Le cours

Résumé en cinq points

Converger signifie avoir une limite finie. Tendre vers l'infini est une divergence, et une suite peut n'avoir aucune limite.
Quatre formes sont indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty / \infty$ , $0 / 0$ . Il faut alors transformer l'expression.
Les inégalités larges passent à la limite, les inégalités strictes deviennent larges.
Le théorème de la limite monotone donne l'existence sans la valeur, le théorème d'encadrement donne les deux.
La suite de terme général $q^n$ converge vers $0$ si $\abs{q} < 1$ , et l'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui l'emporte sur le logarithme.

Pourquoi ce chapitre

Toutes les questions de long terme se ramènent à une limite :

un capital placé tend-il vers l'infini ;
une dette s'éteint-elle ;
un modèle d'évolution converge-t-il vers un équilibre ;
une méthode numérique approche-t-elle la solution cherchée.

Le vocabulaire de la convergence est aussi celui qu'on retrouvera pour les fonctions, puis pour les séries au second semestre, et enfin pour les variables aléatoires.

Le chapitre fournit trois outils :

les opérations algébriques, qui règlent la plupart des cas ;
le théorème d'encadrement, qui traite les suites difficiles à calculer directement ;
le théorème de la limite monotone, qui donne l'existence d'une limite sans la calculer, ce qui est indispensable pour les suites définies par récurrence.

1Définition de la limite

1.1Suite convergente

Définition 1.1Suite convergente

La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ quand tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, autrement dit tous les termes sauf un nombre fini d'entre eux. C'est la formulation du programme.

On note alors $\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell$ . Une suite qui ne converge vers aucun réel est divergente.

Propriété 1.2Formulation avec $\varepsilon$

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si et seulement si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$ , $\abs{u_n - \ell} \leqslant \varepsilon$ .

L'idée est la même : on peut rendre l'écart à $\ell$ aussi petit qu'on veut pourvu qu'on aille assez loin dans la suite.

Attention

Une suite peut être bornée sans converger : la suite de terme général $(-1)^n$ en est l'exemple.

Une suite convergente est nécessairement bornée, résultat classique qu'on peut citer.
Modifier un nombre fini de termes d'une suite ne change ni sa nature ni sa limite.

1.2Limites infinies

Définition 1.3Limite infinie

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ quand, pour tout réel $A$ , tous les termes de la suite sont supérieurs à $A$ à partir d'un certain rang. On définit de même la limite $-\infty$ .

Attention

Une suite qui tend vers $+\infty$ est divergente, elle n'est pas convergente. Le mot convergent est réservé aux limites finies.

Trois comportements sont possibles :

convergence vers un réel ;
divergence vers $+\infty$ ou $-\infty$ ;
absence de limite, comme pour $(-1)^n$ .

1.3Unicité

Propriété 1.4Unicité de la limite

Si une suite admet une limite, finie ou infinie, cette limite est unique.

C'est ce qui autorise l'article défini et la notation avec le signe égal.

2Opérations algébriques

Théorème 2.1Opérations sur les limites finies

Hypothèses

$(u_n)$ converge vers $\ell$ ;
$(v_n)$ converge vers $\ell'$ .

Alors :

$(u_n + v_n)$ converge vers $\ell + \ell'$ ;
$(u_n v_n)$ converge vers $\ell\ell'$ ;
pour tout réel $\lambda$ , $(\lambda u_n)$ converge vers $\lambda\ell$ ;
si de plus $\ell' \neq 0$ , $u_n / v_n$ est défini à partir d'un certain rang et converge vers $\ell/\ell'$ .

Ces règles s'étendent partiellement aux limites infinies, avec quatre formes indéterminées à connaître :

la différence de deux suites tendant vers $+\infty$ ;
le produit d'une suite tendant vers $0$ par une suite tendant vers l'infini ;
le quotient de deux suites tendant toutes deux vers l'infini ;
le quotient de deux suites tendant toutes deux vers $0$ .

Indéterminée ne signifie pas sans limite : la seule connaissance des limites des deux suites ne suffit pas à conclure, il faut transformer l'expression. Les techniques usuelles sont :

la factorisation par le terme dominant ;
la mise au même dénominateur ;
l'utilisation de la quantité conjuguée pour les différences de racines carrées ;
les croissances comparées.

Le programme précise qu'aucune technicité ne sera exigée sur ces opérations.

3Limites et inégalités

3.1Passage à la limite

Théorème 3.1Passage à la limite dans une inégalité large

Hypothèses

$u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang ;
$(u_n)$ et $(v_n)$ convergent.

