la sortie vers le bas. À côté, le schéma déplié : deux traits horizontaux séparés de $e$, avec un rayon qui rebondit entre eux, et l'observation vers le bas.

2Configuration lame d'air

2.1Différence de marche

La source est spatialement étendue et quasi monochromatique. Un rayon issu d'un point source arrive sur la lame d'air équivalente sous l'incidence $i$. Il donne deux rayons, l'un réfléchi sur $M_1$, l'autre sur $M_2'$, qui ressortent parallèles entre eux.

Calcul de la différence de marche. Soit $I$ le point d'impact sur la première surface, $J$ le point d'impact sur la seconde et $K$ le point où le rayon réfléchi sur la première surface est rejoint par le second. Le surplus de chemin parcouru vaut $n(IJ + JK) - n\,IH$, où $H$ est le pied de la perpendiculaire abaissée du point de sortie. Avec $n = 1$ pour l'air, $IJ = JK = e/\cos i$ et la projection donne $IH = 2e \tan i \sin i$.

C'est le résultat exigible. Il ne dépend que de l'épaisseur $e$, de l'angle d'incidence $i$ et de la longueur d'onde. En particulier, il ne dépend pas du point de la source dont provient le rayon, ni du point de la lame où le rayon arrive.

2.2Localisation des franges, franges d'égale inclinaison

Puisque $p$ ne dépend que de $i$, tous les rayons qui sortent de l'interféromètre avec la même inclinaison portent le même ordre d'interférences, quelle que soit leur origine dans la source. Il faut donc les rassembler en un même point d'observation, ce qui se fait à l'infini, c'est-à-dire dans le plan focal image d'une lentille convergente, ou avec l'œil accommodant à l'infini.

C'est l'avantage recherché, impossible à obtenir avec les trous d'Young.

Les franges, lieux des points d'égale inclinaison, sont des anneaux concentriques centrés sur le foyer image correspondant à l'incidence nulle. On les appelle franges d'égale inclinaison, ou anneaux d'égale inclinaison.

2.3Lecture des anneaux

L'ordre est maximal au centre, où $i = 0$, et vaut $p_0 = 2e/\lambda_0$. Il décroît quand on s'éloigne du centre, car $\cos i$ décroît. Le rayon d'un anneau dans le plan focal d'une lentille de focale $f'$ vaut $r = f' \tan i \approx f' i$.

Pour les petits angles, $\cos i \approx 1 - i^2/2$, donc $$p \approx \frac{2e}{\lambda_0}\left(1 - \frac{i^2}{2}\right).$$ Deux conséquences pratiques :

• les anneaux se resserrent quand on s'éloigne du centre, puisque l'ordre varie comme le carré du rayon ;
• le rayon du $k$-ième anneau à partir du centre varie comme $\sqrt{k}$.

Quand on diminue $e$ en déplaçant le chariot, l'ordre au centre diminue, les anneaux rentrent vers le centre et disparaissent un par un. Chaque anneau qui disparaît correspond à une diminution de $e$ d'une demi-longueur d'onde. Au contact optique, $e = 0$, l'ordre vaut 0 partout, le champ est uniformément éclairé : c'est la teinte plate. La reconnaître est le repère fondamental du réglage.

2.4Mise en œuvre expérimentale

Conditions d'éclairage et d'observation en lame d'air, à savoir décrire et réaliser :

• source étendue et brillante, par exemple une lampe spectrale au mercure ou au sodium, suivie d'un dépoli, éventuellement d'un condenseur pour élargir le cône d'incidence ;
• ne pas mettre de lentille formant une image de la source dans l'interféromètre, on veut au contraire un large éventail d'incidences ;
• en sortie, lentille convergente et écran placé dans son plan focal image, ou observation directe à l'œil accommodant à l'infini ;
• réglage des anneaux par les vis de rotation du miroir, jusqu'à ce que les anneaux restent centrés quand on déplace l'œil latéralement : c'est le test du parallélisme.

3Configuration coin d'air

3.1Différence de marche et franges d'égale épaisseur

On incline légèrement l'un des miroirs d'un angle $\alpha$, de l'ordre de quelques minutes d'arc. L'épaisseur de la lame équivalente devient $e(x) = \alpha x$.

Les franges sont les lieux d'égale épaisseur, c'est-à-dire des droites parallèles à l'arête du coin. On les appelle franges d'égale épaisseur.

