Le cours

Résumé en cinq points

Un système linéaire s'écrit $AX = B$ , et $AX$ est la combinaison des colonnes de $A$ affectée des inconnues.
Les opérations élémentaires sur les lignes conservent l'ensemble des solutions, à condition de respecter la contrainte $a \neq 0$ .
Le pivot de Gauss échelonne le système. La lecture du système échelonné donne l'issue.
Il y a exactement trois cas possibles : aucune solution, une seule, une infinité. Un système homogène élimine le premier cas.
$A$ est inversible si et seulement si $AX = 0$ n'a que la solution nulle, et la résolution de $AX = Y$ fournit l'inverse.

Pourquoi ce chapitre

Résoudre un système linéaire est le geste technique le plus fréquent de l'année. On y revient pour :

inverser une matrice ;
déterminer si une famille de vecteurs est libre ;
trouver un sous-espace engendré ;
chercher un noyau ;
calculer des sous-espaces propres, en deuxième année.

La méthode du pivot de Gauss est un algorithme, au sens strict : une suite d'opérations mécaniques qui se termine toujours. Le programme demande de la maîtriser et de savoir décrire l'ensemble des solutions, pas seulement d'en trouver une. Chaque opération sur les lignes doit être annoncée avec le codage officiel.

1Définitions

1.1Système linéaire

Définition 1.1Système linéaire

Un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues réelles $x_1, \dots, x_p$ est une famille de $n$ équations de la forme $a_{i,1}x_1 + \dots + a_{i,p}x_p = b_i,$ pour $i$ allant de $1$ à $n$ . Les $a_{i,j}$ sont les coefficients, les $b_i$ les seconds membres.

Définition 1.2Solution

Une solution est un $p$ -uplet $(x_1, \dots, x_p)$ de réels vérifiant simultanément toutes les équations. Résoudre le système, c'est décrire l'ensemble de toutes ses solutions, qui est une partie de $\R^p$ .

Le mot linéaire signifie que chaque inconnue apparaît à la puissance 1, sans produit d'inconnues entre elles, sans fonction appliquée à une inconnue.

1.2Système homogène

Définition 1.3Système homogène

Un système est homogène quand tous les seconds membres sont nuls. Il admet toujours le $p$ -uplet nul, appelé solution triviale. Il n'est donc jamais incompatible.

À tout système on associe son système homogène, obtenu en remplaçant les $b_i$ par des zéros.

Propriété 1.4Structure de l'ensemble des solutions

Hypothèses

le système $AX = B$ possède une solution particulière $X_0$ .

Alors ses solutions sont exactement les $X_0 + H$ , où $H$ parcourt l'ensemble des solutions du système homogène.

Cette description sera relue plus tard en termes d'espaces vectoriels.

1.3Écriture matricielle

Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$ la matrice des coefficients, $X \in \mathcal{M}_{p,1}(\R)$ la colonne des inconnues et $B \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ la colonne des seconds membres. Le système s'écrit $AX = B$ .

Cette écriture permet de raisonner sur $A$ plutôt que sur les équations, et elle relie le chapitre au calcul matriciel.

Propriété 1.5Lecture par colonnes

$AX$ est la combinaison des colonnes de $A$ affectées des coefficients $x_1, \dots, x_p$ . Le système a donc une solution si et seulement si $B$ est une combinaison linéaire des colonnes de $A$ .

2La méthode du pivot de Gauss

2.1Opérations élémentaires

Trois types d'opérations sur les lignes transforment un système en un système équivalent, c'est-à-dire ayant exactement le même ensemble de solutions :

échanger deux lignes, codé $L_j \leftrightarrow L_i$ ;
multiplier une ligne par un réel non nul ;
ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.

Le programme fixe le codage : $L_j \leftrightarrow L_i$ pour un échange, et $L_i \leftarrow aL_i + bL_j$ avec $a \neq 0$ et $i \neq j$ pour les deux autres.

Attention

La condition $a \neq 0$ est essentielle. Si on l'oublie, on remplace une ligne par une information appauvrie et on crée des solutions parasites.

Attention

Deux fautes fréquentes :

modifier simultanément deux lignes en s'appuyant l'une sur l'autre, ce qui n'est pas une opération élémentaire ;
utiliser comme pivot une ligne qu'on est en train de modifier.