Alors $\lim u_n \leqslant \lim v_n$ .

Attention

Les inégalités strictes ne se conservent pas. Même si $u_n < v_n$ pour tout $n$ , les limites peuvent être égales.

Exemple 3.2Contre-exemple

Avec $u_n = 0$ et $v_n = \dfrac{1}{n+1}$ , on a toujours $u_n < v_n$ , et pourtant les deux limites valent $0$ .

De même, si $u_n > 0$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge, la limite est positive ou nulle, pas nécessairement strictement positive.

3.2Théorème d'encadrement

Théorème 3.3Théorème d'encadrement

Hypothèses

$a_n \leqslant u_n \leqslant b_n$ à partir d'un certain rang ;
$(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers le même réel $\ell$ .

Alors $(u_n)$ converge et sa limite vaut $\ell$ .

Ce théorème donne à la fois l'existence de la limite et sa valeur. Il s'applique typiquement quand $u_n$ contient un terme oscillant borné, par exemple une puissance de $-1$ , ou une partie entière.

Exemple 3.4

Pour $n \geqslant 1$ , la suite de terme général $\dfrac{(-1)^n}{n}$ est encadrée par $-\dfrac{1}{n}$ et $\dfrac{1}{n}$ , donc elle converge vers $0$ .

Propriété 3.5Version pour les limites infinies

Hypothèses

$u_n \geqslant a_n$ à partir d'un certain rang ;
$(a_n)$ tend vers $+\infty$ .

Alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$ .

Une seule minoration suffit dans ce cas.

4Théorème de la limite monotone

C'est le théorème d'existence du chapitre.

Théorème 4.1Théorème de la limite monotone

Il s'énonce en quatre affirmations :

toute suite croissante et majorée converge ;
toute suite décroissante et minorée converge ;
toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ ;
toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ .

Une conséquence immédiate : toute suite monotone admet une limite, finie ou infinie.

Attention

Le théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur. Si une suite croissante est majorée par $10$ , elle converge, mais sa limite n'est pas nécessairement $10$ , elle est seulement inférieure ou égale à $10$ .
Les deux hypothèses doivent aller dans le même sens. Une suite croissante et minorée ne converge pas forcément : la suite des entiers en est l'exemple.

Ce théorème est l'outil de référence pour les suites définies par récurrence.

MéthodeÉtudier une suite définie par récurrence

Montrer par récurrence que la suite est bornée.
Montrer par récurrence qu'elle est monotone.
Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone.
Identifier la limite en passant à la limite dans la relation de récurrence.

5Suites adjacentes

Définition 5.1Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes quand l'une est croissante, l'autre décroissante, et que $v_n - u_n$ tend vers $0$ .

Théorème 5.2Convergence des suites adjacentes

Hypothèse

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, $(u_n)$ étant la croissante.

Alors elles convergent et ont la même limite $\ell$ . De plus $u_n \leqslant \ell \leqslant v_n$ pour tout $n$ .

On obtient donc un encadrement de la limite à chaque rang, ce qui en fait un outil naturel d'approximation numérique.

6Suites extraites de rangs pairs et impairs

Théorème 6.1Rangs pairs et impairs

Hypothèses

$(u_{2n})$ converge vers $\ell$ ;
$(u_{2n+1})$ converge vers $\ell$ .

Alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

Attention

L'hypothèse « même limite » est essentielle.

Exemple 6.2

Pour $(-1)^n$ , la suite des rangs pairs vaut constamment $1$ et celle des rangs impairs vaut constamment $-1$ . Les deux convergent, mais vers des limites différentes, et la suite complète n'a pas de limite. C'est la façon la plus propre de justifier que cette suite diverge.

7Comportement asymptotique des suites usuelles

7.1Suites géométriques

Propriété 7.1Limite de $q^n$

Pour $q$ réel, la suite de terme général $q^n$ :

converge vers $0$ si $\abs{q} < 1$ ;
est constante égale à $1$ si $q = 1$ ;
tend vers $+\infty$ si $q > 1$ ;
n'a pas de limite si $q \leqslant -1$ .

C'est le résultat le plus utilisé de l'année. Il permet de conclure sur toute suite arithmético-géométrique, dont la forme explicite est $\ell + (u_0 - \ell)a^n$ . Cette suite converge vers le point fixe $\ell$ si $\abs{a} < 1$ , et diverge sinon, sauf si $u_0 = \ell$ .

