Le cours

Résumé en cinq points

L'adjoint est défini par $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u^*(y)\rangle$ , et en base orthonormée seulement, sa matrice est la transposée de celle de $u$ .
Si $F$ est stable par $u$ , alors $F^\perp$ est stable par $u^*$ . Pour une isométrie comme pour un endomorphisme autoadjoint, cela donne la stabilité de $F^\perp$ par $u$ , d'où les preuves par récurrence sur la dimension.
Une isométrie est un endomorphisme conservant la norme, ce qui équivaut à conserver le produit scalaire, à envoyer une base orthonormée sur une base orthonormée, ou à vérifier $u^*=u^{-1}$ .
Toute isométrie se réduit en base orthonormée en blocs $1$ , $-1$ et rotations planes. En dimension $3$ , une isométrie directe distincte de l'identité est une rotation d'axe $\Ker(u-\operatorname{id}_E)$ et d'angle donné par $\tr(u)=1+2\cos\theta$ .
Théorème spectral : $u$ est autoadjoint si et seulement s'il existe une base orthonormée de vecteurs propres, autrement dit toute matrice symétrique réelle s'écrit $PDP^{\mathsf T}$ avec $P$ orthogonale. La positivité se lit alors sur le signe des valeurs propres.

Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre où la réduction rencontre la géométrie. Deux résultats le structurent. Le théorème spectral affirme que tout endomorphisme autoadjoint se diagonalise en base orthonormée, donc que toute matrice symétrique réelle est orthogonalement diagonalisable. Il sert partout : optimisation, matrice hessienne, inégalités. L'autre résultat est la réduction des isométries, qui décrit tout endomorphisme conservant les longueurs comme une combinaison de symétries et de rotations planes, et redonne en dimension 3 la notion de rotation d'axe. Aux concours ce chapitre est très présent, souvent sous la forme d'un problème sur les matrices symétriques positives.

Dans toute la fiche, $E$ est un espace euclidien, c'est-à-dire un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ muni d'un produit scalaire noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$ , et $\norm{x}=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ .

1Rappels de première année

Définition 1.1Produit scalaire

Un produit scalaire sur un $\R$ -espace vectoriel est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Théorème 1.2Inégalité de Cauchy-Schwarz

Pour tous $x,y\in E$ , $|\langle x,y\rangle|\leqslant\norm{x}\norm{y}$ , avec égalité si et seulement si $(x,y)$ est liée.

Propriété 1.3Identité de polarisation

$\langle x,y\rangle=\frac{\norm{x+y}^2-\norm{x}^2-\norm{y}^2}{2}.$ Elle montre que le produit scalaire est déterminé par la norme, ce qui servira pour les isométries.

Propriété 1.4Bases orthonormées

Tout espace euclidien admet des bases orthonormées, par le procédé de Gram-Schmidt. Dans une base orthonormée, les coordonnées d'un vecteur sont ses produits scalaires avec les vecteurs de la base.

Pour tout sous-espace $F$ , on a $E=F\oplus F^\perp$ et $(F^\perp)^\perp=F$ . La distance de $x$ à $F$ vaut $\norm{x-p_F(x)}$ , où $p_F$ est la projection orthogonale sur $F$ , et elle n'est atteinte qu'en $p_F(x)$ .

2Adjoint d'un endomorphisme

2.1Représentation des formes linéaires

Théorème 2.1Représentation des formes linéaires

Pour toute forme linéaire $\varphi$ sur $E$ , il existe un unique vecteur $a\in E$ tel que $\varphi(x)=\langle a,x\rangle$ pour tout $x\in E$ .

Démonstration

L'application qui à $a$ associe la forme linéaire $\langle a,\cdot\rangle$ est linéaire de $E$ dans son dual. Elle est injective, car si $\langle a,x\rangle=0$ pour tout $x\in E$ , en prenant $x=a$ on obtient $a=0$ . Les deux espaces ont la même dimension $n$ , donc c'est un isomorphisme.

2.2Définition de l'adjoint

Définition 2.2Adjoint

Pour tout $u\in\mathcal L(E)$ , il existe un unique endomorphisme $u^*$ de $E$ , appelé adjoint de $u$ , tel que $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u^*(y)\rangle$ pour tous $x,y\in E$ .

Démonstration

Pour $y$ fixé, $x\mapsto\langle u(x),y\rangle$ est une forme linéaire. Le théorème de représentation fournit un unique vecteur, noté $u^*(y)$ . On vérifie ensuite que $y\mapsto u^*(y)$ est linéaire.

Propriété 2.3Propriétés de l'adjoint

L'application $u\mapsto u^*$ est linéaire. On a $(u\circ v)^*=v^*\circ u^*$ , attention à l'inversion de l'ordre, et $(u^*)^*=u$ , donc le passage à l'adjoint est une involution.

Traduction matricielle, et c'est la raison d'être de la notion. Si B est une base orthonormée de E, la matrice de u* dans B est la transposée de la matrice de u dans B. L'hypothèse « base orthonormée » est absolument nécessaire. Dans une base quelconque, cette formule est fausse.

2.3Stabilité de l'orthogonal

Théorème 2.4Stabilité de l'orthogonal

Si $F$ est un sous-espace stable par $u$ , alors $F^\perp$ est stable par $u^*$ .

Démonstration

Soient $y\in F^\perp$ et $x\in F$ . Alors $\langle x,u^*(y)\rangle=\langle u(x),y\rangle=0$ , car $u(x)$ appartient à $F$ et $y$ à $F^\perp$ . Donc $u^*(y)$ est orthogonal à tout vecteur de $F$ .

