Le cours

Résumé en cinq points

$i = \dd q/\dd t$ et $u_{AB} = V_A - V_B$ . Lois des nœuds et des mailles, exactes en continu, valables en régime variable pour un circuit petit devant $c$ fois la durée de variation (ARQS).
En convention récepteur, $u i$ est la puissance reçue. En convention générateur, la puissance fournie. Secteur $230 \unite{V}$ , appareils domestiques au kilowatt, électronique au milliampère.
Source réelle : $u = E - r i$ (Thévenin). Résistance : $u = R i$ , effet Joule $R i^2$ .
Série : $R_1 + R_2$ . Parallèle : $\dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ . Diviseurs : $u_2 = E\,\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$ à vide, $i_1 = I\,\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$ . Voltmètre de grande résistance, ampèremètre de faible résistance.
Condensateur : $q = C u$ , $i = C\,\dd u/\dd t$ , énergie $\frac{1}{2} C u^2$ , $u$ continue, $C = \varepsilon S/e$ pour un plan. Bobine : $u = L\,\dd i/\dd t$ , énergie $\frac{1}{2} L i^2$ , $i$ continu.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre pose le vocabulaire de l'électrocinétique : intensité, tension, puissance, conventions, dipôles usuels. Il prépare les circuits du premier et du second ordre, le filtrage et l'électronique de TP.

Lois de Kirchhoff, ponts diviseurs et associations de résistances reviennent dans presque tous les exercices. Aux concours, on attend des signes justes, des ordres de grandeur sensés et des bilans d'énergie propres pour le condensateur et la bobine.

1Grandeurs électriques

1.1Charge électrique et intensité

Définition 1.1Charge électrique

La charge électrique, en coulombs ( $\unite{C}$ ), est un multiple de la charge élémentaire $e \approx 1{,}6 \times 10^{-19} \unite{C}$ . L'électron porte $-e$ . Les porteurs mobiles sont les électrons dans un métal et les ions dans une solution.

Définition 1.2Intensité du courant

L'intensité du courant est le débit de charge à travers une section de conducteur : si une charge $\dd q$ la traverse pendant $\dd t$ dans le sens choisi, $i = \frac{\dd q}{\dd t}.$ Elle s'exprime en ampères ( $1 \unite{A} = 1 \unite{C.s^{-1}}$ ), comptée dans le sens de la flèche. Si $i < 0$ , le courant circule en réalité dans l'autre sens.

Exemple 1.3Compter des électrons

Un courant de $0{,}50 \unite{A}$ pendant une minute fait passer $0{,}50 \times 60 = 30 \unite{C}$ , soit $\frac{30}{1{,}6 \times 10^{-19}} \approx 1{,}9 \times 10^{20}$ électrons.

1.2Régime continu et régime variable

Définition 1.4Régimes continu et variable

En régime continu, les grandeurs ne dépendent pas du temps.
En régime variable, elles en dépendent (sinusoïdal, carré, transitoire).

1.3Potentiel, référence et tension

Définition 1.5Potentiel et tension

Le potentiel électrique $V$ , en volts, est défini à une constante près : on choisit une référence, la masse, de potentiel nul. La tension entre A et B est la différence de potentiel $u_{AB} = V_A - V_B,$ indépendante de la référence. Sur un schéma, on la représente par une flèche qui pointe vers A. On a $u_{BA} = -u_{AB}$ .

1.4Loi des nœuds et loi des mailles

Loi 1.6Loi des nœuds

La somme des intensités qui arrivent à un nœud égale celle des intensités qui en partent (conservation de la charge).

Loi 1.7Loi des mailles

En parcourant une maille dans un sens choisi, la somme algébrique des tensions est nulle : les tensions orientées dans le sens du parcours sont comptées positivement, les autres négativement. Elle découle de l'existence du potentiel : $\begin{aligned} &V_A - V_B + V_B - V_C \\ &+ V_C - V_A = 0. \end{aligned}$

AttentionCondition de validité

En régime continu, ces lois sont exactes. En régime variable, elles supposent la même intensité en tout point d'une branche à chaque instant, donc un circuit petit devant la distance parcourue par un signal électromagnétique pendant la durée typique de variation. C'est l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS), admise dans ce chapitre.

Exemple 1.8Ordre de grandeur de l'ARQS

À $50 \unite{Hz}$ , $c/f = 3 \times 10^{8} / 50 = 6 \times 10^{6} \unite{m}$ , soit $6\,000 \unite{km}$ . Un circuit de paillasse y est largement, pas à plusieurs gigahertz.

1.5Puissance électrique et conventions

Un dipôle est orienté par une intensité $i$ et une tension $u$ .

Définition 1.9Conventions récepteur et générateur

Convention récepteur : flèches de tension et de courant de sens opposés sur le schéma. Le produit $p = u i$ est alors la puissance électrique reçue par le dipôle.
Convention générateur : flèches de même sens. Le produit $p = u i$ est alors la puissance fournie par le dipôle au reste du circuit.