Interprétation économique : un modèle d'évolution du type $u_{n+1} = au_n + b$ est stable, c'est-à-dire revient vers son équilibre quelle que soit la situation initiale, exactement quand $\abs{a} < 1$ .

7.2Croissances comparées

Le programme demande la comparaison des suites de termes généraux $n^a$ , $q^n$ et $(\ln n)^b$ . Ces résultats sont admis.

Propriété 7.2Croissances comparées

Hypothèses

$a > 0$ et $b > 0$ ;
$q > 1$ .

Alors : $\frac{(\ln n)^b}{n^a} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0, \qquad \frac{n^a}{q^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.$

L'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui l'emporte sur le logarithme. On retient la hiérarchie logarithme, puissance, exponentielle, de la plus lente à la plus rapide.

Deux conséquences immédiates :

$n^a q^n$ tend vers $0$ quand $\abs{q} < 1$ , car la décroissance géométrique l'emporte ;
$\dfrac{n}{\ln n}$ tend vers $+\infty$ .

7.3Deux limites de référence supplémentaires

La suite de terme général $\dfrac{1}{n^a}$ tend vers $0$ pour tout $a > 0$ .
La suite de terme général $\ln n$ tend vers $+\infty$ , mais lentement : il faut environ $22\,000$ termes pour que le logarithme dépasse $10$ .

8Lien avec l'informatique

Une limite ne se démontre jamais numériquement, mais l'expérimentation guide la conjecture. Calculer les cent premiers termes d'une suite et les tracer avec plt.plot permet de deviner la limite et le sens de variation.

Attention

Une convergence lente, comme celle de la suite de terme général $\dfrac{1}{n}$ , ne se voit pas bien sur un graphique.
Les erreurs d'arrondi de la machine peuvent faire diverger numériquement une suite qui converge en théorie.

MéthodePremier rang sous un seuil

Initialiser le terme et un compteur à $0$ .
Tant que le terme est supérieur au seuil, calculer le terme suivant et incrémenter le compteur.

Ce schéma exige de savoir au préalable que la suite converge bien, sinon la boucle ne se termine pas.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Devant une limite, tester d'abord les opérations algébriques. Si une forme indéterminée apparaît, factoriser par le terme dominant.
Devant un quotient de polynômes en $n$ , factoriser numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré.
Devant un mélange de puissances, d'exponentielles et de logarithmes, appliquer les croissances comparées.
Devant un terme oscillant ou une partie entière, encadrer.
Devant une suite définie par récurrence, ne pas chercher la forme explicite en premier. Montrer par récurrence qu'elle est bornée et monotone, conclure par le théorème de la limite monotone, puis passer à la limite dans la relation de récurrence.

Attention

Ne jamais écrire une limite avant d'avoir établi qu'elle existe. Écrire « soit $\ell$ la limite » avant de l'avoir justifiée est une faute de raisonnement fréquente.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer la définition de la convergence, dans la formulation du programme et dans la formulation avec $\varepsilon$ .
Donner un exemple de suite bornée non convergente et justifier avec les rangs pairs et impairs.
Citer les quatre formes indéterminées et donner pour chacune deux exemples de limites différentes.
Expliquer pourquoi les inégalités strictes ne se conservent pas par passage à la limite, avec un contre-exemple.
Appliquer le théorème d'encadrement à une suite contenant un terme oscillant.
Énoncer le théorème de la limite monotone dans ses quatre cas et dire ce qu'il ne donne pas.
Étudier complètement une suite récurrente du type $u_{n+1} = au_n + b$ , existence de la limite et valeur.
Donner les limites des croissances comparées et les utiliser sur une expression mêlant les trois familles.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le programme précise qu'aucune démonstration n'est exigible dans ce chapitre. Les énoncés, eux, doivent être connus avec leurs hypothèses exactes.