Ce petit énoncé est le moteur de toutes les réductions de ce chapitre. Dans les deux cas qui nous intéressent, isométries et endomorphismes autoadjoints, on saura relier u* à u, et on obtiendra que l'orthogonal d'un sous-espace stable est stable par u lui-même. Cela permet de raisonner par récurrence sur la dimension.

3Matrices orthogonales

Définition 3.1Matrice orthogonale

Une matrice $A\in\mathcal M_n(\R)$ est orthogonale si $A^{\mathsf T}A=I_n$ , où $A^{\mathsf T}$ désigne la transposée. Elle est alors inversible d'inverse $A^{\mathsf T}$ , et on a aussi $AA^{\mathsf T}=I_n$ .

Propriété 3.2Caractérisations

$A$ est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une base orthonormée de $\R^n$ pour le produit scalaire canonique, si et seulement si ses lignes le forment. Interprétation : les matrices orthogonales sont exactement les matrices de passage entre deux bases orthonormées d'un espace euclidien.

L'ensemble $O_n(\R)$ , aussi noté $O(n)$ , est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\R)$ , appelé groupe orthogonal. Si $A$ est orthogonale, $\det(A)=\pm1$ , car $\det(A)^2=\det(A^{\mathsf T})\det(A)=1$ . Les matrices orthogonales de déterminant $1$ sont dites positives ou directes et forment le sous-groupe $SO_n(\R)$ , aussi noté $SO(n)$ .

Attention

La réciproque est fausse : une matrice de déterminant $1$ n'est pas forcément orthogonale. Prendre la matrice $2$ sur $2$ avec des $1$ sur la diagonale et un $1$ en haut à droite.

Deux matrices $A$ et $B$ sont orthogonalement semblables s'il existe $P$ orthogonale avec $B=P^{\mathsf T}AP$ , ce qui revient à $B=P^{-1}AP$ . C'est un changement de base orthonormée.

Orientation. Orienter un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie, c'est choisir une base de référence et appeler directes les bases dont la matrice de passage depuis celle-ci a un déterminant positif. Si $e$ et $e'$ sont deux bases orthonormées directes d'un espace euclidien orienté, les formes déterminant associées coïncident. On peut donc parler du déterminant d'une famille de $n$ vecteurs sans préciser la base, ce qui définit le produit mixte.

4Isométries vectorielles

4.1Définition et caractérisations

Définition 4.1Isométrie vectorielle

Une isométrie vectorielle de $E$ est un endomorphisme $u$ de $E$ tel que $\norm{u(x)}=\norm{x}$ pour tout $x\in E$ . Dans ce programme, la linéarité fait partie de la définition. On dit aussi automorphisme orthogonal, mais le programme préfère le terme isométrie vectorielle.

Une isométrie est bijective : $u(x)=0$ entraîne $\norm{x}=0$ donc $x=0$ , et en dimension finie l'injectivité suffit.

Propriété 4.2Caractérisations équivalentes

Pour $u\in\mathcal L(E)$ :

$u$ conserve la norme.
$u$ conserve le produit scalaire, c'est-à-dire $\langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x,y\in E$ . L'équivalence avec le point précédent vient de l'identité de polarisation.
$u$ transforme une base orthonormée en une base orthonormée. Il suffit que ce soit vrai pour une base orthonormée, et c'est alors vrai pour toutes.
$u^*\circ u=\operatorname{id}_E$ , ce qui en dimension finie équivaut à $u^*=u^{-1}$ .
La matrice de $u$ dans une base orthonormée est orthogonale.

Exemple 4.3Symétries

Toute symétrie orthogonale, c'est-à-dire la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $F^\perp$ , est une isométrie. Une réflexion est la symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

Attention

Une symétrie dont la direction n'est pas l'orthogonal n'est pas une isométrie.

4.2Groupe orthogonal

L'ensemble $O(E)$ des isométries de $E$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$ . Le déterminant d'une isométrie vaut $1$ ou $-1$ . Celles de déterminant $1$ sont dites directes et forment le sous-groupe $SO(E)$ , les autres sont indirectes. Une réflexion est indirecte.

4.3Dimension 2

Les matrices de $SO_2(\R)$ sont exactement celles dont la première colonne est $(\cos t,\sin t)$ et la seconde $(-\sin t,\cos t)$ , pour un réel $t$ . Les matrices orthogonales indirectes de taille $2$ sont celles dont la première colonne est $(\cos t,\sin t)$ et la seconde $(\sin t,-\cos t)$ . Ce sont les matrices des réflexions, la droite fixe faisant l'angle $t/2$ avec le premier vecteur de base.

L'application qui à $t$ associe la matrice de rotation $R(t)$ de colonnes $(\cos t,\sin t)$ et $(-\sin t,\cos t)$ est un morphisme surjectif de $(\R,+)$ dans $SO_2(\R)$ , de noyau $2\pi\Z$ . On en déduit que $SO_2(\R)$ est isomorphe au groupe $U$ des complexes de module $1$ , et en particulier qu'il est commutatif.

Dans un plan euclidien orienté, l'endomorphisme de matrice $R(t)$ en base orthonormée directe s'appelle rotation d'angle $t$ . Cette matrice est la même dans toutes les bases orthonormées directes, ce qui justifie de parler de l'angle de la rotation.

Classification des isométries d'un plan euclidien. Une isométrie directe est une rotation, l'identité correspondant à l'angle nul. Une isométrie indirecte est une réflexion, c'est-à-dire une symétrie orthogonale par rapport à une droite.

