Le cours

Résumé en cinq points

Le produit matriciel se lit ligne par colonne, n'est pas commutatif, peut être nul sans facteur nul, et ne se simplifie pas.
La transposition inverse l'ordre d'un produit, et l'inversion aussi.
Une matrice carrée est inversible dès qu'elle admet un inverse d'un seul côté, résultat admis par le programme.
En ordre 2, l'inversibilité équivaut à $ad - bc \neq 0$ , avec une formule explicite. En diagonal ou en triangulaire, elle équivaut à des coefficients diagonaux tous non nuls.
Les puissances se calculent par récurrence, par binôme avec une partie nilpotente, ou grâce à une relation polynomiale vérifiée par la matrice.

Pourquoi ce chapitre

La matrice est l'objet calculatoire central des deux années. Elle code :

un système linéaire ;
une application linéaire ;
un changement de base ;
une chaîne de Markov en probabilités.

Le chapitre installe des automatismes : produit, transposée, puissances, inverse. Ils sont supposés acquis dès que commencent les vrais chapitres d'algèbre linéaire du second semestre, puis la réduction en deuxième année.

Le produit ne se comporte pas comme celui des nombres :

il n'est pas commutatif ;
un produit de deux matrices non nulles peut être nul ;
on ne simplifie pas par une matrice quelconque.

Accepter ces trois faits est l'essentiel du travail.

1Matrices rectangulaires

1.1Définitions

Définition 1.1Matrice

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels est un tableau rectangulaire de réels. Le coefficient situé à la ligne $i$ et à la colonne $j$ est noté $a_{i,j}$ . L'ensemble de ces matrices est noté $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ .

Le premier indice est toujours la ligne, le second la colonne.

Une matrice colonne appartient à $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , une matrice ligne à $\mathcal{M}_{1,p}(\R)$ .
La matrice nulle a tous ses coefficients nuls.

Deux matrices sont égales quand elles ont même format et mêmes coefficients.

1.2Addition et produit par un réel

On additionne deux matrices de même format coefficient par coefficient. On multiplie une matrice par un réel en multipliant chaque coefficient.

Propriété 1.2Addition et produit par un réel

L'addition est commutative et associative ;
la matrice nulle est neutre ;
le produit par un réel est distributif.

Muni de ces deux opérations, $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ sera un exemple fondamental d'espace vectoriel réel.

1.3Produit matriciel

Définition 1.3Produit matriciel

Hypothèses

$A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$ ;
$B \in \mathcal{M}_{p,q}(\R)$ .

Le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ . Alors $AB \in \mathcal{M}_{n,q}(\R)$ et son coefficient de position $(i, j)$ vaut $\sum_{k=1}^{p} a_{i,k}\, b_{k,j}.$

Lecture pratique : le coefficient $(i, j)$ du produit est obtenu en parcourant la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ . On peut aussi lire $AB$ colonne par colonne : la $j$ -ième colonne de $AB$ est le produit de $A$ par la $j$ -ième colonne de $B$ . Cette lecture relie le produit matriciel aux systèmes linéaires.

Propriété 1.4Propriétés du produit

Le produit est associatif ;
il est distributif par rapport à l'addition ;
il est compatible avec la multiplication par un réel.

AttentionTrois pièges

Le produit n'est pas commutatif. En général $AB \neq BA$ , et il arrive que l'un soit défini et pas l'autre.
Un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit. Si $A$ est la matrice carrée d'ordre 2 dont seul le coefficient en haut à droite vaut 1, alors $A^2 = 0$ alors que $A \neq 0$ .
On ne simplifie pas. De $AB = AC$ on ne déduit pas $B = C$ , sauf si $A$ est inversible.

Conséquence sur les identités algébriques : l'égalité $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ est fausse en général. Elle vaut si et seulement si $AB = BA$ .

Attention

La formule du binôme ne s'applique à $A$ et $B$ que si ces matrices commutent. Ce cas se rencontre souvent quand l'une des deux est l'identité ou un multiple de l'identité.