Convergence vers un réel l. Tout intervalle ouvert contenant l contient tous les uₙ sauf un nombre fini. Forme équivalente, ∀ε > 0, ∃N, ∀n ≥ N, |uₙ − l| ≤ ε. Énoncé exigible.
Limite +∞. ∀A ∈ R, ∃N, ∀n ≥ N, uₙ ≥ A. Même chose pour −∞. Énoncé exigible.
Unicité de la limite, finie ou infinie. Exigible sans démonstration.
Une suite convergente est bornée. Conséquence directe de la définition, utilisable, mais pas listée explicitement au programme.
Opérations algébriques. Somme, produit, produit par un réel, quotient si la limite du dénominateur est non nulle. Extension aux limites infinies hors des quatre formes indéterminées. Exigible sans démonstration, sans technicité.
Passage à la limite. Si uₙ ≤ vₙ à partir d'un rang et si les deux suites convergent, alors lim uₙ ≤ lim vₙ. Les inégalités strictes deviennent larges. Exigible sans démonstration.
Encadrement. Si aₙ ≤ uₙ ≤ bₙ à partir d'un rang et si (aₙ) et (bₙ) convergent vers le même réel l, alors (uₙ) converge vers l. Version infinie avec une seule minoration ou majoration. Exigible sans démonstration.
Limite monotone. Croissante et majorée ⇒ convergente. Décroissante et minorée ⇒ convergente. Croissante non majorée ⇒ +∞. Décroissante non minorée ⇒ −∞. Exigible sans démonstration.
Suites adjacentes. Si (uₙ) croît, (vₙ) décroît et vₙ − uₙ → 0, alors elles convergent vers une même limite l, avec uₙ ≤ l ≤ vₙ pour tout n. Exigible sans démonstration.
Rangs pairs et impairs. Si (u₂ₙ) et (u₍₂ₙ₊₁₎) convergent vers le même réel l, alors (uₙ) converge vers l. Exigible sans démonstration.
Réciproque utile. Si (uₙ) tend vers l, alors (u₂ₙ) et (u₍₂ₙ₊₁₎) tendent vers l. Conséquence immédiate de la définition, elle sert à prouver des divergences.
Suites géométriques. qⁿ → 0 si |q| < 1, vaut 1 si q = 1, tend vers +∞ si q > 1, n'a pas de limite si q ≤ −1. Exigible.
Croissances comparées. Pour a > 0, b > 0, q > 1, (ln n)ᵇ/nᵃ → 0 et nᵃ/qⁿ → 0. Admis.
Hors programme en ECG. Théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy, lemme de Cesàro, théorie générale des suites extraites. Les notations o et ∼ n'apparaissent pas dans ce chapitre, on raisonne sans elles.

Clés de démonstration

Aucune preuve n'est exigible. Les idées suivantes servent à répondre à un « pourquoi » du colleur et à rendre les énoncés naturels.

Unicité. Si l et l′ étaient deux limites distinctes, on prendrait deux intervalles ouverts disjoints autour de chacune. Chacun devrait contenir tous les termes sauf un nombre fini, or un terme ne peut pas être dans les deux. Astuce, choisir des intervalles de rayon |l − l′|/3.

Passage à la limite. Par l'absurde, si l > l′, on prend ε = (l − l′)/2. À partir d'un rang, uₙ > (l + l′)/2 > vₙ, ce qui contredit uₙ ≤ vₙ. Astuce, couper l'écart en deux.

Encadrement. Pour ε > 0, à partir d'un rang aₙ ≥ l − ε, à partir d'un autre bₙ ≤ l + ε. Au-delà du plus grand des deux rangs, uₙ est dans [l − ε, l + ε]. Astuce, le maximum de deux rangs.

Limite monotone. Une suite croissante majorée a un plus petit majorant s, propriété des réels admise. Pour ε > 0, s − ε n'est pas un majorant, donc un terme u_N dépasse s − ε, et la croissance propage cette inégalité à tous les rangs suivants. Astuce, la monotonie transforme « un terme » en « tous les termes suivants ».

Suites adjacentes. La suite wₙ = vₙ − uₙ est décroissante et tend vers 0, donc elle est positive. Alors u₀ ≤ uₙ ≤ vₙ ≤ v₀, donc (uₙ) est croissante majorée par v₀ et (vₙ) décroissante minorée par u₀. Astuce, une suite décroissante de limite 0 est positive, sinon elle resterait sous une valeur strictement négative.

Rangs pairs et impairs. On prend N₁ pour les rangs pairs et N₂ pour les impairs. Au-delà de max(2N₁, 2N₂ + 1), tous les termes sont proches de l. Astuce, traduire un rang sur l'indice extrait en un rang sur l'indice initial.

Suite géométrique. Si q > 1, on écrit q = 1 + h avec h > 0, et une récurrence donne (1 + h)ⁿ ≥ 1 + nh, qui tend vers +∞. Si 0 < |q| < 1, on applique ce résultat à 1/|q| puis on encadre qⁿ entre −|q|ⁿ et |q|ⁿ. Astuce, l'inégalité de Bernoulli.