2.2L'algorithme

MéthodePivot de Gauss

On part de la première colonne.

Choisir un pivot, c'est-à-dire un coefficient non nul dans la colonne courante, sur une ligne non encore utilisée. Si toute la colonne est nulle, passer à la colonne suivante.
Par un échange, placer la ligne du pivot en haut du bloc restant.
Ajouter à chacune des lignes situées en dessous un multiple convenable de la ligne du pivot, de manière à annuler tous les coefficients situés sous le pivot.
Recommencer avec le bloc formé des lignes restantes et des colonnes suivantes.

À la fin, le système est échelonné : chaque ligne non nulle commence par un pivot situé strictement plus à droite que celui de la ligne précédente.

En pratique on travaille sur la matrice augmentée, formée de $A$ et de la colonne $B$ , pour ne pas recopier les inconnues à chaque étape.

2.3Lecture du système échelonné

Les inconnues associées à une colonne de pivot sont dites principales. Les autres sont les inconnues secondaires, ou paramètres.

Théorème 2.1Trois issues

Un système linéaire échelonné présente trois situations, et trois seulement :

une ligne s'écrit $0 = c$ avec $c \neq 0$ : le système est incompatible, l'ensemble des solutions est vide ;
sinon, s'il n'y a aucune inconnue secondaire, la remontée donne une unique solution ;
sinon, il y a au moins une inconnue secondaire : on l'exprime comme paramètre libre et on remonte pour exprimer les inconnues principales en fonction d'elle. Il y a alors une infinité de solutions.

C'est l'énoncé du programme : un système linéaire admet soit une unique solution, soit une infinité de solutions, soit aucune solution. Il ne peut jamais en avoir exactement deux, ou exactement trois.

Propriété 2.2Cas homogène

L'incompatibilité est impossible. Un système homogène admet donc soit la seule solution nulle, soit une infinité de solutions.

Propriété 2.3Plus d'inconnues que d'équations

Hypothèses

le système est homogène ;
il a strictement plus d'inconnues que d'équations.

Alors il possède au moins une inconnue secondaire, donc une infinité de solutions.

Ce corollaire sert souvent à prouver qu'une famille de vecteurs est liée.

2.4Remontée et rédaction des solutions

Une fois le système échelonné, on résout de bas en haut. Il faut ensuite décrire l'ensemble des solutions, pas simplement donner des formules.

Exemple 2.4Rédaction

L'ensemble des solutions est l'ensemble des triplets de la forme $(1 + 2t, -3t, t)$ où $t$ décrit $\R$ .

Vérification finale : il est rentable de reporter la solution obtenue dans une équation du système de départ, en particulier dans une équation qui a beaucoup servi comme pivot. Une erreur de signe se détecte en quelques secondes.

2.5Exemple guidé

Exemple 2.5Un système à solution unique

Considérons le système d'inconnues $x, y, z$ : $\begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x - y + z = 3\\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$ On applique $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , ce qui donne $-3y - z = -9$ . Puis $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ , ce qui donne $y - 2z = -4$ . On applique ensuite $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ , ce qui donne $-7z = -21$ , donc $z = 3$ .

La remontée donne $-3y = -9 + z = -6$ , donc $y = 2$ , puis $x = 6 - y - z = 1$ . Le système a une unique solution, le triplet $(1, 2, 3)$ .

Exemple 2.6Un système incompatible

Si l'on remplace la troisième équation par $3x - 3y + z = 0$ , on obtient après échelonnement une ligne du type $0 = c$ . Le système est alors incompatible.

Ces variations autour d'un même exemple sont un bon entraînement.

2.6Systèmes avec paramètre

Quand un coefficient dépend d'un paramètre réel $m$ , on mène le pivot en évitant de diviser par une quantité qui peut s'annuler. On identifie les valeurs critiques de $m$ , celles qui annulent un pivot, puis on discute. Le réflexe est de repousser la division le plus loin possible, en multipliant les lignes plutôt qu'en les divisant.

3Application au calcul de l'inverse

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ . Le programme demande de calculer l'inverse de $A$ par résolution du système $AX = Y$ , où $Y$ est une colonne quelconque et $X$ l'inconnue.