Attention

En dimension $2$ , la composée de deux réflexions est une rotation, et le groupe $O_2(\R)$ n'est pas commutatif alors que $SO_2(\R)$ l'est.

4.4Réduction des isométries

Lemme 4.4Stabilité de l'orthogonal par une isométrie

Si $u$ est une isométrie et si $F$ est stable par $u$ , alors $F^\perp$ est stable par $u$ . En effet la restriction de $u$ à $F$ est injective donc bijective de $F$ sur $F$ , donc $F$ est aussi stable par $u^{-1}=u^*$ , et le théorème de stabilité de l'orthogonal appliqué à $u^*$ donne la stabilité de $F^\perp$ par $u$ .

Théorème 4.5Réduction des isométries

Pour toute isométrie $u$ de $E$ , il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, avec des blocs de trois types seulement : des $1$ , des $-1$ , et des blocs $2$ sur $2$ de rotation d'angle $\theta$ avec $\theta$ non congru à $0$ modulo $\pi$ .

Démonstration

Par récurrence sur la dimension. On montre d'abord que $u$ admet une droite ou un plan stable, car le polynôme caractéristique réel a un facteur irréductible de degré $1$ ou $2$ . On réduit sur ce sous-espace, puis on applique l'hypothèse de récurrence à son orthogonal, qui est stable.

Propriété 4.6Cas de la dimension 3

Si $u$ est une isométrie directe d'un espace euclidien orienté de dimension $3$ , alors il existe une base orthonormée directe dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, avec le scalaire $1$ puis un bloc de rotation d'angle $\theta$ . Si $u\ne\operatorname{id}_E$ , c'est une rotation d'axe la droite $\Ker(u-\operatorname{id}_E)$ , dirigée et orientée par un vecteur unitaire de cette droite, et d'angle $\theta$ . Pour l'identité, l'angle vaut zéro et toute droite peut servir d'axe. On retrouve $\theta$ par la trace, puisque $\tr(u)=1+2\cos\theta$ . La détermination explicite des éléments géométriques d'une rotation de l'espace n'est pas une capacité exigée, mais cette formule sur la trace est trop utile pour être ignorée.

5Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

5.1Définition

Définition 5.1Endomorphisme autoadjoint

Un endomorphisme $u$ de $E$ est autoadjoint, ou symétrique, si $u^*=u$ , autrement dit si $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle$ pour tous $x,y\in E$ . L'ensemble des endomorphismes autoadjoints se note $S(E)$ . C'est un sous-espace vectoriel de $\mathcal L(E)$ , de dimension $n(n+1)/2$ .

Propriété 5.2Caractérisation matricielle

$u$ est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. Encore une fois l'hypothèse de base orthonormée est indispensable.

Si $F$ est stable par $u$ autoadjoint, alors $F^\perp$ est stable par $u$ . C'est le résultat sur la stabilité de l'orthogonal avec $u^*=u$ .

Théorème 5.3Projecteurs orthogonaux

Les projecteurs orthogonaux sont exactement les projecteurs autoadjoints. Un projecteur $p$ est orthogonal quand $\Ker p$ et $\Im p$ sont orthogonaux.

Attention

La composée de deux endomorphismes autoadjoints n'est autoadjointe que si les deux commutent, puisque $(u\circ v)^*=v\circ u$ .

5.2Théorème spectral

Théorème 5.4Théorème spectral

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E$ . Les propriétés suivantes sont équivalentes.

$u$ est autoadjoint.
$E$ est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de $u$ .
Il existe une base orthonormée de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ .

Propriété 5.5Traduction matricielle

Une matrice $S\in\mathcal M_n(\R)$ est symétrique si et seulement s'il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale réelle $D$ telles que $S=PDP^{\mathsf T}$ . On dit que $S$ est orthogonalement diagonalisable.

Démonstration

On montre d'abord que le polynôme caractéristique d'une matrice symétrique réelle est scindé sur $\R$ , ce qui revient à dire que ses valeurs propres complexes sont réelles. On raisonne ensuite par récurrence sur la dimension : on prend un vecteur propre unitaire, la droite qu'il engendre est stable, son orthogonal est donc stable, et l'endomorphisme induit sur cet orthogonal est encore autoadjoint pour le produit scalaire induit.

Propriété 5.6Orthogonalité des sous-espaces propres

Les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. En effet, si $u(x)=\lambda x$ et $u(y)=\mu y$ , alors $\lambda\langle x,y\rangle=\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle=\mu\langle x,y\rangle$ , donc $\langle x,y\rangle=0$ dès que $\lambda\ne\mu$ .

Attention

Le théorème est spécifique au cadre réel euclidien. Une matrice à coefficients complexes symétrique au sens de la transposition n'est pas diagonalisable en général.

6Endomorphismes autoadjoints positifs

Définition 6.1Endomorphisme positif ou défini positif

Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$ . On dit que $u$ est positif si $\langle u(x),x\rangle\geqslant0$ pour tout $x\in E$ , et défini positif si $\langle u(x),x\rangle>0$ pour tout $x\in E\setminus\{0\}$ . On note $S_+(E)$ et $S_{++}(E)$ les ensembles correspondants. Mêmes définitions pour les matrices symétriques réelles avec la quantité $X^{\mathsf T}SX$ , et notations $S_n^+(\R)$ et $S_n^{++}(\R)$ .

Propriété 6.2Caractérisation spectrale

Un endomorphisme autoadjoint est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles. Il est défini positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

Démonstration

On se place dans une base orthonormée de vecteurs propres. La quantité $\langle u(x),x\rangle$ devient la somme des $\lambda_i x_i^2$ , qui est positive pour tout $x$ si et seulement si tous les $\lambda_i$ le sont.