Exemples et contre-exemples à connaître

uₙ = (−1)ⁿ. Bornée et sans limite, les rangs pairs et impairs le prouvent.
uₙ = 1/(n + 1). Strictement positive de limite nulle, l'inégalité stricte ne passe pas à la limite.
uₙ = (−1)ⁿ/n. Convergente sans être monotone, la réciproque de la limite monotone est fausse.
uₙ = n. Croissante et minorée, mais divergente. Les deux hypothèses doivent aller dans le même sens.
uₙ = 1 − 1/n. Croissante, majorée par 2, de limite 1. Un majorant n'est pas la limite.
uₙ = n(−1)ⁿ. Non bornée sans tendre vers +∞. Non majorée ne veut pas dire limite infinie sans monotonie.
uₙ = ln n. On a u₍ₙ₊₁₎ − uₙ = ln(1 + 1/n) → 0, et pourtant la suite tend vers +∞.
Forme 0 × ∞. (1/n) × n → 1, (1/n) × n² → +∞, (1/n²) × n → 0. Une forme indéterminée peut donner n'importe quoi.
uₙ = √(n + 1) − √n. Forme ∞ − ∞ qui tend vers 0, la quantité conjuguée donne 1/(√(n + 1) + √n).
uₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Ne tend pas vers 1 mais vers e, résultat qu'on établira avec les fonctions. La forme « 1 puissance l'infini » est aussi indéterminée.

Techniques du chapitre

Factoriser par le terme dominant. Mini-exercice, limite de (3n² − n + 1)/(2n² + 5). On divise par n², on obtient (3 − 1/n + 1/n²)/(2 + 5/n²), qui tend vers 3/2.

Quantité conjuguée. Mini-exercice, limite de √(n² + n) − n. On multiplie et divise par √(n² + n) + n, on obtient n/(√(n² + n) + n) = 1/(√(1 + 1/n) + 1), qui tend vers 1/2.

Croissances comparées. Mini-exercice, limite de (n³ + 2ⁿ)/3ⁿ. On sépare, n³/3ⁿ → 0 par croissances comparées avec q = 3, et (2/3)ⁿ → 0 car |2/3| < 1. La limite vaut 0.

Encadrer une partie entière. Mini-exercice, x réel fixé, limite de ⌊nx⌋/n. De nx − 1 < ⌊nx⌋ ≤ nx on tire x − 1/n < ⌊nx⌋/n ≤ x pour n ≥ 1. Par encadrement, la limite vaut x.

Minorer pour obtenir +∞. Mini-exercice, uₙ = n² + (−1)ⁿ n. On a uₙ ≥ n² − n = n(n − 1), qui tend vers +∞. Donc uₙ → +∞, sans jamais calculer de limite pour le terme oscillant.

Point fixe d'une suite arithmético-géométrique. Mini-exercice, u₍ₙ₊₁₎ = uₙ/2 + 3. Le point fixe vérifie l = l/2 + 3, donc l = 6. La suite vₙ = uₙ − 6 vérifie v₍ₙ₊₁₎ = vₙ/2, elle est géométrique de raison 1/2, donc uₙ → 6.

Prouver une divergence par les rangs pairs et impairs. Mini-exercice, uₙ = (−1)ⁿ n/(n + 1). On a u₂ₙ = 2n/(2n + 1) → 1 et u₍₂ₙ₊₁₎ → −1. Si (uₙ) avait une limite, les deux suites extraites auraient la même. Donc (uₙ) n'a pas de limite.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Vrai ou faux

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Justifier chaque réponse. (a) Si u₍ₙ₊₁₎ − uₙ → 0, alors (uₙ) converge. (b) Si uₙ > 0 pour tout n et si (uₙ) converge, sa limite est strictement positive. (c) Si |uₙ| → 0, alors uₙ → 0. (d) Si (uₙ²) converge, alors (uₙ) converge. (e) Une suite croissante non convergente tend vers +∞. (f) Une suite qui tend vers +∞ est croissante à partir d'un certain rang.

Technique chercher le contre-exemple parmi les suites de référence.

Voir le corrigé

(a) Faux, uₙ = ln n. 2. (b) Faux, uₙ = 1/(n + 1). 3. (c) Vrai, −|uₙ| ≤ uₙ ≤ |uₙ| et on encadre. 4. (d) Faux, uₙ = (−1)ⁿ, dont le carré vaut 1. 5. (e) Vrai, si elle était majorée elle convergerait, donc elle est non majorée et la limite monotone donne +∞. 6. (f) Faux, uₙ = n + 2(−1)ⁿ vérifie uₙ ≥ n − 2, donc tend vers +∞, mais pour n pair u₍ₙ₊₁₎ − uₙ = −3.

piège : En (e), oublier l'hypothèse de croissance, sans laquelle la conclusion est fausse, comme le montre n(−1)ⁿ.