MéthodeInverser par résolution de $AX = Y$

Appliquer le pivot en traitant les coefficients de $Y$ comme des lettres.
Si pour toute colonne $Y$ le système admet une unique solution, et si elle s'écrit $X = BY$ avec $B$ une matrice explicite, alors $A$ est inversible et $B$ est son inverse.
Vérifier en calculant $AB$ .
Si l'échelonnement fait apparaître une ligne entièrement nulle du côté de $A$ , le système n'est pas résoluble pour tout $Y$ et $A$ n'est pas inversible.

Propriété 3.1Critère d'inversibilité

$A$ est inversible si et seulement si le système $AX = 0$ n'a que la solution nulle.

Pour montrer qu'une matrice n'est pas inversible, il suffit d'exhiber une colonne $X$ non nulle vérifiant $AX = 0$ .

Exemple 3.2Inverse d'ordre 2

Pour $A$ de lignes $(1, 2)$ et $(3, 4)$ , le système $x + 2y = u$ et $3x + 4y = v$ donne, après $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ , la relation $-2y = v - 3u$ . Donc $y = \frac{3u - v}{2}, \qquad x = u - 2y = -2u + v.$ L'inverse a donc pour lignes $(-2, 1)$ et $(3/2, -1/2)$ , ce que confirme la formule d'ordre 2 avec $ad - bc = -2$ .

4Lien avec l'informatique

Le pivot de Gauss est un algorithme, ce qui explique la marque du programme signalant un lien avec l'informatique. Deux remarques utiles à l'oral :

le nombre d'opérations croît comme le cube du nombre d'inconnues, ce qui rend la méthode coûteuse mais praticable ;
sur machine, on choisit en général le pivot de plus grande valeur absolue dans la colonne, pour limiter les erreurs d'arrondi ;
en calcul à la main, on choisit plutôt un pivot égal à $1$ ou à $-1$ , pour éviter les fractions.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Toujours écrire le système sous forme matricielle avant de commencer. Cela clarifie le nombre d'équations et d'inconnues.
Choisir un pivot simple, quitte à échanger deux lignes ou deux colonnes d'inconnues, en annonçant l'opération.
Annoncer chaque opération avec le codage du programme. Une copie sans ce codage est difficilement vérifiable.
Ne jamais diviser par une expression contenant un paramètre sans avoir discuté son annulation.
Décrire l'ensemble des solutions avec un paramètre nommé, et préciser l'ensemble qu'il décrit.
Pour l'inversibilité, penser d'abord au système homogène $AX = 0$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Résoudre à la main un système de trois équations à trois inconnues, en annonçant chaque opération.
Justifier qu'une opération élémentaire ne change pas l'ensemble des solutions, et expliquer pourquoi le coefficient $a$ doit être non nul dans $L_i \leftarrow aL_i + bL_j$ .
Expliquer pourquoi un système linéaire ne peut avoir que zéro, une ou une infinité de solutions.
Montrer qu'un système homogène avec plus d'inconnues que d'équations a une infinité de solutions.
Décrire l'ensemble des solutions d'un système compatible comme une solution particulière plus les solutions du système homogène.
Calculer l'inverse d'une matrice d'ordre 3 par résolution de $AX = Y$ .
Montrer qu'une matrice n'est pas inversible en exhibant une colonne non nulle du noyau.
Discuter un système dépendant d'un paramètre réel.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Un système linéaire de n équations à p inconnues, une solution est un p-uplet vérifiant simultanément toutes les équations : exigible.
Système homogène, tous les seconds membres nuls, la solution triviale existe toujours, jamais incompatible : exigible.
Structure des solutions, si X₀ est une solution particulière, les solutions du système complet sont X₀ + H, H parcourant les solutions du système homogène associé : mentionné.
Écriture matricielle AX = B, AX combinaison des colonnes de A affectées des inconnues, système compatible si et seulement si B est combinaison linéaire des colonnes de A : exigible.
Trois opérations élémentaires sur les lignes, échange codé L_i ↔ L_j, et L_i ← aL_i + bL_j avec a non nul et i différent de j : exigible, codage imposé par le programme.
Algorithme du pivot de Gauss, système échelonné, inconnues principales associées à un pivot, inconnues secondaires libres : exigible, présenté à l'aide d'exemples.
Trois issues possibles, ligne 0 = c avec c non nul donne l'incompatibilité, aucune inconnue secondaire donne une solution unique, au moins une inconnue secondaire donne une infinité de solutions : exigible.
Un système homogène admet soit la seule solution nulle, soit une infinité de solutions. S'il a plus d'inconnues que d'équations, il a nécessairement une infinité de solutions : exigible.
Calcul de l'inverse de A par résolution du système AX = Y, en traitant les coefficients de Y comme des lettres : exigible.
A est inversible si et seulement si le système AX = 0 n'a que la solution nulle : exigible, critère pratique pour prouver la non-inversibilité.
Pour un système dépendant d'un paramètre réel m, on identifie les valeurs critiques qui annulent un pivot avant de diviser : exigible.
Le nombre d'opérations du pivot croît comme le cube du nombre d'inconnues, sur machine on choisit le pivot de plus grande valeur absolue : mentionné, lien avec l'informatique.