1.4Transposée

Définition 1.5Transposée

La transposée de $A$ , notée ${}^tA$ , est la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes. Si $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$ , alors ${}^tA \in \mathcal{M}_{p,n}(\R)$ , et le coefficient $(i, j)$ de ${}^tA$ est le coefficient $(j, i)$ de $A$ .

Propriété 1.6Linéarité de la transposition

La transposition est linéaire : la transposée d'une somme est la somme des transposées et les scalaires sortent. La transposée de la transposée redonne $A$ .

Propriété 1.7Transposition d'un produit

${}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA.$

À retenir

Dans la transposée d'un produit, l'ordre est inversé.

2Matrices carrées

2.1L'ensemble M_n(R)

Une matrice carrée d'ordre $n$ a $n$ lignes et $n$ colonnes. L'ensemble est noté $\mathcal{M}_n(\R)$ . Le produit de deux matrices carrées de même ordre est toujours défini et reste dans $\mathcal{M}_n(\R)$ , ce qui permet de définir les puissances $A^k$ , avec la convention $A^0 = I_n$ .

Définition 2.1Matrice identité

La matrice identité $I_n$ a des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. Elle vérifie $AI_n = I_nA = A$ pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$ .

2.2Matrices particulières

Définition 2.2Matrice diagonale

Une matrice est diagonale quand tous ses coefficients hors de la diagonale sont nuls.

Propriété 2.3Produit et puissances de matrices diagonales

Le produit de deux matrices diagonales est diagonal et se calcule coefficient par coefficient sur la diagonale. La puissance $k$ -ième d'une matrice diagonale s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $k$ .

Définition 2.4Matrice triangulaire

Une matrice est triangulaire supérieure quand tous les coefficients sous la diagonale sont nuls, triangulaire inférieure dans le cas symétrique.

Propriété 2.5Produit de matrices triangulaires

La somme et le produit de deux matrices triangulaires supérieures restent triangulaires supérieurs, et les coefficients diagonaux du produit sont les produits des coefficients diagonaux.

Définition 2.6Matrice symétrique, antisymétrique

Une matrice carrée est symétrique quand ${}^tA = A$ , c'est-à-dire $a_{j,i} = a_{i,j}$ . Elle est antisymétrique quand ${}^tA = -A$ .

Dans le cas antisymétrique, les coefficients diagonaux sont nécessairement nuls, puisque chacun est égal à son opposé.

Remarque

Une matrice à la fois diagonale et antisymétrique est nulle. Une matrice à la fois triangulaire supérieure et inférieure est diagonale.

2.3Calcul de puissances

MéthodeCalculer $A^n$

Trois techniques reviennent en permanence.

Conjecture et récurrence : on calcule $A^2$ , $A^3$ , on devine la forme générale, on la démontre par récurrence.
Décomposition $A = \lambda I_n + N$ , où $N$ est nilpotente, c'est-à-dire vérifie $N^k = 0$ pour un certain $k$ . Comme $I_n$ commute avec tout, on applique la formule du binôme, et la somme s'arrête au rang $k - 1$ .
Relation polynomiale vérifiée par $A$ , par exemple $A^2 = 3A - 2I_n$ : elle permet d'exprimer toutes les puissances en fonction de $A$ et de $I_n$ , ou de mener une division euclidienne de $x^n$ par le polynôme correspondant.

3Matrices inversibles

3.1Définition

Définition 3.1Matrice inversible

Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible quand il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que $AB = BA = I_n$ . Cette matrice $B$ est alors unique, on la note $A^{-1}$ .

Propriété 3.2Inverse à gauche ou à droite

Résultat admis par le programme.

Hypothèses

$A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ ;
il existe $B$ telle que $AB = I_n$ .

Alors $A$ est inversible et $B$ est son inverse.

On n'a donc qu'une seule vérification à faire.

Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles.

La matrice nulle ne l'est pas.
Une matrice dont une ligne est nulle ne l'est pas non plus.
Si $AB = 0$ avec $B$ non nulle, alors $A$ n'est pas inversible : en multipliant à gauche par l'inverse on obtiendrait $B = 0$ .

3.2Règles de calcul

Propriété 3.3Règles sur l'inverse

Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ l'est et $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ : l'ordre est inversé, comme pour la transposition.
Si $A$ est inversible, alors ${}^tA$ l'est et $({}^tA)^{-1} = {}^t(A^{-1})$ .
Si $A$ est inversible et $\lambda \neq 0$ est réel, alors $\lambda A$ est inversible d'inverse $\frac{1}{\lambda}A^{-1}$ .
L'inverse de $A^{-1}$ est $A$ .

3.3Cas de l'ordre 2

Propriété 3.4Inverse d'une matrice d'ordre 2

Hypothèses

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ;
$D = ad - bc$ .

Alors $A$ est inversible si et seulement si $D \neq 0$ , et dans ce cas $A^{-1} = \frac{1}{D}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$

La vérification se fait en effectuant le produit, qui donne bien $D$ fois l'identité. Le nombre $D$ est le déterminant d'ordre 2. Cette formule est à connaître par cœur.

3.4Matrices diagonales et triangulaires

Propriété 3.5Inversibilité d'une matrice diagonale

Une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors diagonale, de coefficients les inverses des coefficients de départ.

Propriété 3.6Inversibilité d'une matrice triangulaire

Une matrice triangulaire, supérieure ou inférieure, est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors triangulaire de même type.

Ce critère se lit directement sur la diagonale.

3.5Calcul pratique de l'inverse

Au-delà de l'ordre 2, la méthode du programme consiste à résoudre le système $AX = Y$ d'inconnue $X$ , par le pivot de Gauss. Si pour tout $Y$ ce système admet une unique solution $X$ et si cette solution s'écrit $X = BY$ , alors $A$ est inversible et $B$ est son inverse. Cette méthode est développée dans le chapitre sur les systèmes linéaires.

Une autre voie est l'utilisation d'une relation polynomiale.

Exemple 3.7Inverse par relation polynomiale

Si $A^2 - 3A + 2I_n = 0$ , alors $A \times \frac{3I_n - A}{2} = I_n,$ donc $A$ est inversible et son inverse vaut $\dfrac{3I_n - A}{2}$ .