La puissance s'exprime en watts ( $1 \unite{W} = 1 \unite{V} \times 1 \unite{A}$ ). Le signe de $p$ dit ce qui se passe : en convention récepteur, $p < 0$ signifie que le dipôle fournit de l'énergie. L'énergie reçue entre $t_1$ et $t_2$ est l'intégrale de $p\,\dd t$ .

AttentionChangement de convention

Utiliser une loi écrite en convention récepteur ( $u = Ri$ , $i = C\,\dd u/\dd t$ ) sur un dipôle orienté en convention générateur est une erreur classique. Changer de convention change le signe.

1.6Ordres de grandeur

Exemple 1.10Ordres de grandeur

Électronique : du microampère à quelques dizaines de milliampères, quelques volts, du microwatt au watt. Signal nerveux : une centaine de millivolts.
Pile et chargeur : pile de $1{,}5 \unite{V}$ ou $9 \unite{V}$ , chargeur de téléphone $5 \unite{V}$ et environ $2 \unite{A}$ , soit une dizaine de watts.
Domestique : secteur $230 \unite{V}$ efficace à $50 \unite{Hz}$ , prise protégée à $16 \unite{A}$ , bouilloire de l'ordre de $2 \unite{kW}$ , lampe à LED de l'ordre de $10 \unite{W}$ .
Transport et production : motrice de train sous $25 \unite{kV}$ , de l'ordre de $10 \unite{MW}$ , lignes à $400 \unite{kV}$ , réacteur de centrale de l'ordre de $1 \unite{GW}$ électrique. Éclair : des dizaines de kiloampères.

2Dipôles électriques usuels

2.1Source de tension et représentation de Thévenin

Définition 2.1Source idéale de tension

Une source idéale de tension impose une tension $E$ indépendante du courant débité. La tension d'une source réelle baisse quand elle débite.

Définition 2.2Représentation de Thévenin

Une source réelle linéaire est modélisée par une source idéale de force électromotrice $E$ en série avec une résistance $r$ , appelée résistance interne ou résistance de sortie. En convention générateur, $u = E - r i.$ À vide ( $i = 0$ ), $u = E$ . Court-circuitée, elle débiterait $E/r$ .

MéthodeÉvaluer la résistance de sortie

Mesurer la tension à vide $E$ .
Mesurer la tension $u$ aux bornes d'une charge $R$ connue, d'où $i = u/R$ .
Calculer $r = (E - u)/i$ .

Autre méthode : chercher la résistance de charge pour laquelle $u = E/2$ , elle vaut $r$ .

Exemple 2.3Résistance interne d'une pile

Une pile donne $4{,}5 \unite{V}$ à vide et $4{,}0 \unite{V}$ aux bornes de $10 \unite{\Omega}$ . Alors $i = 0{,}40 \unite{A}$ et $r = 0{,}50 / 0{,}40 \approx 1{,}3 \unite{\Omega}$ . Un GBF de TP a typiquement une résistance de sortie de $50 \unite{\Omega}$ .

2.2Système à comportement résistif

Loi 2.4Loi d'Ohm

Un conducteur ohmique vérifie, en convention récepteur, $u = R i$ , avec $R > 0$ en ohms ( $\unite{\Omega}$ ). On définit aussi la conductance $G = 1/R$ en siemens. Ce modèle vaut pour de nombreux matériaux, à température fixée et dans une plage limitée de courant.

Propriété 2.5Effet Joule

La puissance reçue $p = u i = R i^2 = \frac{u^2}{R}$ est positive et entièrement convertie en chaleur.

Exemple 2.6Puissance dissipée

Une résistance de $100 \unite{\Omega}$ parcourue par $0{,}20 \unite{A}$ dissipe $100 \times 0{,}04 = 4{,}0 \unite{W}$ , soit $240 \unite{J}$ en une minute. Une résistance prévue pour $1/4 \unite{W}$ serait détruite.

Une résistance nulle équivaut à un fil, une résistance infinie à un interrupteur ouvert.

2.3Associations de deux résistances

Propriété 2.7Association en série

Deux résistances en série sont parcourues par le même courant. Les tensions s'ajoutent : $u = (R_1 + R_2) i$ . La résistance équivalente est $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2,$ supérieure à chacune.

Propriété 2.8Association en parallèle

Deux résistances en parallèle (ou en dérivation) ont la même tension. Les courants s'ajoutent : $i = u/R_1 + u/R_2$ . Les conductances s'ajoutent : $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2},$ soit $R_{\text{eq}} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ , inférieure à chacune.

Exemple 2.9Résistances équivalentes

$100 \unite{\Omega}$ et $220 \unite{\Omega}$ en série donnent $320 \unite{\Omega}$ .
$100 \unite{\Omega}$ et $400 \unite{\Omega}$ en parallèle donnent $40\,000 / 500 = 80 \unite{\Omega}$ .
Deux résistances égales $R$ en parallèle donnent $R/2$ .