Clés de méthode

Pourquoi une opération élémentaire conserve l'ensemble des solutions. Chaque opération est réversible, on peut toujours revenir en arrière par une opération du même type. Échanger deux lignes se défait en échangeant à nouveau. L_i ← aL_i + bL_j se défait par L_i ← (1/a)L_i − (b/a)L_j, ce qui exige a non nul. L'idée : une transformation réversible ne peut ni créer ni supprimer de solution.

Pourquoi un système n'a que trois issues possibles. Après échelonnement, on lit le système ligne par ligne. Une ligne 0 = c non nulle bloque tout. Sinon, chaque inconnue principale se détermine par remontée à partir des inconnues secondaires, qui sont soit absentes, ce qui donne une solution unique, soit présentes, ce qui donne un paramètre libre et donc une infinité de solutions. L'idée : le système échelonné rend visibles tous les cas d'un coup.

Pourquoi un système homogène avec plus d'inconnues que d'équations a une infinité de solutions. Le nombre de pivots ne peut pas dépasser le nombre d'équations. S'il y a plus d'inconnues que d'équations, il reste donc au moins une inconnue sans pivot, c'est-à-dire une inconnue secondaire. L'idée : compter les pivots plutôt que résoudre pour conclure.

Pourquoi AX = 0 réduit à la solution nulle caractérise l'inversibilité. Résoudre AX = Y revient à échelonner A en traitant Y comme un second membre littéral. Si ce système a toujours une solution unique quel que soit Y, A est inversible. Cette unicité équivaut précisément à l'absence d'inconnue secondaire, donc à ce que AX = 0 n'ait que la solution nulle. L'idée : l'inversibilité de A se lit sur le comportement du système homogène associé.

Exemples et contre-exemples à connaître

Le système x+y+z=6, 2x−y+z=3, x+2y−z=2 a pour unique solution (1,2,3) : exemple de référence à s'entraîner à refaire de mémoire.
En remplaçant la troisième équation par 3x−3y+z=0, l'échelonnement fait apparaître une ligne 0 = c non nulle, le système devient incompatible : petite variation qui change complètement l'issue.
Un système homogène est toujours compatible, la solution nulle existe toujours : contre-exemple à l'idée qu'un système homogène pourrait ne pas avoir de solution.
Un système homogène à 2 équations et 3 inconnues a nécessairement une infinité de solutions, conséquence directe du dénombrement des pivots.
Oublier la condition a non nul dans L_i ← aL_i + bL_j : remplacer une ligne par 0×L_i + bL_j efface de l'information et peut créer des solutions parasites, piège explicitement signalé.
Modifier deux lignes simultanément en s'appuyant l'une sur l'autre n'est pas une opération élémentaire valide, cela peut casser l'équivalence des systèmes.
Pour A = [[1,2],[3,4]], l'inverse trouvé par résolution de AX = Y coïncide avec la formule d'ordre 2, ad − bc = −2 : vérification croisée toujours utile.
Un système linéaire ne peut jamais avoir exactement deux ou exactement trois solutions : rappel contre-intuitif pour un élève habitué aux équations polynomiales.
Diviser par une expression contenant un paramètre m sans discuter son annulation fait perdre le cas particulier m égal à la valeur critique.
Sur machine, on choisit le pivot de plus grande valeur absolue pour limiter les erreurs d'arrondi, alors qu'à la main on préfère un pivot égal à 1 ou à −1 pour éviter les fractions : deux stratégies adaptées à deux contextes différents.