Cette technique est très demandée à l'oral.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Avant tout produit, vérifier la compatibilité des formats et prévoir le format du résultat.
Pour calculer $A^n$ , essayer dans l'ordre : conjecture et récurrence, décomposition en identité plus nilpotente, relation polynomiale.
Pour prouver qu'une matrice est inversible, chercher une relation polynomiale annulée par $A$ et factoriser par $A$ .
Pour prouver qu'une matrice n'est pas inversible, exhiber une colonne non nulle $X$ telle que $AX = 0$ .
Ne jamais écrire une division par une matrice. On multiplie à gauche ou à droite par l'inverse, en précisant de quel côté.
Avant d'appliquer une identité remarquable ou le binôme à des matrices, vérifier explicitement qu'elles commutent.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Effectuer un produit de deux matrices d'ordre 3 sans erreur, et expliquer la règle ligne par colonne.
Donner deux matrices non nulles dont le produit est nul, et en tirer la conséquence sur la simplification.
Démontrer que la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inversé.
Démontrer la formule d'inversion d'une matrice d'ordre 2 et la condition $ad - bc \neq 0$ .
Calculer la puissance $n$ -ième d'une matrice de la forme $\lambda I + N$ avec $N$ nilpotente, en justifiant l'usage du binôme.
Déduire l'inversibilité d'une matrice à partir d'une relation du type $A^2 = 3A - 2I$ , et donner l'inverse.
Énoncer et justifier le critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire.
Montrer qu'une matrice antisymétrique a des coefficients diagonaux nuls.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le produit AB est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B, et la colonne j de AB est A fois la colonne j de B. Exigible.
Associativité, distributivité, compatibilité avec le produit par un réel. Admises, mais la vérification sur les coefficients est un bon exercice.
Le produit n'est pas commutatif, et AB = 0 n'impose pas A = 0 ou B = 0. Exigible par contre-exemple.
La transposition est linéaire, t(tA) = A, et t(AB) = tB tA. Exigible avec démonstration.
Une matrice carrée est symétrique si tA = A, antisymétrique si tA = −A. Une antisymétrique a une diagonale nulle. Exigible avec démonstration.
Somme et produit de deux triangulaires supérieures restent triangulaires supérieures, et les coefficients diagonaux du produit sont les produits des diagonales. Exigible, admis dans le cas général, à vérifier en ordre 2 ou 3.
Formule du binôme pour A et B qui commutent. Exigible, la preuve par récurrence est celle du binôme réel et n'est pas un attendu, mais l'hypothèse de commutation doit être citée à chaque usage.
Si AB = BA = I, alors B est unique. Exigible avec démonstration. Un inverse à gauche ou à droite est l'inverse. Admis par le programme.
(AB)⁻¹ = B⁻¹ A⁻¹, t(A⁻¹) = (tA)⁻¹, (λA)⁻¹ = (1/λ) A⁻¹ pour λ ≠ 0. Exigibles avec démonstration.
Si A est inversible et AX = 0, alors X = 0. Si AB = 0 avec B ≠ 0, alors A n'est pas inversible. Exigibles avec démonstration.
A = [[a, b], [c, d]] est inversible si et seulement si ad − bc ≠ 0, avec A⁻¹ = (1/(ad − bc)) [[d, −b], [−c, a]]. Exigible avec démonstration.
Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et l'inverse est de même type. Exigible pour la diagonale, admis dans le cas triangulaire général, à savoir justifier en ordre 3 par remontée.
Si Q est un polynôme avec Q(A) = 0 et Q(0) ≠ 0, alors A est inversible et l'inverse est un polynôme en A. Méthode exigible.
Hors programme, à signaler. Le déterminant d'ordre 3 ou plus, le rang, la trace comme outil, les valeurs propres.

Clés de démonstration

Transposée d'un produit. Le coefficient (i, j) de t(AB) est le coefficient (j, i) de AB, c'est-à-dire la somme sur k des a(j, k) b(k, i). Le coefficient (i, j) de tB tA est la somme sur k du coefficient (i, k) de tB, soit b(k, i), par le coefficient (k, j) de tA, soit a(j, k). Les deux sommes sont égales. Astuce, tout passe par l'écriture indicielle, on écrit les deux membres coefficient par coefficient.

Unicité de l'inverse. Si AB = I et CA = I, alors C = C(AB) = (CA)B = B. Astuce, insérer I sous la forme AB puis utiliser l'associativité.

Inverse d'un produit. (AB)(B⁻¹ A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = I. Un inverse à droite suffit. Astuce, les facteurs voisins se simplifient si l'ordre est inversé.

Transposée de l'inverse. On transpose A A⁻¹ = I, ce qui donne t(A⁻¹) tA = I. Donc tA a un inverse à gauche, qui est t(A⁻¹). Astuce, transposer une égalité connue.

Formule d'ordre 2. Le produit de A par [[d, −b], [−c, a]] vaut (ad − bc) I. Si ad − bc ≠ 0, on divise. Si ad − bc = 0 avec A ≠ 0, l'une des colonnes (d, −c) ou (−b, a) est non nulle et annulée par A, donc A n'est pas inversible. Astuce, calculer le produit avant de discuter.

Antisymétrique et diagonale. Le coefficient (i, i) de tA est celui de A. Si tA = −A, alors a(i, i) = −a(i, i), donc a(i, i) = 0. Astuce, regarder ce que dit l'égalité sur un seul coefficient.

Binôme avec une nilpotente. A = λI + N avec Nᵏ = 0. Comme λI commute avec N, (λI + N)ⁿ = Σ C(n, p) λⁿ⁻ᵖ Nᵖ pour p de 0 à n, et les termes d'indice p ≥ k sont nuls. Astuce, la somme s'arrête d'elle-même, il ne reste que k termes.

Exemples et contre-exemples à connaître

E = [[0, 1], [0, 0]] vérifie E² = 0. C'est le contre-exemple universel, produit nul de facteurs non nuls, non-inversibilité d'une triangulaire à diagonale nulle.
E et tE ne commutent pas, E tE = [[1, 0], [0, 0]] et tE E = [[0, 0], [0, 1]].
A = [[1, 1], [0, 1]] vérifie Aⁿ = [[1, n], [0, 1]]. Elle s'écrit I + E, d'où le résultat par le binôme puisque E² = 0.
La matrice J d'ordre 3 remplie de 1 vérifie J² = 3J, n'est pas inversible, et toute matrice aI + bJ commute avec toute matrice cI + dJ.
[[1, 2], [2, 4]] a un déterminant nul, elle annule la colonne (2, −1) et n'est pas inversible.
Une matrice diagonale d'ordre 2 avec un 1 et un 0 est un projecteur, A² = A, non inversible et non nulle. Une matrice inversible vérifiant A² = A est nécessairement I.
Toute matrice carrée s'écrit de façon unique comme somme d'une symétrique et d'une antisymétrique, (A + tA)/2 et (A − tA)/2.
(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² en général, égalité si et seulement si AB = BA, exemple avec E et tE.
Le produit de deux matrices symétriques n'est pas symétrique en général, puisque t(AB) = BA. Il l'est si et seulement si A et B commutent.
Une matrice N avec N³ = 0 et N² ≠ 0, comme la matrice d'ordre 3 avec des 1 juste au-dessus de la diagonale, n'est pas inversible, sinon N² = N⁻¹ N³ = 0.

Techniques du chapitre

Développer sans commuter. Mini-exercice, calculer (A + B)(A − B). On obtient A² − AB + BA − B², qui ne se réduit à A² − B² que si AB = BA. Réflexe, écrire les quatre termes, puis regrouper seulement si la commutation est acquise.

Binôme avec identité plus nilpotente. Mini-exercice, A = [[3, 1], [0, 3]] = 3I + E. Comme E² = 0, Aⁿ = 3ⁿ I + n 3ⁿ⁻¹ E = [[3ⁿ, n 3ⁿ⁻¹], [0, 3ⁿ]]. Contrôle, A² = [[9, 6], [0, 9]].

Polynôme annulateur et inverse. Mini-exercice, A vérifie A² + A − 6I = 0. Alors A(A + I) = 6I, donc A est inversible et A⁻¹ = (A + I)/6. Réflexe, isoler le terme constant, factoriser le reste par A.

Colonne du noyau pour réfuter l'inversibilité. Mini-exercice, A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]. Colonne (1, −2, 1), on calcule 1 − 4 + 3 = 0, 4 − 10 + 6 = 0, 7 − 16 + 9 = 0. Donc A n'est pas inversible.

Matrices qui commutent avec une matrice donnée. Mini-exercice, trouver M = [[a, b], [c, d]] commutant avec E. On calcule EM = [[c, d], [0, 0]] et ME = [[0, a], [0, c]]. Égalité si et seulement si c = 0 et d = a. Donc M = aI + bE.

Transposer une relation. Mini-exercice, A inversible et symétrique. Alors t(A⁻¹) = (tA)⁻¹ = A⁻¹, donc A⁻¹ est symétrique. Réflexe, transposer l'égalité de définition.

Remontée sur une triangulaire. Mini-exercice, résoudre 2x + y − z = a, 3y + z = b, 4z = c. On lit z = c/4, puis y = (b − c/4)/3, puis x = (a − y + z)/2. Unique solution pour tout (a, b, c), donc la matrice est inversible. Réflexe, une triangulaire à diagonale non nulle se résout de bas en haut sans pivot.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Transposée et produit

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient A et B symétriques de même ordre. Montrer que AB est symétrique si et seulement si AB = BA. Montrer que pour toute matrice M à n lignes et p colonnes, tM M est symétrique d'ordre p.

Technique transposer et comparer.

Voir le corrigé

t(AB) = tB tA = BA. Donc AB symétrique équivaut à AB = BA. 2. tM a p lignes et n colonnes, donc tM M est carrée d'ordre p. 3. t(tM M) = tM t(tM) = tM M.

piège : Écrire t(AB) = tA tB.

Exercice 2. Décomposition symétrique plus antisymétrique

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que toute matrice carrée A s'écrit de façon unique A = S + T avec S symétrique et T antisymétrique.

Technique analyse puis synthèse, en transposant l'égalité.

Voir le corrigé

Analyse. Si A = S + T, alors tA = tS + tT = S − T. En additionnant et en soustrayant, S = (A + tA)/2 et T = (A − tA)/2. Il y a au plus une solution. 2. Synthèse. Ces deux matrices vérifient S + T = A, t S = (tA + A)/2 = S, tT = (tA − A)/2 = −T. 3. Exemple, A = [[1, 2], [0, 3]] donne S = [[1, 1], [1, 3]] et T = [[0, 1], [−1, 0]].

piège : Oublier la synthèse, c'est-à-dire vérifier que les candidats conviennent.

Exercice 3. Puissances par le binôme

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A = [[2, 1, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 2]]. Écrire A = 2I + N, calculer N² et N³, en déduire Aⁿ pour tout entier n ≥ 2.

Technique binôme avec une nilpotente.

Voir le corrigé

N = [[0, 1, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]], N² = [[0, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 0, 0]], N³ = 0. 2. 2I commute avec N, donc le binôme s'applique et s'arrête à N². Aⁿ = 2ⁿ I + n 2ⁿ⁻¹ N + (n(n − 1)/2) 2ⁿ⁻² N². 3. Donc Aⁿ = [[2ⁿ, n 2ⁿ⁻¹, n(n − 1) 2ⁿ⁻³], [0, 2ⁿ, n 2ⁿ⁻¹], [0, 0, 2ⁿ]]. 4. Contrôle avec n = 2, A² = [[4, 4, 1], [0, 4, 4], [0, 0, 4]], ce qu'on vérifie par produit direct.

piège : Appliquer le binôme à A = B + C sans dire pourquoi B et C commutent.

Exercice 4. Polynôme annulateur, inverse et puissances

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit A = [[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]. Montrer que A² = A + 2I. En déduire que A est inversible et calculer A⁻¹. Montrer que pour tout n il existe des réels αₙ et βₙ avec Aⁿ = αₙ A + βₙ I, et les calculer.

Technique factoriser le polynôme annulateur, puis récurrence sur les coefficients.

Voir le corrigé

A = J − I avec J² = 3J, donc A² = J² − 2J + I = J + I = A + 2I. 2. A² − A = 2I, soit A(A − I) = 2I, donc A est inversible et A⁻¹ = (A − I)/2 = (1/2) [[−1, 1, 1], [1, −1, 1], [1, 1, −1]]. 3. Récurrence. α₀ = 0, β₀ = 1. Si Aⁿ = αₙ A + βₙ I, alors Aⁿ⁺¹ = αₙ A² + βₙ A = αₙ (A + 2I) + βₙ A = (αₙ + βₙ) A + 2αₙ I. Donc α indice n+1 = αₙ + βₙ et β indice n+1 = 2αₙ. 4. On en tire α indice n+2 = α indice n+1 + 2αₙ, récurrence linéaire d'ordre 2 d'équation caractéristique r² − r − 2 = 0, racines 2 et −1. Avec α₀ = 0 et α₁ = 1, αₙ = (2ⁿ − (−1)ⁿ)/3, puis βₙ = 2α indice n−1 = (2ⁿ + 2(−1)ⁿ)/3 pour n ≥ 1, formule encore vraie pour n = 0. 5. Contrôle, n = 2 donne α₂ = 1 et β₂ = 2, c'est bien A² = A + 2I.

piège : Déduire de A² = A + 2I que les valeurs 2 et −1 sont les seules à intervenir sans avoir justifié la récurrence.