Propriété 6.3

Un endomorphisme autoadjoint défini positif est inversible, puisque $0$ n'est pas valeur propre, et l'application qui à $(x,y)$ associe $\langle u(x),y\rangle$ est un nouveau produit scalaire sur $E$ .

Propriété 6.4Encadrement utile

Si $u$ est autoadjoint, de plus petite valeur propre $\lambda_{\min}$ et de plus grande $\lambda_{\max}$ , alors $\lambda_{\min}\norm{x}^2\leqslant\langle u(x),x\rangle\leqslant\lambda_{\max}\norm{x}^2$ pour tout $x\in E$ .

La fonction $x\mapsto\langle u(x),x\rangle$ est la forme quadratique associée à $u$ . La théorie générale des formes quadratiques n'est pas au programme de MP, mais ce point de vue est celui qu'on utilisera en calcul différentiel avec la matrice hessienne, dont le caractère défini positif en un point critique assure un minimum local strict pour une fonction de classe $C^2$ sur un ouvert.

Méthodes

MéthodeCalculer un adjoint

Se placer en base orthonormée et transposer. Ne jamais transposer dans une base quelconque.

MéthodeMontrer qu’un endomorphisme est une isométrie

Vérifier la conservation de la norme, ou que l'image d'une base orthonormée est une base orthonormée, ou que $A^{\mathsf T}A=I$ en base orthonormée.

MéthodeReconnaître une rotation de l’espace

Pour reconnaître un élément de $SO_3(\R)$ , traiter d'abord l'identité ; dans les autres cas, calculer $\Ker(u-\operatorname{id}_E)$ pour trouver l'axe, puis l'angle par $\tr(u)=1+2\cos\theta$ , le signe dépendant de l'orientation choisie sur l'axe.

MéthodeDiagonaliser une matrice symétrique

Procéder comme d'habitude, puis orthonormaliser chaque sous-espace propre par Gram-Schmidt. Les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont déjà orthogonaux, il n'y a rien à faire entre eux.

MéthodeMontrer qu’une matrice symétrique est positive

Soit calculer $X^{\mathsf T}SX$ et le reconnaître comme une somme de carrés, soit montrer que toutes ses valeurs propres sont positives, soit l'écrire sous la forme $M^{\mathsf T}M$ , ce qui donne $X^{\mathsf T}SX=\norm{MX}^2$ .

MéthodeRaisonner par récurrence sur la dimension

Pour un endomorphisme autoadjoint ou une isométrie, utiliser systématiquement que l'orthogonal d'un sous-espace stable est stable.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer le théorème de représentation des formes linéaires et en déduire l'existence de l'adjoint.
Montrer que si $F$ est stable par $u$ , alors $F^\perp$ est stable par $u^*$ , et préciser ce que cela donne pour $u$ autoadjoint et pour $u$ isométrie.
Donner les quatre caractérisations des isométries vectorielles et démontrer l'équivalence entre conservation de la norme et conservation du produit scalaire.
Décrire $O_2(\R)$ et $SO_2(\R)$ , et montrer que $SO_2(\R)$ est isomorphe à $U$ .
Énoncer la forme réduite d'une isométrie en base orthonormée, et traiter le cas de la dimension 3.
Démontrer que les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux.
Énoncer le théorème spectral sous ses trois formes et sa version matricielle, et diagonaliser en base orthonormée une matrice symétrique 3 sur 3.
Démontrer la caractérisation spectrale des endomorphismes autoadjoints positifs et définis positifs.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Représentation des formes linéaires : toute forme linéaire sur E euclidien s'écrit x ↦ ⟨a, x⟩ pour un unique a. Exigible avec démonstration. La dimension finie est indispensable.
Existence et unicité de l'adjoint. Linéarité de u ↦ u*. Formules (u ∘ v)* = v* ∘ u* et (u*)* = u. Exigibles avec démonstration.
En base orthonormée, la matrice de u* est la transposée de celle de u. Exigible, et faux en base quelconque.
Si F est stable par u, alors F⊥ est stable par u*. Exigible avec démonstration.
A est orthogonale si et seulement si ses colonnes, ou ses lignes, forment une base orthonormée. Les matrices orthogonales sont les matrices de passage entre bases orthonormées. Exigible.
Une base orthonormée est directe si et seulement si sa matrice de passage depuis une base orthonormée directe est dans SO_n(R). Exigible.
Caractérisations d'une isométrie : conservation du produit scalaire, image d'une base orthonormée, relation u* = u⁻¹. Exigibles avec démonstration.
O(E) et SO(E) sont des sous-groupes de GL(E), et det u = ±1 pour u ∈ O(E). Exigible.
Description de O₂(R) et SO_2(R), isomorphisme de SO_2(R) sur U, classification des isométries du plan. Exigible avec démonstration.
Si u est une isométrie et F est stable par u, alors F⊥ est stable par u. Exigible avec démonstration.
Réduction d'une isométrie en base orthonormée en blocs 1, −1 et rotations planes. Démonstration non exigible.
Réduction d'une isométrie directe en dimension 3. L'énoncé est exigible. La détermination des éléments géométriques d'une rotation n'est pas un attendu du programme.
Les projecteurs orthogonaux sont exactement les projecteurs autoadjoints. Exigible avec démonstration.
u est autoadjoint si et seulement si sa matrice en base orthonormée est symétrique. Exigible.
Théorème spectral et forme matricielle. L'énoncé est exigible. La preuve complète peut ne pas être exigée, mais ses deux étapes sont des questions d'oral classiques.
Les sous-espaces propres d'un autoadjoint sont deux à deux orthogonaux. Exigible avec démonstration.
Caractérisation spectrale de S+(E), S++(E), S_n+(R) et S_n++(R). Exigible avec démonstration.
Hors programme : produit scalaire hermitien, matrices unitaires, endomorphismes normaux, signature et réduction des formes quadratiques. La décomposition polaire n'est pas un résultat de cours, c'est un exercice.