Techniques du chapitre

Technique 1, écrire le système sous forme matricielle avant de commencer. Mini-exercice : le système x+2y=5, 3x−y=1 s'écrit AX=B avec A=[[1,2],[3,−1]] et B=(5,1).

Technique 2, choisir un pivot simple, quitte à échanger deux lignes. Mini-exercice : si la première équation commence par 0x+3y=6, on l'échange avec une ligne où x a un coefficient non nul avant de poursuivre.

Technique 3, repousser la division en multipliant les lignes plutôt qu'en les divisant. Mini-exercice : pour annuler un coefficient 2 sous un pivot 3, on applique L₂ ← 3L₂ − 2L₁ plutôt que de diviser une ligne par un nombre non entier.

Technique 4, décrire l'ensemble des solutions avec un paramètre nommé et son ensemble de variation. Mini-exercice : si z = t est libre, on écrit que l'ensemble des solutions est l'ensemble des triplets (1+2t, −3t, t) pour t décrivant R, pas seulement des formules isolées.

Technique 5, pour l'inversibilité, penser d'abord au système homogène AX = 0. Mini-exercice : pour A=[[1,2],[2,4]], le système AX=0 donne x+2y=0 et 2x+4y=0, la seconde équation étant le double de la première, il reste une inconnue secondaire, donc A n'est pas inversible.

Technique 6, pour un système avec paramètre, identifier les valeurs critiques avant de diviser. Mini-exercice : si un pivot conduit à diviser par (m−1), on distingue le cas m=1, à traiter séparément, du cas général m≠1.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Résoudre le système x+y+z=9, x+2y+3z=22, x+4y+9z=58

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique pivot successif, remontée.

Voir le corrigé

L₂←L₂−L₁ : y+2z=13. L₃←L₃−L₁ : 3y+8z=49.
L₃←L₃−3L₂ : (3y+8z)−3(y+2z) = 49−39, soit 2z=10, donc z=5.
Remontée : y=13−2×5=3.
x=9−y−z=9−3−5=1. Solution unique (1,3,5).

piège : Oublier de recalculer aussi le second membre lors de l'opération L₃←L₃−3L₂, en particulier soustraire 3 fois le second membre de L₂.

Exercice 2. Résoudre le système x+y−z=2, 2x+2y−2z=4, 3x−y+z=6, et décrire l'ensemble des solutions

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique repérer une équation redondante, réduire le nombre d'équations indépendantes.

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L₂←L₂−2L₁ donne 0=0 : la deuxième équation est le double de la première, elle est redondante.
Il reste deux équations indépendantes, x+y−z=2 et 3x−y+z=6, dont la somme donne 4x=8, donc x=2.
Avec x=2, la première équation devient y−z=0, donc y=z.
En posant y=z=t, l'ensemble des solutions est {(2,t,t), t∈R}, une infinité de solutions.

piège : Ne pas remarquer qu'une équation est un multiple d'une autre, ce qui fait apparaître une inconnue secondaire inattendue.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer, sans résolution complète, qu'un système linéaire homogène de 2 équations à 4 inconnues a nécessairement une infinité de solutions.

Technique dénombrement des pivots.

Voir le corrigé

Un système homogène est toujours compatible, la solution nulle existe toujours.
Après échelonnement, le nombre de pivots est au plus égal au nombre d'équations, donc au plus 2 ici.
Avec 4 inconnues et au plus 2 inconnues principales, il reste au moins 2 inconnues secondaires.
Dès qu'il existe au moins une inconnue secondaire, l'ensemble des solutions est infini.

piège : Croire qu'il faut résoudre explicitement le système pour conclure, alors qu'un argument de dénombrement des pivots suffit.

Exercice 4. Calculer, par résolution du système AX=Y, l'inverse de A=[[2,1],[5,3]]

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique pivot en gardant Y littéral, multiplication plutôt que division.

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Le système s'écrit 2x+y=u, 5x+3y=v.
L₂←2L₂−5L₁ donne y=2v−5u.
En reportant dans 2x+y=u, 2x=u−(2v−5u)=6u−2v, donc x=3u−v.
L'inverse de A a pour lignes (3,−1) et (−5,2), ce que confirme la formule d'ordre 2, 1/(ad−bc)×[[d,−b],[−c,a]] avec ad−bc=1.

piège : Diviser prématurément par un coefficient non entier au lieu de multiplier les lignes pour repousser la division.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que A=[[1,2],[2,4]] n'est pas inversible, en exhibant une colonne non nulle de son noyau.