AttentionVérifier les nœuds

Deux résistances voisines ne sont en série que si aucune branche ne part du point qui les relie.

2.4Pont diviseur de tension

Propriété 2.10Pont diviseur de tension

Hypothèses

deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série, soumises à une tension $E$ ;
même courant dans les deux, aucun courant prélevé au point milieu (pont à vide).

Alors $i = E/(R_1 + R_2)$ et la tension aux bornes de $R_2$ vaut $u_2 = E\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}.$

Exemple 2.11Diviseur de tension

$E = 12 \unite{V}$ , $R_1 = 2{,}0 \unite{k\Omega}$ , $R_2 = 1{,}0 \unite{k\Omega}$ donnent $u_2 = 12 \times 1/3 = 4{,}0 \unite{V}$ .

Avec une charge $R_c$ aux bornes de $R_2$ , on remplace $R_2$ par l'association parallèle de $R_2$ et $R_c$ , et la tension obtenue baisse.

2.5Pont diviseur de courant

Propriété 2.12Pont diviseur de courant

Hypothèses

deux résistances $R_1$ et $R_2$ en parallèle ;
courant total $I$ .

Alors $i_1 = I\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}, \quad i_2 = I\,\frac{R_1}{R_1 + R_2}.$ Le courant passe surtout par la branche de plus faible résistance.

Exemple 2.13Diviseur de courant

$I = 30 \unite{mA}$ , $R_1 = 100 \unite{\Omega}$ , $R_2 = 200 \unite{\Omega}$ donnent $i_1 = 30 \times 200/300 = 20 \unite{mA}$ et $i_2 = 10 \unite{mA}$ .

AttentionNumérateur

Dans le diviseur de courant, c'est l'autre résistance qui apparaît au numérateur, à l'inverse du diviseur de tension.

2.6Influence des appareils de mesure

Un voltmètre, en parallèle, équivaut à une résistance d'entrée $R_V$ , grande mais finie (typiquement $10 \unite{M\Omega}$ pour un multimètre numérique, $1 \unite{M\Omega}$ pour une entrée d'oscilloscope). Idéal : $R_V$ infinie, aucun courant prélevé.

Exemple 2.14Erreur due au voltmètre

Un pont de deux résistances de $1{,}0 \unite{M\Omega}$ sous $E = 10 \unite{V}$ devrait donner $5{,}0 \unite{V}$ . Avec $R_V = 1{,}0 \unite{M\Omega}$ , la résistance du bas devient $0{,}50 \unite{M\Omega}$ et on mesure $10 \times 0{,}5/1{,}5 \approx 3{,}3 \unite{V}$ . Avec des résistances de $1 \unite{k\Omega}$ , l'erreur serait négligeable.

Un voltmètre perturbe peu si $R_V$ est très grande devant les résistances du montage.

Un ampèremètre, en série, équivaut à une petite résistance $R_A$ . Idéal : $R_A$ nulle, aucune tension à ses bornes.

Exemple 2.15Erreur due à l'ampèremètre

Une source idéale de $1{,}0 \unite{V}$ alimente $10 \unite{\Omega}$ , on attend $100 \unite{mA}$ . Avec un ampèremètre de $1{,}0 \unite{\Omega}$ , on lit $1{,}0/11 \approx 91 \unite{mA}$ , soit $9\,\%$ d'écart.

$R_A$ doit être très petite devant les résistances de la branche.

2.7Système à comportement capacitif : condensateur idéal

Définition 2.16Condensateur idéal

Un condensateur est formé de deux armatures conductrices séparées par un isolant, de charges opposées $q$ et $-q$ . Pour le condensateur idéal, la charge $q$ de l'armature vers laquelle pointe la flèche de tension est proportionnelle à la tension : $q = C u.$ La constante $C > 0$ est la capacité, en farads ( $\unite{F}$ ). Valeurs usuelles : du picofarad au millifarad.

Propriété 2.17Relation courant-tension

En convention récepteur, $i$ arrive sur l'armature de charge $q$ , donc $i = \frac{\dd q}{\dd t} = C\,\frac{\dd u}{\dd t}.$ En régime continu, $i = 0$ : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

Propriété 2.18Continuité de la tension

Une discontinuité de $u$ imposerait un courant infini, impossible. La tension d'un condensateur est donc continue, son courant peut être discontinu.

Propriété 2.19Énergie stockée dans un condensateur

En convention récepteur, $p = u i = C u\,\frac{\dd u}{\dd t} = \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{2} C u^2\right).$ Partant d'un condensateur déchargé, l'énergie reçue jusqu'à la tension $u$ vaut $E_C = \frac{1}{2} C u^2 = \frac{q^2}{2C}.$ Elle est stockée, pas dissipée, donc restituable.