3.2Localisation

Ici la différence de marche dépend du point $x$ de la lame, et non plus de l'inclinaison, à condition de rester en incidence quasi normale. Le lieu de localisation des franges, admis, est le voisinage des miroirs, plus précisément la surface du coin d'air équivalent.

Conditions d'observation, à savoir justifier :

• limiter l'étendue angulaire du faisceau, sans quoi la dépendance résiduelle en $i$ brouille les franges ; on éclaire donc en lumière quasi parallèle, avec une source placée au foyer objet d'une lentille ;
• former, à l'aide d'une lentille de projection, l'image des miroirs sur l'écran, puisque c'est là que les franges existent.

3.3Mise en œuvre expérimentale

• Source étendue, condenseur pour obtenir un faisceau peu ouvert, éventuellement diaphragme pour réduire l'ouverture.
• Coin d'air obtenu en partant du contact optique puis en jouant sur une vis de rotation.
• Lentille de projection conjuguant le plan des miroirs et l'écran. Vérifier la mise au point en observant que les franges restent nettes et n'ont pas de parallaxe.
• Franges rectilignes, parallèles à l'arête, équidistantes.

4Applications métrologiques

4.1Mesure de l'écart en longueur d'onde d'un doublet

La lampe au sodium émet un doublet, deux raies très voisines d'intensités comparables, autour de $589 \unite{nm}$. Chaque raie donne son propre système d'anneaux, et les deux systèmes se décalent quand $e$ augmente.

Le brouillage est total quand les deux systèmes sont en opposition, soit $\Delta p = 1/2$ avec $\Delta p = 2e\,\Delta\lambda/\lambda_0^2$. Il se répète chaque fois que $\Delta p$ augmente d'une unité. L'écart entre deux brouillages consécutifs correspond donc à $$2\,\Delta e = \frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}, \quad \text{soit} \quad \Delta e = \frac{\lambda_0^2}{2\,\Delta\lambda}.$$

4.2Mesure d'une longueur de cohérence

Une radiation de largeur spectrale $\Delta\lambda$ cesse de donner des franges lorsque la différence de marche dépasse sa longueur de cohérence $L_c \approx \lambda_0^2/\Delta\lambda$. En lame d'air, la différence de marche au centre vaut $2e$.

Pour une raie de lampe spectrale, on trouve quelques centimètres, ce qui correspond à $\Delta\lambda$ de l'ordre de $10^{-2} \unite{nm}$.

Pour un doublet, il faut distinguer les brouillages périodiques, dus à l'écart entre les deux raies, et la disparition définitive du contraste, due à la largeur propre de chaque raie. Les deux effets se superposent, le second survenant beaucoup plus loin.

4.3Caractériser un objet ou un indice

Si l'on interpose dans l'un des bras une lame transparente d'indice $n$ et d'épaisseur $\ell$, la lumière la traverse deux fois, à l'aller et au retour.

Connaissant $\ell$, on en déduit $n$, et réciproquement.

Le même principe permet de mesurer l'indice d'un gaz en plaçant dans un bras une cuve que l'on vide progressivement, ou de caractériser une variation d'épaisseur en configuration coin d'air, où chaque frange correspond à une variation d'épaisseur de $\lambda_0/2$.

4.4Observations en lumière blanche

En lame d'air :

• les franges ne sont visibles que si la différence de marche reste inférieure à la longueur de cohérence de la lumière blanche, environ $1 \unite{\mu m}$, donc pour $e$ inférieur à quelques centaines de nanomètres ;
• on n'observe rien sauf tout près du contact optique, où apparaissent quelques anneaux irisés puis la teinte plate.

C'est la méthode de réglage fin du contact optique.

En coin d'air, au voisinage de l'arête, où $e$ est nul, on observe une frange centrale blanche, encadrée d'une dizaine de franges irisées, puis du blanc d'ordre supérieur. La frange centrale blanche localise le contact optique de façon très précise.

Dans les deux cas, l'analyse au spectroscope de la lumière en un point où la différence de marche vaut $\delta$ donne un spectre cannelé, les cannelures correspondant à $\lambda = \delta/(m + 1/2)$.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Construire le schéma équivalent lame d'air à partir de l'interféromètre replié.
2. Établir $\delta = 2e\cos i$ et en déduire l'ordre d'interférences.
3. Justifier que les franges d'égale inclinaison sont localisées à l'infini et expliquer pourquoi une source étendue ne les brouille pas.
4. Décrire ce qui se passe quand on diminue $e$, jusqu'à la teinte plate.
5. Exprimer l'ordre d'interférences en coin d'air à partir de $\delta = 2e$ fourni, et en déduire l'interfrange.
6. Décrire les conditions d'éclairage et d'observation propres à chaque configuration, et expliquer en quoi elles diffèrent.
7. Établir la relation $\Delta e = \lambda_0^2/(2\,\Delta\lambda)$ entre deux brouillages du doublet et faire l'application numérique pour le sodium.
8. Exprimer le décalage de franges dû à une lame d'indice $n$ et d'épaisseur $\ell$ introduite dans un bras.