Technique résolution de AX=0, critère d'inversibilité.

Voir le corrigé

Le système AX=0 s'écrit x+2y=0 et 2x+4y=0.
La seconde équation est le double de la première, elle n'apporte aucune information supplémentaire.
Le système se réduit à x+2y=0, soit x=−2y, avec y libre.
Le vecteur (−2,1), obtenu pour y=1, est un élément non nul du noyau, donc A n'est pas inversible.

piège : Conclure que A est inversible parce que le système AX=0 admet une solution, en oubliant que la solution nulle existe toujours et que c'est l'existence d'une solution non nulle qui prouve la non-inversibilité.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Type écrit EDHEC

Discuter, selon la valeur du paramètre réel m, le nombre de solutions du système x+y=1, mx+y=m.

Technique élimination en gardant m littéral, distinction de cas.

Voir le corrigé

L₂←L₂−mL₁ donne (1−m)y=0.
Si m≠1, alors y=0, puis x=1, solution unique (1,0).
Si m=1, l'équation devient 0=0, il ne reste qu'une équation indépendante, x+y=1, avec y libre.
Pour m=1, l'ensemble des solutions est {(1−t,t), t∈R}, une infinité de solutions.

piège : Diviser par (1−m) sans distinguer le cas m=1, qui annule ce facteur et change la nature de l'ensemble des solutions.

Exercice 7. Discuter, selon le paramètre réel m, le système x+y+z=1, x+my+z=1, x+y+mz=m

Classiques de khôlle et concours · Type écrit EDHEC ou ESSEC

Technique élimination successive, distinction de deux relations de nature différente.

Voir le corrigé

L₂←L₂−L₁ donne (m−1)y=0. L₃←L₃−L₁ donne (m−1)z=m−1.
Si m≠1, on tire y=0 de la première relation, et z=1 en divisant la seconde par m−1, non nul.
Avec y=0 et z=1, la première équation donne x=0. Solution unique (0,0,1) pour tout m≠1.
Si m=1, les deux relations deviennent 0=0, il ne reste que x+y+z=1, avec y et z libres, soit une infinité de solutions à deux paramètres.

piège : Traiter les deux relations (m−1)y=0 et (m−1)z=m−1 de façon identique, alors que la première a un second membre nul et la seconde non, ce qui change la discussion en m=1.

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Type écrit ESSEC ou HEC, plus délicat

Soit A une matrice carrée d'ordre n telle que A²=A. Montrer que si A n'est pas la matrice identité, alors A n'est pas inversible.

Technique critère d'inversibilité par le système homogène, appliqué sans coefficients explicites.

Voir le corrigé

Supposons par l'absurde que A soit inversible.
En multipliant l'égalité A²=A à gauche par A⁻¹, on obtient A=I, la matrice identité.
Cela contredit l'hypothèse que A n'est pas l'identité.
Donc A n'est pas inversible, ce qui signifie exactement que le système AX=0 admet une solution non nulle.
Ce résultat montre qu'on peut conclure sur l'inversibilité d'une matrice définie par une relation algébrique, sans jamais écrire ses coefficients.

piège : Chercher à résoudre un système avec des coefficients explicites alors que l'énoncé n'en donne pas, au lieu d'utiliser directement la relation A²=A par un raisonnement matriciel.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition a non nul dans L_i ← aL_i + bL_j, ce qui peut faire perdre de l'information et créer des solutions parasites.
Diviser par une expression contenant un paramètre sans avoir discuté au préalable son annulation.
Conclure qu'une matrice est inversible parce que le système AX=0 admet une solution, en oubliant que la solution nulle existe toujours et que seule une solution non nulle prouve la non-inversibilité.
Croire qu'un système linéaire peut avoir exactement deux ou trois solutions, alors que seuls trois cas existent, aucune, une seule, une infinité.
Modifier deux lignes simultanément en s'appuyant l'une sur l'autre au cours du pivot, ce qui n'est pas une opération élémentaire valide.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie III « Algèbre linéaire », paragraphe « Systèmes linéaires ». Le programme est explicite : tout développement théorique est hors programme, et la méthode du pivot est présentée à l'aide d'exemples. Ce chapitre peut être mené en lien avec l'informatique.