Exemple 2.20Énergie d'un condensateur

$C = 100 \unite{\mu F}$ sous $10 \unite{V}$ porte $q = 1{,}0 \unite{mC}$ et stocke $\frac{1}{2} \times 10^{-4} \times 100 = 5{,}0 \unite{mJ}$ .

Propriété 2.21Capacité d'un condensateur plan

Hypothèses

deux armatures planes de surface $S$ ;
distance $e$ petite devant leurs dimensions ;
isolant de permittivité $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ .

Alors $C = \frac{\varepsilon S}{e},$ où $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12} \unite{F.m^{-1}}$ .

Exemple 2.22Condensateur plan

$S = 100 \unite{cm^2} = 1{,}0 \times 10^{-2} \unite{m^2}$ , $e = 1{,}0 \unite{mm}$ , dans l'air ( $\varepsilon_r \approx 1$ ) : $C = \frac{8{,}85 \times 10^{-12} \times 10^{-2}}{10^{-3}} \approx 89 \unite{pF}.$ Un farad est énorme : les fortes capacités exigent de grandes surfaces et des isolants minces.

2.8Système à comportement inductif : bobine idéale

Définition 2.23Bobine idéale

La bobine idéale, enroulement de fil sans résistance, vérifie en convention récepteur $u = L\,\frac{\dd i}{\dd t},$ où $L > 0$ est l'inductance, en henrys ( $\unite{H}$ ). Valeurs usuelles : du microhenry à une fraction de henry.

En régime continu, $u = 0$ : la bobine idéale se comporte comme un fil. Une bobine réelle se modélise souvent par une bobine idéale en série avec sa résistance.

Propriété 2.24Continuité du courant

Une discontinuité de $i$ imposerait une tension infinie, donc le courant dans une bobine est continu, sa tension peut être discontinue.

Exemple 2.25Ouverture d'un circuit inductif

Couper en $1 \unite{\mu s}$ un courant de $0{,}10 \unite{A}$ dans $L = 10 \unite{mH}$ donne $\dd i/\dd t$ de l'ordre de $10^{5} \unite{A.s^{-1}}$ et une tension de l'ordre de $0{,}01 \times 10^{5} = 1\,000 \unite{V}$ . D'où l'étincelle à l'ouverture d'un circuit inductif.

Propriété 2.26Énergie stockée dans une bobine

En convention récepteur, $p = u i = L i\,\frac{\dd i}{\dd t} = \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{2} L i^2\right).$ Partant d'un courant nul, l'énergie stockée vaut $E_L = \frac{1}{2} L i^2.$

Exemple 2.27Énergie d'une bobine

$L = 10 \unite{mH}$ parcourue par $2{,}0 \unite{A}$ stocke $\frac{1}{2} \times 0{,}01 \times 4 = 20 \unite{mJ}$ .

À retenir

Condensateur : $i = C\,\dd u/\dd t$ , $u$ continue, énergie $\frac{1}{2}Cu^2$ . Bobine : $u = L\,\dd i/\dd t$ , $i$ continu, énergie $\frac{1}{2}Li^2$ .

3Capacités expérimentales associées

Mesurer une tension au voltmètre numérique ou à l'oscilloscope, en parallèle.
Mesurer une intensité à l'ampèremètre, en série, ou à l'oscilloscope en relevant la tension aux bornes d'une résistance connue et choisie petite ( $i = u/R$ ).
Mesurer une résistance à l'ohmmètre, hors circuit, ou indirectement par un diviseur de tension avec une résistance connue.
Mesurer directement une capacité au capacimètre, condensateur hors circuit et déchargé.
Produire avec un GBF un signal de forme, d'amplitude, de fréquence et de valeur moyenne (décalage) données.

3.1Nature de la grandeur affichée

Il faut préciser la nature de la grandeur affichée :

valeur moyenne (mode DC d'un multimètre) ;
valeur efficace de la seule composante alternative (mode AC, appareil TRMS exigé pour un signal non sinusoïdal) ;
valeur efficace totale (mode AC+DC si l'appareil le permet) ;
amplitude, valeur crête à crête.

Exemple 3.1Valeurs d'un créneau et d'un sinus

Un créneau $0/5 \unite{V}$ a une valeur moyenne de $2{,}5 \unite{V}$ et une valeur efficace totale de $5/\sqrt{2} \approx 3{,}5 \unite{V}$ , mais le mode AC affiche $2{,}5 \unite{V}$ . Pour un signal sinusoïdal, la valeur efficace vaut l'amplitude divisée par $\sqrt{2}$ : $230 \unite{V}$ efficace correspondent à environ $325 \unite{V}$ d'amplitude.

3.2Résolution et limites des appareils

La résolution vaut environ le calibre divisé par le nombre de points. Un appareil de $2\,000$ points affiche au centième de volt ( $10 \unite{mV}$ ) sur le calibre $20 \unite{V}$ , au millivolt sur le calibre $2 \unite{V}$ : un petit calibre affine la résolution.