Clés de démonstration

Norme et produit scalaire. Si u conserve la norme, on écrit ⟨u(x), u(y)⟩ = (‖u(x) + u(y)‖² − ‖u(x)‖² − ‖u(y)‖²)/2. La linéarité donne u(x) + u(y) = u(x + y), donc cette expression vaut (‖x + y‖² − ‖x‖² − ‖y‖²)/2 = ⟨x, y⟩. Astuce : la polarisation, avec la linéarité de u comme ingrédient caché.

Isométrie et adjoint. Pour tous x et y, ⟨u*u(x), y⟩ = ⟨u(x), u(y)⟩. Donc u conserve le produit scalaire si et seulement si ⟨u*u(x) − x, y⟩ = 0 pour tous x et y. Un vecteur orthogonal à tout E est nul, d'où u*u = id, puis u* = u⁻¹ en dimension finie. Astuce : tester un vecteur contre tous les y.

Description de O₂(R). La première colonne est unitaire, donc de la forme (cos t, sin t). La seconde est unitaire et orthogonale à la première, donc égale à ±(−sin t, cos t). Le déterminant tranche entre les deux signes. Pour l'isomorphisme avec U, les formules d'addition donnent R(t)R(t') = R(t + t'), et R(t) ne dépend que de e^it. Astuce : un vecteur unitaire du plan a exactement deux vecteurs unitaires orthogonaux.

Projecteurs orthogonaux. Si p est autoadjoint, x ∈ Im p et y ∈ Ker p, alors ⟨x, y⟩ = ⟨p(x), y⟩ = ⟨x, p(y)⟩ = 0. Réciproquement, on décompose x = x₁ + x₂ et y = y₁ + y₂ selon Im p ⊕ Ker p. Alors ⟨p(x), y⟩ et ⟨x, p(y)⟩ valent tous deux ⟨x₁, y₁⟩. Astuce : tout décomposer selon la somme directe.

Valeurs propres réelles d'une matrice symétrique réelle. Soit SX = λX avec X ∈ Cⁿ non nul. Le nombre X̄^T S X vaut λ Σ|x_i|². Il est égal à son conjugué X^T S X̄, qui est aussi sa transposée, donc il est réel. Comme Σ|x_i|² > 0, λ est réel. Astuce : passer dans Cⁿ puis conjuguer et transposer un scalaire.

Récurrence du théorème spectral. On prend un vecteur propre unitaire e, qui existe grâce au point précédent. La droite Re est stable, donc son orthogonal H aussi. La restriction de u à H est autoadjointe pour le produit scalaire induit, et l'hypothèse de récurrence fournit une base orthonormée de H. Astuce : l'orthogonal d'un stable est stable.

Caractérisation spectrale. Pour le sens direct, si u(x) = λx avec x ≠ 0, alors λ‖x‖² = ⟨u(x), x⟩ ≥ 0, donc λ ≥ 0. Pour la réciproque, on développe dans une base orthonormée de vecteurs propres. Astuce : tester sur un vecteur propre.

Exemples et contre-exemples à connaître

La matrice complexe de première ligne (1, i) et de seconde ligne (i, −1) est symétrique et vérifie A² = 0 avec A ≠ 0. Elle n'est pas diagonalisable. Le théorème spectral exige des coefficients réels.
La projection sur Re₁ parallèlement à R(e₁ + e₂) a pour matrice diag(1, 0) dans la base (e₁, e₁ + e₂). Cette matrice est symétrique, mais le projecteur n'est pas orthogonal, donc pas autoadjoint. La base orthonormée est indispensable.
La matrice de lignes (1, 2) et (2, 1) a ses coefficients positifs mais une valeur propre −1. Elle n'est pas positive.
La matrice de lignes (1, −1) et (−1, 1) a des coefficients négatifs et elle est positive, de valeurs propres 0 et 2. Elle n'est pas définie positive.
La rotation d'angle π/2 du plan vérifie ⟨u(x), x⟩ = 0 pour tout x sans être nulle. Hors du cadre autoadjoint, la quantité ⟨u(x), x⟩ ne détermine pas u.
diag(1, 0) et la matrice de lignes (0, 1) et (1, 0) sont symétriques, mais leur produit, de lignes (0, 1) et (0, 0), ne l'est pas.
La réflexion d'hyperplan a⊥, avec a ≠ 0, s'écrit x ↦ x − 2⟨x, a⟩a/‖a‖². Sa matrice en base orthonormée est I − 2AA^T/(A^T A), où A est la colonne des coordonnées de a. Il faut savoir l'écrire sans hésiter.
−I₃ est une isométrie de déterminant −1. Ce n'est pas une rotation. En dimension impaire, −id est toujours indirecte.

Techniques du chapitre

Technique 1 : calculer un adjoint par la définition. Mini-exercice : u(x) = ⟨a, x⟩b. On écrit ⟨u(x), y⟩ = ⟨a, x⟩⟨b, y⟩ = ⟨x, ⟨b, y⟩a⟩. Par unicité, u*(y) = ⟨b, y⟩a.