Les résultats à connaître

• Schéma équivalent : M₂' est l'image de M₂ par la séparatrice, le montage replié équivaut à une lame d'air, M₁ et M₂' parallèles séparés de e, ou à un coin d'air, M₁ et M₂' formant un petit angle α. Exigible.
• Contact optique, e = 0, différence de marche nulle partout. Exigible.
• En lame d'air, δ = 2e cos i, ordre p = 2e cos i/λ₀. Exigible avec démonstration, calcul géométrique du surplus de marche.
• Franges d'égale inclinaison, anneaux concentriques centrés sur l'incidence nulle, localisées à l'infini. Lieu admis, conditions d'observation à justifier.
• Ordre maximal au centre p₀ = 2e/λ₀, décroît vers l'extérieur, teinte plate au contact optique. Exigible.
• Développement aux petits angles, p ≈ (2e/λ₀)(1 − i²/2), le rayon du k-ième anneau varie comme √k, les anneaux se resserrent vers l'extérieur. Exigible.
• En coin d'air, δ = 2αx, formule fournie par le programme, ordre p = 2αx/λ₀. Exigible, sans démonstration à fournir.
• Franges d'égale épaisseur, rectilignes, parallèles à l'arête, interfrange i_f = λ₀/(2α). Exigible.
• Localisation des franges du coin d'air au voisinage des miroirs. Lieu admis, conditions d'éclairage peu ouvert et d'imagerie des miroirs sur l'écran à justifier.
• Mesure de l'écart d'un doublet, brouillage périodique, écart entre deux brouillages Δe = λ₀²/(2Δλ). Exigible avec utilisation.
• Longueur de cohérence L_c ≈ λ₀²/Δλ, mesurée par la disparition définitive du contraste, L_c ≈ 2e_max. Exigible.
• Lame d'indice n et d'épaisseur ℓ introduite dans un bras, différence de marche supplémentaire Δδ = 2(n−1)ℓ, décalage de N = 2(n−1)ℓ/λ₀ franges. Exigible.
• Observations en lumière blanche, franges visibles seulement si δ reste inférieure à la longueur de cohérence de la lumière blanche, environ 1 µm. Teinte plate ou frange centrale blanche repèrent le contact optique. Exigible, capacité explicite du programme.
• Spectre cannelé en un point de différence de marche δ, cannelures aux longueurs d'onde λ = δ/(m + 1/2). Exigible, mentionné.

Clés de démonstration

Différence de marche en lame d'air. On note I et J les points d'impact sur les deux surfaces équivalentes et H le pied de la perpendiculaire au rayon de sortie. Avec n = 1 pour l'air, IJ = JK = e/cos i, et la projection donne IH = 2e tan i sin i. La différence δ = 2e/cos i − 2e sin²i/cos i se simplifie en 2e cos i grâce à cos²i + sin²i = 1. L'astuce : reconnaître l'identité fondamentale de la trigonométrie une fois les deux trajets exprimés avec i.

Une source étendue ne dégrade pas le contraste en lame d'air. L'ordre p ne dépend que de i, jamais du point de la source d'où provient le rayon. Tous les rayons de même inclinaison, quel que soit leur point d'origine, portent donc le même ordre et se rassemblent au même endroit à l'infini. L'astuce : repérer que la variable pertinente, i, est indépendante de la position de la source.

Écart entre deux brouillages d'un doublet. Le brouillage total a lieu quand les deux systèmes d'anneaux sont en opposition, Δp = 1/2. Il se reproduit chaque fois que Δp croît d'une unité entière, puisque cela ramène les deux systèmes à la même opposition relative. Avec Δp = 2eΔλ/λ₀², l'écart correspondant vaut Δe = λ₀²/(2Δλ). L'astuce : la période cherchée correspond à une variation d'une unité de Δp, pas d'une demi-unité.