Exercice 2. Trois limites

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Déterminer les limites de (a) (2ⁿ + n³)/(3ⁿ − n), (b) (ln n)²/√n, (c) √(n + 2) − √n.

Technique repérer le terme dominant, puis la famille de référence.

Voir le corrigé

(a) On divise par 3ⁿ, l'expression devient ((2/3)ⁿ + n³/3ⁿ)/(1 − n/3ⁿ). Le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 1, la limite vaut 0. 2. (b) Croissances comparées avec b = 2 et a = 1/2, la limite vaut 0. 3. (c) Par la quantité conjuguée, l'expression vaut 2/(√(n + 2) + √n), qui tend vers 0.

piège : En (a), traiter l'expression comme un quotient de polynômes et factoriser par n³ en haut et par n en bas. On obtient n²(2ⁿ/n³ + 1)/(3ⁿ/n − 1), où le quotient reste de la forme ∞/∞. Il faut factoriser par les exponentielles, qui dominent, soit 2ⁿ en haut et 3ⁿ en bas, soit tout diviser par 3ⁿ.

Exercice 3. Une somme encadrée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour n ≥ 1, soit uₙ = Σ de k = 1 à n de n/(n² + k). Déterminer la limite de (uₙ).

Technique encadrer chaque terme par le pire et le meilleur cas, puis sommer.

Voir le corrigé

Pour 1 ≤ k ≤ n, n² + 1 ≤ n² + k ≤ n² + n, donc n/(n² + n) ≤ n/(n² + k) ≤ n/(n² + 1). 2. En sommant les n termes, n²/(n² + n) ≤ uₙ ≤ n²/(n² + 1). 3. En divisant par n², les deux bornes tendent vers 1. 4. Par encadrement, uₙ → 1.

piège : Dire que chaque terme tend vers 0 donc la somme aussi. Le nombre de termes dépend de n, les opérations algébriques ne s'appliquent pas.

Exercice 4. Au-delà des croissances comparées

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que n!/nⁿ → 0, puis que pour tout réel a > 0, aⁿ/n! → 0.

Technique écrire le produit facteur par facteur, puis comparer à une suite géométrique.

Voir le corrigé

n!/nⁿ = (1/n)(2/n)…(n/n). Chaque facteur est dans ]0, 1], donc 0 < n!/nⁿ ≤ 1/n, et on encadre. 2. Soit vₙ = aⁿ/n! > 0. Alors v₍ₙ₊₁₎/vₙ = a/(n + 1). 3. Soit p un entier non nul avec p ≥ 2a. Pour n ≥ p, a/(n + 1) ≤ 1/2. 4. Par récurrence, 0 < vₙ ≤ vₚ (1/2)ⁿ⁻ᵖ pour n ≥ p, et le majorant tend vers 0.

piège : Invoquer les croissances comparées. Le programme ne compare que nᵃ, qⁿ et (ln n)ᵇ, la factorielle doit être traitée à la main.

Exercice 5. Un stock qui se stabilise

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Un stock vérifie s₀ = 100 et s₍ₙ₊₁₎ = 0,8 sₙ + 10. Déterminer sa limite, puis le plus petit n tel que sₙ ≤ 51, et une boucle Python qui calcule ce rang.

Technique suite auxiliaire autour du point fixe, puis logarithme.

Voir le corrigé

Le point fixe vérifie l = 0,8 l + 10, donc l = 50. 2. tₙ = sₙ − 50 vérifie t₍ₙ₊₁₎ = 0,8 tₙ, donc sₙ = 50 + 50 × 0,8ⁿ, qui tend vers 50. 3. sₙ ≤ 51 équivaut à 0,8ⁿ ≤ 0,02, soit n ln 0,8 ≤ ln 0,02, soit n ≥ ln 0,02/ln 0,8 ≈ 17,5 car ln 0,8 < 0. Le rang cherché est 18. 4. Python. On pose s = 100 et n = 0, puis while s > 51 on fait s = 0.8*s + 10 et n = n + 1. La boucle termine car la limite 50 est sous le seuil.

piège : Diviser par ln 0,8 sans changer le sens de l'inégalité.

Exercice 6. Un capital avec retraits

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Un capital placé au taux r > 0 subit un retrait annuel R > 0, d'où C₍ₙ₊₁₎ = (1 + r)Cₙ − R. Étudier (Cₙ) selon C₀.