Technique 2 : symétrique et orthogonale donne une symétrie orthogonale. Mini-exercice : soit A symétrique et orthogonale. Alors A² = A^T A = I, donc A est une symétrie. Elle est autoadjointe, donc ses sous-espaces propres pour 1 et −1 sont orthogonaux : c'est une symétrie orthogonale.

Technique 3 : envoyer un vecteur sur un autre par une réflexion. Mini-exercice : ‖x‖ = ‖y‖ et x ≠ y. Posons a = x − y. Alors ‖a‖² = 2‖x‖² − 2⟨x, y⟩ = 2⟨x, a⟩. La réflexion d'hyperplan a⊥ envoie donc x sur x − a = y.

Technique 4 : prouver la positivité par une somme de carrés. Mini-exercice : S de lignes (2, −1) et (−1, 2). On a X^T S X = 2x² − 2xy + 2y² = x² + y² + (x − y)². Cette quantité est strictement positive si X ≠ 0, donc S ∈ S₂++(R).

Technique 5 : en taille 2, lire le signe des valeurs propres sur la trace et le déterminant. Mini-exercice : S de lignes (2, 1) et (1, 1). Les valeurs propres sont réelles, de produit det S = 1 > 0 et de somme tr S = 3 > 0. Elles sont donc toutes deux strictement positives, et S ∈ S₂++(R).

Technique 6 : majorer à l'aide d'une base propre orthonormée. Mini-exercice : u autoadjoint et ρ le plus grand des |λ_i|. Dans une base orthonormée propre, ‖u(x)‖² = Σλ_i² x_i² ≤ ρ²‖x‖². Donc ‖u(x)‖ ≤ ρ‖x‖.

Technique 7 : codiagonaliser par stabilité des sous-espaces propres. Mini-exercice : u et v autoadjoints qui commutent. Chaque sous-espace propre de u est stable par v, et v y induit un autoadjoint. On le diagonalise en base orthonormée sur chaque sous-espace propre, puis on réunit ces bases, ce qui est possible car les sous-espaces propres sont orthogonaux.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Diagonalisation orthogonale

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit S la matrice 3 sur 3 dont les coefficients diagonaux valent 2 et les autres valent 1. Trouver P orthogonale et D diagonale telles que S = P D P^T.

Technique écrire S = J + I, où J est la matrice remplie de 1, puis orthonormaliser le sous-espace propre double.

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J est de rang 1 et vérifie J(1, 1, 1) = 3(1, 1, 1). Son noyau est le plan d'équation x + y + z = 0. Les valeurs propres de S sont donc 4, simple, et 1, double.
Pour la valeur propre 4, on prend u₁ = (1, 1, 1)/√3.
Pour la valeur propre 1, on prend un vecteur du plan, (1, −1, 0), puis un vecteur du plan qui lui est orthogonal, (1, 1, −2). On les normalise : u₂ = (1, −1, 0)/√2 et u₃ = (1, 1, −2)/√6.
P a pour colonnes u₁, u₂, u₃, et D = diag(4, 1, 1). Au passage, S ∈ S₃++(R).

piège : Prendre (1, −1, 0) et (1, 0, −1) et se contenter de les normaliser. Ils ne sont pas orthogonaux, donc P n'est pas orthogonale.

Exercice 2. Reconnaître une rotation

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit A = (1/3)M, où M a pour lignes (2, −1, 2), (2, 2, −1) et (−1, 2, 2). Montrer que A ∈ SO_3(R) et déterminer son axe et son angle. Ce calcul n'est pas un attendu du programme, mais il est posé très souvent.

Technique colonnes orthonormées, déterminant, noyau de A − I, trace, puis signe d'un déterminant.

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Chaque colonne de M a pour norme au carré 9, et les produits scalaires entre colonnes sont nuls. A est donc orthogonale. De plus det M = 27, donc det A = 1.
Le système (M − 3I)X = 0 donne −x − y + 2z = 0 et 2x − y − z = 0. On trouve la droite dirigée par w = (1, 1, 1)/√3, qui est l'axe.
tr A = 2 = 1 + 2cos θ, donc cos θ = 1/2 et θ = ±π/3.
Pour tout x hors de l'axe, sin θ a le signe de det(x, u(x), w), l'axe étant orienté par w. Avec x = e₁, ce déterminant vaut 3/(3√3) > 0. Donc θ = π/3.

piège : Donner l'angle sans préciser l'orientation de l'axe. Changer w en −w change θ en −θ.

Exercice 3. La matrice A^T A

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit A ∈ M_n(R). Montrer que A^T A ∈ S_n+(R), que Ker(A^T A) = Ker A, et que A^T A ∈ S_n++(R) si et seulement si A est inversible.

Technique reconnaître X^T A^T A X = ‖AX‖².

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(A^T A)^T = A^T A, donc la matrice est symétrique. De plus X^T A^T A X = (AX)^T(AX) = ‖AX‖² ≥ 0.
Ker A est inclus dans Ker(A^T A) de façon évidente. Réciproquement, si A^T A X = 0, alors en multipliant à gauche par X^T on obtient ‖AX‖² = 0, donc AX = 0.
A^T A est définie positive si et seulement si ‖AX‖² > 0 pour tout X ≠ 0, c'est-à-dire si et seulement si Ker A = {0}.

piège : Passer de A^T A X = 0 à AX = 0 sans multiplier par X^T. A^T n'est pas supposée inversible.