Il faut connaître les limites des appareils :

la résistance d'entrée (voir plus haut) ;
la bande passante, plage de fréquences où la mesure est correcte. Au-delà, la valeur lue est atténuée.

Ordres de grandeur : quelques centaines de hertz à quelques kilohertz pour un multimètre courant en mode AC, de la dizaine à la centaine de mégahertz pour un oscilloscope de TP.

3.3Association de blocs et masses

On associe des blocs (isolation, amplification, filtrage, sommation, intégration), utilisés ici comme boîtes noires et étudiés dans les chapitres suivants, en gérant les impédances d'entrée et de sortie.

Propriété 3.2Association de blocs

Un bloc de sortie de Thévenin $(E, R_s)$ transmet à un bloc de résistance d'entrée $R_e$ la tension $u = E\,\frac{R_e}{R_e + R_s}.$ Le transfert est fidèle si $R_e \gg R_s$ .

Exemple 3.3Adaptation d'impédances

Un GBF de $50 \unite{\Omega}$ branché sur une entrée de $1 \unite{M\Omega}$ donne un écart relatif d'environ $5 \times 10^{-5}$ , mais sur une charge de $50 \unite{\Omega}$ la tension est divisée par deux.

AttentionMasses

Les masses du GBF et de l'oscilloscope sont souvent reliées par la terre. Les brancher en deux points différents court-circuite une partie du montage.

Méthodes

MéthodeMettre en équation un circuit de résistances

Orienter chaque courant et chaque tension, et noter la convention de chaque dipôle avant d'écrire sa loi.
Simplifier par associations série et parallèle, en vérifiant les nœuds.
Utiliser un pont diviseur dès que deux résistances sont parcourues par le même courant (tension) ou soumises à la même tension (courant). Vérifier l'hypothèse avant.

MéthodeRégime continu

Remplacer le condensateur par un interrupteur ouvert.
Remplacer la bobine idéale par un fil.

MéthodeBilan d'énergie

Multiplier la loi de maille par $i$ .
Reconnaître des dérivées d'énergies.

MéthodeContrôler un résultat

Vérifier l'homogénéité.
Examiner les cas limites.
Contrôler l'ordre de grandeur.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Relier intensité et débit de charge, compter des électrons.
Écrire les lois des nœuds et des mailles sur un circuit et dire dans quel cadre elles valent en régime variable.
Passer d'une convention à l'autre et interpréter le signe de la puissance.
Déterminer la résistance de sortie d'une source à partir de deux mesures.
Établir les résistances équivalentes série et parallèle, puis les formules des diviseurs de tension et de courant.
Évaluer l'erreur due à la résistance d'entrée d'un voltmètre ou d'un ampèremètre.
Établir l'énergie stockée dans un condensateur et dans une bobine, et justifier la continuité de $u$ ou de $i$ .
Calculer la capacité d'un condensateur plan avec la formule fournie.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Intensité i = dq/dt, débit de charge à travers une section, en ampères. Exigible.
Tension u_AB = V_A − V_B, indépendante de la référence de potentiel. Exigible.
Loi des nœuds et loi des mailles : exactes en régime continu, valables en régime variable dans l'ARQS. Exigibles.
En convention récepteur, p = u i est la puissance reçue. En convention générateur, la puissance fournie. Exigible.
Source réelle, modèle de Thévenin, en convention générateur : u = E − r i. Exigible, avec la mesure de r.
Loi d'Ohm u = R i en convention récepteur et puissance Joule R i² = u²/R ≥ 0. Exigible.
Série : R₁ + R₂. Parallèle : R₁R₂/(R₁ + R₂). Exigible, à savoir établir.
Diviseur de tension à vide u₂ = E R₂/(R₁ + R₂) et diviseur de courant i₁ = I R₂/(R₁ + R₂). Exigible, à savoir établir, hypothèses comprises.
Voltmètre : grande résistance d'entrée en parallèle. Ampèremètre : petite résistance en série. Influence sur la mesure à savoir évaluer.
Condensateur idéal : q = C u, i = C du/dt en convention récepteur, tension continue, énergie ½ C u². Énergie exigible avec démonstration.
Condensateur plan : C = ε₀ ε_r S/e. Expression fournie, à exploiter.
Bobine idéale : u = L di/dt en convention récepteur, courant continu, énergie ½ L i². Énergie exigible avec démonstration.
Ordres de grandeur d'intensités, de tensions et de puissances dans plusieurs domaines : exigibles.
Hors de ce chapitre mais au programme de MP2I : équations différentielles des circuits du premier et du second ordre (chapitre suivant), régime sinusoïdal forcé et impédances complexes. Hors programme signalé : théorème de Millman, lois de Kirchhoff hors ARQS.