Technique suite arithmético-géométrique de raison supérieure à 1.

Voir le corrigé

Le point fixe vérifie l = (1 + r)l − R, donc l = R/r. 2. Cₙ − l = (1 + r)ⁿ(C₀ − l). 3. Comme 1 + r > 1, (1 + r)ⁿ → +∞. Si C₀ > R/r, Cₙ → +∞. Si C₀ = R/r, la suite est constante. Si C₀ < R/r, Cₙ → −∞, le capital s'épuise. 4. Interprétation, R/r est le capital dont les intérêts paient exactement le retrait, équilibre instable.

piège : Écrire « la suite diverge » sans le sens, qui dépend du signe de C₀ − R/r.

Exercice 7. Récurrence avec racine

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

u₀ = 0 et u₍ₙ₊₁₎ = √(uₙ + 6). Montrer que (uₙ) converge et trouver sa limite.

Technique encadrement puis monotonie par récurrence, limite monotone, passage à la limite.

Voir le corrigé

Récurrence, 0 ≤ uₙ ≤ 3. Si c'est vrai au rang n, 6 ≤ uₙ + 6 ≤ 9, donc √6 ≤ u₍ₙ₊₁₎ ≤ 3. 2. Croissance, u₁ = √6 ≥ u₀. Si uₙ ≤ u₍ₙ₊₁₎, la racine étant croissante, u₍ₙ₊₁₎ ≤ u₍ₙ₊₂₎. 3. Croissante et majorée, la suite converge vers l, avec 0 ≤ l ≤ 3. 4. Par continuité de la racine, l = √(l + 6), soit l² − l − 6 = 0, soit (l − 3)(l + 2) = 0. Comme l ≥ 0, l = 3.

piège : Conclure « majorée par 3 donc de limite 3 » avant d'avoir résolu l'équation.

Exercice 8. Une suite logistique qui s'éteint

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit EDHEC

u₀ ∈ ]0, 1[ et u₍ₙ₊₁₎ = uₙ − uₙ². Montrer que (uₙ) tend vers 0, puis que uₙ < 1/n pour n ≥ 1.

Technique stabilité d'un intervalle, signe de la différence, puis télescopage sur les inverses.

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Si 0 < uₙ < 1, u₍ₙ₊₁₎ = uₙ(1 − uₙ) est un produit de deux réels de ]0, 1[, donc dans ]0, 1[. 2. u₍ₙ₊₁₎ − uₙ = −uₙ² < 0, la suite décroît. 3. Décroissante et minorée par 0, elle converge vers l ∈ [0, u₀]. 4. Passage à la limite, l = l − l², donc l = 0. 5. On calcule 1/u₍ₙ₊₁₎ − 1/uₙ = 1/(1 − uₙ) ≥ 1. En sommant, 1/uₙ ≥ 1/u₀ + n > n, donc uₙ < 1/n.

piège : Écrire l ∈ ]0, 1[ en passant les inégalités strictes à la limite, puis croire à une contradiction.

Exercice 9. Suites adjacentes et approximation

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit EDHEC

Pour n ≥ 1, uₙ = Σ de k = 1 à n de 1/k² et vₙ = uₙ + 1/n. Montrer qu'elles sont adjacentes et encadrer leur limite l.

Technique étudier les signes de u₍ₙ₊₁₎ − uₙ et v₍ₙ₊₁₎ − vₙ, puis vₙ − uₙ.

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u₍ₙ₊₁₎ − uₙ = 1/(n + 1)² > 0. 2. v₍ₙ₊₁₎ − vₙ = 1/(n + 1)² + 1/(n + 1) − 1/n = 1/(n + 1)² − 1/(n(n + 1)) = −1/(n(n + 1)²) < 0. 3. vₙ − uₙ = 1/n → 0. Les suites sont adjacentes. 4. Pour n = 4, u₄ = 205/144, donc 1,423 ≤ l ≤ 1,674. L'écart 1/n donne la précision, n = 1000 garantit 10⁻³. La valeur l = π²/6 n'est pas exigible.

piège : Oublier que vₙ contient uₙ et perdre le terme 1/(n + 1)² dans v₍ₙ₊₁₎ − vₙ.

Exercice 10. Somme alternée

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit emlyon

Sₙ = Σ de k = 1 à n de (−1)ᵏ⁺¹/k. Pour n ≥ 1, aₙ = S₂ₙ et bₙ = S₍₂ₙ₊₁₎. Montrer que (Sₙ) converge.

Technique suites adjacentes sur les rangs pairs et impairs, puis le résultat du programme.

