Suites réelles, généralités et suites usuelles

Résumé en cinq points

1Généralités

1.1Définition et notations

1.2Trois modes de génération

Ce point de vue est utile : il permet d'utiliser l'étude de $f$, ses variations et ses limites, pour conclure sur la suite.

1.3Représentation graphique

Le programme demande d'utiliser autant que possible la représentation graphique.

• Pour une suite donnée explicitement, on trace le nuage des points de coordonnées $(n, u_n)$.
• Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la première bissectrice, puis on construit la ligne brisée en escalier qui part de $u_0$ sur l'axe des abscisses.

Ce dessin permet de conjecturer la monotonie et la limite éventuelle.

1.4Vocabulaire

1.5Étudier la monotonie

2Suites arithmétiques

2.1Définition et forme explicite

La suite est croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Elle est non bornée dès que $r$ est non nul.

Le modèle correspondant est celui d'une croissance à montant fixe, par exemple un versement mensuel constant sur un compte non rémunéré.

2.2Somme des termes

3Suites géométriques

3.1Définition et forme explicite

Le modèle correspondant est celui d'une croissance à taux constant.

3.2Comportement selon la raison

Supposons $u_0 > 0$.

• Si $q > 1$, la suite est strictement croissante.
• Si $q = 1$, elle est constante.
• Si $0 < q < 1$, elle est strictement décroissante et à termes positifs.
• Si $q = 0$, elle est nulle à partir du rang 1.
• Si $q < 0$, elle change de signe à chaque rang : elle n'est pas monotone.

3.3Somme des termes

Pour une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison différente de 1 :

$$\text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$$

4Suites arithmético-géométriques

4.1Définition

• Si $a = 1$, la suite est arithmétique.
• Si $b = 0$, elle est géométrique.
• Le cas intéressant est celui où $a \neq 1$ et $b \neq 0$.

4.2Méthode

Le programme demande de savoir se ramener au cas géométrique.

4.3Exemple d'amortissement

L'annuité de 3 000 euros correspond exactement aux intérêts d'une dette de 75 000 euros. Au-dessus de ce seuil la dette augmenterait malgré les versements.

5Récurrence linéaire d'ordre 2

5.1Cadre

5.2Équation caractéristique

Le programme limite l'étude au cas où elle possède des racines réelles.

Dans les deux cas, on détermine $\lambda$ et $\mu$ en écrivant les deux équations obtenues pour $n = 0$ et $n = 1$, ce qui donne un système linéaire de deux équations à deux inconnues.

Le cas où l'équation caractéristique n'a pas de racine réelle est hors programme en première année.

5.3Exemple

5.4Lien avec les matrices

En posant $X_n$ la colonne formée de $u_{n+1}$ et de $u_n$, la relation s'écrit $X_{n+1} = A X_n$, où $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ On a alors $X_n = A^n X_0$. Les racines de l'équation caractéristique sont celles du polynôme $r^2 - a r - b$, qui est aussi un polynôme annulateur de $A$.

6Lien avec l'informatique

Calculer les $N$ premiers termes d'une suite définie par récurrence est un exercice d'algorithmique de base.

• En pseudo-code, on initialise $u$ à $u_0$ et une liste $L$ contenant $u_0$, puis pour $n$ allant de 0 à $N - 1$ on remplace $u$ par la valeur obtenue par la relation de récurrence et on ajoute $u$ à la liste.
• En Python, on utilise une boucle for avec range et la commande append.

Pour une récurrence d'ordre 2, on garde deux variables, l'une pour le terme courant et l'autre pour le précédent, et on les met à jour simultanément.

Le tracé du nuage de points se fait avec plt.plot en fournissant la liste des rangs et la liste des termes. Comparer le nuage obtenu par la récurrence et celui obtenu par la forme explicite est une bonne vérification.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Donner la forme explicite d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique à partir d'un rang quelconque.
2. Calculer une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique puis d'une suite géométrique, en comptant correctement les termes.
3. Traiter entièrement une suite arithmético-géométrique, du point fixe à la forme explicite.
4. Modéliser un placement à intérêts composés ou un remboursement par annuités constantes.
5. Résoudre une récurrence linéaire d'ordre 2 à racines réelles distinctes, puis à racine double.
6. Étudier la monotonie d'une suite par le signe de la différence et par le quotient.
7. Expliquer la différence entre une suite majorée et une suite convergente.
8. Écrire en pseudo-code le calcul des $N$ premiers termes d'une suite récurrente d'ordre 1 puis d'ordre 2.

Les résultats à connaître

• Suite bornée. (uₙ) est bornée si et seulement si ∃K ≥ 0, ∀n, |uₙ| ≤ K. Exigible, la preuve tient en une ligne.
• Monotonie par restriction. Si f est croissante sur [0, +∞[ et si uₙ = f(n), alors (uₙ) est croissante. Même chose pour décroissante. La réciproque est fausse. Exigible.
• Monotonie par le quotient. Si uₙ > 0 pour tout n, alors (uₙ) est croissante si et seulement si u₍ₙ₊₁₎/uₙ ≥ 1 pour tout n. Exigible, l'hypothèse de positivité est indispensable.
• Suite arithmétique de raison r. On a uₙ = uₚ + (n − p)r pour tous n et p. Exigible avec démonstration par récurrence.
• Somme arithmétique. Σ de k = p à n de uₖ = (n − p + 1)(uₚ + uₙ)/2. Exigible avec démonstration.
• Suite géométrique de raison q. On a uₙ = uₚ qⁿ⁻ᵖ pour n ≥ p. Exigible avec démonstration par récurrence.
• Somme géométrique. Pour q ≠ 1, Σ de k = 0 à n de qᵏ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Pour q = 1 elle vaut n + 1. Exigible avec démonstration, c'est la seule formule citée explicitement par le programme.
• Suite arithmético-géométrique u₍ₙ₊₁₎ = auₙ + b avec a ≠ 1. Si l = b/(1 − a), alors uₙ = l + (u₀ − l)aⁿ. Exigible, le programme demande de savoir refaire la réduction au cas géométrique à chaque fois.
• Récurrence d'ordre 2 u₍ₙ₊₂₎ = au₍ₙ₊₁₎ + buₙ avec b ≠ 0, équation caractéristique à deux racines réelles distinctes r₁ et r₂. Il existe un unique couple (λ, μ) tel que uₙ = λr₁ⁿ + μr₂ⁿ. Résultat à connaître et à appliquer. Sa démonstration complète n'est pas un attendu du programme.
• Même cadre, racine double r. Elle vaut a/2 et elle est non nulle car b ≠ 0. Il existe un unique couple (λ, μ) tel que uₙ = (λ + μn)rⁿ. Même statut.
• Hors programme en première année. Le cas de racines complexes, les récurrences d'ordre 2 à coefficients variables, les récurrences d'ordre supérieur à 2. La convergence est traitée dans le chapitre suivant.

Clés de démonstration

Suite bornée. Si m ≤ uₙ ≤ M pour tout n, on pose K = max(|m|, |M|), et alors −K ≤ m ≤ uₙ ≤ M ≤ K. Réciproquement, |uₙ| ≤ K donne −K ≤ uₙ ≤ K. Astuce, le maximum des valeurs absolues fournit un seul nombre qui contrôle les deux côtés.

Forme explicite arithmétique ou géométrique. On fixe p et on raisonne par récurrence sur n ≥ p. L'hérédité consiste à ajouter r ou à multiplier par q. Astuce, écrire la propriété avec p quelconque dès le départ, c'est elle qui sert quand la suite commence au rang 1.

Somme arithmétique. On écrit S dans l'ordre croissant puis dans l'ordre décroissant, et on additionne terme à terme. Chaque paire vaut uₚ + uₙ car on ajoute r d'un côté et on retire r de l'autre. Astuce, il y a n − p + 1 paires, donc 2S = (n − p + 1)(uₚ + uₙ).

Somme géométrique. On note S la somme et on calcule S − qS. Tous les termes intermédiaires se compensent et il reste 1 − qⁿ⁺¹. Astuce, on divise par 1 − q, ce qui n'est permis que si q ≠ 1.

Arithmético-géométrique. On écrit les deux égalités u₍ₙ₊₁₎ = auₙ + b et l = al + b, puis on les soustrait. La constante b disparaît et il reste u₍ₙ₊₁₎ − l = a(uₙ − l). Astuce, le point fixe est construit exactement pour absorber b.

Ordre 2, racines distinctes. Comme r₁² = ar₁ + b, en multipliant par r₁ⁿ on voit que (r₁ⁿ) vérifie la relation, de même pour (r₂ⁿ), donc toute combinaison λr₁ⁿ + μr₂ⁿ aussi. Le système λ + μ = u₀ et λr₁ + μr₂ = u₁ a une unique solution car son déterminant r₂ − r₁ est non nul. Astuce, deux suites qui vérifient la relation et ont les mêmes deux premiers termes sont égales, par récurrence double.

Ordre 2, racine double. Ici a = 2r et r² = ar + b. Pour vérifier que (nrⁿ) convient, on compare a(n + 1)r + bn = n(ar + b) + ar = nr² + 2r² avec (n + 2)r². Astuce, la relation a = 2r transforme ar en 2r².

Exemples et contre-exemples à connaître

1. La suite ((−1)ⁿ) est géométrique de raison −1, bornée, non monotone. C'est le contre-exemple universel à « bornée implique monotone ».
2. La suite uₙ = sin(πn) est nulle, donc constante, alors que la fonction sinus n'est monotone sur aucun intervalle de longueur supérieure à π. Une suite monotone ne vient pas forcément d'une fonction monotone.
3. La suite uₙ = n/(n + 1) est croissante et majorée par 1. Écrire « majorée par u₍ₙ₊₁₎ » n'a aucun sens, un majorant ne dépend pas de n.
4. Une suite arithmético-géométrique avec u₀ = l est constante. Ce cas explique pourquoi la forme explicite contient le facteur u₀ − l.
5. Une suite géométrique de raison 0 vaut u₀, puis 0 à partir du rang 1. La formule u₀qⁿ reste vraie en convenant que 0⁰ = 1.
6. Σ de k = 0 à n de (1/2)ᵏ = 2 − (1/2)ⁿ. C'est la somme qu'on doit savoir calculer de tête.
7. La relation u₍ₙ₊₂₎ = u₍ₙ₊₁₎ + uₙ a pour équation caractéristique r² − r − 1 = 0, de racines réelles distinctes (1 + √5)/2 et (1 − √5)/2. Des racines irrationnelles restent dans le programme.
8. La relation u₍ₙ₊₂₎ = −uₙ donne r² + 1 = 0, sans racine réelle. Le cas est hors programme, et la suite est pourtant simple, périodique de période 4.
9. Le multiplicateur keynésien. Avec une propension à consommer c dans ]0, 1[, le revenu cumulé après n tours vaut ΔG(1 − cⁿ⁺¹)/(1 − c). C'est une somme géométrique déguisée.

Techniques du chapitre

Reconnaître le type par la différence ou le quotient. Mini-exercice, la suite uₙ = 3 × 2ⁿ⁺¹ est-elle géométrique ? On calcule u₍ₙ₊₁₎/uₙ = 2ⁿ⁺²/2ⁿ⁺¹ = 2, constant, et tous les termes sont non nuls. Elle est géométrique de raison 2 et de premier terme 6.

Somme géométrique qui ne commence pas à 0. Mini-exercice, calculer Σ de k = 2 à n de 3ᵏ pour n ≥ 2. Premier terme 9, raison 3, nombre de termes n − 1. La somme vaut 9(1 − 3ⁿ⁻¹)/(1 − 3) = 9(3ⁿ⁻¹ − 1)/2. Contrôle, n = 3 donne 36 = 9 + 27.

Linéarité pour découper une somme. Mini-exercice, calculer Σ de k = 0 à n de (2k + 3 × 2ᵏ). On sépare en 2 Σ k + 3 Σ 2ᵏ, soit n(n + 1) + 3(2ⁿ⁺¹ − 1). Chaque morceau est une somme usuelle.

Monotonie par le quotient. Mini-exercice, uₙ = 2ⁿ/n! pour n ≥ 1. Les termes sont strictement positifs et u₍ₙ₊₁₎/uₙ = 2/(n + 1) ≤ 1 pour n ≥ 1. La suite est décroissante à partir du rang 1, avec u₁ = u₂ = 2.

Suite auxiliaire suggérée. Mini-exercice, u₀ = 1 et u₍ₙ₊₁₎ = uₙ/(1 + uₙ). Par récurrence uₙ > 0, donc vₙ = 1/uₙ est bien définie, et v₍ₙ₊₁₎ = (1 + uₙ)/uₙ = vₙ + 1. Donc vₙ = n + 1 et uₙ = 1/(n + 1).

Seuil par le logarithme. Mini-exercice, trouver le plus petit n tel que 0,9ⁿ ≤ 0,01. On passe au logarithme, n ln(0,9) ≤ ln(0,01), et on divise par ln(0,9) < 0, ce qui inverse l'inégalité. On obtient n ≥ ln(0,01)/ln(0,9) ≈ 43,7, donc n = 44.

Ordre 2 à racine double. Mini-exercice, u₀ = 1, u₁ = 4, u₍ₙ₊₂₎ = 4u₍ₙ₊₁₎ − 4uₙ. L'équation r² − 4r + 4 = 0 a la racine double 2, donc uₙ = (λ + μn)2ⁿ. On trouve λ = 1 puis 2(1 + μ) = 4, donc uₙ = (n + 1)2ⁿ. Contrôle, u₂ = 12 = 3 × 4.

Mise à jour simultanée en Python. Mini-exercice, calculer u₁₀ pour u₀ = 0, u₁ = 1, u₍ₙ₊₂₎ = 5u₍ₙ₊₁₎ − 6uₙ. On initialise u, v = 0, 1 puis on répète dix fois u, v = v, 5*v - 6*u. À la fin, u contient u₁₀, soit 3¹⁰ − 2¹⁰ = 58 025.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Erreurs fréquentes