Clés de démonstration

Loi des mailles. Chaque tension est une différence de potentiels. Le long d'une maille, la somme télescopique V_A − V_B + V_B − V_C + … + V_Z − V_A est nulle. L'astuce est de ne rien supposer sur les dipôles : la loi vient de l'existence du potentiel.

Résistances équivalentes. En série, même courant, on additionne les tensions : u = R₁ i + R₂ i. En parallèle, même tension, on additionne les courants : i = u/R₁ + u/R₂. L'astuce est d'identifier d'abord la grandeur commune.

Diviseurs. Pour la tension, on calcule le courant commun i = E/(R₁ + R₂), puis u₂ = R₂ i. Pour le courant, on calcule la tension commune u = I R₁R₂/(R₁ + R₂), puis i₁ = u/R₁. L'astuce est de repasser par la grandeur commune pour ne pas se tromper de numérateur.

Résistance de sortie. Deux mesures (i₁, u₁) et (i₂, u₂) donnent deux équations u = E − r i, d'où r = (u₁ − u₂)/(i₂ − i₁). L'astuce est que la caractéristique est une droite de pente −r.

Énergie du condensateur. En convention récepteur, p = u i = C u du/dt, qui est la dérivée de ½ C u². On intègre depuis l'état déchargé. L'astuce est de reconnaître une dérivée de carré.

Énergie de la bobine. Même calcul avec p = L i di/dt = d(½ L i²)/dt. La continuité suit : une énergie qui sauterait demanderait une puissance infinie.

Exemples et contre-exemples à connaître

Une lampe à incandescence de 60 W sous 230 V tire 60/230 ≈ 0,26 A et a, à chaud, une résistance de 230²/60 ≈ 880 Ω. À froid, elle est bien plus faible.
Une pile de 1,5 V de résistance interne 0,5 Ω en court-circuit débite 3 A et chauffe. Le modèle de Thévenin explique pourquoi on ne court-circuite pas une source.
Deux sources idéales de tensions différentes branchées en parallèle violent la loi des mailles. Le modèle idéal n'a plus de sens.
Une bobine idéale branchée seule sur une source idéale de tension continue E voit son courant croître sans fin, à la vitesse E/L. « La bobine est un fil en continu » décrit un état établi, qui n'existe pas ici.
Une batterie de voiture de 12 V et 60 A h contient une charge de 60 × 3 600 = 216 000 C et environ 2,6 MJ.
Un supercondensateur de 3 000 F sous 2,7 V stocke ½ × 3 000 × 2,7² ≈ 11 kJ, environ 240 fois moins que cette batterie.
En convention récepteur, une batterie en charge a p > 0, en décharge p < 0. Le signe de p dépend du fonctionnement, pas du composant.
Un multimètre en mode AC sur une tension continue de 5 V affiche 0 V. Il ne mesure que la composante alternative.
Un câble de 10 m vérifie l'ARQS à 1 MHz (c/f = 300 m), pas à 1 GHz (c/f = 30 cm).

Techniques du chapitre

Technique 1, lire le signe d'une puissance. Mini-exercice : un dipôle orienté en convention générateur a u = 5,0 V et i = −0,20 A. La puissance fournie vaut u i = −1,0 W. Il reçoit donc 1,0 W : il fonctionne en récepteur.

Technique 2, réduire un circuit en régime continu. Mini-exercice : E = 10 V, R₁ = 1,0 kΩ et une bobine idéale L = 0,10 H en série, puis R₂ = 4,0 kΩ en parallèle avec C = 1,0 µF. En continu, la bobine est un fil, le condensateur un interrupteur ouvert. i = 10/5 000 = 2,0 mA, u_C = 4 000 × 0,002 = 8,0 V. Énergies : ½ × 10⁻⁶ × 64 = 32 µJ et ½ × 0,10 × (2 × 10⁻³)² = 0,20 µJ.

Technique 3, appliquer un diviseur sans recalculer. Mini-exercice : E = 9,0 V, R₁ = 3,3 kΩ, R₂ = 6,8 kΩ, pont à vide. u₂ = 9,0 × 6,8/10,1 ≈ 6,1 V.

Technique 4, vérifier l'ARQS. Mini-exercice : circuit de 30 cm à 100 MHz. c/f = 3 m, seulement dix fois la taille du circuit. On est à la limite, et les lois de Kirchhoff deviennent douteuses.

Technique 5, interpréter les modes d'un multimètre. Mini-exercice : sinus d'amplitude 2,0 V avec un décalage de 1,0 V. Mode DC : 1,0 V. Mode AC : 2,0/√2 ≈ 1,4 V. Mode AC+DC : √(1,0² + (2,0/√2)²) = √(1 + 2) = √3 ≈ 1,7 V, car le carré de la valeur efficace totale est la somme des carrés.

Technique 6, résolution d'un appareil. Mini-exercice : appareil de 2 000 points sur le calibre 2 V. La résolution vaut environ 2/2 000 = 1 mV. Sur le calibre 200 V, 0,1 V.

Technique 7, condensateur sous tension en rampe. Mini-exercice : u passe linéairement de 0 à 10 V en 1,0 ms aux bornes de C = 2,0 µF. i = C du/dt = 2 × 10⁻⁶ × 10⁴ = 20 mA, constant pendant la rampe, nul ensuite.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une alimentation donne 9,0 V aux bornes d'une résistance de 90 Ω, et 7,5 V aux bornes de 25 Ω. Déterminer son modèle de Thévenin.

Technique deux points de la caractéristique u = E − r i.

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i₁ = 9,0/90 = 0,10 A et i₂ = 7,5/25 = 0,30 A.
r = (u₁ − u₂)/(i₂ − i₁) = 1,5/0,20 = 7,5 Ω.
E = u₁ + r i₁ = 9,0 + 0,75 = 9,75 V.
Vérification : 9,75 − 7,5 × 0,30 = 7,5 V.

piège : Prendre E = 9,0 V, la tension sous la première charge, au lieu de la tension à vide.

Exercice 2

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

E = 12 V alimente R₁ = 1,0 kΩ en série avec l'association parallèle de R₂ = R₃ = 2,0 kΩ. Calculer courants, tensions et puissances, puis faire le bilan.

Technique réduction, puis remontée.

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R₂ ∥ R₃ = 1,0 kΩ, résistance totale 2,0 kΩ, donc I = 6,0 mA.
u₁ = 1 000 × 0,006 = 6,0 V, la tension commune vaut 6,0 V, et i₂ = i₃ = 3,0 mA.
Puissances : R₁ I² = 36 mW, et 18 mW pour chacune des deux autres.
Bilan : 36 + 18 + 18 = 72 mW, égal à E I = 12 × 0,006 = 72 mW fournis par la source.

piège : Appliquer le diviseur de tension entre R₁ et R₂ seule, en oubliant R₃.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un pont de deux résistances de 10 kΩ sous E = 10 V alimente une charge R_c branchée aux bornes de R₂. Pour quelle valeur de R_c la tension tombe-t-elle à 4,5 V, soit 10 % sous la valeur à vide ?

Technique diviseur avec résistance parallèle équivalente.

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On remplace R₂ et R_c par R_p, et u = E R_p/(R₁ + R_p).
u = 4,5 V donne R_p/(10 + R_p) = 0,45, soit 0,55 R_p = 4,5, d'où R_p = 90/11 ≈ 8,2 kΩ.
1/R_c = 11/90 − 1/10 = 2/90, donc R_c = 45 kΩ.
Conclusion : la tension reste à 10 % près tant que R_c ≥ 45 kΩ, environ 4,5 fois R₂.

piège : Écrire u = E R_c/(R₁ + R_c), comme si R₂ disparaissait.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

On mesure une résistance R avec un voltmètre (R_V = 10 MΩ) et un ampèremètre (R_A = 1,0 Ω). En courte dérivation, le voltmètre est aux bornes de R seule. En longue dérivation, il est aux bornes de l'ensemble R et ampèremètre. Comparer pour R = 100 Ω et R = 1,0 MΩ.

Technique résistance mesurée U/I.

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Courte dérivation : l'ampèremètre mesure le courant dans R et dans le voltmètre. U/I = R ∥ R_V. Pour 100 Ω, l'erreur relative vaut environ R/R_V = 10⁻⁵. Pour 1,0 MΩ, R ∥ R_V = 10/11 MΩ ≈ 0,91 MΩ, soit 9 % d'erreur.
Longue dérivation : le voltmètre mesure la tension sur R et sur l'ampèremètre. U/I = R + R_A. Pour 100 Ω, 101 Ω, soit 1 % d'erreur. Pour 1,0 MΩ, l'erreur vaut 10⁻⁶.
Règle : courte dérivation pour une petite résistance, longue pour une grande.

piège : Retenir un montage « toujours meilleur ». Le choix dépend de R devant R_A et R_V.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un galvanomètre dévie à pleine échelle pour 1,0 mA et a une résistance de 50 Ω. Quelle résistance R_s placer en parallèle pour mesurer jusqu'à 1,0 A ?

Technique diviseur de courant.

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i_g = I R_s/(R_s + R_g) doit valoir 1,0 mA pour I = 1,0 A.
R_s = R_g i_g/(I − i_g) = 50 × 10⁻³/0,999 ≈ 0,050 Ω.
L'ampèremètre obtenu a une résistance R_s ∥ R_g ≈ 0,050 Ω : il perturbe peu le circuit.

piège : Mettre R_g au numérateur du diviseur au lieu de R_s.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Dans une bobine idéale de 50 mH, orientée en convention récepteur, le courant passe linéairement de 0 à 2,0 A en 4,0 ms, reste constant 4,0 ms, puis revient à 0 en 2,0 ms. Tracer u(t) et faire le bilan d'énergie.

Technique u = L di/dt et énergie ½ L i².

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Montée : u = 0,050 × 2,0/0,004 = 25 V. Palier : u = 0. Descente : u = 0,050 × (−2,0)/0,002 = −50 V.
Énergie maximale : ½ × 0,050 × 2,0² = 0,10 J.
Contrôle : pendant la montée, p = 25 i, et le courant moyen vaut 1,0 A, donc l'énergie reçue vaut 25 × 1,0 × 0,004 = 0,10 J. Pendant la descente, la bobine rend 0,10 J.
La tension est discontinue, le courant continu, comme l'exige le modèle.

piège : Donner une tension non nulle pendant le palier. Un courant constant ne crée aucune tension aux bornes d'une bobine idéale.

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

On veut un condensateur plan de 1,0 nF avec un isolant de permittivité relative 4,0 et d'épaisseur 0,10 mm. Quelle surface faut-il, et quelle énergie stocke-t-il sous 50 V ?

Technique exploiter l'expression fournie C = ε₀ ε_r S/e.

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S = C e/(ε₀ ε_r) = 10⁻⁹ × 10⁻⁴/(8,85 × 10⁻¹² × 4,0) ≈ 2,8 × 10⁻³ m², soit 28 cm².
Énergie : ½ × 10⁻⁹ × 50² = 1,25 µJ, soit environ 1,3 µJ.
Pour gagner en capacité sans grossir, on enroule deux armatures longues et minces séparées d'un film isolant fin.

piège : Oublier ε_r, ou laisser l'épaisseur en millimètres.

Exercice 9

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une source (E, r) alimente une résistance R. Pour quelle valeur de R la puissance reçue est-elle maximale ? Quel est alors le rendement ?

Technique diviseur et étude de fonction.

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i = E/(R + r), donc P = R i² = E² R/(R + r)².
dP/dR = E² [(R + r)² − 2R(R + r)]/(R + r)⁴ = E² (r − R)/(R + r)³. P croît pour R < r et décroît ensuite.
Maximum en R = r : P_max = E²/(4r).
Rendement : P/(E i) = R/(R + r) = 1/2. La moitié de la puissance est perdue dans r.

piège : Croire que l'adaptation donne le meilleur rendement. Le rendement tend vers 1 quand R est grande, mais la puissance tend alors vers 0.

Exercice 6

Approfondissement · Type écrit Mines

Un fil de cuivre de section S = 1,0 mm² est parcouru par I = 1,0 A. Il contient n = 8,5 × 10²⁸ électrons libres par mètre cube. Calculer la vitesse moyenne des électrons et commenter.

Technique débit de charge.

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Pendant dt, les électrons qui traversent S sont dans un cylindre de longueur v dt. La charge correspondante vaut n e S v dt, d'où I = n e S v.
v = I/(n e S) = 1/(8,5 × 10²⁸ × 1,6 × 10⁻¹⁹ × 10⁻⁶) ≈ 7,4 × 10⁻⁵ m/s, moins d'un dixième de millimètre par seconde.
Pourtant la lampe s'allume aussitôt : ce qui se propage vite, c'est le signal électromagnétique qui met tous les électrons en mouvement, pas les électrons eux-mêmes.

piège : Oublier de convertir 1 mm² en 10⁻⁶ m².

Exercice 10

Approfondissement · Type écrit Mines

Un condensateur C chargé sous U₀ est relié, à travers une résistance R, à un condensateur identique déchargé. Déterminer l'état final et l'énergie dissipée.

Technique conservation de la charge et bilan d'énergie.

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Les armatures reliées par le fil, isolées du reste, conservent leur charge totale : C U₀ = C U_f + C U_f, d'où U_f = U₀/2.
Énergie initiale : ½ C U₀². Énergie finale : 2 × ½ C (U₀/2)² = ¼ C U₀².
La différence, ¼ C U₀², soit la moitié, est dissipée par effet Joule dans R.
Ce résultat ne dépend pas de R : une résistance plus faible donne un courant plus fort mais plus bref.

piège : Conserver l'énergie au lieu de la charge. On trouverait U₀/√2, qui viole la conservation de la charge.

Erreurs fréquentes

Écrire u = R i, i = C du/dt ou u = L di/dt sur un dipôle orienté en convention générateur. Le signe change avec la convention.
Appliquer un diviseur de tension alors qu'un courant part du point milieu. Il faut d'abord regrouper la charge en parallèle.
Mettre la mauvaise résistance au numérateur du diviseur de courant.
Oublier les conversions : mm² en m², kΩ en Ω, mA en A, µF en F. Contrôler l'ordre de grandeur du résultat.
Confondre la tension à vide E d'une source et la tension qu'elle donne en charge, ou un appareil réel et un appareil idéal.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MP2I (2021), thème « Ondes et signaux », partie 1.2 « Signaux et composants électriques », complétée par les capacités expérimentales d'électricité qui s'y rattachent.