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a₍ₙ₊₁₎ − aₙ = 1/(2n + 1) − 1/(2n + 2) > 0. 2. b₍ₙ₊₁₎ − bₙ = −1/(2n + 2) + 1/(2n + 3) < 0. 3. bₙ − aₙ = 1/(2n + 1) → 0. Les suites sont adjacentes, de même limite l. 4. Les rangs pairs et impairs convergent vers l, donc (Sₙ) converge vers l. 5. De plus a₁ ≤ l ≤ b₁, soit 1/2 ≤ l ≤ 5/6. La valeur l = ln 2 est admise ici.

piège : Appliquer directement le théorème des suites adjacentes à (Sₙ), qui n'est pas monotone.

Exercice 11. Vitesse de divergence

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

u₀ = 1 et u₍ₙ₊₁₎ = uₙ + 1/uₙ. (1) Montrer que la suite est bien définie, croissante, et tend vers +∞. (2) Montrer 2n + 1 ≤ uₙ² ≤ 2n + 1 + 2√n. (3) En déduire la limite de uₙ/√n.

Technique raisonnement par l'absurde sur la limite, télescopage sur les carrés, encadrement.

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Par récurrence uₙ ≥ 1, et u₍ₙ₊₁₎ − uₙ = 1/uₙ > 0. 2. Si la suite convergeait vers l ≥ 1, on aurait l = l + 1/l, impossible. Croissante et non convergente, elle est non majorée et tend vers +∞. 3. u₍ₖ₊₁₎² = uₖ² + 2 + 1/uₖ². En sommant de k = 0 à n − 1, uₙ² = 1 + 2n + Σ de k = 0 à n − 1 de 1/uₖ². D'où la minoration uₙ² ≥ 2n + 1, valable pour tout n. 4. Donc 1/uₖ² ≤ 1/(k + 1), et la somme est au plus Σ de j = 1 à n de 1/j. Or 1/j ≤ 1/√j ≤ 2/(√j + √(j − 1)) = 2(√j − √(j − 1)), et par télescopage cette somme est au plus 2√n. 5. En divisant par n, 2 + 1/n ≤ uₙ²/n ≤ 2 + 1/n + 2/√n, donc uₙ²/n → 2, puis uₙ/√n → √2 par continuité de la racine.

piège : Conclure à +∞ dès que la suite ne converge pas, en oubliant que c'est la croissance qui l'autorise.

Erreurs fréquentes

Écrire « soit l la limite » ou passer à la limite dans une relation de récurrence avant d'avoir prouvé que la limite existe.
Conclure sur une forme indéterminée à partir des seules limites, ou appliquer les opérations algébriques à une somme dont le nombre de termes dépend de n.
Garder une inégalité stricte après passage à la limite, ou prendre le majorant d'une suite croissante pour sa limite.
Confondre divergente et tendant vers l'infini, ou non majorée et tendant vers +∞ en l'absence de monotonie.
Oublier de changer le sens d'une inégalité en divisant par un logarithme négatif, ou citer les croissances comparées pour la factorielle, qui n'en fait pas partie.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG, mathématiques appliquées de première année, premier semestre, partie IV « Suites de nombres réels », sections « Convergence d'une suite réelle » et « Comportement asymptotique des suites usuelles ». Le programme précise qu'aucune démonstration concernant les résultats de ces sections n'est exigible. L'objectif est donc de savoir énoncer les théorèmes avec leurs hypothèses exactes et de savoir les appliquer.

Convergence et comportement asymptotique des suites

Résumé en cinq points

1Définition de la limite

1.1Suite convergente

1.2Limites infinies

1.3Unicité

2Opérations algébriques

3Limites et inégalités

3.1Passage à la limite

3.2Théorème d'encadrement

4Théorème de la limite monotone

5Suites adjacentes

6Suites extraites de rangs pairs et impairs

7Comportement asymptotique des suites usuelles

7.1Suites géométriques

7.2Croissances comparées

7.3Deux limites de référence supplémentaires

8Lien avec l'informatique

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Vrai ou faux

Exercice 2. Trois limites

Exercice 3. Une somme encadrée

Exercice 4. Au-delà des croissances comparées

Exercice 5. Un stock qui se stabilise

Exercice 6. Un capital avec retraits

Exercice 7. Récurrence avec racine

Exercice 8. Une suite logistique qui s'éteint

Exercice 9. Suites adjacentes et approximation

Exercice 10. Somme alternée

Exercice 11. Vitesse de divergence

Erreurs fréquentes