Décalage de franges dû à une lame introduite. La lumière traverse la lame deux fois, à l'aller et au retour dans le bras du Michelson, d'où le facteur 2 dans Δδ = 2(n−1)ℓ. Le nombre de franges qui défilent est ce décalage divisé par λ₀. L'astuce : ne jamais oublier l'aller-retour propre à la géométrie du Michelson, contrairement à une lame traversée une seule fois.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Pour λ₀ = 546 nm et e = 0,10 mm, l'ordre au centre vaut environ 366, et le premier anneau apparaît vers 4 degrés : ordre de grandeur de référence à connaître.
2. Pour α = 1 minute d'arc et λ₀ = 546 nm, l'interfrange en coin d'air vaut environ 0,94 mm : augmenter α resserre les franges jusqu'à les rendre invisibles, contre-exemple à « plus d'inclinaison donne de meilleures franges ».
3. Pour le doublet du sodium, λ₀ = 589 nm et Δλ = 0,60 nm, l'écart entre deux brouillages vaut environ 0,29 mm : application numérique classique, mesurable au micromètre du chariot.
4. La longueur de cohérence d'une lampe spectrale isolée vaut quelques centimètres, correspondant à Δλ de l'ordre de 10⁻² nm, alors que celle de la lumière blanche n'est que d'environ 1 µm : contraste d'échelle à retenir.
5. Au contact optique, le champ est uniformément éclairé, c'est la teinte plate, et non un système d'anneaux réduit à un point : repère fondamental du réglage.
6. Placer une lentille formant une image de la source à l'intérieur d'un Michelson réglé en lame d'air supprime l'éventail d'incidences nécessaire aux anneaux : erreur de montage classique, contre-exemple à l'intuition qu'une image nette de la source aiderait.
7. En lumière blanche et en lame d'air, on n'observe des franges que tout près du contact optique, quelques anneaux irisés puis la teinte plate : contre-exemple à l'idée qu'on pourrait voir de nombreux anneaux colorés loin du contact.
8. Le brouillage périodique d'un doublet, dû à l'écart Δλ entre les deux raies, et la disparition définitive du contraste, due à la largeur propre de chaque raie, sont deux phénomènes distincts qui se superposent à des échelles de déplacement très différentes.
9. Le schéma équivalent, lame d'air ou coin d'air, est un outil de calcul et non l'appareil réel : raisonner directement sur le montage replié est une source d'erreurs de signe ou de facteur.
10. En coin d'air, chaque frange traversée correspond à une variation d'épaisseur de λ₀/2, exactement comme chaque anneau qui disparaît en lame d'air lors d'un déplacement du chariot.

Techniques du chapitre

Technique 1, construire le schéma équivalent avant tout calcul. Mini-exercice : M₂ est reculé de 50 µm par rapport au réglage de contact optique. L'épaisseur équivalente de la lame d'air vaut e = 50 µm.

Technique 2, identifier la configuration à partir de la forme des franges observées. Mini-exercice : des franges rectilignes et équidistantes sont observées sur l'écran. C'est une configuration coin d'air, la formule pertinente est δ = 2αx.

Technique 3, utiliser le développement aux petits angles pour relier rayon d'anneau et numéro d'ordre. Mini-exercice : si le premier anneau apparaît à l'incidence i₁, le rayon du k-ième anneau vaut r_k = r₁√k, car l'ordre varie comme le carré du rayon.

Technique 4, pour un comptage de franges, écrire la variation d'ordre et l'égaler au nombre de franges défilées. Mini-exercice : une lame d'indice n = 1,5 et d'épaisseur ℓ = 20 µm est introduite dans un bras, en λ₀ = 546 nm. Le nombre de franges qui défilent vaut N = 2(0,5)(20×10⁻⁶)/(546×10⁻⁹) ≈ 37.

Technique 5, pour une mesure de doublet, repérer deux brouillages successifs plutôt qu'un seul. Mini-exercice : si le premier brouillage est observé en e₁ = 0,10 mm et le suivant en e₂ = 0,39 mm, alors Δe = 0,29 mm et Δλ = λ₀²/(2Δe).

Technique 6, pour la longueur de cohérence, chercher la disparition définitive du contraste, pas un brouillage périodique. Mini-exercice : si le contraste disparaît définitivement pour e_max = 1,5 cm, alors L_c ≈ 2e_max = 3,0 cm.

Technique 7, pour toute question de réglage, conjuguer le lieu de localisation des franges avec l'écran d'observation. Mini-exercice : en coin d'air, les franges sont localisées sur les miroirs, il faut donc une lentille de projection qui en forme l'image sur l'écran, sinon rien de net n'y apparaît.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes