Formation des images

Résumé en cinq points

1Sources lumineuses

1.1Spectre d'une source

La lumière est une onde électromagnétique.

Exemples de spectres :

• spectre continu : corps chaud (Soleil) ;
• spectre de raies : gaz excité (sodium, $589 \unite{nm}$) ;
• laser quasi monochromatique (hélium-néon, $632{,}8 \unite{nm}$).

1.2Longueur d'onde et couleur

Le visible s'étend environ de $400 \unite{nm}$ (violet) à $800 \unite{nm}$ (rouge), en passant par le bleu, le vert et le jaune. En dessous, c'est l'ultraviolet, au-dessus, l'infrarouge.

1.3Modèle de la source ponctuelle monochromatique

2Modèle de l'optique géométrique

2.1Rayon lumineux et indice

Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite le long de rayons lumineux, indépendants et réversibles.

Ordres de grandeur :

• air : $n \approx 1{,}000\,3$ (on prend 1) ;
• eau : $n \approx 1{,}33$ ;
• verre : $n \approx 1{,}5$.

Dans le milieu, $\lambda = \lambda_0/n$ et la fréquence ne change pas. L'indice dépend de $\lambda$ : c'est la dispersion.

2.2Limites du modèle

Le modèle vaut quand obstacles et ouvertures sont grands devant la longueur d'onde. Un trou réduit à quelques $\lambda$ élargit le faisceau au lieu de l'affiner : c'est la diffraction. Le modèle ignore aussi les interférences.

2.3Lois de Snell-Descartes

Sur un dioptre entre milieux d'indices $n_1$ et $n_2$, les angles $i_1$ et $i_2$ sont mesurés depuis la normale, non orientés, entre $0$ et $90^\circ$.

Vers un milieu plus réfringent ($n_2 > n_1$), le rayon se rapproche de la normale.

2.4Réflexion totale

Si $n_1 > n_2$, $\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2}\sin i_1$ dépasserait 1 dès que $\sin i_1 > \dfrac{n_2}{n_1}$ : plus de rayon réfracté, tout est réfléchi.

2.5Fibre optique à saut d'indice

Un cœur cylindrique d'indice $n_1$ est entouré d'une gaine d'indice $n_2 < n_1$. La lumière y est guidée par réflexions totales successives.

Cône d'acceptance

On se limite aux rayons méridiens, contenus dans un plan qui contient l'axe de la fibre. Un tel rayon entre depuis l'air (indice pris égal à 1) par la face plane perpendiculaire à l'axe, sous l'angle $\theta$ avec l'axe.

Dispersion intermodale

Avec les valeurs précédentes et $L = 1 \unite{km}$, $\Delta t \approx 68 \unite{ns}$. Les impulsions doivent être espacées de plus que $\Delta t$ : le débit est limité à environ $1/\Delta t$, de l'ordre de $10^{7}$ bits par seconde. Rapprocher $n_2$ de $n_1$ réduit $\Delta t$ mais rétrécit le cône.

3Image d'un objet

3.1Stigmatisme et conventions

Conventions :

• axe optique orienté dans le sens de la lumière, de gauche à droite ;
• distances $\overline{OA}$ algébriques, positives si $A$ est après $O$ ;
• tailles $\overline{AB}$ positives vers le haut ;
• angle d'un rayon positif s'il monte.

3.2Miroir plan

Pour un objet étendu $AB$, chaque point a pour image son symétrique, donc $A'B'$ est le symétrique de $AB$, de même taille, droit ($\gamma = +1$).

3.3Stigmatisme approché et conditions de Gauss

Le stigmatisme approché suffit : les rayons issus de $A$ passent tous au voisinage de $A'$, la tache obtenue étant plus petite que la taille d'un pixel (ou d'un grain) du détecteur.

Capacité numérique : lentille demi-boule

On considère une demi-boule de verre de rayon $R$ et d'indice $n$, de centre $C$. Un faisceau parallèle à l'axe entre par la face plane sans déviation. Un rayon de hauteur $h$ atteint la face sphérique sous l'incidence $i$ avec $\sin i = h/R$, ressort sous l'angle $r$ avec $\sin r = n\sin i$, et coupe l'axe en $F$ avec $$CF = R\cos i + \frac{h}{\tan(r - i)}.$$

On exclut $h = 0$ : alors $i = r = 0$ et $\tan(r - i) = 0$ donnerait une division par zéro. Ce cas est la limite paraxiale $\dfrac{nR}{n-1}$. Au-delà de $R/n$, il y a réflexion totale.

Les rayons éloignés de l'axe convergent plus près (aberration sphérique) : le stigmatisme n'est qu'approché, bon pour $h$ petit devant $R$.

3.4Lentilles minces : éléments caractéristiques

Éléments caractéristiques :

• Centre optique $O$ : un rayon passant par $O$ n'est pas dévié.
• Foyer principal image $F'$ : image d'un point objet à l'infini sur l'axe. Un rayon incident parallèle à l'axe ressort en passant par $F'$.
• Foyer principal objet $F$ : point dont l'image est à l'infini sur l'axe. Un rayon passant par $F$ ressort parallèle à l'axe.
• Lentille plongée dans un même milieu des deux côtés (l'air) : $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport à $O$.

Selon le signe de $f'$ :

• lentille convergente : $f' > 0$, $F'$ réel après la lentille ;
• lentille divergente : $f' < 0$, $F'$ virtuel avant la lentille.

3.5Construction d'une image

Un objet à l'infini vu sous l'angle $\alpha$ a son image dans le plan focal image, à la hauteur $f'\alpha$. Un rayon quelconque se construit avec son parallèle passant par $O$ et le plan focal image.

3.6Formules de conjugaison et de grandissement

Lecture du grandissement :

• $\gamma > 0$ : image droite ;
• $\gamma < 0$ : image renversée ;
• $\abs{\gamma} > 1$ : image agrandie.

3.7Condition $D \geqslant 4f'$

On cherche l'image réelle d'un objet réel par une lentille convergente, sur un écran placé à la distance fixe $D$ de l'objet.

3.8Former une image en pratique

Au banc d'optique, on éclaire l'objet, on choisit la focale selon la place ($D \geqslant 4f'$) et on diaphragme.

4Modèles de quelques dispositifs optiques

4.1L'œil

On modélise l'œil par une lentille convergente de vergence variable (cornée et cristallin) et un capteur plan fixe (la rétine), à environ $17 \unite{mm}$. Pour voir net, il adapte sa vergence : c'est l'accommodation.

• Punctum remotum (point vu net sans accommoder) : à l'infini pour un œil normal. Vergence $1/0{,}017 \approx 59 \unite{\delta}$.
• Punctum proximum (point le plus proche vu net) : vers $25 \unite{cm}$ chez l'adulte jeune. Vergence $59 + 1/0{,}25 \approx 63 \unite{\delta}$. Plage d'accommodation : de $25 \unite{cm}$ à l'infini.
• Limite de résolution angulaire : environ 1 minute d'arc, soit $3 \times 10^{-4} \unite{rad}$. À $25 \unite{cm}$, deux points distants de moins de $0{,}1 \unite{mm}$ environ sont confondus.

4.2Lunette astronomique afocale

La lunette associe un objectif $L_1$ convergent de grande focale $f'_1$, côté objet, et un oculaire $L_2$ convergent de petite focale $f'_2$, côté œil.

Schéma en mots : un faisceau parallèle incliné de $\alpha$ converge en $B_1$, dans le plan focal commun. $B_1$ étant dans le plan focal objet de l'oculaire, le faisceau ressort parallèle au rayon $B_1O_2$, incliné de $\alpha'$, plus étroit et plus incliné.

Autres protocoles :

• comparer les angles sous lesquels on voit une mire lointaine avec et sans la lunette ;
• mesurer $f'_1$ et $f'_2$ par autocollimation.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Établir la condition de réflexion totale.
2. Établir l'ouverture numérique d'une fibre à saut d'indice, puis la dispersion intermodale.
3. Construire l'image d'un objet, à distance finie ou infinie, par une lentille convergente ou divergente, et dire si elle est réelle ou virtuelle.
4. Appliquer les formules de Descartes et de Newton.
5. Démontrer la condition $D \geqslant 4f'$.
6. Tester par programme le stigmatisme approché d'une demi-boule.
7. Modéliser l'œil, citer sa plage d'accommodation et sa limite de résolution.
8. Dessiner le trajet d'un faisceau dans une lunette afocale et établir $G = -f'_1/f'_2$.

Les résultats à connaître

• Indice n = c/v ≥ 1, longueur d'onde dans le milieu λ = λ₀/n, fréquence inchangée. Exigible.
• Validité de l'optique géométrique : obstacles et ouvertures grands devant λ. Exigible, avec la diffraction comme limite à citer.
• Lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction, angles mesurés depuis la normale. Énoncé exigible, admis comme lois expérimentales.
• Réflexion totale : elle a lieu si et seulement si n₁ > n₂ et sin i₁ > n₂/n₁. Exigible avec démonstration.
• Fibre à saut d'indice, rayons méridiens, entrée depuis l'air : sin θ_a = √(n₁² − n₂²). Exigible avec démonstration.
• Dispersion intermodale : Δt = (n₁L/c)(n₁ − n₂)/n₂, sans dispersion chromatique. Exigible avec démonstration.
• Miroir plan : image symétrique de l'objet, stigmatisme rigoureux pour tout point, γ = +1. Exigible.
• Lentille mince dans les conditions de Gauss : stigmatisme et aplanétisme approchés. Admis.
• Propriétés du centre optique, des foyers principaux et secondaires, vergence V = 1/f'. Exigibles.
• Descartes : 1/OA' − 1/OA = 1/f', γ = OA'/OA. Newton : FA × F'A' = −f'², γ = −f/FA = −F'A'/f'. Exploitation exigible, formules admises.
• Image réelle d'un objet réel par une lentille convergente, objet et écran distants de D : possible si et seulement si D ≥ 4f'. Exigible avec démonstration.
• Œil : lentille de vergence variable et rétine fixe. Ordres de grandeur exigibles : plage d'accommodation de 25 cm à l'infini, résolution angulaire voisine de 3 × 10⁻⁴ rad.
• Lunette afocale, F'₁ = F₂ : G = −f'₁/f'₂. Exigible avec démonstration.
• Stigmatisme approché de la demi-boule : capacité numérique exigible, par programme.

Clés de démonstration

Réflexion totale. On cherche i₂ tel que sin i₂ = (n₁/n₂) sin i₁. Un sinus ne dépasse pas 1, donc il n'y a pas de rayon réfracté dès que (n₁/n₂) sin i₁ > 1. Cela n'est possible que si n₁/n₂ > 1. L'astuce : partir de la loi de la réfraction et chercher quand elle n'a plus de solution.

Cône d'acceptance. Trois étapes : réfraction sur la face d'entrée (sin θ = n₁ sin α), angle d'incidence sur la gaine égal à 90° − α, puis condition de réflexion totale cos α > n₂/n₁. L'astuce : passer de cos α à sin α par sin² + cos² = 1, puis multiplier par n₁.

Dispersion intermodale. Le rayon axial parcourt L. Le rayon limite parcourt L/cos α, avec cos α = n₂/n₁. Les deux vont à c/n₁. L'astuce : la longueur du trajet en zigzag se lit sur un seul triangle, la projection sur l'axe vaut toujours L.

Condition D ≥ 4f'. On pose x = OA < 0, alors OA' = x + D. Descartes donne une équation du second degré x² + Dx + Df' = 0. L'astuce : le discriminant D² − 4Df' décide de tout, puis on vérifie que les racines donnent bien un objet réel et une image réelle.

Grossissement de la lunette. Le rayon qui passe par O₁ n'est pas dévié et donne la hauteur de l'image intermédiaire, f'₁α. Le rayon qui sort de cette image en passant par O₂ donne l'angle de sortie, f'₂ × (−α') = f'₁α. L'astuce : utiliser à chaque fois le rayon qui passe par le centre optique.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Un rayon qui passe du verre à l'air sous 45° est totalement réfléchi (45° > 41,8°). C'est le principe du prisme à réflexion totale des jumelles.
2. De l'air vers l'eau, jamais de réflexion totale, quel que soit l'angle. Le piège classique.
3. Un trou de 0,1 mm éclairé par un laser, observé sur un écran à quelques mètres, étale la tache au lieu de l'affiner. La limite du modèle de rayon.
4. Le miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle. Il est le seul système rigoureusement stigmatique du chapitre pour tous les points.
5. La demi-boule n'est pas stigmatique : les rayons éloignés de l'axe convergent plus près. Le stigmatisme approché n'existe que pour h petit devant R.
6. Un objet placé au foyer objet d'une convergente a son image à l'infini. C'est la position de l'oculaire dans une lunette afocale.
7. Une divergente donne toujours d'un objet réel une image virtuelle, droite, réduite. Elle peut en revanche donner une image réelle d'un objet virtuel situé entre O et F.
8. Une convergente peut donner d'un objet virtuel une image réelle plus proche que F'. L'objet virtuel n'est pas réservé aux divergentes.
9. Avec D < 4f', aucune position de la lentille ne donne d'image nette sur l'écran. On change de lentille, pas de réglage.
10. L'œil myope voit net de près mais pas à l'infini : son punctum remotum est à distance finie. Il est trop convergent.

Techniques du chapitre

Technique 1, orienter et poser les signes avant tout calcul. Mini-exercice : objet réel à 40 cm avant une convergente de 10 cm. On écrit OA = −40 cm, f' = +10 cm, puis 1/OA' = 1/10 − 1/40 = 3/40, donc OA' ≈ +13,3 cm. Image réelle après la lentille.

Technique 2, choisir Newton quand les distances partent des foyers. Mini-exercice : un objet à 5 cm avant F d'une lentille de focale 20 cm. FA = −5 cm, donc F'A' = −f'²/FA = 400/5 = 80 cm, et γ = −F'A'/f' = −4.

Technique 3, objet à l'infini, raisonner en angles. Mini-exercice : la Lune, vue sous 9 × 10⁻³ rad, photographiée avec un objectif de 50 mm. Son image est dans le plan focal, de diamètre f'α ≈ 50 × 9 × 10⁻³ ≈ 0,45 mm.

Technique 4, réflexion totale par l'angle limite. Mini-exercice : rayon dans l'eau (1,33) vers l'air sous 60°. sin i_lim = 1/1,33 ≈ 0,752, i_lim ≈ 48,8°. Comme 60° > 48,8°, il y a réflexion totale.

Technique 5, construction par le foyer secondaire. Mini-exercice : rayon quelconque incident sur une convergente. On trace le rayon parallèle passant par O, il coupe le plan focal image en un point Φ'. Le rayon émergent passe par Φ'.

Technique 6, convertir vergence et focale. Mini-exercice : verre de −2,5 δ. f' = 1/V = −0,40 m, lentille divergente, foyer image virtuel à 40 cm avant elle.

Technique 7, deux lentilles en série par image intermédiaire. Mini-exercice : l'image A₁ donnée par la première lentille devient l'objet de la seconde. On calcule O₂A₁ = O₂O₁ + O₁A₁, et ce nombre peut être positif (objet virtuel pour la seconde).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

from math import asin, cos, tan
def CF(h, n=1.5, R=1.0):
    i = asin(h / R)
    r = asin(n * h / R)
    return R * cos(i) + h / tan(r - i)
limite = 1.5 * 1.0 / 0.5
h = 0.001
while abs(CF(h) - limite) / limite < 0.01:
    h = h + 0.001
print(h)

Erreurs fréquentes