Exercice 5. Inverse d'ordre 3 par système

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit A = [[1, 2, 1], [0, 1, 1], [1, 1, 2]]. Montrer que A est inversible et calculer A⁻¹.

Technique résoudre AX = Y avec seconds membres littéraux.

Voir le corrigé

Système x + 2y + z = a, y + z = b, x + y + 2z = c. 2. L₃ ← L₃ − L₁ donne −y + z = c − a. Puis L₃ ← L₃ + L₂ donne 2z = b + c − a, soit z = (−a + b + c)/2. 3. y = b − z = (a + b − c)/2. Puis x = a − 2y − z = a − (a + b − c) − (−a + b + c)/2 = (a − 3b + c)/2. 4. Solution unique pour tout Y, donc A inversible et A⁻¹ = (1/2) [[1, −3, 1], [1, 1, −1], [−1, 1, 1]]. 5. Contrôle, ligne 1 de A fois colonne 1 de A⁻¹, (1 + 2 − 1)/2 = 1, et ligne 1 fois colonne 2, (−3 + 2 + 1)/2 = 0.

piège : Oublier le facteur 1/2 global ou ranger en lignes les coefficients qui vont en colonnes.

Exercice 6. Commutant d'une matrice

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A = [[1, 1], [0, 1]]. Déterminer toutes les matrices M d'ordre 2 telles que AM = MA.

Technique écrire M avec quatre inconnues et identifier.

Voir le corrigé

M = [[a, b], [c, d]]. AM = [[a + c, b + d], [c, d]] et MA = [[a, a + b], [c, c + d]]. 2. L'égalité impose a + c = a, b + d = a + b, d = c + d, soit c = 0 et d = a. 3. Réciproquement toute matrice [[a, b], [0, a]] = aI + bE commute avec A = I + E, puisque E commute avec I et avec E. 4. L'ensemble cherché est celui des aI + bE avec a et b réels.

piège : Ne traiter que la condition nécessaire sans vérifier la réciproque.

Exercice 7. Matrices nilpotentes

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit N carrée d'ordre n avec Nᵏ = 0 pour un entier k ≥ 1. Montrer que N n'est pas inversible. Montrer que I − N est inversible et calculer son inverse. Que dire de I + N ?

Technique raisonner par l'absurde, puis télescopage.

Voir le corrigé

Si N était inversible, en multipliant Nᵏ = 0 par N⁻¹ à gauche k fois, on obtiendrait I = 0, absurde pour n ≥ 1. 2. On développe (I − N)(I + N + N² + … + Nᵏ⁻¹) = I − Nᵏ = I, développement licite car I et N commutent. Donc I − N est inversible d'inverse I + N + … + Nᵏ⁻¹. 3. Comme (−N)ᵏ = (−1)ᵏ Nᵏ = 0, la matrice −N est nilpotente et I + N = I − (−N) est inversible d'inverse I − N + N² − … + (−1)ᵏ⁻¹ Nᵏ⁻¹.

piège : Écrire l'inverse comme une somme infinie, alors que la somme est finie parce que Nᵏ = 0.

Exercice 8. Une matrice annulée par sa transposée

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit A à n lignes et p colonnes. Montrer que si tA A = 0, alors A = 0.

Technique lire le coefficient diagonal comme une somme de carrés.

Voir le corrigé

Le coefficient (j, j) de tA A est la somme sur i des coefficients (j, i) de tA par les coefficients (i, j) de A, soit la somme des a(i, j)² pour i de 1 à n. 2. Si tA A = 0, cette somme de carrés est nulle, donc chaque a(i, j) est nul. 3. Ceci pour tout j, donc A = 0.

piège : Simplifier tA A = 0 par tA, qui n'est en général pas carrée et n'a donc pas d'inverse.