Exercice 4. Coefficients d'une matrice orthogonale

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit A = (a_ij) ∈ O_n(R). Montrer que |Σ a_ij| ≤ n et que Σ |a_ij| ≤ n√n, les sommes portant sur tous les couples (i, j).

Technique Cauchy-Schwarz, avec la conservation de la norme.

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Soit U la colonne remplie de 1, de norme √n. Alors Σ a_ij = U^T A U = ⟨U, AU⟩.
Par Cauchy-Schwarz, |⟨U, AU⟩| ≤ ‖U‖·‖AU‖ = ‖U‖² = n.
Pour la seconde inégalité, on applique Cauchy-Schwarz dans R^n² aux familles (|a_ij|) et (1). On obtient Σ |a_ij| ≤ √(n²)·√(Σ a_ij²).
Chaque colonne est unitaire, donc Σ a_ij² = n. D'où Σ |a_ij| ≤ n√n.

piège : Oublier que ‖AU‖ = ‖U‖. C'est la seule propriété de A utilisée à l'étape 2.

Exercice 5. Projecteur contractant

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit p un projecteur de E. Montrer que p est orthogonal si et seulement si ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖ pour tout x.

Technique Pythagore pour le sens direct, polynôme en t de signe constant pour la réciproque.

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Si p est orthogonal, on écrit x = p(x) + (x − p(x)), les deux termes étant orthogonaux. Pythagore donne ‖x‖² = ‖p(x)‖² + ‖x − p(x)‖² ≥ ‖p(x)‖².
Réciproquement, soient a ∈ Im p et b ∈ Ker p. Pour t réel, p(a + tb) = a, donc ‖a‖² ≤ ‖a + tb‖².
En développant, 2t⟨a, b⟩ + t²‖b‖² ≥ 0 pour tout t.
On divise par t > 0 et on fait tendre t vers 0, ce qui donne ⟨a, b⟩ ≥ 0. Avec t < 0, on obtient ⟨a, b⟩ ≤ 0. Donc ⟨a, b⟩ = 0, et Ker p est orthogonal à Im p.

piège : Oublier le cas t < 0, qui n'établit qu'une inégalité.

Exercice 6. Endomorphismes antisymétriques

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit u ∈ L(E) tel que u* = −u. Montrer que ⟨u(x), x⟩ = 0 pour tout x, que 0 est la seule valeur propre réelle possible, que Ker u = (Im u)⊥ et que le rang de u est pair.

Technique adjoint, orthogonal de l'image, déterminant d'une matrice antisymétrique.

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⟨u(x), x⟩ = ⟨x, −u(x)⟩, donc ce nombre est égal à son opposé, et il est nul.
Si u(x) = λx avec x ≠ 0, alors λ‖x‖² = ⟨u(x), x⟩ = 0, donc λ = 0.
y ∈ (Im u)⊥ équivaut à ⟨u(x), y⟩ = 0 pour tout x, c'est-à-dire à −⟨x, u(y)⟩ = 0 pour tout x. Cela équivaut à u(y) = 0.
F = Im u est stable par u. L'endomorphisme v induit sur F a pour noyau Ker u ∩ Im u = {0} d'après l'étape 3, donc il est bijectif. Il vérifie encore v* = −v pour le produit scalaire induit.
Soit M la matrice de v dans une base orthonormée de F, de taille r = rg u. On a M^T = −M, donc det M = det(−M) = (−1)^r det M. Comme det M ≠ 0, r est pair.

piège : Écrire det(−M) = −det M. Le signe dépend de la taille r.

Exercice 7. Racine carrée positive

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit S ∈ S_n+(R). Montrer qu'il existe une unique R ∈ S_n+(R) telle que R² = S.

Technique théorème spectral pour l'existence, stabilité des sous-espaces propres par un commutant pour l'unicité.

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Existence. On écrit S = P diag(λ_i) P^T avec P orthogonale et λ_i ≥ 0. On pose R = P diag(√λ_i) P^T. Elle est symétrique, de valeurs propres positives, et R² = S.
Unicité. Soit R ∈ S_n+(R) avec R² = S. Alors RS = R³ = SR, donc chaque sous-espace propre E_λ de S est stable par R.
La restriction de R à E_λ est autoadjointe positive, donc diagonalisable, de valeurs propres μ ≥ 0 vérifiant μ² = λ. Donc μ = √λ, et R agit sur E_λ comme √λ fois l'identité.
Comme Rⁿ est la somme directe des E_λ, R est entièrement déterminée par S.

piège : Oublier la positivité de R dans l'unicité. Sans elle, −R et bien d'autres matrices conviennent.

Exercice 8. Quotient de Rayleigh et diagonale

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit S ∈ S_n(R), de valeurs propres λ₁ ≤ … ≤ λ_n. Montrer que λ₁ est le minimum et λ_n le maximum de X^T S X pour X unitaire. En déduire λ₁ ≤ s_ii ≤ λ_n. Montrer enfin que si S ∈ S_n+(R) et s_ii = 0, alors la ligne i et la colonne i de S sont nulles.

Technique base propre orthonormée, puis test sur des vecteurs bien choisis.

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Dans une base propre orthonormée, X^T S X = Σλ_k y_k² avec Σy_k² = 1. Cette quantité est comprise entre λ₁ et λ_n, et ces bornes sont atteintes aux vecteurs propres associés.
Avec X = e_i, on obtient X^T S X = s_ii, donc λ₁ ≤ s_ii ≤ λ_n.
Supposons S positive et s_ii = 0. Pour j ≠ i et t réel, avec X = e_i + t e_j, on a X^T S X = 2t s_ij + t² s_jj ≥ 0.
Comme à l'exercice 5, faire tendre t vers 0 par valeurs positives puis négatives donne s_ij = 0. La symétrie conclut pour la colonne.

piège : Croire qu'une matrice positive à diagonale nulle a seulement ses coefficients diagonaux nuls. Elle est en fait nulle.