Exercice 9. Projecteurs

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A carrée avec A² = A. Montrer que si A est inversible, alors A = I. Montrer que I − A vérifie aussi (I − A)² = I − A. Montrer que I − 2A est inversible et égale à son inverse.

Technique multiplier par l'inverse, puis développer en commutant avec I.

Voir le corrigé

A² = A et A inversible donnent A = A⁻¹ A² = A⁻¹ A = I. 2. (I − A)² = I − 2A + A² = I − 2A + A = I − A. 3. (I − 2A)² = I − 4A + 4A² = I − 4A + 4A = I. Donc I − 2A est inversible et son inverse est I − 2A.

piège : Déduire de A² = A que A = I ou A = 0, ce qui est faux pour A = [[1, 0], [0, 0]].

Exercice 10. Suite de matrices et récurrence

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit A = [[1, 2], [0, 3]]. Calculer A² et A³, conjecturer Aⁿ et démontrer la formule. Retrouver le résultat en écrivant A = I + B avec B = [[0, 2], [0, 2]] et en calculant B².

Technique récurrence directe, puis vérification par une relation sur B.

Voir le corrigé

A² = [[1, 8], [0, 9]], A³ = [[1, 26], [0, 27]]. On conjecture Aⁿ = [[1, 3ⁿ − 1], [0, 3ⁿ]]. 2. Vrai pour n = 0. Si vrai au rang n, Aⁿ A = [[1, 2 + 3(3ⁿ − 1)], [0, 3ⁿ⁺¹]] = [[1, 3ⁿ⁺¹ − 1], [0, 3ⁿ⁺¹]]. 3. B² = [[0, 4], [0, 4]] = 2B, donc Bᵖ = 2ᵖ⁻¹ B pour p ≥ 1. Comme I et B commutent, Aⁿ = I + Σ C(n, p) 2ᵖ⁻¹ B pour p de 1 à n, soit I + ((3ⁿ − 1)/2) B, et ((3ⁿ − 1)/2) × 2 = 3ⁿ − 1, c'est la même matrice.

piège : Croire que B est nilpotente parce qu'elle a une colonne nulle.

Erreurs fréquentes

Commuter deux matrices sans justification, en particulier dans une identité remarquable ou le binôme.
Simplifier AB = AC ou AB = 0 par A sans avoir prouvé que A est inversible.
Écrire t(AB) = tA tB ou (AB)⁻¹ = A⁻¹ B⁻¹, alors que l'ordre s'inverse dans les deux cas.
Conclure qu'une matrice est inversible parce qu'elle est triangulaire, sans regarder la diagonale.
Ne faire que l'analyse dans un problème d'existence et d'unicité, sans vérifier que la solution trouvée convient.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie III « Algèbre linéaire », paragraphe 1 « Calcul matriciel ». Le programme place volontairement les matrices avant les espaces vectoriels, pour familiariser avec le calcul multidimensionnel avant d'aborder l'abstraction. Le chapitre peut être mené en lien avec l'informatique.

Calcul matriciel

Résumé en cinq points

1Matrices rectangulaires

1.1Définitions

1.2Addition et produit par un réel

1.3Produit matriciel

1.4Transposée

2Matrices carrées

2.1L'ensemble Mn(R)

2.2Matrices particulières

2.3Calcul de puissances

3Matrices inversibles

3.1Définition

3.2Règles de calcul

3.3Cas de l'ordre 2

3.4Matrices diagonales et triangulaires

3.5Calcul pratique de l'inverse

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Transposée et produit

Exercice 2. Décomposition symétrique plus antisymétrique

Exercice 3. Puissances par le binôme

Exercice 4. Polynôme annulateur, inverse et puissances

Exercice 5. Inverse d'ordre 3 par système

Exercice 6. Commutant d'une matrice

Exercice 7. Matrices nilpotentes

Exercice 8. Une matrice annulée par sa transposée

Exercice 9. Projecteurs

Exercice 10. Suite de matrices et récurrence

Erreurs fréquentes

2.1L'ensemble M_n(R)