Exercice 9. Inégalité de Hadamard

Approfondissement · Type oral Mines

Soit S ∈ S_n+(R). Montrer que det S ≤ s₁₁ s₂₂ … s_nn.

Technique normaliser la diagonale, puis appliquer l'inégalité arithmético-géométrique aux valeurs propres.

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Si S n'est pas inversible, det S = 0, et les s_ii sont positifs d'après l'exercice 8. L'inégalité est vraie.
Sinon S ∈ S_n++(R) et chaque s_ii > 0. On pose Δ = diag(1/√s_ii) et T = ΔSΔ. T est symétrique définie positive, car X^T T X = (ΔX)^T S (ΔX), et ses coefficients diagonaux valent 1.
Les valeurs propres μ_i de T sont strictement positives, de somme tr T = n. L'inégalité arithmético-géométrique, conséquence de la concavité du logarithme, donne det T = Πμ_i ≤ (Σμ_i/n)ⁿ = 1.
Or det T = det S / Π s_ii. D'où le résultat.

piège : Appliquer l'inégalité arithmético-géométrique directement aux valeurs propres de S. On obtient alors (tr S/n)ⁿ, qui est une majoration plus faible.

Exercice 10. Décomposition polaire

Classiques de khôlle et concours · Type oral X

Soit A ∈ GL_n(R). Montrer qu'il existe un unique couple (O, S) avec O ∈ O_n(R), S ∈ S_n++(R) et A = OS.

Technique exercices 3 et 7, en considérant A^T A.

Voir le corrigé

Analyse. Si A = OS, alors A^T A = S O^T O S = S². S est donc la racine carrée positive de A^T A, unique d'après l'exercice 7, et O = AS⁻¹. D'où l'unicité.
Synthèse. A^T A ∈ S_n++(R) d'après l'exercice 3. Sa racine carrée positive S est définie positive, car ses valeurs propres sont les racines de celles de A^T A. On pose O = AS⁻¹.
On calcule O^T O = S⁻¹ A^T A S⁻¹ = S⁻¹ S² S⁻¹ = I, en utilisant (S⁻¹)^T = S⁻¹. Donc O est orthogonale.

piège : Chercher S comme racine de A A^T. On obtient alors l'écriture A = S'O, dans l'autre ordre.

Erreurs fréquentes

Transposer la matrice dans une base non orthonormée pour calculer un adjoint ou pour tester le caractère autoadjoint.
Confondre « déterminant 1 » et « orthogonale », ou « coefficients positifs » et « matrice positive ».
Normaliser les vecteurs d'un sous-espace propre de dimension au moins 2 sans les orthogonaliser.
Appliquer le théorème spectral à une matrice complexe symétrique, ou croire qu'une matrice réelle diagonalisable l'est en base orthonormée.
Écrire (u ∘ v)* = u* ∘ v*, et en déduire que la composée de deux autoadjoints est autoadjointe.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP, section « Endomorphismes d'un espace euclidien ». Elle couvre l'adjoint, les matrices orthogonales, les isométries vectorielles et leur réduction, les endomorphismes autoadjoints et le théorème spectral, puis les endomorphismes autoadjoints positifs. Les rappels de première année sur le produit scalaire sont regroupés au début. Le produit scalaire hermitien est hors programme, et la théorie générale des formes quadratiques aussi.

Espaces euclidiens

Résumé en cinq points

1Rappels de première année

2Adjoint d'un endomorphisme

2.1Représentation des formes linéaires

2.2Définition de l'adjoint

2.3Stabilité de l'orthogonal

3Matrices orthogonales

4Isométries vectorielles

4.1Définition et caractérisations

4.2Groupe orthogonal

4.3Dimension 2

4.4Réduction des isométries

5Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

5.1Définition

5.2Théorème spectral

6Endomorphismes autoadjoints positifs

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Diagonalisation orthogonale

Exercice 2. Reconnaître une rotation

Exercice 3. La matrice A^T A

Exercice 4. Coefficients d'une matrice orthogonale

Exercice 5. Projecteur contractant

Exercice 6. Endomorphismes antisymétriques

Exercice 7. Racine carrée positive

Exercice 8. Quotient de Rayleigh et diagonale

Exercice 9. Inégalité de Hadamard

Exercice 10. Décomposition polaire

Erreurs fréquentes

Au concours

Espaces euclidiens

Résumé en cinq points

1Rappels de première année

2Adjoint d'un endomorphisme

2.1Représentation des formes linéaires

2.2Définition de l'adjoint

2.3Stabilité de l'orthogonal

3Matrices orthogonales

4Isométries vectorielles

4.1Définition et caractérisations

4.2Groupe orthogonal

4.3Dimension 2

4.4Réduction des isométries

5Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

5.1Définition

5.2Théorème spectral

6Endomorphismes autoadjoints positifs

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Diagonalisation orthogonale

Exercice 2. Reconnaître une rotation

Exercice 3. La matrice AT A

Exercice 4. Coefficients d'une matrice orthogonale

Exercice 5. Projecteur contractant

Exercice 6. Endomorphismes antisymétriques

Exercice 7. Racine carrée positive

Exercice 8. Quotient de Rayleigh et diagonale

Exercice 9. Inégalité de Hadamard

Exercice 10. Décomposition polaire

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 3. La matrice A^T A